Про розв'язність одного класу задач оптимального керування коефіцієнтами у головній частині нелінійного еліптичного оператора
Рассматривается проблема существования решений задачи оптимального управления для нелинейного эллиптического уравнения с условиями Дирихле на границе при условии, что функциями управлений являются коэффициенты в главной части дифференциального оператора. Показано, что такая задача имеет оптимальные...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Дата: | 2009 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178381 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про розв'язність одного класу задач оптимального керування коефіцієнтами у головній частині нелінійного еліптичного оператора / В.О. Капустян, О.П. Когут // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 1. — С. 59-72. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859753300788772864 |
|---|---|
| author | Капустян, В.О. Когут, О.П. |
| author_facet | Капустян, В.О. Когут, О.П. |
| citation_txt | Про розв'язність одного класу задач оптимального керування коефіцієнтами у головній частині нелінійного еліптичного оператора / В.О. Капустян, О.П. Когут // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 1. — С. 59-72. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Рассматривается проблема существования решений задачи оптимального управления для нелинейного эллиптического уравнения с условиями Дирихле на границе при условии, что функциями управлений являются коэффициенты в главной части дифференциального оператора.
Показано, что такая задача имеет оптимальные решения в классе обобщенно-соленоидальных
матриц.
We consider the problem of existence of solutions of an optimal control problem for a nonlinear elliptic
equation with Dirichlet conditions on the boundary under the condition that the control functions are
coefficients in the principal part of the differential operator. It is shown that this problem has optimal
solutions in the class of generalized solenoidal matrices.
|
| first_indexed | 2025-12-02T00:29:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517. 95, 97
ПРО РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ОДНОГО КЛАСУ ЗАДАЧ
ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ
КОЕФIЦIЄНТАМИ У ГОЛОВНIЙ ЧАСТИНI
НЕЛIНIЙНОГО ЕЛIПТИЧНОГО ОПЕРАТОРА
В. О. Капустян
Нац. техн. ун-т України „КПI”
Україна, 02057, Київ, просп. Перемоги, 37
О. П. Когут
Iн-т прикл. систем. аналiзу М-ва освiти i науки та НАН України
Україна, 02057, просп. Перемоги, 37, корп. 35
We consider the problem of existence of solutions of an optimal control problem for a nonlinear elliptic
equation with Dirichlet conditions on the boundary under the condition that the control functions are
coefficients in the principal part of the differential operator. It is shown that this problem has optimal
solutions in the class of generalized solenoidal matrices.
Рассматривается проблема существования решений задачи оптимального управления для не-
линейного эллиптического уравнения с условиями Дирихле на границе при условии, что функ-
циями управлений являются коэффициенты в главной части дифференциального оператора.
Показано, что такая задача имеет оптимальные решения в классе обобщенно-соленоидальных
матриц.
s
Вступ. Нехай Ω ⊂ Rn
— вiдкрита обмежена множина, U∂ — ∗-слабкокомпактна множина
в Ln×n
∞ (Ω). Для фiксованої матрицi
U = {ai j(x)}1≤i, j≤n ∈ U∂
є заданим формальний оператор B : U∂×
◦
W 1
p (Ω) → W−1
q (Ω), де
B (U, y) = −∆p,U (y) + a0(x)|y|p−2y, (1)
∆p,U (y) =
n
∑
i,j=1
∂
∂xi
(
aij(x)
∣
∣
∣
∣
∂y
∂xj
∣
∣
∣
∣
p−2
∂y
∂xj
)
,
a0(x) ≥ β > 0 для майже всiх x ∈ Ω, a0 ∈ L∞(Ω). (2)
Далi ∆p називатимемо узагальненим лапласiаном i будемо пов’язувати з оператором B
бiлiнiйну форму
〈B(U, y), v〉 =
n
∑
i,j=1
∫
Ω
(
aij(x)
∣
∣
∣
∣
∂y
∂xj
∣
∣
∣
∣
p−2
∂y
∂xj
)
∂v
∂xi
dx +
∫
Ω
a0(x)|y|p−2y v dx.
c© В. О. Капустян, О. П. Когут, 2009
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1 59
60 В. О. КАПУСТЯН, О. П. КОГУТ
Розглянемо в Ln×n
∞ (Ω)×
◦
W 1
p (Ω) задачу оптимального керування
L(U, y) → inf (3)
при обмеженнях
B(U, y) = f, (4)
U ∈ U∂ , (5)
де вiдображення L : Ln×n
∞ (Ω)×
◦
W 1
p (Ω) → R називатимемо функцiоналом якостi.
