Побудова асимптотичних формул для розв'язків сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з виродженням
Получено асимптотическое решение задачи Коши для сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений с вырождением в случае сингулярного граничного пучка матриц. We obtain a solution of the Cauchy problem for a singularly perturbed system of differential equations
 with degeneration in...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178207 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Побудова асимптотичних формул для розв'язків сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з виродженням / П.Ф. Самусенко // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 3. — С. 408-420. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860267193294389248 |
|---|---|
| author | Самусенко, П.Ф. |
| author_facet | Самусенко, П.Ф. |
| citation_txt | Побудова асимптотичних формул для розв'язків сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з виродженням / П.Ф. Самусенко // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 3. — С. 408-420. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Получено асимптотическое решение задачи Коши для сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений с вырождением в случае сингулярного граничного пучка матриц.
We obtain a solution of the Cauchy problem for a singularly perturbed system of differential equations
with degeneration in the case of a singular limit pencil of matrices
|
| first_indexed | 2025-12-07T19:02:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.927.8
ПОБУДОВА АСИМПТОТИЧНИХ ФОРМУЛ
ДЛЯ РОЗВ’ЯЗКIВ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ СИСТЕМ
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ВИРОДЖЕННЯМ
П. Ф. Самусенко
Нац. пед. ун-т
Україна, 01030, Київ, вул. Пирогова, 9
e-mail: pfsam@ukr.net
psamusenko@ukr.net
We obtain a solution of the Cauchy problem for a singularly perturbed system of differential equations
with degeneration in the case of a singular limit pencil of matrices.
Получено асимптотическое решение задачи Коши для сингулярно возмущенной системы диф-
ференциальных уравнений с вырождением в случае сингулярного граничного пучка матриц.
Систематичнi дослiдження систем лiнiйних диференцiальних рiвнянь з виродженою мат-
рицею при похiдних i змiнними коефiцiєнтами було розпочато у 80-х роках минулого сто-
лiття. Так, у роботах [1, 2] наведено умовний подiл зазначених систем на регулярнi i сингу-
лярнi, знайдено канонiчну форму, до якої зводиться регулярна система, введено поняття
загального розв’язку типу Кошi i дослiджено питання про iснування та єдинiсть розв’язку
вiдповiдної початкової задачi. При цьому з допомогою технiки напiвобернених матриць
початкову систему було зведено до гiбридної (алгебраїчно-диференцiальної), що дозво-
лило застосовувати розробленi ранiше методи iнтегрування. Пiсля такого зведення, вза-
галi кажучи, кронекерева структура вiдповiдної в’язки матриць змiнюється, що вимагає
накладання додаткових умов. Для нелiнiйних систем у вказаних роботах розгляд було
обмежено випадком „ранг-степiнь”.
Лiнiйнi сингулярно збуренi системи диференцiальних рiвнянь
εB(t, ε)
dx
dt
= A(t, ε)x, (1)
де A(t, ε), B(t, ε) — квадратнi матрицi n-го порядку такi, що
A(t, ε) =
∞∑
s=0
εsAs(t), B(t, ε) =
∞∑
s=0
εsBs(t),
ε — малий параметр, було розглянуто в роботах [3, 4]. Зокрема, в роботi [5] знайдено
досить загальнi достатнi умови зведення виродженої системи до центральної канонiчної
форми. Це дозволило з’ясувати структуру загального розв’язку системи (1) та визначити
показники степенiв параметра ε, за якими слiд будувати асимптотичнi розвинення шука-
них розв’язкiв.
c© П. Ф. Самусенко, 2008
408 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
ПОБУДОВА АСИМПТОТИЧНИХ ФОРМУЛ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗКIВ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ СИСТЕМ . . . 409
Нелiнiйнi сингулярно збуренi системи
εB(t)
dx
dt
= A(t, ε)x+ εf(x, t, ε) (2)
за умови регулярностi граничної в’язки матриць розглянуто у статтях [6, 7].
У випадку сингулярної граничної в’язки матриць асимптотичнi властивостi розв’язкiв
вироджених систем дослiджено в роботi [8].
У данiй статтi побудовано розв’язок задачi Кошi
εB(t)
dx
dt
= f(x, t, ε), t ∈ [0;T ], (3)
x(0, ε) = x0, (4)
де B(t) — квадратна матриця n-го порядку, f(x, t, ε) — n-вимiрна вектор-функцiя, за умо-
ви сингулярностi в’язки fx(x, t, 0) − λB(t), fx(x, t, 0) — квадратна матриця n-го порядку,
стовпцями якої є
∂fi(x, t, 0)
∂xj
, i, j = 1, n.
