Один варіант проекційно-ітеративного методу для систем лінійних диференціальних рівнянь із запізненням нейтрального типу та обмеженнями

Установлены условия совместимости для систем линейных дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием нейтрального типа и ограничениями. Обосновано применение к таким задачам проекционно-итеративного метода. In this paper, conditions of consistency for systems of linear differential equation...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Нелінійні коливання
Дата:	2006
Автор:	Ферук, В.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2006
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178186
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Один варіант проекційно-ітеративного методу для систем лінійних диференціальних рівнянь із запізненням нейтрального типу та обмеженнями / В.А. Ферук // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 4. — С. 564-573. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178186
record_format	dspace
spelling	Ферук, В.А. 2021-02-18T08:02:08Z 2021-02-18T08:02:08Z 2006 Один варіант проекційно-ітеративного методу для систем лінійних диференціальних рівнянь із запізненням нейтрального типу та обмеженнями / В.А. Ферук // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 4. — С. 564-573. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178186 517.929 Установлены условия совместимости для систем линейных дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием нейтрального типа и ограничениями. Обосновано применение к таким задачам проекционно-итеративного метода. In this paper, conditions of consistency for systems of linear differential equations with constant delay of neutral type and restrictions are established. The projection-iterative method for such problems is substantiated. Частково пiдтримано грантом Президiї НАН України для молодих учених (№ 0105U005666). uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Один варіант проекційно-ітеративного методу для систем лінійних диференціальних рівнянь із запізненням нейтрального типу та обмеженнями A version of the projection-iterative method for systems of linear differential equations with a neutral type delay and restrictions Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Один варіант проекційно-ітеративного методу для систем лінійних диференціальних рівнянь із запізненням нейтрального типу та обмеженнями
spellingShingle	Один варіант проекційно-ітеративного методу для систем лінійних диференціальних рівнянь із запізненням нейтрального типу та обмеженнями Ферук, В.А.
title_short	Один варіант проекційно-ітеративного методу для систем лінійних диференціальних рівнянь із запізненням нейтрального типу та обмеженнями
title_full	Один варіант проекційно-ітеративного методу для систем лінійних диференціальних рівнянь із запізненням нейтрального типу та обмеженнями
title_fullStr	Один варіант проекційно-ітеративного методу для систем лінійних диференціальних рівнянь із запізненням нейтрального типу та обмеженнями
title_full_unstemmed	Один варіант проекційно-ітеративного методу для систем лінійних диференціальних рівнянь із запізненням нейтрального типу та обмеженнями
title_sort	один варіант проекційно-ітеративного методу для систем лінійних диференціальних рівнянь із запізненням нейтрального типу та обмеженнями
author	Ферук, В.А.
author_facet	Ферук, В.А.
publishDate	2006
language	Ukrainian
container_title	Нелінійні коливання
publisher	Інститут математики НАН України
format	Article
title_alt	A version of the projection-iterative method for systems of linear differential equations with a neutral type delay and restrictions
description	Установлены условия совместимости для систем линейных дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием нейтрального типа и ограничениями. Обосновано применение к таким задачам проекционно-итеративного метода. In this paper, conditions of consistency for systems of linear differential equations with constant delay of neutral type and restrictions are established. The projection-iterative method for such problems is substantiated.
