Умови однозначної розв'язності початкової задачі для лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з відхиленнями аргументу
Установлены новые условия, при которых начальная задача для системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка с отклонениями аргумента имеет единственное решение, монотонно зависящее от аддитивных возмущений задачи. We establish new conditions under which the initial-value problem for a s...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Datum: | 2006 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178185 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Умови однозначної розв'язності початкової задачі для лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з відхиленнями аргументу / А.М. Ронто, Н.З. Дільна // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 4. — С. 535-547. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859983876427874304 |
|---|---|
| author | Ронто, А.М. Дільна, Н.З. |
| author_facet | Ронто, А.М. Дільна, Н.З. |
| citation_txt | Умови однозначної розв'язності початкової задачі для лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з відхиленнями аргументу / А.М. Ронто, Н.З. Дільна // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 4. — С. 535-547. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Установлены новые условия, при которых начальная задача для системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка с отклонениями аргумента имеет единственное решение,
монотонно зависящее от аддитивных возмущений задачи.
We establish new conditions under which the initial-value problem for a system of second-order linear
differential equations with argument deviations has a unique solution which depends monotonously on
forcing terms.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:27:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517 . 9
УМОВИ ОДНОЗНАЧНОЇ РОЗВ’ЯЗНОСТI ПОЧАТКОВОЇ ЗАДАЧI
ДЛЯ ЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
З ВIДХИЛЕННЯМИ АРГУМЕНТУ*
А. М. Ронто, Н. З. Дiльна
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ 4, вул. Терещенкiвська, 3
We establish new conditions under which the initial-value problem for a system of second-order linear
differential equations with argument deviations has a unique solution which depends monotonously on
forcing terms.
Установлены новые условия, при которых начальная задача для системы линейных дифферен-
циальных уравнений второго порядка с отклонениями аргумента имеет единственное решение,
монотонно зависящее от аддитивных возмущений задачи.
1. Вступ. Mетою даної роботи є встановлення конструктивних умов, достатнiх для одно-
значної розв’язностi задачi Кошi для системи лiнiйних диференцiальних рiвнянь другого
порядку з вимiрними вiдхиленнями аргументу загального вигляду. Подiбнi питання з iн-
ших позицiй нещодавно розглядалися, зокрема, в [1, 2].
Доведення результатiв ґрунтуються на використаннi результатiв робiт [3 – 5]. Цiкавим
є факт, що змiстовнi та ефективнi достатнi умови iснування, єдиностi та знакосталостi
розв’язку даної задачi вдається вивести з теорем про iнтегро-диференцiальнi нерiвностi
для систем першого порядку тої ж самої розмiрностi, що й вихiдна диференцiальна систе-
ма [3 – 6]. Деякi такi результати й отримано в цiй роботi.
2. Позначення. У статтi використовуються наступнi позначення: C([a, b], Rn) — бана-
хiв простiр неперервних функцiй [a, b] → Rn, норму в якому задано формулою
C([a, b], Rn) 3 u = (uk)n
k=1 7−→ max
k=1,2,...,n
max
s∈[a,b]
|uk(s)| ;
L1([a, b], Rn) — банахiв простiр iнтегровних за Лебегом функцiй u : [a, b] → Rn з нормою
L1([a, b], Rn) 3 u = (uk)n
k=1 7−→ max
k=1,2,...,n
b∫
a
|uk(s)| ds.
3. Постановка задачi. Далi розглядаємо систему рiвнянь
u′′k(t) =
n∑
j=1
pkj(t)uj(ωkj(t)) + ϕk(t), t ∈ [a, b], (1)
∗ Виконано за часткової пiдтримки грантами Президiї НАН України (№ 0105U005666, AS CR
№ AV0Z10190503, INTAS № 04-83-3968).
c© А. М. Ронто, Н. З. Дiльна, 2006
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 535
536 А. М. РОНТО, Н. З. ДIЛЬНА
iз початковими умовами
uk(τ) = c0k, k = 1, 2, . . . , n, (2)
u′k(τ) = c1k, k = 1, 2, . . . , n, (3)
де −∞ < a ≤ τ ≤ b < +∞, pkj : [a, b] → R, k, j = 1, 2, . . . , n, та ϕk : [a, b] → R —
iнтегровнi за Лебегом функцiї, ωkj : [a, b] → [a, b], k, j = 1, 2, . . . , n, — вимiрнi функцiї, а
{c0k, c1k | k = 1, 2, . . . , n} ⊂ R — довiльнi заданi константи.
Поряд iз неоднорiдною початковою задачею (1) – (3) розглядатимемо вiдповiдну їй
однорiдну задачу
u′′k(t) =
n∑
j=1
pkj(t)uj(ωkj(t)), t ∈ [a, b], k = 1, 2, . . . , n, (4)
iз початковими умовами
uk(τ) = 0, k = 1, 2, . . . , n, (5)
u′k(τ) = 0, k = 1, 2, . . . , n. (6)
Пiд розв’язком задачi (1), (2) (вiдповiдно (4), (5)), як прийнято у сучаснiй лiтературi
з теорiї функцiонально-диференцiальних рiвнянь [7], розумiємо абсолютно неперервну
вектор-функцiю u = (uk)n
k=1 : [a, b] → Rn, для компонент якої в точцi τ виконано влас-
тивостi (2), (3) (вiдповiдно (5), (6)) та для майже всiх t ∈ [a, b] справджується рiвнiсть (1)
(вiдповiдно (4)).
