Об устойчивости по Ляпунову нечетких импульсных систем Такаги - Сугено
Проведено аналiз стiйкостi за Ляпуновим нечiтких iмпульсних систем Такагi – Сугено. На основi прямого методу Ляпунова встановлено достатнi умови стiйкостi для таких систем. Показано, що цi умови виражаються системою лiнiйних матричних нерiвностей. Як приклад розглянуто iмпульсне нечiтке керування у...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Дата: | 2008 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178190 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об устойчивости по Ляпунову нечетких импульсных систем Такаги - Сугено / В.С. Денисенко, А.А. Мартынюк, В.И. Слынько // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 4. — С. 481-494. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860097319938031616 |
|---|---|
| author | Денисенко, В.С. Мартынюк, А.А. Слынько, В.И. |
| author_facet | Денисенко, В.С. Мартынюк, А.А. Слынько, В.И. |
| citation_txt | Об устойчивости по Ляпунову нечетких импульсных систем Такаги - Сугено / В.С. Денисенко, А.А. Мартынюк, В.И. Слынько // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 4. — С. 481-494. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Проведено аналiз стiйкостi за Ляпуновим нечiтких iмпульсних систем Такагi – Сугено. На основi прямого методу Ляпунова встановлено достатнi умови стiйкостi для таких систем. Показано, що цi умови виражаються системою лiнiйних матричних нерiвностей. Як приклад розглянуто iмпульсне нечiтке керування у двовидовiй моделi „хижак-жертва”.
We study Lyapunov stability of impulsive Takagi – Sugeno fuzzy systems. Using the direct Lyapunov
method we find sufficient conditions for stability of such systems. We show that these conditions can be
expressed in terms of a system of matrix inequalities. As an example, we consider impulsive fussy control
in a two species „predator-prey” model.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:27:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 531.36
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ НЕЧЕТКИХ
ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ ТАКАГИ – СУГЕНО
В. С. Денисенко, А. А. Мартынюк, В. И. Слынько
Ин-т механики НАН Украины
Украина, 03057, Киев, ул. Нестерова, 3
We study Lyapunov stability of impulsive Takagi – Sugeno fuzzy systems. Using the direct Lyapunov
method we find sufficient conditions for stability of such systems. We show that these conditions can be
expressed in terms of a system of matrix inequalities. As an example, we consider impulsive fussy control
in a two species „predator-prey” model.
Проведено аналiз стiйкостi за Ляпуновим нечiтких iмпульсних систем Такагi – Сугено. На осно-
вi прямого методу Ляпунова встановлено достатнi умови стiйкостi для таких систем. Пока-
зано, що цi умови виражаються системою лiнiйних матричних нерiвностей. Як приклад розгля-
нуто iмпульсне нечiтке керування у двовидовiй моделi „хижак-жертва”.
1. Введение. Нечеткие модели Такаги – Сугено (Т-С) — это нелинейные системы, ко-
торые описываются множеством правил „если-то”, которые, в свою очередь, являются
локально линейными представлениями нелинейной системы. Главное преимущество не-
четких моделей Т-С заключается в том, что антецедент нечетких правил задается ана-
литической функцией и выбор такой функции зависит от ее практического примене-
ния. Такие модели могут аппроксимировать широкий класс сложных или нелинейных
систем, точное моделирование которых затруднительно. Гладкое агрегирование правил,
являющихся многомерным разбиением пространства состояний, и взвешенная сумма ли-
нейных моделей позволяют представить полную динамику системы. Поэтому важным
является изучение устойчивости таких нечетких систем. Устойчивость однородной не-
четкой системы в дискретном и непрерывном случае рассмотрена в работах [1, 2], где
достаточные условия устойчивости определяются линейными матричными уравнениями
Ляпунова. Нечеткие системы Т-С с импульсным управлением рассмотрены в работе [3],
где проблема устойчивости таких систем решается на основе принципа сравнения для
дифференциальных уравнений.
В настоящей работе анализ устойчивости нечетких импульсных систем Т-С прово-
дится на основе прямого метода Ляпунова посредством подходящего выбора функции
Ляпунова. Достаточные условия устойчивости состояния равновесия для таких систем
получены в виде линейных матричных неравенств.
2. Постановка задачи и вспомогательные результаты. Будем рассматривать не-
четкую динамическую модель Т-С, которая описывается следующими нечеткими пра-
вилами:
Ri, i = 1, r : если z1(t) ∈ Mi1, . . . , zn(t) ∈ Min, то
c© В. С. Денисенко, А. А. Мартынюк, В. И. Слынько, 2008
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4 481
482 В. С. ДЕНИСЕНКО, А. А. МАРТЫНЮК, В. И. СЛЫНЬКО
dx(t)
dt
= Aix(t), t 6= τk,
x(t+ 0) = Bix(t), t = τk, k = 1, 2, . . . , (1)
x(t0 + 0) = x0,
где x(t) = (x1, . . . , xn)T ∈ R
n
— вектор состояния, z(t) = (z1, . . . , zn)T ∈ R
n
— вектор по-
сылочных переменных, связанный с состояниями и входами системы , x(t+0) — значение
справа x(t), Ai ∈ R
n×n, Bi ∈ R
n×n
— структурные матрицы системы, Mij(·) — функции
принадлежности нечетких множеств Mij и r — число нечетких правил. Предполагается,
что матрицы Bi невырождены, τk+1 − τk = θ > 0, k = 1, 2, . . ., и card(z) = card(x) = n.
