Динаміка взаємодії конфлікту між системами з внутрішньою структурою
Исследуется динамическая система конфликта между парой систем, каждая из которых, в свою очередь, является внутренне конфликтной. Внешний и внутренний конфликты имеют разный характер. Внешний описывается альтернативным взаимодействием неуничтожимых противников. Внутренний имеет характер борьбы ме...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2006 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178172 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Динаміка взаємодії конфлікту між системами з внутрішньою структурою / М.В. Боднарчук, В.Д. Кошманенко, І.В. Самойленко // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 4. — С. 435-450. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859648024146345984 |
|---|---|
| author | Боднарчук, М.В. Кошманенко, В.Д. Самойленко, І.В. |
| author_facet | Боднарчук, М.В. Кошманенко, В.Д. Самойленко, І.В. |
| citation_txt | Динаміка взаємодії конфлікту між системами з внутрішньою структурою / М.В. Боднарчук, В.Д. Кошманенко, І.В. Самойленко // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 4. — С. 435-450. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Исследуется динамическая система конфликта между парой систем, каждая из которых, в
свою очередь, является внутренне конфликтной. Внешний и внутренний конфликты имеют
разный характер. Внешний описывается альтернативным взаимодействием неуничтожимых
противников. Внутренний имеет характер борьбы между взаимно связанными популяциями
разных биологических видов (модель типа „хищник-жертва”). Построена компьютерная модель такой системы, получен ряд иллюстрированного графиками типового поведения, которое можно интерпретировать, в частности, как миграцию рабочей силы и инвестиций между
странами.
We study a dynamic system of conflict between a pair of systems each of which, in its turn, has in internal
conflict. The external and internal conflicts have different natures. The external conflict is described as
an alternative interaction between nonannulling adversaries. The internal conflict is similar to a conflict
between interrelated populations of different biological nature (the “predator-pray” model). We construct
a computer model of such a system, and obtain typical behaviors, illustrated with diagrams, which can be
interpreted as migration of the labor and the investment flow between countries.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:30:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517 . 9
ДИНАМIКА ВЗАЄМОДIЇ КОНФЛIКТУ МIЖ СИСТЕМАМИ
З ВНУТРIШНЬОЮ СТРУКТУРОЮ*
М. В. Боднарчук, В. Д. Кошманенко, I. В. Самойленко
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ 4, вул. Терещенкiвська, 3
We study a dynamic system of conflict between a pair of systems each of which, in its turn, has in internal
conflict. The external and internal conflicts have different natures. The external conflict is described as
an alternative interaction between nonannulling adversaries. The internal conflict is similar to a conflict
between interrelated populations of different biological nature (the “predator-pray” model). We construct
a computer model of such a system, and obtain typical behaviors, illustrated with diagrams, which can be
interpreted as migration of the labor and the investment flow between countries.
Исследуется динамическая система конфликта между парой систем, каждая из которых, в
свою очередь, является внутренне конфликтной. Внешний и внутренний конфликты имеют
разный характер. Внешний описывается альтернативным взаимодействием неуничтожимых
противников. Внутренний имеет характер борьбы между взаимно связанными популяциями
разных биологических видов (модель типа „хищник-жертва”). Построена компьютерная мо-
дель такой системы, получен ряд иллюстрированного графиками типового поведения, кото-
рое можно интерпретировать, в частности, как миграцию рабочей силы и инвестиций между
странами.
1. Вступ. Математичну версiю конфлiктної взаємодiї в моделi типу „хижак-жертва” було
запропоновано в роботах Лотки та Вольтерри ще на початку ХХ столiття [1, 2]. Ця мо-
дель у рiзних модифiкацiях i досi є однiєю з основних у математичнiй бiологiї, демографiї,
екологiї та економiцi (див., наприклад, [3 – 11]). На цiй моделi ґрунтується не лише тео-
рiя популяцiй, але i велика кiлькiсть сучасних дослiджень у задачах оптимiзацiї, перед-
бачень i навiть процесiв глобалiзацiї. Звичайно, дослiджуються моделi в неперервному
часi. Досить популярною є логiстична модель, а також модель Рiкера [10]. Зазначимо,
що в бiльшостi робiт вивчається конфлiктна взаємодiя „хижак-жертва” в фiксованому
регiонi. Можливiсть мiграцiї з одного регiону в iнший, як правило, не припускається. Хо-
ча в деяких роботах [9, 10] розглядаються моделi з випадковою мiграцiєю (мiграцiя без
фiксованої стратегiї).
В данiй роботi побудовано складну модель конфлiктної взаємодiї, в якiй використано
двi найменш дослiдженi постановки задачi в пiдходi Лотки – Вольтерри. А саме, описано
процес мiграцiї з фiксованою стратегiєю в дискретному часi.
Зауважимо, що процеси в дискретному часi є цiлком природними в багатьох випадках.
Зокрема, народження та смерть iндивiдiв описуються не в неперервному часi, а в дис-
кретному. А мiграцiйнi процеси (тварин або робочої сили), звичайно, не є випадковими,
а обумовленi стратегiчними законами (планетарного характеру чи свiтової економiки).
Основною метою бiльшостi робiт є аналiтичний та графiчний опис популяцiй, пошук
стабiльних (нерухомих) точок та циклiчних траєкторiй, аналiз їх стiйкостi, знаходження
* Частково пiдтримано проектами DFG 436 UKR 113/67, 113/78 та INTAS 00-257.
c© М. В. Боднарчук, В. Д. Кошманенко, I. В. Самойленко, 2006
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 435
436 М. В. БОДНАРЧУК, В. Д. КОШМАНЕНКО, I. В. САМОЙЛЕНКО
точок бiфуркацiй та аналiз залежностi конкретних еволюцiй вiд параметрiв у вiдповiдних
рiвняннях.
Опишемо коротко постановку задачi, яку ми дослiджуємо. Будемо розглядати склад-
ну систему, яка мiстить двi пiдсистеми: A та B. Кожна з пiдсистем — це скiнченний набiр
невiд’ємних чисел: P = (P1, . . . , PN ) для A та R = (R1, . . . , RN ) для B, де N — кiль-
кiсть координат, якi вiдповiдають кiлькостi конфлiктних позицiй. Отже, еволюцiя склад-
ної системи описується двома послiдовностями векторiв iз невiд’ємними координатами:
Pn = (P (n)
1 , . . . , P
(n)
N ) для A та Rn = (R(n)
1 , . . . , R
(n)
N ) для B, P
(n)
i , R
(n)
i ≥ 0, де n = 1, 2, . . .
