Про один пiдхiд дослiдження задач з параметрами у крайових умовах
Исследуется одна быстросходящаяся модификация двустороннего метода приближенного интегрирования краевой задачи с параметрами в краевых условиях для случая системы квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка. We study a rapidly convergent modification of a two-sided method for approximat...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178202 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про один пiдхiд дослiдження задач з параметрами у крайових умовах / В.В. Маринець, О.Ю. Питьовка // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 3. — С. 348-364. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859591869805101056 |
|---|---|
| author | Маринець, В.В. Питьовка, О.Ю. |
| author_facet | Маринець, В.В. Питьовка, О.Ю. |
| citation_txt | Про один пiдхiд дослiдження задач з параметрами у крайових умовах / В.В. Маринець, О.Ю. Питьовка // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 3. — С. 348-364. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Исследуется одна быстросходящаяся модификация двустороннего метода приближенного интегрирования краевой задачи с параметрами в краевых условиях для случая системы квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка.
We study a rapidly convergent modification of a two-sided method for approximate integration of a parametrized boundary-value problem for a system of quasilinear second-order differential equations.
|
| first_indexed | 2025-11-27T16:03:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.624.3
ПРО ОДИН ПIДХIД ДО ДОСЛIДЖЕННЯ
ЗАДАЧ З ПАРАМЕТРАМИ У КРАЙОВИХ УМОВАХ
В. В. Маринець
Ужгород. нац. ун-т
Україна, Ужгород, вул. Пiдгiрна, 46
e-mail: math1@univ.uzhgorod.ua
О. Ю. Питьовка
Мукач. технол. iн-т
Україна, Мукачево, вул. Ужгородська, 26
e-mail: nauka@mti.edu.ua
We study a rapidly convergent modification of a two-sided method for approximate integration of a para-
metrized boundary-value problem for a system of quasilinear second-order differential equations.
Исследуется одна быстросходящаяся модификация двустороннего метода приближенного ин-
тегрирования краевой задачи с параметрами в краевых условиях для случая системы квазили-
нейных дифференциальных уравнений второго порядка.
1. У сучасному математичному аналiзi i моделюваннi важливе значення мають розробка
i розвиток конструктивних методiв. До таких методiв належить i метод Чаплигiна, який
дає можливiсть охопити шуканий розв’язок розглядуваної задачi у „вилку” i цим отрима-
ти зручну апостерiорну оцiнку похибки наближеного розв’язку. Ця проблема є однiєю з
важливих у теорiї наближених методiв.
Метою даної роботи є побудова модифiкацiй двостороннього методу наближеного
iнтегрування та дослiдження задач з параметрами у крайових умовах у випадку системи
квазiлiнiйних звичайних диференцiальних рiвнянь.
2. Розглянемо крайову задачу
Y ′′(x) = F (x, Y (x), Y ′(x)), x ∈ (0, 1), (1)
A1ΛY (0) + B1Y (1) = d1,
A2Y
′(0) + B2Y
′(1) = Λd2, (2)
Y (0) = Y0,
де Y = (yi)n
i=1 : [0, 1] → Rn, n ≥ 1, — шукана функцiя, F = (fi)n
i=1 : [0, 1] × R2n → Rn,
Y0 = (yi,0)n
i=1, dk = (di,k)n
i=1, k = 1, 2, — вектори-стовпцi, Ak = (δi,jαi,k)n
i,k=1, Bk =
= (δi,jβi,k)n
i,k=1 — квадратнi матрицi, yi,0, di,k, αi,k, βi,k, i = 1, 2, . . . , n, k = 1, 2, — заданi
сталi, Λ = (δi,jλi))n
i,j=1, k = 1, 2, — дiагональна матриця, складена з шуканих числових
параметрiв λi, i = 1, 2, . . . , n, а δi,j — символ Кронекера.
c© В. В. Маринець, О. Ю. Питьовка, 2008
348 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
ПРО ОДИН ПIДХIД ДО ДОСЛIДЖЕННЯ ЗАДАЧ З ПАРАМЕТРАМИ У КРАЙОВИХ УМОВАХ 349
Пiд розв’язком крайової задачi (1) будемо розумiти [1] пару (Y, λ) ∈ C2([0, 1], Rn) ×
×Rn, де λ = (λi)n
i=1 — вектор-стовпець, λi ∈ [λi,1, λi,2], λi,k, k = 1, 2, — заданi сталi, а
вектор-функцiя Y : [0, 1] → Rn є розв’язком системи рiвнянь (1) i при вказаному значеннi
параметра λ задовольняє крайовi умови (2).
3. Нехай C([0, 1]×Rn, Rn) — простiр неперервних вектор-функцiй F : [0, 1]×Rn → Rn.
Якщо F ∈ C([0, 1] × Rn, Rn) i матриця K = A1Ȳ0d
−1
2 (A2 + B2) + B1 є невиродженою, то
крайову задачу (1), (2) можна подати в еквiвалентнiй iнтегральнiй формi [2, 3]
Y (x) = Y0 + Cx +
1∫
0
G(x, ξ)F (ξ, Y (ξ), Y ′(ξ))dξ, x ∈ [0, 1], (3)
λ = N1 +
1∫
0
(N3ξ + N2)F (ξ, Y (ξ), Y ′(ξ))dξ, (4)
де вектор C ≡ K−1(d1−B1Y0) =
(
ρi
−1(di,1 − βi,1yi,0) di,2
)
, ρi = αi,1(αi,2+βi,2)yi,0+βi,1di,2,
d−1
2 = (δi,jd
−1
i,2 ), Y −1
0 = (δi,jy
−1
i,0 ), Ȳ0 = (δi,jyi,0), функцiя G визначається рiвнiстю
G(x, ξ) =
{
Bx + (Ax− E)ξ, ξ ∈ [0, x],
Bx + (Aξ − E)x, ξ ∈ (x, 1],
(5)
A ≡ K−1B1 =
(
δi,jρi
−1βi,1di,2
)n
i,j=1
i B ≡ K−1A1Ȳ0d
−1
2 A2 =
(
δi,jρi
−1αi,1αi,2yi,0
)n
i,j=1
—
матрицi, вектор N1 задано формулою
N1 = A−1
1 Y −1
0 d1 −A−1
1 B1Y
−1
0 (Y0 + C) =
(
ρ−1
i (αi,2 + βi,2)(di,1 − βi,1yi,0)
)n
i=1
,
а N2 = −A−1
1 B1Y
−1
0 B =
(
−δi,jρi
−1αi,2βi,1
)n
i,j=1
i
N3 = −A−1
1 B1Y
−1
0 (A− E) =
(
δi,jρi
−1βi,1(αi,2 + βi,2)
)n
i,j=1
— матрицi.
