Про існування розв’язку та усереднення багатоточкових крайових задач для багаточастотних систем із лiнiйно перетвореним аргументом

Про існування розв’язку та усереднення багатоточкових крайових задач для багаточастотних систем із лiнiйно перетвореним аргументом

Для m-частотной системы дифференциальных уравнений с линейно преобразованным аргументом доказано существование решения, которое удовлетворяет начальным или многоточечным краевым условиям. Получена оценка погрешности метода усреднения по быстрым переменным, явно зависимая от малого параметра. For an...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:Нелінійні коливання
Datum:2008
1. Verfasser: Бігун, Я.Й.
Format: Artikel
Sprache:Ukrainian
Veröffentlicht: Інститут математики НАН України 2008
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178188
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Про існування розв’язку та усереднення багатоточкових крайових задач для багаточастотних систем із лiнiйно перетвореним аргументом / Я.Й. Бігун // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 4. — С. 462-471. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178188
record_format dspace
spelling Бігун, Я.Й.
2021-02-18T08:10:23Z
2021-02-18T08:10:23Z
2008
Про існування розв’язку та усереднення багатоточкових крайових задач для багаточастотних систем із лiнiйно перетвореним аргументом / Я.Й. Бігун // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 4. — С. 462-471. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.
1562-3076
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178188
517.929.7
Для m-частотной системы дифференциальных уравнений с линейно преобразованным аргументом доказано существование решения, которое удовлетворяет начальным или многоточечным краевым условиям. Получена оценка погрешности метода усреднения по быстрым переменным, явно зависимая от малого параметра.
For an m-frequency system of differential equations with linearly transformed argument, we prove existence of a solution that satisfies the initial or multipoint boundary-value conditions. We find an estimate, which explicitly depends on the small parameter, for the error of the method of averaging in the fast variables.
uk
Інститут математики НАН України
Нелінійні коливання
Про існування розв’язку та усереднення багатоточкових крайових задач для багаточастотних систем із лiнiйно перетвореним аргументом
О существовании решения и усреднении многоточечных краевых задач для многочастотных систем с линейно преобразованным аргументом
On existence of solution and averaging for multipoint boundary-value problems for many-frequency systems with linearly transformed argument
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Про існування розв’язку та усереднення багатоточкових крайових задач для багаточастотних систем із лiнiйно перетвореним аргументом
spellingShingle Про існування розв’язку та усереднення багатоточкових крайових задач для багаточастотних систем із лiнiйно перетвореним аргументом
Бігун, Я.Й.
title_short Про існування розв’язку та усереднення багатоточкових крайових задач для багаточастотних систем із лiнiйно перетвореним аргументом
title_full Про існування розв’язку та усереднення багатоточкових крайових задач для багаточастотних систем із лiнiйно перетвореним аргументом
title_fullStr Про існування розв’язку та усереднення багатоточкових крайових задач для багаточастотних систем із лiнiйно перетвореним аргументом
title_full_unstemmed Про існування розв’язку та усереднення багатоточкових крайових задач для багаточастотних систем із лiнiйно перетвореним аргументом
title_sort про існування розв’язку та усереднення багатоточкових крайових задач для багаточастотних систем із лiнiйно перетвореним аргументом
author Бігун, Я.Й.
author_facet Бігун, Я.Й.
publishDate 2008
language Ukrainian
container_title Нелінійні коливання
publisher Інститут математики НАН України
format Article
title_alt О существовании решения и усреднении многоточечных краевых задач для многочастотных систем с линейно преобразованным аргументом
On existence of solution and averaging for multipoint boundary-value problems for many-frequency systems with linearly transformed argument
description Для m-частотной системы дифференциальных уравнений с линейно преобразованным аргументом доказано существование решения, которое удовлетворяет начальным или многоточечным краевым условиям. Получена оценка погрешности метода усреднения по быстрым переменным, явно зависимая от малого параметра. For an m-frequency system of differential equations with linearly transformed argument, we prove existence of a solution that satisfies the initial or multipoint boundary-value conditions. We find an estimate, which explicitly depends on the small parameter, for the error of the method of averaging in the fast variables.
issn 1562-3076
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178188
citation_txt Про існування розв’язку та усереднення багатоточкових крайових задач для багаточастотних систем із лiнiйно перетвореним аргументом / Я.Й. Бігун // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 4. — С. 462-471. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.