4. Достатнi умови розв’язностi задачi (1) – (3). Наступна теорема дозволяє отримати
умови, за яких задача (1) – (3) завжди має єдиний розв’язок, який, крiм того, у певному
сенсi монотонно залежить вiд адитивних збурень правих частин рiвняння та початкових
умов.
Теорема 1. Припустимо, що в рiвняннi (1) функцiї ωkj : [a, b] → [a, b], k, j = 1, 2, . . . , n,
є вимiрними, а iнтегровнi функцiї pkj : [a, b] → R при деяких сталих {σ1, σ2, . . . , σn} ⊂
⊂ {−1, 1} для всiх k, j = 1, 2, . . . , n задовольняють умову
σkσjpkj(t) ≥ 0 при майже всiх t ∈ [a, b]. (7)
Крiм цього, нехай iснують такi абсолютно неперервна вектор-функцiя y = (yk)n
k=1 :
[a, b] → Rn iз властивостями
yk(τ) = 0, k = 1, 2, . . . , n, (8)
yk(t) > 0, t ∈ [a, b] \ {τ}, k = 1, 2, . . . , n, (9)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
УМОВИ ОДНОЗНАЧНОЇ РОЗВ’ЯЗНОСТI ПОЧАТКОВОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ ЛIНIЙНИХ . . . 537
та константа % ∈ (1,+∞), для яких при всiх k = 1, 2, . . . , n та майже всiх t з [a, b]
справджується диференцiально-функцiональна нерiвнiсть
σk
y′k(t)− %
n∑
j=1
t∫
τ
pkj(s)yj(ωkj(s))ds
sign (t− τ) ≥ 0. (10)
Тодi однорiдна задача (4) – (6) має лише тривiальний розв’язок, а вiдповiдна їй не-
однорiдна задача (1) – (3) є однозначно розв’язною при довiльних функцiях {ϕk | k =
= 1, 2, . . . , n} ⊂ L1([a, b], R) та сталих c0k, c1k, k = 1, 2, . . . , n. Крiм цього, якщо для
констант c0k та c1k i функцiй ϕk, k = 1, 2, . . . , n, виконується умова
σk
t∫
τ
(t− ξ) ϕk(ξ) dξ ≥ −σkc0k − σkc1k(t− τ), t ∈ [a, b], k = 1, 2, . . . , n, (11)
то компоненти u1, u2, . . . , un єдиного розв’язку задачi (1) – (3) задовольняють умову
min
k=1,2,...,n
min
t∈[a,b]
σkuk(t) ≥ 0. (12)
Теорема 1 дозволяє отримати твердження, що визначає ефективнi умови розв’язностi
задачi (1) – (3).
Теорема 2. Нехай функцiї ωkj : [a, b] → [a, b], k, j = 1, 2, . . . , n, є вимiрними, а для
iнтегровних функцiй pkj : [a, b] → R, k, j = 1, 2, . . . , n, при деяких {σ1, σ2, . . . , σn} ⊂
⊂ {−1, 1} виконано умови (7). Крiм цього, припустимо iснування таких сталих {α1,
α2, . . . , αn} ⊂ (0,+∞) та {γ1, γ2, . . . , γn} ⊂ (0,+∞), що для кожного k = 1, 2, . . . , n май-
же скрiзь на [a, b] справджується нерiвнiсть
ess sup
t∈[a,b]\{τ}
σk
γk|t− τ |αk−1
n∑
j=1
γj
max{τ,t}∫
min{τ,t}
pkj(s)|ωkj(s)− τ |αjds < σkαk. (13)
Тодi однорiдна задача (4) – (6) має лише тривiальний розв’язок, а неоднорiдна зада-
ча (1) – (3) є однозначно розв’язною при довiльних функцiях {ϕk | k = 1, 2, . . . , n} ⊂
⊂ L1([a, b], R) та сталих c0k, c1k, k = 1, 2, . . . , n. Крiм цього, якщо для констант c0k та
c1k i функцiї ϕk при всiх t ∈ [a, b] виконується умова (11), то єдиний розв’язок задачi
(1) – (3) має властивiсть (12).
Iз теореми 2 випливає, зокрема, такий результат.
Наслiдок 1. Нехай функцiї ωkj : [a, b] → [a, b], k, j = 1, 2, . . . , n, є вимiрними, а для
iнтегровних функцiй pkj : [a, b] → R, k, j = 1, 2, . . . , n, при деяких значеннях {σ1, σ2, . . .
. . . , σn} ⊂ {−1, 1} виконано умови (7). Крiм цього, припустимо, що при деяких сталих
{γ1, γ2, . . . , γn} ⊂ (0,+∞) для кожного k = 1, 2, . . . , n справджується нерiвнiсть
max
{
σk
n∑
j=1
γj
τ∫
a
|pkj(ξ)||ωkj(ξ)− τ |dξ, σk
n∑
j=1
γj
b∫
τ
|pkj(ξ)||ωkj(ξ)− τ |dξ
}
< σkγk. (14)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
538 А. М. РОНТО, Н. З. ДIЛЬНА
Тодi для задач (1) – (3) та (4) – (6) має мiсце висновок теореми 1.
Наведемо ще таке твердження.