Отже, нехай:
1) елементи матрицi B(t) є нескiнченно диференцiйовними на вiдрiзку [0;T ];
2) вектор-функцiя f(x, t, ε) має нескiнченну кiлькiсть неперервних частинних похiдних
за всiма змiнними на множинi
G = {(x, t, ε) : ‖x‖ ≤ a, 0 ≤ t ≤ T, 0 ≤ ε ≤ ε0}, ‖x0‖ < a;
3) рiвняння f(x, t, 0) = 0 для всiх t ∈ [0;T ] має нескiнченно диференцiйовний розв’я-
зок x = ϕ(t, α), t ∈ [0;T ], α ∈ D(α), де α — деякий параметр, а D(α) — область змiни
параметра α;
4) в’язка матриць fx(x, t, 0) − λB(t) є сингулярною, має один мiнiмальний iндекс p >
> 0 для стовпцiв i один мiнiмальний iндекс q > 0 для рядкiв, а також один „скiнченний”
елементарний дiльник кратностi r > 1 та один „нескiнченний” елементарний дiльник
кратностi s > 1, до того ж p+ q + r + s = n;
5) Reλ0(t) < 0, де λ0(t) — власне значення матрицi fx(x, t, 0) вiдносно B(t).
Тодi iснують неособливi на вiдрiзку [0;T ] матрицi P (t), Q(t) такi, що
P (t)fx(x, t, 0)Q(t) = Ω0(t), P (t)B(t)Q(t) = H,
де
Ω0(t) = diag{Mp,Mq, Es, Jr + λ0(t)Er}, H = diag{Np, Nq, Js, Er},
Mp = (m(p)
ij )i=1,p,j=1,p+1, m
(p)
ij =
{
1, j = i+ 1,
0, j 6= i+ 1, i = 1, p, j = 1, p+ 1,
Mq = (m(q)
ij )i=1,q+1,j=1,q, m
(q)
ij =
{
1, i = j + 1,
0, i 6= j + 1, i = 1, q + 1, j = 1, q,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
410 П. Ф. САМУСЕНКО
Np = (n(p)
ij )i=1,p,j=1,p+1, n
(p)
ij =
{
1, i = j,
0, i 6= j, i = 1, p, j = 1, p+ 1,
Nq = (n(q)
ij )i=1,q+1,j=1,q, n
(q)
ij =
{
1, i = j,
0, i 6= j, i = 1, q + 1, j = 1, q,
Jr = (γij)i,j=1,r, γij =
{
1, j = i+ 1,
0, j 6= i+ 1, i, j = 1, r,
Js утворено аналогiчно до Jr, Er та Es — одиничнi матрицi r- та s-го порядку вiдповiдно
[4, с. 143, 144]. Зазначимо, що P (t), Q(t) ∈ C∞
[0;T ] [4, с. 26].
У системi (3) покладемо x(t, ε) = Q(t)y(t, ε) i домножимо обидвi її частини злiва на
P (t). Тодi будемо мати
εH
dy
dt
= g(y, t, ε), (5)
y(0, ε) = y0, (6)
де
g(y, t, ε) = P (t)f(Q(t)y, t, ε)− εHQ−1(t)Q′(t)y, y0 = Q−1(0)x0.
Розв’язок задачi (5), (6) шукатимемо у виглядi
y(t, ε) = y(t, ε) + Πy(τ, ε). (7)
Тут y(t, ε) =
∞∑
s=0
εsys(t) — регулярний ряд, а Πy(τ, ε) =
∞∑
s=0
εsΠsy(τ) — примежовий ряд,
τ =
t
ε
[9, с. 48].
Пiдставимо ряд (7) у систему (5)
εH
dy
dt
+H
dΠy
dτ
= g(y + Πy, t, ε) (8)
i запишемо g(y + Πy, t, ε) таким чином:
g(y(t, ε) + Πy(τ, ε), t, ε) = g(y(t, ε), t, ε) + (g(y(t, ε) + Πy(τ, ε), t, ε)− g(y(t, ε), t, ε)) ≡
≡ g(t, ε) + Πg(τ, ε).
Зобразимо вектор-функцiї g(t, ε) та Πg(τ, ε) у виглядi формальних рядiв за степеня-
ми ε :
g(t, ε) = g(y(t, ε), t, ε) = g(y0(t), t, 0) + ε(gy(t)y1(t) + g1(t)) + . . .
. . .+ εs(gy(t)ys(t) + gs(t)) + . . . ≡
∞∑
s=0
εsgs(t),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
ПОБУДОВА АСИМПТОТИЧНИХ ФОРМУЛ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗКIВ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ СИСТЕМ . . . 411
де елементи матрицi gy(t) =
(
∂gi
∂yj
)n
1
обчислюються в точцi (y0(t), t, 0), а вектори gs(t)
виражаються через yk(t), k < s;
Πg(τ, ε) = g(y(ετ, ε) + Πy(τ, ε), ετ, ε)− g(y(ετ, ε), ετ, ε) =
= g(y0(0) + Π0y(τ), 0, 0)− g(y0(0), 0, 0) + ε(gy(τ)Π1y(τ) +G1(τ)) + . . .