Полная динамика нечеткой системы Т-С с импульсным управлением описывается так:
dx(t)
dt
=
r∑
i=1
µi(z(t))Aix(t), t 6= τk,
x(t+ 0) =
r∑
i=1
µi(z(t))Bix(t), t = τk, k = 1, 2, . . . , (2)
x(t0 + 0) = x0,
где µi(z) =
ωi(z)∑r
i=1 ωi(z)
и ωi(z) =
∏n
j=1Mij(zj). Очевидно, что
∑r
i=1 µi(z) = 1 и µi(z) ≥ 0,
i = 1, 2, . . . , r. Далее без потери общности полагаем z = x.
Прежде чем перейти к основным результатам, сделаем некоторые предположения
относительно нечеткой системы Т-С (2).
Предположение 1. Существуют γ > 0 и ε > 0 такие, что функции µi(x) для систе-
мы (2) удовлетворяют неравенству ‖D+µi(x)‖ ≤ γ‖x‖−1+ε.
В этом предположенииD+µi(x) обозначает правую верхнюю производную Дини функ-
ции µi(x), т. е. D+µi(x) = lim sup{µi(x(t+ ∆)) − µi(x(t))/∆ : ∆ → 0+ }.
Заметим, что предположение 1 обеспечивает существование и единственность реше-
ний системы (2).
Пусть E — пространство симметричных (n× n)-матриц со скалярным произведением
(X,Y ) = tr(XY ) и соответствующей нормой ‖X‖ =
√
(X,X), где tr(·) обозначает след
соответствующей матрицы. Пусть K ⊂ E — конус положительно полуопределенных
симметричных матриц, Fi : E → E — линейные операторы, FiX = AT
i X + XAi, i =
= 1, 2, . . . , r.
Определение 1 [4]. Функция V (t, x) принадлежит классу V0, если справедливы следу-
ющие утверждения:
1) V (t, x) непрерывна на Y =
⋃∞
k=1 Yk, Yk = { (t, x) ∈ R+ × R
n : τk−1 < t < τk }, и
локально липшицева по x для всех Yk;
2) для всех k = 1, 2, . . . и любой точки (t0, x0) ∈ Ỹk, Ỹk = { (t, x) ∈ R+ ×R
n : t = τk },
существуют конечные пределы
V (τk − 0, x) = lim
(t,y)→(τk,x)
V (t, y),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ НЕЧЕТКИХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ ТАКАГИ – СУГЕНО 483
V (τk + 0, x) = lim
(t,y)→(τk,x)
V (t, y)
и верно соотношение V (τk − 0, x) = V (τk, x).
Определение 2 [5]. Функция ϕ(r) принадлежит классу K (ϕ ∈ K), если она непрерыв-
на, строго возрастает на 0 < r < r1, где 0 ≤ r < ∞, и ϕ(0) = 0.
В настоящей работе рассматривается устойчивость по Ляпунову состояния равнове-
сия x = 0 системы (2).
Рассмотрим сначала следующую импульсную систему:
dx
dt
= f(t, x), t 6= τk,
x(t+ 0) = gk(x), t = τk, k = 1, 2, . . . , (3)
x(t0 + 0) = x0,
где f(t, x), gk(x) — липшицевы функции и τk+1 − τk = θ > 0.
Далее сформулируем некоторую модификацию теоремы из [4].
Теорема 1. Пусть для системы (3) существует функция V (t, x) ∈ V0 такая, что
выполняются следующие условия:
1) 0 ≤ V (t, x) ≤ c(‖x‖), где (t, x) ∈ R+ ×D, D ⊆ R
n;
2) ∆V
∣∣
(3)
= V (t+ 0, x(t+ 0)) − V (t, x) ≤ 0 для t = τk, k = 1, 2, . . . ;
3)
dV
dt
∣∣∣∣
(3)
≤ −b(‖x‖) для t ∈ (τk, τk+1], k = 1, 2, . . . ;
4) V (τk + 0, x(τk + 0)) ≥ a(‖x(τk + 0)‖), где a, b, c ∈ K.
Тогда состояние равновесия системы (3) асимптотически устойчиво.
Доказательство. Выберем функцию Ляпунова V (t, x) ∈ V0. Далее рассмотрим по-
следовательность чисел
{
V (τk + 0, x(τk + 0))
}∞
k=0
. Очевидно, что это невозрастающая
последовательность. Пусть t0 = 0, тогда, учитывая условия 1 и 4 теоремы 1, получаем
a(‖x(τk + 0)‖) ≤ V (0 + 0, x(0 + 0)) ≤ c(‖x0‖),
где x(0+0) = x0. Сначала покажем, что для любого ε > 0 существует δ(ε) > 0 такое, что
‖x0‖ < δ(ε) влечет ‖x(τk + 0)‖ < εe−Lθ, где L > 0 — константа Липшица для функции
f(t, x), k = 1, 2, . . . . Предположим обратное. Тогда существует N > 0 такое, что ‖x(τN +
+0)‖ ≥ εe−Lθ. Далее для любого ε > 0 выберем δ(ε) = c−1
(a(εe−Lθ)
2
)
. Тогда
a(εe−Lθ) ≤ a(‖x(τN + 0)‖) ≤ c(‖x0‖) < c
(
c−1
(a(εe−Lθ)
2
))
=
a(εe−Lθ)
2
.
