Об устойчивости по Ляпунову нечетких импульсных систем Такаги - Сугено

Проведено аналiз стiйкостi за Ляпуновим нечiтких iмпульсних систем Такагi – Сугено. На основi прямого методу Ляпунова встановлено достатнi умови стiйкостi для таких систем. Показано, що цi умови виражаються системою лiнiйних матричних нерiвностей. Як приклад розглянуто iмпульсне нечiтке керування у...

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Published in:Нелінійні коливання
Date:2008
Main Authors: Денисенко, В.С., Мартынюк, А.А., Слынько, В.И.
Format: Article
Language:Russian
Published: Інститут математики НАН України 2008
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178190
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Об устойчивости по Ляпунову нечетких импульсных систем Такаги - Сугено / В.С. Денисенко, А.А. Мартынюк, В.И. Слынько // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 4. — С. 481-494. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
_version_ 1860097319938031616
author Денисенко, В.С.
Мартынюк, А.А.
Слынько, В.И.
author_facet Денисенко, В.С.
Мартынюк, А.А.
Слынько, В.И.
citation_txt Об устойчивости по Ляпунову нечетких импульсных систем Такаги - Сугено / В.С. Денисенко, А.А. Мартынюк, В.И. Слынько // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 4. — С. 481-494. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
collection DSpace DC
container_title Нелінійні коливання
description Проведено аналiз стiйкостi за Ляпуновим нечiтких iмпульсних систем Такагi – Сугено. На основi прямого методу Ляпунова встановлено достатнi умови стiйкостi для таких систем. Показано, що цi умови виражаються системою лiнiйних матричних нерiвностей. Як приклад розглянуто iмпульсне нечiтке керування у двовидовiй моделi „хижак-жертва”. We study Lyapunov stability of impulsive Takagi – Sugeno fuzzy systems. Using the direct Lyapunov
 method we find sufficient conditions for stability of such systems. We show that these conditions can be
 expressed in terms of a system of matrix inequalities. As an example, we consider impulsive fussy control
 in a two species „predator-prey” model.
first_indexed 2025-12-07T17:27:30Z
format Article
fulltext УДК 531.36 ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ НЕЧЕТКИХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ ТАКАГИ – СУГЕНО В. С. Денисенко, А. А. Мартынюк, В. И. Слынько Ин-т механики НАН Украины Украина, 03057, Киев, ул. Нестерова, 3 We study Lyapunov stability of impulsive Takagi – Sugeno fuzzy systems. Using the direct Lyapunov method we find sufficient conditions for stability of such systems. We show that these conditions can be expressed in terms of a system of matrix inequalities. As an example, we consider impulsive fussy control in a two species „predator-prey” model. Проведено аналiз стiйкостi за Ляпуновим нечiтких iмпульсних систем Такагi – Сугено. На осно- вi прямого методу Ляпунова встановлено достатнi умови стiйкостi для таких систем. Пока- зано, що цi умови виражаються системою лiнiйних матричних нерiвностей. Як приклад розгля- нуто iмпульсне нечiтке керування у двовидовiй моделi „хижак-жертва”. 