Асимптотические представления одного класса решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка
Встановлено асимптотичнi зображення для розв’язкiв диференцiальних рiвнянь другого порядку, що мiстять у правiй частинi суму доданкiв iз нелiнiйностями бiльш загального вигляду, нiж нелiнiйностi типу Емдена – Фаулера. We find asymptotic representations for solutions of second-order differential equ...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2006 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178175 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Асимптотические представления одного класса решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка / А.А. Козьма // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 4. — С. 490-501. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859657377897250816 |
|---|---|
| author | Козьма, А.А. |
| author_facet | Козьма, А.А. |
| citation_txt | Асимптотические представления одного класса решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка / А.А. Козьма // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 4. — С. 490-501. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Встановлено асимптотичнi зображення для розв’язкiв диференцiальних рiвнянь другого порядку, що мiстять у правiй частинi суму доданкiв iз нелiнiйностями бiльш загального вигляду, нiж
нелiнiйностi типу Емдена – Фаулера.
We find asymptotic representations for solutions of second-order differential equations that have righthand sides containing nonlinearities in a form more general than Emden – Fowler type nonlinearities.
|
| first_indexed | 2025-11-30T09:21:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517 . 925
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА
РЕШЕНИЙ СУЩЕСТВЕННО НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
А. А. Козьма
Одес. эконом. у-т
Украина, 65026, Одесса, ул. Преображенская, 8
e-mail: emdenl@farlep.net
We find asymptotic representations for solutions of second-order differential equations that have right-
hand sides containing nonlinearities in a form more general than Emden – Fowler type nonlinearities.
Встановлено асимптотичнi зображення для розв’язкiв диференцiальних рiвнянь другого поряд-
ку, що мiстять у правiй частинi суму доданкiв iз нелiнiйностями бiльш загального вигляду, нiж
нелiнiйностi типу Емдена – Фаулера.
1. Формулировка основных результатов. Будем рассматривать дифференциальное урав-
нение второго порядка
y′′ =
m∑
i=1
αipi(t)[1 + ri(t)]ϕi0(y)ϕi1(y′), (1.1)
в котором αi ∈ {−1, 1}, i = 1, . . . ,m, pi : [a, ω[−→]0,+∞[, i = 1, . . . ,m,−∞ < a < ω ≤
≤ +∞, — непрерывно дифференцируемые функции (при ω = +∞ считаем, что a > 0),
ri : [a, ω[−→ R, i = 1, . . . ,m, — непрерывные функции, удовлетворяющие условиям
lim
t↑ω
ri(t) = 0, i = 1, . . . ,m, (1.2)
ϕik : ∆k −→]0,+∞[, k = 0, 1; i = 1, . . . ,m, — дважды непрерывно дифференцируемые
функции,
∆k =
либо [y0
k, Yk[,
либо ]Yk, y
0
k],
y0
k ∈ R, Yk =
{
либо 0,
либо ±∞1,
k = 0, 1, (1.3)
причем ϕik таковы, что при каждом k ∈ {0, 1}
lim
z→Yk
z∈∆k
ϕik(z) = ϕ0
ik, 0 ≤ ϕ0
ik ≤ +∞, i = 1, . . . ,m, (1.4)
и если ϕik(z) 6≡ const на промежутке ∆k, то
ϕ′ik(z) 6= 0 при z ∈ ∆k, lim
z→Yk
z∈∆k
zϕ′ik(z)
ϕik(z)
= σik = const, lim sup
z→Yk
z∈∆k
∣∣∣∣zϕ′′ik(z)
ϕ′ik(z)
∣∣∣∣ < +∞. (1.5)
1 При Yk = +∞ (Yk = −∞) считаем, что y0
k > 0 (y0
k < 0).
c© А. А. Козьма, 2006
490 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА РЕШЕНИЙ СУЩЕСТВЕННО НЕЛИНЕЙНЫХ . . . 491
Положим
πω(t) =
{
t при ω = +∞,
t− ω при ω < +∞.
Определение 1.1. Решение y уравнения (1.1), определенное на промежутке [t0, ω[⊂
⊂ [a, ω[, назовем Пω(Y0, Y1, µ0)-решением, где −∞ ≤ µ0 ≤ +∞, если оно удовлетворяет
следующим условиям:
y(k) : [t0, ω[−→ ∆k, lim
t↑ω
y(k)(t) = Yk, k = 0, 1, (1.6)
lim
t↑ω
πω(t)y′′(t)
y′(t)
= µ0 и при µ0 = +∞ lim
t↑ω
y′′(t)y(t)
[y′(t)]2
= 1. (1.7)
В работах [1 – 3] для частного случая, когда все функции ϕi1(z) тождественно равны
1 на промежутке ∆1, для каждого из возможных значений µ0 были указаны признаки,
при которых на любом Пω(Y0, Y1, µ0)-решении y правая часть уравнения (1.1) при t ↑ ω
асимптотически эквивалентна одному слагаемому αipi(t)ϕi0(y(t)), i ∈ {1, . . . ,m}. Это
позволило с использованием идей, заложенных в работах [4 – 7], установить условия су-
ществования и асимптотику при t ↑ ω таких решений. Нашей целью является получение
аналогичных результатов в случаях, когда не все ϕi1(z) тождественно равны 1 на ∆1.