Это противоречие доказывает, что для любого ε > 0 существует δ(ε) > 0 и из ‖x0‖ < δ(ε)
следует ‖x(τk + 0)‖ < εe−Lθ < ε, k = 1, 2, . . . .
Далее покажем, что для любого ε > 0 существует δ(ε) > 0 такое, что ‖x0‖ < δ(ε)
влечет ‖x(t)‖ < ε для t ∈ (τk, τk+1].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
484 В. С. ДЕНИСЕНКО, А. А. МАРТЫНЮК, В. И. СЛЫНЬКО
Рассмотрим систему
dx
dt
= f(t, x) для t 6= τk. Решение x(t) этой системы находится по
формуле
x(t) = x(τk + 0) +
t∫
τk
f(s, x(s))ds, t ∈ (τk, τk+1].
Поэтому справедливы следующие оценки:
‖x(t)‖ ≤ ‖x(τk + 0)‖ +
t∫
τk
‖f(s, x(s))‖ds ≤ ‖x(τk + 0)‖ +
t∫
τk
L‖x(s)‖ds.
Использовав лемму Гронуолла – Беллмана и неравенство ‖x(τk + 0)‖ < e−Lθε < ε, пре-
образуем эти оценки к виду
‖x(t)‖ ≤ ‖x(τk + 0)‖eL(t−τk) ≤ eLθ‖x(τk + 0)‖ < eLθe−Lθε = ε, т. е. ‖x(t)‖ < ε,
как только ‖x0‖ < δ(ε) = c−1
(a(εe−Lθ)
2
)
.
Таким образом, объединяя полученные результаты, делаем вывод, что система (3)
устойчива. Дальше докажем, что существует ρ0 > 0 и ‖x0‖ < ρ0 влечет ‖x(τk + 0)‖ → 0,
как только k → ∞ и ‖x(t)‖ → 0 при t → ∞.
Очевидно, что последовательность
{
V (τk +0, x(τk +0))
}∞
k=0
ограничена снизу нулем,
поэтому существует предел limk→∞ V (τk + 0, x(τk + 0)) = α ≥ 0 и верны оценки
V (τk+1 + 0, x(τk+1 + 0)) = V (τk+1 + 0, x(τk+1 + 0))−
− V (τk+1, x(τk+1)) + V (τk+1, x(τk+1)) ≤
≤ V (τk+1, x(τk+1)) = V (τk + 0, x(τk + 0))+
+
τk+1∫
τk
dV
dt
ds ≤ V (τk + 0, x(τk + 0)) −
τk+1∫
τk
b(‖x(s)‖)ds.
Далее предположим, что
{
‖x(τk + 0))‖
}∞
k=0
9 0 при k → ∞. Тогда можно выбрать под-
последовательность
{
‖x(τnk
+ 0))‖
}
nk
, где n > 0, k > 0 – натуральные числа и
lim
nk→∞
‖x(τnk
)‖ = β > 0.
Пусть τnk
≤ s < τnk+1
, тогда, используя условия теоремы 1, получаем оценки
V (τnk
+ 0, x(τnk
+ 0)) ≤ V (s, x(s)) ≤ c(‖x(s)‖) и c(‖x(s)‖) ≥ a(‖x(τnk
+ 0))‖).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ НЕЧЕТКИХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ ТАКАГИ – СУГЕНО 485
Поскольку b, c ∈ K, то
b(‖x(s)‖) ≥ b(c−1(a(‖x(τnk
+ 0)‖))) ≥ η > 0.
При этом для подпоследовательности справедлива оценка
V (τnk+1
+ 0, x(τnk+1
+ 0)) = V (τnk
+ 0, x(τnk
+ 0)) −
τnk+1∫
τnk
b(‖x(s)‖)ds ≤
≤ V (τnk
+ 0, x(τnk
+ 0)) − η(τnk+1
− τnk
), η > 0.
Отсюда
l∑
k=1
V (τnk+1
+ 0, x(τnk+1
+ 0)) ≤
l∑
k=1
(
V (τnk
+ 0, x(τnk
+ 0)) − η(τnk+1
− τnk
)
)
,
V (τnl+1
+ 0, x(τnl+1
+ 0)) ≤ V (τn1
+ 0, x(τn1
+ 0)) − ηθnl.
Таким образом, V (τnl+1
+ 0, x(τnl+1
+ 0)) → −∞ при nl → ∞.
Это противоречие доказывает, что
{
‖x(τk +0))‖
}∞
k=0
→ 0 при k → ∞. Очевидно, если
t → ∞, то k → ∞, поэтому получаем 0 ≤ ‖x(t)‖ ≤ eLθ‖x(τk + 0)‖ → 0. Таким образом,
доказано, что ‖x0‖ < ρ0 влечет
{
‖x(τk+0))‖
}∞
k=0
→ 0 при k → ∞ и ‖x(t)‖ → 0 при t → ∞,
t ∈ (τk, τk+1], k = 1, 2, . . . . Поэтому состояние равновесия системы (3) асимптотически
устойчиво, что и завершает доказательство теоремы 1.