Не зменшуючи загальностi подальших мiркувань, будемо вважати, що det A2Y
+
0 6= 0
та
d2 = e ≡ (1, 1, . . . , 1), A1 = E,
де E — одинична матриця.
4. Нехай Z0, V0 — такi функцiї з C1([0, 1], Rn), що
Z
(s)
0 (x) ≥ V
(s)
0 (x), x ∈ [0, 1], s = 0, 1. (6)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
350 В. В. МАРИНЕЦЬ, О. Ю. ПИТЬОВКА
Означення 1. Будемо говорити, що вектор-функцiя Y : [0, 1] → Rn належить мно-
жинi 〈V0, Z0〉, якщо
V
(s)
0 (x) ≤ Y (s)(x) ≤ Z
(s)
0 (x), x ∈ [0, 1]. (7)
Нехай Li, i = 1, 2, . . . , n, — фiксованi квадратнi матрицi розмiрностi n.
З кожною парою функцiй Z0, V0, що має властивiсть (6), пов’яжемо множинуAL(Z0, V0)
всiх таких вектор-функцiй F : [0, 1]× R2n → Rn, якi задовольняють наступнi умови:
1) F ∈ C([0, 1]× R2n, Rn);
2) для довiльного x ∈ [0, 1] та довiльних векторiв {Y, Z} ⊂ Rn, що мiстяться у множинi
〈V0, Z0〉, справджується рiвнiсть
F (x, Y, Z) = H(x, Y, Z, Y, Z), (8)
де функцiя H : [0, 1] × R4n → Rn є неспадною за 2-, 3-, . . . , (2n + 1)-м та незростаючою
за (2n + 2)-, (2n + 3)-, . . . , 4n-м її аргументами, тобто для довiльних (Zs,0, Zs,1), s = 0, 1, та
(Vs,0, Vs,1), s = 0, 1, з R2n таких, що
Z0(x) ≤ Zs,0 ≤ Zs,1 ≤ V0(x), V0(x) ≥ Vs,0 ≥ Vs,1 ≥ Z0(x), s = 0, 1, x ∈ [0, 1], (9)
виконується нерiвнiсть
H(x,Z10, Z11, V10, V11) ≥ H(x,Z00, Z01, V00, V01), x ∈ [0, 1]; (10)
3) вектор-функцiя H, що входить до (8), задовольняє умову Лiпшиця з матрицею
1
4
L,
тобто для довiльних векторiв (Zs,0, Zs,1) та (Vs,0, Vs,1), s = 0, 1, з властивостями (9) i до-
вiльного x ∈ [0, 1] виконується оцiнка
|H(x,Z10, Z11, V10, V11)−H(x,Z00, Z01, V00, V01)| ≤
1
4
L
(
1∑
s=0
(|Zs,1 − Zs,0|+ |Vs,1 − Vs,0|)
)
,
де L = (δi,jLi)n
i,j=1.
Тут i далi знак модуля i нерiвнiсть мiж векторами та матрицями розумiємо покомпо-
нентно. Належнiсть вектора Y ∈ Rn множинi 〈V0, Z0〉 розумiємо як належнiсть вказанiй
множинi сталої функцiї iз вiдповiдним значенням.
5. Нехай справджуються спiввiдношення
B1(A2Ȳ0)−1 ≤ Θ, K1 = E + B2A
−1
2 + B1(A2Ȳ0)−1 > Θ, (11)
де Θ — нульова матриця. Тодi E + B2A
−1
2 > Θ i A ≤ Θ, B > Θ.
Подамо функцiю Грiна лiнiйної частини задачi (1), (2) у виглядi
G(x, ξ) = G1(x, ξ) + G2(x, ξ), (x, ξ) ∈ [0, 1]2, (12)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
ПРО ОДИН ПIДХIД ДО ДОСЛIДЖЕННЯ ЗАДАЧ З ПАРАМЕТРАМИ У КРАЙОВИХ УМОВАХ 351
де
G1(x, ξ) = Bx, ξ ∈ [0, 1],
(13)
G2(x, ξ) =
{
(Ax− E)ξ, ξ ∈ [0, x],
(Aξ − E)x, ξ ∈ (x, 1].
Oчевидно, що (∂s/∂xs)G1(x, ξ) ≥ Θ та (∂s/∂xs)G2(x, ξ) ≤ Θ, s = 0, 1, при x ∈ [0, 1],
ξ ∈ [0, 1].