— моменти дискретного часу. Моменту n = 0 вiдповiдають початковi вектори P та R.
В загальнiй постановцi природна „мета” кожної з пiдсистем — оптимiзувати в якомусь
сенсi значення всiх своїх координат. В дiйсностi кожна координата змiнюється досить
складним чином пiд впливом подвiйної конфлiктної взаємодiї мiж пiдсистемами та всере-
динi кожної з них. Закони взаємодiї ще потрiбно задати. Таким чином, еволюцiя кожного
стану складної системи має нелiнiйну залежнiсть вiд конфлiктної взаємодiї мiж пiдсисте-
мами, введеної в наступному пунктi, та змiн конфлiктного характеру всерединi кожної
з пiдсистем, якi описуються на основi пiдходу Лотки – Вольтерри (див. п. 3). При цьому,
як звичайно, припускається, що елементи кожної з пiдсистем подiляються на два кла-
си: домiнуючi (хижаки, експлуататори) та пiдлеглi (жертви, робiтники). Отже, кожну з
координат P
(n)
i , R
(n)
i можна iнтерпретувати як кiлькiсть (популяцiю) домiнуючого або
пiдлеглого класу в позицiї i на момент часу n. Докладно математичну композицiю, яка
визначає еволюцiю координат у кожнiй iз пiдсистем, описано в п. 3 (див. формули (3.1) –
(3.3)). При цьому використано вiдому концепцiю рiзницевого варiанту рiвняння Лотки –
Вольтерри. Повну математичну композицiю конфлiктної взаємодiї введено у припущен-
нi, що зовнiшня взаємодiя мiж пiдсистемами має характер альтернативного конфлiкту
мiж незнищенними системами, який дослiджено в роботах [12 – 18]. Власне, задача поля-
гає в дослiдженнi складної динамiчної системи, що виникає у просторi RN
+ ×RN
+ , на основi
композицiї мiж векторами з RN
+ , заданими формулами (3.2), (3.3).
У п. 4, який мiстить основнi результати роботи, дослiджено динамiку цiєї системи з
використанням методу комп’ютерного моделювання. При цьому виявлено ряд цiкавих
феноменiв. У цiй роботi ми акцентуємо увагу лише на одному спостереженнi, а саме, по-
мiчаємо, що при певному пiдборi початкових даних складна система починає пульсувати
i притягуватися до iнварiантної множини, що утворює циклiчну траєкторiю. Має мiсце
стiйкiсть цього граничного циклу. Отже, вiн є атрактором.
В п. 5 запропоновано iнтерпретацiю даної моделi в термiнах мiграцiйних процесiв.
2. Взаємодiя альтернативного конфлiкту мiж незнищенними системами. В цьому
пунктi вивчається динамiка дискретного конфлiкту мiж незнищенними противниками чи
опонентами; ми називаємо їх системами (докладнiше див. [12 – 18]).
Закон конфлiктної взаємодiї має характер iмовiрнiсної альтернативної присутностi
опонента в кожнiй iз спiрних позицiй. Тобто в кожнiй позицiї в кожен момент часу може
бути тiльки одна iз систем лише з деякою ймовiрнiстю. А priori системи iснують завжди
з iмовiрнiстю одиниця. В цьому сенсi вони є незнищенними.
Опишемо в явнiй формi цей закон.
Нехай Ω = {ω1, . . . , ωN}, N ≥ 2, — скiнченна множина позицiй, якi претендує зайняти
(окупувати) кожна з альтернативних систем (противникiв) A та B. Повна ймовiрнiсть
наявностi в Ω кожної з систем є сталою: PA(Ω) = PB(Ω) = 1. Початковий стан задається
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
ДИНАМIКА ВЗАЄМОДIЇ КОНФЛIКТУ МIЖ СИСТЕМАМИ З ВНУТРIШНЬОЮ СТРУКТУРОЮ 437
довiльним розподiлом iмовiрностей наявностi систем A та B в рiзних позицiях:
PA(ωi) = pi ≥ 0, PB(ωi) = ri ≥ 0, i = 1, . . . , N,
N∑
i=1
pi = 1 =
N∑
i=1
ri.
Суть взаємодiї альтернативного конфлiкту полягає у фiзичнiй неможливостi окупувати
довiльну спiрну позицiю ωi противниками A та B одночасно. Це призводить до певної
боротьби мiж системами, в результатi якої в момент часу t = 1 вiдбувається перерозподiл
початкових iмовiрностей p
(0)
i := pi, r
(0)
i := ri, де нуль вiдповiдає моменту часу t = 0.
Взагалi, закон перерозподiлу є невiдомим. Для визначення нових значень iмовiрностей
наявностi p
(1)
i , r
(1)
i будемо використовувати формули
p
(1)
i =
p
(0)
i (1− αr
(0)
i )
1− α
N∑
i=1
p
(0)
i r
(0)
i
, r
(1)
i =
r
(0)
i (1− αp
(0)
i )
1− α
N∑
i=1
p
(0)
i r
(0)
i
, (2.1)
де коефiцiєнт α 6= 0, −1 ≤ α ≤ 1, характеризує iнтенсивнiсть взаємодiї. Цей закон
композицiї є, очевидно, нелiнiйним i некомутативним.
У термiнах стохастичних векторiв p0 = (p(0)
1 , . . . , p
(0)
N ), r0 = (r(0)
1 , . . . , r
(0)
N ) (тобто век-
торiв з одиничною l1-нормою) описану композицiю альтернативного конфлiкту позна-
чаємо символом ∗ i записуємо у виглядi
p1 = p0 ∗ r0, r1 = r0 ∗ p0,
де новi стохастичнi вектори p1, r1 мають координати (2.1). Аналогiчно визначаються на-
ступнi результати конфлiктної взаємодiї в моменти часу t = 2, 3, .... Наприклад, на n-му
кроцi одержуємо вектори
pn = pn−1 ∗ rn−1, rn = rn−1 ∗ pn−1
з координатами
p
(n)
i =
p
(n−1)
i (1− αr
(n−1)
i )
zn
, r
(n)
i =
r
(n−1)
i (1− αp
(n−1)
i )
zn
, (2.2)
де нормуючий коефiцiєнт zn = 1 − α(pn−1, rn−1) визначається умовою незнищенностi:
||pn||l1 = ||rn||l1 = 1, (·, ·) позначає скалярний добуток в RN .