При этом мы ограничимся лишь выделением и исследованием случаев, когда на любом
Пω(Y0, Y1, µ0)- решении правая часть уравнения эквивалентна при t ↑ ω слагаемому, ко-
торое принадлежит одному из четырех возможных типов.
Положим M = {1, 2, . . . ,m} и введем следующие четыре множества:
M1 =
{
i ∈ M : ϕ0
ik = const 6= 0, k = 1, 2
}
, M2 =
{
i ∈ M \M1 : ϕ0
i1 = const 6= 0
}
,
M3 =
{
i ∈ M \M1 : ϕ0
i0 = const 6= 0
}
, M4 = M \ (M1 ∪M2 ∪M3).
Кроме того, предположив, что M1 6= ∅, введем для каждого i ∈ M1 вспомогательные
функции
Ii0(t) =
t∫
Ai0
Ii1(s) ds, Ii1(t) =
t∫
Ai1
pi(s) ds,
где
Ai1 =
a, если
ω∫
a
pi(s) ds = +∞,
ω, если
ω∫
a
pi(s) ds < +∞,
Ai0 =
a, если
ω∫
a
|Ii1(s)| ds = +∞,
ω, если
ω∫
a
|Ii1(s)| ds < +∞.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
492 А. А. КОЗЬМА
Для уравнения (1.1) имеют место следующие утверждения.
Теорема 1.1. Пусть |µ0| < +∞, M1 6= ∅ и для некоторого i ∈ M1 выполняются
условия
lim
t↑ω
pj(t)
pi(t)
= 0 при j ∈ M1, j 6= i, (1.8)
lim sup
t↑ω
|πω(t)|
[
p′j(t)
pj(t)
− p′i(t)
pi(t)
]
< ξ0
ij при j ∈ M \M1, (1.9)
где
ξ0
ij =
−(1 + µ0)σj0 signπω(t), если j ∈ M2,
−µ0σj1 signπω(t), если j ∈ M3,
−[(1 + µ0)σj0 + µ0σj1] signπω(t), если j ∈ M4.
Тогда для существования Пω(Y0, Y1, µ0)-решений уравнения (1.1) необходимо и доста-
точно, чтобы
lim
t↑ω
πω(t)I ′i1(t)
Ii1(t)
= µ0, (1.10)
lim
t↑ω
αiIik(t) = Yk, αiy
0
kIik(t) > 0 при t ∈]a, ω[, k = 0, 1. (1.11)
Более того, для каждого такого решения имеют место асимптотические представле-
ния
y(k)(t) = αiϕ
0
i0ϕ
0
i1Iik(t)[1 + o(1)], k = 0, 1, при t ↑ ω. (1.12)
Теорема 1.2. Пусть M1 6= ∅ и для некоторого i ∈ M1 наряду с (1.8) выполняются
условия
lim sup
t↑ω
|πω(t)|
[
p′j(t)
pj(t)
− p′i(t)
pi(t)
]
< +∞ при j ∈ M \M1, (1.13)
σjk−2 signπω(t) < 0 при j ∈ Mk, k = 2, 3, (σj0 + σj1) signπω(t) < 0 при j ∈ M4. (1.14)
Тогда для существования Пω(Y0, Y1,+∞)-решений уравнения (1.1) необходимо и доста-
точно, чтобы
lim
t↑ω
πω(t)I ′i1(t)
Ii1(t)
= +∞, lim
t↑ω
I ′′i0(t)Ii0(t)
[I ′i0(t)]2
= 1 (1.15)
и выполнялись условия (1.11), причем каждое такое решение допускает асимптотиче-
ские представления вида (1.12).
Теорема 1.3. Пусть M1 6= ∅ и для некоторого i ∈ M1 наряду с (1.8) и (1.13) выполня-
ются неравенства
σjk−2 signπω(t) > 0 при j ∈ Mk, k = 2, 3, (σj0 + σj1) signπω(t) > 0 при j ∈ M4. (1.16)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА РЕШЕНИЙ СУЩЕСТВЕННО НЕЛИНЕЙНЫХ . . . 493
Тогда для существования Пω(Y0, Y1,−∞)-решений уравнения (1.1) необходимо и доста-
точно, чтобы
lim
t↑ω
πω(t)I ′i1(t)
Ii1(t)
= −∞, lim
t↑ω
I ′′i0(t)Ii0(t)
[I ′i0(t)]2
= 1 (1.17)
и выполнялись условия (1.11), причем каждое такое решение допускает асимптотичес-
кие представления вида (1.12).