. . .+ εs(gy(τ)Πsy(τ) +Gs(τ)) + . . . ≡
∞∑
s=0
εsΠsg(τ),
де елементи матрицi gy(τ) обчислюються в точцi (y0(0) + Π0y(τ), 0, 0), а вектори Gs(τ)
виражаються через Πky(τ)m, k < s.
У системi (8) зрiвняємо окремо вирази, що залежать вiд t i τ :
εH
d y
dt
= g(t, ε), (9)
H
dΠy
dτ
= Π g(τ, ε). (10)
У тотожностях (9), (10) зрiвняємо коефiцiєнти при однакових степенях ε. Зокрема, для
ε0 матимемо
g(y0(t), t, 0) = 0, (11)
H
dΠ0y(τ)
dτ
= g(y0(0) + Π0y(τ), 0, 0)− g(y0(0), 0, 0). (12)
З умови 3 випливає, що y0(t) = Q−1(t)ϕ(t, α0(t)), де α0(t) — функцiя, що буде визначена
нижче. Тому система (12) набере вигляду
H
dΠ0y(τ)
dτ
= g(y0(0) + Π0y(τ), 0, 0). (13)
Далi, нехай виконується умова
6) система (13) на промiжку [0;∞) має нескiнченно диференцiйовний розв’язок Π0y =
= Π0y(τ), τ ≥ 0, такий, що Π0y(0) = y0 − y0(0) i для будь-якого k = 0, 1, . . . Π(k)
0 y(τ) → 0,
τ → ∞, до того ж
‖Q(0)y0(0)‖+ ‖Q(0)‖ ‖Π0y (t/ε) ‖ ≤ a0 < a,
де ‖Π0y (τ) ‖ = sup
τ∈[0;T
ε
]
‖Π0y (τ) ‖.
Зрiвнюючи в (9) коефiцiєнти при ε, дiстаємо
gy(t)y1(t) = H
dy0(t)
dt
− g1(t). (14)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
412 П. Ф. САМУСЕНКО
Система (14) є розв’язною тодi i тiльки тодi, коли
{g1(t)}p+1 = 0, t ∈ [0;T ],
тобто
{gε(Q−1(t)ϕ(t, α0(t)), t, 0)}p+1 = 0. (15)
Нехай виконується умова
7) рiвняння (15) на вiдрiзку [0;T ] має нескiнченно диференцiйовний розв’язок α0 =
= α0(t), до того ж α(t) ∈ D(α) для всiх t ∈ [0;T ].
Тодi загальний розв’язок (14) можна записати у виглядi
y1(t) = Q−1(t)ϕα(t, α0(t))α1(t) + ỹ1(t), (16)
α1(t) — функцiя, що буде визначена нижче, ỹ1(t) — частинний розв’язок (14) (за побудо-
вою (gy(Q−1(t)ϕ(t, α0(t)), t, 0))Q−1(t)ϕα(t, α0(t)) ≡ 0, t ∈ [0;T ] [10, с. 36]).
Зазначимо, що перша компонента вектораQ−1(t)ϕα(t, α0(t)) дорiвнює 1, решта дорiв-
нюють 0.
Зрiвнюючи в (9) коефiцiєнти при εk, k ≥ 2, приходимо до такої умови розв’язностi
вiдповiдної системи:
{ỹ ′k−1}p+2 − {gk(t)}p+1 = 0, (17)
де ỹk−1 визначається аналогiчно до ỹ1 ({ }i — i-та компонента вiдповiдного вектора).
Нехай мають мiсце умови:
8)
∂m{g(y0(0), 0, 0)}p+1
∂ym1
1 . . . ∂yms
s
= 0, s = 1, n, m1 + . . .+ms = m, m ≥ 2;
9)
∂2{g(y0(0) + θΠ0(t/ε), 0, 0)}i
∂yk∂ys
= 0, i, k, s = 1, n, θ ∈ (0; 1), t ∈ [0;T ];
10)
∂2{g(y0(0), 0, 0)}p+1
∂y1∂ε
6= 0.
Тодi рiвнiсть (17) визначає αk−1 = αk−1(t), t ∈ [0; t0], t0 ≤ T (за побудовою yk−1(t) =
= Q−1(t)ϕα(t, α0(t))αk−1(t) + ỹk−1(t)).
Згiдно зi структурою матриць H та (gy(τ)) запишемо систему (10) у виглядi
Np
dΠk1y(τ)
dτ
= MpΠk1y(τ) +Gk1(τ),
Nq
dΠk2y(τ)
dτ
= MqΠk2y(τ) +Gk2(τ),
Js
dΠk3y(τ)
dτ
= Πk3y(τ) +Gk3(τ),
dΠk4y(τ)
dτ
= (λ0(0)Er + Jr)Πk4y(τ) +Gk4(τ).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
ПОБУДОВА АСИМПТОТИЧНИХ ФОРМУЛ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗКIВ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ СИСТЕМ . . . 413
Тут Πky(τ) = col (Πk1y(τ),Πk2y(τ),Πk3y(τ),Πk4y(τ)), Πk1y(τ), Πk2y(τ), Πk3y(τ), Πk4y(τ) —
вектор-функцiї, що мiстять p + 1, q, s та r компонент Πky(τ) вiдповiдно; Gki(τ), i = 1, 4,
утворенi аналогiчно.