3. Основные результаты. В этом пункте для анализа асимптотической устойчивости
нечеткой импульсной системы Т-С использована подходящая функция Ляпунова. Сфор-
мулированы несколько теорем, доказательство которых при определенных предполо-
жениях проводится на основе прямого метода Ляпунова. Показано, что условия устойчи-
вости выражаются системой линейных матричных неравенств.
Теорема 2. Пусть предположение 1 выполняется, тогда состояние равновесия x = 0
нечеткой импульсной системы (2) асимптотически устойчиво, если система линейных
матричных неравенств
1
2
(BT
j XBi +BT
i XBj) −X + (AT
j X +XAj)θ < 0, i, j = 1, 2, . . . , r, (4)
AT
i A
T
j X +XAjAi +AT
j XAi +AT
i XAj ≥ 0, i, j = 1, 2, . . . , r, (5)
совместна в классе положительно определенных матриц.
Доказательство. Выберем функцию Ляпунова из класса V0, V (t, x) = xTP (t, x)x, где
P (t, x) =
e
−
rP
i=1
µi(x)Fi(t−τk)
X −
t∫
τk
e
−
rP
i=1
µi(x)Fi(t−s)
dsQ, t ∈ (τk, τk+1],
X, t = τk+1 + 0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
486 В. С. ДЕНИСЕНКО, А. А. МАРТЫНЮК, В. И. СЛЫНЬКО
Q и X — симметричные положительно определенные (n × n)-матрицы. Ниже будет по-
казано, что P (t, x)
K
> 0 в некоторой окрестности состояния равновесия, а сейчас рас-
смотрим производную по времени функции V (t, x) в силу системы (2). Если t 6= τk, то
получаем
dV
dt
∣∣∣∣
(2)
= xT
r∑
i=1
µi(x)(A
T
i P (t, x) + P (t, x)Ai)x+ xT dP (t, x)
dt
x =
= xT
r∑
i=1
µi(x)FiP (t, x)x+ xT dP (t, x)
dt
x,
где
dP (t, x)
dt
= e
−
rP
i=1
µi(x)Fi(t−τk)
(
−
r∑
i=1
D+µi(x)
dx
dt
Fi(t− τk) −
r∑
i=1
µi(x)Fi
)
X−
−
t∫
τk
e
−
rP
i=1
µi(x)Fi(t−s)
(
−
r∑
i=1
µi(x)Fi +
r∑
i=1
D+µi(x)
dx
dt
Fi
)
dsQ−Q =
= −
r∑
i=1
µi(x)Fi
(
e
−
rP
i=1
µi(x)Fi(t−τk)
X −
t∫
τk
e
−
rP
i=1
µi(x)Fi(t−s)
dsQ
)
−e
−
rP
i=1
µi(x)Fi(t−τk)
×
×
r∑
i=1
D+µi(x)
dx
dt
FiX(t− τk) −
t∫
τk
e
−
rP
i=1
µi(x)Fi(t−s)
r∑
i=1
D+µi(x)
dx
dt
FidsQ−Q =
= −
r∑
i=1
µi(x)FiP (t) − e
−
rP
i=1
µi(x)Fi(t−τk)
r∑
i=1
D+µi(x)
dx
dt
FiX(t− τk)−
−
t∫
τk
e
−
rP
i=1
µi(x)Fi(t−s)
r∑
i=1
D+µi(x)
dx
dt
FidsQ−Q.
Таким образом, для производной
dV
dt
∣∣∣∣
(2)
имеем следующие оценки:
dV
dt
∣∣∣∣
(2)
= xT
r∑
i=1
µi(x)FiP (t, x)x− xT
r∑
i=1
µi(x)FiP (t, x)x− xTQx−
− xT
[
e
−
rP
i=1
µi(x)Fi(t−τk)
r∑
i=1
D+µi(x)
dx
dt
FiX(t− τk)
]
x−
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ НЕЧЕТКИХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ ТАКАГИ – СУГЕНО 487
− xT
[ t∫
τk
e
−
rP
i=1
µi(x)Fi(t−s)
r∑
i=1
D+µi(x)
dx
dt
FidsQ
]
x ≤
≤ −λmin(Q)‖x‖2 + θe
rP
i=1
µi(x)‖Fi‖θ
r∑
i=1
‖D+µi(x)‖ ‖Fi‖ ‖X‖
∥∥∥∥∥
dx
dt
∥∥∥∥∥ ‖x‖
2+
+ θe
rP
i=1
µi(x)‖Fi‖θ
r∑
i=1
‖D+µi(x)‖ ‖Fi‖ ‖Q‖
∥∥∥∥∥
dx
dt
∥∥∥∥∥ ‖x‖
2.
Здесь λmin(·) > 0 — минимальное собственное значение соответствующей матрицы.
Обозначим a = max
i=1,r
‖Ai‖, тогда с учетом того, что ‖FiX‖ ≤ ‖AT
i X +XAi‖ ≤ 2‖Ai‖ ‖X‖,
получаем ‖Fi‖ ≤ 2‖Ai‖ ≤ 2a, i = 1, 2, . . . , r. Также очевидно, что
∥∥∥
dx
dt
∥∥∥≤
r∑
i=1
µj(x)‖Aj‖ ‖x‖ ≤ a‖x‖.
