Метод усереднення в деяких задачах оптимального керування
Обосновано применение метода усреднения к задаче оптимального управления системами дифференциальных уравнений в стандартной по Боголюбову форме. Построено ε-оптимальное управление We substantiate a use of an averaging method for an optimal control problem for differential systems in the Bogolyubov...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Дата: | 2008 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178193 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Метод усереднення в деяких задачах оптимального керування / Т.В. Носенко, О.М. Станжицький // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 4. — С. 512-519. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859675809457897472 |
|---|---|
| author | Носенко, Т.В. Станжицький, О.М. |
| author_facet | Носенко, Т.В. Станжицький, О.М. |
| citation_txt | Метод усереднення в деяких задачах оптимального керування / Т.В. Носенко, О.М. Станжицький // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 4. — С. 512-519. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Обосновано применение метода усреднения к задаче оптимального управления системами дифференциальных уравнений в стандартной по Боголюбову форме. Построено ε-оптимальное
управление
We substantiate a use of an averaging method for an optimal control problem for differential systems in
the Bogolyubov form. We construct an ε-optimal control.
|
| first_indexed | 2025-11-30T16:14:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
МЕТОД УСЕРЕДНЕННЯ
В ДЕЯКИХ ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ
Т. В. Носенко, О. М. Станжицький*
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
Україна, 01033, Київ, вул. Володимирська, 64
e-mail: notava@ukr.net
stom@mail.univ.kiev.ua
We substantiate a use of an averaging method for an optimal control problem for differential systems in
the Bogolyubov form. We construct an ε-optimal control.
Обосновано применение метода усреднения к задаче оптимального управления системами диф-
ференциальных уравнений в стандартной по Боголюбову форме. Построено ε-оптимальное
управление.
Вступ. Ефективним методом розв’язання задач оптимального керування є метод усеред-
нення. При його використаннi початковiй неавтономнiй задачi оптимального керування
ставиться у вiдповiднiсть усереднена автономна задача оптимального керування, розв’я-
зок якої знаходиться простiше за розв’язок початкової задачi. Даним питанням присвяче-
но низку робiт (див., наприклад, [1 – 3]).
У данiй роботi будемо використовувати iнший пiдхiд до застосування методу усеред-
нення, а саме здiйснювати усереднення за часом, що явно входить у правi частини сис-
теми, вважаючи u параметром, далi при розв’язаннi усередненої системи розглядатиме-
мо тi самi керування, що i для початкової системи. Таким чином, множини керувань U
для початкової та усередненої систем збiгаються, при цьому не вимагається, щоб U була
компактом.
У данiй роботi встановлено зв’язок мiж оптимальним керуванням усередненої та
точної систем, а саме доведено, що оптимальне керування усередненою системою є
ε-оптимальним для точної системи.
Постановка задачi. Будемо розглядати задачу оптимального керування системою ди-
ференцiальних рiвнянь
ẋ = εX(t, x, u),
x(0) = x0,
(1)
де ε > 0 — малий параметр, x ∈ D — фазовий вектор, D — область в Rn, u ∈ U ⊂ Rm
— вектор керування, t ≥ 0, T > 0 — деяка константа, X — вектор-функцiя, неперервна
за сукупнiстю змiнних.
Керування u(t) вважаються допустимими, якщо виконується умова
*Пiдтримано Державним фондом фундаментальних дослiджень України (проекти № 14.1/007 та
Ф25.1/01).
c© Т. В. Носенко, О. М. Станжицький, 2008
512 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
МЕТОД УСЕРЕДНЕННЯ В ДЕЯКИХ ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ 513
А) u(t) ∈ U при t ≥ 0, u(t) є вимiрними, локально iнтегровними при t ≥ 0 i для
кожного u(t) iснує стала u0 ∈ U така, що |u(t) − u0| ≤ ϕ(t), де ϕ(t) не залежить вiд u(t) i
∫ ∞
0
ϕ(t)dt < ∞.
Множину допустимих керувань позначимо через F. Для кожного допустимого керу-
вання u(t) x(t, u) — розв’язок системи (1) при u = u(t).
Потрiбно знайти такi керування u ∈ U ⊂ Rm, що забезпечують мiнiмальне значення
функцiонала
Jε(u) = Φ
(
x
(
T
ε
, u
))
,
де Φ(x) — деяка функцiя. Jε = inf
u(t)∈F
Jε(u).