issn	1562-3076
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178186
citation_txt	Один варіант проекційно-ітеративного методу для систем лінійних диференціальних рівнянь із запізненням нейтрального типу та обмеженнями / В.А. Ферук // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 4. — С. 564-573. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT ferukva odinvaríantproekcíinoíterativnogometodudlâsistemlíníinihdiferencíalʹnihrívnânʹízzapíznennâmneitralʹnogotiputaobmežennâmi AT ferukva aversionoftheprojectioniterativemethodforsystemsoflineardifferentialequationswithaneutraltypedelayandrestrictions
first_indexed	2025-11-24T21:53:30Z
last_indexed	2025-11-24T21:53:30Z
_version_	1850498873438502912
fulltext	УДК 517 . 929 ОДИН ВАРIАНТ ПРОЕКЦIЙНО-IТЕРАТИВНОГО МЕТОДУ ДЛЯ СИСТЕМ ЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ IЗ ЗАПIЗНЕННЯМ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПУ ТА ОБМЕЖЕННЯМИ* В. А. Ферук Iн-т математики НАН України Україна, 01601, Київ 4, вул. Терещенкiвська, 3 In this paper, conditions of consistency for systems of linear differential equations with constant delay of neutral type and restrictions are established. The projection-iterative method for such problems is substanti- ated. Установлены условия совместимости для систем линейных дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием нейтрального типа и ограничениями. Обосновано применение к таким задачам проекционно-итеративного метода. Функцiонально-диференцiальнi рiвняння та їх системи є математичними моделями рiз- номанiтних фiзичних процесiв. Широта застосувань стала поштовхом до iнтенсивного розвитку теорiї таких рiвнянь у останнi пiвстолiття [1 − 4]. Окремим напрямком дослiд- жень є встановлення умов сумiсностi та обґрунтування наближених методiв розв’язання функцiонально-диференцiальних рiвнянь при умовi накладання на їх розв’язки додатко- вих обмежень. Зокрема, у [5, 6] за допомогою пiдходу, уперше запропонованого в [7], та методики роботи [8] проведено дослiдження систем диференцiальних рiвнянь iз запiзнен- ням та обмеженнями. В данiй роботi згаданий вище пiдхiд застосовано до вивчення анало- гiчних питань для систем лiнiйних диференцiальних рiвнянь iз запiзненням нейтрального типу та додатковими умовами. 1. Об’єкт дослiдження. Розглянемо задачу d dt x(t) +N(t) d dt x(t−∆) + L(t)x(t) +M(t)x(t−∆) = f(t), t ∈ [a, b], (1) x(t) = ϕ(t), d dt x(t) = ψ(t), t ∈ [a−∆, a), x(a) = ϕ(a), (2) b∫ a S(t)x(t)dt = α, (3) ∗Частково пiдтримано грантом Президiї НАН України для молодих учених (№ 0105U005666). c© В. А. Ферук, 2006 564 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 ОДИН ВАРIАНТ ПРОЕКЦIЙНО-IТЕРАТИВНОГО МЕТОДУ ДЛЯ СИСТЕМ ЛIНIЙНИХ . . . 565 у якiй ∆ > 0 — стале запiзнення, N(t), L(t), M(t) та S(t) – матрицi розмiрностей m ×m, m×m,m×m та l×m вiдповiдно, елементи яких сумовнi з квадратом на вiдрiзку [a, b], при- чому N(t) 6= 0 на [a, b], f ∈ L2 ([a, b],Rm), ϕ ∈ C ([a−∆, a),Rm) та ψ ∈ C ([a−∆, a),Rm), α ∈ Rl. Задачу (1) – (3) вважатимемо сумiсною, якщо iснує вектор-функцiя x ∈ W 1 2 ([a, b],Rm), яка майже скрiзь задовольняє рiвняння (1), умову (2) та обмеження (3). Якщо ж такої вектор-функцiї не iснує, то задача (1) – (3) є несумiсною. За наявностi умов (3) (l > 0), взагалi кажучи, остання ситуацiя є типовою. Метою даної статтi є встановлення умов сумiсностi задачi (1) – (3) та обґрунтування застосування до неї одного iз варiантiв проекцiйно-iтеративного методу. 