Нехай Rp = (δi,jrp,i)n
i,j=1 та Dp = (δi,jdp,i)n
i,j=1 — матрицi з довiльними сталими невiд’єм-
ними елементами, якi задовольняють умови
rp,i ≤
1
2
, dp,i ≤
1
2
, i = 1, 2, . . . , n, p = 0, 1, 2, . . . . (14)
Побудуємо послiдовностi вектор-функцiй Zp, Vp, p = 0, 1, . . . , за рекурентним прави-
лом [3, 4]
Zp+1(x) = Y0 + Cx +
1∫
0
G1(x, ξ)F̄ p(ξ)dξ +
1∫
0
G2(x, ξ)F̄p(ξ)dξ, (15)
Vp+1(x) = Y0 + Cx +
1∫
0
G1(x, ξ)F̄p(ξ)dξ +
1∫
0
G2(x, ξ)F̄ p(ξ)dξ, (16)
де, за означенням,
F̄ p(x) = F p(x)− Cp(x)(F p(x)− Fp(x)), (17)
F̄p(x) = Fp(x) + Qp(x)(F p(x)− Fp(x)), (18)
функцiї F p та Fp задано формулами
F p(x) = H(x, Zp(x)−RpWp(x), Z ′
p(x)−RpW
′
p(x), Vp(x) + DpWp(x), V ′
p(x) + DpW
′
p(x)),
(19)
Fp(x) = H(x, Vp(x) + DpWp(x), V ′
p(x) + DpW
′
p(x), Zp(x)−RpWp(x), Z ′
p(x)−RpW
′
p(x))
та
αp(x) = Zp(x)− Y0 − Cx−
1∫
0
G1(x, ξ)F p(ξ)dξ −
1∫
0
G2(x, ξ)Fp(ξ)dξ,
(20)
βp(x) = Vp(x)− Y0 − Cx−
1∫
0
G1(x, ξ)Fp(ξ)dξ −
1∫
0
G2(x, ξ)F p(ξ)dξ,
Wp(x) = Zp(x)− Vp(x).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
352 В. В. МАРИНЕЦЬ, О. Ю. ПИТЬОВКА
Тут Cp(x) = (δi,jcp,i(x))n
i,j=1, Qp(x) = (δi,jqp,i(x))n
i,j=1, x ∈ [0, 1], де cp,i, qp,i, i = 1, 2, . . . , n,
p = 0, 1, . . . , — довiльнi невiд’ємнi функцiї з простору C([0, 1], Rn), а функцiї нульового
наближення Z0 та V0 вибираємо у просторi C2([0, 1], Rn) таким чином, щоб при R0 = Θ
та D0 = Θ виконувались нерiвностi
W
(s)
0 (x) ≥ 0, α
(s)
0 (x) ≥ 0, β
(s)
0 (x) ≤ 0, s = 0, 1, x ∈ [0, 1], (21)
тобто щоб справджувалися спiввiдношення (6) та умови
Z ′
0(x) ≥ C +
1∫
0
(
∂G1(x, ξ)
∂x
H(ξ, Z0(ξ), Z ′
0(ξ), V0(ξ), V ′
0(ξ)) +
+
∂G2(x, ξ)
∂x
H(ξ, V0(ξ), V ′
0(ξ), Z0(ξ), Z ′
0(ξ))
)
dξ,
V ′
0(x) ≤ C +
1∫
0
(
∂G1(x, ξ)
∂x
H(ξ, V0(ξ), V ′
0(ξ), Z0(ξ), Z ′
0(ξ)) +
+
∂G2(x, ξ)
∂x
H(ξ, Z0(ξ), Z ′
0(ξ), V0(ξ), V ′
0(ξ))
)
dξ, x ∈ [0, 1], (22)
Z0(0) ≥ Y0 −
1∫
0
(
G1(x, ξ)H(ξ, Z0(ξ), Z ′
0(ξ), V0(ξ), V ′
0(ξ)) +
+ H(ξ, V0(ξ), V ′
0(ξ), Z0(ξ), Z ′
0(ξ))
)
dξ,
V0(0) ≤ Y0 +
1∫
0
(
G1(x, ξ)H(ξ, V0(ξ), V ′
0(ξ), Z0(ξ), Z ′
0(ξ)) +
+ G2(x, ξ)H(ξ, Z0(ξ), Z ′
0(ξ), V0(ξ), V ′
0(ξ))
)
dξ.
Зауважимо, що згiдно з умовами (14), (21) при s = 0, 1 та x ∈ [0, 1]
V
(s)
0 (x) ≤ V
(s)
0 (x) + D0W
(s)
0 (x) ≤ Z
(s)
0 (x)−R0W
(s)
0 (x) ≤ Z
(s)
0 (x),
тобто V0(·) + D0W0(·) ∈ 〈V0, Z0〉 та Z0(·)−R0W0(·) ∈ 〈V0, Z0〉. На пiдставi останнiх нерiв-
ностей та умов (10), (22) маємо α
(s)
0 (x) ≥ 0, β
(s)
0 (x) ≤ 0, s = 0, 1, x ∈ [0, 1].
Нехай
sup
x∈[0,1]
cp,i(x) ≤ 1
2
, sup
x∈[0,1]
qp,i(x) ≤ 1
2
, i = 1, 2, . . . , n, p = 0, 1, . . . . (23)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
ПРО ОДИН ПIДХIД ДО ДОСЛIДЖЕННЯ ЗАДАЧ З ПАРАМЕТРАМИ У КРАЙОВИХ УМОВАХ 353
Тодi iз (19), (20) i (15) отримуємо
Zp+1(x)− Zp(x) = −αp(x) +
1∫
0
{G2(x, ξ)Qp(ξ)−G1(x, ξ)Cp(ξ)} (F p(ξ)− Fp(ξ)) dξ,
(24)
Vp+1(x)− Vp(x) = −βp(x) +
1∫
0
{G1(x, ξ)Qp(ξ)−G2(x, ξ)Cp(ξ)} (F p(ξ)− Fp(ξ)) dξ,
Wp+1(x) =
1∫
0
(G1(x, ξ)−G2(x, ξ)) (E − Cp(ξ)−Qp(ξ)) (F p(ξ)− Fp(ξ)) dξ (25)
та
αp+1(x) =
1∫
0
G1(x, ξ)
(
F̄ p(ξ)− F p+1(ξ)
)
dξ +
1∫
0
G2(x, ξ)
(
F̄p(ξ)− Fp+1(ξ)
)
dξ,
(26)
βp+1(x) =
1∫
0
G1(x, ξ)
(
F̄p(ξ)− Fp+1(ξ)
)
dξ +
1∫
0
G2(x, ξ)
(
F̄ p(ξ)− F p+1(ξ)
)
dξ.
Iз (24), враховуючи (10), (14), (21), при p = 0 одержуємо
Z
(s)
1 (x)−Z
(s)
0 (x) = −α
(s)
0 (x)+
1∫
0
(
∂sG2(x, ξ)
∂xs
Q0(ξ)−
∂sG1(x, ξ)
∂xs
C0(x)
)
(F 0(ξ)−F0(ξ)) dξ ≤ 0,
V
(s)
1 (x)−V
(s)
0 (x) = −β
(s)
0 (x)+
1∫
0
(
∂sG1(x, ξ)
∂xs
Q0(ξ)−
∂sG2(x, ξ)
∂xs
C0(x)
)
(F 0(ξ)−F0(ξ)) dξ ≥ 0.
Крiм того, з (25) випливає, що W
(s)
1 (x) ≥ 0, s = 0, 1, тобто виконуються нерiвностi
V
(s)
0 (x) ≤ V
(s)
1 (x) ≤ Z
(s)
1 (x) ≤ Z
(s)
0 (x), s = 0, 1, x ∈ [0, 1],
а це означає, що функцiї Z1 та V1 мiстяться у множинi 〈V0, Z0〉.