Теорема 3. Припустимо, що для функцiй ωkj : [a, b] → [a, b] та pkj : [a, b] → R,
k, j = 1, 2, . . . , n, при деяких значеннях {σ1, σ2, . . . , σn} ⊂ {−1, 1} виконано умови (7).
Крiм цього, нехай iснують такi {α1, α2, . . . , αn} ⊂ [1,+∞), що при всiх k = 1, 2, . . . , n
виконується нерiвнiсть
ess sup
t∈[a,b]\{τ}
σk
|t− τ |αk
n∑
j=1
t∫
τ
(t− ξ) pkj(ξ)|ωkj(ξ)− τ |αjdξ < σk. (15)
Тодi для задач (1) – (3) та (4) – (6) має мiсце висновок теореми 1.
Цi та подальшi твердження доведено в п. 7. Зазначимо, що, як буде показано в п. 6,
умови (13) – (15) є оптимальними в тому сенсi, що наявнi в них строгi нерiвностi не можна
замiнити вiдповiдними нестрогими нерiвностями, оскiльки за таких припущень тверджен-
ня наведених теорем не є правильними.
5. Початкова задача для скалярного рiвняння. Розглянемо одновимiрне диференцi-
альне рiвняння з вiдхиленням аргументу
u′′(t) = p(t)u(ω(t)) + ϕ(t), t ∈ [a, b], (16)
пiдпорядковане початковим умовам
u(τ) = c0, (17)
u′(τ) = c1, (18)
де −∞ < a ≤ τ ≤ b < +∞, m ∈ N, p : [a, b] → R та ϕ : [a, b] → R — iнтегровнi
за Лебегом функцiї, функцiя ω : [a, b] → [a, b] є вимiрною, а c0 i c1 — довiльнi заданi
константи. Очевидно, окремими випадками (17), (18) є умови
u(a) = c0, (19)
u′(a) = c1 (20)
та
u(b) = c0, (21)
u′(b) = c1. (22)
Рiвняння (16) у зв’язку з питанням про розв’язнiсть для нього задачi (19), (20) розгля-
далося в [1, 2].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
УМОВИ ОДНОЗНАЧНОЇ РОЗВ’ЯЗНОСТI ПОЧАТКОВОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ ЛIНIЙНИХ . . . 539
Теорема 4. Нехай у рiвняннi (16) функцiї ω : [a, b] → [a, b] та p : [a, b] → R є такими,
що при деякiй константi α ∈ (0,+∞) виконується нерiвнiсть
ess sup
t∈[a,b]\{τ}
sign (t− τ)
|t− τ |α−1
t∫
τ
p(ξ)|ω(ξ)− τ |αdξ < α. (23)
Крiм цього, припустимо, що
ess inf
t∈[a,b]
p(t) ≥ 0. (24)
Тодi неоднорiдна задача (16) – (18) є однозначно розв’язною при довiльних ϕ ∈ L1([a,
b], R) та {c0, c1} ⊂ R. Бiльше того, якщо c0, c1 та ϕ мають властивiсть
t∫
τ
(t− ξ) ϕ(ξ)dξ ≥ −c0 − c1(t− τ), t ∈ [a, b], (25)
то єдиний розв’язок задачi (16) – (18) є невiд’ємним на промiжку [a, b] .
Слiд зазначити, що знак строгої нерiвностi в умовi (23) є суттєвим, i цю умову не мож-
на замiнити слабшою умовою
ess sup
t∈[a,b]\{τ}
sign (t− τ)
|t− τ |α−1
t∫
τ
p(ξ)|ω(ξ)− τ |αdξ ≤ α, (26)
оскiльки при такiй замiнi вказана теорема не є правильною (див. п. 6).
Наслiдок 2. Нехай у рiвняннi (16) для функцiй ω : [a, b] → [a, b] та p : [a, b] → R
виконуються умова (24) та нерiвнiсть
max
{ τ∫
a
p(ξ)|ω(ξ)− τ |dξ,
b∫
τ
p(ξ)|ω(ξ)− τ |dξ
}
< 1.
Tодi для початкової задачi (16) – (18) справедливим є висновок теореми 2.
Наступна теорема встановлює для неоднорiдної задачi (16) – (18) умови розв’язностi
iншого типу.
Теорема 5. Припустимо, що функцiя p : [a, b] → R у рiвняннi (16) майже скрiзь на
[a, b] набуває невiд’ємних значень. Окрiм цього, нехай iснують такi сталi % ∈ (1,+∞)
та α ∈ (0,+∞), при яких справджується нерiвнiсть
ess sup
t∈[a,b]\{τ}
|t− τ |1−α
max{τ,t}∫
min{τ,t}
p(ξ)
[
|ω(ξ)− τ |α+
+ %
ω(ξ)∫
τ
(ω(ξ)− η) p(η)|ω(η)− τ |αdη
]
dξ ≤ 2α
%
. (27)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
540 А. М. РОНТО, Н. З. ДIЛЬНА
Тодi неоднорiдна задача (16) – (18) є однозначно розв’язною при довiльних ϕ ∈ L1([a,
b], R) та {c0, c1} ⊂ R. Бiльше того, якщо c0, c1 та ϕ мають властивiсть (25), то єдиний
розв’язок задачi (16) – (18) є невiд’ємним на промiжку [a, b].
