Область сходимости итерационной процедуры для автономной краевой задачи
Знайдено оцiнку областi значень малого параметра, для яких зберiгається збiжнiсть iтерацiйної процедури для побудови розв’язкiв автономної нетерової слабконелiнiйної крайової задачi
 для системи звичайних диференцiальних рiвнянь у критичному випадку. We find an estimate for the region for va...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2006 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178165 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Область сходимости итерационной процедуры для автономной краевой задачи / С.М. Чуйко // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 3. — С. 416-432. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860107907805216768 |
|---|---|
| author | Чуйко, С.М. |
| author_facet | Чуйко, С.М. |
| citation_txt | Область сходимости итерационной процедуры для автономной краевой задачи / С.М. Чуйко // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 3. — С. 416-432. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Знайдено оцiнку областi значень малого параметра, для яких зберiгається збiжнiсть iтерацiйної процедури для побудови розв’язкiв автономної нетерової слабконелiнiйної крайової задачi
для системи звичайних диференцiальних рiвнянь у критичному випадку.
We find an estimate for the region for values of a small parameter where the convergence of an iteration procedure for constructing solutions of an autonomous Noetherian weakly nonlinear boundary-value
problem for a system of ordinary differential equations in the critical case is preserved.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:32:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517 . 9
ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИОННОЙ ПРОЦЕДУРЫ
ДЛЯ АВТОНОМНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
С. М. Чуйко
Славян. пед. ун-т
Украина, 84116, Славянск Донецкой обл., ул. Г. Батюка, 19
e-mail: chujko-slav@inbox.ru
We find an estimate for the region for values of a small parameter where the convergence of an iterati-
on procedure for constructing solutions of an autonomous Noetherian weakly nonlinear boundary-value
problem for a system of ordinary differential equations in the critical case is preserved.
Знайдено оцiнку областi значень малого параметра, для яких зберiгається збiжнiсть iтерацiй-
ної процедури для побудови розв’язкiв автономної нетерової слабконелiнiйної крайової задачi
для системи звичайних диференцiальних рiвнянь у критичному випадку.
1. Постановка задачи. Найдем оценку ε∗ длины отрезка [0, ε∗], на котором сохраняется
сходимость итерационной процедуры для построения решения
z(t, ε) = col
(
z(1)(t, ε), . . . , z(n)(t, ε)
)
, z(i)(·, ε) ∈ C1[a, b(ε)],
z(i)(t, ·) ∈ C[0, ε0], i = 1, 2, . . . , n,
системы обыкновенных дифференциальных уравнений
dz
dt
= Az + f + εZ(z, ε), (1)
удовлетворяющих краевому условию [1]
`z(·, ε) = α + εJ(z(·, ε), ε). (2)
Решение нетеровой (m 6= n) задачи (1), (2) ищем в малой окрестности решения
z0(t) = col
(
z
(1)
0 (t), . . . , z(n)
0 (t)
)
, z
(i)
0 (·) ∈ C1[a, b∗], b∗ = b(0),
порождающей задачи
dz0
dt
= Az0 + f, `z0(·) = α. (3)
Здесь A — постоянная (n × n)-мерная матрица, f — постоянный вектор-столбец, Z(z, ε)
— нелинейная вектор-функция, дважды непрерывно дифференцируемая по неизвестной
z в малой окрестности решения порождающей задачи и непрерывно дифференцируемая
c© С. М. Чуйко, 2006
416 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИОННОЙ ПРОЦЕДУРЫ ДЛЯ АВТОНОМНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 417
по малому параметру ε на отрезке [0, ε0]; `z(·, ε) — линейный и J(z(·, ε), ε) — нелинейный
векторный функционалы `z(·, ε), J(z(·, ε), ε) : C[a, b(ε)] → Rm, причем второй функцио-
нал дважды непрерывно дифференцируем по неизвестной z и по малому параметру ε в
малой окрестности решения порождающей задачи и на отрезке [0, ε0].
Для оценки величины ε∗ ранее был использован метод мажорирующих уравнений Ля-
пунова [2 – 4], основной трудностью которого было нахождение этих уравнений. В статье
[5] для оценки длины отрезка [0, ε∗] в случае неавтономной краевой задачи были предло-
жены конструктивные формулы, полученные при условии, что оператор, используемый
при построении искомого решения исходной задачи, является сжимающим. В данной ста-
тье получены аналогичные формулы для оценки величины ε∗ в случае автономной кра-
евой задачи в критическом случае (PQ∗ 6= 0). Предположим, что выполнено условие
PQ∗
d
{α− `K [f ] (·)} = 0; при этом порождающая задача (3) имеет r-параметрическое се-
мейство решений
z0(t, cr) = Xr(t)cr + G
[
f ;α
]
(t), cr ∈ Rr.
Здесь Q = `X(·) — (m × n)-матрица, rank Q = n1 ≤ min (m, n), n − n1 = r, PQ∗ —
(m × m)-матрица-ортопроектор PQ∗ : Rm → N(Q∗), X(t) — нормальная (X(a) = In)
фундаментальная матрица однородной части дифференциальной системы (3), (d × m)-
мерная матрица PQ∗
d
составлена из d = m − n1 линейно независимых строк матрицы-
ортопроектора PQ∗ , G [f ;α] (t) = X(t)Q+ {α− `K [f ] (·)} + K [f ] (t) — обобщенный опе-
ратор Грина задачи (3), Q+ — псевдообратная матрица по Муру – Пенроузу [1], K[f ](t) =
= X(t)
∫ t
a X−1(s)f ds — оператор Грина задачи Коши для дифференциальной системы
(3), In — единичная (n× n)-матрица.
Задача (1), (2) существенно отличается от аналогичных неавтономных краевых задач.
В отличие от последних правый конец b(ε) промежутка [a, b(ε)], на котором ищем реше-
ние задачи (1), (2), неизвестен и подлежит определению в процессе построения самого
решения. Будем искать его в виде b(ε) = b∗ + ε (b∗ − a) β(ε). Функция β(ε) непрерывна
на отрезке [0, ε0], положим β(0) = β∗. Выполняя в задаче (1), (2) замену независимой
переменной [6]
t = a + (τ − a) (1 + εβ(ε)) , (4)
получаем задачу об отыскании решения
z(τ, ε) = col
(
z(1)(τ, ε), . . . , z(n)(τ, ε)
)
, z(i)(·, ε) ∈ C1[a, b∗],
z(i)(τ, ·) ∈ C[0, ε0], i = 1, 2, . . . , n,
системы дифференциальных уравнений
dz
dτ
= Az + f + ε {β(ε)A (z(τ, ε) + f) + (1 + εβ(ε))Z(z(τ, ε), ε)} , (5)
удовлетворяющих краевому условию
`z(·, ε) = εJ(z(·, ε), ε). (6)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
418 С. М. ЧУЙКО
Решение задачи z(τ, ε) = z0(τ, cr) + x(τ, ε) (5), (6) ищем в окрестности решения z0(τ, cr)
порождающей задачи (3). Для нахождения возмущения x(τ, ε) получаем задачу
dx
dτ
= Ax + ε {β(ε) (A(z0 + x) + f) + (1 + εβ(ε))Z(z0 + x, ε)} , (7)
`x(·, ε) = εJ(z0(·, cr) + x(·, ε), ε). (8)
Необходимое и достаточное условие разрешимости задачи (7), (8) имеет вид
PQ∗
d
{
J(z0(·, cr) + x(·, ε), ε)−
− `K [β(ε) (A(z0 + x) + f) + (1 + εβ(ε))Z(z0 + x, ε)] (·)
}
= 0. (9)
Обозначая f0(s, c∗) = β∗ (Az0(s, c∗r) + f)+Z(z0(s, c∗r), 0), как и в [6], приходим к необходи-
мому условию разрешимости задачи (7), (8).