2. Вспомогательные утверждения. Для доказательства теорем 1.1 – 1.3 нам потребу-
ются некоторые априорные асимптотические свойства Пω(Y0, Y1, µ0)-решений уравне-
ния (1.1).
Из леммы 1.1 работы [1] и леммы 2.2 работы [2] непосредственно вытекает следую-
щая лемма.
Лемма 2.1. Если y : [t0, ω[−→ ∆0 — Пω(Y0, Y1, µ0)-решение уравнения (1.1), то
lim
t↑ω
πω(t)y′(t)
y(t)
= 1 + µ0 при |µ0| < +∞, (2.1)
lim
t↑ω
πω(t)y′(t)
y(t)
= ±∞ при µ0 = ±∞. (2.2)
Кроме того, имеют место следующие утверждения.
Лемма 2.2. Пусть |µ0| < +∞, M1 6= ∅ и для некоторого i ∈ M1 выполняются
условия (1.8) и (1.9). Тогда для каждого Пω(Y0, Y1, µ0)-решения уравнения (1.1)
lim
t↑ω
pj(t)ϕj0(y(t))ϕj1(y′(t))
pi(t)ϕi0(y(t))ϕi1(y′(t))
= 0 при j ∈ M, j 6= i. (2.3)
Лемма 2.3. Пусть M1 6= ∅ и для некоторого i ∈ M1 наряду с (1.8) и (1.13) выполня-
ются неравенства (1.14) (неравенства (1.16)). Тогда для каждого Пω(Y0, Y1,+∞) (Пω(Y0,
Y1,−∞))-решения уравнения (1.1) имеют место предельные соотношения (2.3).
Доказательства лемм 2.2 и 2.3 проводятся по той же схеме, что и доказательства лемм
1.3, 1.5 из работы [1] и лемм 2.3, 2.5 из работы [2]. При этом возникает необходимость
исследования случаев, которые существенно отличаются от рассмотренных в указанных
двух работах. Поэтому ограничимся лишь установлением предельных соотношений (2.3)
при j ∈ M3 и j ∈ M4.
Пусть y : [t0, ω[−→ ∆0 — произвольное Пω(Y0, Y1, µ0)-решение уравнения (1.1). Поло-
жим
zj(t) =
pj(t)ϕj1(y′(t))
pi(t)
при j ∈ M3
и
vj(t) =
pj(t)ϕj0(y(t))ϕj1(y′(t))
pi(t)
при j ∈ M4.
Тогда
z′j(t) =
pj(t)ϕj1(y′(t))
pi(t)
[
p′j(t)
p′j(t)
− p′i(t)
p′i(t)
+
y′′(t)ϕ′j1(y
′(t))
ϕj1(y′(t))
]
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
494 А. А. КОЗЬМА
и
v′j(t) =
pj(t)ϕj0(y(t))ϕj1(y′(t))
pi(t)
[
p′j(t)
pj(t)
− p′i(t)
p′i(t)
+
y′(t)ϕ′j0(y(t))
ϕj0(y(t))
+
y′′(t)ϕ′j1(y
′(t))
ϕj1(y′(t))
]
.
Теперь перепишем два последних соотношения в виде
z′j(t) =
zj(t)
|πω(t)|
[
|πω(t)|
(
p′j(t)
p′j(t)
− p′i(t)
p′i(t)
)
+
|πω(t)|y′′(t)
y′(t)
y′(t)ϕ′j1(y
′(t))
ϕj1(y′(t))
]
и
v′j(t) =
=
vj(t)
|πω(t)|
[
|πω(t)|
(
p′j(t)
pj(t)
− p′i(t)
p′i(t)
)
+
|πω(t)|y′(t)
y(t)
y(t)ϕ′j0(y(t))
ϕj0(y(t))
+
|πω(t)|y′′(t)
y′(t)
y′(t)ϕ′j1(y
′(t))
ϕj1(y′(t))
]
.
Здесь в силу (1.6) и второго из условий (1.5)
lim
t↑ω
y(t)ϕ′j0(y(t))
ϕj0(y(t))
= σj0, lim
t↑ω
y′(t)ϕ′j1(y
′(t))
ϕj1(y′(t))
= σj1. (2.4)
Кроме того, согласно (1.6) и лемме 2.1
lim
t↑ω
πω(t)y′(t)
y(t)
= 1 + µ0, lim
t↑ω
πω(t)y′′(t)
y′(t)
= µ0 при |µ0| < +∞,
(2.5)
lim
t↑ω
y′′(t)y(t)
[y′(t)]2
= 1 и lim
t↑ω
πω(t)y′(t)
y(t)
= ±∞ при µ0 = ±∞ (соответственно).
