О слабых критических частично упорядоченных множествах относительно положительной определённости квадратичной формы Титса

О слабых критических частично упорядоченных множествах относительно положительной определённости квадратичной формы Титса

Нехай S — скiнченна P-критична частково впорядкована множина (тобто частково впорядкована множина, критична вiдносно додатної визначеностi квадратичної форми Тiтса). Множину S назвемо слабкою P-критичною, якщо будь-яка нескiнченна частково впорядкована множина X ⊃ S мiстить P-критичну пiдмножину, як...

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Published in:Нелінійні коливання
Date:2008
Main Author: Полищук, А.М.
Format: Article
Language:Russian
Published: Інститут математики НАН України 2008
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178205
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:О слабых критических частично упорядоченных множествах относительно положительной определённости квадратичной формы Титса / А.М. Полищук // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 3. — С. 396-408. — Бібліогр.: 26 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178205
record_format dspace
spelling Полищук, А.М.
2021-02-18T08:16:45Z
2021-02-18T08:16:45Z
2008
О слабых критических частично упорядоченных множествах относительно положительной определённости квадратичной формы Титса / А.М. Полищук // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 3. — С. 396-408. — Бібліогр.: 26 назв. — рос.
1562-3076
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178205
512.647.2+512.562
Нехай S — скiнченна P-критична частково впорядкована множина (тобто частково впорядкована множина, критична вiдносно додатної визначеностi квадратичної форми Тiтса). Множину S назвемо слабкою P-критичною, якщо будь-яка нескiнченна частково впорядкована множина X ⊃ S мiстить P-критичну пiдмножину, яка не iзоморфна S. У статтi доведено iснування слабких P-критичних множин.
Let S be a finite P-critical partially ordered set, is a partially ordered set that is critical with respect to positive definiteness of a quadratic Tits form. A set S is called weakly P-critical if any infinite partially ordered set X ⊃ S contains a P-critical subset that is not isomorphic to S. We give a direct proof of existence of weakly P-critical sets.
ru
Інститут математики НАН України
Нелінійні коливання
О слабых критических частично упорядоченных множествах относительно положительной определённости квадратичной формы Титса
Про слабкі критичні частково впорядковані множини відносно додатної визначеності квадратичної форми Тітса
On weak crytical partially ordered sets relative to positively definite Tits quadratic form
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title О слабых критических частично упорядоченных множествах относительно положительной определённости квадратичной формы Титса
spellingShingle О слабых критических частично упорядоченных множествах относительно положительной определённости квадратичной формы Титса
Полищук, А.М.
title_short О слабых критических частично упорядоченных множествах относительно положительной определённости квадратичной формы Титса
title_full О слабых критических частично упорядоченных множествах относительно положительной определённости квадратичной формы Титса
title_fullStr О слабых критических частично упорядоченных множествах относительно положительной определённости квадратичной формы Титса
title_full_unstemmed О слабых критических частично упорядоченных множествах относительно положительной определённости квадратичной формы Титса
title_sort о слабых критических частично упорядоченных множествах относительно положительной определённости квадратичной формы титса
author Полищук, А.М.
author_facet Полищук, А.М.
publishDate 2008
language Russian
container_title Нелінійні коливання
publisher Інститут математики НАН України
format Article
title_alt Про слабкі критичні частково впорядковані множини відносно додатної визначеності квадратичної форми Тітса
On weak crytical partially ordered sets relative to positively definite Tits quadratic form
description Нехай S — скiнченна P-критична частково впорядкована множина (тобто частково впорядкована множина, критична вiдносно додатної визначеностi квадратичної форми Тiтса). Множину S назвемо слабкою P-критичною, якщо будь-яка нескiнченна частково впорядкована множина X ⊃ S мiстить P-критичну пiдмножину, яка не iзоморфна S. У статтi доведено iснування слабких P-критичних множин. Let S be a finite P-critical partially ordered set, is a partially ordered set that is critical with respect to positive definiteness of a quadratic Tits form. A set S is called weakly P-critical if any infinite partially ordered set X ⊃ S contains a P-critical subset that is not isomorphic to S. We give a direct proof of existence of weakly P-critical sets.
