Усреднение дифференциальных уравнений с интегрируемой по Перрону правой частью
Розглянуто узагальнення теореми Боголюбова на диференцiальнi рiвняння з iнтегровною за Перроном правою частиною. We consider an extension of Bogolyubov’s theorem to differential equations with Perron integrable righthand side....
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Datum: | 2008 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178204 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Усреднение дифференциальных уравнений с интегрируемой по Перрону правой частью / В.А. Плотников, А.В. Романюк // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 3. — С. 387-395. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859827197181689856 |
|---|---|
| author | Плотников, В.А. Романюк, А.В. |
| author_facet | Плотников, В.А. Романюк, А.В. |
| citation_txt | Усреднение дифференциальных уравнений с интегрируемой по Перрону правой частью / В.А. Плотников, А.В. Романюк // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 3. — С. 387-395. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Розглянуто узагальнення теореми Боголюбова на диференцiальнi рiвняння з iнтегровною за
Перроном правою частиною.
We consider an extension of Bogolyubov’s theorem to differential equations with Perron integrable righthand side.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:30:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.911.5, 517.928
УСРЕДНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ИНТЕГРИРУЕМОЙ ПО ПЕРРОНУ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ
В. А. Плотников, А. В. Романюк
Одес. нац. ун-т
Украина, 65026, Одесса, ул. Дворянская, 2
e-mail: roleks@gmail.com
We consider an extension of Bogolyubov’s theorem to differential equations with Perron integrable right-
hand side.
Розглянуто узагальнення теореми Боголюбова на диференцiальнi рiвняння з iнтегровною за
Перроном правою частиною.
Обобщение теоремы Боголюбова на дифференциальные уравнения с интегрируемой по
Лебегу правой частью при выполнении теоремы существования решения уравнения Ка-
ратеодори [1, 2] получено в [3]. Решение уравнения с интегрируемой по Лебегу правой
частью ищут в классе абсолютно непрерывных функций x(t) ∈ AC [2, 4, 5]. В [6] приве-
ден обзор работ по обобщению теоремы Боголюбова.
Рассмотрим дифференциальное уравнение стандартного вида с интегрируемой по Пер-
рону [4, 5] правой частью
ẋ = εX(t, x), x(0) = x0, (1)
где x — n-мерный фазовый вектор, ε > 0 — малый параметр, t ∈ I =
[
0, Lε−1
]
.
Дифференциальные уравнения с интегрируемой по Перрону правой частью
рассматриваются, например, в [1, 7]. В [1] приведена теорема существования и единствен-
ности решения дифференциальных уравнений с интегрируемой по Перрону правой
частью. При этом решение принадлежит классу обобщенных абсолютно непрерывных
функций x(t)∈ACG∗ [5, 7].
Уравнению (1) поставим в соответствие усредненное дифференциальное уравнение
ξ̇ = εX(ξ), ξ(0) = x0, (2)
где
X(x) = lim
T→∞
1
T
T∫
0
X(t, x)dt. (3)
Здесь интеграл понимается в смысле Перрона.
Теорема 1. Пусть в области Q = {t ≥ 0, x∈D ⊂ Rn} выполнены следующие условия:
1) в любом R = {(t, x)|t ∈ [a, b], ‖x − x0‖ ≤ r} ⊂ Q функция X(t, x) интегрируема
по Перрону по t при любом фиксированном x и непрерывна по x при любом фиксирован-
ном t;
c© В. А. Плотников, А. В. Романюк, 2008
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3 387
388 В. А. ПЛОТНИКОВ, А. В. РОМАНЮК
2) существуют суммируемая функция H(t) и H0 такое, что для любых (t, x′), (t, x′′) ∈
∈ Q
‖X(t, x′)−X(t, x′′)‖ < H(t)‖x′ − x′′‖,
t2∫
t1
H(t) dt ≤ H0(t2 − t1)
для любого конечного сегмента [t1, t2];
3) равномерно относительно x ∈ D существует предел в (3);
4) решение ξ(t) усредненной системы (2), x0 ∈ D′ ⊂ D, определено для всех t ≥ 0 и
лежит вместе с ρ-окрестностью в области D.
