О задачах Гурса и Дирихле для одного уравнения третьего порядка
Вивчається питання про однозначну розв’язнiсть задач Гурса i Дiрiхле для одного рiвняння з
 частинними похiдними третього порядку. Побудовано функцiю Рiмана для лiнiйного рiвняння
 третього порядку з гiперболiчним оператором у головнiй частинi. Дослiджено деякi властивостi функцiй Рi...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178199 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О задачах Гурса и Дирихле для одного уравнения третьего порядка / Т.Д. Джураев, О.С. Зикиров // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 3. — С. 305-315. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860266916058234880 |
|---|---|
| author | Джураев, Т.Д. Зикиров, О.С. |
| author_facet | Джураев, Т.Д. Зикиров, О.С. |
| citation_txt | О задачах Гурса и Дирихле для одного уравнения третьего порядка / Т.Д. Джураев, О.С. Зикиров // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 3. — С. 305-315. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Вивчається питання про однозначну розв’язнiсть задач Гурса i Дiрiхле для одного рiвняння з
частинними похiдними третього порядку. Побудовано функцiю Рiмана для лiнiйного рiвняння
третього порядку з гiперболiчним оператором у головнiй частинi. Дослiджено деякi властивостi функцiй Рiмана, на основi яких доведено теореми iснування та єдиностi розв’язку вказаних
задач.
We study the question of unique solvability of Goursat and Dirichlet problem for a third order partial
differential equation. We construct a Riemann function for a linear third order equation with a hyperbolic
operator in the principal part, study some properties of the Riemann function, and then use them to prove
theorems on existence of a unique solution of the above problems.
|
| first_indexed | 2025-12-07T19:01:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956
О ЗАДАЧАХ ГУРСА И ДИРИХЛЕ
ДЛЯ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Т. Д. Джураев
Ин-т математики АН Республики Узбекистан
Нац. ун-т Узбекистана
Узбекистан, 100174, Ташкент, ВУЗ городок
О. С. Зикиров
Нац. ун-т Узбекистана
Узбекистан, 100174, Ташкент, ВУЗ городок
e-mail: zikirov@yandex.ru
We study the question of unique solvability of Goursat and Dirichlet problem for a third order partial
differential equation. We construct a Riemann function for a linear third order equation with a hyperbolic
operator in the principal part, study some properties of the Riemann function, and then use them to prove
theorems on existence of a unique solution of the above problems.
Вивчається питання про однозначну розв’язнiсть задач Гурса i Дiрiхле для одного рiвняння з
частинними похiдними третього порядку. Побудовано функцiю Рiмана для лiнiйного рiвняння
третього порядку з гiперболiчним оператором у головнiй частинi. Дослiджено деякi властивос-
тi функцiй Рiмана, на основi яких доведено теореми iснування та єдиностi розв’язку вказаних
задач.
10. Уравнения в частных производных третьего порядка лежат в основе математиче-
ских моделей различных явлений и процессов. Многие задачи, связанные с динамикой
почвенной влаги и грунтовой воды [1], распространением акустических волн в слабоне-
однородных средах [2] редуцируются к локальным и нелокальным задачам для уравнений
в частных производных третьего порядка. Например, уравнение
∂
∂t
(utt − uxx) + utt − αuxx = f(x, t)
описывает распространение линейных акустических волн в среде с дисперсией (см., на-
пример, [2]), где α — числовой параметр, принадлежащий интервалу (0, 1).
В односвязной области D = {(x, y) : 0 < x < l, 0 < y < h} независимых переменных
(x, y) рассмотрим линейное уравнение в частных производных третьего порядка(
α
∂
∂x
+ β
∂
∂y
)
uxy + Lu = f(x, y), (1)
где α, β — заданные постоянные, причем α2+β2 6= 0, а L— линейное дифференциальное
выражение вида
Lu ≡ a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + a1(x, y)ux + b1(x, y)uy + c1(x, y)u.
c© Т. Д. Джураев, О. С. Зикиров, 2008
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3 305
306 Т. Д. ДЖУРАЕВ, О. С. ЗИКИРОВ
Коэффициенты и правая часть уравнения (1) являются заданными действительными
функциями в области D.
Заметим, что уравнение (1) соответствует второму и третьему типу уравнений с част-
ными производными третьего порядка, приведенных к каноническому виду [3].
