Про глобальну стійкість одного нелінійного різницевого рівняння
Приведены точные достаточные условия глобальной устойчивости нулевого решения разностного уравнения xn+1 = xn + fn(xn, . . . , xn−k), n ∈ Z,, где нелинейные функции fn удовлетворяют условиям отрицательной обратной связи и подлинейного роста. We establish exact sufficient conditions for global stabil...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2006 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178184 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про глобальну стійкість одного нелінійного різницевого рівняння / О.І. Неня // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 4. — С. 525-534. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860023355179008000 |
|---|---|
| author | Неня, О.І. |
| author_facet | Неня, О.І. |
| citation_txt | Про глобальну стійкість одного нелінійного різницевого рівняння / О.І. Неня // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 4. — С. 525-534. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Приведены точные достаточные условия глобальной устойчивости нулевого решения разностного уравнения xn+1 = xn + fn(xn, . . . , xn−k), n ∈ Z,, где нелинейные функции fn удовлетворяют условиям отрицательной обратной связи и подлинейного роста.
We establish exact sufficient conditions for global stability of the zero solution of a difference equation of
the form xn+1 = xn + fn(xn, . . . , xn−k), n ∈ Z, where the nonlinear functions fn satisfy the negative
feedback conditions and have sublinear growth.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:49:07Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517 . 9
ПРО ГЛОБАЛЬНУ СТIЙКIСТЬ ОДНОГО НЕЛIНIЙНОГО
РIЗНИЦЕВОГО РIВНЯННЯ
О. I. Неня
Київ. нац. економ. ун-т
Україна, 03680, Київ, просп. Перемоги, 54/1
We establish exact sufficient conditions for global stability of the zero solution of a difference equation of
the form xn+1 = xn + fn(xn, . . . , xn−k), n ∈ Z, where the nonlinear functions fn satisfy the negative
feedback conditions and have sublinear growth.
Приведены точные достаточные условия глобальной устойчивости нулевого решения раз-
ностного уравнения xn+1 = xn + fn(xn, . . . , xn−k), n ∈ Z,, где нелинейные функции fn удов-
летворяют условиям отрицательной обратной связи и подлинейного роста.
1. Вступ та основнi результати. Розглянемо нелiнiйне рiзницеве рiвняння з запiзненням
xn+1 = xn + fn (xn, . . . , xn−k) , n ∈ Z, xn ∈ R. (1)
Нелiнiйнi функцiї fn : Rk+1 → R задовольняють умови H1),H2), наведенi нижче. За до-
помогою рiвняння (1) описуються рiзноманiтнi дискретнi моделi бiологiчних популяцiй.
Вiдмiтимо, що рiзницевi рiвняння з запiзненням Рiкера та П’єлоу (див. [1]) можна зве-
сти до рiвняння вигляду (1). Метою даної роботи є продовження дослiдження глобальної
стiйкостi єдиної нерухомої точки рiвняння (1)(див. [2 – 7]).
Розв’язком рiвняння (1) з початковою умовою
xi = ϕi, i = −k, . . . , 0, (2)
є послiдовнiсть {xn}, яка означена для n ≥ −k, задовольняє початкову умову (2) i рiвнян-
ня (1) при n = 0, 1, . . .. Очевидно, що розв’язок {xn} iснує для всiх n ≥ 0 i його можна
побудувати послiдовно.
Означимо функцiонал M : Rk+1 → R+, M(z) = maxi{0, zi}, де z = (z0, . . . , zk) , i
накладемо такi умови:
H1) припустимо, що функцiї fn задовольняють умову
∞∑
j=1
fj(zj , . . . , zj−k) = ∞ (3)
для кожної послiдовностi {zj}, яка має ненульову границю на нескiнченностi;
H2) iснує число a < 0 таке, що
aM(φ) ≤ f(n, φ) ≤ −aM(−φ) (4)
для всiх φ ∈ Rk+1.
c© О. I. Неня, 2006
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 525
526 О. I. НЕНЯ
Зауважимо, що в статтi [8] було розглянуто достатнi умови глобальної стiйкостi ну-
льового розв’язку рiзницевого рiвняння
xn+1 = qxn + fn(xn, . . . , xn−k), q ∈ (0, 1). (5)
У роботi [8] доведено наступну теорему.