Далi, нехай виконується умова
11) має мiсце рiвнiсть
{Gk2(τ)}p+1 + {G′
k2(τ)}p+2 + . . .+ {G(q)
k2 (τ)}p+q+1 = 0, τ ≥ 0.
Тодi
{Πk1y(τ)}i = {Π′
k1y(τ)}i−1 − {Gk1(τ)}i−1, i = 2, p+ 1
({Πk1y(τ)}1 буде визначено нижче),
Πk2y(τ) = −
q−1∑
i=0
J i
q
diGk2(τ)
dτ i
, Πk3y(τ) = −
s−1∑
i=0
J i
s
diGk3(τ)
dτ i
,
Πk4y(τ) = exp((λ0(0)Er + Jr)τ)c4 +
τ∫
0
exp((λ0(0)Er + Jr)(τ − s)Gk4(s)ds.
Таким чином, при вiдповiдному виборi {Πk1y(τ)}1 Πky(τ) → 0, τ → ∞, k =
= 1, 2, . . . .
Нехай
12) yki(0) + Πkiy(0) = 0, k ≥ 1, i = 2, 3, де yki(0) побудовано аналогiчно до Πkiy(0)
(умова 12 виконується, якщо, наприклад, y0i(t) ≡ 0, t ∈ [0; t0], i = 2, 3; Π0iy(τ) ≡
≡ 0, τ ≥ 0, i = 2, 3; вектор-функцiї gi(y, t, ε), i = 2, 3, не мiстять компонент векторiв
y1, y4; gi(y0, 0, ε) ≡ 0, ε ∈ [0; ε0], i = 2, 3 (g2(y0, 0, ε), g3(y0, 0, ε) та y1, y4 побудовано вiдпо-
вiдно до аналогiчних вектор-функцiй Πkiy(τ)).
Тодi довiльнi сталi, що мiстять вектор-функцiї Πk1y(τ) та Πk4y(τ), можна пiдiбрати
так, щоб
yk(0) + Πky(0) = 0, k ≥ 1.
Покажемо, що побудований формальний розв’язок (7) є рiвномiрним асимптотичним
розвиненням „точного” розв’язку задачi (5), (6) на вiдрiзку [0; t0].
Матриця Ω0(t) − λH для довiльного λ має H-жорданiв ланцюжок векторiв довжи-
ни p+ 1
ϕ
(1)
1 (λ) ≡ ϕ1(λ) =
p∑
i=0
λiei+1, ϕ
(j)
1 (λ) = ((Ω0(t)− λH)−H)j−1ϕ1(λ), j = 2, p+ 1, (18)
де ei — вектор, i-та компонента якого дорiвнює 1, решта дорiвнюють 0; (Ω0(t)− λH)− —
напiвобернена матриця до матрицi Ω0(t)− λH.
Якщо λ = λ0(t), то крiм ланцюжка (18) матриця Ω0(t)−λH маєH-жорданiв ланцюжок
векторiв ϕ(i)
2 , i = 1, r, довжини r, який складається з власного вектора ϕ(1)
2 матрицi Ω0(t)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
414 П. Ф. САМУСЕНКО
вiдносно H, що вiдповiдає власному значенню λ0(t), та H-приєднаних векторiв ϕ(2)
2 , . . .
. . . , ϕ
(r)
2 . При цьому
ϕ
(1)
2 ≡ ϕ2 = ep+q+s+2, ϕ
(i)
2 = ep+q+s+i+1, i = 2, r.
Матриця H також має два Ω0(t)-жорданових ланцюжки векторiв
ϕ̃
(1)
1 ≡ ϕ̃1 = ep+1, ϕ̃
(i)
1 = ep+2−i, i = 2, p+ 1,
ϕ̃
(1)
2 ≡ ϕ̃2 = ep+q+2, ϕ̃
(j)
2 = ep+q+1+j , j = 2, s,
довжини p+ 1 та s вiдповiдно, що задовольняють спiввiдношення
Hϕ̃
(1)
1 = 0, Hϕ̃
(i)
1 = Ω0(t)ϕ̃
(i−1)
1 , i = 2, p+ 1,
Hϕ̃
(1)
2 = 0, Hϕ̃
(j)
2 = Ω0(t)ϕ̃
(j−1)
2 , j = 2, s.
Нехай ψ1(λ) (λ 6= λ0(t)) — елемент нуль-простору матрицi (Ω0(t)− λH)∗. Тодi
ψ1(λ) =
q∑
i=0
λ
i
ep+i+1,
λ — число, спряжене до λ.
Якщо λ = λ0(t), то нуль-простiр матрицi (Ω0(t)−λH)∗ визначається двома базисними
векторами: ψ1(λ0) та ψ2 = en.