Динамiку альтернативного конфлiкту мiж довiльною парою стохастичних векторiв
p, r ∈ Rn
+ дослiджено досить детально в роботах [12 – 15] (див. також [16 – 18]). Наведемо
вiдповiднi результати у виглядi теорем.
Теорема 2.1. Для кожної пари стохастичних векторiв p, r ∈ RN
+ , 0 < (p, r) (за ви-
нятком випадку p
(0)
i = r
(0)
i = 1, i = 1, ..., N) та фiксованого параметра iнтенсивностi
взаємодiї α 6= 0, −1 ≤ α ≤ 1, з умовою α 6= 1
(p, r)
iснують границi
p∞ = lim
n→∞
pn, r∞ = lim
n→∞
rn.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
438 М. В. БОДНАРЧУК, В. Д. КОШМАНЕНКО, I. В. САМОЙЛЕНКО
При цьому граничний стан {p∞, r∞} є iнварiантним вiдносно конфлiктної взаємодiї:
p∞ = p∞>r∞, r∞ = r∞>p∞.
Бiльш того,
p∞ ⊥ r∞, якщо p 6= r та 0 < α ≤ 1,
p∞ = r∞ в усiх iнших випадках.
На рис. 1 наведено типовий варiант динамiки альтернативного конфлiкту з трьома
спiрними позицiями.
Щоб описати граничнi розподiли ймовiрностей p
(∞)
i , r
(∞)
i у випадку взаємодiї вiдштов-
хування при 0 < α ≤ 1, введемо деякi позначення. Для фiксованої пари початкових неор-
тогональних i нетотожних стохастичних векторiв p, r ∈ RN
+ введемо рiзницi координат:
di := pi − ri, i = 1, . . . , N. Далi, серед усiх спiрних позицiй видiлимо три пiдмножини:
Ω+ := {ωi|i ∈ N+}, Ω− := {ωi|i ∈ N−} та Ω0 := {ωi|i ∈ N0},
де
N+ := {i : di > 0}, N− := {i : di < 0} та N0 := {i : di = 0}.
Позначимо
D+ :=
∑
i∈N+
di, D− :=
∑
i∈N−
di.
Внаслiдок стохастичностi векторiв p та r маємо
D+ + D− =
n∑
i=1
pi −
n∑
i=1
ri = 0.
Тому можна ввести D := D+ = −D−.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
ДИНАМIКА ВЗАЄМОДIЇ КОНФЛIКТУ МIЖ СИСТЕМАМИ З ВНУТРIШНЬОЮ СТРУКТУРОЮ 439
Рис. 1. Типовий варiант динамiки альтернативного конфлiкту з трьома позицiями, початковий
стан системи p0 = (0, 5; 0, 3; 0, 2), r0 = (0, 48; 0, 34; 0, 18), iнтенсивнiсть конфлiктної взає-
модiї α = 1, граничний стан системи p∞ = (0, 33; 0; 0, 67), r∞ = (0; 1; 0).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
440 М. В. БОДНАРЧУК, В. Д. КОШМАНЕНКО, I. В. САМОЙЛЕНКО
Теорема 2.2. Нехай (p, r) 6= 0,p 6= r. Тодi для довiльної iнтенсивностi взаємодiї 0 <
< α ≤ 1 координати граничних векторiв p∞, r∞ мають такий розподiл:
p∞i =
di
D
, i ∈ N+,
0 в усiх iнших випадках,
r∞i =
−di
D
, i ∈ N−,
0 в усiх iнших випадках.
Вiдзначимо цiкавий факт. Обидвi системи в результатi альтернативного конфлiкту
неминуче втрачають усi свої позицiї (навiть з ненульовою ймовiрнiстю наявностi!), де на
початку був паритет, p
(0)
i = r
(0)
i . Тобто p
(∞)
i = r
(∞)
i = 0 для усiх i ∈ N0.
Виявляється, що у випадку притягальної взаємодiї −1 ≤ α < 0 на межi при n = ∞
супротивники досягають паритету з усiх спiрних позицiй. Тому граничнi вектори p∞ та
r∞ є рiвними. Але питання про те, якi саме координати на межi є ненульовими, є досить
складним. Воно дослiджено лише у випадку α = −1 (див. [15]). Сформулюємо вiдповiд-
ний результат.
Позначимо S0 := {k|p∞k = r∞k = 0} i S∞ := {1, . . . , n} \ S0.
Теорема 2.3. У випадку чисто притягальної взаємодiї α = −1 граничнi вектори p∞
та r∞ є рiвними i їх координати мають такий розподiл:
p∞i = r∞i =
1
m
, i ∈ S∞,
0 в усiх iнших випадках,
де m = |S∞| — кiлькiсть елементiв у множинi S∞.
Зауважимо, що координати p∞k , r∞k можуть бути нульовими, навiть якщо pk 6= 0 та
rk 6= 0. Це трапляється, наприклад, якщо iснує позицiя ωi така, що
pi + ri ≥ pk + rk та piri > pkrk.
Тобто в цьому випадку k ∈ S0. Бiльш того, p∞k = r∞k = 0 i тодi, коли iснує i таке, що
pi + ri < pk + rk, piri > pkrk, але 2pkrk + pk + rk ≤ 2piri + pi + ri.
Отже, коли взаємодiя є притягальною, деякi позицiї з ненульовою стартовою ймовiрнiс-
тю присутностi також можуть втрачатися обома опонентами. Питання про повний опис
таких позицiй для довiльного значення −1 ≤ α < 0 залишається вiдкритим.
3. Пiдхiд Лотки – Вольтерри. В попередньому пунктi координати векторiв p0 ≡ P та
r0 ≡ R, якi вiдповiдають пiдсистемам A та B, змiнювались внаслiдок взаємодiї альтерна-
тивного конфлiкту. Тут ми вводимо додаткову конфлiктну взаємодiю мiж координатами
всерединi кожної пiдсистеми. Ця взаємодiя належить до моделi типу „хижак-жертва”.