Зауваження 1. Умова (27) є непокращуваною в тому сенсi, що її при жодному ε ∈
∈ (0,+∞) не можна замiнити умовою
ess sup
t∈[a,b]\{τ}
|t− τ |1−α
max{τ,t}∫
min{τ,t}
p(ξ)
[
|ω(ξ)− τ |α+
+ %
t∫
τ
(ω(ξ)− η) p(η)|ω(η)− τ |αdη
]
dξ ≤ 2α + ε
%
, (28)
оскiльки, як буде показано в п. 6, пiсля такої замiни висновок згаданої теореми вже не
матиме мiсця.
З теореми 5 випливає такий наслiдок.
Наслiдок 3. Припустимо, що функцiя p : [a, b] → R у рiвняннi (16) майже скрiзь
на [a, b] набуває невiд’ємних значень. Нехай, окрiм цього, можна вказати таке значення
% > 1, при якому справджується нерiвнiсть
max
{ τ∫
a
p(ξ)
[
|ω(ξ)− τ |+ %
ω(ξ)∫
τ
(ω(ξ)− η) p(η)|ω(η)− τ |dη
]
dξ,
b∫
τ
p(ξ)
[
|ω(ξ)− τ |+ %
ω(ξ)∫
τ
(ω(ξ)− η) p(η)|ω(η)− τ |dη
]
dξ
}
≤ 2
%
. (29)
Тодi для задачi (16) – (18) має мiсце висновок теореми 5.
Справедливою є наступна теорема.
Теорема 6. Нехай функцiя p : [a, b] → R у рiвняннi (24) майже скрiзь на [a, b] набу-
ває невiд’ємних значень i, крiм цього, iснує таке α ∈ (0,+∞), при якому виконується
нерiвнiсть
ess sup
t∈[a,b]\{τ}
1
|t− τ |α
t∫
τ
(t− ξ) p(ξ)|ω(ξ)− τ |αdξ < 1. (30)
Тодi має мiсце висновок теореми 5.
Зауваження 2. Умова (27) є оптимальною в тому сенсi, що її не можна замiнити умо-
вою типу
ess sup
t∈[a,b]\{τ}
1
|t− τ |α
t∫
τ
(t− ξ) p(ξ)|ω(ξ)− τ |αdξ ≤ 1. (31)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
УМОВИ ОДНОЗНАЧНОЇ РОЗВ’ЯЗНОСТI ПОЧАТКОВОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ ЛIНIЙНИХ . . . 541
Наведемо твердження, що випливає безпосередньо з наслiдкiв 2 та 3.
Наслiдок 4. Нехай функцiя p ∈ L1([a, b]), R) має властивiсть (24). Тодi для одно-
значної розв’язностi кожної iз задач (16), (19), (20) та (16), (21), (22) при довiльних ϕ ∈
∈ L1([a, b]), R) та {c0, c1} ⊂ R достатньо, щоб виконувалось принаймнi одне з наступ-
них двох припущень:
1) справджується нерiвнiсть
b∫
a
p(ξ)|ω(ξ)− τ |dξ < 1; (32)
2) iснує таке значення % ∈ (1,+∞), при якому
b∫
a
p(ξ)
[
|ω(ξ)− τ |+ %
ω(ξ)∫
τ
(ω(ξ)− η) p(η)|ω(η)− τ |dη
]
dξ ≤ 2
%
. (33)
Крiм цього, виконання для функцiї ϕ : [a, b] → R та констант c0, c1 умови
min
t∈[a,b]
t∫
a
(t− ξ)ϕ(ξ)dξ ≥ b− a
2
(|c1| − c1)− c0 (34)
за вказаних припущень є достатнiм для невiд’ємностi єдиного розв’язку задачi (16),
(19), (20), а за умови
min
t∈[a,b]
t∫
b
(t− ξ)ϕ(ξ)dξ ≥ b− a
2
(|c1|+ c1)− c0 (35)
невiд’ємним є розв’язок задачi (16), (21), (22).
6. Оптимальнiсть умов. Вище зазначалося, що умови отриманих теорем є у певному
сенсi оптимальними. Для того щоб у цьому переконатися, достатньо розглянути простий
приклад.
Приклад. Розглянемо задачу
u(a) = 0, u′(a) = 0 (36)
для однорiдного рiвняння
u′′(t) =
2
(b− a)2
u(b), t ∈ [a, b]. (37)
Обчислення показують, що при α = 2 умови (23), (27), (30) не мають мiсця, але їх
послабленi версiї (26), (28), (31) у цьому випадку справджуються. Покажемо це на при-
кладi умови (28). Дiйсно, рiвняння (37) має вигляд (16) при ω(t) := b та p(t) := 2 (b− a)−2,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
542 А. М. РОНТО, Н. З. ДIЛЬНА
t ∈ [a, b]. При цьому, як можна перевiрити, припущення (28) виконується тодi i тiльки
тодi, коли
(1 + %) % ≤ 2 + ε. (38)
Легко бачити, що нерiвнiсть (38) справджується, коли ε > 0 та
% ∈
(
1, −1
2
+
√
9
4
+ ε
)
.
Очевидно також, що при ε = 0 нерiвнiсть (38) не має мiсця для жодного % ∈ (1,+∞).
Отже, в даному випадку умова (27) не виконується, але натомiсть при як завгодно ма-
лих значеннях константи ε справджується умова (28). Однак легко перевiрити, що функ-
цiя u(t) = (t− a)2, t ∈ [a, b], є нетривiальним розв’язком однорiдної задачi (37), (36).