Нуль-простiр матрицiH∗ також визначається двома базисними векторами ψ̃1 = ep+q+1,
ψ̃2 = ep+q+s+1. При цьому вектори ψ2 та ψ̃2 можна пiдiбрати так, щоб [4, c. 144 – 147]
(H((Ω0(t)− λH)−H)i−1ϕ1(λ), ψ1(λ)) = 0, i = 1, 2, . . . ,
(((Ω0(t)− λ0(t)H)−H)i−1ϕ2, ψ1(λ0)) = 0, i = 1, 2, . . . ,
(((Ω0(t)− λ0(t)H)−H)i−1ϕ2, ψ2) = 0, i = 1, r − 1,
(((Ω0(t)− λ0(t)H)−H)r−1ϕ2, ψ2) = 1,
Ω0(t)(H−Ω0(t))pϕ̃1 = 0, (Ω0(t)(H−Ω0(t))i−1ϕ̃1, ψ̃j) = 0, j = 1, 2; i = 1, 2, . . . ,
(Ω0(t)(H−Ω0(t))i−1ϕ̃2, ψ̃j) = 0, j = 1, 2; i = 1, s− 1,
(Ω0(t)(H−Ω0(t))s−1ϕ̃2, ψ̃1) = 0, (Ω0(t)(H−Ω0(t))s−1ϕ̃2, ψ̃2) = 1.
Нехай мають мiсце умови:
13) рiвняння
(Ω1(t)ϕ1(ω0), ψ1(ω0)) = 0, t ∈ [0;T ], (19)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
ПОБУДОВА АСИМПТОТИЧНИХ ФОРМУЛ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗКIВ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ СИСТЕМ . . . 415
де Ω1(t) = gyε(y0(t), t, 0), має коренi ω01(t), . . . , ω0k(t) сталої кратностi r1, . . . , rk вiдповiд-
но, до того ж r1 + . . .+ rk = p+ q;
14) функцiя λ0 = λ0(t) для будь-якого t ∈ [0;T ] не є коренем рiвняння (19);
15) det
(
(Ω1(t)ϕ1(λ0), ψ1(λ0)) (Ω1(t)ϕ2, ψ1(λ0))
(Ω1(t)ϕ1(λ0), ψ2) (Ω1(t)ϕ2, ψ2)
)
6= 0, t ∈ [0;T ];
16) det
(
(Ω1(t)ϕ̃1, ψ̃1) (Ω1(t)ϕ̃2, ψ̃1)
(Ω1(t)ϕ̃1, ψ̃2) (Ω1(t)ϕ̃2, ψ̃2)
)
6= 0, t ∈ [0;T ];
17) (Ω1(t)ϕ̃1, ψ̃1) 6= 0, (Ω1(t)ϕ̃2, ψ̃2) 6= 0, t ∈ [0;T ].
Тодi система
εH
dy
dt
= Ω(t, ε) y, Ω(t, ε) = Ω0(t) + εΩ1(t),
має rj , j = 1, k, формальних лiнiйно незалежних розв’язкiв
yij(t, ε) = uij(t, ε) exp
1
ε
t∫
0
λij(t, ε)dt
, i = 1, rj ,
(20)
uij(t, ε) = ϕ1(ω0j(t)) +
∞∑
k=1
µk
juijk(t), λij(t, ε) = ω0j(t) +
∞∑
k=1
µk
jλijk(t),
µj = rj
√
ε, j = 1, k,
r формальних лiнiйно незалежних розв’язкiв
yi(t, ε) = ui(t, ε) exp
1
ε
t∫
0
λi(t, ε)dt
, i = 1, r,
(21)
ui(t, ε) =
∞∑
k=0
µku0ik(t), λi(t, ε) = λ0(t) +
∞∑
k=1
µkλik(t),
µ = r
√
ε,
та s− 1 формальних лiнiйно незалежних розв’язкiв [4, с. 147 – 157]
ỹi(t, ε) = ũi(t, ε) exp
1
νs
t∫
0
dt
ξi(t, ε)
, i = 1, s− 1,
(22)
ũi(t, ε) =
∞∑
k=0
νkũik(t), ξi(t, ε) =
∞∑
k=0
νkξik(t),
ν = s−1
√
ε.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
416 П. Ф. САМУСЕНКО
Спряжена система
εH∗dy
dt
= −Ω∗(t, ε)y
також має rj , j = 1, k, формальних лiнiйно незалежних розв’язкiв
yij(t, ε) = vij(t, ε) exp
1
ε
t∫
0
ηij(t, ε)dt
, i = 1, rj ,
vij(t, ε) = ψ1(−ω0j(t)) +
∞∑
k=1
µk
j vijk(t), ηij(t, ε) = −ω0j(t) +
∞∑
k=1
µk
j ηijk(t), (23)
µj = rj
√
ε, j = 1, k,
r формальних лiнiйно незалежних розв’язкiв
yi(t, ε) = vi(t, ε) exp
1
ε
t∫
0
ηi(t, ε)dt
, i = 1, r,
(24)
vi(t, ε) =
∞∑
k=0
µkv0ik(t), ηi(t, ε) = −λ0(t) +
∞∑
k=1
µkηik(t),
µ = r
√
ε,
та s− 1 формальних лiнiйно незалежних розв’язкiв
ỹi(t, ε) = ṽi(t, ε) exp
1
νs
t∫
0
dt
κi(t, ε)
, i = 1, s− 1,
(25)
ṽi(t, ε) =
∞∑
k=0
νkṽik(t), κi(t, ε) = −ξ0(t) +
∞∑
k=1
νkκik(t),
ν = s−1
√
ε.