Поэтому если |µ0| < +∞, M1 6= ∅ и для некоторого i ∈ M1 выполняются условия (1.9)
при j ∈ M3 и j ∈ M4, то существуют постоянные z0
j < 0, v0
j < 0 и t1 ∈ [t0, ω[ такие, что
имеют место неравенства
z′j(t) ≤
z0
j zj(t)
|πω(t)|
, v′j(t) ≤
v0
j vj(t)
|πω(t)|
при t ∈ [t1, ω[. (2.6)
Отсюда находим
ln
∣∣∣∣ zj(t)
zj(t1)
∣∣∣∣ ≤ z0
j
t∫
t1
dτ
|πω(τ)|
и ln
∣∣∣∣ vj(t)
vj(t1)
∣∣∣∣ ≤ v0
j
t∫
t1
dτ
|πω(τ)|
при t ∈ [t1, ω[.
Поскольку здесь выражения, стоящие справа, стремятся к −∞ при t ↑ ω, то
lim
t↑ω
zj(t) = 0 и lim
t↑ω
vj(t) = 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА РЕШЕНИЙ СУЩЕСТВЕННО НЕЛИНЕЙНЫХ . . . 495
Из этих предельных соотношений с учетом определений множеств M1, M3 и M4 вытека-
ют условия (2.3) при i ∈ M1 и j ∈ M3 ∪M4.
Если же µ0 = +∞ (µ0 = −∞), M1 6= ∅ и для некоторого i ∈ M1 выполняются
наряду с (1.13) неравенства (1.14) (соответственно (1.16)), то, переписывая полученную
выше формулу для v′j в виде
v′j(t) =
=
vj(t)
|πω(t)|
[
|πω(t)|
(
p′j(t)
pj(t)
− p′i(t)
p′i(t)
)
+
|πω(t)|y′(t)
y(t)
(
y(t)ϕ′j0(y(t))
ϕj0(y(t))
+
y′′(t)y(t)
[y′(t)]2
y′(t)ϕ′j1(y
′(t))
ϕj1(y′(t))
)]
,
и учитывая (2.4), (2.5), также приходим к выводу о существовании постоянных z0
j < 0,
v0
j < 0 и t1 ∈ [t0, ω[ таких, что имеют место неравенства (2.6). Из этих неравенств, как
было показано выше, непосредственно вытекают условия (2.3) при i ∈ M1 и j ∈ M3∪M4.
3. Доказательства основных теорем. Доказательство теоремы 1.1. Необходимость.
Пусть y : [t0, ω[−→ ∆0 — произвольное Пω(Y0, Y1, µ0)-решение уравнения (1.1). Тогда в
силу условий леммы 2.2 имеют место предельные соотношения (2.3), и поэтому из (1.1)
следует
y′′(t) = αipi(t)ϕi0(y(t))ϕi1(y′(t))[1 + o(1)] при t ↑ ω.
Поскольку i ∈ M1 и выполняются условия (1.6), это асимптотическое соотношение мож-
но переписать в виде
y′′(t) = αiϕ
0
i0ϕ
0
i1pi(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.1)
Интегрируя обе части (3.1) два раза на промежутке от t0 до t, t ∈ [t0, ω[, и учитывая, что
y′ и y удовлетворяют условиям (1.6), получаем соотношения вида
y′(t) ∼ αiϕ
0
i0ϕ
0
i1
t∫
Ai1
pi(τ) dτ, y(t) ∼ αiϕ
0
i0ϕ
0
i1
t∫
Ai0
τ∫
Ai1
pi(s) ds dτ при t ↑ ω. (3.2)
Значит, имеют место асимптотические представления (1.12) и выполняются в силу (1.6)
условия (1.11). Условие (1.10) непосредственно вытекает из (3.1) и первого из представ-
лений (3.2), если учесть первое из условий (1.7) определения Пω(Y0, Y1, µ0)-решения.
Достаточность. Уравнение (1.1) с помощью преобразования
y(k)(t) = αiϕ
0
i0ϕ
0
i1Iik(t)[1 + vk+1(t)], k = 0, 1, (3.3)
сведем к системе дифференциальных уравнений вида
v′1 =
I ′i0(t)
Ii0(t)
(v2 − v1),
(3.4)
v′2 =
I ′i1(t)
Ii1(t)
−1− v2 +
m∑
j=1
αjpj(t)[1 + rj(t)]ϕj0 (qi0(t)(1 + v1))ϕj1 (qi1(t)(1 + v2))
αiϕ0
i0ϕ
0
i1pi(t)[1 + ri(t)]
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
496 А. А. КОЗЬМА
Здесь
qik(t) = αiϕ
0
i0ϕ
0
i1Iik(t), k = 0, 1.