Нагадаємо коротко її суть. В основу покладемо вiдоме рiвняння Лотки – Вольтерри
вигляду
dN
dt
= αN − βN2, (3.1)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
ДИНАМIКА ВЗАЄМОДIЇ КОНФЛIКТУ МIЖ СИСТЕМАМИ З ВНУТРIШНЬОЮ СТРУКТУРОЮ 441
де параметри α, β є додатними. В багатьох застосуваннях функцiя N(t) описує популя-
цiю довiльного бiологiчного виду. В теорiї конфлiктiв, коли стикаються iнтереси щонай-
менше двох видiв (типовим прикладом є модель типу „хижак-жертва” (докладнiше див.,
наприклад, [3])), використовується система рiвнянь вигляду
dN1
dt
= α1N1 − β1N2N1 − γ1N
2
1 ,
(3.2)
dN2
dt
= −α2N2 + β2N1N2 − γ2N
2
2 ,
де N1 — кiлькiсть жертв, N2 — кiлькiсть хижакiв, параметри α1, α2 > 0 визначають вiль-
ну динамiку вiдповiдної популяцiї (експоненцiальне зростання чи затухання), коефiцiєнти
β1, β2 > 0 — вплив одного виду на iнший, а коефiцiєнти γ1, γ2 > 0 — вплив самої популя-
цiї на себе. Якiсний аналiз динамiчної системи, породженої рiвняннями (3.2), проводився
в багатьох роботах (див., наприклад, [4 – 11] та бiблiографiю в [3]).
У випадку дискретного часу рiвняння (3.2) набирають вигляду
P
(n)
1 = P
(n−1)
1 + P
(n−1)
1 (a− bP
(n−1)
2 − cP
(n−1)
1 ),
(3.3)
P
(n)
2 = P
(n−1)
2 + P
(n−1)
2 (−d + eP
(n−1)
1 − fP
(n−1)
2 ),
де функцiї N1, N2 замiнено на першi двi координати вектора P в момент часу n. Анало-
гiчнi рiвняння потрiбно записати i для вектора R. Тут ми спрощуємо ситуацiю i припус-
каємо, що iснують лише двi альтернативнi позицiї у кожної з пiдсистем. Моделювання
систем з бiльшою, нiж два, кiлькiстю координат призводить до значних ускладнень i по-
требує додаткового аналiзу.
Роль коефiцiєнтiв a, b, c, d, e, f вiдома та досить повно описана в [3, 7]. Зокрема, кое-
фiцiєнти a, d зумовлюють вiльне зростання популяцiї жертв (координата P1) та хижакiв
(координата P2). Коефiцiєнт b характеризує зменшення кiлькостi жертв при збiльшеннi
хижакiв, a коефiцiєнт e — збiльшення хижакiв при збiльшеннi жертв. Останнi коефiцi-
єнти c, f в кожному з рiвнянь вiдповiдають за самообмеження росту кожної популяцiї.
Iншими словами, популяцiя „тисне” сама на себе, не дозволяючи необмеженого розмно-
жування, внаслiдок iснування граничної щiльностi насичення життєвого простору.
Вiдомо, що система рiвнянь (3.3), звичайно, має щонайменше три iнварiантнi точки
(точки рiвноваги): тривiальну (0, 0), осьову (a/b, 0) та внутрiшню з додатними координа-
тами (
a
b
− b
c
ae− cd
be + cf
,
ae− cd
be + cf
)
. (3.4)
Iнварiантну точку рiвноваги називають стiйкою, якщо iснує її окiл такий, що при виходi
з будь-якої точки цього околу координати системи наближаються з часом до координат
точки рiвноваги. Це може вiдбуватися як монотонно, так i асимптотично у формi затуха-
ючих коливань.
Зазначимо, що за умови iснування стiйких iнварiантних точок коефiцiєнти a, b, c, d, e, f
повнiстю визначають поведiнку системи. Однак якщо iнварiантнi точки рiвноваги не стiй-
кi, то еволюцiя системи може бути досить складною. В залежностi вiд того, як близько
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
442 М. В. БОДНАРЧУК, В. Д. КОШМАНЕНКО, I. В. САМОЙЛЕНКО
розташованi початковi данi Pi, Ri до координат точок рiвноваги, система може описувати
принципово рiзнi траєкторiї (див., наприклад, [19]).
У випадку складного конфлiкту роль усiх цих коефiцiєнтiв зберiгається, але їх вплив
на поведiнку системи ускладнюється. Наша задача полягає у дослiдженнi цих кореляцiй.
При цьому, як уже зазначалося, поряд iз точками стабiлiзацiї ми виявили такi значення
коефiцiєнтiв, при яких система коливається по деяких замкнених циклах.
4. Модель конфлiктної взаємодiї мiж складними системами. В цьому пунктi ми буду-
ємо складну динамiчну систему (модель), яка описує конфлiктну взаємодiю мiж парою
пiдсистем, кожна з яких, у свою чергу, мiстить внутрiшнiй конфлiкт мiж своїми елемен-
тами. Для спрощення будемо припускати, що структура пiдсистем є iдентичною. Отже,
ми беремо двi копiї моделi типу „хижак-жертва” в дискретному часi (див. (3.3)) i вводи-
мо мiж ними взаємодiю альтернативного конфлiкту мiж незнищенними супротивниками
з iнтенсивнiстю α, як описано в п. 2. Зрозумiло, що в такiй ситуацiї „спектр” еволюцiй
може бути досить багатим.
У цiй роботi на основi комп’ютерного моделювання одержано якiсну характеристику
поведiнки вiдповiдної динамiчної системи лише для деякого вибору параметрiв a, b, c, d, e,
f, α та певних значень початкових координат Pi, Ri.
У загальному випадку ми плануємо дослiдити динамiчну систему, стан якої фiксується
парою векторiв Pn = (P (n)
1 , . . . , P
(n)
N ),Rn = (R(n)
1 , . . . , R
(n)
N ) з невiд’ємними координата-
ми, де n = 0, 1, . . . — дискретний час, N ≥ 2 — кiлькiсть альтернативних позицiй конф-
лiкту. Але тут ми розглядаємо найпростiшу ситуацiю, коли кожна пiдсистема описується
лише двома координатами, якi характеризують популяцiї видiв типу жертви та хижака.
Вiдображення (
Pn
Rn
)
F−→
(
Pn+1
Rn+1
)
, n = 0, 1, . . . ,
яке породжує динамiчну систему i вiдповiдає складнiй конфлiктнiй взаємодiї, насправдi є
композицiєю декiлькох математичних перетворень F = N−1 ∗ NU . Опишемо їх послi-
довно в явному виглядi.