Теорема 1. Нехай функцiї fn задовольняють умову H2). Тодi кожен розв’язок {xn}
рiвняння (5) прямує до 0 i задовольняє нерiвнiсть
max
j=n−k,n
|xj | ≤ Γλn−s max
j=s−k,s
|xj |, n ≥ s, λ ∈ (0, 1),Γ > 0, (6)
якщо
min
s=0,...,k
(
qk+s+1 + aqs
(
s +
1− qk+1
1− q
)
+ a2 1 + qs(sq − s− 1)
(1− q)2
)
> −1. (7)
Ця умова є точною для класу рiвнянь (5), якi задовольняють умову H2).
Переходячи до границi q → 1, формулу (7) зводимо до вигляду
min
s=0,...,k
(
1 + a(s + k + 1) + a2 s(s + 1)
2
)
> −1. (8)
У роботi [6] сформульовано гiпотезу, що при виконаннi нерiвностi (8) всi розв’язки
рiвняння (1) прямують до нуля при n → ∞. В данiй роботi отримано пiдтвердження цiєї
гiпотези. Основним результатом роботи є наступна теорема.
Теорема 2. Припустимо, що функцiї fn задовольняють умови H1), H2). Тодi кожен
розв’язок {xn} рiвняння (1) прямує до 0, якщо
a ≥ max
j=1,2
−4
k + sj + 1 +
√
(k + sj + 1)2 − 4sj (sj + 1)
, (9)
де s1 — цiла частина числа
1
3
(
k − 1 +
√
k2 + k + 1
)
, а s2 = s1 + 1.
Формулу (9) можна отримати в результатi розв’язування нерiвностi (8) вiдносно a та
вiдповiдних алгебраїчних перетворень.
2. Допомiжнi результати. Розглянемо лiнiйне рiзницеве рiвняння
yn+1 = yn + ayn−k, n ≥ ζ, (10)
з початковими умовами yi = −M < 0, i ≤ ζ, де ζ ∈ Z — фiксоване число. Оскiльки
рiвняння (10) є автономним, то можна взяти ζ = 0. Зважаючи на те, що yn = −M(1+na)
при n = 1, . . . , k + 1, при −a(k + 1) > 1 можна знайти число α ∈ {0, . . . , k + 1} таке, що
yn ≤ 0, n ∈ {0, . . . , α}, i yn > 0 для всiх n ∈ I = {α + 1, . . . , α + k + 1}.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
ПРО ГЛОБАЛЬНУ СТIЙКIСТЬ ОДНОГО НЕЛIНIЙНОГО РIЗНИЦЕВОГО РIВНЯННЯ 527
Визначимо
ρ (M) = max
n∈I
{yn} .
Нехай виконується одна з умов
−a(k + 1) ≤ 1,
(11)
−a(k + 1) > 1, M−1ρ (M) ≤ 1.
Наступне твердження є дискретним аналогом теореми 2.4 роботи [9].
Лема 1. Припустимо, що fn задовольняє умови H1), H2) i виконується одна з умов
(11). Тодi для кожного розв’язку xn : {τ − k, . . . ,+∞) → R рiвняння (1) виконується
нерiвнiсть
|xn| ≤ max
s∈{τ−k,...,τ+2k}
|xs| для всiх n ≥ τ. (12)
Доведення. Припустимо, що нерiвнiсть (12) не виконується. Тодi iснує розв’язок {xn}
такий, що для деякого τ∗ > τ + 2k маємо
|xτ∗ | > max
s∈{τ−k,...,τ+2k}
|xs| . (13)
Нехай τ∗ — перша злiва точка з цiєю властивiстю, i для визначеностi припустимо, що
xτ∗ > 0. Доведемо iснування такого iнтервалу ∆ = {α, . . . , β}, що τ∗ ∈ ∆, τ∗ − α ≤ k + 1,
xα ≤ 0, xβ ≤ 0 i xn > 0 для n ∈ {α + 1, . . . , β − 1}. Нехай, навпаки, xn > 0 для всiх
n ∈ {τ∗ − k − 1, . . . , τ∗ − 1}. Тодi згiдно з (4)
xτ∗ = xτ∗−1 + fτ∗−1(φτ∗−1) < xτ∗−1,
що суперечить припущенню. Найменше n > τ∗ таке, що xn ≤ 0, приймаємо за β. Якщо
такого n немає, то xn > 0 для всiх n > α. Тодi fn(φn) ≤ 0 i xn+1 = xn + fn(φn) ≤ xn. Тому
iснує таке число A ≥ 0, що lim
n→∞
xn = A. Якщо A > 0, то згiдно з умовою H1) для всiх
n > n1 виконується
xn = xn1 +
n−1∑
s=n1
fs(φs) → −∞.