2. Зведення системи функцiонально-диференцiальних рiвнянь з обмеженнями до кра- йової задачi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь з обмеженнями. Задачу (1) – (3) можна звести до крайової задачi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь з обмеженнями. Такий крок дає змогу застосувати при дослiдженнi поставленої задачi ме- тодики, розробленi для звичайних диференцiальних рiвнянь. Зокрема, встановлення умов сумiсностi задачi (1) – (3) та обґрунтування застосування до неї рiзних наближених мето- дiв можна проводити методом iнтегральних рiвнянь. Отже, припустимо, не зменшуючи загальностi, що b = a+N∆. Розглядаючи, дотриму- ючись методики iз [5], систему рiвнянь (1) на кожному iнтервалi (τi, τi+1), вводячи замiну t = cs + τi, де τi = a + (i − 1)∆, i = 0, N , c = ∆/T , s ∈ [0, T ], та враховуючи неперерв- нiсть вектор-функцiї x(t) у точках τi, i = 2, N − 1, отримуємо крайову задачу для системи диференцiальних рiвнянь порядку mN Q(s) dz ds + P (s)z(s) = q(s), z(0) = γ +Dz(T ), (4) з обмеженнями T∫ 0 V (s)z(s)ds = α, (5) в якiй z(s) = col (z1(s) z2(s) . . . zN (s)) , q(s) = col (q1(s) q2(s) . . . qN (s)) , Q(s) =  I O . . . O O N2(s) I . . . O O . . . . . . . . . . . . . . . O O . . . NN (s) I  , D =  O O . . . O O I O . . . O O . . . . . . . . . . . . . . . O O . . . I O  , P (s) =  L1(s) O . . . O O M2(s) L2(s) . . . O O . . . . . . . . . . . . . . . O O . . . MN (s) LN (s)  , (6) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 566 В. А. ФЕРУК γ = col (ϕ(a) 0 . . . 0) , V (s) = col (S1(s) S2(s) . . . SN (s)) , I — одинична матриця в Rm, zi(s) = x(cs+ τi), Li(s) = cL(cs+ τi), Mi(s) = cM(cs+ τi), Si(s) = cS(cs+ τi), i = 1, N, q1(s) = cf(cs+ τ1)−M1(s)ϕ(cs+ τ0)−N1(s)ψ(cs+ τ0), qi(s) = cf(cs+ τi), Ni(s) = N(cs+ τi), i = 2, N. 3. Умови сумiсностi. Задача (1) – (3) є перевизначеною. Тому одним iз перших та най- важливiших питань, що постають при її дослiдженнi, є питання сумiсностi. Як зазначено у п. 1, розглядувана задача, взагалi кажучи, несумiсна, i, отже, виникає потреба у вiдшу- каннi умов, за яких вона матиме розв’язок. Встановимо деякi iз таких умов. Важливу роль у подальшому дослiдженнi вiдiграватиме задача Q(s) dz ds +H(s)z(s) = y(s) + E(s)λ, s ∈ (0, T ), (7) z(0) = γ +Dz(T ), T∫ 0 V (s)z(s)ds = α, (8) у якiй H(s) — неперервна при s ∈ [0, T ] (mN ×mN)-матриця, E(s) — (mN × l)-матриця iз сумовними з квадратом на [0, T ] елементами. Тут вектор-функцiя y ∈ L2 ( [0, T ],RmN ) є заданою, а вектор-функцiю z ∈ W 1 2 ( [0, T ],RmN ) та вектор λ ∈ Rl потрiбно визначити. Припустимо, що задача (7), (8) має єдиний розв’язок при довiльнiй вектор-функцiї y ∈ L2 ( [0, T ],RmN ) , що зображується формулами z(s) = h(s) + T∫ 0 G(s, ξ)y(ξ)dξ, û(s) = E(s)λ = r(s)− T∫ 0 R(s, ξ)y(ξ)dξ, (9) i справджуються рiвностi T∫ 0 G(s, ξ)E(ξ)dξ = O, E(s)− T∫ 0 R(s, ξ)E(ξ)dξ = O. (10) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 ОДИН ВАРIАНТ ПРОЕКЦIЙНО-IТЕРАТИВНОГО МЕТОДУ ДЛЯ СИСТЕМ ЛIНIЙНИХ . . . 