О приближенном решении краевых задач методом наименьших квадратов
З використанням методу найменших квадратiв побудовано нову iтерацiйну процедуру для знаходження розв’язкiв слабконелiнiйної крайової задачi для системи звичайних диференцiальних
 рiвнянь у критичному випадку у виглядi розвинення в узагальнений полiном Фур’є в околi породжуючого розв’язку. Зн...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178197 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О приближенном решении краевых задач методом наименьших квадратов / С.М. Чуйко // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 4. — С. 554-573. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860089154458615808 |
|---|---|
| author | Чуйко, С.М. |
| author_facet | Чуйко, С.М. |
| citation_txt | О приближенном решении краевых задач методом наименьших квадратов / С.М. Чуйко // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 4. — С. 554-573. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | З використанням методу найменших квадратiв побудовано нову iтерацiйну процедуру для знаходження розв’язкiв слабконелiнiйної крайової задачi для системи звичайних диференцiальних
рiвнянь у критичному випадку у виглядi розвинення в узагальнений полiном Фур’є в околi породжуючого розв’язку. Знайдено оцiнку областi значень малого параметра, для яких зберiгається
збiжнiсть цiєї iтерацiйної процедури до шуканого розв’язку.
Using the least square method we construct a new iteration algorithm for finding solutions of a weakly
nonlinear boundary-value problem for a system of ordinary differential equations in the critical case,
expanding the solution into a generalized Fourier polynomial in a neighborhood of the generating solution. We find an estimate for values of the small parameter for which convergence of this iteration procedure
to the sought solution is preserved.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:21:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
С. М. Чуйко
Славян. пед. ун-т
Украина, 84116, Славянск Донецой обл., ул. Г. Батюка, 19
e-mail: chujko-slav@inbox.ru
Using the least square method we construct a new iteration algorithm for finding solutions of a weakly
nonlinear boundary-value problem for a system of ordinary differential equations in the critical case,
expanding the solution into a generalized Fourier polynomial in a neighborhood of the generating soluti-
on. We find an estimate for values of the small parameter for which convergence of this iteration procedure
to the sought solution is preserved.
З використанням методу найменших квадратiв побудовано нову iтерацiйну процедуру для зна-
ходження розв’язкiв слабконелiнiйної крайової задачi для системи звичайних диференцiальних
рiвнянь у критичному випадку у виглядi розвинення в узагальнений полiном Фур’є в околi пород-
жуючого розв’язку. Знайдено оцiнку областi значень малого параметра, для яких зберiгається
збiжнiсть цiєї iтерацiйної процедури до шуканого розв’язку.
1. Постановка задачи. Исследуем задачу [1] о нахождении решений
z(t, ε) = col
(
z(1)(t, ε), . . . , z(n)(t, ε)
)
,
z(i)(·, ε) ∈ C1[a, b], z(i)(t, ·) ∈ C[0, ε0], i = 1, 2, . . . , n,
системы обыкновенных дифференциальных уравнений
dz
dt
= A(t)z + f(t) + εZ(z, t, ε), (1)
удовлетворяющих краевому условию
ℓz(·, ε) = α + εJ(z(·, ε), ε). (2)
Решение задачи (1), (2) ищем в малой окрестности решения
z0(t) = col
(
z
(1)
0 (t), . . . , z
(n)
0 (t)
)
, z
(i)
0 (·) ∈ C1[a, b], i = 1, 2, . . . , n,
порождающей задачи
dz0
dt
= A(t)z0 + f(t), ℓz0(·) = α, (3)
c© С. М. Чуйко, 2008
554 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 555
где A(t) — (n × n)-мерная матрица и f(t) — n-мерный вектор-столбец, элементы кото-
рых — непрерывные на отрезке [a, b] действительные функции, α ∈ Rm
— действитель-
ный вектор-столбец, Z(z, t, ε) — нелинейная вектор-функция, непрерывно дифферен-
цируемая по z в малой окрестности решения порождающей задачи, непрерывная по t
на отрезке [a, b] и непрерывно дифференцируемая по малому параметру ε на отрезке
[0, ε0]; ℓz(·, ε) и J(z(·, ε), ε) — линейный и нелинейный векторный функционалы ℓz(·, ε),
J(z(·, ε), ε) : C[a, b] → Rm, причем второй функционал непрерывно дифференцируем по
неизвестной переменной z и по малому параметру ε в малой окрестности решения поро-
ждающей задачи и на отрезке [0; ε0].
Исследован критический случай PQ∗ 6= 0; при условии [1]
PQ∗
d
{
α − ℓK
[
f(s)
]
(·)
}
= 0 (4)
порождающая задача (3) имеет r линейно независимых решений
z0(t, cr) = Xr(t)cr + G
[
f(s);α
]
(t), cr ∈ Rr.
Здесь X(t) — нормальная (X(0) = In) фундаментальная матрица однородной части си-
стемы (3), Q = ℓX(·) — (n × n)-мерная матрица, rank Q = n1, Xr(t) = X(t)PQr
, PQr
—
(n×r)-мерная матрица, составленная из r линейно независимых столбцов (n×n)-мерной
матрицы-ортопроектора PQ : Rn → N(Q), PQ∗
d
— (d × n)-мерная матрица, составленная
из d линейно независимых строк (m × m)-ортопроектора PQ∗ : Rm → N(Q∗),
G
[
f(s);α
]
(t) = K
[
f(s)
]
(t) − X(t)Q+ℓK
[
f(s)
]
(·)
— обобщенный оператор Грина краевой задачи (3);
K
[
f(s)
]
(t) = X(t)
t
∫
a
X−1(s)f(s)ds
— оператор Грина задачи Коши для дифференциальной системы (3), Q+− псевдообра-
тная матрица по Муру – Пенроузу.
Учитывая непрерывность нелинейной вектор-функции Z(z(t, ε), t, ε) и нелинейного
векторного функционала J(z(·, ε), ε) по ε в малой положительной окрестности нуля, по-
лучаем необходимое условие [1]
F0(cr) = PQ∗
d
{
J(z0(·, cr), 0) − ℓK
[
Z(z0(s, cr), s, 0)
]
(·)
}
= 0 (5)
существования решения исходной задачи (1), (2) в критическом случае.