Отримали суперечнiсть щодо вибору числа A. Отже, lim
n→∞
xn = 0 i β = +∞.
Нехай −a(k + 1) ≤ 1. Позначимо M = maxn∈∆ {xn} = xξ > 0, де ξ — найменше цiле
число, яке має цю властивiсть. Розглянемо на iнтервалi {α, . . . , ξ} розв’язок {xn} рiвняння
(1) та розв’язок {yn (α,−M)} рiвняння
yn+1 = yn − aM, xα = yα, n ∈ {α, . . . , ξ} . (14)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
528 О. I. НЕНЯ
Тодi при n ∈ {α, . . . , ξ}
xn = xα +
n−1∑
i=α
fi (φi) ≤ yα +
n−1∑
i=α
a (−M (−φi)) < yα − (n− α)aM = yn.
Маємо нерiвнiсть xn < yn, яку оцiнимо в точцi n = ξ:
M = xξ < yξ = yα − (ξ − α) aM ≤ − (ξ − α) aM ≤ − (k + 1) aM,
а це суперечить першiй з умов (11).
Тепер нехай−(k +1)a > 1. Розглянемо розв’язок рiвняння (10) такий, що yα = xα ≤ 0
i yn = −M при n ≤ 0.
Покажемо, що на iнтервалi Σ = {−k, . . . , α} для розв’язкiв рiвнянь (1) та (10) викону-
ється xn > yn. Очевидно, що для всiх n ∈ {−k, . . . , 0} xn > yn, оскiльки |xn| < M для
всiх n ∈ {τ, . . . , ξ − 1} ⊃ {−k, . . . , 0}. Припустимо, що iснує така точка l ∈ {0, . . . , α− 1},
в якiй xl = yl. Порiвняємо розв’язки рiвнянь (1), (10) для всiх n ∈ {l, . . . , α}:
yn = yl − (n− l) aM,
xn = xl +
n−1∑
i=l
fi (φi) < yl − (n− l) aM = yn,
а це суперечить тому, що xα = yα. Звiдси випливає, що xn > yn для всiх −k ≤ n < α.
Тепер розглянемо розв’язки рiвнянь (1) та (10) на iнтервалi I = {α, . . . , α + k + 1}.
Нехай I = I1 ∪ I2, де I1 = {α, . . . , k} , I2 = {k + 1, . . . , α + k + 1}. При n ∈ I1 маємо
xn = xα +
n−1∑
i=α
fi (φi) < yα −
n−1∑
i=α
aM = yn,
при n ∈ I2
xn = xk +
n−1∑
i=k
fi (φi) < yk + a
n−1∑
i=k
yi−k = yn.
У загальному випадку xn < yn для всiх n ∈ I . Оцiнюючи останню нерiвнiсть в точцi
n = ξ, отримуємо
M = xξ < yξ = ρ (M) ,
що суперечить припущенню (11). Отже, при виконаннi умов леми припущення про iсну-
вання точки τ∗, в якiй виконується нерiвнiсть (13), приводить до суперечностi.
Лему доведено.