Тогда для любого сколь угодно малого η > 0 и сколь угодно большого L > 0 сущест-
вует ε0(η, L) > 0 такое, что при 0 < ε ≤ ε0 на отрезке 0 ≤ t ≤ Lε−1 выполняется
неравенство
‖x(t)− ξ(t)‖ ≤ η,
где x(t), ξ(t) — решения систем (1) и (2) соответственно.
Доказательство. Как и при доказательстве теоремы Боголюбова [8], можно показать,
что функция X(x) удовлетворяет условию Липшица с постоянной H0.
Из условий 1, 2 теоремы и [4] следует, что на сегменте
[
0, Lε−1
]
системы (1) и (2)
имеют единственные решения x(t) и ξ(t) :
x(t) = x0 + ε
t∫
0
X(s, x(s))ds,
ξ(t) = x0 + ε
t∫
0
X(ξ(s))ds.
Рассмотрим
x(t)− ξ(t) = ε
t∫
0
[X(τ, x)−X(τ, ξ)]dτ + ε
t∫
0
[
X(τ, ξ)−X(ξ)
]
dτ,
откуда
‖x(t)− ξ(t)‖ ≤ ε
t∫
0
H(τ)‖x(τ)− ξ(τ)‖dτ + ε
∥∥∥∥∥∥
t∫
0
[
X(τ, ξ)−X(ξ)
]
dτ
∥∥∥∥∥∥ . (4)
Согласно лемме Гронуолла – Беллмана
‖x(t)− ξ(t)‖ ≤ ε exp{LH0} sup
t∈[0,Lε−1]
∥∥∥∥∥∥
t∫
0
[
X(τ, ξ)−X(ξ)
]
dτ
∥∥∥∥∥∥ .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
УСРЕДНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ИНТЕГРИРУЕМОЙ ПО ПЕРРОНУ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ 389
Оценим интеграл в последнем множителе. Положим ϕ(τ, ξ) := X(τ, ξ)−X(ξ), тогда∥∥∥∥∥∥ε
t∫
0
[X(τ, ξ)−X(ξ)]dτ
∥∥∥∥∥∥ =
∥∥∥∥∥∥ε
t∫
0
ϕ(τ, ξ(τ))dτ
∥∥∥∥∥∥ .
Разделим отрезок I на m равных частей точками ti =
Li
εm
, i = 0,m; ξi := ξ(ti), i = 0,m.
Тогда для t ∈ [tk, tk+1), 0 ≤ k ≤ m− 1,
ε
t∫
0
ϕ(τ, ξ(τ))dτ =
k−1∑
i=0
ε
ti+1∫
ti
ϕ(τ, ξ(τ))dτ + ε
t∫
tk
ϕ(τ, ξ(τ))dτ =
=
k−1∑
i=0
ε
ti+1∫
ti
[ϕ(τ, ξ(τ))− ϕ(τ, ξi)]dτ +
k−1∑
i=0
ε
ti+1∫
ti
ϕ(τ, ξi)dτ+
+ ε
t∫
tk
[ϕ(τ, ξ(τ))− ϕ(τ, ξi)]dτ + ε
t∫
tk
ϕ(τ, ξi)dτ.