Эту систему рассмотрим на множестве Ω = [t0, ω[×D, где
D =
{
(v1, v2) ∈ R2 : |vk+1| ≤
1
2
, k = 0, 1
}
и t0 ∈ [a, ω[ выбрано с учетом условий (1.11) так, что qik(t)[1 + vk+1] ∈ ∆k k = 0, 1,
при t ∈ [t0, ω[ и |vk+1| ≤
1
2
. На данном множестве правые части системы (3.4) непрерыв-
ны и имеют непрерывные частные производные до второго порядка включительно по
переменным v1 и v2.
Поскольку для каждого j ∈ {1, . . . ,m} и k ∈ {0, 1}
∂ϕjk(qik(t)(1 + vk+1))
∂vk+1
= qik(t)ϕ′jk(qik(t)(1 + vk+1)),
∂2ϕjk(qik(t)(1 + vk+1))
∂v2
k+1
= q2
ik(t)ϕ
′′
jk(qik(t)(1 + vk+1)),
с использованием формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа получаем
разложение
ϕjk(qik(t)(1 + vk+1)) = ϕjk(qik(t)) + qik(t)ϕ′jk(qik(t))vk+1 + q2
ik(t)ϕ
′′
jk(qik(t)(1 + ξkj))v2
k+1,
в котором ξjk = ξjk(t, vk+1) такова, что |ξjk(t, vk+1)| < |vk+1| ≤
1
2
при всех t ∈ [t0, ω[.
Заметим также, что оно принимает вид ϕjk(qik(t)(1+vk+1)) ≡ ϕ0
jk в случае, когда ϕjk(z) ≡
≡ const на промежутке ∆k.
Выделяя с учетом этих разложений линейные слагаемые в правой части второго урав-
нения системы (3.4), получаем систему дифференциальных уравнений вида
v′1 =
I ′i0(t)
Ii0(t)
(v2 − v1),
(3.5)
v′2 =
I ′i1(t)
Ii1(t)
(f(t) + c1(t)v1 + c2(t)v2 + V (t, v1, v2)) ,
где
f(t) = −1 +
ϕi0(qi0(t))ϕi1(qi1(t))[1 + ri(t)]
ϕ0
i0ϕ
0
i1
+
m∑
j=1
j 6=i
αjpj(t)[1 + rj(t)]ϕj0(qi0(t))ϕj1(qi1(t))
αipi(t)ϕ0
i0ϕ
0
i1
,
c1(t) = qi0(t)
ϕ′i0(qi0(t))ϕi1(qi1(t))[1 + ri(t)]
ϕ0
i0ϕ
0
i1
+
m∑
j=1
j 6=i
αjpj(t)[1 + rj(t)]ϕ′j0(qi0(t))ϕj1(qi1(t))
αipi(t)ϕ0
i0ϕ
0
i1
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА РЕШЕНИЙ СУЩЕСТВЕННО НЕЛИНЕЙНЫХ . . . 497
c2(t) = −1 + qi1(t)
(
ϕi0(qi0(t))ϕ′i1(qi1(t))[1 + ri(t)]
ϕ0
i0ϕ
0
i1
+
+
m∑
j=1
j 6=i
αjpj(t)[1 + rj(t)]ϕj0(qi0(t))ϕ′j1(qi1(t))
αipi(t)ϕ0
i0ϕ
0
i1
)
,
V (t, v1, v2) =
1
αipi(t)ϕ0
i0ϕ
0
i1
1
2
q2
i0(t)
m∑
j=1
αjpj(t)[1 + rj(t)]ϕ′′j0(qi0(t)[1 + ξj0])ϕj1(qi1(t))
v2
1+
+ qi0(t)qi1(t)
m∑
j=1
αjpj(t)[1 + rj(t)]ϕ′j0(qi0(t))ϕ′j1(qi1(t))
v1v2+
+
1
2
q2
i1(t)
m∑
j=1
αjpj(t)[1 + rj(t)]ϕj0(qi0(t))ϕ′′j1(qi1(t)[1 + ξj1])
v2
2+
+
1
2
q2
i0(t)qi1(t)
m∑
j=1
αjpj(t)[1 + rj(t)]ϕ′′j0(qi0(t)[1 + ξj0])ϕ′j1(qi1(t))
v2
1v2+
+
1
2
qi0(t)q2
i1(t)
m∑
j=1
αjpj(t)[1 + rj(t)]ϕ′j0(qi0(t))ϕ′′j1(qi1(t)[1 + ξj1])
v1v
2
2+
+
1
4
q2
i0(t)q
2
i1(t)
m∑
j=1
αjpj(t)[1 + rj(t)]ϕ′′j0(qi0(t)[1 + ξj0])ϕ′′j1(qi1(t)[1 + ξj1])
v2
1v
2
2
.