Лемма 1. Пусть краевая задача (1), (2) представляет критический случай PQ∗ 6= 0
и выполнено условие (4) разрешимости порождающей задачи (3). Предположим также,
что задача (1), (2) имеет решение, при ε = 0 обращающееся в порождающее z(t, 0) =
= z0(t, c
∗
r). Тогда вектор c∗r ∈ Rr удовлетворяет уравнению (5) для порождающих
амплитуд.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
556 С. М. ЧУЙКО
Предположим далее, что уравнение (5) имеет действительные корни. Фиксируя одно
из решений c∗r ∈ Rr уравнения (5), приходим к задаче об отыскании решения
z(t, ε) = z0(t, c
∗
r) + x(t, ε)
задачи (1), (2) в окрестности порождающего решения
z0(t, c
∗
r) = Xr(t)c
∗
r + G
[
f(s);α
]
(t).
Для нахождении возмущения
x(t, ε) = col
(
x(1)(t, ε), . . . , x(n)(t, ε)
)
,
x(j)(·, ε) ∈ C1[a, b], x(j)(t, ·) ∈ C[0, ε0], x(t, 0) ≡ 0, j = 1, 2, . . . , n,
порождающего решения z0(t, c
∗
r) используем задачу
dx(t, ε)
dt
= A(t)x(t, ε) + εZ(z0(t, c
∗
r) + x(t, ε), t, ε), (6)
ℓx(·, ε) = εJ(z0(·, c
∗
r) + x(·, ε), ε). (7)
Учитывая непрерывную дифференцируемость по первому аргументу функции Z(z, t, ε) в
окрестности порождающего решения и непрерывную дифференцируемость по третьему
аргументу, разлагаем эту функцию в окрестности точек x = 0 и ε = 0 :
Z(z0(t, c
∗
r) + x(t, ε), t, ε) = Z(z0(t, c
∗
r), t, 0)+
+ A1(t)x(t, ε) + εA2(t) + R(z0(t, c
∗
r) + x(t, ε), t, ε), (8)
где
A1(t) =
∂Z(z, t, ε)
∂z
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
z=z0(t,c∗r)
ε=0
, A2(t) =
∂Z(z, t, ε)
∂ε
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
z=z0(t,c∗r)
ε=0
.
Остаток R(z0(t, c
∗
r) + x(t, ε), t, ε) разложения функции Z(z0(t, c
∗
r) + x(t, ε), t, ε) более высо-
кого порядка малости по x и ε в окрестности точек x = 0 и ε = 0, чем три первых члена
разложения, поэтому
R(z, t, ε)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
z=z0(t,c∗r)
ε=0
≡ 0,
∂R(z, t, ε)
∂z
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
z=z0(t,c∗r)
ε=0
≡ 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 557
Аналогично, используя непрерывную дифференцируемость (в смысле Фреше) по пер-
вому аргументу векторного функционала J(z0(·, c
∗
r) + x(·, ε), ε) и непрерывность по вто-
рому аргументу, выделяем линейные по x и по ε части ℓ1x(·, ε) и εℓ2(z0(·, c
∗
r), 0) этого фун-
кционала и член J(z0(·, c
∗
r), 0) = J(z(·, 0), 0) нулевого порядка по ε в окрестности точек
x = 0 и ε = 0 :
J(z0(·, c
∗
r) + x(·, ε), ε) = J(z0(·, c
∗
r), 0) + ℓ1x(·, ε)+
+ εℓ2(z0(·, c
∗
r), 0) + J1(z0(·, c
∗
r) + x(·, ε), ε). (9)
Остаток J1(z0(·, c
∗
r)+x(·, ε), ε) разложения функционала J(z0(·, c
∗
r)+x(·, ε), ε) более высо-
кого порядка малости по x и ε в окрестности точек x = 0 и ε = 0, чем два первых члена
разложения, поэтому
J1(z(·, ε), ε)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
z=z0(t,c∗r)
ε=0
= 0,
∂J1(z(·, ε), ε)
∂z
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
z=z0(t,c∗r)
ε=0
= 0,
∂J1(z(·, ε), ε)
∂ε
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
z=z0(t,c∗r)
ε=0
= 0.
Обозначим (d × r)-мерную матрицу
B0 = PQ∗
d
{
ℓ1Xr(·) − ℓK
[
A1(s)Xr(s)
]
(·)
}
.
При условии PB∗
0
= 0 краевая задач (6), (7) имеет по меньшей мере одно решение
x(t, ε) = col
(
x(1)(t, ε), . . . , x(n)(t, ε)
)
,
x(i)(·, ε) ∈ C1[a, b], x(i)(t, ·) ∈ C[0, ε0], i = 1, 2, . . . , n,
при ε = 0 обращающееся в нулевое x(t, 0) ≡ 0. Для построения этого решения краевой
задачи (6) применяется метод простых итераций [1 – 5]. Этот метод отличают простота
вычислительной схемы, показательная скорость сходимости, затухание ошибок округле-
ния и численная устойчивость, однако построение приближенных решений с применени-
ем метода простых итераций для краевых задач связано с быстро увеличивающейся от
итерации к итерации сложностью вычислений. Целью данной работы является постро-
ение приближенных решений краевой задачи (6) c использованием метода наименьших
квадратов в виде частичных сумм обобщенного ряда Фурье [6 – 9].
2. Итерационная процедура. Пусть ϕ1(t), ϕ2(t), . . . , ϕk(t), . . . — система линейно неза-
висимых непрерывно дифференцируемых n-мерных вектор-функций. Первое приближе-
ние к решению краевой задачи (6), (7)
x1(t, ε) = Xr(t)cr(ε) + x
(1)
1 (t, ε)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
558 С. М. ЧУЙКО
ищем как решение краевой задачи
dx1(t, ε)
dt
= A(t)x1(t, ε) + ε
[
Z(z0(t, c
∗
r), t, 0) + A1(t)x1(t, ε)
]
, (10)
ℓx1(·, ε) = ε
[
J(z0(·, c
∗
r), 0) + ℓ1x1(·, ε)
]
. (11)
Приближение к частному решению краевой задачи (10), (11) ищем в виде
x
(1)
1 (t, ε) ≈ ξ1(t, ε) =
k
∑
i=1
c
(i)
1 (ε)ϕi(t).