Наслiдок 1. За умов леми 1 нульовий розв’язок рiвняння (1) є стiйким:
max |xj |
j=n−k,...,n
≤ exp(−3ake−1) max |xj |
j=s−k,...,s
, n ≥ s.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
ПРО ГЛОБАЛЬНУ СТIЙКIСТЬ ОДНОГО НЕЛIНIЙНОГО РIЗНИЦЕВОГО РIВНЯННЯ 529
Доведення. Розглянемо розв’язок {xn} на iнтервалi {s− k, . . . , s + 2k}, s ∈ Z. Нехай
ξ ∈ {s, . . . , s + 2k} — точка локального максимуму розв’язку {xn}. Тодi iснують точки
α ∈ {ξ − k − 1, . . . , ξ − 1} i β > α такi, що xα ≤ 0, xi > 0, i = α + 1, . . . , β − 1, i xβ ≤ 0,
β = s + 2k. Позначимо max {xn}
n=α,...,β
= xα+δ > 0 i M0 = max |xn|
n=s−k,...,s
. Тодi
xα+δ = xα +
α+δ−1∑
i=α
fi (φi) ≤
α+δ−1∑
i=α
a (−M (−φi)) = −M0aδ.
Продовжуючи аналогiчно, показуємо, що на iнтервалi {s− k, . . . , s + 2k} iснує m ≥ 1
аналогiчних чисел αi + δi. Тодi
max |xj |
j=s,...,s+2k
= max |xαi+δi
|
i=1,...,m
≤ M0
m∏
i=1
(−aδi) ≤
≤ M0
(
−a
∑
δi
m
)m
≤ M0
(
−3ak
m
)m
≤ M0 exp
(
−3ak
e
)
.
Наслiдок доведено.
При виконаннi умови (11) ми довели обмеженiсть розв’язкiв рiвняння (1). Тому для
розв’язку {xn} iснують M = lim supn→∞ xn i m = lim infn→∞ xn. У цьому випадку iснують
двi послiдовностi точок ξj , δj локального максимуму i локального мiнiмуму вiдповiдно
таких, що x(ξj) = Mj → M,x(δj) = mj → m i ξj , δj → +∞ при j → ∞.
Лема 2. Iснують такi n ∈ {δj − k − 1, . . . , δj − 1} та l ∈ {ξj − k − 1, . . . , ξj − 1} , що
xn > 0 i xl < 0.
Доведення. Вiзьмемо одне з δj . Якщо xn ≤ 0 для всiх n ∈ {δj − k − 1, . . . , δj − 1}, то
xδj
− xδj−1
= fδj−1
(φδj−1
) ≥ 0 , що суперечить вибору точки xδj
. Iнший випадок розгляда-
ється аналогiчно.
Лема 3. Якщо m ≥ 0 або M ≤ 0, то M = m = 0.
Доведення. Припустимо, що M < 0. Тодi xn < M/2 < 0 починаючи з деякого n = n1.
Тому виконується xn+1 = xn + fn(φn) ≥ xn, n ≥ n1 + k. Звiдси розв’язок {xn} прямує
монотонно до вiд’ємного значення M . Маємо суперечнiсть, оскiльки згiдно з умовою H1)
xn = xn1 +
n−1∑
s=n1
fs(φs) → +∞.
Розглянемо тепер розв’язок при M = 0 i m < 0. В цьому випадку {xn} обов’язково
коливається бiля нуля. Справдi, оскiльки iнакше xn ≤ 0 i тому xn+1 − xn = fn(φn) ≥ 0,
{xn} прямує монотонно до тривiального стiйкого положення рiвноваги. З того, що {xn}
— коливний розв’язок, можна знайти послiдовнiсть цiлих iнтервалiв Ij = {lj , rj} таких,
що xn < 0, lj + 1 ≤ n ≤ rj − 1 i minIj xn = xδj
→ m при j → +∞, де δj — мiнiмальна
точка з цiєю властивiстю на iнтервалi Ij . Згiдно з лемою 2 зауважимо, що
xδj
= xlj +
δj−1∑
s=lj
fs(φs) ≥
δj−1∑
s=lj
fs(φs) ≥ (k + 1)a max
n∈{lj−k,lj}
xn → 0, j → +∞,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
530 О. I. НЕНЯ
а це суперечить вiдношенню xδj
→ m < 0.
Випадок m ≥ 0 розглядається аналогiчно.
Зауваження 1. Якщо розглянути розв’язок {yn} рiвняння (10), то iснує таке цiле число
s ∈ {0, . . . , k} , що yα−s > −M i yα−s−1 = −M, де α = s + 1, yα = (m − ε)(1 + (s + 1)).