Теорема 1. Если краевая задача (1), (2) в критическом случае (PQ∗ 6= 0) имеет реше-
ние
z(t, ε) = col
(
z(1)(t, ε), . . . , z(n)(t, ε)
)
, z(i)(·, ε) ∈ C1[a, b(ε)],
z(i)(t, ·) ∈ C[0, ε0], i = 1, 2, . . . , n,
при ε = 0 обращающееся в порождающее z(t, 0) = z0(t, c∗r), то вектор c∗ = col (c∗r , β
∗) ∈
∈ Rr+1 удовлетворяет уравнению
F0(c∗) = PQ∗
d
{J(z0(·, c∗r), 0)− `K [f0(s, c∗)] (·)} = 0. (10)
Первые r компонент c∗r ∈ Rr корня c∗ ∈ Rr+1 уравнения (10) определяют амплиту-
ду порождающего решения z0(t, c∗r), в малой окрестности которого может существовать
искомое решение исходной задачи (1), (2). Кроме того, из уравнения (10) можно найти
величину β∗ ∈ R1, определяющую первое приближение b1(ε) = b∗ + ε(b∗ − a)β∗ к длине
отрезка b(ε), на котором определено искомое решение. Если же уравнение (10) не имеет
действительных корней, то исходная задача (1), (2) не имеет искомых решений. Далее
уравнение (10) будем называть уравнением для порождающих амплитуд краевой задачи
(1), (2).
Предположим, что уравнение для порождающих амплитуд (10) имеет действитель-
ные корни. Фиксируя одно из решений c∗ ∈ Rr+1 уравнения (10), приходим к задаче
об отыскании решения z(τ, ε) = z0(τ, c∗r) + x(τ, ε) задачи (1), (2) в окрестности порож-
дающего решения z0(τ, c∗r) = Xr(τ)c∗r+G [f ;α] (τ). Используя непрерывную дифференци-
руемость по первому аргументу функции Z(z, ε) в окрестности порождающего решения и
непрерывную дифференцируемость по второму аргументу в малой положительной окре-
стности нуля, разлагаем эту функцию в окрестности точек x = 0 и ε = 0:
Z(z0(τ, c∗r) + x(τ, ε), ε) = Z(z0(τ, c∗r), 0) + A1(τ)x(τ, ε) + R1(z0(τ, c∗r) + x(τ, ε), ε),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИОННОЙ ПРОЦЕДУРЫ ДЛЯ АВТОНОМНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 419
где
A1(τ) =
∂Z(z, ε)
∂z
∣∣∣∣z=z0(τ,c∗r)
ε=0
.
Остаток R1(z0(τ, c∗r) + x(τ, ε), ε) разложения функции Z(z0(τ, c∗r) + x(τ, ε), ε) при усло-
вии Z ′
ε(z0(τ, c∗r), 0) ≡ 0 имеет более высокий порядок малости по x и ε в окрестности
точек x = 0 и ε = 0, чем первых два члена разложения, поэтому R1(z0(τ, c∗r), 0) ≡
≡ 0, R′
1z(z0(τ, c∗r), ε) ≡ 0. Аналогично, используя непрерывную дифференцируемость
(в смысле Фреше) по первому аргументу векторного функционала J(z0(·, c∗r)+x(·, ε), ε) и
непрерывность по второму аргументу, выделяем линейную `1x(·, ε) часть этого функцио-
нала и член J(z0(·, c∗r), 0) = J(z(·, 0), 0) нулевого порядка по ε в окрестности точек x = 0
и ε = 0:
J(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε) = J(z0(·, c∗r), 0) + `1x(·, ε) + J1(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε). (11)
Остаток J1(z0(·, c∗r)+x(·, ε), ε) разложения функционала J(z0(·, c∗r)+x(·, ε), ε) при условии
J ′
ε(z0(·, c∗r), 0) = 0 имеет более высокий порядок малости по x и ε в окрестности точек x =
= 0 и ε = 0, чем первых два члена разложения, поэтому J1(z(·, c∗r), 0) = 0, J ′
1z(z(·, c∗r), 0) =
= 0. Преобразуем выражение, стоящее в квадратных скобках в условии (9):
β(ε) (A(z0 + x) + f) + (1 + εβ(ε))Z(z0 + x, ε) = f0(s, c∗)+
+ (β∗A + A1(s))x(s, ε) + β̄ (A(z0(s, c∗r + f) +
+ β̄Ax(s, ε) + r(z0(s, c∗r) + x(s, ε), ε).
Здесь β̄(ε) = β(ε)− β∗ — неизвестная непрерывная скалярная функция,
r(z0(s, c∗r) + x(s, ε), ε) = β̄Ax(s, ε) + εβZ(z0(s, c∗r−1) + x(s, ε), ε)+
+ R1(z0(s, c∗r−1) + x(s, ε), ε)
— n-мерный вектор-столбец. Решение задачи (5), (6) представимо в виде
x(τ, ε) = Xr(τ)cr(ε) + x(1)(τ, ε),
где
x(1)(τ, ε) = εG
[
Z(z0(s, c∗r), 0) + A1(s)x(s, ε) + R1(z0(s, c∗r) + x(s, ε), ε);
J(z0(·, c∗r), 0) + `1x(·, ε) + J1(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε)
]
(τ).