Из (1) при α = 1, β = 0 и b(x, y) = c(x, y) = 0 получаем уравнения, исследованные в
работах [4 – 7].
Без ограничения общности будем предполагать, что α ≥ 0, β ≥ 0, но α2 + β2 6= 0.
Определение. Регулярным в области D решением уравнения (1) называется дей-
ствительная функция u(x, y), имеющая в D все непрерывные частные производные,
которые входят в уравнение, и удовлетворяющая ему в обычном смысле.
В настоящей работе для уравнения (1) исследуются следующие задачи.
Задача G. Найти регулярное в области D решение u(x, y) уравнения (1), удовлетво-
ряющее условиям
u(0, y) = ϕ1(y), ux(0, y) = ϕ2(y), 0 ≤ y ≤ h, (2)
u(x, 0) = ψ1(x), uy(x, 0) = ψ2(x), 0 ≤ x ≤ l, (3)
где ϕi(y), ψi(x), i = 1, 2, — заданные функции, такие, что
ϕ1(0) = ψ1(0), ϕ2(0) = ψ′
2(0), ϕ′1(0) = ψ2(0), ϕ′2(0) = ψ′
2(0).
Задача Дирихле. Найти регулярное в области D решение u(x, y) уравнения (1), удов-
летворяющее условиям
u(0, y) = ϕ̃1(y), u(l, y) = ϕ̃2(y), 0 ≤ y ≤ h, (4)
u(x, 0) = ψ̃1(x), u(x, h) = ψ̃2(x), 0 ≤ x ≤ l, (5)
где ϕ̃i(y), ψ̃i(x), i = 1, 2, — заданные функции, причем выполняются следующие условия
согласования:
ϕ̃1(0) = ψ̃1(0), ϕ̃1(h) = ψ̃2(0), ϕ̃2(0) = ψ̃1(l), ϕ̃2(h) = ψ̃2(l).
Очевидно, что прямые x = const, y = const являются характеристиками уравнения
(1), поэтому задачу (1) – (3) будем называть задачей Гурса.
20. Обратимся сначала к построению явного решения задачи Гурса (1) – (3) с помощью
метода Римана.
Имеет место следующая теорема относительно разрешимости задачи G.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
О ЗАДАЧАХ ГУРСА И ДИРИХЛЕ ДЛЯ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 307
Теорема 1. Если коэффициенты уравнения (1) и заданные функции удовлетворяют
условиям
a(x, y), b(x, y), c(x, y) ∈ C1(D) ∩ C2(D), (6a)
a1(x, y), b1(x, y) ∈ C(D) ∩ C1(D), c1(x, y) ∈ C(D), (6b)
f(x, y) ∈ C1(D), f(0, y) = f(x, 0) = 0, (7a)
ϕi(y) ∈ C2[0, h], ψi(x) ∈ C2[0, l], i = 1, 2, (7b)
то задача G разрешима и притом единственным образом.
Доказательство. Пусть u(x, y), v(x, y) ∈ C2(D)∩C3(D), тогда имеет место тождество
vMu− uM∗v =
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
. (8)
Здесь
P = αvuxy − αvxyu− βvyuy + (av)ux − (av)xu+ (bv)uy − (bv)yu+ (a1v)u,
Q = βvuxy − βvxyu− αvxux + (bv)ux − (bv)xu+ (cv)uy − (cv)yu+ (b1v)u,
M∗v ≡ −
(
α
∂
∂x
+ β
∂
∂y
)
vxy + (av)xx + (2bv)xy + (cv)yy − (a1v)x − (b1v)y + c1v.
Предположим, что P, Q непрерывны в области D, а Px, Qy непрерывны и ограни-
чены в D. Введем функцию Римана v = v(x, y; ξ, η), которая однозначно определяется
условиями
M∗v = 0, (9)
v(ξ, y; ξ, η) = ω1(ξ, y), vx(ξ, y; ξ, η) = exp
− 1
α
y∫
η
a(ξ, t) dt
, (10)
v(x, η; ξ, η) = ω2(x, η), vy(x, η; ξ, η) = exp
− 1
β
x∫
ξ
c(t, η) dt
, (11)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
308 Т. Д. ДЖУРАЕВ, О. С. ЗИКИРОВ
где ω1(ξ, y) и ω2(x, η) являются решениями соответственно следующих задач Коши:
βω1yy(ξ, y)− b(ξ, y)ω1y(ξ, y) + a1(ξ, y)ω1(ξ, y) = 0,
(12)
ω1(ξ, η) = 0, βω1y(ξ, η) = 1,
αω2xx(x, η)− b(x, η)ω2x(x, η) + b1(x, η)ω2(x, η) = 0,
(13)
ω2(ξ, η) = 0, αω2x(ξ, η) = 1.