work_keys_str_mv AT bígunâi proísnuvannârozvâzkutauserednennâbagatotočkovihkraiovihzadačdlâbagatočastotnihsistemízliniinoperetvorenimargumentom
AT bígunâi osuŝestvovaniirešeniâiusredneniimnogotočečnyhkraevyhzadačdlâmnogočastotnyhsistemslineinopreobrazovannymargumentom
AT bígunâi onexistenceofsolutionandaveragingformultipointboundaryvalueproblemsformanyfrequencysystemswithlinearlytransformedargument
first_indexed 2025-11-26T20:34:38Z
last_indexed 2025-11-26T20:34:38Z
_version_ 1850773819173634048
fulltext УДК 517.929.7 ПРО IСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКУ ТА УСЕРЕДНЕННЯ БАГАТОТОЧКОВИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ БАГАТОЧАСТОТНИХ СИСТЕМ IЗ ЛIНIЙНО ПЕРЕТВОРЕНИМ АРГУМЕНТОМ Я. Й. Бiгун Чернiв. нац. ун-т Україна, 58012, Чернiвцi, вул.Унiверситетська, 28 e-mail: yaroslav.bihun@gmail.com For an m-frequency system of differential equations with linearly transformed argument, we prove exi- stence of a solution that satisfies the initial or multipoint boundary-value conditions. We find an estimate, which explicitly depends on the small parameter, for the error of the method of averaging in the fast vari- ables. Для m-частотной системы дифференциальных уравнений с линейно преобразованным аргу- ментом доказано существование решения, которое удовлетворяет начальным или многото- чечным краевым условиям. Получена оценка погрешности метода усреднения по быстрым пе- ременным, явно зависимая от малого параметра. Питання обґрунтування методу усереднення та iснування розв’язку багаточастотних систем iз багатоточковими й iнтегральними крайовими умовами дослiджувалися в моно- графiї [1]. Для систем iз малим параметром стандартного вигляду [2] крайовi задачi мето- дом усереднення вивчались, наприклад, у працях [3 – 5]. Системи з повiльними i швидкими змiнними та iз запiзненням у резонансному випадку розглядалися в [6 – 8]. Зокрема, бага- тоточкова задача для системи iз лiнiйно перетвореним аргументом у повiльних i швидких змiнних вивчалася в [6], а з постiйним запiзненням — у [7]. У данiй роботi обґрунтовується метод усереднення для системи iз лiнiйно перетворе- ним аргументом у випадку, коли вектор частот залежить вiд повiльних змiнних. Як вiдомо [1, 9], у загальному випадку для таких систем без запiзнення ефективну оцiнку похибки методу усереднення, залежної вiд малого