1. Введение. Нечеткие модели Такаги – Сугено (Т-С) — это нелинейные системы, ко- торые описываются множеством правил „если-то”, которые, в свою очередь, являются локально линейными представлениями нелинейной системы. Главное преимущество не- четких моделей Т-С заключается в том, что антецедент нечетких правил задается ана- литической функцией и выбор такой функции зависит от ее практического примене- ния. Такие модели могут аппроксимировать широкий класс сложных или нелинейных систем, точное моделирование которых затруднительно. Гладкое агрегирование правил, являющихся многомерным разбиением пространства состояний, и взвешенная сумма ли- нейных моделей позволяют представить полную динамику системы. Поэтому важным является изучение устойчивости таких нечетких систем. Устойчивость однородной не- четкой системы в дискретном и непрерывном случае рассмотрена в работах [1, 2], где достаточные условия устойчивости определяются линейными матричными уравнениями Ляпунова. Нечеткие системы Т-С с импульсным управлением рассмотрены в работе [3], где проблема устойчивости таких систем решается на основе принципа сравнения для дифференциальных уравнений. В настоящей работе анализ устойчивости нечетких импульсных систем Т-С прово- дится на основе прямого метода Ляпунова посредством подходящего выбора функции Ляпунова. Достаточные условия устойчивости состояния равновесия для таких систем получены в виде линейных матричных неравенств. 2. Постановка задачи и вспомогательные результаты. Будем рассматривать не- четкую динамическую модель Т-С, которая описывается следующими нечеткими пра- вилами: Ri, i = 1, r : если z1(t) ∈ Mi1, . . . , zn(t) ∈ Min, то c© В. С. Денисенко, А. А. Мартынюк, В. И. Слынько, 2008 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4 481 482 В. С. ДЕНИСЕНКО, А. А. МАРТЫНЮК, В. И. СЛЫНЬКО dx(t) dt = Aix(t), t 6= τk, x(t+ 0) = Bix(t), t = τk, k = 1, 2, . . . , (1) x(t0 + 0) = x0, где x(t) = (x1, . . . , xn)T ∈ R n — вектор состояния, z(t) = (z1, . . . , zn)T ∈ R n — вектор по- сылочных переменных, связанный с состояниями и входами системы , x(t+0) — значение справа x(t), Ai ∈ R n×n, Bi ∈ R n×n — структурные матрицы системы, Mij(·) — функции принадлежности нечетких множеств Mij и r — число нечетких правил. Предполагается, что матрицы Bi невырождены, τk+1 − τk = θ > 0, k = 1, 2, . . ., и card(z) = card(x) = n. Полная динамика нечеткой системы Т-С с импульсным управлением описывается так: dx(t) dt = r∑ i=1 µi(z(t))Aix(t), t 6= τk, x(t+ 0) = r∑ i=1 µi(z(t))Bix(t), t = τk, k = 1, 2, . . . , (2) x(t0 + 0) = x0, где µi(z) = ωi(z)∑r i=1 ωi(z) и ωi(z) = ∏n j=1Mij(zj). Очевидно, что ∑r i=1 µi(z) = 1 и µi(z) ≥ 0, i = 1, 2, . . . , r. Далее без потери общности полагаем z = x. Прежде чем перейти к основным результатам, сделаем некоторые предположения относительно нечеткой системы Т-С (2). Предположение 1. Существуют γ > 0 и ε > 0 такие, что функции µi(x) для систе- мы (2) удовлетворяют неравенству ‖D+µi(x)‖ ≤ γ‖x‖−1+ε. В этом предположенииD+µi(x) обозначает правую верхнюю производную Дини функ- ции µi(x), т. е. D+µi(x) = lim sup{µi(x(t+ ∆)) − µi(x(t))/∆ : ∆ → 0+ }. Заметим, что предположение 1 обеспечивает существование и единственность реше- ний системы (2). Пусть E — пространство симметричных (n× n)-матриц со скалярным произведением (X,Y ) = tr(XY ) и соответствующей нормой ‖X‖ = √ (X,X), где tr(·) обозначает след соответствующей матрицы. Пусть K ⊂ E — конус положительно полуопределенных симметричных матриц, Fi : E → E — линейные операторы, FiX = AT i X + XAi, i = = 1, 2, . . . , r. Определение 1 [4]. Функция V (t, x) принадлежит классу V0, если справедливы следу- ющие утверждения: 1) V (t, x) непрерывна на Y = ⋃∞ k=1 Yk, Yk = { (t, x) ∈ R+ × R n : τk−1 < t < τk }, и локально липшицева по x для всех Yk; 2) для всех k = 1, 2, . . . и любой точки (t0, x0) ∈ Ỹk, Ỹk = { (t, x) ∈ R+ ×R n : t = τk }, существуют конечные пределы V (τk − 0, x) = lim (t,y)→(τk,x) V (t, y), ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4 ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ НЕЧЕТКИХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ ТАКАГИ – СУГЕНО 483 V (τk + 0, x) = lim (t,y)→(τk,x) V (t, y) и верно соотношение V (τk − 0, x) = V (τk, x). Определение 