Про глобальну стійкість одного нелінійного різницевого рівняння

Приведены точные достаточные условия глобальной устойчивости нулевого решения разностного уравнения xn+1 = xn + fn(xn, . . . , xn−k), n ∈ Z,, где нелинейные функции fn удовлетворяют условиям отрицательной обратной связи и подлинейного роста. We establish exact sufficient conditions for global stabil...

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Published in:Нелінійні коливання
Date:2006
Main Author: Неня, О.І.
Format: Article
Language:Ukrainian
Published: Інститут математики НАН України 2006
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178184
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Про глобальну стійкість одного нелінійного різницевого рівняння / О.І. Неня // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 4. — С. 525-534. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
_version_ 1860023355179008000
author Неня, О.І.
author_facet Неня, О.І.
citation_txt Про глобальну стійкість одного нелінійного різницевого рівняння / О.І. Неня // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 4. — С. 525-534. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.
collection DSpace DC
container_title Нелінійні коливання
description Приведены точные достаточные условия глобальной устойчивости нулевого решения разностного уравнения xn+1 = xn + fn(xn, . . . , xn−k), n ∈ Z,, где нелинейные функции fn удовлетворяют условиям отрицательной обратной связи и подлинейного роста. We establish exact sufficient conditions for global stability of the zero solution of a difference equation of
 the form xn+1 = xn + fn(xn, . . . , xn−k), n ∈ Z, where the nonlinear functions fn satisfy the negative
 feedback conditions and have sublinear growth.
first_indexed 2025-12-07T16:49:07Z
format Article
fulltext УДК 517 . 9 ПРО ГЛОБАЛЬНУ СТIЙКIСТЬ ОДНОГО НЕЛIНIЙНОГО РIЗНИЦЕВОГО РIВНЯННЯ О. I. Неня Київ. нац. економ. ун-т Україна, 03680, Київ, просп. Перемоги, 54/1 We establish exact sufficient conditions for global stability of the zero solution of a difference equation of the form xn+1 = xn + fn(xn, . . . , xn−k), n ∈ Z, where the nonlinear functions fn satisfy the negative feedback conditions and have sublinear growth. Приведены точные достаточные условия глобальной устойчивости нулевого решения раз- ностного уравнения xn+1 = xn + fn(xn, . . . , xn−k), n ∈ Z,, где нелинейные функции fn удов- летворяют условиям отрицательной обратной связи и подлинейного роста. 