Поставимо у вiдповiднiсть системi (1) на
[
0,
T
ε
]
усереднену систему
ẏ = εX0(y, u),
(2)
y(0) = x0,
де
X0(x, u) = lim
T→∞
1
T
T
∫
0
X(t, x, u)dt, (3)
та
J̄ε(u) = Φ
(
y
(
T
ε
, u
))
.
Нехай u∗
2(t, ε) — оптимальне керування усередненою системою (2), тобто
J̄ε = inf
u(t)∈F
J̄ε(u) = J̄ε(u
∗
2(t, ε)).
У роботi доведено, що керування u∗
2(t, ε) є η-оптимальним для системи (1), а саме, для
будь-якого η > 0 iснує ε0 > 0 таке, що для всiх 0 < ε < ε0 виконується нерiвнiсть
|Jε(u
∗
2(t, ε)) − Jε| < η.
Допомiжнi твердження. Для доведення згаданого вище твердження нам потрiбна на-
ступна лема, що є узагальненням принципу усереднення на випадок залежностi правих
частин вiд функцiональних параметрiв.
Лема 1. Нехай в областi Q = {x ∈ D ⊂ Rn, t ≥ 0, u ∈ U ⊂ Rm} виконано умови:
1) X(t, x, u) є неперервною за сукупнiстю змiнних, обмеженою та задовольняє умову
Лiпшиця по x та u з константою M ;
2) розв’язок y = y(t, u), y(0, u(0)) = x0 усередненої системи є визначеним при всiх
допустимих u(t) для t ≥ 0 i належить областi D разом з деяким ρ-околом;
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
514 Т. В. НОСЕНКО, О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ
3) рiвномiрно вiдносно x ∈ D та u ∈ U iснує границя (3).
Тодi для будь-яких η > 0 i T > 0 iснує ε0(η, T ) > 0 таке, що для довiльного 0 < ε < ε0
та 0 < t <
T
ε
розв’язок x(t, u) визначено на
[
0,
T
ε
]
i справедливою є оцiнка
|x(t, u) − y(t, u)| ≤ η
для кожного допустимого керування.
Доведення. Виберемо довiльне 0 < η <
ρ
2
та зафiксуємо його. Для ε > 0 i довiльного
допустимого u(t) оцiнимо на
[
0,
T
ε
]
норму рiзницi мiж розв’язками системи (1) та системи
˙̄x = εX(t, x̄, u0),
(4)
x̄(0) = x0,
x̄(t) = x̄(t, u0),
де u0 вибрано з умови А) для u(t). Переходячи в (1) i (4) до iнтегральних зображень, для
довiльного t ≥ 0 до виходу хоча б одного з розв’язкiв на межу областi D маємо
x(t) = x0 + ε
t
∫
0
X(s, x(s), u(s))ds (5)
та
x̄(t) = x0 + ε
t
∫
0
X(s, x̄(s), u0)ds, (6)
де x(t) = x(t, u).
Вiд (5) вiднiмемо (6) i до правої частини рiвностi додамо та вiднiмемо X(s, x̄(s), u(s)):
x(t) − x̄(t) = ε
t
∫
0
[X(s, x(s), u(s)) − X(s, x̄(s), u(s))] ds+
+ ε
t
∫
0
[X(s, x̄(s), u(s)) − X(s, x̄(s), u0)] ds.
Використовуючи умову 1 леми, отримуємо
|x(t) − x̄(t)| ≤ εM
t
∫
0
|x(s) − x̄(s)|ds + εM
t
∫
0
|u(s) − u0|ds.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
МЕТОД УСЕРЕДНЕННЯ В ДЕЯКИХ ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ 515
З урахуванням умови А) для довiльного t ∈
[
0,
T
ε
]
справедливою є оцiнка
|x(t) − x̄(t)| ≤ εM
t
∫
0
|x(s) − x̄(s)|ds + εM
t
∫
0
ϕ(s)ds.
Оскiльки
∫ ∞
0
ϕ(s)ds < ∞, то
|x(t) − x̄(t)| ≤ εM
t
∫
0
|x(s) − x̄(s)|ds + εMC,
де C =
∫ ∞
0
ϕ(s)ds.
З леми Гронуолла – Беллмана маємо оцiнку |x(t) − x̄(t)| ≤ εMCeTM , справедливу до
моменту виходу розв’язкiв на межу областi D.
Аналогiчно на
[
0,
T
ε
]
отримуємо оцiнку для розв’язкiв y(t) = y(t, u) системи (2) та
розв’язкiв ȳ(t) = ȳ(t, u) системи
˙̄y = εX0(ȳ, u0),
(7)
ȳ(0) = x0.