7. Доведення теорем. 7.1. Доведення теореми 1. Встановимо спочатку деякi допомiжнi
твердження.
Лема 1. Абсолютно неперервна вектор-функцiя u = (uk)n
k=1 : [a, b] → Rn є розв’яз-
ком задачi (1), (3) тодi i тiльки тодi, коли вона є розв’язком системи рiвнянь
u′k(t) =
n∑
j=1
t∫
τ
pkj(s)uj(ωkj(s))ds +
t∫
τ
ϕk(s)ds + c1k, t ∈ [a, b], k = 1, 2, . . . , n. (39)
Доведення. Припустимо, що функцiя u = (uk)n
k=1 — розв’язок задачi (1), (3). Зiнтег-
руємо обидвi частини (1) в межах вiд τ до t. Враховуючи (3), одержуємо спiввiдношення
(39). Навпаки, з (39) очевидним чином отримуємо рiвностi (1), (3).
Лема 2. Нехай {pkj | k, j = 1, 2, . . . , n} ⊂ L1([a, b], R), a ωkj : [a, b] → [a, b], k, j =
= 1, 2, . . . , n, — довiльнi вимiрнi функцiї. Нехай при деяких сталих {σ1, σ2, . . . , σn} ⊂
⊂ {−1, 1} для всiх k, j = 1, 2, . . . , n виконано умову (7). Тодi для довiльної неперервної
вектор-функцiї u = (uk)n
k=1 : [a, b] → Rn з властивiстю (12) при всiх t iз [a, b] та всiх
k = 1, 2, . . . , n має мiсце нерiвнiсть
σk
n∑
j=1
max{τ,t}∫
min{τ,t}
pkj(s)uj(ωkj(s))ds ≥ 0. (40)
Доведення. Нехай вектор-функцiя u = (uk)n
k=1 ∈ C([a, b], Rn) має властивiсть (12).
Тодi для всiх t з [a, b] та k = 1, 2, . . . , n
σk
n∑
j=1
max{τ,t}∫
min{τ,t}
pkj(s)uj(ωkj(s))ds =
n∑
j=1
max{τ,t}∫
min{τ,t}
σkσjpkj(s)σjuj(ωkj(s))ds =
=
n∑
j=1
t∫
τ
σkσjpkj(s)σjuj(ωkj(s))ds sign (t− τ), (41)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
УМОВИ ОДНОЗНАЧНОЇ РОЗВ’ЯЗНОСТI ПОЧАТКОВОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ ЛIНIЙНИХ . . . 543
i, отже, з огляду на (7) та (12) справджується спiввiдношення (40).
Доведення теореми 1 ґрунтується на теоремi 2 роботи [3], яку ми для повноти викладу
наведемо тут. Згадана теорема стосується задачi Кошi
uk(τ) = ck, k = 1, 2, . . . , n, (42)
для системи рiвнянь вигляду
u′k(t) = (lku)(t) + qk(t), t ∈ [a, b], k = 1, 2, . . . , n, (43)
де −∞ < a ≤ τ ≤ b < +∞, {ck | k = 1, 2, . . . , n} ⊂ R, {qk | k = 1, 2, . . . , n} ⊂
⊂ L1([a, b], R), а lk : C([a, b], Rn) → L1([a, b], R), k = 1, 2, . . . , n, — обмеженi лiнiйнi вiдо-
браження, якi утворюють (σ1, σ2, . . . , σn; τ)-позитивний оператор l = (lk)n
k=1 : C([a, b],
Rn) → L1([a, b], Rn). Тут {σ1, σ2, . . . , σn} ⊂ {−1, 1} — фiксованi числа, а пiд (σ1, σ2, . . . , σn;
τ)-позитивнiстю оператора l = (lk)n
k=1 розумiємо ту властивiсть, що
min
k=1,2,...,n
ess inf
t∈[a,b]
σk(lku)(t) sign (t− τ) ≥ 0
для кожної вектор-функцiї u = (uk)n
k=1 ∈ C([a, b], Rn), яка задовольняє умову (12).
Теорема 7 ([3], теорема 2). Нехай lk : C([a, b], Rn) → L1([a, b], R), k = 1, 2, . . . , n, утво-
рюють (σ1, σ2, . . . , σn; τ)-позитивний оператор l = (lk)n
k=1 : C([a, b], Rn) → L1([a, b], Rn)
та iснує функцiя y = (yk)n
k=1 : [a, b] → Rn, компоненти якої абсолютно неперервнi,
задовольняють умови (8), (9), i, крiм того, є такими, що при деякому % ∈ (1,+∞) має
мiсце нерiвнiсть
min
k=1,2,...,n
ess inf
t∈[a,b]
σk
[
y′k(t)− % (lky)(t)
]
sign (t− τ) ≥ 0. (44)
Тодi задача (43), (42) є однозначно розв’язною при довiльних функцiях {qk | k =
= 1, 2, . . . , n} ⊂ L1([a, b], R) та сталих ck, k = 1, 2, . . . , n. Крiм цього, якщо для констант
ck i функцiй qk, k = 1, 2, . . . , n, справджується умова
σk
t∫
τ
qk(ξ)dξ ≥ −σkck, t ∈ [a, b], k = 1, 2, . . . , n, (45)
то компоненти u1, u2, . . . , un єдиного розв’язку задачi (42), (43) задовольняють умо-
ву (12).