параметра, можна одержати тiльки для повiль- них змiнних i за досить жорстких обмежень на систему, що пов’язанi з резонансними яви- щами. 1. Нехай x ∈ D, D — обмежена область в Rn, ‖x‖ = |x1| + . . . + |xn|, ϕ ∈ Rm, малий параметр ε ∈ (0, ε0], L > 0, τ = εt ∈ [0, L], λ, θ ∈ (0, 1), xλ(τ) = x(λτ), ϕθ(τ) = ϕ(θτ). Розглянемо систему диференцiальних рiвнянь вигляду dx dτ = a(τ, x, xλ) + εA(τ, x, xλ, ϕ, ϕθ, ε), (1) dϕ dτ = ω(τ, x, xλ) ε +B(τ, x, xλ, ϕ, ϕθ, ε), де вектор-функцiї a, ω, A i B, що є 2π-перiодичними за компонентами ϕ, ϕθ, визначено вiдповiдно в областях G1 = [0, L] × D2 i G2 = [0, L] × D2 × R2m × [0, ε0]. Змiннi x i ϕ c© Я. Й. Бiгун, 2008 462 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4 ПРО IСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКУ ТА УСЕРЕДЕННЯ БАГАТОТОЧКОВИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 463 називають повiльними i швидкими вiдповiдно, ω — вектор частот. Систему (1) можна класифiкувати як систему першого наближення [1, 9]. Задамо для системи (1) спочатку початковi умови x(0, ε) = y, ψ(0, ε) = ψ, (2) де y ∈ D1 ⊂ D, ψ ∈ Rm. У системi (1) досягається резонанс у точцi τ ∈ [0, L], якщо точно або наближено ви- конується рiвнiсть γkl(τ, ε) := (k, ω(τ, x(τ, ε), xλ(τ, ε))) + θ(l, ω(θτ, xθ(τ, ε), xθλ(τ, ε))) = 0, (3) де [k, l] ∈ Z2m \ {0}, [k, l] := col (k, l). Вiдповiдна (1) усереднена за змiнними ϕ, ϕθ система набирає вигляду d x dτ = a(τ, x, xλ) + εA0(τ, x, xλ, ε), (4) dϕ dτ = ω(τ, x, xλ) ε +B0(τ, x, xλ, ε), де F0 := [A0, B0] = 1 (2π)2m 2π ∫ 0 2π ∫ 0 F (s, x, xλ, ϕ, ϕθ, ε) dϕ dϕθ, F := [A,B]. Розглянемо породжуючу систему рiвнянь dx dτ = a(τ, x, xλ), τ ∈ [0, L]. (5) Припустимо, що виконуються наступнi умови: 10) iснує єдиний розв’язок x = ξ(τ) системи (5), ξ(0) = y ∈ D1, який належить D з деяким ρ-околом; 20) a ∈ Cτ,x,xλ (G1, σ1), ω ∈ C lz(G1, σ1), l ≥ 2p− 1, z := col (τ, x, xλ); F ∈ Cτ,x,xλ (G2, σ1), де сталою σ1 > 0 обмежено вектор-функцiю та її похiднi; 30) нехай Wp(τ) — (p × 2m)-матриця, p ≥ 2m, першi m стовпцiв якої утворенi функ- цiями ω (j) ν (τ, ξ(τ), ξλ(τ)), ν = 1, . . . ,m, j = 0, . . . , 2p − 1, елементи решти m стовпцiв — (ων(θτ, ξθ(τ), ξλθ(τ))) (j)θ, крiм того, ∥ ∥(W T p (τ)Wp(τ)) −1W T p (τ) ∥ ∥ ≤ σ2, τ ∈ [0, L]; 40) для коефiцiєнтiв Фур’є вектор-функцiї F (τ, x, xλ, ϕ, ϕθ, ε) i γ = 0 справджується ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4 