Усреднение нечетких дифференциальных уравнений с запаздыванием
Для нечiтких диференцiальних рiвнянь iз загаюванням розглянуто питання обґрунтування схем повного та часткового усереднення на скiнченному промiжку. For fuzzy differential equations with delay, we substantiate schemes for a complete and partial averaging over a finite interval....
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Дата: | 2008 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178200 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Усреднение нечетких дифференциальных уравнений с запаздыванием / О.Д. Кичмаренко, Н.В. Скрипник // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 3. — С. 316-328. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178200 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Кичмаренко, О.Д. Скрипник, Н.В. 2021-02-18T08:14:51Z 2021-02-18T08:14:51Z 2008 Усреднение нечетких дифференциальных уравнений с запаздыванием / О.Д. Кичмаренко, Н.В. Скрипник // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 3. — С. 316-328. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178200 517.9 Для нечiтких диференцiальних рiвнянь iз загаюванням розглянуто питання обґрунтування схем повного та часткового усереднення на скiнченному промiжку. For fuzzy differential equations with delay, we substantiate schemes for a complete and partial averaging over a finite interval. ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Усреднение нечетких дифференциальных уравнений с запаздыванием Усереднення нечітких диференціальних рівнянь із загаюванням Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Усреднение нечетких дифференциальных уравнений с запаздыванием |
| spellingShingle |
Усреднение нечетких дифференциальных уравнений с запаздыванием Кичмаренко, О.Д. Скрипник, Н.В. |
| title_short |
Усреднение нечетких дифференциальных уравнений с запаздыванием |
| title_full |
Усреднение нечетких дифференциальных уравнений с запаздыванием |
| title_fullStr |
Усреднение нечетких дифференциальных уравнений с запаздыванием |
| title_full_unstemmed |
Усреднение нечетких дифференциальных уравнений с запаздыванием |
| title_sort |
усреднение нечетких дифференциальных уравнений с запаздыванием |
| author |
Кичмаренко, О.Д. Скрипник, Н.В. |
| author_facet |
Кичмаренко, О.Д. Скрипник, Н.В. |
| publishDate |
2008 |
| language |
Russian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Усереднення нечітких диференціальних рівнянь із загаюванням |
| description |
Для нечiтких диференцiальних рiвнянь iз загаюванням розглянуто питання обґрунтування схем
повного та часткового усереднення на скiнченному промiжку.
For fuzzy differential equations with delay, we substantiate schemes for a complete and partial averaging
over a finite interval.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178200 |
| citation_txt |
Усреднение нечетких дифференциальных уравнений с запаздыванием / О.Д. Кичмаренко, Н.В. Скрипник // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 3. — С. 316-328. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kičmarenkood usrednenienečetkihdifferencialʹnyhuravneniiszapazdyvaniem AT skripniknv usrednenienečetkihdifferencialʹnyhuravneniiszapazdyvaniem AT kičmarenkood userednennânečítkihdiferencíalʹnihrívnânʹízzagaûvannâm AT skripniknv userednennânečítkihdiferencíalʹnihrívnânʹízzagaûvannâm |
| first_indexed |
2025-11-25T02:17:31Z |
| last_indexed |
2025-11-25T02:17:31Z |
| _version_ |
1850504521621438464 |
| fulltext |
УДК 517.9
УСРЕДНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
О. Д. Кичмаренко, Н. В. Скрипник
Одес. нац. ун-т
Украина, 65026, ул. Дворянская, 2
e-mail: k.olga@paco.net
talie@ukr.net
For fuzzy differential equations with delay, we substantiate schemes for a complete and partial averaging
over a finite interval.
Для нечiтких диференцiальних рiвнянь iз загаюванням розглянуто питання обґрунтування схем
повного та часткового усереднення на скiнченному промiжку.
Работа L. A. Zadeh [1] (1965 г.) положила начало развитию теории нечетких множеств. В
1983 г. M. L. Puri и D. A. Ralescu [2] ввели понятие производной и интеграла для нечетких
отображений. В 1987 г. O. Kaleva [3] рассмотрел нечеткие дифференциальные уравнения,
которые в дальнейшем изучались в [4 – 7].