2 [5]. Функция ϕ(r) принадлежит классу K (ϕ ∈ K), если она непрерыв- на, строго возрастает на 0 < r < r1, где 0 ≤ r < ∞, и ϕ(0) = 0. В настоящей работе рассматривается устойчивость по Ляпунову состояния равнове- сия x = 0 системы (2). Рассмотрим сначала следующую импульсную систему: dx dt = f(t, x), t 6= τk, x(t+ 0) = gk(x), t = τk, k = 1, 2, . . . , (3) x(t0 + 0) = x0, где f(t, x), gk(x) — липшицевы функции и τk+1 − τk = θ > 0. Далее сформулируем некоторую модификацию теоремы из [4]. Теорема 1. Пусть для системы (3) существует функция V (t, x) ∈ V0 такая, что выполняются следующие условия: 1) 0 ≤ V (t, x) ≤ c(‖x‖), где (t, x) ∈ R+ ×D, D ⊆ R n; 2) ∆V ∣∣ (3) = V (t+ 0, x(t+ 0)) − V (t, x) ≤ 0 для t = τk, k = 1, 2, . . . ; 3) dV dt ∣∣∣∣ (3) ≤ −b(‖x‖) для t ∈ (τk, τk+1], k = 1, 2, . . . ; 4) V (τk + 0, x(τk + 0)) ≥ a(‖x(τk + 0)‖), где a, b, c ∈ K. Тогда состояние равновесия системы (3) асимптотически устойчиво. Доказательство. Выберем функцию Ляпунова V (t, x) ∈ V0. Далее рассмотрим по- следовательность чисел { V (τk + 0, x(τk + 0)) }∞ k=0 . Очевидно, что это невозрастающая последовательность. Пусть t0 = 0, тогда, учитывая условия 1 и 4 теоремы 1, получаем a(‖x(τk + 0)‖) ≤ V (0 + 0, x(0 + 0)) ≤ c(‖x0‖), где x(0+0) = x0. Сначала покажем, что для любого ε > 0 существует δ(ε) > 0 такое, что ‖x0‖ < δ(ε) влечет ‖x(τk + 0)‖ < εe−Lθ, где L > 0 — константа Липшица для функции f(t, x), k = 1, 2, . . . . Предположим обратное. Тогда существует N > 0 такое, что ‖x(τN + +0)‖ ≥ εe−Lθ. Далее для любого ε > 0 выберем δ(ε) = c−1 (a(εe−Lθ) 2 ) . Тогда a(εe−Lθ) ≤ a(‖x(τN + 0)‖) ≤ c(‖x0‖) < c ( c−1 (a(εe−Lθ) 2 )) = a(εe−Lθ) 2 . Это противоречие доказывает, что для любого ε > 0 существует δ(ε) > 0 и из ‖x0‖ < δ(ε) следует ‖x(τk + 0)‖ < εe−Lθ < ε, k = 1, 2, . . . . Далее покажем, что для любого ε > 0 существует δ(ε) > 0 такое, что ‖x0‖ < δ(ε) влечет ‖x(t)‖ < ε для t ∈ (τk, τk+1]. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4 484 В. С. ДЕНИСЕНКО, А. А. МАРТЫНЮК, В. И. СЛЫНЬКО Рассмотрим систему dx dt = f(t, x) для t 6= τk. Решение x(t) этой системы находится по формуле x(t) = x(τk + 0) + t∫ τk f(s, x(s))ds, t ∈ (τk, τk+1]. Поэтому справедливы следующие оценки: ‖x(t)‖ ≤ ‖x(τk + 0)‖ + t∫ τk ‖f(s, x(s))‖ds ≤ ‖x(τk + 0)‖ + t∫ τk L‖x(s)‖ds. Использовав лемму Гронуолла – Беллмана и неравенство ‖x(τk + 0)‖ < e−Lθε < ε, пре- образуем эти оценки к виду ‖x(t)‖ ≤ ‖x(τk + 0)‖eL(t−τk) ≤ eLθ‖x(τk + 0)‖ < eLθe−Lθε = ε, т. е. ‖x(t)‖ < ε, как только ‖x0‖ < δ(ε) = c−1 (a(εe−Lθ) 2 ) . Таким образом, объединяя полученные результаты, делаем вывод, что система (3) устойчива. Дальше докажем, что существует ρ0 > 0 и ‖x0‖ < ρ0 влечет ‖x(τk + 0)‖ → 0, как только k → ∞ и ‖x(t)‖ → 0 при t → ∞. Очевидно, что последовательность { V (τk +0, x(τk +0)) }∞ k=0 ограничена снизу нулем, поэтому существует предел limk→∞ V (τk + 0, x(τk + 0)) = α ≥ 0 и верны оценки V (τk+1 + 0, x(τk+1 + 0)) = V (τk+1 + 0, x(τk+1 + 0))− − V (τk+1, x(τk+1)) + V (τk+1, x(τk+1)) ≤ ≤ V (τk+1, x(τk+1)) = V (τk + 0, x(τk + 0))+ + τk+1∫ τk dV dt ds ≤ V (τk + 0, x(τk + 0)) − τk+1∫ τk b(‖x(s)‖)ds. Далее предположим, что { ‖x(τk + 0))‖ }∞ k=0 9 0 при k → ∞. Тогда можно выбрать под- последовательность { ‖x(τnk + 0))‖ } nk , где n > 0, k > 0 – натуральные числа и lim nk→∞ ‖x(τnk )‖ = β > 0. Пусть τnk ≤ s < τnk+1 , тогда, используя условия теоремы 1, получаем оценки V (τnk + 0, x(τnk + 0)) ≤ V (s, x(s)) ≤ c(‖x(s)‖) и c(‖x(s)‖) ≥ a(‖x(τnk + 0))‖). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4 ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ НЕЧЕТКИХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ ТАКАГИ – СУГЕНО 485 Поскольку b, c ∈ K, то b(‖x(s)‖) ≥ b(c−1(a(‖x(τnk + 0)‖))) ≥ η > 0. При этом для подпоследовательности справедлива оценка V (τnk+1 + 0, x(τnk+1 + 0)) = V (τnk + 0, x(τnk + 0)) − τnk+1∫ τnk b(‖x(s)‖)ds ≤ ≤ V (τnk + 0, x(τnk + 0)) − η(τnk+1 − τnk ), η > 0. Отсюда l∑ k=1 V (τnk+1 + 0, x(τnk+1 + 0)) ≤ l∑ k=1 ( V (τnk + 0, x(τnk + 0)) − η(τnk+1 − τnk ) ) , V (τnl+1 + 0, x(τnl+1 + 0)) ≤ V (τn1 + 0, x(τn1 + 0)) − ηθnl. Таким образом, V (τnl+1 + 0, x(τnl+1 + 0)) → −∞ при nl → ∞. Это противоречие доказывает, что { ‖x(τk +0))‖ }∞ k=0 → 0 при k → ∞. Очевидно, если t → ∞, то k → ∞, поэтому получаем 0 ≤ ‖x(t)‖ ≤ eLθ‖x(τk + 0)‖ → 0. Таким образом, доказано, что ‖x0‖ < ρ0 влечет { ‖x(τk+0))‖ }∞ k=0 → 0 при k → ∞ и ‖x(t)‖ → 0 при t → ∞, t ∈ (τk, τk+1], k = 1, 2, . . . . Поэтому состояние равновесия системы (3) асимптотически устойчиво, что и завершает доказательство теоремы 1. 3. Основные результаты. В этом пункте для анализа асимптотической устойчивости нечеткой импульсной системы Т-С использована подходящая функция Ляпунова. Сфор- мулированы несколько теорем, доказательство которых при определенных предполо- жениях проводится на основе прямого метода Ляпунова. Показано, что условия устойчи- вости выражаются системой линейных матричных неравенств. Теорема 2. Пусть предположение 1 выполняется, тогда состояние равновесия x = 0 нечеткой импульсной системы (2) асимптотически устойчиво, если система линейных матричных неравенств 1 2 (BT j XBi +BT i XBj) −X + (AT j X +XAj)θ < 0, i, j = 1, 2, . . . , r, (4) AT i A T j X +XAjAi +AT j XAi +AT i XAj ≥ 0, i, j = 1, 2, . . . , r, (5) совместна в классе положительно определенных матриц. Доказательство. Выберем функцию Ляпунова из класса V0, V (t, x) = xTP (t, x)x, где P (t, x) =    e − rP i=1 µi(x)Fi(t−τk) X − t∫ τk e − rP i=1 µi(x)Fi(t−s) dsQ, t ∈ (τk, τk+1], X, t = τk+1 + 0, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4 486 В. С. ДЕНИСЕНКО, А. А. МАРТЫНЮК, В. И. СЛЫНЬКО Q и X — симметричные положительно определенные (n × n)-матрицы. Ниже будет по- казано, что P (t, x) K > 0 в некоторой окрестности состояния равновесия, а сейчас рас- смотрим производную по времени функции V (t, x) в силу системы (2). Если t 6= τk, то получаем dV dt ∣∣∣∣ (2) = xT r∑ i=1 µi(x)(A T i P (t, x) + P (t, x)Ai)x+ xT dP (t, x) dt x = = xT r∑ i=1 µi(x)FiP (t, x)x+ xT dP (t, x) dt x, где dP (t, x) dt = e − rP i=1 µi(x)Fi(t−τk) ( − r∑ i=1 D+µi(x) dx dt Fi(t− τk) − r∑ i=1 µi(x)Fi ) X− − t∫ τk e − rP i=1 µi(x)Fi(t−s) ( − r∑ i=1 µi(x)Fi + r∑ i=1 D+µi(x) dx dt Fi ) dsQ−Q = = − r∑ i=1 µi(x)Fi ( e − rP i=1 µi(x)Fi(t−τk) X − t∫ τk e − rP i=1 µi(x)Fi(t−s) dsQ ) −e − rP i=1 µi(x)Fi(t−τk) × × r∑ i=1 D+µi(x) dx dt FiX(t− τk) − t∫ τk e − rP i=1 µi(x)Fi(t−s) r∑ i=1 D+µi(x) dx dt FidsQ−Q = = − r∑ i=1 µi(x)FiP (t) − e − rP i=1 µi(x)Fi(t−τk) r∑ i=1 D+µi(x) dx dt FiX(t− τk)− − t∫ τk e − rP i=1 µi(x)Fi(t−s) r∑ i=1 D+µi(x) dx dt FidsQ−Q. Таким образом, для производной dV dt ∣∣∣∣ (2) имеем следующие оценки: dV dt ∣∣∣∣ (2) = xT r∑ i=1 µi(x)FiP (t, x)x− xT r∑ i=1 µi(x)FiP (t, x)x− xTQx− − xT [ e − rP i=1 µi(x)Fi(t−τk) r∑ i=1 D+µi(x) dx dt FiX(t− τk) ] x− ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4 ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ НЕЧЕТКИХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ ТАКАГИ – СУГЕНО 487 − xT [ t∫ τk e − rP i=1 µi(x)Fi(t−s) r∑ i=1 D+µi(x) dx dt FidsQ ] x ≤ ≤ −λmin(Q)‖x‖2 + θe rP i=1 µi(x)‖Fi‖θ r∑ i=1 ‖D+µi(x)‖ ‖Fi‖ ‖X‖ ∥∥∥∥∥ dx dt ∥∥∥∥∥ ‖x‖ 2+ + θe rP i=1 µi(x)‖Fi‖θ r∑ i=1 ‖D+µi(x)‖ ‖Fi‖ ‖Q‖ ∥∥∥∥∥ dx dt ∥∥∥∥∥ ‖x‖ 2. Здесь λmin(·) > 0 — минимальное собственное значение соответствующей матрицы. Обозначим a = max i=1,r ‖Ai‖, тогда с учетом того, что ‖FiX‖ ≤ ‖AT i X +XAi‖ ≤ 2‖Ai‖ ‖X‖, получаем ‖Fi‖ ≤ 2‖Ai‖ ≤ 2a, i = 1, 2, . . . , r. Также очевидно, что ∥∥∥ dx dt ∥∥∥≤ r∑ i=1 µj(x)‖Aj‖ ‖x‖ ≤ a‖x‖. Следовательно, для производной по времени от V (t, x) справедливы оценки dV dt ∣∣∣∣ (2) ≤ −λmin(Q)‖x‖2 + 2a2θe2aθ r∑ i=1 ‖D+µi(x)‖ ‖X‖ ‖x‖3+ + 2a2θe2aθ r∑ i=1 ‖D+µi(x)‖ ‖Q‖ ‖x‖3 ≤ ≤ ( −λmin(Q) + 2a2rθγe2aθ ( ‖X‖ + ‖Q‖ ) ‖x‖ε ) ‖x‖2. Поэтому dV dt ∣∣∣∣ (2) < 0 для всех x из шара ‖x‖ < R, где R = ( λmin(Q) 2a2rθγe2aθ ( ‖X‖ + ‖Q‖ ) )1/ε . Рассмотрим разность ∆V ∣∣ (2) = V (t+ 0, x(t+ 0)) − V (t, x): ∆V ∣∣ (2) = xT (t+ 0)P (t+ 0)x(t+ 0) − xT (t)P (t)x(t) = xT (t+ 0)Xx(t+ 0)− − xT ( e − rP i=1 µi(x(kθ))Fiθ X − kθ∫ (k−1)θ e − rP i=1 µi(x(kθ))Fi(kθ−s) dsQ ) x = = xT r∑ j=1 r∑ i=1 µj(x)µi(x)B T j XBix− xT e − rP i=1 µi(x(kθ))Fiθ Xx+ xT θ∫ 0 e − rP i=1 µi(x)Fiy dyQx, где y = kθ − s. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4 488 В. С. ДЕНИСЕНКО, А. А. МАРТЫНЮК, В. И. СЛЫНЬКО Далее покажем, что выполняется неравенство e − rP i=1 µi(x)Fiθ X K ≥ ( I − r∑ i=1 µi(x)Fiθ ) X. (6) Для этого выберем произвольный элемент Φ ∈ K∗ = K и рассмотрим разложение в ряд Маклорена по степеням h ≥ 0 скалярной функции ψΦ(h) = tr ( Φ ( e − rP i=1 µi(x)Fiθh X −X + r∑ i=1 µi(x)FiθhX )) , ограничившись членами второго порядка: ψΦ(h) = ψΦ(0) + ψ′ Φ(0)h+ ψ′′ Φ(ξ)h2 2! , ξ ∈ (0, h). Пусть h = 1, тогда с учетом того, что ψΦ(0) = ψ′ Φ(0) = 0, получаем ψΦ(1) = ψ′′ Φ(ξ) 2 , где ψ′′ Φ(ξ) = tr ( Φ (( r∑ i=1 µi(x)Fiθ )2 e − rP i=1 µi(x)Fiθξ X )) . Из неравенства (5) и положительности оператора e − rP i=1 µi(x)Fiθξ следует оценка ψ′′ Φ(ξ) ≥ 0. Таким образом, ψΦ(1) ≥ 0 при всех Φ ∈ K∗. Поэтому неравенство (6) выполняется. Рассмотрим функцию fx(θ) = xT θ∫ 0 e − rP i=1 µi(x)Fiy dyQx. Согласно теореме Лагранжа fx(θ) = f ′x(ζ)θ = xT θe − rP i=1 µi(x)Fiζ Qx, ζ ∈ (0, θ), и справедли- вы следующие оценки: ‖fx(θ)‖ ≤ ‖x‖2e rP i=1 µi(x)‖Fi‖θ ‖Q‖θ ≤ θe2aθ‖Q‖‖x‖2. (7) Учитывая неравенства (4), (6) и (7), для разности ∆V получаем ∆V ∣∣ (2) ≤ −xT r∑ j=1 r∑ i=1 µj(x)µi(x)Qjix+ θe2aθ‖Q‖‖x‖2 ≤ ≤ − r∑ j=1 r∑ i=1 µj(x)µi(x)λmin(Qji)‖x‖2 + θe2aθ‖Q‖ ‖x‖2 ≤ ( −λ∗ + θe2aθ‖Q‖ ) ‖x‖2, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4 ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ НЕЧЕТКИХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ ТАКАГИ – СУГЕНО 489 где Qji — положительно определенные матрицы, λ∗ = min i,j=1,r λmin(Qji). Очевидно, что ∆V ∣∣ (2) ≤ 0 при ‖Q‖ ≤ λ∗ θ e−2aθ ( можно выбрать, например, Q = λ∗ 2 √ nθ e−2aθI ) . Далее покажем, что P (t, x) K > 0 для всех t ∈ R n, т. е. V (t, x) — положительно опре- деленная функция. В самом деле, так как V (t, x) — убывающая функция, при ‖x‖ < R получаем оценки xTP (t, x)x ≥ xT (τk+1)P (τk+1, x(τk+1))x(τk+1) ≥ ≥ xT (τk+1 + 0)P (τk+1 + 0, x(τk+1 + 0))x(τk + 0) ≥ ≥ λmin(X)‖x(τk+1 + 0)‖2 > 0. Этим показано, что V (t, x) K > 0, dV dt ∣∣∣∣ (2) < 0 и ∆V ∣∣ (2) ≤ 0 для всех ‖x‖ < R. Таким образом, все условия теоремы 1 выполняются. Поэтому состояние равновесия x = 0 импульсной нечеткой системы (2) асимптотически устойчиво. Введем теперь следующее предположение. Предположение 2. Существуют постоянные R0 > 0, γ1 > 0, γ2 > 0 и ε > 0 такие, что функции µi(x), i = 1, 2, . . . , r, удовлетворяют неравенству ‖D+µi(x)‖ ≤ { γ1‖x‖−1+ε при ‖x‖ ≤ R0, γ2‖x‖−1−ε при ‖x‖ ≥ R0. Учитывая предположение 2, можно сформулировать следующую теорему. Теорема 3. Пусть предположение 2 выполняется и постоянные γ1, γ2, R0 такие, что γ1γ2 < λ2 min(Q) 4a4r2θ2e4aθ( ‖X‖ + ‖Q‖ )2 и ( λmin(Q) 2a2rθγ2e2aθ ( ‖X‖ + ‖Q‖ ) )−1/ε < R0 < ( λmin(Q) 2a2rθγ1e2aθ ( ‖X‖ + ‖Q‖ ) )1/ε , где a = max i=1,r ‖Ai‖, Q — симметричная положительно определенная (n × n)-матрица и X — общая симметричная положительно определенная матрица, такая, что неравен- ства (4), (5) выполняются. Тогда состояние равновесия