Неизвестная cr = cr(ε) ∈ Rr — непрерывная в малой положительной окрестности нуля
вектор-функция малого параметра. Обозначая
(
d× (r + 1)
)
-матрицу через
B0 = PQ∗
d
{
`1Xr(·)I1 − `K
[
Ā1(s)
]
(·)
}
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
420 С. М. ЧУЙКО
приходим к операторной системе, равносильной задаче о нахождении решений системы
(7), удовлетворяющих краевому условию (8):
x(τ, ε) = Xr(τ)I1c(ε) + x(1)(τ, ε),
B0 · c(ε) = −PQ∗
d
{
`1x
(1)(·, ε) + J1(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε)−
− `K
[(
β∗A + A1(s)
)
x(1)(s, ε) + r(z0(s, c∗r) + x(s, ε), ε)
]
(·)
}
, (12)
x(1)(τ, ε) = εG
[
f0(s, c∗) + Ā1(s)c(ε)+
+
(
β∗A + A1(s)
)
x(1)(s, ε) + r(z0(s, c∗r) + x(s, ε), ε);
`1x
(1)(·, ε) + J1(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε)
]
(τ).
Здесь I1 = col (Ir, 0) — постоянная (r × (r + 1))-мерная матрица,
Ā1(s) =
{[
β∗A + A1(s)
]
Xr(s); Az0(s, c∗r) + f
}
— (n× (r +1))-мерная матрица. При условии PB∗
0
= 0 общее решение второго уравнения
операторной системы (12) имеет вид
c(ε) = −B+
0 PQ∗
d
{
`1x
(1)(·, ε) + J1(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε)−
− `K
[(
β∗A + A1(s)
)
x(1)(s, ε) + r(z0(s, c∗r) + x(s, ε), ε)
]
(·)
}
+ PB0 c̄,
где c̄ ∈ Rr+1− произвольный вектор. Пусть rank PB0 = ρ; здесь PB0 : Rr+1 → N(B0)
— ((r + 1) × (r + 1))-матрица-ортопроектор, PB∗
0
— ((r + 1) × (r + 1))-мерная матрица-
ортопроектор: R(r + 1) → N(B∗
0). Обозначим через Pρ((r + 1) × ρ) матрицу, составлен-
ную из ρ линейно независимых столбцов матрицы-ортопроектора PB0 ; при этом вектор-
функция
c(ε) = −B+
0 PQ∗
d
{
`1x
(1)(·, ε) + J1(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε)−
− `K
[(
β∗A + A1(s)
)
x(1)(s, ε) + r(z0(s, c∗r) + x(s, ε), ε)
]
(·)
}
+ Pρcρ
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИОННОЙ ПРОЦЕДУРЫ ДЛЯ АВТОНОМНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 421
зависит от произвольного вектора
cρ = col
(
c(1)
ρ (ε), . . . , c(ρ)
ρ (ε)
)
, c(i)
ρ (ε) ∈ C[0, ε∗0], c(i)
ρ (0) = 0, i = 1, 2, . . . , ρ.
Таким образом, при условии PB∗
0
= 0 общее решение краевой задачи (7), (8) определяет
операторная система
x(τ, ε) = Xr(τ)I1c(ε) + x(1)(τ, ε),
c(ε) = −B+
0 PQ∗
d
{
`1x
(1)(·, ε) + J1(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε)−
− `K
[(
β∗A + A1(s)
)
x(1)(s, ε) + r(z0(s, c∗r) + x(s, ε), ε)
]
(·)
}
+ Pρcρ, (13)
x(1)(τ, ε) = εG
[
f0(s, c∗) + Ā1(s)c(ε)+
+
(
β∗A + A1(s)
)
x(1)(s, ε) + r(z0(s, c∗r) + x(s, ε), ε);
`1x
(1)(·, ε) + J1(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε)
]
(τ),
для любого cρ ∈ Rρ эквивалентная задаче о построении решения системы уравнений (7),
удовлетворяющих краевому условию (8).
Операторная система (13) принадлежит классу систем, для решения которых приме-
ним метод простых итераций [1 – 3]. Оценим длину отрезка [0, ε∗], ε∗ ≤ ε0, на котором
применим этот метод. Система (13) эквивалентна задаче о построении решения уравне-
ния x(τ, ε) = Φx(τ, ε) на множестве функций x(τ, ε), обращающихся в нуль при ε = 0.
Здесь
Φx(τ, ε) = εG
[
Z(z0(s, c∗r) + x(s, ε), ε); J(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε)
]
(τ)−
−Xr(τ)I1B
+
0 PQ∗
d
{
ε`1G
[
Z(z0(s, c∗r) + x(s, ε), ε); J(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε)
]
(·)+
+ J1(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε)−
− `K
[
ε
(
β∗A + A1(s)
)
G
[
Z(z0(ν, c∗r) + x(ν, ε), ε); J(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε)
]
(s)+
+ r(z0(s, c∗r) + x(s, ε), ε)
]
(·)
}
−Xr(τ)Pρcρ.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
422 С. М. ЧУЙКО
Непрерывный ограниченный оператор Φx(τ, ε) представляет собой суперпозицию били-
нейного [5] по Z(z(τ, ε), ε) и J(z(·, ε), ε) оператора, действующего на непрерывно диффе-
ренцируемые по z функцию Z(z(τ, ε), ε) и нелинейный функционал J(z(·, ε), ε). Оператор
Φx(τ, ε) действует из пространства непрерывных на отрезках [a; b∗] и [0, ε0] действитель-
ных вектор-функций в это же пространство. С учетом билинейности оператора Φx(τ, ε)
представим его в виде
Φx(τ, ε) =
7∑
i=1
Φix(τ, ε)−Xr(τ)Pρcρ,
где
Φ1x(τ, ε) = −G
[
Z(z0(s, c∗r) + x(s, ε), ε); J(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε)
]
(τ),
Φ2x(τ, ε) = −εXr(τ)I1B
+
0 PQ∗
d
`1G
[
Z(z0(s, c∗r) + x(s, ε), ε); J(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε)
]
(·),
Φ3x(τ, ε) = −Xr(τ)I1B
+
0 PQ∗
d
J1(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε),
Φ4x(τ, ε) = εXr(τ)I1B
+
0 PQ∗
d
`K
{(
β∗A + A1(s)
)
G
[
Z(z0(ν, c∗r) + x(ν, ε), ε);
J(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε)
]
(s)
}
(·),
Φ5x(τ, ε) = Xr(τ)I1B
+
0 PQ∗
d
`K
{
β̄(ε)Ax(s, ε)
}
(·),
Φ6x(τ, ε) = Xr(τ)I1B
+
0 PQ∗
d
`K
{
R1(z0(s, c∗r) + x(s, ε), ε)
}
(·),
Φ7x(τ, ε) = εXr(τ)I1B
+
0 PQ∗
d
`K
{
β(ε)Z(z0(s, c∗r) + x(s, ε), ε)
}
(·).
Пусть x(τ, ε), y(τ, ε) — вектор-функции из малой окрестности нуля, причем
x(τ, ε) = col
(
x(1)(τ, ε), . . . , x(n)(τ, ε)
)
, y(τ, ε) = col
(
y(1)(τ, ε), . . . , y(n)(τ, ε)
)
,
x(i)(·, ε), y(i)(·, ε) ∈ C1[a, b∗], x(i)(τ, ·), y(i)(τ, ·) ∈ C[0, ε0], i = 1, 2, . . . , n.