Основные определения и понятия. Пусть conv (Rn) — пространство непустых ком-
пактных выпуклых подмножеств Rn. Метрика в этом пространстве определяется с по-
мощью расстояния по Хаусдорфу
h(F,G) = max{sup
f∈F
inf
g∈G
||f − g||, sup
g∈G
inf
f∈F
||f − g||},
где под || · || понимается евклидова норма в пространстве Rn. |F | = h(F, 0) — модуль
множества F.
Введем в рассмотрение пространство En отображений u : Rn → [0, 1], удовлетворя-
ющих следующим условиям:
1) u нормально, т. е. существует вектор x0 ∈ Rn такой, что u(x0) = 1;
2) u нечетко выпукло, т. е. для любых x, y ∈ Rn и любого λ ∈ [0, 1] выполняется
неравенство u(λx + (1− λ)y) ≥ min{u(x), u(y)};
3) u полунепрерывно сверху, т. е. для любой точки x0 ∈ Rn и любого ε > 0 существует
δ(x0, ε) > 0 такое, что для всех x ∈ Rn, удовлетворяющих условию ‖x − x0‖ < δ, имеет
место неравенство u(x) < u(x0) + ε;
4) замыкание множества {x ∈ Rn : u(x) > 0} компактно.
Нулем в пространстве En является 0̂(y) =
{
1, y = 0,
0, y ∈ Rn\0.
Определение 1. α-Срезкой [u]α отображения u ∈ En при 0 < α ≤ 1 назовем множе-
ство {x ∈ Rn : u(x) ≥ α}. Нулевой срезкой отображения u ∈ En назовем замыкание
множества {x ∈ Rn : u(x) > 0}.
Теорема 1 [8]. Если u ∈ En, то:
c© О. Д. Кичмаренко, Н. В. Скрипник, 2008
316 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
УСРЕДНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 317
1) [u]α ∈ conv (Rn) для всех 0 ≤ α ≤ 1;
2) [u]α2 ⊂ [u]α1 для всех 0 ≤ α1 ≤ α2 ≤ 1;
3) если {αk} ⊂ [0, 1] — неубывающая последовательность, сходящаяся к α > 0, то
[u]α =
⋂
k≥1
[u]αk .
Наоборот, если {Aα : 0 ≤ α ≤ 1}— семейство подмножеств Rn, удовлетворяющих
условиям 1 – 3, то существует u ∈ En такое, что [u]α = Aα для 0 < α ≤ 1 и [u]0 =
=
⋃
0<α≤1
Aα ⊂ A0.
Определим в пространстве En метрику D : En × En → [0,+∞), положив
D(u, v) = sup
0≤α≤1
h([u]α, [v]α).
Пусть I — промежуток в R.
Определение 2 [8]. Отображение F : I → En называется сильноизмеримым на I,
если для всех α ∈ [0, 1] многозначное отображение Fα(t) = [F (t)]α измеримо.
Определение 3 [8]. Отображение F : I → En называется интегрально ограничен-
ным на I, если существует интегрируемая по Лебегу функция k(t) такая, что ‖x‖ ≤
≤ k(t) для всех x ∈ F0(t).
Определение 4 [8]. Интегралом от отображения F : I → En по множеству I на-
зывается элемент G ∈ En такой, что [G]α =
∫
I Fα(t)dt для всех 0 < α ≤ 1, где интег-
рал от многозначного отображения Fα(t) понимается в смысле Ауманна [9].
Теорема 2 [8]. Если отображение F : I → En сильноизмеримо и интегрально огра-
ничено, то F интегрируемо на I.
Теорема 3 [8]. Пусть F,G : I → En интегрируемы на I и λ ∈ R. Тогда:
1)
∫
I
(F (t) + G(t))dt =
∫
I
F (t)dt +
∫
I
G(t)dt;
2)
∫
I
λF (t)dt = λ
∫
I
F (t)dt;
3) D
(∫
I
F (t)dt,
∫
I
G(t)dt
)
≤
∫
I
D(F (t), G(t))dt.