Следовательно, для производной по времени от V (t, x) справедливы оценки
dV
dt
∣∣∣∣
(2)
≤ −λmin(Q)‖x‖2 + 2a2θe2aθ
r∑
i=1
‖D+µi(x)‖ ‖X‖ ‖x‖3+
+ 2a2θe2aθ
r∑
i=1
‖D+µi(x)‖ ‖Q‖ ‖x‖3 ≤
≤
(
−λmin(Q) + 2a2rθγe2aθ
(
‖X‖ + ‖Q‖
)
‖x‖ε
)
‖x‖2.
Поэтому
dV
dt
∣∣∣∣
(2)
< 0 для всех x из шара ‖x‖ < R, где
R =
(
λmin(Q)
2a2rθγe2aθ
(
‖X‖ + ‖Q‖
)
)1/ε
.
Рассмотрим разность ∆V
∣∣
(2)
= V (t+ 0, x(t+ 0)) − V (t, x):
∆V
∣∣
(2)
= xT (t+ 0)P (t+ 0)x(t+ 0) − xT (t)P (t)x(t) = xT (t+ 0)Xx(t+ 0)−
− xT
(
e
−
rP
i=1
µi(x(kθ))Fiθ
X −
kθ∫
(k−1)θ
e
−
rP
i=1
µi(x(kθ))Fi(kθ−s)
dsQ
)
x =
= xT
r∑
j=1
r∑
i=1
µj(x)µi(x)B
T
j XBix− xT e
−
rP
i=1
µi(x(kθ))Fiθ
Xx+ xT
θ∫
0
e
−
rP
i=1
µi(x)Fiy
dyQx,
где y = kθ − s.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
488 В. С. ДЕНИСЕНКО, А. А. МАРТЫНЮК, В. И. СЛЫНЬКО
Далее покажем, что выполняется неравенство
e
−
rP
i=1
µi(x)Fiθ
X
K
≥
(
I −
r∑
i=1
µi(x)Fiθ
)
X. (6)
Для этого выберем произвольный элемент Φ ∈ K∗ = K и рассмотрим разложение в ряд
Маклорена по степеням h ≥ 0 скалярной функции
ψΦ(h) = tr
(
Φ
(
e
−
rP
i=1
µi(x)Fiθh
X −X +
r∑
i=1
µi(x)FiθhX
))
,
ограничившись членами второго порядка:
ψΦ(h) = ψΦ(0) + ψ′
Φ(0)h+
ψ′′
Φ(ξ)h2
2!
, ξ ∈ (0, h).
Пусть h = 1, тогда с учетом того, что ψΦ(0) = ψ′
Φ(0) = 0, получаем ψΦ(1) =
ψ′′
Φ(ξ)
2
, где
ψ′′
Φ(ξ) = tr
(
Φ
(( r∑
i=1
µi(x)Fiθ
)2
e
−
rP
i=1
µi(x)Fiθξ
X
))
.
Из неравенства (5) и положительности оператора e
−
rP
i=1
µi(x)Fiθξ
следует оценка ψ′′
Φ(ξ) ≥ 0.
Таким образом, ψΦ(1) ≥ 0 при всех Φ ∈ K∗. Поэтому неравенство (6) выполняется.
Рассмотрим функцию
fx(θ) = xT
θ∫
0
e
−
rP
i=1
µi(x)Fiy
dyQx.
Согласно теореме Лагранжа fx(θ) = f ′x(ζ)θ = xT θe
−
rP
i=1
µi(x)Fiζ
Qx, ζ ∈ (0, θ), и справедли-
вы следующие оценки:
‖fx(θ)‖ ≤ ‖x‖2e
rP
i=1
µi(x)‖Fi‖θ
‖Q‖θ ≤ θe2aθ‖Q‖‖x‖2. (7)
Учитывая неравенства (4), (6) и (7), для разности ∆V получаем
∆V
∣∣
(2)
≤ −xT
r∑
j=1
r∑
i=1
µj(x)µi(x)Qjix+ θe2aθ‖Q‖‖x‖2 ≤
≤ −
r∑
j=1
r∑
i=1
µj(x)µi(x)λmin(Qji)‖x‖2 + θe2aθ‖Q‖ ‖x‖2 ≤
(
−λ∗ + θe2aθ‖Q‖
)
‖x‖2,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ НЕЧЕТКИХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ ТАКАГИ – СУГЕНО 489
где Qji — положительно определенные матрицы, λ∗ = min
i,j=1,r
λmin(Qji). Очевидно, что
∆V
∣∣
(2)
≤ 0 при ‖Q‖ ≤ λ∗
θ
e−2aθ
(
можно выбрать, например, Q =
λ∗
2
√
nθ
e−2aθI
)
.
Далее покажем, что P (t, x)
K
> 0 для всех t ∈ R
n, т. е. V (t, x) — положительно опре-
деленная функция. В самом деле, так как V (t, x) — убывающая функция, при ‖x‖ < R
получаем оценки
xTP (t, x)x ≥ xT (τk+1)P (τk+1, x(τk+1))x(τk+1) ≥
≥ xT (τk+1 + 0)P (τk+1 + 0, x(τk+1 + 0))x(τk + 0) ≥
≥ λmin(X)‖x(τk+1 + 0)‖2 > 0.