Якщо елементи матриць R0, D0, якi задовольняють умови (14), вибирати таким чином,
щоб при x ∈ [0, 1] виконувались нерiвностi
Z
(s)
0 (x)− Z
(s)
1 (x)−R0W
(s)
0 (x) ≥ 0, V
(s)
0 (x)− V
(s)
1 (x) + D0W
(s)
0 (x) ≤ 0,
то для всiх x ∈ [0, 1]
F 0(x)− F 1(x) ≥ 0, F0(x)− F1(x) ≤ 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
354 В. В. МАРИНЕЦЬ, О. Ю. ПИТЬОВКА
Отже, вибираючи елементи матриць C0(·) та Q0(·) так, щоб при V, Z з 〈V0, Z0〉 виконува-
лись умови
F̄ 0(x)− F 1(x) ≥ 0, F̄0(x)− F1(x) ≤ 0,
iз (26) при p = 0 одержуємо
α
(s)
1 (x) ≥ 0, β
(s)
1 (x) ≤ 0, x ∈ [0, 1], s = 0, 1.
Беручи вектор-функцiї Z1(·) та V1(·) за вихiднi i повторюючи наведенi вище мiрку-
вання, методом математичної iндукцiї легко показати, що якщо на кожному кроцi iтера-
цiйного процесу (15) елементи матриць Rp, Dp та матриць-функцiй Cp(·), Qp(·) вибирати
таким чином, щоб при V, Z з 〈V0, Z0〉 виконувались умови
Z(s)
p (x)− Z
(s)
p+1(x)−RpW
(s)
p (x) ≥ 0,
V (s)
p (x)− V
(s)
p+1(x) + DpW
(s)
p (x) ≤ 0,
(27)
F p(x)− F p+1(x)− Cp(x)(F p(x)− Fp(x)) ≥ 0,
Fp(x)− Fp+1(x) + Qp(x)(F p(x)− Fp(x)) ≤ 0,
то при довiльних x ∈ [0, 1], p ∈ N та s = 0, 1 мають мiсце нерiвностi
V (s)
p (x) ≤ V
(s)
p+1(x) ≤ Z
(s)
p+1(x) ≤ Z(s)
p (x),
(28)
α
(s)
p+1(x) ≥ 0, β
(s)
p+1(x) ≤ 0.
Встановимо достатню умову збiжностi послiдовностей вектор-функцiй {Zp(·)}∞p=0 та
{Vp(·)}∞p=0 до єдиного у просторi C2([0, 1], Rn) розв’язку рiвняння (3). Нехай
q = sup
p≥0
sup
x∈[0,1]
‖E − Cp(x)−Qp(x)‖ ,
d = sup
x∈[0,1]
max
{
‖W0(x)‖ ,
∥∥W ′
0(x)
∥∥} , ‖L‖ < M,
ν = sup
p≥0
‖E −Rp −Dp‖ .
Тодi з (25) методом математичної iндукцiї одержуємо оцiнку
sup
x∈[0,1]
max
{
‖Wp(x)‖ ,
∥∥W ′
p(x)
∥∥} ≤ (qνMτ1)pd,
де
τ1 =
∥∥∥∥∥
(
δi,j
(
1 + ρi
−1
(
αi,2yi,0 −
1
2
βi,1
)))n
i,j=1
∥∥∥∥∥ .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
ПРО ОДИН ПIДХIД ДО ДОСЛIДЖЕННЯ ЗАДАЧ З ПАРАМЕТРАМИ У КРАЙОВИХ УМОВАХ 355
Якщо
qνM <
1
τ1
, (29)
то з останнiх оцiнок i нерiвностей (28) випливає, що
V (s)
p (x) ≤ V
(s)
p+1(x) ≤ Y (s)(x) ≤ Z
(s)
p+1(x) ≤ Z(s)
p (x), s = 0, 1, x ∈ [0, 1], (30)
де Y (·) — єдиний розв’язок рiвняння (3) (єдинiсть доводиться методом вiд супротивного).
Зауваження 1. Чим бiльше елементiв матриць Rp, Dp, Cp(·), Qp(·) є вiдмiнними вiд
нуля, тим збiжнiсть iтерацiйного процесу (15) буде швидшою.
Перейдемо до рiвняння (4). При виконаннi умов (11) маємо N3 ≥ Θ, N2 ≤ Θ (N3 ≤ Θ,
N2 ≥ Θ) при A2 ≤ Θ (A2 ≥ Θ). Тодi двостороннi наближення до шуканого параметра λ
будуємо такими чином:
λ+
p = N1 +
1∫
0
[N3ξF
p(ξ) + N2Fp(ξ)] dξ,
(31)
λ−p = N1 +
1∫
0
[N3ξFp(ξ) + N2F
p(ξ)] dξ.
Беручи до уваги нерiвностi (10), (30) та умову (11), одержуємо
λ+
p − λ =
1∫
0
[
N3ξ
(
F p(ξ)− F (ξ, Y (ξ), Y ′(ξ))
)
+ N2
(
Fp(ξ)− F (ξ, Y (ξ), Y ′(ξ))
)]
dξ,
λ−p − λ =
1∫
0
[
N3ξ
(
Fp(ξ)− F (ξ, Y (ξ), Y ′(ξ))
)
+ N2
(
F p(ξ)− F (ξ, Y (ξ), Y ′(ξ))
)]
dξ,
до того ж у випадку, коли A2 ≤ Θ (A2 ≥ Θ), виконуються нерiвностi
λ−p ≤ λ ≤ λ+
p (вiдповiдно λ−p ≤ λ ≤ λ+
p ), p = 0, 1, . . . . (32)
Якщо {λ−p , λ+
p } ⊂ [λ1, λ2], то їх можна вважати за p-те двостороннє наближення до
параметра λ, який визначається формулoю (4).
Зауваження 2. Вектор-функцiї Zp+1(·) та Vp+1(·), побудованi згiдно з правилами (13) –
(21), (27), не задовольняють всi крайовi умови (2), але функцiя Ỹp+1 =
1
2
(Zp+1+Vp+1) задо-
вольняє всi крайовi умови (2) i її разом зi значенням параметра λp+1 =
1
2
(
λ+
p+1 + +λ−p+1
)
можна брати за (p + 1)-ше наближення до розв’язку крайової задачi (1).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
356 В. В. МАРИНЕЦЬ, О. Ю. ПИТЬОВКА
Таким чином, справедливою є наступна теорема.
Теорема 1. Нехай iснують вектор-функцiї нульового наближення Z0 та V0, якi задо-
вольняють нерiвностi (6), (22). Крiм того, нехай F ∈ AL(V0, Z0) та виконуються умови
(11) i (29).