Определение 5 [8]. Отображение F : I → En называется слабонепрерывным в точ-
ке t0 ∈ I, если для любого фиксированного α ∈ [0, 1] и произвольного ε > 0 существует
δ(ε, α) > 0 такое, что h(Fα(t), Fα(t0)) < ε для всех t ∈ I таких, что |t− t0| < δ(ε, α).
Определение 6. Отображение F : I × En × . . . × En → En называется слабонепре-
рывным в точке (t0, x10, . . . , xm0) ∈ I × En × . . .× En, если для любого фиксированного
α ∈ [0, 1] и произвольного ε > 0 существует δ(ε, α) > 0 такое, что для всех t ∈ I,
xi ∈ En таких, что |t − t0| < δ(ε, α) и h([xi]α, [xi0]α) < δ(ε, α), i = 1,m, справедлива
оценка h([F (t, x1, . . . , xm)]α, [F (t, x10, . . . , xm0)]α) < ε.
Определение 7 [8]. Отображение F : I → En называется дифференцируемым в
точке t0 ∈ I, если для всех α ∈ [0, 1] многозначное отображение Fα(t) дифференцируе-
мо по Хукухаре [10] в точке t0, его производная равна DFα(t0) и семейство множеств
{DFα(t0) : α ∈ [0, 1]} определяет отображение F ′(t0) ∈ En.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
318 О. Д. КИЧМАРЕНКО, Н. В. СКРИПНИК
Если отображение F : I → En дифференцируемо в точке t0 ∈ I, то F ′(t0) называ-
ют нечеткой производной F (t) в точке t0.
Теорема 4 [8]. Пусть отображение F : I → En дифференцируемо и его нечеткая
производная F ′ : I → En интегрируема на I. Тогда для любого t ∈ I имеем
F (t) = F (t0) +
t∫
t0
F ′(s) ds.
Определение 8. Говорят, что отображение F : I × En × . . .× En → En удовлетво-
ряет условию Липшица по переменным x1, . . . , xm, если существует постоянная λ > 0
такая, что для любой пары (t, x1, . . . , xm), (t, y1, . . . , ym) ∈ I×En×. . .×En и всех α ∈ [0, 1]
выполняется неравенство
h([F (t, x1, . . . , xm)]α, [F (t, y1, . . . , ym)]α) ≤ λ
m∑
i=1
h([xi]α, [yi]α).
Очевидно, что если отображение F : I ×En× . . .×En → En удовлетворяет условию
Липшица по переменным x1, . . . , xm с постоянной λ > 0, то для любой пары (t, x1, . . . , xm),
(t, y1, . . . , ym) ∈ I × En × . . .× En имеет место неравенство
D(F (t, x1, . . . , xm), F (t, y1, . . . , ym)) ≤ λ
m∑
i=1
D(xi, yi).
Рассмотрим нечеткое дифференциальное уравнение с запаздыванием
x′(t) = F (t, x(t), x(α(t))), x(t0) = x0, (1)
где F : I × En × . . .× En → En, t0 ≤ α(t) ≤ t.
Определение 9. Отображение x : I0 → En, t0 ∈ I0 ⊂ I, называется решением
задачи (1), если оно слабонепрерывно и для всех t ∈ I0 удовлетворяет интегральному
уравнению
x(t) = x0 +
t∫
t0
F (s, x(s), x(α(s)))ds.
Теорема 5. Пусть F — слабонепрерывная функция в окрестности точки (t0, x0, x0),
удовлетворяющая условию Липшица с постоянной λ по всем переменным, начиная со
второй. Тогда существует единственное решение x(t) задачи (1) при t0 ≤ t ≤ t0 +σ, где
σ достаточно мало.
Схема полного усреднения. Рассмотрим нечеткое дифференциальное уравнение, со-
держащее переменное запаздывание
x′(t) = εF (t, x(t), x(α(t))) , x(0) = x0, (2)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
УСРЕДНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 319
где ε — малый параметр, t ∈ R+, x : R+ → En, F : R+ × En × En → En.