Перейдемо безпосередньо до доведення теореми 1. Для цього скористаємось теоре-
мою 7. Означимо оператори lk : C([a, b], Rn) → L1([a, b], R), k = 1, 2, . . . , n, формулою
(lku)(t) :=
n∑
j=1
t∫
τ
pkj(s)uj(ωkj(s))ds, t ∈ [a, b], k = 1, 2, . . . , n. (46)
З огляду на лему 2 вiдображення lk, k = 1, 2, . . . , n, утворюють (σ1, σ2, . . . , σn; τ)-позитив-
ний оператор l = (lk)n
k=1 : C([a, b], Rn) → L1([a, b], Rn). Беручи до уваги позначення (46),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
544 А. М. РОНТО, Н. З. ДIЛЬНА
знаходимо, що припущення (10) ґарантує виконання для функцiї y = (yk)n
k=1 умови (44).
Крiм цього, легко бачити, що при функцiях {ϕk | k = 1, 2, . . . , n} ⊂ L1([a, b], R) та сталих
c0k, c1k, k = 1, 2, . . . , n, якi мають властивiсть (11), вiдповiднi функцiї
qk(t) :=
t∫
τ
ϕk(s)ds + c1k, t ∈ [a, b], k = 1, 2, . . . , n,
та сталi ck := c0k, k = 1, 2, . . . , n, задовольняють умову
σk
t∫
τ
ξ∫
τ
ϕk(s)ds dξ =
t∫
τ
(t− ξ) ϕk(s)ds dξ ≥ −σkc0k − σkc1k(t− τ),
тобто для всiх t ∈ [a, b] та k = 1, 2, . . . , n виконуються спiввiдношення (45). Отже, застосу-
ванням теореми 7 переконуємося, що задача (39), (2) для довiльних {ϕk | k = 1, 2, . . . , n} ⊂
⊂ L1([a, b], R) та c0k, c1k, k = 1, 2, . . . , n, має єдиний розв’язок u = (uk)n
k=1, причому у ви-
падках, коли справджуються спiввiдношення (11), цей розв’язок задовольняє умову (41).
На пiдставi леми 1 це означає, що для задач (4) – (6) та (1) – (3) має висновок теореми 1.
7.2. Доведення теореми 2. Означимо лiнiйнi оператори lk : C([a, b], Rn) → L1([a, b], R),
k = 1, 2, . . . , n, формулами (46). За лемою 2 припущенням (11) забезпечується (σ1, σ2, . . .
. . . , σn; τ)-позитивнiсть вiдображення l = (lk)n
k=1 : C([a, b], Rn) → L1([a, b], Rn).
З припущення (13) випливає iснування такої константи % ∈ (1,+∞), що для майже
всiх t з [a, b] та кожного k = 1, 2, . . . , n справджується нерiвнiсть
σk%
γk|t− τ |αk−1
n∑
j=1
max{τ,t}∫
min{τ,t}
pkj(s)γj |ωkj(s)− τ |αjds ≤ σkαk, (47)
або, що те саме,
σk
[
αkγk|t− τ |αk−1sign (t− τ)− %
n∑
j=1
t∫
τ
pkj(s)γj |ωkj(s)− τ |αjds
]
sign (t− τ) ≥ 0, (48)
де γj , αj , j = 1, 2, . . . , n, — заданi в умовi теореми 2 константи. Покладемо
yj(t) := γj |t− τ |αj , t ∈ [a, b], j = 1, 2, . . . , n. (49)
Очевидно, що функцiї (49) мають властивостi (8) та (9). Оскiльки, як легко переконатись,
з (47) випливає виконання для функцiй (49) спiввiдношення (10), застосовуючи теорему 1,
приходимо до потрiбного висновку.
7.3. Доведення наслiдку 1. Для отримання потрiбного твердження достатньо скори-
статися теоремою 2 при α1 = α2 = . . . = αn = 1.
7.4. Доведення теореми 3. Для доведення теореми 3 скористаємось таким результатом
роботи [5], який стосується однозначної розв’язностi задачi (43), (42).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
УМОВИ ОДНОЗНАЧНОЇ РОЗВ’ЯЗНОСТI ПОЧАТКОВОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ ЛIНIЙНИХ . . . 545
Теорема 8 ([5], наслiдок 6). Припустимо, що в (43) lk : C([a, b], Rn) → L1([a, b], R), k =
= 1, 2, . . . , n, утворюють (σ1, σ2, . . . , σn; τ)-позитивний оператор l = (lk)n
k=1 : C([a, b],
Rn) → L1([a, b], Rn). Нехай для деякої абсолютно неперервної функцiї y = (yk)n
k=1 :
[a, b] → Rn, що має властивостi (8), (9) та задовольняє умови
min
k=1,2,...,n
ess inf
t∈[a,b]
σky
′
k(t)sign (t− τ) ≥ 0, (50)
виконуються нерiвностi
σk
t∫
τ
(lky)(ξ)dξ ≤ γσkyk(t), t ∈ [a, b], k = 1, 2, . . . , n, (51)
де γ ∈ [0, 1) — деяка константа.
Toдi для задачi (43), (42) має мiсце висновок теореми 7.