Обозначим (n×k)-мерную матрицу ϕ(t) =
[
ϕ1(t) ϕ2(t) . . . ϕk(t)
]
. В общем случае первое
приближение
ξ1(t, ε) = ϕ(t)c1(ε), c1(ε) =
[
c
(1)
1 (ε) c
(2)
1 (ε) ... c
(k)
1 (ε)
]∗
не является решением краевой задачи (10), (11), поэтому потребуем, чтобы
F (c1(ε)) =
∥
∥
∥
∥
[
A(t) + εA1(t)
]
ξ1(t, ε) + εZ(z0(t, c
∗
r), t, 0) − ξ′1(t, ε)
∥
∥
∥
∥
2
L2[a,b]
+
+
∥
∥
∥
∥
[
εℓ1 − ℓ
]
ξ1(·, ε) + εJ(z0(·, c
∗
r), 0)
∥
∥
∥
∥
2
Rm
→ min
при фиксированной матрице ϕ(t). Функция
F (c1(ε)) =
b
∫
a
{[
A(t) + εA1(t)
]
ξ1(t, ε) + εZ(z0(t, c
∗
r), t, 0) − ξ′1(t, ε)
}∗
×
×
{[
A(t) + εA1(t)
]
ξ1(t, ε) + εZ(z0(t, c
∗
r), t, 0) − ξ′1(t, ε)
}
dt+
+
{[
εℓ1 − ℓ
]
ξ1(·, ε) + εJ(z0(·, c
∗
r), 0)
}∗ {[
εℓ1 − ℓ
]
ξ1(·, ε) + εJ(z0(·, c
∗
r), 0)
}
представима в виде
F (c1(ε)) = ‖Φ(t, ε)c1(ε) + εZ(z0(t, c
∗
r), t, 0)‖2
L2[a,b] +
+ ‖Ψ(ε)c1(ε) + εJ(z0(·, c
∗
r), 0)‖2
Rm ,
где
Φ(t, ε) =
[
A(t) + εA1(t)
]
ϕ(t) − ϕ′(t)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 559
— (n× k)-мерная матрица, Ψ(ε) =
[
εℓ1 − ℓ
]
ϕ(·) — (m× k)-мерная матрица. Необходимое
условие минимизации функции F (c1(ε)) приводит к уравнению
[
Γ
(
ϕ(·)
)
+ Γ
(
ℓϕ(·)
)]
c1(ε) = −ε
b
∫
a
Φ∗(t, ε)Z(z0(t, c
∗
r), t, 0)dt − εΨ∗(ε)J(z0(·, cr∗), 0),
однозначно разрешимому относительно вектора c1(ε) ∈ Rk при условии невырожденно-
сти суммы (k × k)-мерных матриц Грама [8]
Γ
(
ϕ(·)
)
=
b
∫
a
Φ∗(t, ε)Φ(t, ε)dt, Γ
(
ℓϕ(·)
)
= Ψ(ε)∗Ψ(ε).
Таким образом, при условии det
[
Γ
(
ϕ(·)
)
+ Γ
(
ℓϕ(·)
)]
6= 0 находим вектор
c1(ε) = −ε
[
Γ
(
ϕ(·)
)
+ Γ
(
ℓϕ(·)
)]−1
×
×
b
∫
a
Φ∗(t, ε)Z(z0(t, cr∗), t, 0)dt + Ψ∗(ε)J(z0(·, c
∗
r), 0)
,
определяющий первое приближение x1(t, ε) ≈ Xr(t)cr(ε) + ξ1(t, ε) к решению краевой
задачи (10), (11). Здесь
ξ1(t, ε) = −εϕ(t)
[
Γ
(
ϕ(·)
)
+ Γ
(
ℓϕ(·)
)]−1
×
×
b
∫
a
Φ∗(t, ε)Z(z0(t, cr), t, 0)dt + Ψ∗(ε)J(z0(·, cr), 0)
— наилучшее (в смысле наименьших квадратов) приближение к частному решению
x
(1)
1 (t, ε) краевой задачи (10), (11). Второе приближение x2(t, ε) = Xr(t)cr(ε) + x
(1)
2 (t, ε)
к решению краевой задачи (6), (7) ищем, как решение краевой задачи
dx2(t, ε)
dt
= A(t)x2(t, ε) + ε
[
Z(z0(t, c
∗
r), t, 0)+
+ A1(t)x2(t, ε) + εA2(t) + R1(z0(t, c
∗
r) + x1(t, ε), t, ε)
]
, (12)
ℓx2(·, ε) = ε
[
J(z0(·, c
∗
r), 0) + ℓ1x2(·, ε)+
+ εℓ2(z0(·, c
∗
r), 0) + J1(z0(·, c
∗
r) + x1(·, ε), ε)
]
. (13)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
560 С. М. ЧУЙКО
Приближение к частному решению краевой задачи (12), (13)
x
(1)
2 (t, ε) ≈ ξ1(t, ε) + ξ2(t, ε)
определяет вектор-функция
ξ2(t, ε) = ϕ(t)c2(ε) =
k
∑
i=1
c
(i)
2 (ε)ϕi(t), c2(ε) =
[
c
(1)
2 (ε) c
(2)
2 (ε) . . . c
(k)
2 (ε)
]∗
.