Поставим в соответствие уравнению (2) усредненное уравнение
y′(t) = εF (y(t), y(α(t))) , y(0) = x0, (3)
где
F (x, z) = lim
T→∞
1
T
t+T∫
t
F (s, x, z)ds. (4)
Теорема 6. Пусть в области Q = {t ≥ 0;x, y ∈ S ⊂ En} выполнены следующие усло-
вия:
1) отображение F (t, x, z) слабонепрерывно по t, удовлетворяет условию Липшица
по x, z с постоянной λ, ограничено постоянной M, т. е.
D(F (t, x, z) , 0̂) ≤ M, D
(
F
(
t, x′, z′
)
, F
(
t, x′′, z′′
))
≤ λ
[
D
(
x′, x′′
)
+ D
(
z′, z′′
)]
;
2) предел (4) существует равномерно относительно x, z ∈ S, t ≥ 0;
3) функция α(t) равномерно непрерывна при t ≥ 0 и 0 ≤ α(t) ≤ t;
4) решение y(t) уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию y(0) = x0 ∈
∈ S′ ⊂ S, определено при t ≥ 0 и вместе с ρ-окрестностью принадлежит области S.
Тогда для любых η > 0 и L > 0 существует ε (η, L) такое, что при всех ε ∈ (0, ε0] и
t ∈
[
0, Lε−1
]
справедлива оценка
D (x(t), y(t)) ≤ η, (5)
где x(t), y(t) — решения уравнений соответственно (2) и (3) такие, что x(0) = y(0) =
= x0.
Доказательство. Предварительно заметим, что многозначное отображение F (y, z)
удовлетворяет условию Липшица по переменным y, z с постоянной λ и ограничено по-
стоянной M. Действительно, в силу условия 2 теоремы для любого δ > 0 можно указать
T (δ) > 0 такое, что при всех T ≥ T (δ) справедливы оценки
D(F (y, z), 0̂) ≤ D
F (y, z),
1
T
T∫
0
F (s, y, z)ds
+ D
1
T
T∫
0
F (s, y, z)ds, 0̂
<
< δ +
1
T
T∫
0
D(F (s, y, z), 0̂)ds ≤ δ + M,
D(F (y, z), F (y′, z′)) ≤ D
F (y, z),
1
T
T∫
0
F (s, y, z)ds
+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
320 О. Д. КИЧМАРЕНКО, Н. В. СКРИПНИК
+ D
1
T
T∫
0
F (s, y, z)ds,
1
T
T∫
0
F (s, y′, z′)ds
+ D
F (y, z′),
1
T
T∫
0
F (s, y, z′)ds
<
< 2δ +
1
T
T∫
0
D(F (s, y, z), F (s, y′, z′))ds ≤ 2δ + λ
[
D(y, y′) + D(z, z′)
]
.
Поскольку значение δ произвольно, в пределе получим
D(F (y, z), 0̂) ≤ M, D(F (y, z), F (y, z′)) ≤ λ
[
D(y, y′) + D(z, z′)
]
.
Согласно определению решения уравнений (2) и (3) являются слабонепрерывными
функциями, удовлетворяющими интегральным уравнениям
x(t) = x0 + ε
t∫
0
F (s, x(s), x(α(s)))ds, y(t) = x0 + ε
t∫
0
F (y(s), y(α(s)))ds.
Тогда
D (x (t) , y (t)) = D
x0 + ε
t∫
0
F (s, x (s) , x (α (s))) ds, x0 + ε
t∫
0
F (y (s) , y (α (s))) ds
=
= εD
t∫
0
F (s, x (s) , x (α (s))) ds,
t∫
0
F (y (s) , y (α (s))) ds
≤
= εD
t∫
0
F (s, x (s) , x (α (s))) ds,
t∫
0
F (s, y (s) , y (α (s))) ds
+
+ εD
t∫
0
F (s, y (s) , y (α (s))) ds,
t∫
0
F (y (s) , y (α (s))) ds
≤
≤ ελ
t∫
0
[D (x(s), y(s)) + D (x (α (s)) , y (α (s)))] ds + γ (ε) , (6)
где
γ(ε) = max
t
β(t, ε), β (t, ε) = εD
t∫
0
F (s, y (s) , y (α (s))) ds,
t∫
0
F (y (s) , y (α (s))) ds
.