Очевидно, задачи (12) и (13) однозначно разрешимы.
С помощью функции Римана v = v(x, y; ξ, η) легко получить представление общего
решения уравнения (1) в области D.
Действительно, интегрируя равенство (8) по области D0 = {(x, y) : 0 < x < ξ, 0 <
< y < η}, где (ξ, η) — произвольная фиксированная точка области D, имеем
u(ξ, η) = αvx(0, η; ξ, η)u(0, η) + βvy(ξ, 0; ξ, η)u(ξ, 0)−
ξ∫
0
[βv(x, 0; ξ, η)uxy(x, 0)+
+ c(x, 0)v(x, 0; ξ, η)uy(x, 0) +A(x; ξ, η)ux(x, 0) +B(x; ξ, η)u(x, 0)] dx−
−
η∫
0
[αv(0, y; ξ, η)uxy(0, y) + a(0, y)v(0, y; ξ, η)ux(0, y) +A1(y; ξ, η)uy(0, y)+
+B1(y; ξ, η)u(0, y)] dy +
ξ∫
0
η∫
0
v(x, y; ξ, η)f(x, y) dxdy. (14)
Здесь
A(x, ξ, η) = −αvx(x, 0; ξ, η) + b(x, 0)v(x, 0; ξ, η),
B(x; ξ, η) = −βvxy(x, 0; ξ, η)− b(x, 0)vx(x, 0; ξ, η)−
− c(x, 0)vy(x, 0; ξ, η)− [bx(x, 0) + c(x, 0)− b1(x, 0)]v(x, 0; ξ, η),
A1(y; ξ, η) = −βvy(0, y; ξ, η) + b(0, y)v(0, y; ξ, η),
B1(y; ξ, η) = −αvxy(0, y; ξ, η)− a(0, y)vx(0, y; ξ, η)−
− b(0, y)vy(0, y; ξ, η)− [ax(0, y) + by(0, y)− a1(0, y)]v(0, y; ξ, η).
Формулу (14) можно рассматривать как представление общего решения уравнения
(1), если считать, что u(0, y), ux(0, y), u(x, 0) и uy(x, 0) — произвольные непрерывно диф-
ференцируемые функции.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
О ЗАДАЧАХ ГУРСА И ДИРИХЛЕ ДЛЯ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 309
В силу граничных условий (2), (3) из формулы (14) получим представление решения
задачи Гурса для уравнения (1) в виде
u(ξ, η) = αvx(0, η; ξ, η)ϕ1(η) + βvy(ξ, 0; ξ, η)ψ1(ξ)−
ξ∫
0
[βv(x, 0; ξ, η)ψ′
2(x)+
+ c(x, 0)v(x, 0; ξ, η)ψ2(x) +A(x; ξ, η)ψ′
1(x) +B(x; ξ, η)ψ1(x)]dx−
−
η∫
0
[αv(0, y; ξ, η)ϕ′2(y) + a(0, y)v(0, y; ξ, η)ϕ2(y) +A1(y; ξ, η)ϕ′1(y)+
+B1(y; ξ, η)ϕ1(y)] dy +
ξ∫
0
η∫
0
v(x, y; ξ, η)f(x, y)dxdy. (15)
Таким образом, формула (15) дает решения задачи G, если известно v(x, y; ξ, η).
Покажем, что решение задачи (9) – (13) существует и единственно.
Теорема 2. Если коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют условиям (6), то функ-
ция Римана v(x, y) для оператора M существует, единственна и может быть постро-
ена методом последовательных приближений.
Доказательство. Интегрируя уравнение (9) по x в пределах от ξ до x, по y в пределах
от η до y, имеем
−
(
α
∂
∂x
+ β
∂
∂y
)
v(x, y) + b(x, y)v(x, y) +
x∫
ξ
y∫
η
L∗v(t, τ)dτ dt = α+ β, (16)
где
L∗v ≡ (av)xx + (2bv)xy + (cv)yy − (a1v)x − (b1v)y + c1v.