Норму функции ϕ(t) = col(ϕ(1)(t), . . . , ϕ(n)(t)), ϕi(·) ∈ C[a, b], i = 1, 2, . . . , n, полагаем
равной [7, c. 123] ‖ϕ(t)‖ = max
1≤i≤n
‖ϕ(i)(t)‖, ‖ϕ(i)(t)‖ = max
a≤t≤b
|ϕ(i)(t)|. Нормой
(m× n)-матрицы A(t) = aij(t), aij(·) ∈ C[a, b], будем называть число
‖A(t)‖ = max
1≤i≤n
n∑
j=1
‖aij(t)‖.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИОННОЙ ПРОЦЕДУРЫ ДЛЯ АВТОНОМНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 423
В силу теоремы Рисса векторный функционал `x(·) = col
(
`(1)x(·), . . . , `(m)x(·)
)
, опреде-
ленный на пространстве непрерывных вектор-функций, представим в виде интеграла Ри-
мана – Стильтьеса `x(·) =
∫ b
a dΩ(t)x(t), где Ω(t) — (m×n)-матрица, элементы которой —
функции ограниченной на [a, b] вариации; при этом ‖`x(·)‖ = ‖Ω(t)‖. Пусть ξ1(τ, ε), ζ1(t, ε)
— некоторые точки отрезка, соединяющего точки z0(τ, c∗r) + x(τ, ε) и z0(τ, c∗r) + y(τ, ε).
Oбозначая
σ1 = max
‖x‖,‖y‖≤ρ,
ε∈[0,ε0]
∥∥∥∥∥ ∂Z(z(τ, ε), ε)
∂z
∣∣∣∣
z=ξ1(τ,ε)
∥∥∥∥∥ ,
σ2 = max
‖x‖,‖y‖≤ρ,
ε∈[0,ε0]
∥∥∥∥∥ ∂J(z(·, ε), ε)
∂z
∣∣∣∣
z=ζ1(t,ε)
∥∥∥∥∥ ,
q = ‖X(t)Q+‖, λ = ‖`K[∗](·)‖, µ = ‖K[∗](τ)‖,
получаем оценку нормы разности
∣∣∣∣∣∣∣∣Φ1x(τ, ε)− Φ1y(τ, ε)
∣∣∣∣∣∣∣∣ ≤ ε
[
q
(
σ1 + λσ2
)
+ µ
]
‖x(τ, ε)− y(τ, ε)‖.
Аналогично∣∣∣∣∣∣∣∣Φ2x(τ, ε)− Φ2y(τ, ε)
∣∣∣∣∣∣∣∣ ≤ εq1
(
λ1σ2 + λλ1σ2 + λ2σ1
)
‖x(τ, ε)− y(τ, ε)‖,
где
q1 = ‖A‖, q2 =
∣∣∣∣∣∣∣∣Xr(τ)I1B
+
0 PQ∗
d
∣∣∣∣∣∣∣∣, λ1 =
∣∣∣∣∣∣∣∣`1X(·)Q+
∣∣∣∣∣∣∣∣,
λ2 =
∣∣∣∣∣∣∣∣`1K
[
∗
]
(·)
∣∣∣∣∣∣∣∣, λ3 =
∣∣∣∣∣∣∣∣`1K
[
A1(s) ∗
]
(·)
∣∣∣∣∣∣∣∣.
Согласно теореме о среднем
‖J1(z0 + x, ε)− J1(z0 + y, ε)‖ =
∥∥∥∥∥ ∂J1(z(·, ε), ε)
∂z
∣∣∣∣
z=ζ2(τ,ε)
(x− y)
∥∥∥∥∥ .
Функционал J ′
1z
(ζ2(·, ε), ε) представляет собой производную (в смысле Фреше) функцио-
нала J1(z(·, ε), ε) в некоторой точке ζ2(τ, ε) отрезка, соединяющего точки z0(τ, c∗r)+x(τ, ε)
и z0(τ, c∗r) + y(τ, ε). При условии ‖x‖, ‖y‖ ≤ ρ, ε ∈ [0, ε0] функционал J ′
1z
(ζ2(·, ε), ε) пред-
ставляет собой бесконечно малую величину, следовательно, по теореме о среднем, в не-
которой точке ε1 отрезка [0, ε0] имеет место представление
∂J1(z(·, ε), ε)
∂z
∣∣∣∣
z=ζ2(τ,ε)
(x− y) =
∂2J1(z(·, ε), ε)
∂z ∂ε
∣∣∣∣
z=ζ2(τ,ε)
ε=ε1
ε(x− y).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
424 С. М. ЧУЙКО
Таким образом, ‖J1(z0 + x, ε)− J1(z0 + y, ε)‖ ≤ σ3ε‖x− y‖, где
σ3 = max
‖x‖,‖y|≤ρ,
ε1∈[0,ε0]
∥∥∥∥∥∥ ∂2J1(z(·, ε), ε)
∂z ∂ε
∣∣∣∣
z=ζ2(τ,ε)
ε=ε1
∥∥∥∥∥∥ ,
следовательно, ∣∣∣∣∣∣∣∣Φ3x(τ, ε)− Φ3y(τ, ε)
∣∣∣∣∣∣∣∣ ≤ εq2σ3‖x− y‖.
Оценим разность∣∣∣∣∣∣∣∣Φ4x(τ, ε)− Φ4y(τ, ε)
∣∣∣∣∣∣∣∣ ≤ εq2λ4
[
q(λσ1 + σ2) + µσ1
]
‖x(τ, ε)− y(τ, ε)‖.
Здесь
λ4 =
∣∣∣∣∣∣∣∣`K[(β∗A + A1(s)
)
∗
]
(·)
∣∣∣∣∣∣∣∣.
Представим неизвестную β(ε) в виде суммы β(ε) = β∗ + εβ∗∗ + εω(ε, x). Согласно приня-
тым обозначениям β̄(ε) = ε (β∗∗ + ω(x(τ, ε), ε)) . Здесь ω(x(τ, ε), ε) — малый остаток при
условиях ‖x‖ ≤ ρ, а также ε ∈ [0, ε0]. В этом случае существует число ρ1, для которого
имеет место неравенство ε (β∗∗ − ρ1) ≤ β̄(ε) ≤ ε (β∗∗ + ρ1) . Пусть
ρ2 = max {|β∗∗ + ρ1| , |β∗∗ − ρ1|} .
В этом случае ‖β̄(ε)‖ = |β̄(ε)| ≤ ερ2. Таким образом,
‖Φ5x(τ, ε)− Φ5y(τ, ε)‖ ≤ εq1q2λρ2‖x(τ, ε)− y(τ, ε)‖.