Нехай
Q1(t, ε) = [Um(t, ε), ϕ̃1, ϕ̃2], P1(t, ε) = [Vm(t, ε), ψ̃1, ψ̃2]∗,
де Um(t, ε), Vm(t, ε) — прямокутнi (n × (n − 2))-матрицi, що мiстять m + 1 перших членiв
виразiв (20) – (25):
Um(t, ε) = [u(m)
11 (t, ε), . . . , u(m)
r1,1(t, ε), . . . , u
(m)
1k (t, ε), . . . , u(m)
rk,k(t, ε),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
ПОБУДОВА АСИМПТОТИЧНИХ ФОРМУЛ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗКIВ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ СИСТЕМ . . . 417
u
(m)
1 (t, ε), . . . , u(m)
r (t, ε), ũ(m)
1 (t, ε), . . . , ũ(m)
s−1(t, ε)],
Vm(t, ε) = [v(m)
11 (t, ε), . . . , v(m)
r1,1(t, ε), . . . , v
(m)
1k (t, ε), . . . , v(m)
rk,k(t, ε),
v
(m)
1 (t, ε), . . . , v(m)
r (t, ε), ṽ(m)
1 (t, ε), . . . , ṽ(m)
s−1(t, ε)].
Далi припускатимемо виконання умов:
18) k ≥ max{p, q};
19) det(H(Ω0(t) − ω0i(t)H)−Ω1(t)ϕ1(ω0i(t)), ϕ̃1(−ω0j(t)) − Ω1(t)(Ω0(t) − ω0j(t)H)−×
×Hϕ1(ω0i(t)), ϕ̃1(−ω0j(t)))i,j=1,p+q 6= 0, t ∈ [0;T ].
У системi (5) виконаємо замiну
y(t, ε) = ym(t, ε) + z(t, ε), (26)
де ym(t, ε) =
m∑
s=0
εs(ys(t) + Πsy(τ)), а z(t, ε) — нова невiдома вектор-функцiя. Матимемо
εH
dz
dt
= Ω(t, ε)z + h(z, t, ε), (27)
де h(z, t, ε) = g(ym(t, ε) + z, t, ε) − Ω(t, ε)z − εH
dym(t, ε)
dt
. Зазначимо, що ‖h(0, t, ε)‖ =
= O(εm+1), t ∈ [0;T ].
Нехай
z(t, ε) = Q1(t, ε)u(t, ε).
Тодi, домноживши обидвi частини системи (27) злiва на P1(t, ε), дiстанемо
ε
V ∗
mHUm 0 0
0 0 0
0 0 0
du
dt
=
V ∗
mLUm V ∗
mLϕ̃1 V ∗
mLϕ̃2
ψ̃∗1LUm ψ̃∗1Lϕ̃1 ψ̃∗1Lϕ̃2
ψ̃∗2LUm ψ̃∗2Lϕ̃1 ψ̃∗2Lϕ̃2
u+ Ph(Qu, t, ε), (28)
де L(t, ε) = Ω(t, ε)− εH
d
dt
.
За побудовою
‖V ∗
mLϕ̃1‖ = O(ε), ‖V ∗
mLϕ̃2‖ = O(ε), ‖ψ̃∗1LUm‖ = O(ε),
‖ψ̃∗1Lϕ̃1‖ = ε{Ω1}p+q+1,p+1 6= 0, ‖ψ̃∗1Lϕ̃2‖ = O(ε), ‖ψ̃∗2LUm‖ = O(ε),
‖ψ̃∗2Lϕ̃1‖ = O(ε), ‖ψ̃∗2Lϕ̃2‖ = ε{Ω1}p+q+s+1,p+q+2 6= 0
для всiх t ∈ [0;T ].