Из условий (10) и (11) следуют равенства
αvxy + a(x, y)vx = 0, βvxy + c(x, y)vy = 0.
В силу этих равенств после ряда преобразований из (16) получаем
v(x, y) =
1
2(α2 + β2)
αx+βy∫
βx−αy
K0v(x(s), y(s)) ds+ γ(x, y). (17)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
310 Т. Д. ДЖУРАЕВ, О. С. ЗИКИРОВ
Здесь
K0v(x(s), y(s)) = 2b(x(s), y(s))v(x(s), y(s)) +
x(s)∫
ξ
[cy(t, y(s))− b1(t, y(s))]v(t, y(s))ds+
+
x(s)∫
η
[ax(x(s), τ)− a1(x(s), τ)]v(x(s), τ)dτ +
x(s)∫
ξ
y(s)∫
η
c1(t, τ)v(t, τ)dτdt,
x(s) =
1
α2 + β2
(
β2x− αβy + αs
)
, y(s) =
1
α2 + β2
(
−αβx+ α2y + βs
)
,
γ(x, y) — известная функция.
Таким образом, задача (10), (11) для уравнения (9) эквивалентна интегральному урав-
нению (17).
Очевидно, что интегральный оператор
Kv =
1
2(α2 + β2)
αx+βy∫
βx−αy
K0v(x(s), y(s))ds+ γ(x, y)
действует из C(D) в C(D).
Легко видеть, что для v(x, y) = v1(x, y)− v2(x, y) имеет место оценка
|Kv| ≤ 1
2(α2 + β2)
M(αx+ βy)
[
(x− ξ)2 + (y − η)2
]
‖v‖,
где
‖v‖ = sup
D
|v(x, y)|, M = max{k1, k2, k3, k4}, k1 = sup
D
|cy(x, y)− b1(x, y)|,
k2 = sup
D
|ax(x, y)− a1(x, y)|, k3 = sup
D
|c1(x, y)|, k4 = sup
D
|2b(x, y)|.
Далее,
∣∣K2v
∣∣ ≤ 1
22(α2 + β2)2
M2
2!
(αx+ βy)2
[
(x− ξ)2 + (y − η)2
]2 ‖v‖.
Для n-й степени оператора K имеем
|Knv| ≤ 1
2n(α2 + β2)n
Mn
n!
(αx+ βy)n
[
(x− ξ)2 + (y − η)2
]n ‖v‖.
Отсюда видно, что можно подобрать n такое, что
1
2n(α2 + β2)n
Mn
n!
(αl + βh)n [ln + hn] < 1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
О ЗАДАЧАХ ГУРСА И ДИРИХЛЕ ДЛЯ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 311
Для этого n отображение Kn является сжимающим.
Из обобщенной теоремы о неподвижной точке следует, что интегральное уравнение
(17) имеет решение и притом единственное.
Теорема 2 доказана.
Из построения функций Римана v(x, y; ξ, η) непосредственно следует (см. [5]) спра-
ведливость следующих утверждений.
Лемма 1. Если
a1(x, y) < 0, b1(x, y) < 0 ∀(x, y) ∈ D, (18)
то функции v(x, y; ξ, η) удовлетворяют неравенствам
v(x, η; l, η) < 0 ∀x ∈ [0, l), αvx(0, η; l, η) > 1. (19)
Доказательство. Рассмотрим задачу
αvxx(x, η; l, η)− b(x, η)vx(x, η; l, η) + b1(x, η)v(x, η; l, η) = 0, (20)
v(x, η; l, η)|x=l = 0, αvx(x, η; l, η)|x=l = 1. (21)
Уравнение (20) запишем в виде
∂
∂x
[
αp(x; l, η)
∂vx(x, η; l, η)
∂x
]
+ q(x, η)v(x, η; l, η) = 0, (22)
где
p(x; l, η) = exp
l∫
x
b(t, η)dt
, q(x, η) = p(x; l, η)b1(x, η).
Пусть v = v(x, η; l, η), 0 ≤ x < l, — решение уравнения (22), определяемое условия-
ми (21). Тогда в силу принципа максимума и принципа Заремба – Жиро из (22) получаем
v(x, η; l, η) < 0 ∀x ∈ [0, l).