Согласно теореме о среднем
‖R1(z0 + x, ε)−R1(z0 + y, ε)|| =
∥∥∥∥∥ ∂R1(z, ε)
∂z
∣∣∣∣
z=ξ2(τ,ε)
(x− y)
∥∥∥∥∥ .
Производная R′
1z
(ξ2(τ, ε), ε) представляет собой производную вектор-функции
R1(z(τ, ε), ε) в некоторой точке ξ2(τ, ε) отрезка, соединяющего точки z0(τ, c∗r) + x(τ, ε)
и z0(τ, c∗r) + y(τ, ε). При условии ‖x‖, ‖y‖ ≤ ρ, ε ∈ [0, ε0] эта производная бесконечно ма-
ла, следовательно, по теореме о среднем, в некоторой точке ε2 отрезка [0, ε0] имеет место
представление
‖R1(z0 + x, ε)−R1(z0 + y, ε)‖ =
∥∥∥∥∥∥ ∂2R1(z, ε)
∂z ∂ε
∣∣∣∣
z=ξ2(τ,ε)
ε=ε2
ε(x− y)
∥∥∥∥∥∥ .
Таким образом,
‖Φ6x(τ, ε)− Φ6y(τ, ε)‖ ≤ εq2λσ4‖x(τ, ε)− y(τ, ε)‖.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИОННОЙ ПРОЦЕДУРЫ ДЛЯ АВТОНОМНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 425
Здесь
σ4 = max
‖x‖,‖y‖≤ρ,
ε∈[0,ε0]
∥∥∥∥∥∥ ∂2R1(z(τ, ε), ε)
∂z ∂ε
∣∣∣∣
z=ξ2(τ,ε)
ε=ε2
∥∥∥∥∥∥ .
Аналогично
‖Φ7x(τ, ε)− Φ7y(τ, ε)‖ ≤ εq2λρ3σ1‖x(τ, ε)− y(τ, ε)‖.
Итак, получаем оценку ε∗ ≤ ε∗, где
1
ε∗
= q(σ1 + λσ2) + µ + q1 [λ(σ2 + λ1σ2 + q1ρ2) + λ2σ1] +
+ q2 {σ3 + λ4[q(σ2 + λσ1) + µσ1] + λ(σ4 + q2ρ3σ1)} .
Таким образом, приходим к следующему утверждению.
Теорема 2. Для каждого простого (PB∗
0
= 0) корня c∗ = col (c∗r , β
∗) уравнения F (c∗) =
= 0 для порождающих амплитуд задача (1), (2) имеет ρ-параметрическое решение, при
ε = 0 обращающееся в порождающее z(τ, 0) = z0(τ, c∗r). Это решение можно определить
с помощью сходящегося при ε ∈ [0, ε∗] итерационного процесса
x1(τ, ε) = Xr(τ)I1c1(ε) + x
(1)
1 (τ, ε), x
(1)
1 (τ, ε) = εG
[
f0(s, c∗);J(z0(·, c∗r), 0)
]
(τ),
c1(ε) = −B+
0 PQ∗
d
{
J1(z0(·, c∗r) + x1(·, ε), ε)−
− `K
[(
β∗A + A1(s)
)
x
(1)
1 (s, ε) + r(z0(s, c∗r) + x1(s, ε), ε)
]
(·)
}
+ Pρcρ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xk+1(τ, ε) = Xr(τ)I1ck+1(ε) + x
(1)
k+1(τ, ε),
x
(1)
k+1(τ, ε) = x
(1)
1 (τ, ε) + x
(2)
k+1(τ, ε), (14)
x
(2)
k+1(τ, ε) = εG
[
Ā1(s)ck +
(
β∗A + A1(s)
)
x
(1)
k (s, ε) + r(z0(s, c∗r) + x
(1)
k (s, ε), ε),
`1x
(1)
k (·, ε) + J1(z0(·, c∗r) + x
(1)
k (·, ε), ε)
]
(τ),
ck+1(ε) = −B+
0 PQ∗
d
{
J1(z0(·, c∗r) + x
(1)
k+1(·, ε), ε)−
− `K
[(
β∗A + A1(s)
)
x
(1)
k+1(s, ε) + r(z0(s, c∗r) + x
(1)
k+1(s, ε), ε)
]
(·)
}
+ Pρcρ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
426 С. М. ЧУЙКО
k = 1, 2, . . . , cρ = cρ(ε) = col
(
c(1)
ρ (ε), . . . , c(ρ)
ρ (ε)
)
,
c(j)
ρ (·) ∈ C1[0, ε∗], cρ(0) = 0, j = 1, 2, . . . , ρ.
С учетом замены независимой переменной (4) задача (1), (2) имеет ρ-параметрическое
решение, которое можно найти с помощью итерационного процесса (14) по формуле
zk(τ, ε) = z0(τ, c∗r)+xk(τ, ε). Величина βk(ε) представляет собой последнюю компоненту
вектора ck(ε).
2. Автономные периодические задачи. Исследуем задачу о нахождении решения
z(t, ε) = col
(
z(1)(t, ε), . . . , z(n)(t, ε)
)
,
z(i)(·, ε) ∈ C1[0, T1(ε)], T1(0) = T, z(i)(t, ·) ∈ C[0, ε0], i = 1, 2, . . . , n,
системы обыкновенных дифференциальных уравнений
dz
dt
= Az + εZ(z, ε), (15)
удовлетворяющих периодическому краевому условию
`z(·, ε) = z(0, ε)− z(T1(ε), ε) = 0. (16)
Решение задачи (15), (16) ищем в малой окрестности решения порождающей задачи
dz0
dt
= Az0, `z0(·) = z(0, ε)− z(T, ε). (17)
Представим период искомого решения T1(ε) = T (1 + εβ(ε)) через новую неизвестную
β(ε) ∈ C[0, ε0]. Величина β(ε), β(0) = β∗ подлежит определению в процессе нахождения
решения задачи (15), (16). Замена независимой переменной (4) в случае периодической
задачи принимает вид t = τ(1+ εβ(ε)). Существенным отличием автономной задачи (15),
(16) от аналогичной неавтономной периодической задачи является тот факт, что любое
решение z(t, ε) задачи (15), (16) существует наряду с серией решений z(t + h, ε), отлича-
ющихся от исходного сдвигом по независимой переменной. Этот факт позволяет [8] за-
фиксировать начало отсчета независимой переменной таким образом, чтобы последняя
компонента вектора cr ∈ Rr в представлении решения порождающей задачи (17) была
нулевой; таким образом, без потери общности решение z0(t, cr−1) = Xr−1(t)cr−1, cr−1 ∈
∈ Rr−1 порождающей задачи (17) определяется (n×(r−1))-мерной матрицей Xr−1(t), ана-
логичной матрице Xr(t), и зависит от r−1 компоненты постоянного вектора cr−1 ∈ Rr−1.