464 Я. Й. БIГУН нерiвнiсть sup G1 ‖F00‖ + sup G1 ∥ ∥ ∥ ∥ ∂F00 ∂x ∥ ∥ ∥ ∥ + sup G1 ∥ ∥ ∥ ∥ ∂F00 ∂xλ ∥ ∥ ∥ ∥ + + ∑ ‖k‖+‖l‖6=0 [ (‖k‖ + θ‖l‖)γ sup G1 ‖Fkl‖ + (‖k‖ + θ‖l‖)γ−1× × ( sup G1 ∥ ∥ ∥ ∥ ∂Fkl ∂τ ∥ ∥ ∥ ∥ + sup G1 ∥ ∥ ∥ ∥ ∂Fkl ∂x ∥ ∥ ∥ ∥ + λ sup G1 ∥ ∥ ∥ ∥ ∂Fkl ∂xλ ∥ ∥ ∥ ∥ )] ≤ σ3. (6) Теорема 1. Нехай виконуються умови 10 – 40. Тодi для всiх ε ∈ (0, ε0], 0 < ε0 ≤ ε0, τ ∈ [0, L], y ∈ D1 i ψ ∈ Rm iснує єдиний розв’язок задачi (1), (2) i виконується нерiвнiсть η(τ, ε) := ‖x(τ, y, ψ, ε) − x(τ, y, ε)‖ + ε‖ϕ(τ, y, ψ, ε) − ϕ(τ, y, ψ, ε)‖ ≤ c1ε 1+ 1 p , (7) де x(0, y, ψ, ε) = y, ϕ(0, y, ψ, ε) = ψ, c1 > 0 i не залежить вiд ε. Доведення. Iз систем (4) i (5) одержимо ‖x(τ, y, ε) − ξ(τ, y)‖ ≤ 2σ1 τ ∫ 0 ‖x(s, y, ε) − ξ(s, y)‖ ds+ εσ1τ. На пiдставi нерiвностi Гронуолла – Беллмана на максимальному пiвiнтервалi [0, τ), τ ≤ L, iснування розв’язку x(τ, y, ε) маємо ‖x(τ, y, ε) − ξ(τ, y)‖ ≤ εσ1τε 2σ1τ . (8) Якщо ε0 ≤ ε1 = (4σ1ρ −1Le2σ1L)−1, то розв’язок x = x(τ, y, ε) визначено для τ ∈ [0, L) i оцiнка (8) виконується для всiх τ ∈ [0, L] i ε ∈ (0, ε1]. Тепер iз (1) i (4) маємо η(τ, ε) ≤ 4σ1 τ ∫ 0 ‖x(s, y, ψ, ε) − x(s, y, ε)‖ ds+ + ε τ ∫ 0 [‖F (s, x, xλ, ϕ, ϕθ, ε) − F (x, x, xλ, ϕ, ϕθ, ε)‖+ + ‖F (s, x, xλ, ϕ, ϕθ, ε) − F (s, x, xλ, ϕ, ϕθ, ε)+ + ‖F (s, x, xλ, ϕ, ϕθ, ε) − F (s, ξ, ξλ, ϕ, ϕθ, ε)‖] ds ≤ ≤ 8σ1 τ ∫ 0 η(s, ε) ds+ 2εσ1 τ ∫ 0 (‖x(s, y, ε) − ξ(s, y)‖+ + ‖xλ(s, y, ε) − ξλ(s, y)‖)ds+ ε ∑ ‖k‖+‖l‖6=0 ‖Ikl(τ, ε)‖, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4 ПРО IСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКУ ТА УСЕРЕДЕННЯ БАГАТОТОЧКОВИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 465 де Ikl(τ, ε) = τ ∫ 0 gkl(s, ξ(s, y), ξλ(s, y)) exp    i ε s ∫ 0 γkl(s1)ds1    ds, gkl(s, ε) = Fkl(s, ξ(s, y), ξλ(s, y), ε) exp    i(k, ϕ) + i(l, ϕθ) − i ε s ∫ 0 γkl(s1) ds1    , γkl(s1) = γkl|x=ξ(s1,y). Скористаємося оцiнкою [10] ‖Ikl(τ, ε)‖ ≤ c2ε 1 p ( sup G0 ‖gkl(s, ε)‖ + 1 ‖k‖ + θ‖l‖ sup G0 ∥ ∥ ∥ ∥ dgkl(s, ε) ds ∥ ∥ ∥ ∥ ) , (9) G0 = [0, L] × (0, ε2], ε2 ≤ ε1, правильною при виконаннi умов 10 – 30. Маємо sup G0 ‖gkl(s, ε)‖ ≤ sup G1 ‖Fkl(τ, x, xλ)‖, sup G0 ∥ ∥ ∥ ∥ dgkl(s, ε) ds ∥ ∥ ∥ ∥ ≤ sup G1 ∥ ∥ ∥ ∥ dFkl dτ ∥ ∥ ∥ ∥ + σ1 ( sup G1 ∥ ∥ ∥ ∥ dFkl dx ∥ ∥ ∥ ∥ + λ sup G1 ∥ ∥ ∥ ∥ dFkl dxλ ∥ ∥ ∥ ∥ ) + + [ (‖k‖ + θ‖l‖) sup G2 ‖B‖ + 1 ε sup G0 |(k, ω(s, x, xλ) − ω(s, ξ, ξλ) + + θ(l, ωθ(s, x, xλ) − ωθ(s, ξ, ξλ)))| sup