В общем случае сумма ξ1(t, ε) + ξ2(t, ε) не является решением краевой задачи (12), (13),
поэтому потребуем, чтобы
F (c2(ε)) =
∥
∥
∥
∥
[
A(t) + εA1(t)
]
ξ2(t, ε) + ε2A2(t)+
+ εR1(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε), t, ε) − ξ′2(t, ε)
∥
∥
∥
∥
2
L2[a,b]
+
+
∥
∥
∥
∥
[
εℓ1 − ℓ
]
ξ2(·, ε) + ε2ℓ2(z0(·, c
∗
r), 0) + εJ1(z0(·, c
∗
r) + ξ1(·, ε), ε)
∥
∥
∥
∥
2
Rm
→ min
при фиксированной матрице ϕ(t). Функция
F (c2(ε)) =
b
∫
a
{
[
A(t) + εA1(t)
]
ξ2(t, ε) + ε2A2(t)+
+ εR1(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε), t, ε) − ξ′2(t, ε)
}∗
×
×
{[
A(t) + εA1(t)
]
ξ2(t, ε) + ε2A2(t) + εR1(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε), t, ε) − ξ′2(t, ε)
}
dt+
+
{[
εℓ1 − ℓ
]
ξ2(·, ε) + ε2ℓ2(z0(·, c
∗
r), 0) + εJ1(z0(·, c
∗
r) + ξ1(·, ε), ε)
}∗
×
×
{[
εℓ1 − ℓ
]
ξ2(·, ε) + ε2ℓ2(z0(·, cr), 0) + εJ1(z0(·, c
∗
r) + ξ1(·, ε), ε)
}
представима в виде
F (c2(ε)) =
b
∫
a
{
Φ(t, ε)c2 + ε2A2(t) + εR1(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε), t, ε)
}∗
×
×
{
Φ(t, ε)c2 + ε2A2(t) + εR1(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε), t, ε)
}
dt+
+
{
Ψ(ε)c2 + ε2ℓ2(z0(·, c
∗
r), 0) + εJ1(z0(·, c
∗
r) + ξ1(·, ε), ε)
}∗
×
×
{
Ψ(ε)c2 + ε2ℓ2(z0(·, c
∗
r), 0) + εJ1(z0(·, c
∗
r) + ξ1(·, ε), ε)
}
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 561
Необходимое условие минимизации функции F (c2(ε)) приводит к уравнению
[
Γ
(
ϕ(·)
)
+ Γ
(
ℓϕ(·)
)]
c2(ε) =
= −ε
b
∫
a
Φ∗(t, ε)
[
εA2(t) + R1(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε), t, ε)
]
dt−
− εΨ∗(ε)
[
εℓ2(z0(·, c
∗
r), 0) + J1(z0(·, c
∗
r) + ξ1(·, ε), ε)
]
.
При условии det
[
Γ
(
ϕ(·)
)
+ Γ
(
ℓϕ(·)
)
]
6= 0 находим вектор
c2(ε) = −ε
[
Γ
(
ϕ(·)
)
+ Γ
(
ℓϕ(·)
)
]−1
×
×
{ b
∫
a
Φ∗(t, ε)
[
εA2(t) + R1(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε), t, ε)
]
dt+
+ Ψ∗(ε)
[
εℓ2(z0(·, c
∗
r), 0) + J1(z0(·, c
∗
r) + ξ1(·, ε), ε)
]
}
,
определяющий наилучшее (в смысле наименьших квадратов) приближение к частному
решению x
(1)
2 (t, ε) ≈ ξ1(t, ε) + ξ2(t, ε) краевой задачи (12), (13). Здесь
ξ2(t, ε) = −εϕ(t)
[
Γ
(
ϕ(·)
)
+ Γ
(
ℓϕ(·)
)
]−1
×
×
{ b
∫
a
Φ∗(t, ε)
[
εA2(t) + R1(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε), t, ε)
]
dt+
+ Ψ∗(ε)
[
εℓ2(z0(·, c
∗
r), 0) + J1(z0(·, c
∗
r) + ξ1(·, ε), ε)
]
}
.
Таким образом, на втором шаге итерационной процедуры найдено наилучшее (в смысле
наименьших квадратов) приближение
x2(t, ε) ≈ Xr(t)cr(ε) + ξ1(t, ε) + ξ2(t, ε)
к решению краевой задачи (12), (13). Продолжая рассуждения, предполагаем, что найде-
но (j + 1)-е приближение (j = 1, 2, . . .) к решению краевой задачи (6), (7). Следующее,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
562 С. М. ЧУЙКО
(j + 2)-е, приближение к решению краевой задачи (6), (7) ищем, как решение краевой
задачи
dxj+2(t, ε)
dt
= A(t)xj+2(t, ε) + ε
[
Z(z0(t, c
∗
r), t, 0)+
+ A1(t)xj+2(t, ε) + εA2(t) + R1(z0(t, c
∗
r) + xj+1(t, ε), t, ε)
]
, (14)
ℓxj+2(·, ε) = ε
[
J(z0(·, c
∗
r), 0) + ℓ1xj+2(·, ε)+
+ εℓ2(z0(·, c
∗
r), 0) + J1(z0(·, c
∗
r) + xj+1(·, ε), ε)
]
. (15)
Приближение к частному решению краевой задачи (14), (15)
x
(1)
j+2(t, ε) ≈
j+2
∑
i=1
ξi(t, ε)
определяет вектор-функция
ξj+2(t, ε) = ϕ(t)cj+2(ε) =
k
∑
i=1
c
(i)
j+2(ε)ϕi(t), cj+2(ε) =
[
c
(1)
j+2(ε) c
(2)
j+2(ε) . . . c
(k)
j+2(ε)
]∗
.
В общем случае сумма ξ1(t, ε) + ξ2(t, ε) + . . . + ξj+2(t, ε) не является решением краевой
задачи (14), (15), поэтому потребуем, чтобы
F (cj+2(ε)) =
∥
∥
∥
∥
∥
[
A(t) + εA1(t)
]
ξj+2(t, ε)+
+ ε
[
R1(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε) + . . . + ξj+1(t, ε), t, ε)−
− R1(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε), t, ε) + . . . + ξj(t, ε)
]
− ξ′j+2(t, ε)
∥
∥
∥
∥
∥
2
L2[a,b]
+
+
∥
∥
∥
∥
∥
[
εℓ1 − ℓ
]
ξj+2(·, ε) + ε
[
J1(z0(·, c
∗
r) + ξ1(·, ε) + . . . + ξj+1(·, ε), ε)−
− J1(z0(·, c
∗
r) + ξ1(·, ε) + . . . + ξj(·, ε), ε)
]
∥
∥
∥
∥
∥
2
Rm
→ min
при фиксированной матрице ϕ(t). При условии det
[
Γ
(
ϕ(·)
)
+ Γ
(
ℓϕ(·)
)
]
6= 0 находим
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 563
вектор
cj+2(ε) = −ε ·
[
Γ
(
ϕ(·)
)
+ Γ
(
ℓϕ(·)
)
]−1
×
×
{ b
∫
a
Φ∗(t, ε)
[
R1(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε) + . . . + ξj+1(t, ε), t, ε)−
− R1(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε), t, ε) + . . . + ξj(t, ε)
]
dt+
+ Ψ∗(ε)
[
J1(z0(·, c
∗
r) + ξ1(·, ε) + . . . + ξj+1(·, ε), ε)−
− J1(z0(·, c
∗
r) + ξ1(·, ε) + . . . + ξj(·, ε), ε)
]
}
,
определяющий наилучшее (в смысле наименьших квадратов) приближение к частному
решению
x
(1)
j+2(t, ε) ≈
j+2
∑
i=1
ξi(t, ε)
краевой задачи (14), (15). Здесь
ξj+2(t, ε) = −εϕ(t) ·
[
Γ
(
ϕ(·)
)
+ Γ
(
ℓϕ(·)
)
]−1
×
×
{ b
∫
a
Φ∗(t, ε)
[
R1(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε) + . . . + ξj+1(t, ε), t, ε)−
− R1(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε), t, ε) + . . . + ξj(t, ε)
]
dt+
+ Ψ∗(ε)
[
J1(z0(·, c
∗
r) + ξ1(·, ε) + . . . + ξj+1(·, ε), ε)−
− J1(z0(·, c
∗
r) + ξ1(·, ε) + . . . + ξj(·, ε), ε)
]
}
.