Запишем уравнение (2) в виде
dξ
dτ
= X(ξ),
где τ = εt, τ ∈ [0, L]. Тогда из условия 2 теоремы в силу непрерывности ξ(τ), τ ∈ [0, L],
следует ∥∥∥∥∥∥ε
ti+1∫
ti
[ϕ(τ, ξ(τ))− ϕ(τ, ξi)]dτ
∥∥∥∥∥∥ ≤ ε
ti+1∫
ti
(H(τ) + H0)‖ξ(τ)− ξi‖dτ ≤ 2LH0σ
m
,
∥∥∥∥∥∥
k−1∑
i=0
ε
ti+1∫
ti
[ϕ(τ, ξ(τ))− ϕ(τ, ξi)]dτ
∥∥∥∥∥∥ +
∥∥∥∥∥∥ε
t∫
tk
[ϕ(τ, ξ(τ))− ϕ(τ, ξi)]dτ
∥∥∥∥∥∥ ≤ 2LH0σ,
и для любого η > 0 найдется σ0 такое, что при 0 < σ ≤ σ0
2LH0σ exp{LH0} <
η
2
. (5)
В силу условия 3 можно построить монотонную убывающую функцию f(t) −→
t→∞
0 такую,
что ∥∥∥∥∥∥
t∫
0
ϕ(s, x)ds
∥∥∥∥∥∥ ≤ tf(t), x ∈ D.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
390 В. А. ПЛОТНИКОВ, А. В. РОМАНЮК
Очевидно, что ∥∥∥∥∥∥ε
ti∫
0
ϕ(τ, ξi)dτ
∥∥∥∥∥∥ ≤ εtif(ti) ≤ F (ε),
∥∥∥∥∥∥ε
t∫
0
ϕ(τ, ξi)dτ
∥∥∥∥∥∥ ≤ εtf(t) ≤ F (ε),
где F (ε) = sup
τ∈[0,L]
[τf(τε−1)] −→
ε→0
0.
Тогда∥∥∥∥∥∥
k−1∑
i=0
ε
ti+1∫
ti
ϕ(τ, ξi)dτ
∥∥∥∥∥∥ +
∥∥∥∥∥∥ε
t∫
tk
ϕ(τ, ξi)dτ
∥∥∥∥∥∥ ≤
∥∥∥∥∥∥
k−1∑
i=0
ε
ti+1∫
0
ϕ(τ, ξi)dτ
∥∥∥∥∥∥+
+
∥∥∥∥∥∥
k−1∑
i=0
ε
ti∫
0
ϕ(τ, ξi)dτ
∥∥∥∥∥∥ +
∥∥∥∥∥∥ε
tk∫
0
ϕ(τ, ξi)dτ
∥∥∥∥∥∥ +
∥∥∥∥∥∥ε
t∫
0
ϕ(τ, ξi)dτ
∥∥∥∥∥∥ < 2mF (ε),
и для любого η > 0 найдутся m и ε0 такие, что при 0 < ε ≤ ε0
2mF (ε) exp{LH0} <
η
2
. (6)
Из (4) – (6) имеем
‖x(t)− ξ(t)‖ ≤ 2[σLH0 + mF (ε)] exp (LH0) ≡ α(ε, m) < η.
Зафиксируем m. Если ε0 будем находить из условия
2mF (ε0) exp (LH0) <
η
2
,
то получим утверждение теоремы при условии, что x(·) не выходит из области Q на I .
Покажем, что это так.
Действительно, поскольку x0 ∈ intQ, на некотором отрезке [0, t′] решение x(·) при-
надлежит Q. Выберем ε0 и m так, чтобы
α(ε, m) < min
{ρ
2
,
η
2
}
.
Тогда на I будем иметь
‖x(t)− ξ(t)‖ <
ρ
2
.
Если предположить, что t′ < Lε−1, то на I, в силу непрерывности решений x(t) и ξ(t),
найдется точка t′′, в которой будет выполняться неравенство
ρ
2
< ‖x(t′′)− ξ(t′′)‖ < ρ.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
УСРЕДНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ИНТЕГРИРУЕМОЙ ПО ПЕРРОНУ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ 391
Но отсюда следует, что при t = t′′ решение не вышло из области Q. Поэтому t′′ ∈ [0, t′],
и тогда ‖x(t′′)− ξ(t′′)‖ ≤ ρ
2
. Получили противоречие. Следовательно, t′′ ≥ Lε−1.
Теорема доказана.
Пример 1. Рассмотрим дифференциальное уравнение
ẋ = ε[f(t)x], x(0) = x0, (7)
где f(t) =
t−
5
4 sin
1√
t
+ D(t), t 6= 2πi,
0, t = 2πi,
а D(t) — функция Дирихле.
Функция f(t) не интегрируема ни по Риману, ни по Лебегу, но интегрируема по Пер-
рону. Ее среднее
f =
1√
2π
(
1− 2S
(
1
4
√
2π
))
,
где S(y) =
√
2
π
∫ y
0
sin t2dt — интеграл Френеля.