Интегрируя уравнение (22) в пределах от 0 до l и учитывая (21), имеем
αp(x; l, η)vx(0, η; l, η) = 1 +
l∫
0
q(t, η)v(t, η; l, η) dt.
Поскольку v(x, η; l, η) < 0 и b1(x, η) < 0, из последного равенства получаем
αvx(0, η; l, η) > 1.
Лемма 2. Если выполнены условия (18), то функции v(x, y; ξ, η) удовлетворяют не-
равенствам
v(ξ, y; ξ, h) < 0 ∀ y ∈ [0, h), βvy(ξ, 0; ξ, h) > 1.
Лемма 2 доказывается так же, как и лемма 1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
312 Т. Д. ДЖУРАЕВ, О. С. ЗИКИРОВ
Для доказательства того, что функция (15) удовлетворяет уравнению (1) и условиям
(2), (3), достаточно установить существование решения уравнения (1) при однородных
краевых условиям ϕi(y) = 0, ψi(x) = 0, i = 1, 2.
В самом деле, введем вместо функции u(x, y) новую неизвестную функцию
z(x, y) = u(x, y)−
{
ϕ1(y) + x
[
ϕ2(y)− ψ′
1(0)
]
+ ψ1(x) + y [ψ2(x)− ψ2(0)]− ψ′
2xy − ψ1(0)
}
,
которая удовлетворяет уравнению (1) с другой правой частью и однородным условиям
z(0, y) = zx(0, y) = z(x, 0) = zy(x, 0) = 0. (23)
Используя свойство функции Римана [5], непосредственно проверкой нетрудно убе-
диться, что функция, определенная равенством (15), удовлетворяет уравнению (1) и одно-
родным условиям (23).
Таким образом, однозначная разрешимость задачи Гурса доказана.
30. Рассмотрим теперь задачу Дирихле (4), (5) для уравнения (1).
Справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Пусть коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют условиям (6) и выпол-
нены неравенства:
1) a(x, y)ξ2 + 2b(x, y)ξη + c(x, y)η2 ≥ 0 ∀ξ, η ∈ D;
2) axx + 2bxy + cyy − a1x − b1y + 2c1 < 0 ∀(x, y) ∈ D.
Тогда регулярное решение u(x, y) задачи Дирихле единственно.
Доказательство. Покажем, что однородная задача Дирихле, т. е.
f(x, y) = 0, ϕi(y) = ψi(x) = 0, i = 1, 2,
имеет лишь тривиальное решение.
Доказательство этого факта проведем на основании интегрального тождества. Умно-
жая уравнение (1) на функцию u(x, y) и интегрируя по частям в области D, имеем∫ ∫
D
u
(
α
∂
∂x
+ β
∂
∂y
)
uxy dxdy +
∫ ∫
D
uLudxdy = 0.
Преобразуем подынтегральные выражения следующим образом:
u
(
α
∂
∂x
+ β
∂
∂y
)
uxy =
∂
∂x
(
αuuxy −
β
2
u2
y
)
+
∂
∂y
(
βuuxy −
α
2
u2
x
)
,
u(a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy) =
∂
∂x
[
auux + buuy −
1
2
(ax + by)u2
]
+
+
∂
∂y
[
buux + cuuy −
1
2
(bx + cy)u2
]
−
(
au2
x + 2buxuy + cu2
y
)
+
1
2
(axx + 2bxy + cyy)u2,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
О ЗАДАЧАХ ГУРСА И ДИРИХЛЕ ДЛЯ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 313
u(a(x, y)ux + b1(x, y)uy + c1(x, y)u) =
1
2
[
∂
∂x
(a1u)2 +
∂
∂y
(b1u)2
]
− 1
2
(a1x + b1y − 2c1)u2.
Применяя формулу Грина к последнему интегралу и учитывая однородные граничные
условия, находим∫ ∫
D
(
a(x, y)u2
x + 2b(x, y)uxuy + c(x, y)u2
y
)
dxdy−
− 1
2
∫ ∫
D
(axx + 2bxy + cyy − a1x − b1y + 2c1)u2 dxdy = 0.
Отсюда в силу условий теоремы 1 следует, что u(x, y) ≡ 0 в области D.