issn 1562-3076
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178205
citation_txt О слабых критических частично упорядоченных множествах относительно положительной определённости квадратичной формы Титса / А.М. Полищук // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 3. — С. 396-408. — Бібліогр.: 26 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT poliŝukam oslabyhkritičeskihčastičnouporâdočennyhmnožestvahotnositelʹnopoložitelʹnoiopredelennostikvadratičnoiformytitsa
AT poliŝukam proslabkíkritičníčastkovovporâdkovanímnožinivídnosnododatnoíviznačenostíkvadratičnoíformitítsa
AT poliŝukam onweakcryticalpartiallyorderedsetsrelativetopositivelydefinitetitsquadraticform
first_indexed 2025-11-25T23:10:35Z
last_indexed 2025-11-25T23:10:35Z
_version_ 1850579186671943680
fulltext УДК 512.647.2+512.562 О СЛАБЫХ КРИТИЧЕСКИХ ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВАХ ОТНОСИТЕЛЬНО ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ ТИТСА А. М. Полищук Киев. нац. ун-т им. Т. Шевченко Украина, 01107, Киев 127, просп. Акад. Глушкова, 6 e-mail: apol@ukr.net Let S be a finite P -critical partially ordered set, is a partially ordered set that is critical with respect to positive definiteness of a quadratic Tits form. A set S is called weakly P -critical if any infinite partially ordered set X ⊃ S contains a P -critical subset that is not isomorphic to S. We give a direct proof of existence of weakly P -critical sets. Нехай S — скiнченна P -критична частково впорядкована множина (тобто частково впоряд- кована множина, критична вiдносно додатної визначеностi квадратичної форми Тiтса). Мно- жину S назвемо слабкою P -критичною, якщо будь-яка нескiнченна частково впорядкована мно- жина X ⊃ S мiстить P -критичну пiдмножину, яка не iзоморфна S. У статтi доведено iснуван- ня слабких P -критичних множин. Квадратичные формы возникают и играют важную роль в различных областях матема- тики (алгебре, геометрии, теории дифференциальных уравнений, теории интегральных и функциональных уравнений, теории операторов и др., см., например, [1 – 21]). В этой ста- тье рассматриваются соответствующие частично упорядоченным множествам квадра- тичные формы, которые называют квадратичными формами Титса. 1. Предварительные сведения. Приведем некоторые определения и результаты, свя- занные с квадратичной формой Титса для частично упорядоченных множеств. 1.1. Форма Титса частично упорядоченных множеств. Пусть S — (конечное или беско- нечное) частично упорядоченное (сокращенно ч. у.) множество и Z — множество целых чисел. Рассмотрим в декартовом произведении ZS∪0 подмножество ZS∪0 0 , состоящее из всех векторов z = (zi) с конечным числом ненулевых координат. Квадратичной формой Титса для S называется форма qS : ZS∪0 0 → Z, задаваемая равенством qS(z) = z2 0 + ∑ i∈S z2 i + ∑ i<j,i,j∈S zizj − z0 ∑ i∈S zi (эта форма для конечных ч. у. множеств впервые рассматривалась в работе [22], а для бесконечных ч. у. множеств определена в работе [23]). Как и любая квадратичная фор- ма, форма Титса qS(z) называется положительно определенной, если qS(z) > 0 для всех ненулевых допустимых значениях z = (zi). Напомним еще некоторые определения. Говорят, что ч. у. множество S является суммой своих подмножеств A1 и A2, если S = = A1 ∪ A2 и A1 ∩ A2 = ∅. Если при этом элементы b ∈ A1 и c ∈ A2 всегда несравнимы, c© А. М. Полищук, 2008 396 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3 О СЛАБЫХ КРИТИЧЕСКИХ ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВАХ . . . 397 то сумму называют прямой. Далее, согласно [24] сумма S = A1 + A2 называется левой (соответственно правой), если из b < c, где b и c принадлежат разным слагаемым, следует, что b ∈ A1 и c ∈ A2 (соответственно b ∈ A2 и c ∈ A1), и минимаксной, если для таких же b и c следует, что b является минимальным, а c — максимальным в S. Сумма называется односторонней, если она является левой или правой. Любое линейное упорядоченное множество называется также цепью, а ч. у. множе- ство с единственной парой несравнимых элементов — почти цепью. В работе [24] доказана следующая теорема. Теорема 1. Бесконечное ч. у. множество S имеет положительно определенную фор- му Титса в том и только в том случае, когда выполняется одно из следующих условий: 1) S — прямая сумма двух цепей; 2) S — односторонняя минимаксная сумма двух цепей; 3) S — прямая сумма цепи и почти цепи. Заметим, что в условиях 1 и 3 цепи могут быть пустыми. Графически ч. у. множества, указанные в условиях 1 – 3, имеют следующий вид: 1) 2) q q�� � � � � � � �� 3) q qq q�� @@ @@ �� где вертикальные линии являются цепями, а наклонные отрезки не содержат промежу- точных точек. Напомним что ч. у. множество с неположительно определенной формой Титса на- зывается P -критическим, если любое его собственное подмножество имеет положитель- но определенную форму Титса. В [24] указана некоторая конечная совокупностьX конечных P -критических ч. у. мно- жеств, такая, что любое бесконечное ч. у. множество, форма Титса которого не является положительной, содержит в качестве подмножества хотя бы одно X ∈ X . При этом X (состоящее из 17 ч. у. множеств) содержит не все P -критические множества; кроме то- го, оказалось, что X содержит собственное подмножество с теми же свойствами. Анализ этой ситуации привел к понятию слабо P -критических ч. у. множеств. Настоящая статья посвящена изучению таких множеств. 1.2. Описание P -критических ч. у. множеств. В работе [25] доказано, что произволь- ное P -критическое ч. у. множество является конечным. Все P -критические ч. у. множе- ства описывает следующая теорема. Теорема 2 [26]. Все (с точностью до изоморфизма и двойственности) P -критические ч. у. множества исчерпываются ч. у. множествами, которые указаны в следущей таб- лице: ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3 398 А. М. ПОЛИЩУК s sss � � @ @ 1 ss s� � ss s2 ss ss� � ss 3 ss s � � � �ss s 4 s ss s � � � � � �� ss s5 s ss s � � � � � �� ss 6 s�� ss ss� � � � ss s7 s ss ss� � ss 8 s ss ss � �ss 9 s ss s � � � � ss ss 10 s ss s � � � � ss s s�� 11 s ss s � � � � ss s�� s 12 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3 О СЛАБЫХ КРИТИЧЕСКИХ ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВАХ . . . 399 s ss s � � � � � � � � � �� ss ss 13 s ss s � � � � � � � � � �� ss s s�� 14 s ss s � � ss s s 15 s ss s � � � � � � � �ss s s 16 s ss s � � � � � � � � ss s s 17 s ss s � � � � � �� ssss 18 s ss s � � � � � ��ssss 19 s ss s � � � � ssss 20 s ss s � � s � � ss s 21 s ss s � � s � � s s s�� 22 s ss s � � s � �s s�� s 23 s ss s � � ss s � � � � � � � � s 24 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3 400 А. М. ПОЛИЩУК s s ss � � s � � ss s 25 s ss s � � � � � � � �s � � � � � � � �ss s 26 s ss s � � � � � � � �ss s s�� 27 s ss s � � � � � �� s � � � � � �� s ss 28 s ss s � � � � s � � � � sss 29 s ss s� � @ @ 30 s ss sss 31 s s ss s � �s 32 s s ss s � � � � � � s 33 s ss ss� � � � s HH HH 34 s ss ss ss 35 s s ss s � � � � � �� ss 36 s s ss s � � � � � �� s � �s 37 s ss ss� � � � � ��ss 38 s ss ss� � � � s � � s s 39 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3 О СЛАБЫХ КРИТИЧЕСКИХ ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВАХ . . . 401 s ss ss� � s � � s 40 s ss ss � � � �s�� s 41 s ss ss ss s42 s s ss s � � � � ss s43 s s ss s � � � � ss � �s 44 s s ss s � � � � s � �ss 45 s s ss s � � � � � � � � � �� ss s46 s ss ss� � ss s 47 s ss ss� � � � � � � � ss s 48 s s s ss� � � �s s s49 ss s s ss� � � � s s�� 50 s s s ss� � � �s ss 51 s ss s ss� � � � s s�� 52 s s s ss� � � �s ss53 s ss ss� � ss s54 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3 402 А. М. ПОЛИЩУК s ss ss� � s � � ss 55 s ss ss� � � � � � � � s � � ss 56 s ss ss� � � � � ��s � � s s 57 s s ss ss � � � � � � ss 58 s s ss ss� � � � � �� � � � � ss 59 s s ss ss� � � � � � ss 60 s s ss ss� � � � � � � � ss 61 s s ss s s� � � � � � s s 62 s s ss s s � � � � � � ss 63 s s ss s s � � � � � � � � � � � ��ss 64 s ss ss� � s � � ss 65 s s s ss� � s�� ss 66 s ss ss� � s � � ss 67 s ss ss� � s � � s s�� 68 s ss ss� � s � � s s 69 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3 О СЛАБЫХ КРИТИЧЕСКИХ ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВАХ . . . 403 ss ss ss� � s � � s�� 70 s ss ss� � s � � ss 71 s s ss ss � � � � � � � � ss 72 s s ss ss � � � � � �s s73 ss ss ss� � � � � � ss 74 s s s s 75 Ч. у. множество, которое указано в таблице под номером i, будем обозначать через Ki, а двойственное к нему — через Kop i . 2. Основной результат. P -критическое ч. у. множество S будем называть слабо P -критическим, если любое бесконечное ч. у. множество X ⊃ S содержит P -критическое подмножество, которое не изоморфно S (это определение предложил В. М. Бондарен- ко). Основным результатом данной статьи является следующая теорема. Теорема 3. Слабые P -критические ч. у. множества существуют. Заметим, что в силу теоремы 2 существование P -критических ч. у. множеств, ко- торые не являются слабыми P -критическими, очевидно. Например, таким является P - критическое ч. у. множество T30 = {1, 2, 3, 4 | 1 ≺ 4, 2 ≺ 4, 3 ≺ 4}, поскольку (содержа- щее его) бесконечное ч. у. множество T , которое получается из T30 заменой элемента 4 на бесконечное линейно упорядоченное множество 4 ≺ 5 ≺ 6 ≺ . . . , не содержит, очевидно, P -критических подмножеств, не изоморфных T30. Перейдем к доказательству теоремы. Шириной ч. у. множества S называется максимальное число его попарно несравни- мых элементов. Подмножество X ч. у. множества S будем называть нижним (соответ- ственно верхним), если x ∈ X всякий раз, когда x < y (соответственно x > y) и y ∈ X. Само множество S является, очевидно, как нижним подмножеством, так и верхним. Бу- дем счититать, что пустое подмножество также является нижним и верхним. Рассмотрим следущее ч. у. множество R : ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3 404 А. М. ПОЛИЩУК e 1 e 2 e 4 e3 e 5 6 7 8 e e e � � � � � � @ @ @ @ @ @ Покажем, что это ч. у. множество является слабым P -критическим. Для этого нам понадобятся следующие леммы, которые легко доказываются про- стым перебором всех возможных случаев. Лемма 1. Нижние подмножества ширины w < 3 ч. у. множества R