Уредненное уравнение, соответствующее (7), имеет вид
ẏ = εfy, y(0) = x0.
Теперь пусть существует такая функция X̃(t, x), для которой
lim
T→∞
1
T
T∫
0
[
X(t, x)− X̃(t, x)
]
dt = 0. (8)
Системе (1) поставим в соответствие систему
ξ̇ = εX̃(t, ξ), ξ(0) = x0, (9)
и назовем ее частично усредненной.
Теорема 2. Пусть в области Q = {t ≥ 0, x∈D ⊂ Rn} выполнены следующие условия:
1) в любом R = {(t, x)|t ∈ [a, b], ‖x − x0‖ ≤ r} ⊂ Q функции X(t, x) и X̃(t, x) интег-
рируемы по Перрону по t при любом фиксированном x и непрерывны по x при любом
фиксированном t;
2) существуют суммируемая функция H(t) и H0 такое, что для любых (t, x′), (t, x′′) ∈
∈ Q
‖X(t, x′)−X(t, x′′)‖ < H(t)‖x′ − x′′‖,
‖X̃(t, x′)− X̃(t, x′′)‖ < H(t)‖x′ − x′′‖,
t2∫
t1
H(t)dt ≤ H0(t2 − t1)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
392 В. А. ПЛОТНИКОВ, А. В. РОМАНЮК
для любого конечного сегмента [t1, t2];
3) равномерно относительно x ∈ D существует предел в (8);
4) решение ξ(t) частично усредненной системы (9), x0 ∈ D′ ⊂ D, определено для
всех t ≥ 0 и лежит вместе с ρ-окрестностью в области D.
Тогда для любого сколь угодно малого η > 0 и сколь угодно большого L > 0 су-
ществует ε0(η, L) > 0 такое, что при 0 < ε ≤ ε0 на отрезке 0 ≤ t ≤ Lε−1 выполняется
неравенство
‖x(t)− ξ(t)‖ ≤ η,
где x(t) и ξ(t) — решения систем (1) и (9) соответственно.
Доказательство. Из условий 1, 2 теоремы и [4] следует, что на сегменте
[
0, Lε−1
]
системы (1) и (9) имеют единственные решения x(t) и ξ(t) :
x(t) = x0 + ε
t∫
0
X(s, x(s))ds,
ξ(t) = x0 + ε
t∫
0
X̃(s, ξ(s))ds.
Рассмотрим
x(t)− ξ(t) = ε
t∫
0
[X(τ, x)−X(τ, ξ)] dτ + ε
t∫
0
[
X(τ, ξ)− X̃(τ, ξ)
]
dτ,
откуда
‖x(t)− ξ(t)‖ ≤ ε
t∫
0
H(τ)‖x(τ)− ξ(τ)‖dτ + ε
∥∥∥∥∥∥
t∫
0
[
X(τ, ξ)− X̃(τ, ξ)
]
dτ
∥∥∥∥∥∥ . (10)
По лемме Гронуолла – Беллмана
‖x(t)− ξ(t)‖ ≤ ε exp{LH0} sup
t∈[0,Lε−1]
∥∥∥∥∥∥
t∫
0
[
X(τ, ξ)− X̃(τ, ξ)
]
dτ
∥∥∥∥∥∥ .
Оценим интеграл в последнем множителе.