Обозначая f1(s, c∗r) = β∗Az0(s, c∗r−1) + Z(z0(s, c∗r−1), 0), приходим к следующему утверж-
дению.
Теорема 3. Пусть краевая задача (15), (16) представляет критический случай PQ∗ 6=
6= 0 и имеет решение
z(t, ε) = col
(
z(1)(t, ε), . . . , z(n)(t, ε)
)
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИОННОЙ ПРОЦЕДУРЫ ДЛЯ АВТОНОМНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 427
z(i)(·, ε) ∈ C1[0, T1(ε)], z(i)(t, ·) ∈ C[0, ε0], i = 1, 2, . . . , n,
при ε = 0 обращающееся в порождающее z(t, 0) = z0(t, c∗r−1). Тогда вектор c∗r =
= col (c∗r−1, β
∗) ∈ Rr удовлетворяет уравнению
F0(c∗r) = PQ∗
r
{
`K
[
f1(s, c∗r)
]
(·)
}
= 0. (18)
Решение z(τ, ε) = z0(τ, c∗r−1) + x(τ, ε) задачи (15), (16) ищем в окрестности решения
z0(t, c∗r−1) порождающей задачи (17). С учетом замены независимой переменной для на-
хождения возмущения x(τ, ε) получаем задачу
dx
dτ
= Ax + ε
{
β(ε)A
(
z0 + x
)
+
(
1 + εβ(ε)
)
Z(z0 + x, ε)
}
, (19)
`x(·, ε) = x(0, ε)− x(T, ε) = 0. (20)
В случае невырожденности (r× r)-матрицы B0 = PQ∗
r
{
`K
[
Ā2(s)
]
(·)
}
приходим к опера-
торной системе, равносильной задаче о нахождении решений системы (19), удовлетворя-
ющих условию периодичности (20):
x(τ, ε) = Xr−1(τ)I1cr + x(1)(τ, ε),
cr(ε) = −B−1
0 PQ∗
r
{
`K
[(
β∗A + A1(s)
)
x(1)(s, ε) + r(z0(s, c∗r−1) + x(s, ε), ε)
]
(·)
}
, (21)
x(1)(τ, ε) = εG
[
f1(s, c∗r) + Ā2(s)cr +
(
β∗A + A1(s)
)
x(1)(s, ε)+
+ r(z0(s, c∗r−1) + x(s, ε), ε); 0
]
(τ).
Здесь I1 = col (Ir, 0) — постоянная
(
r × (r + 1)
)
-мерная матрица,
Ā2(s) =
{[
β∗A + A1(s)
]
Xr−1(s);AXr−1(s)c∗r−1
}
— (n× r)-мерная матрица, cr(ε) = col
(
cr−1(ε), β̄(ε)
)
— r-мерная вектор-функция,
r(z0(τ, c∗r−1) + x(τ, ε), ε) = β̄Ax(τ, ε) + εβZ(z0(τ, c∗r−1) + x(τ, ε), ε)+
+ R1(z0(τ, c∗r−1) + x(τ, ε), ε)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
428 С. М. ЧУЙКО
— n-мерный вектор-столбец. Операторная система (21) эквивалентна задаче о построе-
нии решения операторного уравнения x(τ, ε) = Φ0x(τ, ε) на множестве функций x(τ, ε),
обращающихся в нуль при ε = 0. Здесь
Φ0x(τ, ε) = εG
[
Z(z0(s, c∗r−1) + x(s, ε), ε); 0
]
(τ)−
−Xr−1(τ)I1B
−1
0 PQ∗
r
`K
{
ε
(
β∗A + A1(s)
)
G
[
Z(z0(ν, c∗r−1) + x(ν, ε), ε); 0
]
(s)+
+ β̄Ax(s, ε) + εβZ(z0(s, c∗r−1) + x(s, ε), ε) + R1(z0(s, c∗r−1) + x(s, ε), ε)
}
(·).
Непрерывный ограниченный оператор Φ0x(τ, ε) представляет собой суперпозицию ли-
нейного по Z(z(τ, ε), ε) оператора, действующего на непрерывно дифференцируемую по
x функцию Z(z(τ, ε), ε), и нелинейной функции Z(z(τ, ε), ε). Оператор Φ0(Z(z0(τ, c∗r−1) +
+x(τ, ε), ε)) действует из пространства непрерывных на отрезках [0;T ] и [0, ε0] действи-
тельных вектор-функций в это же пространство. Учитывая линейность оператора Φx(τ, ε),
представляем его в виде
Φ0x(τ, ε) =
5∑
i=1
Φix(τ, ε),
где
Φ1x(τ, ε) = −εXr−1(τ)I1B
−1
0 PQ∗
r
×
× `K
{
(β∗A + A1(s))G
[
Z(z0(ν, c∗r−1) + x(ν, ε), ε); 0
]
(s)
}
(·),
Φ2x(τ, ε) = −Xr−1(τ)I1B
−1
0 PQ∗
r
`K
[
β̄(ε)Ax(s, ε)
]
(·),
Φ3x(τ, ε) = −Xr−1(τ)I1B
−1
0 PQ∗
r
`K
[
R1(z0(s, c∗r−1) + x(s, ε), ε)
]
(·),
Φ4x(τ, ε) = −εXr−1(τ)I1B
−1
0 PQ∗
r
`K
[
β(ε)Z(z0(s, c∗r−1) + x(s, ε), ε)
]
(·),
Φ5x(τ, ε) = εG
[
Z(z0(s, c∗r−1) + x(s, ε), ε); 0
]
(τ).
Пусть ξ(τ, ε) — некоторая точка отрезка, соединяющего точки z0(τ, c∗r−1) + x(τ, ε) и
z0(τ, c∗r−1) + y(τ, ε). Oбозначая
σ
(a)
1 = max
‖x‖,‖y‖≤ρ,
ε∈[0,ε0]
∥∥∥∥∥ ∂Z(z(τ, ε), ε)
∂z
∣∣∣∣
z=ξ(τ,ε)
∥∥∥∥∥ ,
q
(a)
1 = ‖Xr−1(τ)I1B
−1
0 ‖, µ = ‖G[∗; 0](s)‖,
λa = ‖PQ∗
r
`K[(β∗A + A1(s))∗](·)‖,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИОННОЙ ПРОЦЕДУРЫ ДЛЯ АВТОНОМНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 429
получаем оценку нормы разности
‖Φ1x(τ, ε)− Φ1y(τ, ε)‖ ≤ εq
(a)
1 λaµσ
(a)
1 ‖x(τ, ε)− y(τ, ε)‖.