исчерпываются следующими множествами: U1 = ∅, U2 = {1}, U3 = {2}, U4 = {4}, U5 = {1, 2}, U6 = {1, 4}, U7 = {2, 4}, U8 = {1, 2, 3}, U9 = {2, 4, 5}, U10 = {2, 4, 5, 6}, U11 = {2, 4, 5, 6, 7}, U12 = {2, 4, 5, 6, 7, 8}. Лемма 2. Верхние подмножества ширины w < 3 ч. у. множества R исчерпываются следующими множествами: L1 = ∅, L2 = {3}, L3 = {8}, L4 = {3, 8}, L5 = {1, 3}, L6 = {7, 8}, L7 = {3, 7, 8}, L8 = {6, 7, 8}, L9 = {3, 6, 7, 8}, L10 = {5, 6, 7, 8}, L11 = {3, 5, 6, 7, 8}, L12 = {2, 3, 5, 6, 7, 8}, L13 = {4, 5, 6, 7, 8}, L14 = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8}, L15 = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, L16 = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Идея доказательства теоремы 3 состоит в следующем. Пусть T — бесконечное ч. у. множество, содержащее множество S. Поскольку для каждого элемента x ∈ T ч. у. множество {x}< = {y ∈ T | y < x} является нижним, а ч. у. множество {x}> = {y ∈ T | y > x} — верхним, в S существуют нижнее P и верхнее Q подмножества такие, что для некоторого бесконечного подмножества X в S = T \ S выполняется условие {x}< = P и {x}> = Q для любого x ∈ X. Так как можно считать, что ширина ч. у. множества T меньше 4 (иначе, X содержит P -критическое подмноже- ство, изоморфное K75), T содержит бесконечную цепь (линейно упорядоченное множе- ство). Будем считать, что само T является цепью. Итак, достаточно показать, что для каждой тройки P,Q,C, состоящей из нижнего подмножества P ⊆ R, верхнего Q ⊆ R и бесконечной цепи C, ч. у. множество R = = R(P,Q,C) = R∪C (R∩C = ∅), где {c}< = P и {c}> = Q для любого c ∈ C, содержит P -критическое ч. у. множество, не изоморфное R. При этом если w(P ) = 3 или w(Q) = 3, то R содержит P -критическое подмножество, изоморфное K30 или Kop 30 . А если w(P ) < 3 и w(Q) < 3, то нужно рассмотреть все случаи, когда P = Ui и Q = Lj (см. леммы 1 и 2); для фиксированных i и j этот случай будем обозначать через (i.j). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3 О СЛАБЫХ КРИТИЧЕСКИХ ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВАХ . . . 405 Отметим, что случаи, когда Ui∩Lj 6= ∅, не рассматриваются, так как они невозможны (в противном случае для x ∈ Ui ∩ Lj и c ∈ C имеем x < c < x). По этой же причине невозможны случаи (i.j), когда Ui и Lj содержат пару несравнимых элементов x и y (x ∈ ∈ Ui, y ∈ Lj). Рассмотрим остальные случаи (i.j). В случаях (1.1), (1.2), (1.3), (1.4), (1.6), (1.7), (1.8), (1.9), (1.10), (1.11) подмножество, со- стоящее из элементов 1, 2, 4 и фиксированного элемента c ∈ C, изоморфно P -критичес- кому множеству K75. В случае (1.5) подмножество, состоящее из элементов 1, 2, 3, 4, 5 и фиксированных элементов c1, c2 ∈ C(c1 6= c2), изоморфно P -критическому множеству K57. В случае (1.12) подмножество, состоящее из элементов 1, 2, 3, 5 и фиксированных (по- парно различных) элементов c1, c2, c3, c4 ∈ C, изоморфно P -критическому множеству Kop 15 . В случае (1.13) подмножество, состоящее из элементов 1, 2, 3, 4, 5 и фиксированных элементов c1, c2, c3 ∈ C, изоморфно P -критическому множеству K56. В случае (2.1) подмножество, состоящее из элементов 1, 2, 3, 4 и фиксированных эле- ментов c1, c2, c3, c4, c5 ∈ C, изоморфно P -критическому множеству K42. В случае (2.2) подмножество, состоящее из элементов 2, 3, 4, 5 и фиксированных эле- ментов c1, c2, c3, c4 ∈ C, изоморфно P -критическому множеству K56. В случаях (3.1), (3.3), (3.6), (3.8) подмножество, состоящее из элементов 2, 3, 5 и фик- сированного элемента c ∈ C, изоморфно P -критическому множеству Kop 30 . В случаях (3.2), (3.4), (3.7) подмножество, состоящее из элементов 2, 5, 6 и фиксиро- ванных элементов c1, c2, c3, c4, c5 ∈ C, изоморфно P -критическому множеству Kop 17 . В случаях (3.9), (3.10), (3.11) подмножество, состоящее из элементов 4, 6, 7 и фиксиро- ванных элементов c1, c2, c3, c4, c5 ∈ C, изоморфно P -критическому множеству K13. В случае (4.1) подмножество, состоящее из элементов 4, 5, 6, 7 и фиксированных эле- ментов c1, c2, c3 ∈ C, изоморфно P -критическому множеству Kop 9 . В случае (4.3) подмножество, состоящее из элементов 4, 5, 8 и фиксированных эле- ментов c1, c2, c3, c4, c5 ∈ C, изоморфно P -критическому множеству K14. В случае (4.6) подмножество, состоящее из элементов 4, 5, 7 и фиксированных эле- ментов c1, c2, c3, c4, c5 ∈ C, изоморфно P -критическому множеству K14. В случае (4.8) подмножество, состоящее из элементов 4, 5, 6 и фиксированных эле- ментов c1, c2, c3, c4, c5 ∈ C, изоморфно P -критическому множеству K14. В случае (4.10) подмножество, состоящее из элементов 4, 5, 6 и фиксированных эле- ментов c1, c2, c3, c4, c5 ∈ C, изоморфно P -критическому множеству K13. В случае (5.1) подмножество, состоящее из элементов 1, 2, 3 и фиксированного эле- мента c ∈ C, изоморфно P -критическому множеству K1. В случае (5.2) подмножество, состоящее из элементов 2, 3, 5, 6, 7 и фиксированных элементов c1, c2 ∈ C, изоморфно P -критическому множеству Kop 9 . В случае (6.1) подмножество, состоящее из элементов 1, 2, 3, 4, 5 и фиксированного элемента c ∈ C, изоморфно P -критическому множеству K34. В случаях (7.1), (7.3), (7.6), (7.8) подмножество, состоящее из элементов 2, 4, 5 и фикси- рованного элемента c ∈ C, изоморфно P -критическому множеству K1. В случае (7.10) подмножество, состоящее из элементов 2, 3, 4, 5 и фиксированных эле- ментов c1, c2, c3, c4 ∈ C, изоморфно P -критическому множеству K15. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3 406 А. М. ПОЛИЩУК В случае (8.1) подмножество, состоящее из элементов 2, 3, 5, 6, 7 и фиксированных элементов c1, c2 ∈ C, изоморфно P -критическому множеству Kop 9 . В случаях (9.1), (9.3), (9.6), (9.8), (10.1), (10.3), (10.6), (11.1), (11.3), (12.1) подмножество, состоящее из элементов 2, 3, 4, 5 и фиксированных элементов c1, c2, c3, c4 ∈ C, изоморфно P -критическому множеству K15. Теорема 3 доказана. 1. Митропольский Ю. А., Самойленко А. М., Кулик В. Л. Применение квадратичных форм к исследова- нию систем линейных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. — 1985. — 21, № 5. — С. 776 – 788. 2. Дрозд Ю. А. О ручных и диких матричных задачах // Матричные задачи. — Киев: Ин-т математики АН УССР, 1977. — С. 104 – 114. 3. Кочубей А. Н. Фундаментальные решения псевдодифференциальных уравнений, связанных с p-ади- ческими квадратичными формами // Изв. РАН. — 1998. — 62, № 6. — C. 103 – 124. 4. Brenner S. Quivers with commutativity conditions and some phenomenology of forms // Proc. Int. Conf. Represent. Algebras. — Ottawa, Ontario: Carleton Univ., 1974. — Paper № 5. 5. Bongartz K. Algebras and quadratic forms // J. London Math. Soc. — 1983. — 28, № 3. — P. 461 – 469. 6. Ringel C. M. Tame algebras and integral quadratic forms // Lect. Notes Math. — 1984. — 1099. — 376 p. 7. Corovei I. Some functional equations connected with quadratic forms // An. Numér. Théor. Approxim. — 1990. — 19, № 2. — P. 123 – 127. 