Нехай
L(t, ε)Um(t, ε) = HUm(t, ε)Sm(t, ε) + ε
m+1
γ C(t, ε), γ = max{r1, . . . , rk, r, s− 1},
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
418 П. Ф. САМУСЕНКО
де
Sm(t, ε) = diag {Λ(1)
m (t, ε),Λ(2)
m (t, ε),Λ(3)
m (t, ε)} ≡ diag {s(m)
1 (t, ε), . . . , s(m)
n−2(t, ε)},
Λ(1)
m (t, ε) = diag {λ(m)
11 (t, ε), . . . , λ(m)
r1,1(t, ε), . . . , λ
(m)
1k (t, ε), . . . , λ(m)
rk,k(t, ε)},
Λ(2)
m (t, ε) = diag {λ(m)
1 (t, ε), . . . , λ(m)
r (t, ε)},
Λ(3)
m (t, ε) = diag {(νξ(m)
1 (t, ε))−1, . . . , (νξ(m)
s−1(t, ε))
−1},
C(t, ε) — (n× (n− 2))-матриця, компоненти якої обмеженi на вiдрiзку [0;T ].
Якщо D(t, ε) = V ∗
m(t, ε)HUm(t, ε) i
D(t, ε) =
D11(t, ε) D12(t, ε) D13(t, ε)
D21(t, ε) D22(t, ε) D23(t, ε)
D31(t, ε) D32(t, ε) D33(t, ε)
,
де D11(t, ε) та D22(t, ε) — квадратнi матрицi (p+ q)- та r-го порядку вiдповiдно, то
D−1(t, ε) =
O(ε−1) O(ε−1+ 1
p ) O(ε−1)
O(ε−1+ 1
p ) O(ε−1+ 1
p ) O(ε−1+ 1
p )
O(ε−1) O(ε−1+ 1
p ) O(ε−1− 1
s−1 )
,
(V ∗
m(t, ε)HUm(t, ε))−1V ∗
m(t, ε)LUm(t, ε) = Sm(t, ε) + ε
m+1
γ
−1− 1
s−1F (t, ε),
(ψ̃ ∗
i L(t, ε)ϕ̃i)−1ψ̃ ∗
i L(t, ε)Um(t, ε) = −ε
m+1
γ
−1
fi(t, ε), i = 1, 2,
F (t, ε) — квадратна матриця (n− 2)-го порядку, fi(t, ε) — (n− 2)-вимiрний вектор-рядок.
Нехай u1 — вектор, що мiстить першi n − 2 компоненти вектора u, u2 —
(n − 1)-ша компонента вектора u, а u3 — n-та компонента вектора u. Тодi система (28)
набере вигляду
ε
du1
dt
= (Sm + ε
m+1
γ
−1− 1
s−1F )u1 + (V ∗
mHUm)−1V ∗
mΩ(ϕ̃1u2 + ϕ̃2u3) + (V ∗
mHUm)−1l1(u, t, ε),
u2 = ε
m+1
γ
−1
f1(t, ε)u1 − (ψ̃∗1Ωϕ̃1)−1(ψ̃∗1Ωϕ̃2u3 + l2(u, t, ε)), (29)
u3 = ε
m+1
γ
−1
f2(t, ε)u1 − (ψ̃∗2Ωϕ̃2)−1(ψ̃∗2Ωϕ̃1u2 + l3(u, t, ε)),
де l(u, t, ε) = P1h(Qu, t, ε), а l1(u, t, ε), l2(u, t, ε) та l3(u, t, ε) мають таку ж структуру, що й
u1, u2 та u3 вiдповiдно.
Нехай виконується умова
20) det
(
1 (ψ̃∗1Ωϕ̃1)−1ψ̃∗1Ωϕ̃2
(ψ̃∗2Ωϕ̃2)−1ψ̃∗2Ωϕ̃1 1
)
6= 0, t ∈ [0;T ].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
ПОБУДОВА АСИМПТОТИЧНИХ ФОРМУЛ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗКIВ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ СИСТЕМ . . . 419
Тодi система (29) еквiвалентна системi
u1(t, ε) =
1
ε
t∫
0
exp
1
ε
t∫
s
Sm(σ, ε)dσ
r(u, s, ε)ds,
(30)
ui(t, ε) = ϕi(u, t, ε), i = 2, 3,
де
r(u, s, ε) = ε
m+1
γ
−1− 1
s−1F (s, ε)u1(s, ε)+
+ (V ∗
m(s, ε)HUm(s, ε))−1(V ∗
m(s, ε)Ω(s, ε)(ϕ̃1u2(s, ε) + ϕ̃2u3(s, ε)) + l1(u, s, ε)),
а ϕi(u, t, ε), i = 2, 3, визначаються з вiдповiдної системи за формулами Крамера.