x = 0 нечеткой импульсной системы (2) глобально асимптотически устойчиво. Доказательство. Выберем функцию Ляпунова из класса V0, V (t, x) = xTP (t, x)x, где P (t, x) =    e − rP i=1 µi(x)Fi(t−τk) X − t∫ τk e − rP i=1 µi(x)Fi(t−s) dsQ, t ∈ (τk, τk+1], X, t = τk+1 + 0, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4 490 В. С. ДЕНИСЕНКО, А. А. МАРТЫНЮК, В. И. СЛЫНЬКО Q и X — симметричные положительно определенные (n×n)-матрицы. Рассмотрим про- изводную по времени функции V (t, x) в силу системы (2). Если t 6= τk, то возможны два случая: 1) если ‖x‖ ≤ R0, то, как и при доказательстве теоремы 2, получаем dV dt ∣∣∣ (2) ≤ ( −λmin(Q) + 2a2rθe2aθγ1 ( ‖X‖ + ‖Q‖ ) ‖x‖ε ) ‖x‖2, откуда dV dt ∣∣∣ (2) < 0 по условию теоремы 3; 2) если ‖x‖ ≥ R0, то аналогично имеем dV dt ∣∣∣ (2) ≤ ( −λmin(Q) + 2a2rθe2aθγ2 ( ‖X‖ + ‖Q‖ ) ‖x‖−ε ) ‖x‖2 и dV dt ∣∣∣ (2) < 0 по условию теоремы 3. Таким образом, dV dt ∣∣∣ (2) < 0 для всех x ∈ R n. Как и при доказательстве теоремы 2, можно показать (с учетом условия теоремы 3), что ∆V ∣∣ (2) = V (t + 0, x(t + 0)) − V (t, x) ≤ 0 и P (t, x) K > 0. Поэтому согласно теореме 1 состояние равновесия x = 0 системы (2) глобально асимптотически устойчиво. 4. Импульсное нечеткое управление в двухвидовой модели „хищник-жертва”. Рассмот- рим двухвидовое экологическое сообщество „хищник-жертва”, эволюция которого опи- сывается классическими уравнениями модели Лотки – Вольтерра с внутривидовой кон- куренцией dN1 dt = αN1 − βN1N2 − γN2 1 , (8) dN2 dt = −mN2 + sβN1N2, где N1(t) — биомасса жертв, N2(t) — биомасса хищников; α и m — коэффициенты ес- тественного прироста жертв и естественной смертности хищников соответственно; γ — коэффициент внутривидовой конкуренции; β — коэффициент биомассы жертв, потреб- ляемых одним хищником за единицу времени; s — коэффициент расходуемой хищником энергии на воспроизводство. Предположим, что экологической системой можно управлять посредством регули- рования численности видов в некоторые фиксированные моменты времени (импульсное управление). При этом регулирование может сводится либо к изъятию видов, либо к их запуску в экосистему. При этих предположениях к уравнениям эволюции системы необ- ходимо добавить уравнения управляющих воздействий ∆N1 = u1(N1, N2), ∆N2 = u2(N1, N2), t = kθ, где u1, u2 — функции обратной связи, θ — период управляющих воздействий. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4 ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ НЕЧЕТКИХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ ТАКАГИ – СУГЕНО 491 При этих предположениях уравнения эволюции замкнутой регулируемой экосистемы примут вид dN1 dt = αN1 − βN1N2 − γN2 1 , dN2 dt = −mN2 + sβN1N2, t 6= kθ, (9) ∆N1 = u1(N1, N2), ∆N2 = u2(N1, N2), t = kθ. Уравнения (8) имеют, кроме тривиального состояния равновесия, нетривиальное поло- жительное асимптотически устойчивое состояние равновесия N∗ 1 = m sβ , N∗ 2 = sαβ −mγ sβ2 . Нечеткие управления будем строить согласно правилам: если Ni << N∗ i , то ui(N1, N2) = ψi(N ∗ i −Ni), ψi > 0, i = 1, 2; если Ni >> N∗ i , то ui(N1, N2) = χi(N ∗ i −Ni), χi ∈ (0, 1), i = 1, 2. Формализовать нечеткое отношения x >> y („x намного больше y”), x, y ∈ R, мож- но с помощью функции принадлежности ω(x, y) =    1 1 + 1/(x− y)2 , если x > y, 0, если x ≤ y. Определим переменные возмущенного движения x1(t) = N1(t) − N∗ 1 , x2(t) = N2(t) − −N∗ 2 . Тогда нечеткая модель Т-С эволюции экосистемы описывается такими нечеткими правилами: R1: если N1 << N∗ 1 и N2 << N∗ 2 , то dx(t) dt = Ax(t), t 6= kθ, x(t+ 0) = B1x, t = kθ, x(t0 + 0) = x0; ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4 492 В. С. ДЕНИСЕНКО, А. А. МАРТЫНЮК, В. И. СЛЫНЬКО R2: если N1 << N∗ 1 и N2 >> N∗ 