8. Crandall M. G. Semidifferentials, quadratic forms and fully nonlinear elliptic equations of second order // Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéare. — 1989. — 6, № 6. — P. 419 – 435. 9. Gregory J. Generalized Fredholm quadratic forms and integral differential equations of the second kind // J. Math. Anal. and Appl. — 1970. — 70, № 1. — P. 120 – 130. 10. Al-Naggar I., Pearson D. B. Quadratic forms and solutions of the Schrödinger equation // J. Phys. A. — 1996. — 29, № 20. — P. 6581 – 6584. 11. Kohnen W. Special Siegel modular forms and singular series polynomials of quadratic forms // Contemp. Math. — 2004. — 344. — P. 229 – 236. 12. Bevelacqua A. J. Four dimensional quadratic forms over F (X) where I3 t F (X) = 0 and a failure of the strong Hasse principle // Communs Algebra. — 2004. — 32, № 3. — P. 855 – 877. 13. Teksan A. Representations of positive integers by a direct sum of quadratic forms // Results Math. — 2004. — 46. — P. 146 – 163. 14. Jaschke S., Keúppelberg C., Lindner A. Asymptotic behavior of tails and quantiles of quadratic forms of Gaussian vectors // J. Multivar. Anal. — 2004. — 88, № 2. — P. 252 – 273. 15. Li M., Dezhong C. Systems of Hermitian quadratic forms // Can. Math. Bull. — 2004. — 47, № 1. — P. 73 – 81. 16. Chan W. K., Peters M. Quaternary quadratic forms and Hilbert modular surfaces // Contemp. Math. — 2004. — 344. — P. 85 – 97. 17. Fang F., Pan J. Secondary Brown — Kervaire quadratic forms and π-manifolds // Forum Math. — 2004. — 16, № 4. — P. 459 – 481. 18. Alsina M., Bayer P. Quaternion orders, quadratic forms, and Shimura curves // CRN Monogr. Ser. — 2004. — 22. — 196 p. 19. Ateiwi A. M. A study of dichotomy of linear systems of difference equations using the quadratic forms // J. Fract. Calc. — 2004. — 25. — P. 93 – 100. 20. Shimura G. Arithmetic and analytic theories of quadratic forms and Clifford groups // Math. Surv. and Monogr. — 2004. — 109. — 275 p. 21. Hoffmann D. W., Lanhribi A. Quadratic forms and Pfister neighbors in characteristic 2 // Trans. Amer. Math. Soc. — 2004. — № 10. — P. 4019 – 4052. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3 О СЛАБЫХ КРИТИЧЕСКИХ ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВАХ . . . 407 22. Дрозд Ю. А. Преобразования Кокстера и представления частично упорядоченных множеств // Функ- цион. анализ и его прил. — 1974. — 8. — C. 34 – 42. 23. Бондаренко В. М., Полищук А. М. О квадратичной форме Титса для бесконечных частично упорядо- ченных множеств // Наук. вiсн. Ужгород. ун-ту. — 2002. — Вип. 7. — С. 3 – 8. 24. Бондаренко В. М., Полищук А. М. О критерии положительной определенности для одного класса бесконечных квадратичных форм // Нелiнiйнi коливання. — 2003. — 6, № 1. — С. 3 – 14. 25. Bondarenko V. M., Polishchuk A. M. On finiteness of critical Tits forms of posets // Proc. Fifth Int. Conf. „Symmetry in Nonlinear Math. Phys.”. — Kiev: Inst. Math. Nat. Acad. Sci. Ukraine, 2004. — Pt 2. — P. 1061 – 1963. 26. Бондаренко В. М., Степочкина М. В. (Min, max)-эквивалентность частично упорядоченных множеств и квадратичная форма Титса // Проблеми аналiзу i алгебри: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2005. — 2, № 3. — С. 18 – 58. Получено 29.10.07 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3

Similar Items