Отже, |y(t) − ȳ(t)| ≤ εMCeTM .
Але для систем (4) та (7) для достатньо малих ε справедливою є оцiнка
|x̄(t) − ȳ(t)| ≤
η
2
, (8)
що випливає з теореми 1.1 [4, с.10]. З (8) випливає, що розв’язок x̄(t) належить областi
D для довiльного t ∈
[
0,
T
ε
]
, оскiльки ȳ(t) задовольняє умову 2 леми. З оцiнки |x(t) −
−x̄(t)| ≤ εMCeTM вибором достатньо малого ε отримуємо, що x(t) також належить
областi D для t ∈
[
0,
T
ε
]
.
Тому справедливими є оцiнки
|x(t) − y(t)| ≤ |x(t) − x̄(t)| + |x̄(t) − ȳ(t)| + |y(t) − ȳ(t)| ≤ 2εMCeTM +
η
2
:= η
для t ∈
[
0,
T
ε
]
.
Лему доведено.
Основний результат. Перейдемо до викладення основного результату роботи.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
516 Т. В. НОСЕНКО, О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ
Теорема. Нехай в областi Q = {x ∈ D ⊂ Rn, t ≥ 0, u ∈ U ⊂ Rm} виконуються
наступнi умови:
1) X(t, x, u) є неперервною за сукупнiстю змiнних, обмеженою сталою K та задо-
вольняє умову Лiпшиця по x та u з константою M ;
2) розв’язок y = y(t, u), y(0, u(0)) = x0 усередненої системи є визначеним при всiх
допустимих u(t, ε) для t ≥ 0 i належить областi D разом з деяким ρ-околом;
3) рiвномiрно вiдносно x ∈ D та u ∈ U iснує границя (3);
4) функцiя Φ(x) задовольняє умову Лiпшиця з константою L в областi D;
5) iснує оптимальне керування u∗
2(t, ε) системи (2).
Тодi для будь-якого η > 0 iснує ε0 = ε0(η) > 0 таке, що:
a) для довiльного 0 < ε < ε0 Jε > −∞;
б) виконується нерiвнiсть |Jε(u
∗
2(t, ε)) − Jε)| ≤ η.
Доведення. a) Покажемо, що для системи (1) Jε = inf
uε∈F
Jε(u) > −∞. Доведення про-
ведемо вiд супротивного.
Нехай iснує послiдовнiсть {εn} така, що εn → 0, n → ∞, a
Jεn
= −∞. (9)
Для кожного з εn за означенням iнфiмуму iснує послiдовнiсть керувань un
m таких, що
Jεn
(un
m) → −∞ при m → ∞. При керуваннях un
m системи (1) та (2) мають вiдповiдно
розв’язки xn
m та yn
m. Зауважимо, що Jεn
(un
m) = Φ
(
xn
m
(
T
εn
))
. Оскiльки для системи (2)
для кожного ε iснує оптимальне керування, то J̄εn
(yn
m) > J̄εn
> −∞. Зафiксуємо деяке
0 < η0 <
ρ
2
. З викладеного вище випливає iснування натурального n0 такого, що для
εn < εn0
справджуються оцiнки
∣
∣Jεn
(un
m) − J̄εn
(un
m)
∣
∣ =
∣
∣
∣
∣
Φ
(
xn
m
(
T
εn
))
− Φ
(
yn
m
(
T
εn
))
∣
∣
∣
∣
≤
≤ L
∣
∣
∣
∣
xn
m
(
T
εn
)
− yn
m
(
T
εn
)
∣
∣
∣
∣
< Lη0.
Звiдси маємо
Jεn
(un
m) = Jεn
(un
m) + J̄εn
(un
m) − J̄εn
(un
m) > Jεn
(un
m) − J̄εn
(un
m) + J̄ > J̄ − Lη0,
що приводить до суперечностi з (9).
б) Доведемо тепер наступне твердження теореми. Для цього запишемо нерiвнiсть
Jε ≤ Jε(u
∗
2(t, ε)) = J̄ε + [Jε(u
∗
2(t, ε)) − J̄ε(u
∗
2(t, ε))].