Таким образом, теорема 3 доказана.
Имеет место следующая теорема существования решения задачи Дирихле.
Теорема 4. Пусть выполнены условия (6) и
ϕ̃i(y) ∈ C2[0, h], ψ̃i(x) ∈ C2[0, l], i = 1, 2.
Тогда регулярное в области D решение u(x, y) задачи Дирихле существует.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную задачу Гурса для уравнения (1) с крае-
выми условиями
u(0, y) = ϕ̃1(y), ux(0, y) = ϕ(y), 0 ≤ y ≤ h, (24)
u(x, 0) = ψ̃1(x), uy(x, 0) = ψ(x), 0 ≤ x ≤ l, (25)
где ϕ(y), ψ(x) — пока неизвестные функции.
Известно, что при выполнении условий теорем 2 и 4 решение вспомогательной задачи
(1), (24), (25) существует и представимо в виде (15).
Для определение неизвестных функций ϕ(y), ψ(x) воспользуемся краевыми услови-
ями u(l, y) = ϕ̃2(y), u(x, h) = ψ̃2(x). Тогда получим следующую систему интегральных
уравнений:
αv(0, η; l, η)ϕ(η) +
η∫
0
k1(y, η)ϕ(y)dy +
l∫
0
k4(x, η)ψ(x)dx = g1(η), (26)
βv(ξ, 0; ξ, h)ψ(ξ) +
ξ∫
0
k3(x, ξ)ψ(x)dx+
h∫
0
k4(y, ξ)ϕ(y)dy = g2(ξ). (27)
Здесь
k1(y, η) = a(0, y)v(0, y; l, η)− αvy(0, y; l, η), k2(x, η) = c(x, 0)v(x, 0; l, η)− βvx(x, 0; l, η),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
314 Т. Д. ДЖУРАЕВ, О. С. ЗИКИРОВ
k3(x, ξ) = c(x, 0)v(x, 0; ξ, h)− βvx(x, 0; ξ, h), k4(y, ξ) = a(0, y)v(0, y; ξ, h)− αvx(0, y; ξ, h),
а g1(η), g2(ξ) — некоторые известные непрерывно дифференцируемые функции.
Обращая вольтерровскую часть уравнения (26) относительно ϕ(η), имеем
ϕ(η) = g1(η)−
η∫
0
K1(x, η)ψ(x) dx, (28)
где
g1(η) =
g1(η)
αv(0, η; l, η)
−
η∫
0
R1(y, η)
g1(y)
αv(0, y; l, y)
dy,
K1(x, η) =
k2(x, η)
αv(0, η; l, η)
+
η∫
0
R1(y, η)
k2(x, y)
αv(0, y; l, y)
dy,
R1(y, η) — резольвента ядра k1(y, η)/(αv(0, η; l, η)).
Подставляя значение ϕ(η) в уравнение (27), находим
βv(ξ, 0; ξ, h)ψ(ξ) +
ξ∫
0
k3(x, ξ)ψ(x) dx+
l∫
0
K2(x, ξ)ψ(x) dx = g2(ξ). (29)
Здесь
K2(x, ξ) =
h∫
0
k4(y, ξ)K1(x, y)dy,
g2(ξ) = g2(ξ)−
h∫
0
k4(y, ξ)g1(y) dy.
Наконец, обращая вольтерровскую часть уравнения (29), получаем интегральное урав-
нение Фредгольма второго рода
ψ(ξ) +
l∫
0
K3(x, ξ)ψ(x)dx = g3(ξ), (30)
где
K3(x, ξ) =
K2(x, ξ)
βv(ξ, 0; ξ, h)
+
ξ∫
0
R3(x, ξ1)
K2(ξ1, ξ)
βv(ξ1, 0; ξ1, h)
dξ1,
g3(ξ) =
g2(ξ)
βv(ξ, 0; ξ, h)
+
ξ∫
0
R3(x, ξ)
g2(x)
βv(x, 0;x, h)
dx,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
О ЗАДАЧАХ ГУРСА И ДИРИХЛЕ ДЛЯ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 315
R3(x, ξ) — резольвента ядра k3(x, ξ)/(βv(ξ, 0; ξ, h)).
В силу условий теоремы 4 заметим, что g3(ξ) ∈ C1[0, l], гладкость ядра K3(x, ξ) следу-
ет из свойств функции Римана.