Перетворення U описує взаємодiю мiж елементами в кожнiй пiдсистемi окремо згiдно
з моделлю „хижак-жертва”. Вiдповiдна математична композицiя векторiв {P0,R0} U−→
U−→ {P̃0, R̃0} описується двома системами рiвнянь вигляду (3.3):
P̃
(0)
1 = P
(0)
1 + P
(0)
1 (a− bP
(0)
2 − cP
(0)
1 ),
P̃
(0)
2 = P
(0)
2 + P
(0)
2 (−d + eP
(0)
1 − fP
(0)
2 )
та
R̃
(0)
1 = R
(0)
1 + R
(0)
1 (a− bR
(0)
2 − cR
(0)
1 ),
R̃
(0)
2 = R
(0)
2 + R
(0)
2 (−d + eR
(0)
1 − fR
(0)
2 ),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
ДИНАМIКА ВЗАЄМОДIЇ КОНФЛIКТУ МIЖ СИСТЕМАМИ З ВНУТРIШНЬОЮ СТРУКТУРОЮ 443
де перехiд до нових значень координат позначено тильдою i не змiнено верхнiй iндекс, на
вiдмiну вiд (3.3).
Для виконання перетворення, яке вiдповiдає взаємодiї альтернативного конфлiкту ∗
(див. (2.1)) мiж двома пiдсистемами, необхiдно спочатку перенормувати вектори
P̃0 = (P̃ (0)
1 , P̃
(0)
2 ), R̃0 = (R̃(0)
1 , R̃
(0)
2 )
таким чином, щоб вони стали стохастичними. Ми перенормовуємо цi вектори N{P̃0,
R̃0} = {p0, r0} таким чином, що координати стохастичних векторiв p0, r0 визначаються
формулами
p
(0)
1 =
P̃
(0)
1
z̃
(0)
P
, p
(0)
2 =
P̃
(0)
2
z̃
(0)
P
,
r
(0)
1 =
R̃
(0)
1
z̃
(0)
R
, r
(0)
2 =
R̃
(0)
2
z̃
(0)
R
,
де
z̃
(0)
P = P̃
(0)
1 + P̃
(0)
2 , z̃
(0)
R = R̃
(0)
1 + R̃
(0)
2 .
Далi вiдбувається взаємодiя альтернативного конфлiкту мiж пiдсистемами, згiдно з фор-
мулою (2.1):
p
(1)
j =
p
(0)
j (1− αr
(0)
j )
1− α
2∑
i=1
p
(0)
i r
(0)
i
, r
(1)
j =
r
(0)
j (1− αp
(0)
j )
1− α
2∑
i=1
p
(0)
i r
(0)
i
, j = 1, 2.
I нарештi, необхiдно повернутись до ненормованих векторiв, якi характеризують кiлькiс-
но популяцiї в кожному з регiонiв пiсля першого кроку внутрiшнього та зовнiшнього
конфлiктiв N−1{p1, r1} = {P1,R1}. Отже, в момент n = 1 одержуємо вектори
P1 = (P (1)
1 , P
(1)
2 ), R1 = (R(1)
1 , R
(1)
2 ),
де
P
(1)
j = p
(1)
j z̃
(0)
P , R
(1)
j = r
(1)
j z̃
(0)
R , j = 1, 2.
Таким чином, ми детально визначили математичну композицiю F = [N−1 ∗ N ]U , яка
описує подвiйну конфлiктну взаємодiю елементiв двох пiдсистем.
У розглядуваному випадку для знаходження iнварiантних точок рiвноваги необхiдно
розв’язати систему рiвнянь вiдносно P1, P2, R1, R2:
(a + 1− bR1 − cP1)(Z2 − αR2(−d + 1 + eP2 − fR2))Z1 = Z,
(−d + 1 + eP1 − fR1)(Z2 − αP2(a + 1− bR2 − cP2))Z1 = Z,
(a + 1− bR2 − cP2)(Z1 − αR1(−d + 1 + eP1 − fR1))Z2 = Z,
(−d + 1 + eP2 − fR2)(Z1 − αP1(a + 1− bR1 − cP1))Z2 = Z,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
444 М. В. БОДНАРЧУК, В. Д. КОШМАНЕНКО, I. В. САМОЙЛЕНКО
де
Z1 = P1(a + 1− bR1 − cP1) + R1(−d + 1 + eP1 − fR1),
Z2 = P2(a + 1− bR2 − cP2) + R2(−d + 1 + eP2 − fR2),
Z = Z1Z2 − α[P1P2(a + 1− bR2 − cP2)(a + 1− bR1 − cP1)+
+R1R2(−d + 1 + eP1 − fR1)(−d + 1 + eP2 − fR2)].
Зауважимо, що при α = 0 ми отримуємо чисту модель Лотки – Вольтерри i вiдповiдну
систему рiвнянь, розв’язком якої, звичайно, є три точки рiвноваги, згаданi в п. 3.
Зрозумiло, що у випадку α 6= 0 ця система є досить складною для того, щоб одержати
точний розв’язок. Але, використовуючи комп’ютерне моделювання, можна наблизитися
до її розв’язку з будь-якою точнiстю. На цьому шляху ми отримали цiкавi спостереження.
Зокрема, ми виявили iснування iнварiантних точок рiвноваги та стiйких циклiчних
орбiт для цiлого ряду значень параметрiв та початкових даних (див. рис. 2 – 5).
Крiм того, виявилось, що так звана позитивна внутрiшня iнварiантна точка рiвноваги
(звичайно, вона iснує для кожної системи та може бути знайдена за формулою (3.4)) зсу-
вається при введеннi конфлiктної взаємодiї мiж системами. В дискретнiй моделi
Лотки – Вольтерри рiвновага вiдбувається в точцi P1 = 32, P2 = 4. Тобто ця точка є
iнварiантною в часi. Це легко перевiрити, пiдставивши наведенi значення координат у
вiдповiднi рiвняння. При комп’ютерному моделюваннi також не виникає нiякої динамiки
— початковi значення залишаються незмiнними в дискретному часi.
У випадку ж введення конфлiктної взаємодiї (рис. 5) при тих же значеннях параметрiв
моделi та константи iнтенсивностi взаємодiї α = 0, 01 iнварiантна точка рiвноваги змiнює
свої координати: P1 = R1 = 32, 200863, P2 = R2 = 4, 087615. Саме при цих початкових
даних комп’ютерна модель не має динамiки.
Знайти цю точку легко, якщо покласти початковi данi в кожнiй iз двох систем рiв-
ними. У цьому випадку системи коливаються синхронно i, як i у випадку чистої моделi
Лотки – Вольтерри, з’являється стабiлiзацiя, але при цьому вiдбувається зсув точки рiв-
новаги, як зазначено вище.
Таким чином, одержуємо цiкавий феномен. Якщо ми маємо деяку систему типу „хи-
жак-жертва” та хочемо якось змiнити популяцiю її видiв, ми вводимо одночасно „пара-
лельну” подiбну систему i застосовуємо мiж ними конфлiктну взаємодiю альтернативно-
го конфлiкту. Тодi з необхiднiстю з’являється певний зсув iнварiантної точки рiвноваги.