Повернемось до доведення теореми 3. Означимо вектор-функцiю y = (yk)n
k=1 : [a, b]→
→ Rn формулою (49). Очевидно, що це — абсолютно неперервна функцiя з властивос-
тями (8), (9), (50).
З припущення (15) випливає, що при певному γ ∈ [0, 1) для майже всiх t з [a, b] та всiх
k = 1, 2, . . . , n справджується нерiвнiсть
σk
n∑
j=1
t∫
τ
(t− ξ) pkj(ξ)|ωkj(ξ)− τ |αjdξ ≤ γσk|t− τ |αk ,
i, отже,
σk
n∑
j=1
t∫
τ
s∫
τ
pkj(ξ)|ωkj(ξ)− τ |αjdξ ds ≤ γσk|t− τ |αk . (52)
Означимо тепер лiнiйнi оператори lk : C([a, b], Rn) → L1([a, b], R), k = 1, 2, . . . , n, форму-
лами (46). Тодi (52) означає, що для функцiї y = (yk)n
k=1 має мiсце властивiсть (51).
Нарештi, за лемою 2 з припущення (11) випливає (σ1, σ2, . . . , σn; τ)-позитивнiсть опе-
ратора l = (lk)n
k=1 : C([a, b], Rn) → L1([a, b], Rn). Отже, в даному випадку виконано всi
умови теореми 8, застосуванням якої завершуємо доведення теореми 3.
7.5. Доведення теореми 4. Теорема 4 є наслiдком теореми 2 у випадку, коли n = 1,
p11 = p, ω11 = ω, σ1 = 1, γ1 = 1, α1 = α.
7.6. Доведення наслiдку 2. Наслiдок 2 випливає з наслiдку 1 при n = 1, p11 = p,
ω11 = ω, σ1 = 1, γ1 = 1.
7.7. Доведення теореми 5. Для отримання потрiбного твердження скористаємось на-
ступним результатом, встановленим у роботi [4] щодо розв’язностi задачi
u′(t) =
b∫
a
h(t, s)u(ω(t, s))ds + q(t), t ∈ [a, b], (53)
u(τ) = c, (54)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
546 А. М. РОНТО, Н. З. ДIЛЬНА
де −∞ < a ≤ τ ≤ b < +∞, c ∈ R, h ∈ L1([a, b]2, R), q ∈ L1([a, b], R), а функцiя ω :
[a, b]2 → [a, b] є вимiрною за обома аргументами.
Теорема 9 ([4], теорема 4). Припустимо, що в рiвняннi (53) функцiя h : [a, b] ×
×[a, b] → R задовольняє умову
h(t, s)sign (t− τ) ≥ 0 для майже всiх t та s з [a, b], (55)
i, крiм цього, можна вказати такi числа % ∈ (1,+∞) та α ∈ (0,+∞), для яких при майже
всiх t з [a, b] має мiсце спiввiдношення
b∫
a
|h(t, ξ)|
[
|ω(t, ξ)− τ |α + %
ω(t,ξ)∫
τ
b∫
a
h(s, η) |ω(s, η)− τ |α dη ds
]
dξ ≤ 2α
%
|t− τ |α−1 . (56)
Тодi задача (53), (54) є однозначно розв’язною для довiльних q ∈ L1([a, b], R) та c ∈
∈ R, а її розв’язок подається рiвномiрно збiжним функцiональним рядом
u(t) = c +
t∫
τ
q(s0)ds0 +
b∫
a
h(t, s1)
c +
ω(t,s1)∫
τ
q(s0)ds0
ds1 + . . . , t ∈ [a, b]. (57)
Крiм того, за умови
ess inf
t∈[a,b]
t∫
τ
q(s)ds ≥ −c (58)
єдиний розв’язок задачi (53), (54) є невiд’ємним.
Для того щоб скористатися теоремою 9 в даному випадку, при майже всiх t з промiжку
[a, b] покладемо
h(t, s) :=
{
p(s)sign (t− τ), якщо s ∈ [min{τ, t},max{τ, t}],
0, якщо s 6∈ [min{τ, t},max{τ, t}].
Виконуючи обчислення, з (27) отримуємо
ess sup
t∈[a,b]\{τ}
|t− τ |1−α
max{τ,t}∫
min{τ,t}
p(ξ)
[
|ω(ξ)− τ |α+
+ %
max{τ,ω(ξ)}∫
min{τ,ω(ξ)}
max{τ,s}∫
min{τ,s}
p(η)|ω(η)− τ |αdηds
]
dξ ≤ 2α
%
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
УМОВИ ОДНОЗНАЧНОЇ РОЗВ’ЯЗНОСТI ПОЧАТКОВОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ ЛIНIЙНИХ . . . 547
i, отже, для майже всiх t з [a, b]
t∫
τ
p(ξ)sign (t− τ)
[
|ω(ξ)− τ |α+
+ %
ω(ξ)∫
τ
t∫
τ
p(η)sign (s− τ)|ω(η)− τ |αdηds
]
dξ ≤ 2α
%
|t− τ |α−1.
Тому в даному випадку справджується умова (56). Застосування теореми 9 завершує
доведення.
7.8. Доведення наслiдку 3. Потрiбне твердження випливає з теореми 5 при α = 1.
7.9. Доведення теореми 6. Теорема 6 випливає з теореми 3 у випадку, коли n = 1,
p11 = p, ω11 = ω, σ1 = 1, α1 = α.