Таким образом, на (j +2)-м шаге итерационной процедуры найдено наилучшее (в смысле
наименьших квадратов) приближение
xj+2(t, ε) ≈ Xr(t)cr(ε) +
j+2
∑
i=1
ξi(t, ε)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
564 С. М. ЧУЙКО
к решению краевой задачи (14), (15). Ниже будет получена оценка точности приближе-
ния к искомому решению задачи (1), (2), достигаемая с помощью полученной итерацион-
ной процедуры. Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема. Пусть краевая задача (1), (2) представляет критический случай PQ∗ 6= 0
и выполнено условие (4) разрешимости порождающей задачи (3). Тогда для каждого
корня c∗r ∈ Rr уравнения (5) для порождающих амплитуд при условии PB∗
0
= 0 задача
(6), (7) имеет по меньшей мере одно решение
x(t, ε) = col
(
x(1)(t, ε), . . . , x(n)(t, ε)
)
,
x(i)(·, ε) ∈ C1[a, b], x(i)(t, ·) ∈ C[0, ε0], i = 1, 2, . . . , n,
при ε = 0 обращающееся в нулевое x(t, 0) ≡ 0. В случае
det
[
Γ
(
ϕ(·)
)
+ Γ
(
ℓϕ(·)
)
]
6= 0
это решение можно определить с помощью сходящегося для ε ∈ [0, ε∗] итерационного
процесса
x1(t, ε) ≈ ξ1(t, ε) = −εϕ(t)
[
Γ
(
ϕ(·)
)
+ Γ
(
ℓϕ(·)
)]−1
×
×
b
∫
a
Φ∗(t, ε)Z(z0(t, c
∗
r), t, 0)dt + Ψ∗(ε)J(z0(·, c
∗
r), 0)
,
x2(t, ε) ≈ ξ1(t, ε) + ξ2(t, ε),
ξ2(t, ε) = −εϕ(t)
[
Γ
(
ϕ(·)
)
+ Γ
(
ℓϕ(·)
)
]−1
×
×
{ b
∫
a
Φ∗(t, ε)
[
εA2(t) + R1(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε), t, ε)
]
dt+
+ Ψ∗(ε)
[
εℓ2(z0(·, c
∗
r), 0) + J1(z0(·, c
∗
r) + ξ1(·, ε), ε)
]
}
,
x3(t, ε) ≈ ξ1(t, ε) + ξ2(t, ε) + ξ3(t, ε),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 565
ξ3(t, ε) = −εϕ(t)
[
Γ
(
ϕ(·)
)
+ Γ
(
ℓϕ(·)
)
]−1
×
×
{ b
∫
a
Φ∗(t, ε)
[
R1(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε) + ξ2(t, ε), t, ε) − R1(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε), t, ε)
]
dt+
+ Ψ∗(ε)
[
J1(z0(·, c
∗
r) + ξ1(·, ε) + ξ2(·, ε), ε) − J1(z0(·, c
∗
r) + ξ1(·, ε), ε)
]
}
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xj+2(t, ε) ≈
j+2
∑
i=1
ξi(t, ε), j = 1, 2, . . . , (16)
ξj+2(t, ε) = −εϕ(t)
[
Γ
(
ϕ(·)
)
+ Γ
(
ℓϕ(·)
)
]−1
×
×
{ b
∫
a
Φ∗(t, ε)
[
R1(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε) + . . . + ξj+1(t, ε), t, ε)−
− R1(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε), t, ε) + . . . + ξj(t, ε)
]
dt+
+ Ψ∗(ε)
[
J1(z0(·, c
∗
r) + ξ1(·, ε) + . . . + ξj+1(·, ε), ε)−
− J1(z0(·, c
∗
r) + ξ1(·, ε) + . . . + ξj(·, ε), ε)
]
}
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задача (1), (2) имеет в этом случае по меньшей мере одно решение
z(t, ε) = col
(
z(1)(t, ε), . . . , z(n)(t, ε)
)
,
z(i)(·, ε) ∈ C1[a, b], z(i)(t, ·) ∈ C[0, ε0], i = 1, 2, ... , n,
при ε = 0 обращающееся в порождающее z(t, 0) ≡ z0(t, c
∗
r), которое может быть най-
дено по формуле zk(t, ε) = z0(t, c
∗
r) + xk(t, ε), k = 1, 2, . . . , с помощью итерационного
процесса (16).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
566 С. М. ЧУЙКО
В случае периодической задачи для уравнения (1) для построения приближенного
решения целесообразно использовать периодическую матрицу ϕ(t). При этом итераци-
онная процедура (16) значительно упрощается, поскольку в этом случае Γ
(
ℓϕ(·)
)
= 0,
Ψ∗(ε) ≡ 0; кроме того, для линейного периодического краевого условия ℓz(·) = z(0) −
−z(T ) имеют место тождества
ℓ1z(·) = ℓ2(z0(·, c
∗
r), 0) ≡ 0, J(z(·, ε), ε) ≡ J1(z(·, ε), ε) ≡ 0.
3. Оценка точности итераций по методу наименьших квадратов. Для оценки точности
итераций по методу наименьших квадратов в критическом случае предположим, что опе-
ратор Φ
(
z0(t, c
∗
r) + x(t, ε)
)
является сжимающим, при этом для любых вектор-функций
y1(t, ε), y2(t, ε) из малой окрестности нуля выполняется неравенство
‖Φy1(t, ε) − Φy2(t, ε)‖ ≤ λ‖y1(t, ε) − y2(t, ε)‖, λ < 1.