Можна очiкувати ще бiльш значного зсуву цiєї точки в „ансамблi”, що складається з яко-
їсь кiлькостi iдентичних систем типу Лотки – Вольтерри. Отже, ми виявили ефект зсуву
iзольованої iнварiантної точки рiвноваги при об’єднаннi окремих iдентичних систем типу
моделi Лотки – Вольтерри в ансамбль.
Але ця точка є нестабiльною — будь-яка незначна змiна початкових даних призводить
до того, що траєкторiя системи з часом вiддаляється вiд точки рiвноваги.
Найбiльш цiкаве спостереження стосується наявностi циклiчних орбiт. Нагадаємо, що
в моделях Лотки – Вольтерри з дискретним часом циклiчнi орбiти не iснують. Але при
„вмиканнi” зовнiшнього конфлiкту мiж пiдсистемами динамiчна система описує траєкто-
рiю, яка наближається з часом до циклiчної орбiти. При цьому можна стартувати як iз
зовнiшньої, так i з внутрiшньої областi вiдносно цiєї цiклiчної орбiти, i навiть з будь-якої
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
ДИНАМIКА ВЗАЄМОДIЇ КОНФЛIКТУ МIЖ СИСТЕМАМИ З ВНУТРIШНЬОЮ СТРУКТУРОЮ 445
Рис. 2. Модель Лотки – Вольтерри з дискретним часом та конфлiктною взаємодiєю мiж
складними системами при a = 0, 2, b = 0, 006, c = 0, 002, d = 0, 008, e = 0, 002,
f = 0, α = 0, 01, P
(0)
1 = 3, P
(0)
2 = 7, R
(0)
1 = 5, R
(0)
2 = 10.
Рис. 3. Фазовий простiр (P
(n)
1 , P
(n)
2 ).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
446 М. В. БОДНАРЧУК, В. Д. КОШМАНЕНКО, I. В. САМОЙЛЕНКО
Рис. 4. Стабiльнi коливання моделi Лотки – Вольтерри з дискретним часом та конфлiктною
взаємодiєю мiж складними системами пiсля 70 000 крокiв iтерацiї.
Рис. 5. Фазовий простiр (P
(n)
1 , P
(n)
2 ) пiсля 70 000 крокiв iтерацiї (A — нестабiльна точка рiвно-
ваги з координатами 4,087615; 32,200863).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
ДИНАМIКА ВЗАЄМОДIЇ КОНФЛIКТУ МIЖ СИСТЕМАМИ З ВНУТРIШНЬОЮ СТРУКТУРОЮ 447
точки, близької до нестабiльної iнварiантної точки рiвноваги. Таким чином, циклiчна ор-
бiта є атрактором. На рис. 6, 7 зображено траєкторiї моделi, яка стартує в точцi P (0)
1 = 32,
P
(0)
2 = 4. Як зазначалося вище, у випадку чистої моделi Лотки – Вольтерри за таких по-
чаткових даних динамiки взагалi немає. У випадку ж моделi з конфлiктом мiж системами
траєкторiя наближається до циклiчної орбiти.
Коефiцiєнт iнтенсивностi взаємодiї α вiдiграє важливу роль. При малих значеннях α
iнтенсивнiсть взаємодiї мiж пiдсистемами слабка i поведiнка кожної з них узгоджується
з стандартною моделлю Лотки – Вольтерри, циклiчних траєкторiй немає. Але при збiль-
шеннi значень α виникають бiфуркацiї. А саме, при певних значеннях α = α1 з’являються
цикли малої кратностi. При подальшому збiльшеннi α до фiксованого значення α1 <
< αm < 1 з’являються новi точки бiфуркацiй. У цих точках змiнюється кратнiсть циклiч-
них траєкторiй. Зростання iнтенсивностi конфлiктної взаємодiї мiж пiдсистемами при-
зводить до збiльшення кратностi циклiчних траєкторiй. Бiльш того, при певному зна-
ченнi α = αkp з’являються цикли нескiнченної кратностi, тобто система досить швидко
стабiлiзується в тому сенсi, що її координати стають сталими, зокрема нульовими (при
цьому деякi види повнiстю зникають), навiть якщо у вiдповiдному випадку чистої моделi
Лотки – Вольтерри з α = 0 координати точки стабiльної рiвноваги були строго додат-
ними.
5. Дискусiя та iнтерпретацiя. В цьому пунктi ми пропонуємо деяку iнтерпретацiю
комп’ютерної моделi з попереднього пункту в термiнах мiграцiйних процесiв.
Зазначимо, що в багатьох роботах з математичної бiологiї та економiки (див. [3 – 11])
моделювання динамiки фiзичних процесiв проводиться за допомогою рiвнянь Лотки –
Вольтерри. При цьому, як правило, використовується неперервний час, хоча iснує неве-
лика кiлькiсть робiт (див., наприклад, [10]), в яких, зокрема, процес мiграцiї мiж окреми-
ми регiонами вiдбувається з фiксованою ймовiрнiстю, а всерединi регiонiв динамiка змiн
описується за моделлю типу Лотки – Вольтерри.
Ми по сутi також дослiджуємо модель Лотки – Вольтерри, задану в парi пiдсистем, але
в дискретному часi i з додатковою взаємодiєю мiж ними. Цю взаємодiю можна iнтерпре-
тувати як взаємозв’язок мiж мешканцями рiзних регiонiв, який породжує процес мiграцiї.
Використання дискретного часу, на наш погляд, є бiльш природним, оскiльки, наприклад,
народження та загибель iндивiдiв вiдбуваються в часi фактично дискретно.
Вiдомо, що в класичнiй моделi „хижак-жертва” в дискретному часi iснує iнварiант-
на точка стабiльної рiвноваги, до значень координат якої прямує кiлькiсть хижакiв та
жертв. Траєкторiя вiдповiдного процесу, коливаючись, наближається до цiєї точки. Таким
чином, у фазовому просторi точка рiвноваги є одноточковим атрактором. За iдеальних
умов така картина мала б спостерiгатися всерединi кожного окремого регiону — систе-
ма асимптотично наближається до певної динамiчної рiвноваги мiж кiлькiстю жертв та
хижакiв. При цьому мiграцiї немає.