Тодi p-м наближенням до розв’язку задачi (1), (2) є пара (Ỹp, λp), де
λp =
1
2
(λ+
p + λ−p ), (33)
Ỹp =
1
2
(Zp + Vp), (34)
а вектор-функцiї Zp та Vp є двостороннiми наближеннями до єдиного розв’язку рiв-
няння (3), якi визначаються згiдно з (13) – (21), (27) i задовольняють нерiвностi (30).
Пара λ−p , λ+
p при цьому є p-м двостороннiм наближенням до шуканого параметра λ, яке
визначається згiдно з (31), i виконуються нерiвностi (32).
6. Нехай справджуються спiввiдношення
E + B2A
−1
2 ≤ Θ, K1 > Θ. (35)
Тодi B1(A2Ȳ0)−1 > Θ i A ≥ Θ, B > Θ. У цьому випадку функцiю Грiна (5) подамо у
виглядi (12), де
G1(x, ξ) = (Aξ + B)x, ξ ∈ [0, 1],
(36)
G2(x, ξ) =
{
−Eξ, ξ ∈ [0, x],
−Ex, ξ ∈ (x, 1].
Iз формул (36) очевидно, що
(
∂s
∂xs
)
G1(x, ξ) ≥ Θ i
(
∂s
∂xs
)
G2(x, ξ) ≤ Θ при s = 0, 1 та
(x, ξ) ∈ [0, 1]2.
Побудуємо послiдовностi вектор-функцiй {Zp(·)}∞p=0 та {Vp(·)}∞p=0 за формулами (15) –
(19). При цьому вектор-функцiї нульового наближення Z0, V0 вибираємо таким чином,
щоб виконувались умови (21).
У даному випадку має мiсце оцiнкa
sup
x∈[0,1]
max
{
‖Wp(x)‖ ,
∥∥W ′
p(x)
∥∥} ≤ (qνMτ2)
p d,
де
τ2 =
∥∥∥∥∥∥
(
δi,j
1
2βi,1 + βi,2yi,0
ρi
)n
i,j=1
∥∥∥∥∥∥ .
Якщо
qνM <
1
τ2
, (37)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
ПРО ОДИН ПIДХIД ДО ДОСЛIДЖЕННЯ ЗАДАЧ З ПАРАМЕТРАМИ У КРАЙОВИХ УМОВАХ 357
то побудованi за формулами (19) – (21), (27) i (36) послiдовностi вектор-функцiй {Zp}∞p=0
та {Vp}∞p=0 збiгаються до єдиного у просторi C2([0, 1], Rn) розв’язку рiвняння (3) i задо-
вольняють нерiвностi (30).
Оскiльки за умов (35) маємо N2 ≥ Θ (N2 ≤ Θ), N3 ≥ Θ (N3 ≤ Θ) при A2 ≤ Θ (A2 ≥
≥ Θ), то двостороннi наближення до шуканого параметра λ, який визначається згiдно з
(4), знаходимо за формулами
λ+
p = N1 +
1∫
0
(N3ξ + N2) F p(ξ) dξ,
(38)
λ−p = N1 +
1∫
0
(N3ξ + N2) Fp(ξ) dξ,
при цьому мають мiсце нерiвностi (32).
Теорема 2. Нехай iснують вектор-функцiї нульового наближення Z0 та V0, якi задо-
вольняють нерiвностi (6), (22). Крiм того, нехай F ∈ AL(V0, Z0) та виконуються умови
(35) i (37).
Тодi p-м наближенням до розв’язку задачi (1), (2) є пара (Ỹp, λp), де λp та Ỹp визна-
чаються формулами (33), (34). При цьому вектор-функцiї Zp та Vp є двостороннiми
наближеннями до єдиного розв’язку рiвняння (3), якi визначаються згiдно з (19) – (21),
(27), (36) i задовольняють нерiвностi (30). Крiм того, λ−p , λ+
p дають p-те двостороннє
наближення до шуканого параметра λ, яке визначається згiдно з (38), i виконуються
спiввiдношення (32).
7. Нехай
B1(A2Ȳ0)−1 ≥ Θ, K1 < Θ. (39)
Тодi очевидно, що E +B2A
−1
2 < Θ, A ≤ Θ, B < Θ, i, отже, в цьому випадку функцiя Грiна
(5) задовольняє умови
G(x, ξ) ≤ Θ,
∂
∂x
G(x, ξ) ≤ Θ для (x, ξ) ∈ [0, 1]2.
Побудуємо послiдовностi вектор-функцiй {Zp}∞p=0 та {Vp}∞p=0 за формулами
Zp+1(x) = Y0 + Cx +
1∫
0
G(x, ξ)F̄p(ξ) dξ,
(40)
Vp+1(x) = Y0 + Cx +
1∫
0
G(x, ξ)F̄ p(ξ) dξ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
358 В. В. МАРИНЕЦЬ, О. Ю. ПИТЬОВКА
де F p та Fp визначено згiдно з (19), а вектор-функцiї нульового наближення Z0 та V0
вибираємо так, щоб виконувались умови (6), (22). Методом математичної iндукцiї легко
показати, що має мiсце оцiнка
sup
x∈[0,1]
max
{
‖Wp(x)‖ ,
∥∥W ′
p(x)
∥∥} ≤ (qνMτ3)
p d,
де
τ3 =
∥∥∥∥∥∥
(
δi,j
(
1−
αi,2yi,0 + 1
2βi,1
ρi
))n
i,j=1
∥∥∥∥∥∥ .
Якщо
qνM <
1
τ3
, (41)
то побудованi згiдно з (40), (5), (19), (14) i (27) послiдовностi вектор-функцiй {Zp}∞p=0 та
{Vp}∞p=0 збiгаються до єдиного розв’язку рiвняння (3) i виконуються нерiвностi (30).
При виконаннi умов (39) N2 ≤ Θ (N2 ≥ Θ) i N3 ≤ Θ (N3 ≥ Θ), якщо A2 ≤ Θ (A2 ≥ Θ).
Тодi двостороннi наближення до шуканого параметра λ будуємо за формулами
λ+
p = N1 +
1∫
0
[N3ξ + N2]Fp(ξ) dξ,
(42)
λ−p = N1 +
1∫
0
[N3ξ + N2]F p(ξ) dξ,
де Fp, F p визначаються згiдно з (19), i виконуються нерiвностi (32).
Теорема 3. Нехай iснують вектор-функцiї нульового наближення Z0 та V0, якi задо-
вольняють нерiвностi (6), (22). Крiм того, нехай F ∈ AL(V0, Z0) та виконуються умови
(39) i (41).