Пусть
δ (t) = max
0≤s≤t
D (x(s), y(s)) . (7)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
УСРЕДНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 321
Учитывая (7), записываем (6) в виде
δ (t) ≤ 2λε
t∫
0
δ(s)ds + γ (ε) . (8)
Разобьем сегмент
[
0, Lε−1
]
на m равных частей точками ti =
iL
mε
, i = 0,m. Пусть
t ∈ [tk, tk+1]. Оценим величину β (t, ε) , воспользовавшись свойствами метрики D :
β (t, ε) = εD
t∫
0
F (s, y (s) , y (α (s))) ds,
t∫
0
F (y (s) , y (α (s))) ds
=
= εD
k−1∑
i=0
ti+1∫
ti
F (s, y (s) , y (α (s))) ds +
t∫
tk
F (s, y (s) , y (α (s))) ds,
k−1∑
i=0
ti+1∫
ti
F (y (s) , y (α (s))) ds +
t∫
tk
F (y (s) , y (α (s))) ds
≤
≤ ε
k−1∑
i=0
D
ti+1∫
ti
F (s, y (s) , y (α (s))) ds,
ti+1∫
ti
F (y (s) , y (α (s))) ds
+
+ D
t∫
tk
F (s, y (s) , y (α (s))) ds,
t∫
tk
F (y (s) , y (α (s))) ds
≤
≤ ε
k−1∑
i=0
D
ti+1∫
ti
F (s, y (s) , y (α (s))) ds,
ti+1∫
ti
F (s, y (ti) , y (α (ti))) ds
+
+ D
ti+1∫
ti
F (y (s) , y (α (s))) ds,
ti+1∫
ti
F (y (ti) , y (α (ti))) ds
+
+D
ti+1∫
ti
F (s, y (ti) , y (α (ti))) ds,
ti+1∫
ti
F (y (ti) , y (α (ti))) ds
+
+ εD
t∫
tk
F (s, y (s) , y (α (s))) ds,
t∫
tk
F (y (s) , y (α (s))) ds
≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
322 О. Д. КИЧМАРЕНКО, Н. В. СКРИПНИК
≤ ε
k−1∑
i=0
2λ
ti+1∫
ti
[D (y(s), y (ti)) + D (y (α (s)) , y (α (ti)))] ds+
+D
ti+1∫
ti
F (s, y (ti) , y (α (ti))) ds,
ti+1∫
ti
F (y (ti) , y (α (ti))) ds
+
+ εD
t∫
tk
F (s, y (s) , y (α (s))) ds,
t∫
tk
F (y (s) , y (α (s))) ds
. (9)
Оценим каждое из слагаемых в (9) отдельно:
ε
ti+1∫
ti
D (y (s) , y (ti)) ds = ε
ti+1∫
ti
D
y (ti) + ε
s∫
ti
F (y (τ) , y (α (τ))) dτ , y (ti)
ds =
= ε2
ti+1∫
ti
D
s∫
ti
F (y (τ) , y (α (τ))) dτ , 0̂
ds ≤
≤ ε2
ti+1∫
ti
s∫
ti
D
(
F (y (τ) , y (α (τ))) , 0̂
)
dτds ≤
≤ ε2M
2
(
L
εm
)2
=
ML2
2m2
. (10)
Аналогично в силу свойств модуля непрерывности ω функции α(t) получим
ε
ti+1∫
ti
D (y (α (s)) , y (α (ti))) ds = ε2
ti+1∫
ti
D
α(s)∫
α(ti)
F (y (τ) , y (α (τ))) dτ, 0̂
ds ≤
≤ ε2
ti+1∫
ti
Mω
(
α,
L
εm
)
dτ =
εLM
m
ω
(
α,
L
εm
)
≤
≤
(
1
εm
+ 1
)
εLM
m
ω (α, L) . (11)
В силу равномерной сходимости к среднему в (4) существует такая монотонно убываю-
щая функция Θ(t) → 0 при t → ∞, что
εD
ti+1∫
ti
F (s, y(ti), y(α(ti)))ds,
ti+1∫
ti
F (y(ti), y(α(ti)))ds
≤ L
m
Θ
(
L
εm
)
. (12)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
УСРЕДНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 323