G1 ‖Fkl‖ ] . На пiдставi нерiвностi (8) ‖ω(s, x, xλ) − ω(s, ξ, ξλ)‖ ≤ c3(L)ε, ‖ωθ(s, x, xλ) − ωθ(s, ξ, ξλ)‖ ≤ c3(θL)ε, де c3(L) = σ1L(e2σ1L + λe2σ1λL). Отже, маємо оцiнку sup G0 ∥ ∥ ∥ ∥ dgkl(s, ε) ds ∥ ∥ ∥ ∥ ≤ σ1(1 + c3(L))(‖k‖ + θ‖l‖) sup G1 ‖Fkl‖+ + (1 + σ1) ( sup G1 ∥ ∥ ∥ ∥ ∂Fkl ∂τ ∥ ∥ ∥ ∥ + sup G1 ∥ ∥ ∥ ∥ ∂Fkl ∂x ∥ ∥ ∥ ∥ + λ sup G1 ∥ ∥ ∥ ∥ ∂Fkl ∂xλ ∥ ∥ ∥ ∥ ) . (10) Iз нерiвностi для η(τ, ε) та оцiнок (9) i (10) випливає η(τ, ε) ≤ 8σ1 τ ∫ 0 η(s, ε) ds+ c3(L)ε2 + c2σ3(1 + σ1)(1 + c3(L))ε 1+ 1 p , ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4 466 Я. Й. БIГУН звiдки η(τ, ε) ≤ (c2σ3(1 + σ1)(1 + c3(L)) + c3(L)ε p−1 p ) e8σ1τ . Нехай ε0 = min ( ε2, ( p 2c1 ) p p+1 , (c2(1 + σ1)) p p−1 ) . Тодi iз (10) одержимо оцiнку (4), де c1 = 2c2σ1(1 + σ1)(1 + c3(L)), яка виконується для всiх (τ, ε) ∈ [0, L] × (0, ε0]. Теорему доведено. 2. Задано багатоточковi крайовi умови f(xα, ε) = 0, (11) g(xα, ϕα, ε) = 0, (12) де f i g — заданi n- i m-вимiрнi функцiї вiдповiдно, xα = (x|τ=τ1 , . . . , x|τ=τr), ϕα = (ϕ|τ=τ1 , . . . , ϕ|τ=τr), 0 ≤ τ1 < . . . < τr ≤ L. Розглянемо усереднену систему (4) з вiдповiдними r-точковими умовами f(xα, ε) = 0, (13) g(xα, ϕα, ε) = 0. (14) Припустимо, що задача (4), (13), (14) має єдиний розв’язок x = x (τ, y, ε), ϕ = ϕ (τ, y, ψ, ε), i покажемо, що в досить малому околi усередненого розв’язку iснує єдиний розв’язок крайової задачi (1), (11), (12). Введемо такi позначення: M = (xα, ε), M = (xα, ϕα, ε), xν = x|τ=τν = col (x1 ν , . . . , x n ν ), v = [x, xλ], w = [x, xα, ϕ, ϕθ], Ry(ε) = r ∑ ν=1 ∂f ∂ xν (M) ( ∂ x ∂ y (τν , y, ε) ) , Rψ(ε) = r ∑ ν=1 ∂g ∂ ϕν (M). Теорема 2. Нехай: 10) виконуються умови 30 i 40 iз γ = 1 теореми 1; 20) a ∈ C2 z (G1, σ1), F ∈ C2 z (G2, σ1), до того ж r ∑ ν=1 n ∑ j=1 ( sup G1 ∥ ∥ ∥ ∥ ∂2a ∂v∂vj ∥ ∥ ∥ ∥ + sup G1 ∥ ∥ ∥ ∥ ∂2F0 ∂v∂vj ∥ ∥ ∥ ∥ ) ≤ σ4; 30) для кожного ε ∈ (0, ε0] iснує єдиний розв’язок x = x(τ, y, ε), ϕ = ϕ(τ, y, ψ, ε) усередненої крайової задачi (4), (13), (14), причому x = x(τ, y, ε) належить D разом iз ρ-околом, коли (τ, ε) ∈ [0, L] × (0, ε0]; 40) для кожного ε ∈ (0, ε0] в ρ-околi розв’язку усередненої системи (ρ ≥ ρ) f(·, ε) ∈ C2 xα (G ρ, σ5), g(·, ·, ε) ∈ C2 wα (G ρ, σ5) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4 ПРО IСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКУ ТА УСЕРЕДЕННЯ БАГАТОТОЧКОВИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 467 i виконується нерiвнiсть r ∑ ν=1 2n ∑ j=1  sup Gρ ∥ ∥ ∥ ∥ ∂2f ∂zν∂zj ∥ ∥ ∥ ∥ + 2(n+m) ∑ j=1 sup G ρ ∥ ∥ ∥ ∥ ∂2g ∂wν∂wj ∥ ∥ ∥ ∥   ≤ σ6; 50) ‖R y(ε)‖ ≤ σ6ε −χ1 , ‖Rϕ(ε)‖ ≤ σ7ε −χ2 , 0 ≤ χ1 + 2χ2 < 1/p, 0 ≤ 2χ1 + χ2 < 1/p. Тодi iснує ε0 ∈ (0, ε0] таке, що для будь-якого ε ∈ (0, ε0] у досить малому околi розв’язку усередненої системи iснує єдиний розв’язок крайової задачi (1), (11), (12) i для всiх (τ, ε) ∈ [0, L] × (0, ε0] виконується нерiвнiсть ε−χ2‖x(τ, y, ψ, ε) − x(τ, y, ε)‖ + ε‖ϕ(τ, y, ψ, ε) − ϕ(τ, y, ϕ, ε)‖ ≤ ≤ c5ε β−χ2 , (15) де β = 1 + p−1 − χ1, y = y + µ, ψ = ψ + ξ, ‖µ‖ ≤ c12ε β−χ1 , ‖ξ‖ ≤ c17ε β−χ2 . Доведення. Застосуємо схему доведення, запропоновану в [1]. Нехай ρ1 = ρ/2, µ ∈ ∈ Rn i ‖µ‖ ≤ c−1 6 ρ1, c6 = 2 exp(4σ1L). Тодi для будь-якого ε ∈ (0, v0] iснує розв’язок x̃ = = x(τ, y+µ, ε) вiдповiдного усередненого рiвняння, який належить (ρ1/2)-околi розв’язку x(τ, y, ε). Якщо ε3 = min(ε0, (ρ1/(2c1)) p p+1 ), то на пiдставi теореми 1 iснує єдиний розв’язок [x(τ, y + ν, ψ + ξ, ε), ϕ(τ, y + ν, ψ + ξ, ε)] системи (1) i ‖x(τ, y + µ, ψ + ξ, ε) − x(τ, y + µ, ε)‖ ≤ c1ε 1+ 1 p , де c1 = c1(ρ/2). Тодi ∥ ∥x(τ, y + µ, ψ + ξ, ε) − x(τ, y, ε) ∥ ∥ ≤ c1ε 1+ 1 p + c6‖µ‖. (16) Покажемо, що для будь-якого ε ∈ (0, ε4], ε4 ≤ ε3, i ξ ∈ Rm iснує єдине значення µ = µ(ε, ξ), для якого розв’язок x = x(τ, y + µ, ψ + ξ, ε) задовольняє крайову умову (11). Iз (11) i (13) виводимо f(xα, ε) − f(xα, ε) = r ∑ ν=1 ∂f(M) ∂xν (xν − x̃ν) + r ∑ ν=1 ∂f(M) ∂xν (x̃ν − xν) +Rα. (17) Скориставшись оцiнкою з роботи [11], одержимо ‖Rα(f)‖ := ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ f(xα, ε) − f(xα, ε) − r ∑ ν=1 ∂f(xα, ε) ∂xν (xν − xν) ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ≤ ≤ 1 2 nσ4 ( ‖µ‖ + c1ε 1+ 1 p )2 , ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4 468 Я. Й. БIГУН ‖Rν(xν)‖ := ∥ ∥ ∥ ∥ x(τν , y + µ, ε) − x(τν , y, ε) − ∂x(τν , y, ε) ∂y µ ∥ ∥ ∥ ∥ ≤ ≤ 1 2 nc7‖µ‖ 2, де сталою c7 обмежено вираз r ∑ ν=1 n ∑ j=1 sup ε∈(0,ε6] ∥ ∥ ∥ ∥ ∂2x(τν , y(ε), ε) ∂y∂yj ∥ ∥ ∥ ∥ . Iз (17) знаходимо Ry(ε)µ = − ( r ∑ ν=1 ∂f ∂xν (M)(xν − x̃ν) + r ∑ ν=1 ∂f ∂xν (M)Rν +Rα ) ≡ Φ1(µ, ξ, ε), звiдки µ = Φ1(µ, ξ, ε), (18) де Φ1(µ, ξ, ε) = −R−1 y (ε)Φ1(µ, ξ, ε). Iз умов 40, 50 i оцiнок для Rν , Rα маємо ‖Φ1(µ, ξ, ε)‖ ≤ σ5ε −χ1 ( c1c8ε 1+ 1 p + c9‖µ‖ 2 + c10ε 1+ 1 p ‖µ‖ + c11ε 2(1+ 1 p ) ) , де c8, . . . , c11 — деякi додатнi сталi, r ∑ ν=1 ∥ ∥ ∥ ∥ ∂f ∂xν (M) ∥ ∥ ∥ ∥ ≤ c8. Нехай ‖µ‖ ≤ c12ε β , c12 = 2c1c8σ5, (19) Sy(ε) = {µ : ‖µ‖ ≤ c12ε β}, ε4 = min ( ε3, (6c9c12σ5) 1 χ1−β , (6c10σ6) − 1 β , ( c12 6c11σ6 ) p p+1 ) . Тодi ‖Φ1(µ, ξ, ε)‖ ≤ c12ε β i для кожного ε ∈ (0, ε4] Φ1 : Sy(ε) → Sy(ε). Покажемо, що Φ1 — стискаюче вiдображення. Справдi, ∂Φ1 ∂µ = −R−1 y (ε) ( r ∑ ν=1 ∂f ∂xν (M) ∂ ∂µ (xν − xν) + r ∑ ν=1 ∂f ∂xν (M) ∂Rν ∂µ + ∂Rα ∂µ ) . При виконаннi умов теореми 2 iз [6] маємо ∥ ∥ ∥ ∥ ∂ ∂µ (x− x̃) ∥ ∥ ∥ ∥ + ε ∥ ∥ ∥ ∥ ∂ ∂ξ (ϕ− ϕ̃) ∥ ∥ ∥ ∥ ≤ c13ε 1+ 1 p ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4 ПРО IСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКУ ТА УСЕРЕДЕННЯ БАГАТОТОЧКОВИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 469 для всiх (τ, ε) ∈ [0, L] × (0, ε5], ε5 ≤ ε4. Тут ϕ̃ = ϕ(τ, y + µ, ϕ+ ξ, ε). Тодi ∥ ∥ ∥ ∥ ∂Φ1 ∂µ ∥ ∥ ∥ ∥ ≤ σ6ε −χ1(c8c13ε 1+ 1 p + c14‖µ‖) = q1(ε) ≤ 1 2 , якщо ε ≤ ε6 = min ( ε5, (4c8c13σ6) − 1 β , (4c12c14σ6) 1 χ1−β ) . На пiдставi принципу стискаючих вiдображень для будь-яких ε ∈ (0, ε6] i ξ ∈ Rn iснує єдина нерухома точка µ = µ(ε, ξ) вiдображення Φ1. Аналогiчно, з умов (12) i (14) маємо ξ = Φ2(ξ, ε), де Φ2(ξ, ε) = −R−1 ψ (ε) Φ2(ξ, ε), Φ2(ξ, ε) = −R−1 ψ (ε) { r ∑ ν=1 [ ∂g ∂xν (M)(xν − xν)+ + ∂g ∂ϕν (M)(ϕν − ϕν) + ∂g ∂ϕν (M)(ϕ̃ν − ϕν + ξ) ] + Pα(ξ, ε) } . Враховуючи оцiнку ‖x̃− x‖ := ‖x(τ, y + µ, ε) − x(τ, y, ε)‖ ≤ c6‖µ‖ ≤ c6c12ε β, (20) одержуємо ‖ϕ̃ν − ϕν + ξ‖ ≤ τνσ1 ( 1 ε + 1 ) sup ε∈(0,ε6] (‖x̃− x‖ + ‖x̃λ − xλ‖) ≤ ≤ 4τνc6c12σ1ε 1 p −σ1 ≡ c15ε 1 p −σ1 . Тодi ‖Φ2(ξ, ε)‖ ≤ σ7ε −χ2 ( 2c6c8c12ε β + c1c8ε 1 p + c8c15ε 1 p −χ1 + c16(‖ξ‖ + εβ)2 ) . Нехай ‖ξ‖ ≤ c17ε 1 p −χ1−χ2 , c17 = 2c8 c15σ7. Тодi для будь-якого ε ∈ (0, ε7] ‖Φ2(ξ, ε)‖ ≤ c17ε 1 p −σ1−σ2 , Φ2 : Sψ(ε) → Sψ(ε), Sψ(ε) = { ξ : ‖ξ‖ ≤ c17ε 1 p −σ1−σ2 } . ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4 470 Я. Й. БIГУН Далi маємо ∂Φ2(ξ, ε) ∂ξ = −R−1 ψ (ε) { r ∑ ν=1 [ ∂g ∂xν (M) ∂ ∂ξ (xν − xν) + ∂g ∂ϕν (M) ∂ ∂ξ (ϕν − ϕν) ] + ∂Pα ∂ξ (ξ, ε) } . Звiдси одержуємо оцiнку ∥ ∥ ∥ ∥ ∂Φ2(ξ, ε) ∂ξ ∥ ∥ ∥ ∥ ≤ σ7ε −χ2 ( 2c8c13ε 1 p (ε+ 1) + c18(‖ξ‖ + εβ) ) ≡ q2(ε) ≤ 1 2 , якщо ε ≤ ε8 = min ( ε7, (24c8c13σ7) p pχ2−1 , (6c17 c18σ7) 1 2χ2−β ) . Отже, для будь-якого ε ∈ (0, ε8] iснує єдина точка ξ = ξ(ε) вiдображення Φ2. Iз (16) i (20) маємо ‖x(τ, y + µ, ψ + ξ, ε) − x(τ, y, ε)‖ ≤ (c1ε χ1 + c6c12)ε β ≤ 2c6c12ε β, якщо ε ≤ ( c6 c12 c1 )1/χ1 = ε9. Аналогiчно ε‖ϕ(τ, y + µ, ψ + ξ, ε) − ϕ(τ, y, ψ, ε)‖ ≤ ≤ ε‖ϕ(τ, y + µ, ψ + ξ, ε) − ϕ(τ, y + µ, ψ + ξ, ε)‖+ +ε‖ϕ(τ, y + µ, ψ + ξ, ε) − ϕ(τ, y, ψ, ε)‖ ≤ ≤ c1ε β + ε‖ξ‖ + c15ε β ≤ (c1 + c15)ε β + c17ε β−χ2 ≤ 2c17ε β−χ1 , якщо ε ≤ (c17/(c1 + c15)) 1/χ2 = ε10. Звiдси й випливає оцiнка (15), оскiльки ε−χ2‖x− x‖ + ε‖ϕ− ϕ‖ ≤ 2c6c12ε β−χ2 + (c1 + c15)ε β + c17ε β−χ2 = c5ε β−χ, c5 = 2c17, ε ≤ ε11 = min ( ε9, ε10, ( 2c6c12 + c17 c1 + c15 )1/χ2 ) . Якщо ε0 = min(ε11, (ρ/c5) 1/(β−χ2)), то виконується й умова 40 теореми 2. Теорему доведено. 1. Самойленко А. М., Петришин Р. I. Математичнi аспекти теорiї нелiнiйних коливань. — Київ: Наук. думка, 2004. — 475 с. 2. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1974. — 504 с. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4 ПРО IСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКУ ТА УСЕРЕДЕННЯ БАГАТОТОЧКОВИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 471 3. Акуленко Л. Д. Асимптотические методы оптимального управления. — М.: Наука, 1987. — 368 с. 4. Плотников В. А. Метод усреднения в задачах управления. — Киев; Одесса: Лыбидь, 1992. — 188 с. 5. Байнов Д. Д. О некоторых применениях метода усреднения для решения начальных и краевых задач для обыкновенных дифференциальных, интегро-дифференциальных и дифференциально-функцио- нальных уравнений // Proc. VIII Int. Conf. Nonlinear Oscillations. — Prague, 1978. — P. 771 – 789. 6. Бiгун Я. Й. Усереднення багаточастотної крайової задачi з лiнiйно перетвореним аргументом // Укр. мат. журн. — 2000. — 52, № 3. — С. 291 – 299. 7. Бiгун Я.Й. Усереднення крайових задач для багаточастотних систем iз сталим запiзненням // Вiсн. Київ. ун-ту. Сер. фiз.-мат. науки. — 2005. — Вип. 2. — С. 90 – 96. 8. Бiгун Я. Й. Iснування розв’язку та усереднення нелiнiйних багаточастотних задач iз запiзненням // Укр. мат. журн. — 2007. — 59, № 4. — С. 435 – 446. 9. Гребеников Е. А., Рябов Ю. А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. — М.: Наука, 1979. — 432 с. 10. Бигун Я. И., Самойленко А. М. Обоснование принципа усреднения для многочастотных систем диф- ференциальных уравнений с запаздыванием // Дифференц. уравнения. — 1999. — 35, № 1. — С. 8 – 14. Одержано 29.04.08 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4

Ähnliche Einträge