Тодi p-м наближенням до розв’язку задачi (1), (2) є пара (Ỹp, λp), де λp та Ỹp визнача-
ються формулами (33), (34), а вектор-функцiї Zp та Vp є двостороннiми наближеннями
до єдиного розв’язку рiвняння (3), якi визначаються згiдно з (40), (5), (19), (14), (27) та
задовольняють нерiвностi (30). Пара λ−p , λ+
p при цьому є p-м двостороннiм наближен-
ням до шуканого параметра λ, яке визначається згiдно з (31), i виконуються нерiвнос-
тi (32).
8. Нехай
E + B2A
−1
2 ≥ Θ, K1 < Θ, (43)
тодi B1
(
A2Ȳ0
)−1
< Θ, A > Θ, B < Θ. В цьому випадку функцiю Грiна (5) лiнiйної части-
ни задачi (1), (2) подамо у виглядi (12), де
G1(x, ξ) = Axξ, ξ ∈ [0, 1],
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
ПРО ОДИН ПIДХIД ДО ДОСЛIДЖЕННЯ ЗАДАЧ З ПАРАМЕТРАМИ У КРАЙОВИХ УМОВАХ 359
G2(x, ξ) =
{
−Eξ + Bx, ξ ∈ [0, x],
−Ex + Bx, ξ ∈ (x, 1].
При цьому
(
∂s
∂xs
)
G1(x, ξ) ≥ Θ та
(
∂s
∂xs
)
G2(x, ξ) ≤ Θ для s = 0, 1 i (x, ξ) ∈ [0, 1]2.
У даному випадку двостороннi наближення до розв’язку рiвняння (3) будуємо згiдно з
(19), (15), (27), де за нульове наближення вибираємо пару довiльних вектор-функцiй Z0,
V0, з простору C1([0, 1], Rn), якi задовольняють умови (6), (22).
За прийнятих умов справедливою є оцiнка
sup
x∈[0,1]
max
{
‖Wp(x)‖ ,
∥∥W ′
p(x)
∥∥} ≤ (qνMτ4)
p d,
де
τ4 = max
{∥∥∥∥∥1
2
(
δi,j
3βi,1 + 2βi,2yi,0
2ρi
)2
∥∥∥∥∥ ,
∥∥∥∥(δi,j
2βi,1 + (βi,2 − αi,2)yi,0
2ρi
)∥∥∥∥
}
.
Якщо справджується умова
qνM <
1
τ4
, (44)
то послiдовностi вектор-функцiй {Zp}∞p=0 та {Vp}∞p=0 , побудованi за формулами (19), (15),
(27), збiгаються до єдиного розв’язку рiвняння (3) i мають мiсце нерiвностi (30).
При виконаннi умов (43) маємо N2 ≥ Θ (N2 ≤ Θ) i N3 ≤ Θ (N3 ≥ Θ), якщо A2 ≤ Θ
(A2 ≥ Θ). Отже, двостороннi наближення до шуканого параметра λ, який визначається
згiдно з (4), будуємо за формулами
λ+
p = N1 +
1∫
0
[N3ξFp(ξ) + N2F
p(ξ)] dξ,
λ−p = N1 +
1∫
0
[N3ξF
p(ξ) + N2Fp(ξ)] dξ,
при цьому виконуються нерiвностi (32).
Теорема 4. Нехай iснують вектор-функцiї нульового наближення Z0 та V0, якi задо-
вольняють нерiвностi (6), (22). Крiм того, нехай F ∈ AL(V0, Z0) та виконуються умови
(43) i (44).
Тодi p-м наближенням до розв’язку задачi (1), (2) є пара (Ỹp, λp), де λp та Ỹp визнача-
ються формулами (33), (34), а вектор-функцiї Zp та Vp є двостороннiми наближеннями
до єдиного розв’язку рiвняння (3), якi визначаються згiдно з (19), (15), (27) та задо-
вольняють нерiвностi (30). Пара λ−p , λ+
p при цьому є p-м двостороннiм наближенням до
шуканого параметра λ, яке визначається згiдно з (45), i виконуються нерiвностi (32).
Аналогiчно будуються модифiкацiї двостороннього методу наближеного iнтегруван-
ня задачi (1), (2) i у випадку виконання умов, вiдмiнних вiд умов (11), (35), (39) i (43). Для
iлюстрацiї наведемо приклад.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
360 В. В. МАРИНЕЦЬ, О. Ю. ПИТЬОВКА
9. Приклад. У просторi функцiй C2([0, 1], R) будемо шукати розв’язок системи дифе-
ренцiальних рiвнянь
y′′1(x) =
1
3
cos
πx
6
(
y′1(x)
)3 − 1
3
y2(x),
y′′2(x) =
x
5
y1(x)−
(π
6
)2
y2(x)− x
5
(1 + x), x ∈ (0, 1),
який задовольняє крайовi умови
λ1y1(0)− 0, 1y1(1) = −0, 6,
0, 1y′1(0)− 0, 5y′1(1) = λ1,
y1(0) = 1,
λ2y2(0)− 0, 2y2(1) = 0, 227,
0, 3y′2(0)− 24
5π
y′2(1) = λ2,
y2(0) = 1,
та визначимо значення параметрiв λi, i = 1, 2, λi ∈ [−1, 1] .
У даному випадку E + B2A
−1
2 ≤ Θ, B1
(
A2Ȳ0
)
≤ Θ, де
B1 =
(
−0, 1 0
0 −0, 2
)
, B2 =
(
−0, 5 0
0 −24/5π
)
, A2 =
(
0, 1 0
0 0, 3
)
, Ȳ0 =
(
1
1
)
.