Введення взаємодiї рiзними копiями моделi Лотки – Вольтерри ми iнтерпретуємо як
боротьбу за життєвий простiр мiж мешканцями рiзних регiонiв. Вiдповiдна змiна пове-
дiнки траєкторiй може трактуватися як мiграцiйний процес. Зокрема, така бiльш склад-
на модель може не мати iнварiантної точки рiвноваги — кiлькiсть хижакiв та жертв у
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
448 М. В. БОДНАРЧУК, В. Д. КОШМАНЕНКО, I. В. САМОЙЛЕНКО
Рис. 6. Модель Лотки – Вольтерри з дискретним часом та конфлiктною взаємодiєю мiж склад-
ними системами при a = 0, 2, b = 0, 006, c = 0, 002, d = 0, 008, e = 0, 002, f = 0,
α = 0, 01, P
(0)
1 = 32, P
(0)
2 = 4.
Рис. 7. Фазовий простiр (P
(n)
1 , P
(n)
2 ).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
ДИНАМIКА ВЗАЄМОДIЇ КОНФЛIКТУ МIЖ СИСТЕМАМИ З ВНУТРIШНЬОЮ СТРУКТУРОЮ 449
кожному регiонi постiйно коливається. Натомiсть виникає циклiчний атрактор, до якого
наближається траєкторiя процесу у фазовому просторi.
Взаємодiя в складнiй системi на кожному дискретному кроцi складається, на вiдмiну
вiд класичної моделi Лотки – Вольтерри, з двох перетворень. Спочатку мiж собою взає-
модiють мешканцi кожного окремого регiону згiдно з моделлю Лотки – Вольтерри. Ре-
гiону вiдповiдає вектор з координатами, рiвними популяцiям якогось виду (жертви чи хи-
жака). Потiм кожен iз векторiв нормується за сумарною кiлькiстю усiх мешканцiв регiо-
ну (вектори стають стохастичними, тобто нормованими на одиницю). Далi вiдбувається
взаємодiя альтернативного конфлiкту мiж регiонами. Природний простiр для iснування
є спiльним для усiх, i тому iснує глобальна боротьба за цей простiр, зокрема, мiж рiзними
регiонами як окремими супротивниками (хоча всерединi вони вже конфлiктнi згiдно з мо-
деллю Лотки – Вольтерри). I нарештi, потрiбно знайти реальну кiлькiсть (видiв) мешкан-
цiв у кожному регiонi. Для цього ми проводимо зворотне перенормування стохастичних
векторiв по закону пропорцiйностi до величини популяцiї до моменту включення конф-
лiкту мiж регiонами. Аналогiчнi перетворення повторюємо в кожен момент дискретного
часу.
Зауважимо, що саме друга частина цього перетворення вiдповiдає за процес пере-
розподiлу популяцiй мiж регiонами: особи якогось виду (жертви чи хижаки) мiгрують
до iншого регiону. Значенням 0 < α ≤ 1 вiдповiдає глобальна стратегiя вiдштовхуван-
ня мiж жертвами та хижаками. При цьому жертви мiгрують у регiон, де їх бiльше; хи-
жаки також перерозподiляються туди, де їх бiльше. Але в цiлому система не „розвалю-
ється”, тому що в кожному з регiонiв популяцiї видiв пiдкорюються законам моделi Лот-
ки – Вольтерри. Велика кiлькiсть жертв спонукає зростання хижакiв, а мала кiлькiсть
жертв швидко обмежує популяцiю хижакiв. Цей внутрiшнiй процес у кожному регiо-
нi динамiчно може врiвноважитись процесом мiжрегiональної мiграцiї. Вiдповiдна точка
стабiлiзацiї iснує, але вона не є стiйкою. Загальна ситуацiя описується траєкторiєю, яка
асимптотично наближається до циклiчного коливання. Так в дiйсностi „працює” ефект
запiзнення: хижаки „не знають”, що в регiонi, куди вони мiгрували, їх кiлькiсть почала
зменшуватись за законами моделi Лотки – Вольтерри, i продовжують мiгрувати в цей ре-
гiон. Аналогiчна „логiка” спостерiгається i у жертв: вони деякий час продовжують мiгру-
вати в регiон, де їхня попередня популяцiя була великою, але вже настало перенасичення
i вiдбувається швидкий спад. Цей унiверсальний принцип iнертностi породжує коливний
процес. На нескiнченностi в часi траєкторiя системи в фазовому просторi наближається
до фiксованого циклу. Його спостерiгаємо в комп’ютернiй моделi. Кратнiсть циклу зале-
жить вiд значення коефiцiєнта 0 < α ≤ 1 конфлiктної взаємодiї мiж регiонами.
Зокрема, на рис. 4 показано перiоди, коли кiлькiсть жертв у регiонi починає змен-
шуватись, хоча хижаки, не знаючи цього, збiльшують свою популяцiю. З необхiднiстю
через деякий час починається вiдтiк iндивiдiв будь-якого типу в протилежний регiон.
Отже, в розглядуванiй моделi, на вiдмiну вiд дискретної моделi Лотки – Вольтерри,
спостерiгаються циклiчнi коливання кiлькостi хижакiв та жертв, i в фазовому просторi
iснує орбiта-атрактор, до якої прямує траєкторiя процесу популяцiї, причому незалежно
вiд того, були початковi данi всерединi чи ззовнi цiєї орбiти (див. рис. 5, 7).
Варто також зазначити, що в данiй моделi нормування вiдбувається по кiлькостi меш-
канцiв регiону, тому якась з компонент стохастичного вектора може бути вiдносно вели-
кою як за рахунок того, що в регiонi велика кiлькiсть iндивiдiв цього виду, так i за рахунок
того, що регiон взагалi малонаселений. В останньому випадку мiграцiя може вiдбуватися
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
450 М. В. БОДНАРЧУК, В. Д. КОШМАНЕНКО, I. В. САМОЙЛЕНКО
в тi регiони, де популяцiя мала, але є багато „вiльного простору”.
Ми розглядали також комп’ютерну модель з притягальною взаємодiєю (−1 ≤ α < 0).
У цьому випадку ми спостерiгали схожу динамiку. Але траєкторiї процесiв допускали
iншу мiграцiйну iнтерпретацiю. А саме, мiграцiя вiдбувалася вже в той регiон, де кiль-
кiсть осiб цього виду є меншою. Така мiграцiйна стратегiя є цiлком природною в iнших
конкретних моделях, що описують локальну концентрацiю протилежних видiв в обмеже-
ному просторi.