Нехай мають мiсце умови:
21) Re s(m)
i (t, ε) ≤ 0, i = 1, n− 2, t ∈ [0;T ];
22) iснують неперервнi функцiї η(t, ε), 0 ≤ t ≤ T, 0 ≤ ε ≤ ε0, та θ(t, ε1, ε2), 0 ≤ t ≤ T,
0 ≤ ε1 ≤ ε0, 0 ≤ ε2 ≤ ε0, такi, що
‖gy(u, t, ε)− gy(v, t, ε)‖ ≤ η(t, ε)‖u− v‖,
‖gyε(u, t, ε1)− gyε(u, t, ε2)‖ ≤ θ(t, ε1, ε2)|ε1 − ε2|,
до того ж
η(t, ε)ε−2− 1
s−1 = O(1), θ(t, ε1, ε2)ε
− 1
s−1
i = O(1), i = 1, 2,
для всiх u, v, що задовольняють нерiвностi ‖Q(t)u‖ ≤ a, ‖Q(t)v‖ ≤ a, t ∈ [0;T ];
23) {g(y0, 0, ε)}p+q+1 ≡ {g(y0, 0, ε)}p+q+s+1 ≡ 0, ε ∈ [0; ε0].
Тодi, використовуючи метод послiдовних наближень, можна довести iснування та єди-
нiсть розв’язку u = u(t, ε) системи (30) такого, що u(0, ε) = 0, до того ж ‖u(t, ε)‖ =
= O(εm−1− 1
s−1 ), t ∈ [0; t0] [9, с. 72 – 74].
Теорема. Нехай виконуються умови 1 – 23. Тодi для всiх m ≥ γ
(
2 +
1
s− 1
)
− 1, 0 <
< ε ≤ ε1, ε1 ≤ ε0, iснує єдиний розв’язок x = x(t, ε) задачi (3), (4) такий, що
‖x(t, ε)− xm(t, ε)‖ = O(εm−1− 1
s−1 ), t ∈ [0; t0], t0 ≤ T,
де xm(t, ε) = Q(t)ym(t, ε).
1. Бояринцев Ю. Е., Данилов В. А., Логинов А. А., Чистяков В. Ф. Численные методы решения сингу-
лярных систем. — Новосибирск: Наука, 1989. — 223 с.
2. Чистяков В. Ф., Щеглова А. А. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем. — Но-
восибирск: Наука, 2003. — 319 с.
3. Самойленко А. М., Шкiль М. I., Яковець В. П. Лiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь з виродження-
ми. — Київ: Вища шк., 2000. — 294 с.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
420 П. Ф. САМУСЕНКО
4. Шкиль Н. И., Старун И. И., Яковец В. П. Асимптотическое интегрирование линейных систем диффе-
ренциальных уравнений с вырождениями. — Киев: Вища шк., 1991. — 207 с.
5. Самойленко А. М., Яковец В. П. О приводимости вырожденной линейной системы к центральной ка-
нонической форме // Докл. НАН Украины. — 1993. — № 4. — С. 10 – 15.
6. Радченко С. П., Самусенко П. Ф. Про перiодичнi розв’язки нелiнiйної сингулярно збуреної системи
диференцiальних рiвнянь з виродженням // Вiсн. Київ. нац. ун-ту. Математика, механiка. — 2006. —
Вип. 15. — С. 26 – 31.
7. Самусенко П. Ф. Про побудову асимптотичних розв’язкiв нелiнiйної сингулярно збуреної системи ди-
ференцiальних рiвнянь з виродженням // Наук. вiстi Нац. техн. ун-ту України „КПI” . — 2006. — № 1.
— С. 144 – 150.
8. Самкова Г. Е., Шарай Н. В. Об исследовании некоторой полуявной системы дифференциальных урав-
нений в случае переменного пучка матриц // Нелiнiйнi коливання. — 2002. — 5, № 2. — С. 224 – 236.
9. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных урав-
нений. — М.: Наука, 1973. — 272 с.
10. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. — М.:
Изд-во Моск. ун-та, 1978. — 106 с.
Одержано 28.11.07
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178207 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T19:02:10Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Самусенко, П.Ф. 2021-02-18T08:22:01Z 2021-02-18T08:22:01Z 2008 Побудова асимптотичних формул для розв'язків сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з виродженням / П.Ф. Самусенко // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 3. — С. 408-420. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178207 517.927.8 Получено асимптотическое решение задачи Коши для сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений с вырождением в случае сингулярного граничного пучка матриц. We obtain a solution of the Cauchy problem for a singularly perturbed system of differential equations
 with degeneration in the case of a singular limit pencil of matrices uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Побудова асимптотичних формул для розв'язків сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з виродженням Article published earlier |
| spellingShingle | Побудова асимптотичних формул для розв'язків сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з виродженням Самусенко, П.Ф. |
| title | Побудова асимптотичних формул для розв'язків сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з виродженням |
| title_full | Побудова асимптотичних формул для розв'язків сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з виродженням |
| title_fullStr | Побудова асимптотичних формул для розв'язків сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з виродженням |
| title_full_unstemmed | Побудова асимптотичних формул для розв'язків сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з виродженням |
| title_short | Побудова асимптотичних формул для розв'язків сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з виродженням |
| title_sort | побудова асимптотичних формул для розв'язків сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з виродженням |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178207 |
| work_keys_str_mv | AT samusenkopf pobudovaasimptotičnihformuldlârozvâzkívsingulârnozburenihsistemdiferencíalʹnihrívnânʹzvirodžennâm |