Нехай Rp ≡ Θ, Dp ≡ Θ та Cp(x) ≡ Θ, Qp(x) ≡ Θ. За нульове наближення вибираємо
функцiї Z0 = (z0i)2i=1, V0 = (v0i)2i=1, де
z01(x) = 1 + 1, 58x− 0, 2x2, v01(x) = 1− 0, 16x + 0, 5x2,
z02(x) = 1 + 0, 188x− 0, 2x2, v02(x) = 1− 0, 447x + 0, 05x2,
якi задовольняють умови (6), (22). У даному випадку для функцiй F 0 = (f0i)2i=1 та F0 =
= (f0i)2i=1, що визначаються формулами (19), маємо рiвностi
f01(x) =
1
3
cos
(πx
6
) (
z′01(x)
)3 − 1
3
v02(x),
f02(x) =
x
5
z01(x)−
(π
6
)2
v02(x)− x
5
(1 + x),
f01(x) =
1
3
cos
(πx
6
) (
v′01(x)
)3 − 1
3
z02(x),
f02(x) =
x
5
v01(x)−
(π
6
)2
z02(x)− x
5
(1 + x).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
ПРО ОДИН ПIДХIД ДО ДОСЛIДЖЕННЯ ЗАДАЧ З ПАРАМЕТРАМИ У КРАЙОВИХ УМОВАХ 361
Наступнi наближення Z1 = (z1i)2i=1, V1 = (v1i)2i=1 будуємо за формулами
z11(x) = 1 + x +
1∫
0
0, 2xξf01(ξ)dξ −
x∫
0
(ξ + 0, 2x)f01(ξ)dξ −
1∫
x
1, 2xf01(ξ)dξ =
= 13, 7675 + 27, 9308x− 0, 166x2 − 1, 067 · 10−2x3 + 0, 555 · 10−2x4+
+ cos
(πx
6
) (
−12, 7675 + 79, 744x + 0, 5837x2 − 1, 215x3
)
+
+ sin
(πx
6
) (
−202, 9244− 5, 0772x + 13, 933x2
)
,
v11(x) = 1 + x +
1∫
0
0, 2xξf01(ξ)dξ −
x∫
0
(ξ + 0, 2x)f01(ξ)dξ −
1∫
x
1, 2xf01(ξ)dξ =
= −14, 3849 + 2, 1933x− 0, 167x2 + 2, 489 · 10−2x3 − 1, 388 · 10−3x4+
+ cos
(πx
6
) (
15, 3849− 1, 466x− 0, 9221x2 + 0, 077x3
)
+
+ sin
(πx
6
) (
−0, 9026 + 7, 0443x− 0, 891x2
)
,
z12(x) = 1− 0, 299x +
1∫
0
0, 14xξf02(ξ)dξ−
−
x∫
0
(ξ + 0, 21x)f02(ξ)dξ −
1∫
x
1, 21xf02(ξ)dξ =
= 1 + 9, 4783 · 10−2x− 0, 1371x2 − 8, 773 · 10−3x3−
− 1, 4764 · 10−2x4 + 5 · 10−3x5,
v12(x) = 1− 0, 299x +
1∫
0
0, 14xξf02(ξ)dξ−
−
x∫
0
(ξ + 0, 21x)f02(ξ)dξ −
1∫
x
1, 21xf02(ξ)dξ =
= 1− 9, 5785 · 10−2x− 0, 1371x2 + 2, 047 · 10−2x3+
+ 8, 5244 · 10−3x4 − 2 · 10−3x5.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
362 В. В. МАРИНЕЦЬ, О. Ю. ПИТЬОВКА
Для параметра λ = (λi)2i=1 визначаємо двостороннi наближення за формулами
λ+
1,1 = −0, 4 +
1∫
0
(−0, 08ξ − 0, 02)f1,1(ξ)dξ = −0, 3867,
λ−1,1 = −0, 4 +
1∫
0
(−0, 08ξ − 0, 02)f1,1(ξ)dξ = −0, 4166,
λ+
1,2 = 0, 367 +
1∫
0
(−0, 172ξ − 0, 042)f1,2(ξ)dξ = 0, 4068,
λ−1,2 = 0, 367 +
1∫
0
(−0, 172ξ − 0, 042)f1,2(ξ)dξ = 0, 395.
Таким чином,
ỹ11(x) =
1
2
(z11(x) + v11(x)) = −0, 3087 + 15, 062x− 0, 166x2+
+ 0, 711 · 10−2x3 − 2, 085 · 10−3x4+
+ cos
(πx
6
) (
1, 3087 + 39, 139x− 0, 1692x2 + 0, 569x3
)
+
+ sin
(πx
6
) (
−101, 9135 + 0, 9835x + 6, 521x2
)
,
ỹ12(x) =
1
2
(z12(x) + v12(x)) =
= 1− 5 · 10−4x− 0, 1371x2 + 5, 8485 · 10−3x3 − 3, 1198 · 10−3x4 + 1, 5 · 10−3x5
та
λ̃11 =
1
2
(λ+
11 + λ−11) = −0, 40166, λ̃12 =
1
2
(λ+
12 + λ−12) = 0, 40093.
При цьому одержуємо
sup
x∈[0,1]
|w01(x)| ≤ 1, 04, sup
x∈[0,1]
|w11(x)| ≤ 0, 637,
sup
x∈[0,1]
|w02(x)| ≤ 0, 385, sup
x∈[0,1]
|w12(x)| ≤ 0, 145,
та
∣∣λ+
11 − λ−11
∣∣ = 2, 99 · 10−2,
∣∣λ+
12 − λ−12
∣∣ = 1, 18 · 10−2.