Поскольку qi1(t) = q′i0(t) и в силу (1.10), (1.11), а также выбора числа t0
lim
t↑ω
qik(t) = Yk, qik : [t0, ω[−→ ∆k, k = 0, 1, lim
t↑ω
πω(t)q′′i0(t)
q′i0(t)
= µ0,
функция qi0 имеет те же асимптотические свойства, что и любое Пω(Y0, Y1, µ0)-решение
уравнения (1.1). Поэтому согласно лемме 2.2
lim
t↑ω
pj(t)ϕj0(qi0(t))ϕj1(qi1(t))
pi(t)ϕ0
i0ϕ
0
j1
= 0 при j = 1, . . . ,m, j 6= i. (3.6)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
498 А. А. КОЗЬМА
Кроме того, в силу (1.5) для любых j ∈ {1, . . . ,m} и k ∈ {0, 1} таких, что ϕjk(z) 6≡ const
на промежутке ∆k, имеем
lim
t↑ω
qik(t)ϕ′jk(qik(t))
ϕjk(qik(t))
= σjk (3.7)
и ∣∣∣∣ϕjk(qik(t)[1 + ξjk])
ϕjk(qik(t))
∣∣∣∣ ≤ L1,
∣∣∣∣∣qik(t)ϕ′jk(qik(t)[1 + ξjk])
ϕjk(qik(t)[1 + ξjk])
∣∣∣∣∣ ≤ L2,
∣∣∣∣∣qik(t)ϕ′′jk(qik(t)[1 + ξjk])
ϕ′jk(qik(t)[1 + ξjk])
∣∣∣∣∣ ≤ L3 при (t, v1, v2) ∈ Ω,
(3.8)
где Li, i = 1, 2, 3, — некоторые положительные постоянные. При этом заметим, что (3.7)
при j = i принимает вид
lim
t↑ω
qik(t)ϕ′ik(qik(t))
ϕik(qik(t))
= 0, k = 0, 1. (3.9)
Действительно, если бы этот предел был равен отличной от нуля постоянной σik, то име-
ло бы место асимптотическое представление
ϕ′ik(qik(t)) =
σikϕ
0
ik + o(1)
qik(t)
при t ↑ ω,
откуда следовало бы, что
ϕik(qik(t)) = [σikϕ
0
ik + o(1)] ln |qik(t)| при t ↑ ω.
Но это невозможно, так как здесь функция, стоящая слева, имеет конечный предел при
t ↑ ω, а справа — бесконечный.
В силу условий (1.2), (3.6) – (3.9)
lim
t↑ω
f(t) = 0, lim
t↑ω
c1(t) = 0, lim
t↑ω
c2(t) = −1
и
lim
|v1|+|v2|→0
V (t, v1, v2)
|v1|+ |v2|
= 0 равномерно по t ∈ [t0, ω[.
Значит, для системы дифференциальных уравнений (3.5) выполнены все условия лем-
мы 2.2 из работы [8]. Согласно этой лемме система (3.5) имеет, по крайней мере, одно
решение (v1, v2) : [t1, ω[−→ R2, t1 ∈ [t0, ω[, стремящееся к нулю при t ↑ ω. Этому реше-
нию вследствие замен (3.1) соответствует решение y : [t1, ω[−→ R дифференциального
уравнения (1.1), допускающее при t ↑ ω асимптотические представления (1.12) и удовлет-
воряющее согласно (1.10) и (1.11) определению Пω(Y0, Y1, µ0)-решения.
Теорема доказана.
Доказательство теорем 1.2 и 1.3 проводится точно так же, как и доказательство тео-
ремы 1.1, с использованием вместо леммы 2.2 леммы 2.3.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА РЕШЕНИЙ СУЩЕСТВЕННО НЕЛИНЕЙНЫХ . . . 499
4. Пример. Для иллюстрации полученных результатов рассмотрим при t ∈ [1,+∞[
дифференциальное уравнение
y′′ =
m∑
i=1
aie
βittγi lnρi t[1 + ri(t)]ϕi0(y)ϕi1(y′), (4.1)
в котором ai, βi, γi, ρi ∈ R, ai 6= 0, i = i, . . . , m, функции ri : [1,+∞[−→ R, i =
= 1, . . . ,m, непрерывны и таковы, что lim
t→+∞
ri(t) = 0, i = 1, . . . ,m, а функции ϕik :
∆k −→]0,+∞[, i = 1, . . . ,m; k = 0, 1, дважды непрерывно дифференцируемы и удовлет-
воряют условиям (1.4), (1.5), где ∆k определены в (1.3).