Согласно принципу Каччопполи – Банаха [3, c. 605], в этом случае в малой окрестности
нуля существует единственная неподвижная точка x∗(t, ε) отображения Φx(t, ε), пред-
ставляющая положение равновесия уравнения x(t, ε) = Φx(t, ε). Для нахождения непод-
вижной точки x∗(t, ε) отображения Φx(t, ε) применим метод простых итераций. Есте-
ственно предположить, что первое приближение x1(t, ε) = Φ(0) 6= 0. Другими словами,
предположим, что неподвижная точка x∗(t, ε) отображения Φx(t, ε) отлична от нуля. В
этом случае
‖x∗(t, ε) − x1(t, ε)‖ = ‖Φx∗(t, ε) − Φ(0)‖ ≤ λ‖x∗(t, ε)‖.
Обозначим
δ1(ε) =
‖x1(t, ε) − ξ1(t, ε)‖
‖x∗(t, ε)‖
.
Величина δ1(ε) зависит от выбора (n × k)-мерной матрицы ϕ(t). Используя неравенство
треугольника, получаем оценку
‖x∗(t, ε) − ξ1(t, ε)‖ ≤ ‖x∗(t, ε) − x1(t, ε)‖ + ‖x1(t, ε) − ξ1(t, ε)‖ ≤ (λ + δ1)‖x
∗(t, ε)‖.
Для второго приближения, вычисленного по методу простых итераций, имеет место не-
равенство
‖x∗(t, ε) − x2(t, ε)‖ = ‖Φx∗(t, ε) − Φx1(t, ε)‖ ≤ λ2‖x∗(t, ε)‖.
Обозначим
δ2(ε) =
∥
∥
∥
∥
x2(t, ε) −
(
ξ1(t, ε) + ξ2(t, ε)
)∥
∥
∥
∥
‖x∗(t, ε)‖
.
Используя неравенство треугольника, получаем оценку
∥
∥
∥
∥
x∗(t, ε) −
(
ξ1(t, ε) + ξ2(t, ε)
)
∥
∥
∥
∥
≤ ‖x∗(t, ε) − x1(t, ε)‖+
+
∥
∥
∥
∥
x1(t, ε) −
(
ξ1(t, ε) + ξ2(t, ε)
)∥
∥
∥
∥
≤ (λ2 + δ2)‖x
∗(t, ε)‖.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 567
Аналогично
∥
∥
∥
∥
∥
x∗(t, ε) −
k
∑
i=1
ξi(t, ε)
∥
∥
∥
∥
∥
≤ ‖x∗(t, ε) − xk(t, ε)‖ +
∥
∥
∥
∥
∥
xk(t, ε) −
k
∑
i=1
ξi(t, ε)
∥
∥
∥
∥
∥
≤ (λk + δk)‖x
∗(t, ε)‖.
Здесь
δk(ε) =
∥
∥
∥
∥
xk(t, ε) −
(
ξ1(t, ε) + . . . + ξk(t, ε)
)∥
∥
∥
∥
‖x∗(t, ε)‖
.
При достаточно малой величине
δ(ε) = max
0≤i≤k
δi(ε)
для k ≤ κ выполняются неравенства
λk + δ(ε) < λk−1 + δ(ε) < . . . < λ2 + δ(ε) < λ + δ(ε) < 1,
гарантирующие достаточно малое значение нормы разности
∥
∥
∥
∥
∥
x∗(t, ε) −
k
∑
i=1
ξi(t, ε)
∥
∥
∥
∥
∥
.
В отличие от метода простых итераций использование итерационной процедуры (16), по-
строенной по методу наименьших квадратов, позволяет находить итерации сколь угодно
высокого порядка, однако точность полученного с помощью метода наименьших квад-
ратов приближения ограничена величиной порядка δ(ε), которая зависит от выбора
(n × k)-мерной матрицы ϕ(t). Кроме того, на точность полученного с помощью метода
наименьших квадратов приближения влияют погрешности промежуточных приближен-
ных вычислений.
Пример. Покажем, что итерационная процедура (16) применима для нахождения ре-
шения периодической задачи
dz
dt
= (2t − 1)z + εz ln z,
(17)
ℓz(·) = z(0, ε) − z(1, ε) = 0.
Для этого исследуем порождающую задачу
dz0
dt
= (2t − 1)z0,
(18)
ℓz0(·) = z0(0) − z0(1) = 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
568 С. М. ЧУЙКО
Нормальная фундаментальная матрица однородной части дифференциального уравне-
ния (18) суть функция X(t) = et2−t. Поскольку Q = ℓX(·) = 0, имеет место критический
случай; при этом r = d = 1,
PQ∗ = PQ∗
d
= PQ = PQr
= 1.
Общее решение порождающей задачи (18) имеет вид z0(t, c) = c et2−t. Единственное не-
тривиальное решение c∗1 = e
1
6 уравнения для порождающих амплитуд задачи (17) опре-
деляет производную A1(t) = t2 − t +
7
6
, которая приводит к константе B0 = 1. Положим
ϕ(t) = ϕ6(t) =
[
1 t(1 − t) t(1 − t)2 t(1 − t)3 t(1 − t)4 t(1 − t)5
]
.
Матрица ϕ6(t) удовлетворяет краевому условию (17) и определяет невырожденную (6 ×
6)-матрицу Грама Γ
(
ϕ6(·)
)
. Чтобы проверить последнее утверждение, найдем разложе-
ние
det
[
Γ
(
ϕ6(·)
)
]
≈
1212919
647 244 981 444 399 245 107 200 000
+
+
3 679 913 919 765 888 641
1 386 398 750 253 903 183 019 622 400 000
· ε2+
+
217 883 317 764 850 527 659
1 297 669 230 237 653 379 306 366 566 400 000
· ε4+
+
68 421 914 410 913 602 709
19 465 038 453 564 800 689 595 498 496 000 000
· ε6 6= 0.