Поскольку правые части уравнений (2) и (3) ограничены постоянной M, то
εD
t∫
tk
F (s, y (s) , y (α (s))) ds,
t∫
tk
F (y (s) , y (α (s))) ds
≤
≤ ε
t∫
tk
D
(
F (s, y (s) , y (α (s))) , F (y (s) , y (α (s)))
)
ds ≤
≤ ε
t∫
tk
[
D
(
F (s, y (s) , y (α (s))) , 0̂
)
+ D
(
F (y (s) , y (α (s))) , 0̂
)]
ds ≤
≤ 2Mε
t∫
tk
ds = 2
ML
m
. (13)
Следовательно, в силу (9) – (13) имеем
β (t, ε) ≤ λML2
m
+ 2λLM
(
1
m
+ ε
)
ω (α, L) + 2M
L
m
+ LΘ
(
L
εm
)
. (14)
Выберем m0 таким образом, чтобы выполнялось неравенство
λML2
m0
+
2λLM
m0
ω (α, L) +
2ML
m0
<
η
2e2λL
. (15)
Затем выберем ε0 так, чтобы
2λLMω (α, L) ε + LΘ
(
L
εm0
)
<
η
2e2λL
. (16)
Из (14) – (16) и (8) по лемме Гронуолла – Беллмана следует утверждение теоремы.
Схема частичного усреднения. Рассмотрим нечеткое дифференциальное уравнение,
содержащее переменное запаздывание (2). Поставим в соответствие уравнению (2) час-
тично усредненное уравнение
y′(t) = εG (t, y(t), y(α(t))) , y(0) = x0, (17)
где
lim
T→∞
D
1
T
t+T∫
t
F (s, x, z)ds,
1
T
t+T∫
t
G(s, x, z)ds
= 0. (18)
Теорема 7. Пусть в области Q = {t ≥ 0; x, z ∈ S ⊂ En} выполнены следующие усло-
вия:
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
324 О. Д. КИЧМАРЕНКО, Н. В. СКРИПНИК
1) отображения F (t, x, z), G(t, x, z) слабонепрерывны по t, удовлетворяют условию
Липшица по x, z с постоянной λ, ограничены постоянной M, т. е.
D
(
F
(
t, x′, z′
)
, F
(
t, x′′, z′′
))
≤ λ
[
D
(
x′, x′′
)
+ D
(
z′, z′′
)]
,
D
(
G
(
t, x′, z′
)
, G
(
t, x′′, z′′
))
≤ λ
[
D
(
x′, x′′
)
+ D
(
z′, z′′
)]
,
D(F (t, x, z), 0̂) ≤ M, D(G(t, x, z), 0̂) ≤ M ;
2) предел (18) существует равномерно относительно x, z ∈ S, t ≥ 0;
3) функция α(t) равномерно непрерывна при t ≥ 0 и 0 ≤ α(t) ≤ t;
4) решение y(t) уравнения (17), удовлетворяющее начальному условию y(0) = x0 ∈
∈ S′ ⊂ S, определено при t ≥ 0, ε ∈ (0, σ] и вместе с ρ-окрестностью принадлежит
области S.
Тогда для любого η > 0, L > 0 существует ε(η, L) ∈ (0, σ] такое, что при всех
ε ∈ (0, ε0] и t ∈ [0, Lε−1] справедлива оценка
D(x(t), y(t)) ≤ η,
где x(t), y(t) — решения уравнений (2) и (17) соответственно.
Доказательство. Согласно определению решения уравнений (2), (17) являются слабо-
непрерывными функциями, удовлетворяющими интегральным уравнениям
x (t) = x0 + ε
t∫
0
F (s, x (s) , x (α (s))) ds, y (t) = x0 + ε
t∫
0
G (s, y (s) , y (α (s))) ds.