Таким образом, разрешимость задачи Дирихле для уравнения (1) эквивалентно сведе-
на к разрешимости интегрального уравнения (30).
В силу единственности решения задачи Дирихле и альтернативы Фредгольма уравне-
ние (30) имеет единственное решение ψ(ξ) из класса C1[0, l].
Таким образом, функция ψ(ξ) найдена. Тогда другая неизвестная функция ϕ(η) опре-
деляется по формуле (28). Подставляя значения этих функций в представление (15), пол-
ностью определяем решение задачи Дирихле для уравнения (1).
Теорема 4 доказана.
1. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. — М.: Высш. шк., 1995. — 301 с.
2. Руденко О. В., Солуян С. Н. Теоретические основы нелинейной акустики. — М.: Наука, 1975. — 287 с.
3. Джураев Т. Д., Попелек Я. О классификации и приведении к каноническому виду уравнений
с частными производными третьего порядка // Дифференц. уравнения. — 1991. — 27, № 10. — С. 1734 –
1745.
4. Жегалов В. И., Миронов А. Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными.
— Казань: Казан. мат. о-во, 2001. — 226 с.
5. Шхануков М. Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при
моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Дифференц. уравнения. — 1982. — 18,
№ 4. — С. 689 – 699.
6. Colton D. Pseudoparabolic equations in one space variable // J. Different. Equat. — 1972. — 12, № 3. —
P. 559 – 565.
7. Randell W. The construction of solutions to pseudoparabolic equations in noncylindrical domains // Ibid. —
1978. — 27, № 3. — P. 394 – 404.
Получено 05.10.07
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178199 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T19:01:35Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Джураев, Т.Д. Зикиров, О.С. 2021-02-18T08:14:38Z 2021-02-18T08:14:38Z 2008 О задачах Гурса и Дирихле для одного уравнения третьего порядка / Т.Д. Джураев, О.С. Зикиров // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 3. — С. 305-315. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178199 517.956 Вивчається питання про однозначну розв’язнiсть задач Гурса i Дiрiхле для одного рiвняння з
 частинними похiдними третього порядку. Побудовано функцiю Рiмана для лiнiйного рiвняння
 третього порядку з гiперболiчним оператором у головнiй частинi. Дослiджено деякi властивостi функцiй Рiмана, на основi яких доведено теореми iснування та єдиностi розв’язку вказаних
 задач. We study the question of unique solvability of Goursat and Dirichlet problem for a third order partial
 differential equation. We construct a Riemann function for a linear third order equation with a hyperbolic
 operator in the principal part, study some properties of the Riemann function, and then use them to prove
 theorems on existence of a unique solution of the above problems. ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання О задачах Гурса и Дирихле для одного уравнения третьего порядка Про задачі Гурса та Діріхлє для одного рівняння третього порядку On Goursat and Dirichlet problems for a third order equation Article published earlier |
| spellingShingle | О задачах Гурса и Дирихле для одного уравнения третьего порядка Джураев, Т.Д. Зикиров, О.С. |
| title | О задачах Гурса и Дирихле для одного уравнения третьего порядка |
| title_alt | Про задачі Гурса та Діріхлє для одного рівняння третього порядку On Goursat and Dirichlet problems for a third order equation |
| title_full | О задачах Гурса и Дирихле для одного уравнения третьего порядка |
| title_fullStr | О задачах Гурса и Дирихле для одного уравнения третьего порядка |
| title_full_unstemmed | О задачах Гурса и Дирихле для одного уравнения третьего порядка |
| title_short | О задачах Гурса и Дирихле для одного уравнения третьего порядка |
| title_sort | о задачах гурса и дирихле для одного уравнения третьего порядка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178199 |
| work_keys_str_mv | AT džuraevtd ozadačahgursaidirihledlâodnogouravneniâtretʹegoporâdka AT zikirovos ozadačahgursaidirihledlâodnogouravneniâtretʹegoporâdka AT džuraevtd prozadačígursatadíríhlêdlâodnogorívnânnâtretʹogoporâdku AT zikirovos prozadačígursatadíríhlêdlâodnogorívnânnâtretʹogoporâdku AT džuraevtd ongoursatanddirichletproblemsforathirdorderequation AT zikirovos ongoursatanddirichletproblemsforathirdorderequation |