Розглянемо випадок, коли Rp ≡ Θ, Dp ≡ Θ, а Cp(x), Qp(x) — матрицi-функцiї, елемен-
тами яких є лiнiйнi невiд’ємнi функцiї: c01(x) = 0, 2x, c02(x) = 0, 15x, q01(x) = 0, 01 (1− x) ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
ПРО ОДИН ПIДХIД ДО ДОСЛIДЖЕННЯ ЗАДАЧ З ПАРАМЕТРАМИ У КРАЙОВИХ УМОВАХ 363
q02(x) = 0, 05 (1− x) . Тодi
f̄0i(x) = f0i(x)− c0i(x)(f0i(x)− f0i(x)),
f̄0i(x) = f0i(x) + q0i(x)(f0i(x)− f0i(x)), i = 1, 2, x ∈ [0, 1],
i наступнi наближення визначаємо за формулами
ẑ11(x) = 1 + x +
1∫
0
0, 2xξf̄01(ξ)dξ −
x∫
0
(ξ + 0, 2x)f̄01(ξ)dξ −
1∫
x
1, 2xf̄01(ξ)dξ =
= 33, 3191 + 27, 3850x− 0, 167x2 − 1, 0092 · 10−2x3+
+ 0, 53097 · 10−2x4 + 0, 0417 · 10−3x5+
+ cos
(πx
6
) (
−32, 3191 + 77, 9756x + 2, 2298x2 − 1, 1878x3 − 1, 2936 · 10−2x4
)
+
+ sin
(πx
6
) (
−198, 55− 12, 7085x + 13, 611x2 + 0, 1976x3
)
,
v̂11(x) = 1 + x +
1∫
0
0, 2xξf̄01(ξ)dξ −
x∫
0
(ξ + 0, 2x)f̄01(ξ)dξ −
1∫
x
1, 2xf̄01(ξ)dξ =
= 382, 299− 3, 3450x− 0, 1666x2 + 2, 4833 · 10−2x3−
− 0, 4917 · 10−2x4 + 8, 333 · 10−4x5+
+ cos
(πx
6
) (
−381, 299− 20, 2765x + 32, 3028x2 + 0, 3789x3 − 0, 2587x4
)
+
+ sin
(πx
6
) (
45, 7729− 160, 263x− 4, 3422x2 + 3, 9529x3
)
,
ẑ12(x) = 1− 0, 299x +
1∫
0
0, 14xξf̄02(ξ)dξ −
x∫
0
(ξ + 0, 21x)f̄02(ξ)dξ −
1∫
x
1, 21xf̄02(ξ)dξ =
= 1 + 8, 977 · 10−2x− 0, 1371x2 − 7, 1395 · 10−3x3−
− 1, 4325 · 10−2x4 + 3, 9513 · 10−3x5 + 2, 33 · 10−4x6,
v̂12(x) = 1− 0, 299x +
1∫
0
0, 14xξf̄02(ξ)dξ −
x∫
0
(ξ + 0, 21x)f̄02(ξ)dξ −
1∫
x
1, 21xf̄02(ξ)dξ =
= 1− 7, 727 · 10−2x− 0, 1371x2 + 2, 042 · 10−2x3+
+ 6, 348 · 10−3x4 − 4, 096 · 10−3x5 + 7, 0 · 10−4x6
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
364 В. В. МАРИНЕЦЬ, О. Ю. ПИТЬОВКА
та
λ̂+
1,1 = −0, 387, λ̂−1,1 = −0, 4154, λ̂+
1,2 = 0, 4059, λ̂−1,2 = 0, 3955.
При цьому
sup
x∈[0,1]
|ŵ11(x)| ≤ 0, 5632, sup
x∈[0,1]
|ŵ12(x)| ≤ 0, 1264,
а отже, збiжнiсть iтерацiйного методу покращується у випадку вiдмiнностi вiд нуля еле-
ментiв матриць Cp(x), Qp(x). За наближений розв’язок розглядуваної задачi приймаємо
ŷ11(x) =
1
2
(ẑ11(x) + v̂11(x)) =
= 207, 809 + 12, 02x− 0, 167x2 + 0, 7371 · 10−2x3+
+ 0, 1965 · 10−3x4 + 0, 4375 · 10−3x5+
+ cos
(πx
6
) (
−206, 809 + 28, 8496x + 17, 2663x2 − 0, 4044x3 − 0, 1358x4
)
+
+ sin
(πx
6
) (
−76, 3879− 86, 4858x + 4, 6344x2 + 2, 075x3
)
,
ŷ12(x) =
1
2
(ẑ12(x) + v̂12(x)) = 1 + 6, 2492 · 10−3x− 0, 1371x2+
+ 6, 6426 · 10−3x3 − 3, 988 · 10−3x4 − 7, 2305 · 10−5x5 + 4, 67 · 10−4x6,
λ̂11 =
1
2
(λ+
11 + λ−11) = −0, 40121, λ̂12 =
1
2
(λ+
12 + λ−12) = 0, 40074.
Вiдмiтимо, що
sup
x∈[0,1]
|y1(x)− ŷ11| ≤ 4, 4 · 10−2, sup
x∈[0,1]
|y2(x)− ŷ12| ≤ 6, 4 · 10−3
та |λ1 − λ̂11| = 1, 2 · 10−3, |λ2 − λ̂12| = 7, 4 · 10−4, де (yi, λi)2i=1 — точний розв’язок розгля-
дуваної крайової задачi.
1. Самойленко А. М., Ронто Н. И. Численно-аналитические методы теории краевых задач обыкновен-
ных дифференциальных уравнений. — Киев: Наук. думка, 1992. — 280 с.
2. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука, 1969. — 528 с.
3. Маринец В. В. Об одном подходе построения итерационных методов приближенного интегрирования
краевых задач теории пластин и оболочек // Мат. VIII Всесоюз. конф. „Численные методы решения
задач теории упругости и пластичности”. — Новосибирск, 1984. — С. 194 – 198.
4. Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П., Рутицкий Я. Б., Стеценко В. Я. Приближен-
ное решение операторных уравнений. — М.: Наука, 1969. — 456 с.
Одержано 11.06.06,
пiсля доопрацювання — 20.03.08
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178202 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-27T16:03:33Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Маринець, В.В. Питьовка, О.Ю. 2021-02-18T08:15:36Z 2021-02-18T08:15:36Z 2008 Про один пiдхiд дослiдження задач з параметрами у крайових умовах / В.В. Маринець, О.Ю. Питьовка // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 3. — С. 348-364. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178202 519.624.3 Исследуется одна быстросходящаяся модификация двустороннего метода приближенного интегрирования краевой задачи с параметрами в краевых условиях для случая системы квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка. We study a rapidly convergent modification of a two-sided method for approximate integration of a parametrized boundary-value problem for a system of quasilinear second-order differential equations. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Про один пiдхiд дослiдження задач з параметрами у крайових умовах On a way of investigation of problems with parameters in boundary conditions Article published earlier |
| spellingShingle | Про один пiдхiд дослiдження задач з параметрами у крайових умовах Маринець, В.В. Питьовка, О.Ю. |
| title | Про один пiдхiд дослiдження задач з параметрами у крайових умовах |
| title_alt | On a way of investigation of problems with parameters in boundary conditions |
| title_full | Про один пiдхiд дослiдження задач з параметрами у крайових умовах |
| title_fullStr | Про один пiдхiд дослiдження задач з параметрами у крайових умовах |
| title_full_unstemmed | Про один пiдхiд дослiдження задач з параметрами у крайових умовах |
| title_short | Про один пiдхiд дослiдження задач з параметрами у крайових умовах |
| title_sort | про один пiдхiд дослiдження задач з параметрами у крайових умовах |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178202 |
| work_keys_str_mv | AT marinecʹvv proodinpidhiddoslidžennâzadačzparametramiukraiovihumovah AT pitʹovkaoû proodinpidhiddoslidžennâzadačzparametramiukraiovihumovah AT marinecʹvv onawayofinvestigationofproblemswithparametersinboundaryconditions AT pitʹovkaoû onawayofinvestigationofproblemswithparametersinboundaryconditions |