2 , то dx(t) dt = Ax(t), t 6= kθ, x(t+ 0) = B2x, t = kθ, x(t0 + 0) = x0; R3: если N1 >> N∗ 1 и N2 >> N∗ 2 , то dx(t) dt = Ax(t), t 6= kθ, x(t+ 0) = B3x, t = kθ, x(t0 + 0) = x0; R4: если N1 >> N∗ 1 и N2 << N∗ 2 , то dx(t) dt = Ax(t), t 6= kθ, x(t+ 0) = B4x, t = kθ, x(t0 + 0) = x0. Очевидно, что предположение 1 для функции принадлежности ω(x, y) выполняется. Тогда вопрос об устойчивости нетривиального состояния равновесия экологической сис- темы сводится, согласно теореме 2, к проверке совместности системы линейных матрич- ных неравенств BT i XBi −X + (ATX +XA)θ < 0, i = 1, 4, 1 2 (BT i XBj +BT j XBi) −X + (ATX +XA)θ < 0, i < j = 1, 4, (10) (AT )2X + 2ATXA+XA2 ≥ 0 в классе положительно определенных матриц. При этом матрицы A, B1, B2, B3 и B4 име- ют вид A =   −mγ sβ −m s αβs−mγ β 0   , ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4 ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ НЕЧЕТКИХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ ТАКАГИ – СУГЕНО 493 Рис. 1 B1 = ( 1 − ψ1 0 0 1 − ψ2 ) , B2 = ( 1 − ψ1 0 0 1 − χ2 ) , (11) B3 = ( 1 − χ1 0 0 1 − χ2 ) , B4 = ( 1 − χ1 0 0 1 − ψ2 ) . Теперь проведем анализ устойчивости полученной нечеткой модели Т-С эволюции эко- системы с параметрами α = 6, γ = 0, 3, β = 0, 5, m = 1, 2, s = 0, 4, θ = 0, 5 и такими параметрами нечеткого управления: ψ1 = 0, 9, ψ2 = 0, 5, χ1 = 0, 99, χ2 = 0, 6. Нетрудно проверить с помощью MATLAB LMI toolbox, что система (10) совместна в классе положительно определенных матриц и матрица X = ( 0, 868 0, 0102 0, 0102 2, 975 ) удовлетворяет неравенству (10). Поэтому согласно теореме 2 состояние равновесия эко- логической системы асимптотически устойчиво, что и показано на рис. 1 (штриховая кривая — зависимость x1(t), сплошная — зависимость x2(t) ). Далее изменим параметры нечеткого управления: ψ1 = 6, ψ2 = 4, χ1 = 0, 6, χ2 = 0, 2. В этом случае система (10) несовместна в классе положительно определенных матриц и с помощью компьютерного моделирования (рис. 2, обозначения те же, что и на рис. 1) убеждаемся, что состояние равновесия экосистемы неустойчиво. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4 494 В. С. ДЕНИСЕНКО, А. А. МАРТЫНЮК, В. И. СЛЫНЬКО Рис. 2 5. Выводы. В настоящей статье проведен анализ устойчивости импульсной нечеткой системы Т-С. Получены достаточные условия асимптотической и глобальной асимптоти- ческой устойчивости положения равновесия для таких систем. Показано, что эти условия позволяют свести задачу об устойчивости нечеткой импульсной системы (2) к вопросу о совместности некоторой системы линейных матричных неравенств. Также отмечено, что при различных предположениях относительно функций принадлежности можно по- лучить различные типы устойчивости нечеткой системы. Приведен численный пример, решение которого выполнено с помощью пакета прикладных програм MATLAB. 1. Tanaka K., Sugeno M. Stability analysis and design of fuzzy control systems // Fuzzy Sets and Syst. — 1992. — № 45. — P. 135 – 156. 2. Tanaka K. Advanced fuzzy control. — Japan: Kyoritsu Publ., 1994. — 223 p. 3. Xiaohong Zhang, Dong Li, Yang Dan. Impulsive control of T-S fuzzy systems // Fuzzy Systems and Knowledge Discovery: Fourth Int. Conf. — Japan, 2007. — P. 321 – 325. 4. Simeonov P.S., Bainov D.D. Stability with respect to part of the variables in systems with impulse effect // J. Math. Anal. and Appl. — 1986. — 117, № 1. — P. 247 – 263. 5. Hahn W. Stability of motion. — Berlin etc.: Springer, 1967. — 448 p. 6. Takagi T., Sugeno M. Fuzzy identification of systems and its applications to modeling and control // IEEE Trans. Syst., Man, and Cybern. — 1985. — № 15. — P. 116 – 132. 