Разделим отрезок I на m равных частей точками ti =
Li
εm
, i = 0,m; ξi := ξ(ti), i =
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
УСРЕДНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ИНТЕГРИРУЕМОЙ ПО ПЕРРОНУ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ 393
= 0,m. Тогда для t ∈ [tk, tk+1), 0 ≤ k ≤ m− 1,
ε
∥∥∥∥∥∥
t∫
0
[
X(τ, ξ(τ))− X̃(τ, ξ(τ))
]
dτ
∥∥∥∥∥∥ ≤
≤ ε
∥∥∥∥∥∥
k−1∑
i=0
ti+1∫
ti
[X(τ, ξ(τ))−X(τ, ξi)] dτ
∥∥∥∥∥∥ + ε
∥∥∥∥∥∥
k−1∑
i=0
ti+1∫
ti
[
X̃(τ, ξ(τ))− X̃(τ, ξi)
]
dτ
∥∥∥∥∥∥+
+ε
∥∥∥∥∥∥
k−1∑
i=0
ti+1∫
0
[
X(τ, ξi)− X̃(τ, ξi)
]
dτ
∥∥∥∥∥∥ + ε
∥∥∥∥∥∥
k∑
i=1
ti∫
0
[
X(τ, ξi)− X̃(τ, ξi)
]
dτ
∥∥∥∥∥∥+
+ε
∥∥∥∥∥∥
tk∫
0
[
X(τ, ξ(τ))− X̃(τ, ξ(τ))
]
dτ
∥∥∥∥∥∥ + ε
∥∥∥∥∥∥
t∫
0
[
X(τ, ξ(τ))− X̃(τ, ξ(τ))
]
dτ
∥∥∥∥∥∥ .
Запишем уравнение (9) в виде
dξ
dτ
= X̃(τ, ξ),
где τ = εt, τ ∈ [0, L]. Тогда из условия 2 теоремы в силу непрерывности ξ(τ), τ ∈ [0, L],
следует
ε
∥∥∥∥∥∥
k−1∑
i=0
ti+1∫
ti
[X(τ, ξ(τ))−X(τ, ξi)] dτ
∥∥∥∥∥∥ ≤ LH0σ,
ε
∥∥∥∥∥∥
k−1∑
i=0
ti+1∫
ti
[
X̃(τ, ξ(τ))− X̃(τ, ξi)
]
dτ
∥∥∥∥∥∥ ≤ LH0σ,
и для любого η > 0 найдется σ0 такое, что при 0 < σ ≤ σ0
2LH0σ exp{LH0} <
η
2
. (11)
В силу условия 3 можно построить монотонную убывающую функцию f(t) −→
t→∞
0
такую, что ∥∥∥∥∥∥
t∫
0
[
X(τ, x)− X̃(τ, x)
]
dτ
∥∥∥∥∥∥ ≤ tf(t), x ∈ D.
Отсюда
ε
∥∥∥∥∥∥
t∫
0
[
X(τ, ξ(τ))− X̃(τ, ξ(τ))
]
dτ
∥∥∥∥∥∥ ≤ εtf(t) ≤ F (ε),
где F (ε) = sup
τ∈[0,L]
[τf(τε−1)] −→
ε→0
0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
394 В. А. ПЛОТНИКОВ, А. В. РОМАНЮК
Следовательно,
ε
∥∥∥∥∥∥
k−1∑
i=0
ti+1∫
0
[
X(τ, ξi)− X̃(τ, ξi)
]
dτ
∥∥∥∥∥∥ + ε
∥∥∥∥∥∥
k∑
i=1
ti∫
0
[
X(τ, ξi)− X̃(τ, ξi)
]
dτ
∥∥∥∥∥∥+
+ ε
∥∥∥∥∥∥
tk∫
0
[
X(τ, ξ(τ))− X̃(τ, ξ(τ))
]
dτ
∥∥∥∥∥∥ + ε
∥∥∥∥∥∥
t∫
0
[
X(τ, ξ(τ))− X̃(τ, ξ(τ))
]
dτ
∥∥∥∥∥∥ ≤
≤ 2mF (ε).
Тогда для любого η > 0 найдутся m и ε0 такие, что при 0 < ε ≤ ε0
2mF (ε) exp{LH0} <
η
2
. (12)
Из (10) – (12) имеем
‖x(t)− ξ(t)‖ ≤ 2[σLH0 + mF (ε)] exp (LH0) ≡ α(ε, m) < η.
Зафиксируем m. Если ε0 будем находить из условия
2mF (ε0) exp (LH0) <
η
2
,
то получим утверждение теоремы при условии, что x(·) не выходит из области Q на I .
Покажем, что это так.
Действительно, поскольку x0 ∈ intQ, то на некотором отрезке [0, t′] решение x(·)
принадлежит Q. Выберем ε0 и m так, чтобы
α(ε, m) < min
{ρ
2
,
η
2
}
.