Таким образом, имеем уравнение вида (1.1), в котором
αi = sign ai, pi(t) = |ai|eβittγi lnρi t, i = 1, . . . ,m, ω = +∞.
Поэтому πω(t) = t и для каждого i ∈ {1, . . . ,m} при t → +∞ имеют место асимптотичес-
кие соотношения
πω(t)p′i(t)
pi(t)
=
{
βit[1 + o(1)], если βi 6= 0,
γi + o(1), если βi = 0,
(4.2)
Ii1(t) =
t∫
Ai1
pi(τ) dτ ∼
|ai|
βi
eβittγi lnρi t, если βi 6= 0,
|ai|
1 + γi
t1+γi lnρi t, если βi = 0, γi 6= −1,
|ai|
1 + ρi
ln1+ρi t, если βi = 0, γi = −1, ρi 6= −1,
|ai| ln ln t, если βi = 0, γi = −1, ρi = −1.
(4.3)
Предположив, что M1 6= ∅, для каждого i ∈ M1 в случае, когда |µ0| < +∞, введем
условия
S1(i, µ0): βj < βi при j ∈ M \ {i},
S2(i, µ0): βj < βi при j ∈ M1, βj = βi и γj − γi < ξ0
ij при j ∈ M \M1,
S3(i, µ0): βj = βi, γj < γi при j ∈ M1, γj − γi < ξ0
ij при j ∈ M \M1,
S4(i, µ0): βj = βi, γj = γi, ρj < ρi при j ∈ M1, ξ0
ij > 0 при j ∈ M \M1,
где
ξ0
ij =
−(1 + µ0)σj0, если j ∈ M2,
−µ0σj1, если j ∈ M3,
−[(1 + µ0)σj0 + µ0σj1], если j ∈ M4,
а в случае µ0 = ±∞ — условия
S1(i,±∞): βj < βi при j ∈ M \ {i},
S2(i,+∞): βj < βi при j ∈ M1, βj = βi и ξ1
ij < 0 при j ∈ M \M1,
S2(i,−∞): βj < βi при j ∈ M1, βj = βi и ξ1
ij > 0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
500 А. А. КОЗЬМА
где
ξ1
ij =
{
σjk−2, если j ∈ Mk, k = 2, 3,
σj0 + σj1, если j ∈ M4.
В силу (4.2) и (4.3) из теорем 1.1 – 1.3 непосредственно вытекают следующие утверж-
дения для уравнения (4.1).
Следствие 4.1. Пусть |µ0| < +∞, M1 6= ∅ и для некоторого i ∈ M1 выполняется
условие Sk(i, µ0), k ∈ {1, 2, 3, 4}. Тогда для существования Пω(Y0, Y1, µ0)-решений урав-
нения (4.1) необходимо и достаточно, чтобы
βi = 0 и 1 + γi = µ0.
Более того, каждое такое решение допускает при t → +∞ асимптотические пред-
ставления вида
y(t) ∼ aiϕ
0
i0ϕ
0
i1
(1 + γi)(2 + γi)
t2+γi lnρi t, y′(t) ∼ aiϕ
0
i0ϕ
0
i1
1 + γi
t1+γi lnρi t, если γi ∈ R \ {−1;−2},
y(t) ∼ aiϕ
0
i0ϕ
0
i1
(1 + ρi)
t ln1+ρi t, y′(t) ∼ aiϕ
0
i0ϕ
0
i1
1 + ρi
ln1+ρi t, если γi = −1, ρi 6= −1,
y(t) ∼ aiϕ
0
i0ϕ
0
i1 t ln ln t, y′(t) ∼ aiϕ
0
i0ϕ
0
i1 ln ln t, если γi = −1, ρi = −1,
y(t) ∼ −aiϕ
0
i0ϕ
0
i1
1 + ρi
ln1+ρi t, y′(t) ∼ −aiϕ
0
i0ϕ
0
i1
lnρi t
t
, если γi = −2, ρi 6= −1,
y(t) ∼ −aiϕ
0
i0ϕ
0
i1 ln ln t, y′(t) ∼ −aiϕ
0
i0ϕ
0
i1
1
t ln t
, если γi = −2, ρi = −1.
Следствие 4.2. Пусть µ0 = ±∞, M1 6= ∅ и для некоторого i ∈ M1 выполняется одно
из условий S1(i,±∞) или S2(i,±∞). Тогда для существования Пω(Y0, Y1,±∞)-решений
уравнения (4.1) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
βi > 0, если µ0 = +∞, βi < 0, если µ0 = −∞.
Более того, каждое такое решение допускает при t → +∞ асимптотические пред-
ставления
y(t) ∼ aiϕ
0
i0ϕ
0
i1
β2
i
eβittγi lnρi t, y′(t) ∼ aiϕ
0
i0ϕ
0
i1
βi
tγi lnρi t.