Нехай значення ρ (M) досягається в точцi n = k + 1 + s, тобто
ρ (M) = max
n∈I
{yn} = yk+1+s =
= −M
(
1 + as + a + a2s (s + 1) + ak − a2 s (s + 1)
2
)
=
= −M
(
1 + a(s + k + 1) + a2 s(s + 1)
2
)
.
Тому при виконаннi умов теореми 2 умови (11) виконуються автоматично, що дозволяє
використати лему 1 при доведеннi теореми 2.
3. Доведення теореми 2. З леми 1 та зауваження 1 випливає, що при виконаннi умов
теореми всi розв’язки рiвняння (1) є обмеженими. З огляду на лему 3 досить розглянути
коливний розв’язок {xn} рiвняння (1) з m < 0 < M . Iснують двi послiдовностi точок ξj , δj
локального максимуму i локального мiнiмуму таких, що lim x(ξj) → M, lim x(δj) → m,
ξj → ∞, δj → ∞ при j → ∞. Тодi при довiльному ε > 0 i досить великих j виконується
x(ξj) < M + ε, x(δj) > m− ε.
Згiдно з лемою 2 для ξj iснує число α′j ∈ {ξj − k − 1, . . . , ξj − 1} таке, що 0 ≥ x(α′j) =
= −M
(
−φξj−1
)
, а для δj буде iснувати число α′∗j ∈ {δj − k − 1, . . . , δj − 1} таке, що 0 ≤
≤ x(α′∗j ) = M
(
φδj−1
)
. Як i ранiше, φs = (xs, . . . , xs−k) .
З нерiвностi
xα′j
= xα′j−1 + fα′j−1
(
xα′j−1, . . . , xα′j−k−1
)
≤ xα′j−1 + a(m− ε)
отримуємо оцiнку xα′j−1 ≥ xα′j
− a(m− ε) = zα′j−1. Аналогiчно
xα′j−l ≥ xα′j
− al(m− ε) = zα′j−l. (15)
При l = 0 покладемо xα′j
= zα′j
. Позначимо через s ∈ {0, . . . , k} таке цiле число, що
zα′j−s > m− ε i zα′j−s−1 ≤ m− ε . Тодi при s ≥ 1
(m− ε) (1 + as) < xα′j
≤ (m− ε) (1 + a (s + 1)) . (16)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
ПРО ГЛОБАЛЬНУ СТIЙКIСТЬ ОДНОГО НЕЛIНIЙНОГО РIЗНИЦЕВОГО РIВНЯННЯ 531
Врахувавши (15), оцiнимо xξj
:
Mj = xξj
= xα′j
+
ξj−1∑
i=α′j
fi (φi) ≤ xα′j
+
ξj−1∑
i=α′j
a (−M (−φi)) ≤
≤ xα′j
+
k∑
l=0
a
(
−M
(
−φl+α′j
))
≤
≤ xα′j
+
s∑
l=0
a
(
xα′j
− al(m− ε)
)
+
k∑
l=s+1
a(m− ε) =
= xα′j
+ a(m− ε) (k − s) + axα′j
(s + 1)− a2(m− ε)
s∑
l=0
l =
= xα′j
(1 + a (s + 1)) + a(m− ε)
(
k − s− a
s (s + 1)
2
)
= S (s,m− ε) .
Якщо 1 + a(s + 1) ≤ 0 , то за нерiвнiстю (16)
S (s,m− ε) ≤ (m− ε) (1 + as) (1 + a (s + 1)) + a(m− ε)
(
k − s− a
s (s + 1)
2
)
=
= (m− ε)
(
1 + as + a + a2s (s + 1) + ak − a2 s (s + 1)
2
)
= (m− ε)Ω (s, k, a) .
Якщо 1 + a(s + 1) ≥ 0 , то
S (s,m− ε) ≤ (m− ε) (1 + a (s + 1))2 + a(m− ε)
(
k − s− a
s (s + 1)
2
)
=
= (m− ε)
(
1 + a (s + k + 2) + a2 s2 + 3s + 2
2
)
=
= (m− ε)
(
1 + a (s + k + 2) + a2 (s + 1) (s + 2)
2
)
=
= (m− ε)Ω (s + 1, k, a) .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
532 О. I. НЕНЯ
Окремо розглянемо випадок для 1 + a(s + 1) ≥ 0 при s = k. Отримуємо
S (k, m− ε) = (m− ε)Ω (k + 1, k, a) =
= (m− ε)
(
1 + a (2k + 2) + a2 (k + 1) (k + 2)
2
)
≤
≤ (m− ε)
(
1− 2 +
(k + 1) (k + 2)
2(k + 1)2
)
= (m− ε)
−k
2(k + 1)
< −(m− ε).