1. Lotka A. J. Relation between birth rates and death rates // Science. — 1907. — 26. — P. 21 – 22.
2. Volterra V. Sui tentativi di applicazione della matematiche alle scienze biologicha e sociale // G. econom. —
1901. — 23. — P. 436 – 458.
3. Murray J. D. Mathematical biology. I. An introduction. — New York: Springer, 2002. — 551 p.
4. Stone L., Olinky R. Phenomena in ecological systems // Experim. Chaos: 6-th Experim. Chaos Conf. — 2003.
— P. 476 – 487.
5. Kuang Y. Basic properties of mathematical population models // J. Biomath. — 2002. — № 17. — P. 129 – 142.
6. Lonzonn Y., Solomon S., Goldenberg J., Mazarsky D. World-size global markets lead to economic instability
// Acrifit. Life. — 2003. — P. 357 – 370.
7. Kuang Y., Beretta E. Global qualitative analysis of a ratio-dependent predator-prey system // J. Math. Biol.
— 1998. — № 36. — P. 389 – 406.
8. Tufto J. Effects of releasing maladapted individuals: a demographic-evolutionary model // Amer. Natur. —
2001. — 158, № 4. — P. 331 – 340.
9. Cressman R., Krivan V., Garay J. Ideal free distributions, evolutionary games, and population dynamics in
multiple-species environement // Ibid. — 2004. — 164, № 4. — P. 473 – 489.
10. Colato A., Mizrahi S. S. Effects of random migration in population dynamics // Phys. Rev. E. — 2001. — 64.
— P. 1 – 14.
11. Bandyopadhyay M., Chattopadhayay J. Ratio-dependent predator-prey model: effects of environmantal fluc-
tuation and stability // Nonlinearity. — 2005. — № 18. — P. 913 – 936.
12. Koshmanenko V. On the conflict theorem for a pair of stochastic vectors // Ukr. Math. J. — 2003. — 55, № 4.
— P. 555 – 560.
13. Koshmanenko V. The theorem of conflict for probability measures // Math. Meth. Operat. Res. — 2004. —
59, № 2. — P. 303 – 313.
14. Боднарчук M. В., Кошманенко В. Д., Харченко Н. В. Властивостi граничних станiв динамiчної системи
конфлiкту // Нелiнiйнi коливання. — 2004. — 7, № 4. — С. 446 – 461.
15. Albeverio S., Bodnarchyk M., Koshmanenko V. Dynamics of discrete conflict interactions between non-
annihilating opponents // Math. Funct. Anal. and Top. — 2005. — 11, № 4.
16. Кошманенко В. Д., Харченко Н. В. Iнварiантнi точки динамiчної системи конфлiкту в просторi куско-
во рiвномiрно розподiлених мiр // Укр. мат. журн. — 2004. — 56, № 7. — С. 927 – 938.
17. Koshmanenko V., Kharchenko N. Spectral properties of image measures after conflict interactions // Theory
Stochast. Process. — 2004. — 10, № 3 – 4. — P. 73 – 81.
18. Albeverio S., Koshmanenko V., Pratsiovytyi M., Torbin G. Spectral properties of image measures under infi-
nite conflict interaction // Positivity. — 2006. — 10. — P. 39 – 49.
19. Sigmund K. The population dynamics of conflict and cooperation // Doc. Math. J. — 1998. — 1. — P. 487 – 506.
Одержано 12.05.2006,
пiсля доопрацювання — 29.05.2006
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178172 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:30:30Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Боднарчук, М.В. Кошманенко, В.Д. Самойленко, І.В. 2021-02-18T07:54:16Z 2021-02-18T07:54:16Z 2006 Динаміка взаємодії конфлікту між системами з внутрішньою структурою / М.В. Боднарчук, В.Д. Кошманенко, І.В. Самойленко // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 4. — С. 435-450. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178172 517.9 Исследуется динамическая система конфликта между парой систем, каждая из которых, в свою очередь, является внутренне конфликтной. Внешний и внутренний конфликты имеют разный характер. Внешний описывается альтернативным взаимодействием неуничтожимых противников. Внутренний имеет характер борьбы между взаимно связанными популяциями разных биологических видов (модель типа „хищник-жертва”). Построена компьютерная модель такой системы, получен ряд иллюстрированного графиками типового поведения, которое можно интерпретировать, в частности, как миграцию рабочей силы и инвестиций между странами. We study a dynamic system of conflict between a pair of systems each of which, in its turn, has in internal conflict. The external and internal conflicts have different natures. The external conflict is described as an alternative interaction between nonannulling adversaries. The internal conflict is similar to a conflict between interrelated populations of different biological nature (the “predator-pray” model). We construct a computer model of such a system, and obtain typical behaviors, illustrated with diagrams, which can be interpreted as migration of the labor and the investment flow between countries. Частково пiдтримано проектами DFG 436 UKR 113/67, 113/78 та INTAS 00-257. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Динаміка взаємодії конфлікту між системами з внутрішньою структурою Динаміка взаємодії конфлікту між системами з внутрішньою структурою Dynamics of conflict interaction between systems with an internal structure Article published earlier |
| spellingShingle | Динаміка взаємодії конфлікту між системами з внутрішньою структурою Боднарчук, М.В. Кошманенко, В.Д. Самойленко, І.В. |
| title | Динаміка взаємодії конфлікту між системами з внутрішньою структурою |
| title_alt | Динаміка взаємодії конфлікту між системами з внутрішньою структурою Dynamics of conflict interaction between systems with an internal structure |
| title_full | Динаміка взаємодії конфлікту між системами з внутрішньою структурою |
| title_fullStr | Динаміка взаємодії конфлікту між системами з внутрішньою структурою |
| title_full_unstemmed | Динаміка взаємодії конфлікту між системами з внутрішньою структурою |
| title_short | Динаміка взаємодії конфлікту між системами з внутрішньою структурою |
| title_sort | динаміка взаємодії конфлікту між системами з внутрішньою структурою |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178172 |
| work_keys_str_mv | AT bodnarčukmv dinamíkavzaêmodííkonflíktumížsistemamizvnutríšnʹoûstrukturoû AT košmanenkovd dinamíkavzaêmodííkonflíktumížsistemamizvnutríšnʹoûstrukturoû AT samoilenkoív dinamíkavzaêmodííkonflíktumížsistemamizvnutríšnʹoûstrukturoû AT bodnarčukmv dynamicsofconflictinteractionbetweensystemswithaninternalstructure AT košmanenkovd dynamicsofconflictinteractionbetweensystemswithaninternalstructure AT samoilenkoív dynamicsofconflictinteractionbetweensystemswithaninternalstructure |