567 Наведене вище припущення ґрунтується на результатах роботи [5] (лема 2) i на тому фактi, що за умови N(t) 6= 0 на [a, b] (mN × mN)-матриця Q(s) має обернену матрицю Q−1(s), Q−1(s) =  I O . . . O O n21(s) I . . . O O . . . . . . . . . . . . . . . nN1(s) nN2(s) . . . nNN−1(s) I  , де nij(t) = (−1)i−j i−1∏ k=j Nk(s), j < i. Введемо у розгляд оператор (Πy)(s) := T∫ 0 Π(s, ξ)y(ξ)dξ, (11) де Π(s, ξ) = E(s)∆−1E∗(ξ), ∆ = T∫ 0 E∗(s)E(s)ds. (12) Оператор Π ортогонально проектує простiр L2 ( [0, T ],RmN ) на його пiдпростiр UmN ( [0, T ],RmN ) , породжений лiнiйно незалежними стовпцями матрицi E(s). Введемо нову вектор-функцiю ŷ(s) = y(s)− T∫ 0 Π(s, ξ)y(ξ)dξ, (13) яка, як випливає iз властивостей (10) та позначень (11), (12), задовольняє спiввiдношення T∫ 0 G(s, ξ)y(ξ)dξ = T∫ 0 G(s, ξ)ŷ(ξ)dξ ∀y ∈ L2 ( [0, T ],RmN ) . (14) За умови однозначної розв’язностi задачi (7), (8), задачу (4), (5), а отже i задачу (1) – (3), можна звести до деякої системи iнтегральних рiвнянь. Для цього запишемо задачу (4), (5) у виглядi задачi (7), (8), поклавши в нiй y(s) = q(s) + [H(s)− P (s)]z(s)− E(s)λ. (15) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 568 В. А. ФЕРУК Пiдставивши зображення (9) у (15), отримаємо y(s) = p(s) + T∫ 0 [R(s, ξ) +K(s, ξ)]y(ξ)dξ, (16) де p(s) = q(s)− r(s) + [H(s)− P (s)]h(s), K(s, ξ) = [H(s)− P (s)]G(s, ξ). (17) Використовуючи властивiсть (14), зображення (13) та враховуючи, що [5] R(s, ξ)− T∫ 0 Π(s, τ)R(τ, ξ)dτ = 0, iнтегральне рiвняння (16) можна трактувати як систему рiвнянь y(s) = p(s) + T∫ 0 R(s, ξ)y(ξ)dξ + T∫ 0 K(s, ξ)ŷ(ξ)dξ, (18) ŷ(s) = g(s) + T∫ 0 L(s, ξ)ŷ(ξ)dξ, (19) у якiй g(s) = p(s)− T∫ 0 Π(s, ξ)p(ξ)dξ, L(s, ξ) = K(s, ξ)− T∫ 0 Π(s, τ)K(τ, ξ)dτ. (20) Питання сумiсностi задачi (1) – (3) тiсно пов’язане з питанням розв’язуваностi системи (18), (19). Проаналiзувавши схему доведення теореми 1 iз [9], можна переконатися у справедли- востi наступного твердження. Теорема. Якщо задача (7), (8) має єдиний розв’язок, то задача (1) – (3) сумiсна тодi i тiльки тодi, коли виконується умова σ + T∫ 0 Γ(ξ)ŷ(ξ)dξ = 0, (21) де σ = T∫ 0 V (s)p(s)ds = 0, Γ(ξ) = T∫ 0 V (s)K(s, ξ)ds = 0, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 ОДИН ВАРIАНТ ПРОЕКЦIЙНО-IТЕРАТИВНОГО МЕТОДУ ДЛЯ СИСТЕМ ЛIНIЙНИХ . . . 569 ŷ ∈ L2 ( [0, T ],RmN ) — розв’язок системи (19). Зауважимо, що крiм умови (21) iснують iншi, рiвносильнi їй, умови сумiсностi задачi (1) – (3). Наведемо деякi з них. Для цього спершу, скориставшись властивiстю (10), зазначимо, що T∫ 0 [R(s, ξ) +K(s, ξ)]û(ξ)dξ = û(s) ∀û ∈ UmN ( [0, T ],RmN ) , (22) тобто одиниця є власним значенням iнтегрального рiвняння (16). Згiдно з теорiєю лiнiй- них iнтегральних рiвнянь, рiвняння (16), а отже i задача (1) – (3), матиме розв’язок тодi i тiльки тодi, коли виконуватиметься умова T∫ 0 p(s)η(s)ds = 0, (23) де η ∈ L2 ( [0, T ],RmN ) — довiльний розв’язок рiвняння, спряженого до рiвняння (22), тобто η(s) = T∫ 0 [R∗(s, ξ) +K∗(s, ξ)]η(ξ)dξ. Зауваження. Умова (21), умова [5] T∫ 0 R(s, ξ)y(ξ)dξ = r(s), де y ∈ L2 ( [0, T ],RmN ) — розв’язок системи y(s) = p(s) + r(s) + T∫ 0 K(s, ξ)y(ξ)dξ, (24) та умова (23) є рiвносильними. 