Невырожденность матрицы Грама Γ
(
ϕ6(·)
)
обеспечивает возможность нахождения при-
ближенного решения краевой задачи (17) с помощью итерационного процесса (16). Пер-
вое приближение x1(t, ε) ≈ ξ1(t, ε) = ϕ(t)c1(ε) к решению краевой задачи (6), (7) опреде-
ляет вектор
c1(ε) = −ε
[
Γ
(
ϕ6(·)
)
]−1 T
∫
0
Φ∗(t, ε)Z(z0(t, c
∗
r), t, 0)dt ≈
≈ col
[
− 2, 72 097 · 10−7 − 1, 45 621 · 10−10ε − 0, 00 320 359ε2−
− 1, 59 131 · 10−7ε3 + 0, 0 000 809 896ε4 − 0, 0 000 408 258ε5+
+ 0, 000 414 518ε6 − 0, 00 317 151ε7 + 0, 0 178 324ε8 − 0, 0 720 259ε9+
+ 0, 198 016ε10 − 0, 332 254ε11 + 0, 257 046ε12,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 569
2, 72 073 · 10−7 − 0, 19 554ε + 0, 00 343 683ε2 + 0, 00 396 644ε3−
− 0, 0 000 726 042ε4 − 0, 0 000 533 456ε5 − 0, 000 424 831ε6+
+ 0, 00 326 058ε7 − 0, 0 183 758ε8 + 0, 0 744 472ε9−
− 0, 205 278ε10 + 0, 34 539ε11 − 0, 267 864ε12,
1, 35 394 · 10−7 + 0, 563 049ε + 0, 106 853ε2 − 0, 00 649 617ε3−
0, 00 238 175ε4 + 0, 000 114 958ε5 + 0, 000 117 308ε6−
− 0, 000 358 307ε7 + 0, 00 138 363ε8 − 0, 00 299 176ε9+
+ 0, 000 921 885ε10 + 0, 010 609ε11 − 0, 0172 272ε12,
1, 75 841 · 10−7 − 0, 515 905ε − 0, 237 509ε2 − 0, 00 430 925ε3+
+ 0, 00 420 828ε4 + 0, 000 197 839ε5 − 0, 0 000 183 747ε6−
− 0, 000 567 387ε7 + 0, 00 276 651ε8 − 0, 00 766 056ε9+
+ 0, 0 051 925ε10 + 0, 0 295 068ε11 − 0, 0 616 531ε12,
− 8, 08 892 · 10−8 + 0, 343 937ε + 0, 261 311ε2 + 0, 00 287 231ε3−
− 0, 00 364 128ε4 − 0, 000 270 189ε5 + 0, 0 014 102ε6−
− 0, 00 992 461ε7 + 0, 05 392ε8 − 0, 208 951ε9+
+ 0, 547 188ε10 − 0, 867 501ε11 + 0, 628 253ε12,
4, 04 485 · 10−8 − 1, 23 674 · 10−10ε − 0, 130 656ε2−
− 1, 48 305 · 10−7ε3 + 0, 0 018 283ε4 − 0, 0 000 369 977ε5+
+ 0, 000 342 181ε6 − 0, 00 291 183ε7 + 0, 0 168 427ε8−
− 0, 0 707 827ε9 + 0, 203 738ε10 − 0, 357 727ε11 + 0, 287 339ε12
]
.
Для оценки точности приближений к решению краевой задачи (6), (7) для уравнения (17),
получаемых с помощью итерационного процесса (16), зафиксируем ε = 0, 1 и увеличим
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
570 С. М. ЧУЙКО
размерность матрицы
ϕ12(t) = col
[
1 , t(1 − t) , t(1 − t)2 , t(1 − t)3 ,
t(1 − t)4 , t(1 − t)5 , t(1 − t)6 , t(1 − t)7 ,
t(1 − t)8 , t(1 − t)9 , t(1 − t)10 , t(1 − t)11
]∗
.
Матрица ϕ12(t) удовлетворяет краевому условию (17) и определяет невырожденную (12×
×12)-матрицу Грама Γ
(
ϕ12(·)
)
, при этом
det
[
Γ
(
ϕ12(·)
)
]
≈ 5, 93 620 · 10−63.
Первое приближение к решению краевой задачи (6), (7) для уравнения (17), получаемое
с помощью метода наименьших квадратов, имеет вид
x1(t, ε) ≈ −0, 0 000 320 264 − t
[
0, 0196 536(1 − t) + 0, 0601 986(1 − t)2−
− 0, 0 718 794(1 − t)3 + 0, 0 869 444(1 − t)4 − 0, 07 242(1 − t)5+
+ 0, 0 594 333(1 − t)6 − 0, 038 034(1 − t)7t + 0, 0 214 742(1 − t)8−
− 0, 00 829 416(1 − t)9 + 0, 00 207 076(1 − t)10 − 0, 000 122 446(1 − t)11
]
.
Второе приближение к решению краевой задачи (6), (7) для уравнения (17)
x2(t, ε) ≈ ξ1(t, ε) + ξ2(t, ε)
определяет вектор
ξ2(t, ε) = −εϕ(t)
[
Γ
(
ϕ(·)
)
]−1
×
×
T
∫
0
Φ∗(t, ε)
[
Z(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε), t, ε) − Z(z0(t, c
∗
r), t, 0) − A1(t)ξ1(t, ε)
]
dt.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 571
Таким образом,
x2(t, ε) ≈ −0, 0 000 328 073 − t
[
0, 0 196 527(1 − t)+
+ 0, 0 601 981(1 − t)2 − 0, 0 718 842(1 − t)3 + 0, 086 969(1 − t)4−
− 0, 072 472(1 − t)5 + 0, 0 595 019(1 − t)6 − 0, 0 381 007(1 − t)7+
+ 0, 0 215 211(1 − t)8 − 0, 00 831 588(1 − t)9+
+ 0, 00 207 643(1 − t)10 − 0, 000 122 812(1 − t)11
]
.
Третье приближение к решению краевой задачи (6), (7) для уравнения (17) в соответ-
ствии со схемой (16)
x3(t, ε) ≈ ξ1(t, ε) + ξ2(t, ε) + ξ3(t, ε)
определяет вектор
ξ3(t, ε) = −εϕ(t)
[
Γ
(
ϕ(·)
)
]−1
×
×
T
∫
0
Φ∗(t, ε)
[
Z(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε) + ξ2(t, ε), t, ε)−
− Z(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε), t, ε) − A1(t)ξ2(t, ε)
]
dt,
при этом
x3(t, ε) ≈ −0, 0 000 328 073 − t
[
0, 0196 527(1 − t) + 0, 0601 981(1 − t)2−
− 0, 0 718 841(1 − t)3 + 0, 086 969(1 − t)4 − 0, 072 472(1 − t)5+
+ 0, 0595 019(1 − t)6 − 0, 0 381 007(1 − t)7 + 0, 0 215 211(1 − t)8−
− 0, 0 083 159(1 − t)9 + 0, 00 207 644(1 − t)10 − 0, 000 122 813(1 − t)11
]
.