Этим показано, что V (t, x)
K
> 0,
dV
dt
∣∣∣∣
(2)
< 0 и ∆V
∣∣
(2)
≤ 0 для всех ‖x‖ < R.
Таким образом, все условия теоремы 1 выполняются. Поэтому состояние равновесия
x = 0 импульсной нечеткой системы (2) асимптотически устойчиво.
Введем теперь следующее предположение.
Предположение 2. Существуют постоянные R0 > 0, γ1 > 0, γ2 > 0 и ε > 0 такие,
что функции µi(x), i = 1, 2, . . . , r, удовлетворяют неравенству
‖D+µi(x)‖ ≤
{
γ1‖x‖−1+ε при ‖x‖ ≤ R0,
γ2‖x‖−1−ε при ‖x‖ ≥ R0.
Учитывая предположение 2, можно сформулировать следующую теорему.
Теорема 3. Пусть предположение 2 выполняется и постоянные γ1, γ2, R0 такие, что
γ1γ2 <
λ2
min(Q)
4a4r2θ2e4aθ( ‖X‖ + ‖Q‖ )2
и (
λmin(Q)
2a2rθγ2e2aθ
(
‖X‖ + ‖Q‖
)
)−1/ε
< R0 <
(
λmin(Q)
2a2rθγ1e2aθ
(
‖X‖ + ‖Q‖
)
)1/ε
,
где a = max
i=1,r
‖Ai‖, Q — симметричная положительно определенная (n × n)-матрица и
X — общая симметричная положительно определенная матрица, такая, что неравен-
ства (4), (5) выполняются. Тогда состояние равновесия x = 0 нечеткой импульсной
системы (2) глобально асимптотически устойчиво.
Доказательство. Выберем функцию Ляпунова из класса V0, V (t, x) = xTP (t, x)x, где
P (t, x) =
e
−
rP
i=1
µi(x)Fi(t−τk)
X −
t∫
τk
e
−
rP
i=1
µi(x)Fi(t−s)
dsQ, t ∈ (τk, τk+1],
X, t = τk+1 + 0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
490 В. С. ДЕНИСЕНКО, А. А. МАРТЫНЮК, В. И. СЛЫНЬКО
Q и X — симметричные положительно определенные (n×n)-матрицы. Рассмотрим про-
изводную по времени функции V (t, x) в силу системы (2). Если t 6= τk, то возможны два
случая:
1) если ‖x‖ ≤ R0, то, как и при доказательстве теоремы 2, получаем
dV
dt
∣∣∣
(2)
≤
(
−λmin(Q) + 2a2rθe2aθγ1
(
‖X‖ + ‖Q‖
)
‖x‖ε
)
‖x‖2,
откуда
dV
dt
∣∣∣
(2)
< 0 по условию теоремы 3;
2) если ‖x‖ ≥ R0, то аналогично имеем
dV
dt
∣∣∣
(2)
≤
(
−λmin(Q) + 2a2rθe2aθγ2
(
‖X‖ + ‖Q‖
)
‖x‖−ε
)
‖x‖2
и
dV
dt
∣∣∣
(2)
< 0 по условию теоремы 3. Таким образом,
dV
dt
∣∣∣
(2)
< 0 для всех x ∈ R
n.
Как и при доказательстве теоремы 2, можно показать (с учетом условия теоремы 3),
что ∆V
∣∣
(2)
= V (t + 0, x(t + 0)) − V (t, x) ≤ 0 и P (t, x)
K
> 0. Поэтому согласно теореме 1
состояние равновесия x = 0 системы (2) глобально асимптотически устойчиво.
4. Импульсное нечеткое управление в двухвидовой модели „хищник-жертва”. Рассмот-
рим двухвидовое экологическое сообщество „хищник-жертва”, эволюция которого опи-
сывается классическими уравнениями модели Лотки – Вольтерра с внутривидовой кон-
куренцией
dN1
dt
= αN1 − βN1N2 − γN2
1 ,
(8)
dN2
dt
= −mN2 + sβN1N2,
где N1(t) — биомасса жертв, N2(t) — биомасса хищников; α и m — коэффициенты ес-
тественного прироста жертв и естественной смертности хищников соответственно; γ —
коэффициент внутривидовой конкуренции; β — коэффициент биомассы жертв, потреб-
ляемых одним хищником за единицу времени; s — коэффициент расходуемой хищником
энергии на воспроизводство.
Предположим, что экологической системой можно управлять посредством регули-
рования численности видов в некоторые фиксированные моменты времени (импульсное
управление). При этом регулирование может сводится либо к изъятию видов, либо к их
запуску в экосистему. При этих предположениях к уравнениям эволюции системы необ-
ходимо добавить уравнения управляющих воздействий
∆N1 = u1(N1, N2),
∆N2 = u2(N1, N2), t = kθ,
где u1, u2 — функции обратной связи, θ — период управляющих воздействий.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ НЕЧЕТКИХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ ТАКАГИ – СУГЕНО 491
При этих предположениях уравнения эволюции замкнутой регулируемой экосистемы
примут вид
dN1
dt
= αN1 − βN1N2 − γN2
1 ,
dN2
dt
= −mN2 + sβN1N2, t 6= kθ,
(9)
∆N1 = u1(N1, N2),
∆N2 = u2(N1, N2), t = kθ.