Оцiнимо рiзницю
|Jε(u
∗
2(t, ε)) − J̄ε(u
∗
2(t, ε))| =
∣
∣
∣
∣
Φ
(
x
(
T
ε
, u∗
2(t, ε)
))
− Φ
(
y
(
T
ε
, u∗
2(t, ε)
))
∣
∣
∣
∣
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
МЕТОД УСЕРЕДНЕННЯ В ДЕЯКИХ ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ 517
Тут x
(
T
ε
, u∗
2(t, ε)
)
— розв’язок системи (1) при оптимальному керуваннi u∗
2(t, ε) усередне-
ною системою, а y
(
T
ε
, u∗
2(t, ε)
)
— оптимальний розв’язок системи (2). Використовуючи
умову 4 теореми, маємо
∣
∣
∣
∣
Φ
(
x
(
T
ε
, u∗
2(t, ε)
))
− Φ
(
y
(
T
ε
, u∗
2(t, ε)
))
∣
∣
∣
∣
≤ L
∣
∣
∣
∣
x
(
T
ε
, u∗
2(t, ε)
)
− y
(
T
ε
, u∗
2(t, ε)
)
∣
∣
∣
∣
.
Застосовуючи доведену вище лему, для довiльного 0 < η1 <
ρ
2
при всiх достатньо малих
ε отримуємо оцiнку
Jε ≤ J̄ε + Lη1. (10)
За означенням iнфiмуму для вибраного η1 > 0 iснує керування uη1
(t, ε) з виконанням
нерiвностi
Jε(uη1
(t, ε)) < Jε + η1.
З останнього отримуємо оцiнку
J̄ε = J̄ε(u
∗
2(t, ε)) ≤ J̄ε(uη1
(t, ε)) ≤ J̄ε(uη1
(t, ε)) + Jε + η1 − Jε(uη1
(t, ε)).
Оцiнимо рiзницю |J̄ε(uη1
(t, ε))−Jε(uη1
(t, ε))|, знову використавши лiпшицевiсть функ-
цiї Φ(x) та доведену лему. Отримаємо
|J̄ε(uη1
(t, ε)) − Jε(uη1
(t, ε))| =
∣
∣
∣
∣
Φ
(
y
(
T
ε
, uη1
(t, ε)
))
− Φ
(
x
(
T
ε
, uη1
(t, ε)
))
∣
∣
∣
∣
≤
≤ L
∣
∣
∣
∣
y
(
T
ε
, uη1
(t, ε)
)
− x
(
T
ε
, uη1
(t, ε)
)
∣
∣
∣
∣
≤ Lη1.
Отже, J̄ε ≤ Jε + (L + 1)η1, а звiдси на пiдставi (10) маємо
|Jε − J̄ε| ≤ (L + 1)η1. (11)
Далi розглянемо рiзницю
|Jε(u
∗
2(t, ε)) − Jε| = |Jε(u
∗
2(t)) − J̄ε + J̄ε − Jε| ≤ |Jε(u
∗
2(t)) − J̄ε| + |J̄ε − Jε|.
Використовуючи вигляд критерiю оптимальностi, маємо
|Jε(u
∗
2(t, ε)) − J̄ε| =
∣
∣
∣
∣
Φ
(
x
(
T
ε
, u∗
2(t, ε)
))
− Φ
(
y
(
T
ε
, u∗
2(t, ε)
))
∣
∣
∣
∣
≤
≤ L
∣
∣
∣
∣
x
(
T
ε
, u∗
2(t, ε)
)
− y
(
T
ε
, u∗
2(t, ε)
)
∣
∣
∣
∣
≤ Lη1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
518 Т. В. НОСЕНКО, О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ
Далi, застосовуючи попередню оцiнку та нерiвнiсть (11), отримуємо
|Jε(u
∗
2(t, ε)) − Jε| ≤ η,
де η := η1(2L + 1).
Теорему доведено.
Приклад. Розглянемо задачу керування коливним об’єктом з малим керуючим впли-
вом:
ẍ + x = ε(−2ẋ + x3 + 2ẋu),
x(0) = x0, ẋ(0) = x1, |x0| + |x1| < 1,
(12)
|u(t)| ≤ 1, L =
T
ε,
J [u] =
1
2
(x2(L) + ẋ2(L)) → min .
Амплiтудно-фазова замiна змiнних
x = a sin(t + ϕ),
ẋ = a cos(t + ϕ)
зводить систему (12) до вигляду (1), стандартного за Боголюбовим:
ȧ = ε[−2a cos(t + ϕ) + a3 sin3(t + ϕ) + 2ua cos(t + ϕ)] cos(t + ϕ),
ϕ̇ = −ε[−2 cos(t + ϕ) + a2 sin3(t + ϕ) + 2u cos(t + ϕ)] sin(t + ϕ),
(13)
a(0) = a0, ϕ(0) = ϕ0,
J [u] =
1
2
a2(L) → min .