1. Вступ та основнi результати. Розглянемо нелiнiйне рiзницеве рiвняння з запiзненням xn+1 = xn + fn (xn, . . . , xn−k) , n ∈ Z, xn ∈ R. (1) Нелiнiйнi функцiї fn : Rk+1 → R задовольняють умови H1),H2), наведенi нижче. За до- помогою рiвняння (1) описуються рiзноманiтнi дискретнi моделi бiологiчних популяцiй. Вiдмiтимо, що рiзницевi рiвняння з запiзненням Рiкера та П’єлоу (див. [1]) можна зве- сти до рiвняння вигляду (1). Метою даної роботи є продовження дослiдження глобальної стiйкостi єдиної нерухомої точки рiвняння (1)(див. [2 – 7]). Розв’язком рiвняння (1) з початковою умовою xi = ϕi, i = −k, . . . , 0, (2) є послiдовнiсть {xn}, яка означена для n ≥ −k, задовольняє початкову умову (2) i рiвнян- ня (1) при n = 0, 1, . . .. Очевидно, що розв’язок {xn} iснує для всiх n ≥ 0 i його можна побудувати послiдовно. Означимо функцiонал M : Rk+1 → R+, M(z) = maxi{0, zi}, де z = (z0, . . . , zk) , i накладемо такi умови: H1) припустимо, що функцiї fn задовольняють умову ∞∑ j=1 fj(zj , . . . , zj−k) = ∞ (3) для кожної послiдовностi {zj}, яка має ненульову границю на нескiнченностi; H2) iснує число a < 0 таке, що aM(φ) ≤ f(n, φ) ≤ −aM(−φ) (4) для всiх φ ∈ Rk+1. c© О. I. Неня, 2006 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 525 526 О. I. НЕНЯ Зауважимо, що в статтi [8] було розглянуто достатнi умови глобальної стiйкостi ну- льового розв’язку рiзницевого рiвняння xn+1 = qxn + fn(xn, . . . , xn−k), q ∈ (0, 1). (5) У роботi [8] доведено наступну теорему. Теорема 1. Нехай функцiї fn задовольняють умову H2). Тодi кожен розв’язок {xn} рiвняння (5) прямує до 0 i задовольняє нерiвнiсть max j=n−k,n |xj | ≤ Γλn−s max j=s−k,s |xj |, n ≥ s, λ ∈ (0, 1),Γ > 0, (6) якщо min s=0,...,k ( qk+s+1 + aqs ( s + 1− qk+1 1− q ) + a2 1 + qs(sq − s− 1) (1− q)2 ) > −1. (7) Ця умова є точною для класу рiвнянь (5), якi задовольняють умову H2). Переходячи до границi q → 1, формулу (7) зводимо до вигляду min s=0,...,k ( 1 + a(s + k + 1) + a2 s(s + 1) 2 ) > −1. (8) У роботi [6] сформульовано гiпотезу, що при виконаннi нерiвностi (8) всi розв’язки рiвняння (1) прямують до нуля при n → ∞. В данiй роботi отримано пiдтвердження цiєї гiпотези. Основним результатом роботи є наступна теорема. Теорема 2. Припустимо, що функцiї fn задовольняють умови H1), H2). Тодi кожен розв’язок {xn} рiвняння (1) прямує до 0, якщо a ≥ max j=1,2 −4 k + sj + 1 + √ (k + sj + 1)2 − 4sj (sj + 1) , (9) де s1 — цiла частина числа 1 3 ( k − 1 + √ k2 + k + 1 ) , а s2 = s1 + 1. Формулу (9) можна отримати в результатi розв’язування нерiвностi (8) вiдносно a та вiдповiдних алгебраїчних перетворень. 2. Допомiжнi результати. Розглянемо лiнiйне рiзницеве рiвняння yn+1 = yn + ayn−k, n ≥ ζ, (10) з початковими умовами yi = −M < 0, i ≤ ζ, де ζ ∈ Z — фiксоване число. Оскiльки рiвняння (10) є автономним, то можна взяти ζ = 0. Зважаючи на те, що yn = −M(1+na) при n = 1, . . . , k + 1, при −a(k + 1) > 1 можна знайти число α ∈ {0, . . . , k + 1} таке, що yn ≤ 0, n ∈ {0, . . . , α}, i yn > 0 для всiх n ∈ I = {α + 1, . . . , α + k + 1}. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 ПРО ГЛОБАЛЬНУ СТIЙКIСТЬ ОДНОГО НЕЛIНIЙНОГО РIЗНИЦЕВОГО РIВНЯННЯ 527 Визначимо ρ (M) = max n∈I {yn} . Нехай виконується одна з умов −a(k + 1) ≤ 1, (11) −a(k + 1) > 1, M−1ρ (M) ≤ 1. Наступне твердження є дискретним аналогом теореми 2.4 роботи [9]. Лема 1. Припустимо, що fn задовольняє умови H1), H2) i виконується одна з умов (11). Тодi для кожного розв’язку xn : {τ − k, . . . ,+∞) → R рiвняння (1) виконується нерiвнiсть |xn| ≤ max s∈{τ−k,...,τ+2k} |xs| для всiх n ≥ τ. (12) Доведення. Припустимо, що нерiвнiсть (12) не виконується. Тодi iснує розв’язок {xn} такий, що для деякого τ∗ > τ + 2k маємо |xτ∗ | > max s∈{τ−k,...,τ+2k} |xs| . (13) Нехай τ∗ — перша злiва точка з цiєю властивiстю, i для визначеностi припустимо, що xτ∗ > 0. Доведемо iснування такого iнтервалу ∆ = {α, . . . , β}, що τ∗ ∈ ∆, τ∗ − α ≤ k + 1, xα ≤ 0, xβ ≤ 0 i xn > 0 для n ∈ {α + 1, . . . , β − 1}. Нехай, навпаки, xn > 0 для всiх n ∈ {τ∗ − k − 1, . . . , τ∗ − 1}. Тодi згiдно з (4) xτ∗ = xτ∗−1 + fτ∗−1(φτ∗−1) < xτ∗−1, що суперечить припущенню. Найменше n > τ∗ таке, що xn ≤ 0, приймаємо за β. Якщо такого n немає, то xn > 0 для всiх n > α. Тодi fn(φn) ≤ 0 i xn+1 = xn + fn(φn) ≤ xn. Тому iснує таке число A ≥ 0, що lim n→∞ xn = A. Якщо A > 0, то згiдно з умовою H1) для всiх n > n1 виконується xn = xn1 + n−1∑ s=n1 fs(φs) → −∞. Отримали суперечнiсть щодо вибору числа A. Отже, lim n→∞ xn = 0 i β = +∞. Нехай −a(k + 1) ≤ 1. Позначимо M = maxn∈∆ {xn} = xξ > 0, де ξ — найменше цiле число, яке має цю властивiсть. Розглянемо на iнтервалi {α, . . . , ξ} розв’язок {xn} рiвняння (1) та розв’язок {yn (α,−M)} рiвняння yn+1 = yn − aM, xα = yα, n ∈ {α, . . . , ξ} . (14) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 528 О. I. НЕНЯ Тодi при n ∈ {α, . . . , ξ} xn = xα + n−1∑ i=α fi (φi) ≤ yα + n−1∑ i=α a (−M (−φi)) < yα − (n− α)aM = yn. Маємо нерiвнiсть xn < yn, яку оцiнимо в точцi n = ξ: M = xξ < yξ = yα − (ξ − α) aM ≤ − (ξ − α) aM ≤ − (k + 1) aM, а це суперечить першiй з умов (11). Тепер нехай−(k +1)a > 1. Розглянемо розв’язок рiвняння (10) такий, що yα = xα ≤ 0 i yn = −M при n ≤ 0. Покажемо, що на iнтервалi Σ = {−k, . . . , α} для розв’язкiв рiвнянь (1) та (10) викону- ється xn > yn. Очевидно, що для всiх n ∈ {−k, . . . , 0} xn > yn, оскiльки |xn| < M для всiх n ∈ {τ, . . . , ξ − 1} ⊃ {−k, . . . , 0}. Припустимо, що iснує така точка l ∈ {0, . . . , α− 1}, в якiй xl = yl. Порiвняємо розв’язки рiвнянь (1), (10) для всiх n ∈ {l, . . . , α}: yn = yl − (n− l) aM, xn = xl + n−1∑ i=l fi (φi) < yl − (n− l) aM = yn, а це суперечить тому, що xα = yα. Звiдси випливає, що xn > yn для всiх −k ≤ n < α. Тепер розглянемо розв’язки рiвнянь (1) та (10) на iнтервалi I = {α, . . . , α + k + 1}. Нехай I = I1 ∪ I2, де I1 = {α, . . . , k} , I2 = {k + 1, . . . , α + k + 1}. При n ∈ I1 маємо xn = xα + n−1∑ i=α fi (φi) < yα − n−1∑ i=α aM = yn, при n ∈ I2 xn = xk + n−1∑ i=k fi (φi) < yk + a n−1∑ i=k yi−k = yn. У загальному випадку xn < yn для всiх n ∈ I . Оцiнюючи останню нерiвнiсть в точцi n = ξ, отримуємо M = xξ < yξ = ρ (M) , що суперечить припущенню (11). Отже, при виконаннi умов леми припущення про iсну- вання точки τ∗, в якiй виконується нерiвнiсть (13), приводить до суперечностi. Лему доведено. Наслiдок 1. За умов леми 1 нульовий розв’язок рiвняння (1) є стiйким: max |xj | j=n−k,...,n ≤ exp(−3ake−1) max |xj | j=s−k,...,s , n ≥ s. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 ПРО ГЛОБАЛЬНУ СТIЙКIСТЬ ОДНОГО НЕЛIНIЙНОГО РIЗНИЦЕВОГО РIВНЯННЯ 529 Доведення. Розглянемо розв’язок {xn} на iнтервалi {s− k, . . . , s + 2k}, s ∈ Z. Нехай ξ ∈ {s, . . . , s + 2k} — точка локального максимуму розв’язку {xn}. Тодi iснують точки α ∈ {ξ − k − 1, . . . , ξ − 1} i β > α такi, що xα ≤ 0, xi > 0, i = α + 1, . . . , β − 1, i xβ ≤ 0, β = s + 2k. Позначимо max {xn} n=α,...,β = xα+δ > 0 i M0 = max |xn| n=s−k,...,s . Тодi xα+δ = xα + α+δ−1∑ i=α fi (φi) ≤ α+δ−1∑ i=α a (−M (−φi)) = −M0aδ. Продовжуючи аналогiчно, показуємо, що на iнтервалi {s− k, . . . , s + 2k} iснує m ≥ 1 аналогiчних чисел αi + δi. Тодi max |xj | j=s,...,s+2k = max |xαi+δi | i=1,...,m ≤ M0 m∏ i=1 (−aδi) ≤ ≤ M0 ( −a ∑ δi m )m ≤ M0 ( −3ak m )m ≤ M0 exp ( −3ak e ) . Наслiдок доведено. При виконаннi умови (11) ми довели обмеженiсть розв’язкiв рiвняння (1). Тому для розв’язку {xn} iснують M = lim supn→∞ xn i m = lim infn→∞ xn. У цьому випадку iснують двi послiдовностi точок ξj , δj локального максимуму i локального мiнiмуму вiдповiдно таких, що x(ξj) = Mj → M,x(δj) = mj → m i ξj , δj → +∞ при j → ∞. Лема 2. Iснують такi n ∈ {δj − k − 1, . . . , δj − 1} та l ∈ {ξj − k − 1, . . . , ξj − 1} , що xn > 0 i xl < 0. Доведення. Вiзьмемо одне з δj . Якщо xn ≤ 0 для всiх n ∈ {δj − k − 1, . . . , δj − 1}, то xδj − xδj−1 = fδj−1 (φδj−1 ) ≥ 0 , що суперечить вибору точки xδj . Iнший випадок розгляда- ється аналогiчно. Лема 3. Якщо m ≥ 0 або M ≤ 0, то M = m = 0. Доведення. Припустимо, що M < 0. Тодi xn < M/2 < 0 починаючи з деякого n = n1. Тому виконується xn+1 = xn + fn(φn) ≥ xn, n ≥ n1 + k. Звiдси розв’язок {xn} прямує монотонно до вiд’ємного значення M . Маємо суперечнiсть, оскiльки згiдно з умовою H1) xn = xn1 + n−1∑ s=n1 fs(φs) → +∞. Розглянемо тепер розв’язок при M = 0 i m < 0. В цьому випадку {xn} обов’язково коливається бiля нуля. Справдi, оскiльки iнакше xn ≤ 0 i тому xn+1 − xn = fn(φn) ≥ 0, {xn} прямує монотонно до тривiального стiйкого положення рiвноваги. З того, що {xn} — коливний розв’язок, можна знайти послiдовнiсть цiлих iнтервалiв Ij = {lj , rj} таких, що xn < 0, lj + 1 ≤ n ≤ rj − 1 i minIj xn = xδj → m при j → +∞, де δj — мiнiмальна точка з цiєю властивiстю на iнтервалi Ij . Згiдно з лемою 2 зауважимо, що xδj = xlj + δj−1∑ s=lj fs(φs) ≥ δj−1∑ s=lj fs(φs) ≥ (k + 1)a max n∈{lj−k,lj} xn → 0, j → +∞, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 530 О. I. НЕНЯ а це суперечить вiдношенню xδj → m < 0. Випадок m ≥ 0 розглядається аналогiчно. Зауваження 1. Якщо розглянути розв’язок {yn} рiвняння (10), то iснує таке цiле число s ∈ {0, . . . , k} , що yα−s > −M i yα−s−1 = −M, де α = s + 1, yα = (m − ε)(1 + (s + 1)). Нехай значення ρ (M) досягається в точцi n = k + 1 + s, тобто ρ (M) = max n∈I {yn} = yk+1+s = = −M ( 1 + as + a + a2s (s + 1) + ak − a2 s (s + 1) 2 ) = = −M ( 1 + a(s + k + 1) + a2 s(s + 1) 2 ) . Тому при виконаннi умов теореми 2 умови (11) виконуються автоматично, що дозволяє використати лему 1 при доведеннi теореми 2. 