7. Benrejeb M., Gasmi M., Borne P. New stability conditions for TS fuzzy continuous nonlinear models // Nonli- near Dynam. and Syst. Theory. — 2005. — 5, № 4. — P. 369 – 379. 8. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием.— Киев: Вища шк., 1987. — 286 с. 9. Двирный А. И., Слынько В. И. Об устойчивости линейных импульсных систем относительно конуса // Доп. НАН України. — 2004. — № 4. — С. 42 – 48. 10. Martynyuk A. A. Stability of motion. The role of multicomponent Liapunov’s function. – London: Cambridge Sci. Publ., 2007. — 322 p. Получено 25.03.08 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178190
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn 1562-3076
language Russian
last_indexed 2025-12-07T17:27:30Z
publishDate 2008
publisher Інститут математики НАН України
record_format dspace
spelling Денисенко, В.С.
Мартынюк, А.А.
Слынько, В.И.
2021-02-18T08:10:50Z
2021-02-18T08:10:50Z
2008
Об устойчивости по Ляпунову нечетких импульсных систем Такаги - Сугено / В.С. Денисенко, А.А. Мартынюк, В.И. Слынько // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 4. — С. 481-494. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
1562-3076
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178190
531.36
Проведено аналiз стiйкостi за Ляпуновим нечiтких iмпульсних систем Такагi – Сугено. На основi прямого методу Ляпунова встановлено достатнi умови стiйкостi для таких систем. Показано, що цi умови виражаються системою лiнiйних матричних нерiвностей. Як приклад розглянуто iмпульсне нечiтке керування у двовидовiй моделi „хижак-жертва”.
We study Lyapunov stability of impulsive Takagi – Sugeno fuzzy systems. Using the direct Lyapunov&#xd; method we find sufficient conditions for stability of such systems. We show that these conditions can be&#xd; expressed in terms of a system of matrix inequalities. As an example, we consider impulsive fussy control&#xd; in a two species „predator-prey” model.
ru
Інститут математики НАН України
Нелінійні коливання
Об устойчивости по Ляпунову нечетких импульсных систем Такаги - Сугено
Про стійкість за Ляпуновим нечітких імпульсних систем Такагі - Сугено
On Lyapunov stability of impulsive Takagi - Sugeno fuzzy systems
Article
published earlier
spellingShingle Об устойчивости по Ляпунову нечетких импульсных систем Такаги - Сугено
Денисенко, В.С.
Мартынюк, А.А.
Слынько, В.И.
title Об устойчивости по Ляпунову нечетких импульсных систем Такаги - Сугено
title_alt Про стійкість за Ляпуновим нечітких імпульсних систем Такагі - Сугено
On Lyapunov stability of impulsive Takagi - Sugeno fuzzy systems
title_full Об устойчивости по Ляпунову нечетких импульсных систем Такаги - Сугено
title_fullStr Об устойчивости по Ляпунову нечетких импульсных систем Такаги - Сугено
title_full_unstemmed Об устойчивости по Ляпунову нечетких импульсных систем Такаги - Сугено
title_short Об устойчивости по Ляпунову нечетких импульсных систем Такаги - Сугено
title_sort об устойчивости по ляпунову нечетких импульсных систем такаги - сугено
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178190
work_keys_str_mv AT denisenkovs obustoičivostipolâpunovunečetkihimpulʹsnyhsistemtakagisugeno
AT martynûkaa obustoičivostipolâpunovunečetkihimpulʹsnyhsistemtakagisugeno
AT slynʹkovi obustoičivostipolâpunovunečetkihimpulʹsnyhsistemtakagisugeno
AT denisenkovs prostíikístʹzalâpunovimnečítkihímpulʹsnihsistemtakagísugeno
AT martynûkaa prostíikístʹzalâpunovimnečítkihímpulʹsnihsistemtakagísugeno
AT slynʹkovi prostíikístʹzalâpunovimnečítkihímpulʹsnihsistemtakagísugeno
AT denisenkovs onlyapunovstabilityofimpulsivetakagisugenofuzzysystems
AT martynûkaa onlyapunovstabilityofimpulsivetakagisugenofuzzysystems
AT slynʹkovi onlyapunovstabilityofimpulsivetakagisugenofuzzysystems