Уравнения (8) имеют, кроме тривиального состояния равновесия, нетривиальное поло-
жительное асимптотически устойчивое состояние равновесия
N∗
1 =
m
sβ
, N∗
2 =
sαβ −mγ
sβ2
.
Нечеткие управления будем строить согласно правилам:
если Ni << N∗
i , то ui(N1, N2) = ψi(N
∗
i −Ni), ψi > 0, i = 1, 2;
если Ni >> N∗
i , то ui(N1, N2) = χi(N
∗
i −Ni), χi ∈ (0, 1), i = 1, 2.
Формализовать нечеткое отношения x >> y („x намного больше y”), x, y ∈ R, мож-
но с помощью функции принадлежности
ω(x, y) =
1
1 + 1/(x− y)2
, если x > y,
0, если x ≤ y.
Определим переменные возмущенного движения x1(t) = N1(t) − N∗
1 , x2(t) = N2(t) −
−N∗
2 . Тогда нечеткая модель Т-С эволюции экосистемы описывается такими нечеткими
правилами:
R1: если N1 << N∗
1 и N2 << N∗
2 , то
dx(t)
dt
= Ax(t), t 6= kθ,
x(t+ 0) = B1x, t = kθ,
x(t0 + 0) = x0;
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
492 В. С. ДЕНИСЕНКО, А. А. МАРТЫНЮК, В. И. СЛЫНЬКО
R2: если N1 << N∗
1 и N2 >> N∗
2 , то
dx(t)
dt
= Ax(t), t 6= kθ,
x(t+ 0) = B2x, t = kθ,
x(t0 + 0) = x0;
R3: если N1 >> N∗
1 и N2 >> N∗
2 , то
dx(t)
dt
= Ax(t), t 6= kθ,
x(t+ 0) = B3x, t = kθ,
x(t0 + 0) = x0;
R4: если N1 >> N∗
1 и N2 << N∗
2 , то
dx(t)
dt
= Ax(t), t 6= kθ,
x(t+ 0) = B4x, t = kθ,
x(t0 + 0) = x0.
Очевидно, что предположение 1 для функции принадлежности ω(x, y) выполняется.
Тогда вопрос об устойчивости нетривиального состояния равновесия экологической сис-
темы сводится, согласно теореме 2, к проверке совместности системы линейных матрич-
ных неравенств
BT
i XBi −X + (ATX +XA)θ < 0, i = 1, 4,
1
2
(BT
i XBj +BT
j XBi) −X + (ATX +XA)θ < 0, i < j = 1, 4, (10)
(AT )2X + 2ATXA+XA2 ≥ 0
в классе положительно определенных матриц. При этом матрицы A, B1, B2, B3 и B4 име-
ют вид
A =
−mγ
sβ
−m
s
αβs−mγ
β
0
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ НЕЧЕТКИХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ ТАКАГИ – СУГЕНО 493
Рис. 1
B1 =
(
1 − ψ1 0
0 1 − ψ2
)
, B2 =
(
1 − ψ1 0
0 1 − χ2
)
, (11)
B3 =
(
1 − χ1 0
0 1 − χ2
)
, B4 =
(
1 − χ1 0
0 1 − ψ2
)
.
Теперь проведем анализ устойчивости полученной нечеткой модели Т-С эволюции эко-
системы с параметрами α = 6, γ = 0, 3, β = 0, 5, m = 1, 2, s = 0, 4, θ = 0, 5 и такими
параметрами нечеткого управления: ψ1 = 0, 9, ψ2 = 0, 5, χ1 = 0, 99, χ2 = 0, 6.
Нетрудно проверить с помощью MATLAB LMI toolbox, что система (10) совместна в
классе положительно определенных матриц и матрица
X =
(
0, 868 0, 0102
0, 0102 2, 975
)
удовлетворяет неравенству (10). Поэтому согласно теореме 2 состояние равновесия эко-
логической системы асимптотически устойчиво, что и показано на рис. 1 (штриховая
кривая — зависимость x1(t), сплошная — зависимость x2(t) ).
Далее изменим параметры нечеткого управления: ψ1 = 6, ψ2 = 4, χ1 = 0, 6, χ2 = 0, 2.
В этом случае система (10) несовместна в классе положительно определенных матриц и
с помощью компьютерного моделирования (рис. 2, обозначения те же, что и на рис. 1)
убеждаемся, что состояние равновесия экосистемы неустойчиво.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
494 В. С. ДЕНИСЕНКО, А. А. МАРТЫНЮК, В. И. СЛЫНЬКО
Рис. 2
5. Выводы. В настоящей статье проведен анализ устойчивости импульсной нечеткой
системы Т-С. Получены достаточные условия асимптотической и глобальной асимптоти-
ческой устойчивости положения равновесия для таких систем. Показано, что эти условия
позволяют свести задачу об устойчивости нечеткой импульсной системы (2) к вопросу
о совместности некоторой системы линейных матричных неравенств. Также отмечено,
что при различных предположениях относительно функций принадлежности можно по-
лучить различные типы устойчивости нечеткой системы. Приведен численный пример,
решение которого выполнено с помощью пакета прикладных програм MATLAB.