3. Доведення теореми 2. З леми 1 та зауваження 1 випливає, що при виконаннi умов теореми всi розв’язки рiвняння (1) є обмеженими. З огляду на лему 3 досить розглянути коливний розв’язок {xn} рiвняння (1) з m < 0 < M . Iснують двi послiдовностi точок ξj , δj локального максимуму i локального мiнiмуму таких, що lim x(ξj) → M, lim x(δj) → m, ξj → ∞, δj → ∞ при j → ∞. Тодi при довiльному ε > 0 i досить великих j виконується x(ξj) < M + ε, x(δj) > m− ε. Згiдно з лемою 2 для ξj iснує число α′j ∈ {ξj − k − 1, . . . , ξj − 1} таке, що 0 ≥ x(α′j) = = −M ( −φξj−1 ) , а для δj буде iснувати число α′∗j ∈ {δj − k − 1, . . . , δj − 1} таке, що 0 ≤ ≤ x(α′∗j ) = M ( φδj−1 ) . Як i ранiше, φs = (xs, . . . , xs−k) . З нерiвностi xα′j = xα′j−1 + fα′j−1 ( xα′j−1, . . . , xα′j−k−1 ) ≤ xα′j−1 + a(m− ε) отримуємо оцiнку xα′j−1 ≥ xα′j − a(m− ε) = zα′j−1. Аналогiчно xα′j−l ≥ xα′j − al(m− ε) = zα′j−l. (15) При l = 0 покладемо xα′j = zα′j . Позначимо через s ∈ {0, . . . , k} таке цiле число, що zα′j−s > m− ε i zα′j−s−1 ≤ m− ε . Тодi при s ≥ 1 (m− ε) (1 + as) < xα′j ≤ (m− ε) (1 + a (s + 1)) . (16) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 ПРО ГЛОБАЛЬНУ СТIЙКIСТЬ ОДНОГО НЕЛIНIЙНОГО РIЗНИЦЕВОГО РIВНЯННЯ 531 Врахувавши (15), оцiнимо xξj : Mj = xξj = xα′j + ξj−1∑ i=α′j fi (φi) ≤ xα′j + ξj−1∑ i=α′j a (−M (−φi)) ≤ ≤ xα′j + k∑ l=0 a ( −M ( −φl+α′j )) ≤ ≤ xα′j + s∑ l=0 a ( xα′j − al(m− ε) ) + k∑ l=s+1 a(m− ε) = = xα′j + a(m− ε) (k − s) + axα′j (s + 1)− a2(m− ε) s∑ l=0 l = = xα′j (1 + a (s + 1)) + a(m− ε) ( k − s− a s (s + 1) 2 ) = S (s,m− ε) . Якщо 1 + a(s + 1) ≤ 0 , то за нерiвнiстю (16) S (s,m− ε) ≤ (m− ε) (1 + as) (1 + a (s + 1)) + a(m− ε) ( k − s− a s (s + 1) 2 ) = = (m− ε) ( 1 + as + a + a2s (s + 1) + ak − a2 s (s + 1) 2 ) = (m− ε)Ω (s, k, a) . Якщо 1 + a(s + 1) ≥ 0 , то S (s,m− ε) ≤ (m− ε) (1 + a (s + 1))2 + a(m− ε) ( k − s− a s (s + 1) 2 ) = = (m− ε) ( 1 + a (s + k + 2) + a2 s2 + 3s + 2 2 ) = = (m− ε) ( 1 + a (s + k + 2) + a2 (s + 1) (s + 2) 2 ) = = (m− ε)Ω (s + 1, k, a) . ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 532 О. I. НЕНЯ Окремо розглянемо випадок для 1 + a(s + 1) ≥ 0 при s = k. Отримуємо S (k, m− ε) = (m− ε)Ω (k + 1, k, a) = = (m− ε) ( 1 + a (2k + 2) + a2 (k + 1) (k + 2) 2 ) ≤ ≤ (m− ε) ( 1− 2 + (k + 1) (k + 2) 2(k + 1)2 ) = (m− ε) −k 2(k + 1) < −(m− ε). Враховуючи останню нерiвнiсть та (8), при граничному переходi ε → 0 отримуємо M ≤ S(s,m) ≤ m min s=0,...,k Ω (s, k, a) < −m. (17) Виконаємо аналогiчнi дiї для точок {xδj }. Вiдповiдними до нерiвностей (15), (16) бу- дуть xα′∗j −l ≤ xα′∗j − al (M + ε) = zα′∗j −l, (18) (M + ε)(1 + a(s + 1)) ≤ xα′∗j < (M + ε)(1 + as) (19) для таких значень s ∈ {0, . . . , k}, що zα′∗j −s < M + ε, zα′∗j −s−1 ≥ M + ε. Далi, враховуючи (18), виконуємо аналогiчнi перетворення mj = xδj = xα′∗j + δj−1∑ i=α′∗j fi (φi) ≥ xα′∗j + δj−1∑ i=α′∗j a (M (φi)) ≥ ≥ xα′∗j + s∑ l=0 a ( xα′∗j − al(M + ε) ) + k∑ l=s+1 a(M + ε) = = xα′∗j + a(M + ε) (k − s) + axα′∗j (s + 1)− a2(M + ε) s∑ l=0 l = = xα′∗j (1 + a (s + 1)) + a(M + ε) ( k − s− a s (s + 1) 2 ) = S (s,M + ε) . Якщо 1 + a(s + 1) ≤ 0 , то за нерiвнiстю (19) S (s,M + ε) ≥ (M + ε) ( 1 + as + a + a2s (s + 1) + ak − a2 s (s + 1) 2 ) = = (M + ε)Ω (s, k, a) . ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 ПРО ГЛОБАЛЬНУ СТIЙКIСТЬ ОДНОГО НЕЛIНIЙНОГО РIЗНИЦЕВОГО РIВНЯННЯ 533 Якщо 1 + a(s + 1) ≥ 0 , то S (s,M + ε) = (M + ε) ( 1 + a (s + k + 2) + a2 (s + 1) (s + 2) 2 ) = = (M + ε)Ω (s + 1, k, a) . Для 1 + a(s + 1) ≥ 0 при s = k отримуємо S (k,M + ε) = (M + ε)Ω (k + 1, k, a) ≥ (M + ε) −k 2(k + 1) > −(M + ε). При граничному переходi ε → 0 маємо m ≥ S(s,M) ≥ M min s=0,...,k Ω (s, k, a) > −M. (20) Враховуючи оцiнки (17), (20), одержуємо M < −m < −(−M) = M, з чого випливає, що m = M = 0. Теорему доведено. Насамкiнець встановимо точну природу умови min0≤s≤k Ω(s, a, k) > −1. Дiйсно, вiзь- мемо параметри (a, k) такi, що Ω(s0, a, k) = mins Ω(s, a, k) ≤ −1 для деякого цiлого s0 ∈ ∈ [0, k]. Означимо (k + s0 + 1)-перiодичну функцiю h : Z → {0, . . . , k} через h(j) = j для 0 ≤ j ≤ k i h(j) = k для k + 1 ≤ j ≤ k + s0. Тепер розглянемо (k + s0 + 1)- перiодичне лiнiйне рiзницеве рiвняння xn+1 = xn + axn−k(n), n ∈ Z. Використовуючи формулу варiацiї сталої, отримуємо xj = x0 + j−1∑ i=0 axi−h(i) = x0 + j−1∑ i=0 ax0 = x0(1 + aj) для всiх j ∈ {1, . . . , k + 1}. Тому xk+s0+1 = xk+1 + k+s0∑ j=k+1 axj−h(j) = xk+1 + k+s0∑ j=k+1 axj−k = = x0(1 + a(k + 1)) + s0∑ j=1 axj = = x0(1 + a(k + 1)) + ax0 s0∑ j=1 (1 + aj) = x0Ω(s0, a, k). Отже, xm(k+1+s0) = x0Ωm(s0, a, k), m = 1, 2, . . . , так що всi розв’язки рiвняння необмеже- нi, якщо Ω(s0, a, k) < −1. Якщо Ω(s0, a, k) = −1, то всi розв’язки рiвняння перiодичнi. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 534 О. I. НЕНЯ 1. Liz E., Tkachenko V., Trofimchuk S. Global stability in discrete population models with delayed-density dependence // Math. Biosci. — 2006. — 199. — P. 26 – 37. 2. El-Morshedy H. A., Liz E. Convergence to equilibria in discrete population model // J. Different. Equat. and Appl. — 2005. — 11. — P. 117 – 131. 3. Kocic V. L., Ladas. Global asymptotic behaviour of nonlinear difference equations of higher order with appli- cations. — Dordrecht: Kluwer Acad., 1993. 4. Kuang Y. Delay differential equations with applications in population dynamics. — Acad. Press, 1993. 5. Li X. Global attractivity in a genotype selection model // Int. J. Math. and Math. Sci. — 2002. – 29, № 9. — P. 537 – 544. 6. Tkachenko V., Trofimchuk S. A global attractivity criterion for nonliner non-autonomous difference equati- ons // J. Math. Anal. and Appl. — 2006. — 322. — P. 901 – 912. 