Заметим также, что три первых приближения к решению краевой задачи (6), (7) для
уравнения (17), полученные с помощью метода наименьших квадратов, удовлетворяют
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
572 С. М. ЧУЙКО
краевому условию (17). Точность полученных приближений демонстрирует последова-
тельное уменьшение от итерации к итерации норм невязок
∆i(ε) =
{
∥
∥
∥
∥
A(t)zi(t, ε) + f(t) + εZ(z0(t, c
∗
r) + xi(t, ε), t, ε) −
dzi(t, ε)
dt
∥
∥
∥
∥
2
C[0;1]
+
+ ‖ℓzi(·) − α − J(z0(·, c
∗
r) + xi(·, ε), ε)‖
2
Rm
}
1
2
, i = 0, 1, 2, . . . ,
в решении краевой задачи (1), (2). Действительно, при ε = 0, 1 имеем
∆
0
(0, 1) =
∥
∥
∥
∥
A(t)z0(t, c
∗
r) + εZ(z0(t, c
∗
r), t, 0) −
dz0(t, c
∗
r)
dt
∥
∥
∥
∥
C[0;1]
≈ 0, 0196 893,
∆
1
(0, 1) =
∥
∥
∥
∥
A(t)x1(t, ε) + εZ(z0(t, c
∗
r) + x1(t, ε), t, ε) −
dx1(t, ε)
dt
∥
∥
∥
∥
C[0;1]
≈ 1, 29 484 · 10−7,
∆
2
(0, 1) =
∥
∥
∥
∥
A(t)x2(t, ε) + εZ(z0(t, c
∗
r) + x2(t, ε), t, ε) −
dx2(t, ε)
dt
∥
∥
∥
∥
C[0;1]
≈ 2, 20 191 · 10−8,
∆
3
(0, 1) =
∥
∥
∥
∥
A(t)x3(t, ε) + εZ(z0(t, c
∗
r) + x3(t, ε), t, ε) −
dx3(t, ε)
dt
∥
∥
∥
∥
C[0;1]
≈ 2, 20 212 · 10−8.
Далее, используя метод пристрелки, находим более точное приближение к начальному
значению решения краевой задачи (17):
x(0; 0, 1) ≈ −0, 000 032 807 300 636.
Точность полученных с помощью итерационного процесса (16) приближений демонстри-
рует последовательное уменьшение от итерации к итерации отклонений начальных зна-
чений решений уравнения (17) от начальных значений полученных приближений. Дей-
ствительно, при ε = 0, 1 имеем
δ0(ε) = |x(0; 0, 1)| ≈ 0, 000 032 807 300 636,
δ1(ε) = |x1(0; 0, 1) − x(0; 0, 1)| ≈ 7, 80 858 · 10−7,
δ2(ε) = |x2(0; 0, 1) − x(0; 0, 1)| ≈ 1, 98 857 · 10−11,
δ3(ε) = |x3(0; 0, 1) − x(0; 0, 1)| ≈ 8, 50 282 · 10−14.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 573
1. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. —
Utrecht; Boston: VSP, 2004. — XIV + 317 p.
2. Гребеников Е. А., Рябов Ю. А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. — М.: Наука,
1979. — 432 с.
3. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1977. — 744 с.
4. Курпель Н. С. Проекционно-итеративные методы решения операторных уравнений. — Киев: Наук.
думка, 1968. — 244 с.
5. Лучка А. Ю. Проекционно-итеративные методы. — Киев: Наук. думка, 1993. — 288 с.
6. Крылов Н. М. Избранные труды. — Киев: Изд-во АН УССР, 1961. — Т. 1. — 268 с.
7. Кравчук М. Вибранi математичнi працi. — Київ; Нью-Йорк, 2002. — 792 с.
8. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. — М.: Наука, 1965. — 408 с.
9. Гаврилюк I. П., Макаров В. Л. Методи обчислень. — Київ: Вища шк., 1995. — Ч. II. — 432 с.
Получено 28.12.07
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178197 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:21:43Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Чуйко, С.М. 2021-02-18T08:12:26Z 2021-02-18T08:12:26Z 2008 О приближенном решении краевых задач методом наименьших квадратов / С.М. Чуйко // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 4. — С. 554-573. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178197 517.9 З використанням методу найменших квадратiв побудовано нову iтерацiйну процедуру для знаходження розв’язкiв слабконелiнiйної крайової задачi для системи звичайних диференцiальних
 рiвнянь у критичному випадку у виглядi розвинення в узагальнений полiном Фур’є в околi породжуючого розв’язку. Знайдено оцiнку областi значень малого параметра, для яких зберiгається
 збiжнiсть цiєї iтерацiйної процедури до шуканого розв’язку. Using the least square method we construct a new iteration algorithm for finding solutions of a weakly
 nonlinear boundary-value problem for a system of ordinary differential equations in the critical case,
 expanding the solution into a generalized Fourier polynomial in a neighborhood of the generating solution. We find an estimate for values of the small parameter for which convergence of this iteration procedure
 to the sought solution is preserved. ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання О приближенном решении краевых задач методом наименьших квадратов Про наближене розв'язування крайовх задач методом найменших квадратів On approximating solutions of boundary-value problems via the least square method Article published earlier |
| spellingShingle | О приближенном решении краевых задач методом наименьших квадратов Чуйко, С.М. |
| title | О приближенном решении краевых задач методом наименьших квадратов |
| title_alt | Про наближене розв'язування крайовх задач методом найменших квадратів On approximating solutions of boundary-value problems via the least square method |
| title_full | О приближенном решении краевых задач методом наименьших квадратов |
| title_fullStr | О приближенном решении краевых задач методом наименьших квадратов |
| title_full_unstemmed | О приближенном решении краевых задач методом наименьших квадратов |
| title_short | О приближенном решении краевых задач методом наименьших квадратов |
| title_sort | о приближенном решении краевых задач методом наименьших квадратов |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178197 |
| work_keys_str_mv | AT čuikosm opribližennomrešeniikraevyhzadačmetodomnaimenʹšihkvadratov AT čuikosm pronabliženerozvâzuvannâkraiovhzadačmetodomnaimenšihkvadratív AT čuikosm onapproximatingsolutionsofboundaryvalueproblemsviatheleastsquaremethod |