Аналогично
‖Φ2x(τ, ε)− Φ2y(τ, ε)‖ ≤ ‖Xr−1(τ)I1B
−1
0 ‖ ‖PQ∗
r
`K[∗](·)‖ × ‖β̄(ε)‖ ‖A‖ ‖x(τ, ε)− y(τ, ε)‖.
Представим неизвестную β(ε) в виде суммы β(ε) = β∗ + εβ∗∗ + εω(ε, x). Согласно приня-
тым обозначениям β̄(ε) = ε (β∗∗ + ω(x(τ, ε), ε)) . Здесь ω(x(τ, ε), ε) — малый остаток при
условии ‖x‖ ≤ ρ, а также ε ∈ [0, ε0]. В этом случае существует число ρ1, для которого
имеет место неравенство ε (β∗∗ − ρ1) ≤ β̄(ε) ≤ ε (β∗∗ + ρ1) . Пусть
ρ2 = max {|β∗∗ + ρ1|, |β∗∗ − ρ1|} .
В этом случае ‖β̄(ε)‖ = |β̄(ε)| ≤ ερ2. Таким образом,
‖Φ2x(τ, ε)− Φ2y(τ, ε)‖ ≤ εq
(a)
1 λq1ρ2‖x(τ, ε)− y(τ, ε)‖,
где λ = ‖PQ∗
r
`K[∗](·)‖. Согласно формуле конечных приращений
‖R1(z0 + x, ε)−R1(z0 + y, ε)‖ =
∥∥∥∥∥ ∂R1(z, ε)
∂z
∣∣∣∣
z=ξ2(τ,ε)
(x− y)
∥∥∥∥∥ .
Производная R′
1z
(ξ2(τ, ε), ε) представляет собой производную вектор-функции
R1(z(τ, ε), ε) в некоторой точке ξ2(τ, ε) отрезка, соединяющего точки z0(τ, c∗r−1) + x(τ, ε)
и z0(τ, c∗r−1) + y(τ, ε). При условии ‖x‖, ‖y‖ ≤ ρ, ε ∈ [0, ε0] эта производная бесконечно
мала, следовательно, в некоторой точке ε2 отрезка [0, ε0] имеет место представление
‖R1(z0 + x, ε)−R1(z0 + y, ε)‖ =
∥∥∥∥∥∥ ∂2R1(z, ε)
∂z ∂ε
∣∣∣∣
z=ξ2(τ,ε)
ε=ε2
ε(x− y)
∥∥∥∥∥∥ .
Таким образом,
‖Φ3x(τ, ε)− Φ3y(τ, ε)‖ ≤ εq
(a)
1 λσ4‖x(τ, ε)− y(τ, ε)‖.
Аналогично
‖Φ4x(τ, ε)− Φ4y(τ, ε)‖ ≤ εq
(a)
1 λρ3σ
(a)
1 ‖x(τ, ε)− y(τ, ε)‖,
‖Φ5x(τ, ε)− Φ5y(τ, ε)‖ ≤ ε‖G[∗; 0](τ)‖ ‖x(τ, ε)− y(τ, ε)‖,
значит,
‖Φ5x(τ, ε)− Φ5y(τ, ε)‖ ≤ εµ‖x(τ, ε)− y(τ, ε)‖.
Итак,
‖Φx− Φy‖ ≤ ε
{
µ + q
(a)
1
[
λaµσ
(a)
1 + λ
(
q1ρ2 + σ4 + ρ2σ
(a)
1
)]}
‖x(τ, ε)− y(τ, ε)‖,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
430 С. М. ЧУЙКО
при этом искомое значение ε∗ ≤ ε∗, где
ε∗ =
1
µ + q
(a)
1
{
λaµσ
(a)
1 + λ
[
q1ρ2 + σ4 + ρ3σ
(a)
1
]} .
Таким образом, приходим к следующему утверждению.
Теорема 4. Для каждого простого (detB0 6= 0) корня c∗ = col (c∗r−1, β
∗) уравнения
F (c∗r) = 0 задача (19), (20) имеет единственное T -периодическое решение, при ε = 0
обращающееся в нулевое. Это решение можно определить с помощью сходящегося при
ε ∈ [0, ε∗] итерационного процесса
x1(τ, ε) = Xr−1(τ)I1cr1 + x
(1)
1 (τ, ε), x
(1)
1 (τ, ε) = εG
[
f0(s, c∗r); 0
]
(τ),
cr1(ε) = −B−1
0 PQ∗
r
{
`K
[(
β∗A + A1(s)
)
x
(1)
1 (s, ε) + r(z0(s, c∗r−1) + x
(1)
1 (s, ε), ε)
]
(·)
}
,
x2(τ, ε) = Xr−1(τ)I1cr2 + x
(1)
2 (τ, ε), x
(1)
2 (τ, ε) = x
(1)
1 (τ, ε) + x
(2)
2 (τ, ε),
x
(2)
2 (τ, ε) = εG
[
Ā1(s)cr1 +
(
β∗A + A1(s)
)
x
(1)
1 (s, ε) + r(z0(s, c∗r−1) + x
(1)
1 (s, ε), ε); 0
]
(τ),
(22)
cr2(ε) = −B−1
0 PQ∗
r
{
`K
[(
β∗A + A1(s)
)
x
(1)
2 (s, ε) + r(z0(s, c∗r−1) + x
(1)
2 (s, ε), ε)
]
(·)
}
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xk+1(τ, ε) = Xr−1(τ)I1crk+1
+ x
(1)
k+1(τ, ε), x
(1)
k+1(τ, ε) = x
(1)
1 (τ, ε) + x
(2)
k+1(τ, ε),
x
(2)
k+1(τ, ε) = εG
[
Ā1(s)crk
+
(
β∗A + A1(s)
)
x
(1)
k (s, ε)+
+ r(z0(s, c∗r−1) + x
(1)
k (s, ε), ε); 0
]
(τ),
crk+1
(ε) = −B−1
0 PQ∗
r
{
`K
[(
β∗A + A1(s)
)
x
(1)
k (s, ε)+
+ r(z0(s, c∗r−1) + x
(1)
k (s, ε), ε)
]
(·)
}
, . . . , k = 1, 2, 3, . . . .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИОННОЙ ПРОЦЕДУРЫ ДЛЯ АВТОНОМНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 431
С учетом замены независимой переменной t = τ(1 + εβ(ε)) задача (15), (16) имеет един-
ственное T1(ε) = T (1+εβ(ε))-периодическое решение, при ε = 0 обращающееся в порож-
дающее z(t, 0) ≡ z0(t, c∗r), которое может найдено с помощью итерационного процесса
(22) по формуле
zk(t, ε) = z0(t, c∗r−1) + xk(t, ε), t ∈ [0, T1k
(ε)], T1k
(ε) = T (1 + εβk(ε)).
Величина βk+1(ε) представляет собой последнюю компоненту вектора crk+1
(ε).