7. Matsunaga H., Hara T., Sakata S. Global attractivity for a nonlinear difference equation with variable delay // Comput. Math. Appl. — 2001. — 41. — P. 543 – 551. 8. Неня О. I., Ткаченко В. I., Трофимчук С. I. Про глобальну стiйкiсть одного нелiнiйного рiвняння // Нелiнiйнi коливання. — 2004. – 7, № 4. — P. 487 – 494. 9. Ivanov A., Liz E., Trofimchuk S. Halanay inequality, Yorke 3/2 stability criterion, and differential equations with maxima // Tohoku Math. J. — 2002. — 54. — P. 277 – 295. Одержано 31.07.2006 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178184
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn 1562-3076
language Ukrainian
last_indexed 2025-12-07T16:49:07Z
publishDate 2006
publisher Інститут математики НАН України
record_format dspace
spelling Неня, О.І.
2021-02-18T07:59:41Z
2021-02-18T07:59:41Z
2006
Про глобальну стійкість одного нелінійного різницевого рівняння / О.І. Неня // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 4. — С. 525-534. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.
1562-3076
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178184
517.9
Приведены точные достаточные условия глобальной устойчивости нулевого решения разностного уравнения xn+1 = xn + fn(xn, . . . , xn−k), n ∈ Z,, где нелинейные функции fn удовлетворяют условиям отрицательной обратной связи и подлинейного роста.
We establish exact sufficient conditions for global stability of the zero solution of a difference equation of&#xd; the form xn+1 = xn + fn(xn, . . . , xn−k), n ∈ Z, where the nonlinear functions fn satisfy the negative&#xd; feedback conditions and have sublinear growth.
uk
Інститут математики НАН України
Нелінійні коливання
Про глобальну стійкість одного нелінійного різницевого рівняння
О глобальной устойчивости одного нелинейного разностного уравнения
On the global stability of a nonlinear difference equation
Article
published earlier
spellingShingle Про глобальну стійкість одного нелінійного різницевого рівняння
Неня, О.І.
title Про глобальну стійкість одного нелінійного різницевого рівняння
title_alt О глобальной устойчивости одного нелинейного разностного уравнения
On the global stability of a nonlinear difference equation
title_full Про глобальну стійкість одного нелінійного різницевого рівняння
title_fullStr Про глобальну стійкість одного нелінійного різницевого рівняння
title_full_unstemmed Про глобальну стійкість одного нелінійного різницевого рівняння
title_short Про глобальну стійкість одного нелінійного різницевого рівняння
title_sort про глобальну стійкість одного нелінійного різницевого рівняння
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178184
work_keys_str_mv AT nenâoí proglobalʹnustíikístʹodnogonelíníinogoríznicevogorívnânnâ
AT nenâoí oglobalʹnoiustoičivostiodnogonelineinogoraznostnogouravneniâ
AT nenâoí ontheglobalstabilityofanonlineardifferenceequation