Враховуючи останню нерiвнiсть та (8), при граничному переходi ε → 0 отримуємо
M ≤ S(s,m) ≤ m min
s=0,...,k
Ω (s, k, a) < −m. (17)
Виконаємо аналогiчнi дiї для точок {xδj
}. Вiдповiдними до нерiвностей (15), (16) бу-
дуть
xα′∗j −l ≤ xα′∗j
− al (M + ε) = zα′∗j −l, (18)
(M + ε)(1 + a(s + 1)) ≤ xα′∗j
< (M + ε)(1 + as) (19)
для таких значень s ∈ {0, . . . , k}, що zα′∗j −s < M + ε, zα′∗j −s−1 ≥ M + ε. Далi, враховуючи
(18), виконуємо аналогiчнi перетворення
mj = xδj
= xα′∗j
+
δj−1∑
i=α′∗j
fi (φi) ≥ xα′∗j
+
δj−1∑
i=α′∗j
a (M (φi)) ≥
≥ xα′∗j
+
s∑
l=0
a
(
xα′∗j
− al(M + ε)
)
+
k∑
l=s+1
a(M + ε) =
= xα′∗j
+ a(M + ε) (k − s) + axα′∗j
(s + 1)− a2(M + ε)
s∑
l=0
l =
= xα′∗j
(1 + a (s + 1)) + a(M + ε)
(
k − s− a
s (s + 1)
2
)
= S (s,M + ε) .
Якщо 1 + a(s + 1) ≤ 0 , то за нерiвнiстю (19)
S (s,M + ε) ≥ (M + ε)
(
1 + as + a + a2s (s + 1) + ak − a2 s (s + 1)
2
)
=
= (M + ε)Ω (s, k, a) .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
ПРО ГЛОБАЛЬНУ СТIЙКIСТЬ ОДНОГО НЕЛIНIЙНОГО РIЗНИЦЕВОГО РIВНЯННЯ 533
Якщо 1 + a(s + 1) ≥ 0 , то
S (s,M + ε) = (M + ε)
(
1 + a (s + k + 2) + a2 (s + 1) (s + 2)
2
)
=
= (M + ε)Ω (s + 1, k, a) .
Для 1 + a(s + 1) ≥ 0 при s = k отримуємо
S (k,M + ε) = (M + ε)Ω (k + 1, k, a) ≥ (M + ε)
−k
2(k + 1)
> −(M + ε).
При граничному переходi ε → 0 маємо
m ≥ S(s,M) ≥ M min
s=0,...,k
Ω (s, k, a) > −M. (20)
Враховуючи оцiнки (17), (20), одержуємо
M < −m < −(−M) = M,
з чого випливає, що m = M = 0.
Теорему доведено.
Насамкiнець встановимо точну природу умови min0≤s≤k Ω(s, a, k) > −1. Дiйсно, вiзь-
мемо параметри (a, k) такi, що Ω(s0, a, k) = mins Ω(s, a, k) ≤ −1 для деякого цiлого s0 ∈
∈ [0, k]. Означимо (k + s0 + 1)-перiодичну функцiю h : Z → {0, . . . , k} через h(j) = j
для 0 ≤ j ≤ k i h(j) = k для k + 1 ≤ j ≤ k + s0. Тепер розглянемо (k + s0 + 1)-
перiодичне лiнiйне рiзницеве рiвняння xn+1 = xn + axn−k(n), n ∈ Z. Використовуючи
формулу варiацiї сталої, отримуємо
xj = x0 +
j−1∑
i=0
axi−h(i) = x0 +
j−1∑
i=0
ax0 = x0(1 + aj)
для всiх j ∈ {1, . . . , k + 1}. Тому
xk+s0+1 = xk+1 +
k+s0∑
j=k+1
axj−h(j) = xk+1 +
k+s0∑
j=k+1
axj−k =
= x0(1 + a(k + 1)) +
s0∑
j=1
axj =
= x0(1 + a(k + 1)) + ax0
s0∑
j=1
(1 + aj) = x0Ω(s0, a, k).