7.10. Доведення наслiдку 4. Достатньо зазначити, що при τ ∈ {a, b} припущення (32)
(вiдповiдно (33)) забезпечує виконання умов наслiдку 2 (вiдповiдно наслiдку 3). Крiм того,
при τ = a (вiдповiдно τ = b) умова (34) (вiдповiдно (35)), як можна перевiрити, рiвносиль-
на умовi (25).
1. Lomtatidze A., S̆tĕpánková H. On sign constant and monotone solutions of second order linear functional
differential equations // Mem. Different. Equat. and Math. Phys. — 2005. — 35. — P. 65 – 90.
2. Štěpánková H. On nonnegative solutions of initial value problems for second order linear functional di-
fferential equations // Georgian Math. J. — 2005. — 12, № 3. — P. 525 – 533.
3. Ronto A. N. Exact solvability conditions for the Cauchy problem for systems of first-order linear functional-
differential equations determined by (σ1, σ2, . . . , σn; τ)-positive operators // Ukr. Math. J. — 2003. — 55,
№ 11. — P. 1541 – 1568.
4. Самойленко A. M., Дiльна Н.З., Ронто А. М. Розв’язнiсть задачi Кошi для лiнiйних iнтегро-диференцi-
альних рiвнянь з перетвореним аргументом // Нелiнiйнi коливання. — 2005. — 8, № 3. — С. 387 – 402.
5. Дильная Н. З. , Ронто А. Н. Некоторые новые условия разрешимости задачи Коши для систем линей-
ных функционально-дифференциальных уравнений // Укр. мат. журн. — 2004. —56, № 7. — С. 867 – 884.
6. Дильная Н. З. , Ронто А. Н. О разрешимости задачи Коши для систем линейных функционально-
дифференциальных уравнений с (~σ, τ)-положительными правыми частями // Допов. НАН України.
— 2004. — № 2. — С. 29 – 35.
7. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Введение в теорию функционально-дифференци-
альных уравнений. — М.: Наука, 1991. — 280с.
Одержано 05.06.2006,
пiсля доопрацювання — 20.10.2006
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178185 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:27:26Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ронто, А.М. Дільна, Н.З. 2021-02-18T07:59:53Z 2021-02-18T07:59:53Z 2006 Умови однозначної розв'язності початкової задачі для лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з відхиленнями аргументу / А.М. Ронто, Н.З. Дільна // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 4. — С. 535-547. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178185 517.9 Установлены новые условия, при которых начальная задача для системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка с отклонениями аргумента имеет единственное решение, монотонно зависящее от аддитивных возмущений задачи. We establish new conditions under which the initial-value problem for a system of second-order linear differential equations with argument deviations has a unique solution which depends monotonously on forcing terms. Виконано за часткової пiдтримки грантами Президiї НАН України (№ 0105U005666, AS CR № AV0Z10190503, INTAS № 04-83-3968). uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Умови однозначної розв'язності початкової задачі для лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з відхиленнями аргументу Условия однозначной разрешимости начальной задачи для линейных дифференциальных уравнений второго порядка с отклонениями аргумента Conditions for unique solvability of the initial-value problem for linear second-order differential equations with argument deviations Article published earlier |
| spellingShingle | Умови однозначної розв'язності початкової задачі для лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з відхиленнями аргументу Ронто, А.М. Дільна, Н.З. |
| title | Умови однозначної розв'язності початкової задачі для лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з відхиленнями аргументу |
| title_alt | Условия однозначной разрешимости начальной задачи для линейных дифференциальных уравнений второго порядка с отклонениями аргумента Conditions for unique solvability of the initial-value problem for linear second-order differential equations with argument deviations |
| title_full | Умови однозначної розв'язності початкової задачі для лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з відхиленнями аргументу |
| title_fullStr | Умови однозначної розв'язності початкової задачі для лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з відхиленнями аргументу |
| title_full_unstemmed | Умови однозначної розв'язності початкової задачі для лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з відхиленнями аргументу |
| title_short | Умови однозначної розв'язності початкової задачі для лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з відхиленнями аргументу |
| title_sort | умови однозначної розв'язності початкової задачі для лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з відхиленнями аргументу |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178185 |
| work_keys_str_mv | AT rontoam umoviodnoznačnoírozvâznostípočatkovoízadačídlâlíníinihdiferencíalʹnihrívnânʹdrugogoporâdkuzvídhilennâmiargumentu AT dílʹnanz umoviodnoznačnoírozvâznostípočatkovoízadačídlâlíníinihdiferencíalʹnihrívnânʹdrugogoporâdkuzvídhilennâmiargumentu AT rontoam usloviâodnoznačnoirazrešimostinačalʹnoizadačidlâlineinyhdifferencialʹnyhuravneniivtorogoporâdkasotkloneniâmiargumenta AT dílʹnanz usloviâodnoznačnoirazrešimostinačalʹnoizadačidlâlineinyhdifferencialʹnyhuravneniivtorogoporâdkasotkloneniâmiargumenta AT rontoam conditionsforuniquesolvabilityoftheinitialvalueproblemforlinearsecondorderdifferentialequationswithargumentdeviations AT dílʹnanz conditionsforuniquesolvabilityoftheinitialvalueproblemforlinearsecondorderdifferentialequationswithargumentdeviations |