1. Tanaka K., Sugeno M. Stability analysis and design of fuzzy control systems // Fuzzy Sets and Syst. — 1992.
— № 45. — P. 135 – 156.
2. Tanaka K. Advanced fuzzy control. — Japan: Kyoritsu Publ., 1994. — 223 p.
3. Xiaohong Zhang, Dong Li, Yang Dan. Impulsive control of T-S fuzzy systems // Fuzzy Systems and Knowledge
Discovery: Fourth Int. Conf. — Japan, 2007. — P. 321 – 325.
4. Simeonov P.S., Bainov D.D. Stability with respect to part of the variables in systems with impulse effect // J.
Math. Anal. and Appl. — 1986. — 117, № 1. — P. 247 – 263.
5. Hahn W. Stability of motion. — Berlin etc.: Springer, 1967. — 448 p.
6. Takagi T., Sugeno M. Fuzzy identification of systems and its applications to modeling and control // IEEE
Trans. Syst., Man, and Cybern. — 1985. — № 15. — P. 116 – 132.
7. Benrejeb M., Gasmi M., Borne P. New stability conditions for TS fuzzy continuous nonlinear models // Nonli-
near Dynam. and Syst. Theory. — 2005. — 5, № 4. — P. 369 – 379.
8. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием.—
Киев: Вища шк., 1987. — 286 с.
9. Двирный А. И., Слынько В. И. Об устойчивости линейных импульсных систем относительно конуса
// Доп. НАН України. — 2004. — № 4. — С. 42 – 48.
10. Martynyuk A. A. Stability of motion. The role of multicomponent Liapunov’s function. – London: Cambridge
Sci. Publ., 2007. — 322 p.
Получено 25.03.08
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178190 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:27:30Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Денисенко, В.С. Мартынюк, А.А. Слынько, В.И. 2021-02-18T08:10:50Z 2021-02-18T08:10:50Z 2008 Об устойчивости по Ляпунову нечетких импульсных систем Такаги - Сугено / В.С. Денисенко, А.А. Мартынюк, В.И. Слынько // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 4. — С. 481-494. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178190 531.36 Проведено аналiз стiйкостi за Ляпуновим нечiтких iмпульсних систем Такагi – Сугено. На основi прямого методу Ляпунова встановлено достатнi умови стiйкостi для таких систем. Показано, що цi умови виражаються системою лiнiйних матричних нерiвностей. Як приклад розглянуто iмпульсне нечiтке керування у двовидовiй моделi „хижак-жертва”. We study Lyapunov stability of impulsive Takagi – Sugeno fuzzy systems. Using the direct Lyapunov
 method we find sufficient conditions for stability of such systems. We show that these conditions can be
 expressed in terms of a system of matrix inequalities. As an example, we consider impulsive fussy control
 in a two species „predator-prey” model. ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Об устойчивости по Ляпунову нечетких импульсных систем Такаги - Сугено Про стійкість за Ляпуновим нечітких імпульсних систем Такагі - Сугено On Lyapunov stability of impulsive Takagi - Sugeno fuzzy systems Article published earlier |
| spellingShingle | Об устойчивости по Ляпунову нечетких импульсных систем Такаги - Сугено Денисенко, В.С. Мартынюк, А.А. Слынько, В.И. |
| title | Об устойчивости по Ляпунову нечетких импульсных систем Такаги - Сугено |
| title_alt | Про стійкість за Ляпуновим нечітких імпульсних систем Такагі - Сугено On Lyapunov stability of impulsive Takagi - Sugeno fuzzy systems |
| title_full | Об устойчивости по Ляпунову нечетких импульсных систем Такаги - Сугено |
| title_fullStr | Об устойчивости по Ляпунову нечетких импульсных систем Такаги - Сугено |
| title_full_unstemmed | Об устойчивости по Ляпунову нечетких импульсных систем Такаги - Сугено |
| title_short | Об устойчивости по Ляпунову нечетких импульсных систем Такаги - Сугено |
| title_sort | об устойчивости по ляпунову нечетких импульсных систем такаги - сугено |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178190 |
| work_keys_str_mv | AT denisenkovs obustoičivostipolâpunovunečetkihimpulʹsnyhsistemtakagisugeno AT martynûkaa obustoičivostipolâpunovunečetkihimpulʹsnyhsistemtakagisugeno AT slynʹkovi obustoičivostipolâpunovunečetkihimpulʹsnyhsistemtakagisugeno AT denisenkovs prostíikístʹzalâpunovimnečítkihímpulʹsnihsistemtakagísugeno AT martynûkaa prostíikístʹzalâpunovimnečítkihímpulʹsnihsistemtakagísugeno AT slynʹkovi prostíikístʹzalâpunovimnečítkihímpulʹsnihsistemtakagísugeno AT denisenkovs onlyapunovstabilityofimpulsivetakagisugenofuzzysystems AT martynûkaa onlyapunovstabilityofimpulsivetakagisugenofuzzysystems AT slynʹkovi onlyapunovstabilityofimpulsivetakagisugenofuzzysystems |