3. Периодическая задача для уравнения Ван дер Поля. Найдем оценку ε∗ длины
отрезка [0, ε∗], на котором сохраняется сходимость итерационной процедуры (22) для по-
строения периодического решения z = z(t, ε) = col(z(a), z(b)) ∈ R2 слабонелинейной
краевой задачи
dz
dt
= Az + εZ(z, ε), (23)
которое при ε = 0 обращается в решение порождающей системы dz0/dt = Az0. Здесь
A =
[
0 1
−1 0
]
, Z(z, ε) = col
(
0,
(
1− (z(a))2
)
z(b)
)
.
Поскольку Q = `X(·) = X(0) − X(2π) = 0, имеет место критический случай; при этом
r = 2, PQ∗ = PQr = I2. Уравнение для порождающих амплитуд периодической задачи
для уравнения (23) приводит к системе
F (cr) = πcr−1
1/4
(
c2
r−1 − 4
)
2β
= 0. (24)
Первый корень c∗r−1 = 2, β∗ = 0 уравнения (24) определяет порождающее решение
z0(t, c∗r−1) = col (2 cos t,−2 sin t) , второй корень c∗r−1 = −2, β∗ = 0 — симметричное ему
решение. Третий корень c∗r−1 = 0 соответствует тривиальному порождающему реше-
нию. Первому корню уравнения (24) c∗r−1 = 2, β∗ = 0 соответствуют матрица
B0 = 2π
[
1 0
0 2
]
.
Поскольку det B0 6= 0, периодическая задача для уравнения Ван дер Поля представляет
критический случай первого порядка и, согласно теореме 4, имеет единственное нетриви-
альное T1(ε) = 2π(1 + εβ(ε))-периодическое решение. Первое приближение к искомому
периодическому решению уравнения Ван дер Поля имеет вид
z1(τ, ε) =
[
cos τ
sin τ
](
2− 5ε2
64
)
+
ε
4
[
3 sin τ − sin 3τ
3 cos τ − 3 cos 3τ
]
.
Первое приближение к искомому периоду решения этого уравнения — функция
T11(ε) = 2π
(
1 +
ε2
16
− 21ε4
512
)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
432 С. М. ЧУЙКО
Для оценки ε∗ длины отрезка [0, ε∗], на котором сохраняется сходимость итерационной
процедуры (22), положим ρ = ρ1 = 0, 1 и ε ∈ [0; 0, 1], при этом ‖za(τ, ε)‖ ≤ 2, 1. Аналогич-
но
‖1− z2
a(τ, ε)‖ ≤ 1 + ‖z2
a(τ, ε)‖ ≤ 1 +
(
‖2 cos τ‖+ ‖xa(τ, ε)‖
)2
≤ 1 + 2, 12.
Таким образом,
σ
(a)
1 ≤
[
‖ − 2za(τ, ε)zb(τ, ε)‖+ ‖1− z2
a(τ, ε)‖
]
= 14, 23.
Далее, q
(a)
1 = (2π)−1. Аналогично µ = 8π, λa = 14π; кроме того, q1 = ‖A‖ = 1, σ4 = 0.
При этом искомое значение ε∗ ≤ ε∗, где
ε∗ =
1
8π + 428, 9
≈ 0, 002 202 .
Предложенная в статье методика оценки величины ε∗ позволяет находить соответствую-
щие оценки для автономных и неавтономных краевых задач вида (1), (2) в более сложных
критических случаях, например в критическом случае второго порядка [1, 3, 4], краевых
задач с запаздывающим аргументом и различным импульсным воздействием [9].
1. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. —
Utrecht; Boston: VSP, 2004. — XIV + 317 p.
2. Гребеников Е. А., Рябов Ю. А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. — М.: Наука,
1979. — 432 с.
3. Бойчук А. А. Конструктивные методы анализа краевых задач. — Киев: Наук. думка, 1990. — 96 с.
4. Лыкова О. Б., Бойчук А. А. Построение периодических решений нелинейных систем в критических
случаях // Укр. мат. журн. — 1988. — 40, № 1. — C. 62 – 69.
5. Чуйко А. С. Область сходимости итерационной процедуры для слабонелинейной краевой задачи //
Нелiнiйнi коливання. — 2005. — 8, № 2. — С. 278 – 288.
6. Бойчук А. А., Чуйко С. М. Автономные слабонелинейные краевые задачи // Дифференц. уравнения.
— 1992. — 28, № 10. — С. 1668 – 1674.
7. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1977. — 744 с.
8. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. — М.: Гостехиздат, 1956. — 491 с.
9. Чуйко С. М. Оператор Грина краевой задачи с импульсным воздействием // Дифференц. уравнения.
— 2001. — 37, № 8. — С. 1132 – 1135.
Получено 30.12.2005
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178165 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:32:44Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Чуйко, С.М. 2021-02-18T07:46:06Z 2021-02-18T07:46:06Z 2006 Область сходимости итерационной процедуры для автономной краевой задачи / С.М. Чуйко // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 3. — С. 416-432. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178165 517.9 Знайдено оцiнку областi значень малого параметра, для яких зберiгається збiжнiсть iтерацiйної процедури для побудови розв’язкiв автономної нетерової слабконелiнiйної крайової задачi
 для системи звичайних диференцiальних рiвнянь у критичному випадку. We find an estimate for the region for values of a small parameter where the convergence of an iteration procedure for constructing solutions of an autonomous Noetherian weakly nonlinear boundary-value
 problem for a system of ordinary differential equations in the critical case is preserved. ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Область сходимости итерационной процедуры для автономной краевой задачи Область збіжності ітераційної процедури для автономної крайової задачі The region of convergence of an iteration procedure for an autonomous boundary-value problem Article published earlier |
| spellingShingle | Область сходимости итерационной процедуры для автономной краевой задачи Чуйко, С.М. |
| title | Область сходимости итерационной процедуры для автономной краевой задачи |
| title_alt | Область збіжності ітераційної процедури для автономної крайової задачі The region of convergence of an iteration procedure for an autonomous boundary-value problem |
| title_full | Область сходимости итерационной процедуры для автономной краевой задачи |
| title_fullStr | Область сходимости итерационной процедуры для автономной краевой задачи |
| title_full_unstemmed | Область сходимости итерационной процедуры для автономной краевой задачи |
| title_short | Область сходимости итерационной процедуры для автономной краевой задачи |
| title_sort | область сходимости итерационной процедуры для автономной краевой задачи |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178165 |
| work_keys_str_mv | AT čuikosm oblastʹshodimostiiteracionnoiprocedurydlâavtonomnoikraevoizadači AT čuikosm oblastʹzbížnostííteracíinoíproceduridlâavtonomnoíkraiovoízadačí AT čuikosm theregionofconvergenceofaniterationprocedureforanautonomousboundaryvalueproblem |