5. Выводы. В настоящей статье рассмотрено нелинейное дифференциальное уравне-
ние второго порядка (1.1), правая часть которого содержит нелинейности четырех раз-
личных типов, определяемых множествами Mi, i = 1, 2, 3, 4. При выделении достаточно
широкого класса так называемых Пω(Y0, Y1, µ0)-решений получены условия, при выпол-
нении которых на любом таком решении (в случае его существования) главным в правой
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА РЕШЕНИЙ СУЩЕСТВЕННО НЕЛИНЕЙНЫХ . . . 501
части является слагаемое, относящееся к множеству M1. При их выполнении установле-
ны необходимые и достаточные условия существования Пω(Y0, Y1, µ0)-решений уравне-
ния (1.1), а также получены асимптотические представления при t ↑ ω для таких реше-
ний и их производных первого порядка. Результаты исследования проиллюстрированы
при ω = +∞ на примере уравнения с коэффициентами вида pi(t) = aie
βittγi lnρi t, i =
= 1, . . . ,m. Установленные в данной работе теоремы существенно дополняют результа-
ты работ [1 – 7].
1. Евтухов В. М., Касьянова В. А. Асимптотическое поведение неограниченных решений существенно
нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. I // Укр. мат. журн. — 2005. — 5, № 3. —
С. 338 – 355.
2. Касьянова В. А. Асимптотичнi зображення зникаючих розв’язкiв iстотно нелiнiйних диференцiальних
рiвнянь другого порядку // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Математика. — 2004. — Вип. 228. — С. 5 – 19.
3. Касьянова В. А. Асимптотичне поводження зникаючих розв’язкiв iстотно нелiнiйних неавтономних
диференцiальних рiвнянь другого порядку // Там же. — 2005. — Вип. 228. — С. 5 – 19.
4. Evtukhov V. M., Kirillova L. A. Asymptotic representations of solutions of non-linear second order differenti-
al equations // Mem. Different. Equat. and Math. Phys. — 2003. — 30. — P. 153 – 158.
5. Кирилова Л. О. Асимптотичнi властивостi розв’язкiв нелiнiйних диференцiальних рiвнянь другого по-
рядку, якi близькi до рiвнянь типу Емдена – Фаулера // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Математика. — 2004.
— Вип. 228. — С. 30 – 35.
6. Евтухов В. М., Кириллова Л. А. Об асимптотике решений нелинейных дифференциальных уравне-
ний второго порядка // Дифференц. уравнения. — 2005. — 41, № 8. — С. 1053 – 1061.
7. Kirillova L. A. On asymptotics of solutions of nonlinear differential equations of the second order // Nonli-
near Oscillations. — 2005. — 8, № 1. — P. 14 – 25.
8. Евтухов В. М., Шинкаренко В. Н. О решениях со степенной асимптотикой дифференциальных урав-
нений с экспоненциальной нелинейностью // Нелiнiйнi коливання. — 2002. — 5, № 3. — С. 306 – 325.
Получено 16.05.2006
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178175 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T09:21:12Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Козьма, А.А. 2021-02-18T07:54:44Z 2021-02-18T07:54:44Z 2006 Асимптотические представления одного класса решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка / А.А. Козьма // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 4. — С. 490-501. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178175 517.925 Встановлено асимптотичнi зображення для розв’язкiв диференцiальних рiвнянь другого порядку, що мiстять у правiй частинi суму доданкiв iз нелiнiйностями бiльш загального вигляду, нiж нелiнiйностi типу Емдена – Фаулера. We find asymptotic representations for solutions of second-order differential equations that have righthand sides containing nonlinearities in a form more general than Emden – Fowler type nonlinearities. ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Асимптотические представления одного класса решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка Asymptotic representations of a certain class of solutions of essentially nonlinear second order differential equations Article published earlier |
| spellingShingle | Асимптотические представления одного класса решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка Козьма, А.А. |
| title | Асимптотические представления одного класса решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_alt | Asymptotic representations of a certain class of solutions of essentially nonlinear second order differential equations |
| title_full | Асимптотические представления одного класса решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_fullStr | Асимптотические представления одного класса решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_full_unstemmed | Асимптотические представления одного класса решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_short | Асимптотические представления одного класса решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_sort | асимптотические представления одного класса решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178175 |
| work_keys_str_mv | AT kozʹmaaa asimptotičeskiepredstavleniâodnogoklassarešeniisuŝestvennonelineinyhdifferencialʹnyhuravneniivtorogoporâdka AT kozʹmaaa asymptoticrepresentationsofacertainclassofsolutionsofessentiallynonlinearsecondorderdifferentialequations |