Запишемо усереднену систему для системи (13):
dξ
dτ
= ξ(u − 1),
dη
dτ
= −
3
8
ξ2,
(14)
ξ(0) = a0, η(0) = ϕ0,
J [u] =
1
2
ξ2(T ) → min .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
МЕТОД УСЕРЕДНЕННЯ В ДЕЯКИХ ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ 519
Для отримання розв’язку достатньо розглядати рiвняння, що мiстять змiнну ξ. Оскiль-
ки зазначене рiвняння є лiнiйним, а критерiй якостi — квадратичним, можемо, викорис-
тавши принцип максимуму та метод множникiв Лагранжа, знайти оптимальне керування
задачi (14) (див. [5]).
Запишемо спряжену систему та умови трансверсальностi:
ṗ = −p(u − 1),
Lξ(0) = λ1 = p(0),
Lξ(T ) = −λ0ξ(T ) = p(T ).
Вiдповiдна функцiя Лагранжа має вигляд
L = λ0
ξ2(T )
2
+ λ1(ξ(0) − a0),
а функцiя Понтрягiна даної задачi
H(t, ξ, p) = pξ(u − 1).
Знайдемо max
|u|≤1
H(t, ξ, p) = max
|u|≤1
pξ(u − 1). Аналiзуючи функцiю Понтрягiна, можемо зро-
бити висновок, що при pξ > 0 uopt = 1, а при pξ < 0 uopt = −1. З умов трансверсальностi
отримуємо, що знаки функцiй p(t) та ξ(t) завжди є протилежними. У цьому випадку опти-
мальним є керування uopt = −1.
Отже, ми знайшли оптимальне керування усередненою системою, що є η-оптимальним
для системи (12).
1. Плотников В. А. Метод усреднения в задачах управления. — Киев; Одесса: Лыбидь, 1992. — 188 с.
2. Плотников В. А., Плотников А. В., Витюк А. Н. Дифференциальные уравнения с многозначной пра-
вой частью. Асимптотические методы. — Одесса: Астропринт, 1999. — 354 с.
3. Плотников В. А., Бойцова И. А. Усреднение в задачах оптимального управления системами с быстры-
ми и медленными переменными // Проблемы управления и информатики. — 2000. — № 5. — С. 152 –
156.
4. Хапаев М. М. Усреднение в теории устойчивости. — М.: Наука, 1996. — 192 с.
5. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979. — 432 с.
Одержано 12.05.08
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178193 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-30T16:14:41Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Носенко, Т.В. Станжицький, О.М. 2021-02-18T08:11:35Z 2021-02-18T08:11:35Z 2008 Метод усереднення в деяких задачах оптимального керування / Т.В. Носенко, О.М. Станжицький // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 4. — С. 512-519. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178193 517.9 Обосновано применение метода усреднения к задаче оптимального управления системами дифференциальных уравнений в стандартной по Боголюбову форме. Построено ε-оптимальное управление We substantiate a use of an averaging method for an optimal control problem for differential systems in the Bogolyubov form. We construct an ε-optimal control. Пiдтримано Державним фондом фундаментальних дослiджень України (проекти № 14.1/007 та Ф25.1/01). uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Метод усереднення в деяких задачах оптимального керування Метод усреднения в некоторых задачах оптимального управления An averaging method for certain optimal control problems Article published earlier |
| spellingShingle | Метод усереднення в деяких задачах оптимального керування Носенко, Т.В. Станжицький, О.М. |
| title | Метод усереднення в деяких задачах оптимального керування |
| title_alt | Метод усреднения в некоторых задачах оптимального управления An averaging method for certain optimal control problems |
| title_full | Метод усереднення в деяких задачах оптимального керування |
| title_fullStr | Метод усереднення в деяких задачах оптимального керування |
| title_full_unstemmed | Метод усереднення в деяких задачах оптимального керування |
| title_short | Метод усереднення в деяких задачах оптимального керування |
| title_sort | метод усереднення в деяких задачах оптимального керування |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178193 |
| work_keys_str_mv | AT nosenkotv metoduserednennâvdeâkihzadačahoptimalʹnogokeruvannâ AT stanžicʹkiiom metoduserednennâvdeâkihzadačahoptimalʹnogokeruvannâ AT nosenkotv metodusredneniâvnekotoryhzadačahoptimalʹnogoupravleniâ AT stanžicʹkiiom metodusredneniâvnekotoryhzadačahoptimalʹnogoupravleniâ AT nosenkotv anaveragingmethodforcertainoptimalcontrolproblems AT stanžicʹkiiom anaveragingmethodforcertainoptimalcontrolproblems |