Отже, xm(k+1+s0) = x0Ωm(s0, a, k), m = 1, 2, . . . , так що всi розв’язки рiвняння необмеже-
нi, якщо Ω(s0, a, k) < −1. Якщо Ω(s0, a, k) = −1, то всi розв’язки рiвняння перiодичнi.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
534 О. I. НЕНЯ
1. Liz E., Tkachenko V., Trofimchuk S. Global stability in discrete population models with delayed-density
dependence // Math. Biosci. — 2006. — 199. — P. 26 – 37.
2. El-Morshedy H. A., Liz E. Convergence to equilibria in discrete population model // J. Different. Equat. and
Appl. — 2005. — 11. — P. 117 – 131.
3. Kocic V. L., Ladas. Global asymptotic behaviour of nonlinear difference equations of higher order with appli-
cations. — Dordrecht: Kluwer Acad., 1993.
4. Kuang Y. Delay differential equations with applications in population dynamics. — Acad. Press, 1993.
5. Li X. Global attractivity in a genotype selection model // Int. J. Math. and Math. Sci. — 2002. – 29, № 9. —
P. 537 – 544.
6. Tkachenko V., Trofimchuk S. A global attractivity criterion for nonliner non-autonomous difference equati-
ons // J. Math. Anal. and Appl. — 2006. — 322. — P. 901 – 912.
7. Matsunaga H., Hara T., Sakata S. Global attractivity for a nonlinear difference equation with variable delay
// Comput. Math. Appl. — 2001. — 41. — P. 543 – 551.
8. Неня О. I., Ткаченко В. I., Трофимчук С. I. Про глобальну стiйкiсть одного нелiнiйного рiвняння //
Нелiнiйнi коливання. — 2004. – 7, № 4. — P. 487 – 494.
9. Ivanov A., Liz E., Trofimchuk S. Halanay inequality, Yorke 3/2 stability criterion, and differential equations
with maxima // Tohoku Math. J. — 2002. — 54. — P. 277 – 295.
Одержано 31.07.2006
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178184 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:49:07Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Неня, О.І. 2021-02-18T07:59:41Z 2021-02-18T07:59:41Z 2006 Про глобальну стійкість одного нелінійного різницевого рівняння / О.І. Неня // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 4. — С. 525-534. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178184 517.9 Приведены точные достаточные условия глобальной устойчивости нулевого решения разностного уравнения xn+1 = xn + fn(xn, . . . , xn−k), n ∈ Z,, где нелинейные функции fn удовлетворяют условиям отрицательной обратной связи и подлинейного роста. We establish exact sufficient conditions for global stability of the zero solution of a difference equation of
 the form xn+1 = xn + fn(xn, . . . , xn−k), n ∈ Z, where the nonlinear functions fn satisfy the negative
 feedback conditions and have sublinear growth. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Про глобальну стійкість одного нелінійного різницевого рівняння О глобальной устойчивости одного нелинейного разностного уравнения On the global stability of a nonlinear difference equation Article published earlier |
| spellingShingle | Про глобальну стійкість одного нелінійного різницевого рівняння Неня, О.І. |
| title | Про глобальну стійкість одного нелінійного різницевого рівняння |
| title_alt | О глобальной устойчивости одного нелинейного разностного уравнения On the global stability of a nonlinear difference equation |
| title_full | Про глобальну стійкість одного нелінійного різницевого рівняння |
| title_fullStr | Про глобальну стійкість одного нелінійного різницевого рівняння |
| title_full_unstemmed | Про глобальну стійкість одного нелінійного різницевого рівняння |
| title_short | Про глобальну стійкість одного нелінійного різницевого рівняння |
| title_sort | про глобальну стійкість одного нелінійного різницевого рівняння |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178184 |
| work_keys_str_mv | AT nenâoí proglobalʹnustíikístʹodnogonelíníinogoríznicevogorívnânnâ AT nenâoí oglobalʹnoiustoičivostiodnogonelineinogoraznostnogouravneniâ AT nenâoí ontheglobalstabilityofanonlineardifferenceequation |