Тогда на I будем иметь
‖x(t)− ξ(t)‖ <
ρ
2
.
Если предположить, что t′ < Lε−1, то на I , в силу непрерывности решений x(t) и ξ(t),
найдется точка t′′, в которой будет выполняться неравенство
ρ
2
< ‖x(t′′)− ξ(t′′)‖ < ρ.
Но отсюда следует, что при t = t′′ решение не вышло из области Q. Поэтому t′′ ∈ [0, t′],
и тогда ‖x(t′′)− ξ(t′′)‖ ≤ ρ
2
. Получили противоречие. Следовательно, t′′ ≥ Lε−1.
Теорема доказана.
1. Еругин Н. П., Штокало И. З., Бондаренко П. С. и др. Курс обыкновенных дифференциальных урав-
нений. — Киев: Вища шк., 1974.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
УСРЕДНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ИНТЕГРИРУЕМОЙ ПО ПЕРРОНУ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ 395
2. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985. —
224 с.
3. Хапаев М. М. О методе усреднения в некоторых задачах, связанных с усреднением // Дифференц. урав-
нения. — 1966. — 11, № 5. — С. 600 – 608.
4. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. — М.: Наука, 1974. — 480 с.
5. Сакс С. Теория интеграла. — М.: Изд-во иностр. лит., 1949. — 495 с.
6. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. — Киев: Наук. думка, 1971. — 440 с.
7. Филиппов В. В. Что такое пространства решений обыкновенных дифференциальных уравнений. —
М.: Изд-во ММФ МГУ, 1996. — 112 с.
8. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механику. — Киев: Изд-во АН УССР, 1937. —
363 с.
Получено 02.11.07
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178204 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:30:21Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Плотников, В.А. Романюк, А.В. 2021-02-18T08:16:28Z 2021-02-18T08:16:28Z 2008 Усреднение дифференциальных уравнений с интегрируемой по Перрону правой частью / В.А. Плотников, А.В. Романюк // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 3. — С. 387-395. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178204 517.911.5, 517.928 Розглянуто узагальнення теореми Боголюбова на диференцiальнi рiвняння з iнтегровною за Перроном правою частиною. We consider an extension of Bogolyubov’s theorem to differential equations with Perron integrable righthand side. ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Усреднение дифференциальных уравнений с интегрируемой по Перрону правой частью Усереднення диференціальних рівнянь з інтегрованою за Перроном правою частиною Averaging differential equations with right part integrated by Perron Article published earlier |
| spellingShingle | Усреднение дифференциальных уравнений с интегрируемой по Перрону правой частью Плотников, В.А. Романюк, А.В. |
| title | Усреднение дифференциальных уравнений с интегрируемой по Перрону правой частью |
| title_alt | Усереднення диференціальних рівнянь з інтегрованою за Перроном правою частиною Averaging differential equations with right part integrated by Perron |
| title_full | Усреднение дифференциальных уравнений с интегрируемой по Перрону правой частью |
| title_fullStr | Усреднение дифференциальных уравнений с интегрируемой по Перрону правой частью |
| title_full_unstemmed | Усреднение дифференциальных уравнений с интегрируемой по Перрону правой частью |
| title_short | Усреднение дифференциальных уравнений с интегрируемой по Перрону правой частью |
| title_sort | усреднение дифференциальных уравнений с интегрируемой по перрону правой частью |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178204 |
| work_keys_str_mv | AT plotnikovva usredneniedifferencialʹnyhuravneniisintegriruemoipoperronupravoičastʹû AT romanûkav usredneniedifferencialʹnyhuravneniisintegriruemoipoperronupravoičastʹû AT plotnikovva userednennâdiferencíalʹnihrívnânʹzíntegrovanoûzaperronompravoûčastinoû AT romanûkav userednennâdiferencíalʹnihrívnânʹzíntegrovanoûzaperronompravoûčastinoû AT plotnikovva averagingdifferentialequationswithrightpartintegratedbyperron AT romanûkav averagingdifferentialequationswithrightpartintegratedbyperron |