4. Проекцiйно-iтеративний метод. Умови сумiсностi, наведенi у попередньому пунктi, дозволяють зробити висновок про iснування розв’язку задачi (1) – (3). Однак у деяких ви- падках цiєї iнформацiї не достатньо i постає питання вiдшукання розв’язку поставленої задачi в явному виглядi або наближено. Одними з наближених методiв розв’язання задачi (1) – (3) є методи проекцiйно-iтера- тивного типу. Нижче наведено обґрунтування застосування до задачi (1) – (3) одного iз ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 570 В. А. ФЕРУК таких методiв [10]. Суть методу стосовно задачi (1) – (3) полягає у тому, що послiдовнi наближення xk(t) визначаються iз задачi d dt xk(t) +N(t) d dt xk(t−∆) +A(t)xk(t) +B(t)xk(t−∆) = vk(t) + Φ(t)λk, t ∈ [a, b], (25) xk(t) = ϕ(t), d dt xk(t) = ψ(t), t ∈ [a−∆, a), xk(a) = ϕ(a), (26) b∫ a S(t)xk(t)dt = α, (27) де vk(t) = f(t) + [A(t)− L(t)]uk(t) + [B(t)−M(t)]uk(t−∆), (28) вектор-функцiя uk(t) має вигляд uk(t) = xk−1(t) +W (t)µk, (29) а невiдомий вектор µk ∈ Rν визначається з умови b∫ a Ψ(t) ( duk dt +N(t) d dt uk(t−∆) + L(t)uk(t) +M(t)uk(t−∆)− f(t) ) dt = 0. (30) Тут A(t) та B(t) — неперервнi при t ∈ [a, b] (m × m)-матрицi, Φ(t) та Ψ(t) — матрицi iз сумовними з квадратом на [a, b] елементами розмiрностim× l та ν×m вiдповiдно. Стовпцi матрицi Φ(t) та рядки матрицi Ψ(t) є лiнiйно незалежними. Матриця W (t), що фiгурує у зображеннi (29), визначається iз задачi d dt W (t) +N(t) d dt W (t−∆) +A(t)W (t) +B(t)W (t−∆) = D(t), t ∈ [a, b], (31) W (t) = O, d dt W (t) = O, t ∈ [a−∆, a), W (a) = O, (32) b∫ a S(t)W (t)dt = 0, (33) де D(t) — (m × ν)-матриця iз сумовними з квадратом на [a, b] елементами, стовпцi якої лiнiйно незалежнi. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 ОДИН ВАРIАНТ ПРОЕКЦIЙНО-IТЕРАТИВНОГО МЕТОДУ ДЛЯ СИСТЕМ ЛIНIЙНИХ . . . 571 У задачi (25) – (27) вектор-функцiя vk ∈ L2 ([a, b],Rm) є заданою, а вектор-функцiя xk ∈ W 1 2 ([a, b],Rm) та вектор λk ∈ Rl — шуканими. Початкове наближення x0(t) визначаємо iз задачi (25) – (27) при k = 0 i заданiй вектор- функцiї v0 ∈ L2 ([a, b],Rm). Зауважимо, що за наближення до точного розв’язку задачi (1) – (3) можна вважати як вектор-функцiю xk(t), так i uk(t). Окремим випадком методу (25) – (33) є iтерацiйний метод (не мiстить умови (30) та W (t) = 0), а вектор-функцiя u1(t) збiгається iз наближенням, побудованим за проекцiй- ним методом. Встановимо умови збiжностi запропонованого методу. Для цього покажемо, що згада- ний вище метод можна звести до проекцiйно-iтеративного методу для системи iнтеграль- них рiвнянь (24). Справдi, таким самим способом, як при зведеннi задачi (1) – (3) до задачi (4), (5), алгоритм (25) – (33) можна переписати у виглядi Q(s) dzk ds +H(s)zk(s) = yk(s) + E(s)λk, (34) zk(0) = γ +Dzk(T ), T∫ 0 V (s)zk(s)ds = α, (35) yk = q(s) + [H(s)− P (s)]wk(s), (36) wk(s) = zk−1(s) +K(s)µk, (37) T∫ 0 Z(s) ( Q(s) dwk ds + P (s)wk(s)− q(s) ) ds = 0, (38) де матриця K(s) розмiрностi mN × ν визначається iз задачi Q(s) dK ds +H(s)K(s) = C(s), s ∈ (0, T ), (39) K(0) = DK(T ), T∫ 0 V (s)K(s)ds = 0. (40) Тут матрицi Q(s), H(s), D, V (s), P (s), вектор γ та вектор-функцiя q(s) мають вигляд (6) i zk(s) = col ( zk 1 (s) zk 2 (s) . . . zk N (s) ) , wk(s) = col ( wk 1(s) wk 2(s) . . . wk N (s) ) , ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 572 В. А. ФЕРУК zk i (s) = xk(cs+ τi), wk i (s) = uk(cs+ τi), i = 1, N, yk(s) = col ( yk 1 (s) yk 2 (s) . . . yk N (s) ) , yk 1 (s) = cvk(cs+ τ1)−B1(s)ϕ(cs+ τ0)−N1(s)ψ(cs+ τ0), yk i (s) = cvk(cs+ τi), i = 2, N, E(s) = col (E1(s) E2(s) . . . EN (s)) , K(s) = col (K1(s) K2(s) . . . KN (s)) , Z(s) = (Ψ1(s) Ψ2(s) . . . ΨN (s)) , C(s) = col (C1(s) C2(s) . . . CN (s)) , Ei(s) = cΦ(cs+ τi), Ki(s) = cW (cs+ τi), Ψi(s) = cΨ(cs+ τi), Ci(s) = cD(cs+ τi), i = 1, N. Згiдно з викладеним у попередньому пунктi, задача (34), (35) має єдиний розв’язок zk(s) = h(s) + T∫ 0 G(s, ξ)yk(ξ)dξ. (41) Якщо тепер пiдставити зображення (41), замiнивши в ньому iндекс k на k− 1, у спiввiдно- шення (37) та скористатись тим, що матриця K(s) є розв’язком задачi (39), (40), тобто її можна подати у виглядi K(s) = T∫ 0 G(s, ξ)C(ξ)dξ, то матимемо wk(s) = h(s) + T∫ 0 G(s, ξ)[yk−1(ξ) + C(ξ)µk]dξ. (42) Пiдставивши (42) у (36) та виконавши нескладнi перетворення, отримаємо проекцiйно- iтеративний метод для системи iнтегральних рiвнянь (24): yk(s) = p(s) + r(s) + T∫ 0 K(s, ξ)vk(ξ)dξ, (43) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 ОДИН ВАРIАНТ ПРОЕКЦIЙНО-IТЕРАТИВНОГО МЕТОДУ ДЛЯ СИСТЕМ ЛIНIЙНИХ . . . 573 vk(s) = yk−1(s) + C(s)µk, (44) T∫ 0 Z(s)[yk(s)− vk(s)]ds = 0. (45) Отже, питання встановлення умов збiжностi методу (25) – (33) звелося до вiдповiдного питання для проекцiйно-iтеративного методу (43) – (45) для системи iнтегральних рiвнянь (24). Умови ж збiжностi останнього є вiдомими [10]. Таким чином, у результатi проведених в данiй статтi дослiджень: 1) встановлено умови сумiсностi систем лiнiйних диференцiальних рiвнянь iз сталим запiзненням нейтрального типу та обмеженнями; 2) обґрунтовано проекцiйно-iтеративний метод побудови наближених розв’язкiв та- ких задач. Отриманi результати можуть бути основою для аналогiчних дослiджень для систем квазiлiнiйних диференцiальних рiвнянь iз запiзненням нейтрального типу та обмеження- ми i можуть бути перенесенi на випадок змiнного запiзнення та бiльш складних додатко- вих умов. 1. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. — М.: Наука, 1972. — 352 с. 2. Хейл Дж. К. Теория функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1983. — 431 с. 3. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматулина Л. Ф. Введение в теорию функционально-дифференци- альных уравнений. — М.: Наука, 1991. — 280 с. 4. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф., Самойленко А. М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы крае- вые задачи. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. — 319 с. 5. Лучка А. Ю., Ферук В. А. Проекцiйно-iтеративний метод для систем диференцiальних рiвнянь iз зага- юванням та обмеженнями // Нелiнiйнi коливання. — 2003. — 6, № 2. — С. 206 – 232. 6. Лучка А. Ю., Ферук В. А. Модифiкований проекцiйно-iтеративний метод для систем квазiлiнiйних диференцiальних рiвнянь iз запiзненням та обмеженням // Там же. — 2004. — 7, № 2. — С. 188 – 207. 7. Лучка А. Ю. Крайова задача для диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю i побудова її розв’язку проекцiйним методом // Допов. НАН України. — 1993. — № 8. — С. 11 – 16. 8. Лучка А. Ю. Проекцiйно-iтеративний метод для диференцiальних рiвнянь з обмеженнями // Нелiнiйнi коливання. — 2002. — 5, № 4. — С. 465 – 488. 9. Лучка А. Ю. Интегральные уравнения с ограничениями и методы их решения // Кибернетика и си- стемный анализ. — 1996. — № 3. — С. 82 – 96. 10. Лучка А. Ю. Проекционно-итеративные методы. — Киев: Наук. думка, 1993. — 288 с. Одержано 19.07.2006 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4

Один варіант проекційно-ітеративного методу для систем лінійних диференціальних рівнянь із запізненням нейтрального типу та обмеженнями

Репозитарії

Схожі ресурси