Тогда
D (x (t) , y (t)) = D
x0 + ε
t∫
0
F (s, x (s) , x (α (s))) ds, x0 + ε
t∫
0
G (s, y (s) , y (α (s))) ds
=
= εD
t∫
0
F (s, x (s) , x (α (s))) ds,
t∫
0
G (s, y (s) , y (α (s))) ds
≤
= εD
t∫
0
F (s, x (s) , x (α (s))) ds,
t∫
0
F (s, y (s) , y (α (s))) ds
+
+ εD
t∫
0
F (s, y (s) , y (α (s))) ds,
t∫
0
G (s, y (s) , y (α (s))) ds
≤
≤ ελ
t∫
0
[D (x(s), y(s)) + D (x (α (s)) , y (α (s)))] ds + γ (ε) , (19)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
УСРЕДНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 325
где
γ(ε) = max
t∈[0,Lε−1]
β(t, ε), β (t, ε) = εD
t∫
0
F (s, y (s) , y (α (s))) ds,
t∫
0
G (s, y (s) , y (α(s))) ds
.
Пусть
δ(t) = max
0≤s≤t
D(x(s), y(s)). (20)
Учитывая (20), записываем (19) в виде
δ(t) ≤ 2λε
t∫
0
δ(s)ds + γ(ε). (21)
Разобьем сегмент [0, Lε−1] на m равных частей точками ti =
iL
mε
, i = 0,m. Пусть
t ∈ [tk, tk+1]. Оценим величину β(t, ε), воспользовавшись свойствами метрики D :
β (t, ε) = εD
t∫
0
F (s, y (s) , y (α (s))) ds,
t∫
0
G (s, y (s) , y (α (s))) ds
=
= εD
k−1∑
i=0
ti+1∫
ti
F (s, y(s), y (α(s))) ds +
t∫
tk
F (s, y (s) , y (α (s))) ds,
k−1∑
i=0
ti+1∫
ti
G (s, y (s) , y (α (s))) ds +
t∫
tk
G (s, y (s) , y (α (s))) ds
≤
≤ ε
k−1∑
i=0
D
ti+1∫
ti
F (s, y (s) , y (α (s))) ds,
ti+1∫
ti
G (s, y (s) , y (α (s))) ds
+
+ D
t∫
tk
F (s, y (s) , y (α (s))) ds,
t∫
tk
G (s, y (s) , y (α (s))) ds
≤
≤ ε
k−1∑
i=0
D
ti+1∫
ti
F (s, y (s) , y (α (s))) ds,
ti+1∫
ti
F (s, y (ti) , y (α (ti))) ds
+
+ D
ti+1∫
ti
G (s, y (s) , y (α (s))) ds,
ti+1∫
ti
G (s, y (ti) , y (α (ti))) ds
+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
326 О. Д. КИЧМАРЕНКО, Н. В. СКРИПНИК
+D
ti+1∫
ti
F (s, y (ti) , y (α (ti))) ds,
ti+1∫
ti
G (s, y (ti) , y (α (ti))) ds
+
+ εD
t∫
tk
F (s, y (s) , y (α (s))) ds,
t∫
tk
G (s, y (s) , y (α (s))) ds
≤
≤ ε
k−1∑
i=0
2λ
ti+1∫
ti
[D (y(s), y (ti)) + D (y (α (s)) , y (α (ti)))] ds+
+D
ti+1∫
ti
F (s, y (ti) , y (α (ti))) ds,
ti+1∫
ti
G (s, y (ti) , y (α (ti))) ds
+
+ εD
t∫
tk
F (s, y (s) , y (α (s))) ds,
t∫
tk
G (s, y (s) , y (α (s))) ds
. (22)
Оценим каждое из слагаемых в (22) отдельно:
ε
ti+1∫
ti
D (y (s) , y (ti)) ds = ε
ti+1∫
ti
D
y (ti) + ε
s∫
ti
G (τ, y (τ) , y (α (τ))) dτ , y (ti)
ds =
= ε2
ti+1∫
ti
D
s∫
ti
G (τ, y (τ) , y (α (τ))) dτ , 0̂
ds ≤
≤ ε2
ti+1∫
ti
s∫
ti
D
(
G (τ, y (τ) , y (α (τ))) , 0̂
)
dτds ≤
≤ ε2M
2
(
L
εm
)2
=
ML2
2m2
.
Аналогично, используя свойства модуля непрерывности, имеем
ε
ti+1∫
ti
D (y (α (s)) , y (α (ti))) ds = ε2
ti+1∫
ti
D
α(s)∫
α(ti)
F (Y (τ) , Y (α (τ))) dτ, 0̂
ds ≤
≤ ε2
ti+1∫
ti
α(s)∫
α(ti)
D
(
F (Y (τ) , Y (α (τ))) , 0̂
)
dτds ≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
УСРЕДНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 327
≤ ε2
ti+1∫
ti
Mω
(
α,
L
εm
)
dτ =
=
εLM
m
ω
(
α,
L
εm
)
≤
(
1
εm
+ 1
)
εLM
m
ω(α, L).
В силу равномерной сходимости к среднему в (18) существует такая монотонно убываю-
щая функция Θ(t) → 0 при t → ∞, что
εD
ti+1∫
ti
F (s, y (ti) , y (α (ti))) ds,
ti+1∫
ti
G (s, y (ti) , y (α (ti))) ds
≤ L
m
Θ
(
L
εm
)
.
Поскольку правые части уравнений (2) и (17) ограничены постоянной M, то
εD
t∫
tk
F (s, y (s) , y (α (s))) ds,
t∫
tk
G (s, y (s) , y (α (s))) ds
≤
≤ ε
t∫
tk
D (F (s, y (s) , y (α (s))) , G (s, y (s) , y (α (s)))) ds ≤
≤ ε
t∫
tk
[
D
(
F (s, y (s) , y (α (s))) , 0̂
)
+ D
(
G (s, y (s) , y (α (s))) , 0̂
)]
ds ≤
≤ 2Mε
t∫
tk
ds = 2
ML
m
. (23)
Следовательно,
β (t, ε) ≤ λML2
m
+ 2λLM
(
1
m
+ ε
)
ω (α, L) + 2M
L
m
+ LΘ
(
L
εm
)
. (24)
Выберем m0 таким образом, чтобы выполнялось неравенство
λML2
m0
+
2λLM
m0
ω (α, L) +
2ML
m0
<
η
2e2λL
. (25)
Затем выберем ε0 так, чтобы
2λLMω (α, L) ε + LΘ
(
L
εm0
)
<
η
2e2λL
. (26)
Из (24) – (26) и (21) по лемме Гронуолла – Беллмана следует утверждение теоремы.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
328 О. Д. КИЧМАРЕНКО, Н. В. СКРИПНИК
Замечания. 1. Теоремы 6 и 7 естественным образом распространяются на случай изме-
римых по t правых частей уравнений (2), (3) и (17).
2. В случае, когда правые части уравнений (2), (3) и (17) периодичны по t, в теоремах
6 и 7 можно получить более точные оценки.
1. Zadeh L. Fuzzy sets // Inform. and Contr. — 1965. — 8. — P. 338 – 353.
2. Puri M. L., Ralescu D. A. Differential of fuzzy functions // J. Math. Anal. and Appl. — 1983. — 91. — P. 552 –
558.
3. Kaleva O. Fuzzy differential equations // Fuzzy Sets and Systems. — 1987. — 24, № 3. — P. 301 – 317.
4. Kaleva O. The Cauchy problem for fuzzy differential equations // Ibid. — 1990. — 35, № 3. — P. 389 – 396.
5. Laksmikantham V., Leela S., Vatsala A. S. Interconnection between set and fuzzy differential equations //
Nonlinear Anal. — 2003. — 54. — P. 351 – 360.
6. Seikkala S. On the fuzzy initial value problem // Fuzzy Sets and Systems. — 1987. — 24, № 3. — P. 319 – 330.
7. Song S. J., Wu C. X. Existence and uniqueness of solutions to Cauchy problem of fuzzy differential equations
// Ibid. — 2000. — 111. — P. 55 – 67.
8. Park J. Y., Han H. K. Existence and uniqueness theorem for a solution of fuzzy differential equations // Int. J.
Math. and Math. Sci. — 1999. — 22, № 2. — P. 271 – 279.
9. Aumann R. J. Integrals of set-valued functions // J. Math. Anal. and Appl. — 1965. — 12. — P. 1 – 12.
10. Hukuhara M. Integration des applications mesurables dont la valeur est un compact convexe // Funkc. ekvaci-
oj. — 1967. — № 11. — P. 205 – 223.
Получено 11.02.07
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
|