Позначимо через Ξ сукупнiсть пар (U, y) ∈ Ln×n
∞ (Ω)×
◦
W 1
p (Ω), пов’язаних спiввiд-
ношеннями (4), (5), i назвемо її множиною допустимих розв’язкiв задачi оптимального
керування (3) – (5).
Означення 1. Задачу (3) – (5) будемо називати регулярною, якщо для заданого f ∈
∈ W−1
q (Ω) знайдеться пара (U, y) ∈ Ln×n
∞ (Ω)×
◦
W 1
p (Ω) (принаймнi одна), яка задоволь-
няє рiвняння (4) та обмеження (5). При цьому (U, y) будемо називати допустимою па-
рою.
Дослiдженню такого класу задач оптимального керування присвячено багато робiт
(див., наприклад, [1 – 3]). Проте проблема розв’язностi таких задач (без додаткових при-
пущень щодо регулярностi допустимих керувань U = {ai j(x)}1≤i, j≤n, ∈ U∂) залишається
вiдкритою [3, 4]. У зв’язку з цим зауважимо, що до найбiльш загальних результатiв, якi
торкаються проблеми iснування розв’язкiв задач оптимального керування (3) – (5), мож-
на вiднести наступний (див. [1], теорема 1.1).
Теорема 1. Нехай додатково до наведених вище припущень виконуються наступнi:
1) оператор B : U∂×
◦
W 1
p (Ω) → W−1
q (Ω) задовольняє властивiсть (M): з того, що
U∂ ∋ Uk → U ∗-слабко в Ln×n
∞ (Ω), yk → y слабко в
◦
W 1
p (Ω), B(Uk, yk) → d слабко в
W−1
q (Ω), та нерiвностi
lim
k→∞
〈B(Uk, yk), yk〉 ◦
W 1
p (Ω)
≤ 〈d, y〉 ◦
W 1
p (Ω)
випливає d = B(U, y);
2) функцiонал L : U∂×
◦
W 1
p (Ω) → R є напiвнеперервним знизу в ∗-топологiї Ln×n
∞ (Ω)
та топологiї слабкої збiжностi в
◦
W 1
p (Ω);
3) оператор B є коерцитивним у наступному сенсi:
inf
U∈G
〈B(U, y), y〉 ◦
W 1
p (Ω)
‖y‖ ◦
W 1
p (Ω)
→ +∞ при ‖y‖ ◦
W 1
p (Ω)
→ ∞,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
ПРО РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ОДНОГО КЛАСУ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ . . . 61
де G — довiльна обмежена пiдмножина в U∂ .
За цих умов задача (3) – (5) розв’язна тодi i тiльки тодi, коли вона є регулярною.
Зауваження 1. Пiд напiвнеперервнiстю знизу функцiонала L в ∗-слабкiй топологiї
Ln×n
∞ (Ω) та слабкiй топологiї
◦
W 1
p (Ω) розумiємо секвенцiйну напiвнеперервнiсть знизу,
а саме, з того, що Uk → U ∗-слабко в Ln×n
∞ (Ω), yk → y слабко в
◦
W 1
p (Ω), випливає
lim
k→∞
L(Uk, yk) ≥ L(u, y).
Проте до найбiльш обмежливих припущень теореми 1 варто вiднести виконання влас-
тивостi (M), яка навiть у лiнiйному випадку для задачi (3) – (5) може не виконуватися.
Дiйсно, як зазначено в [3], для задач оптимального керування елiптичними рiвняннями, в
яких роль керувань вiдiграють коефiцiєнти у головнiй частинi оператора, вiдображення
U → y(U) не є слабконеперервним (тут y(U) — розв’язок рiвняння, що вiдповiдає вибра-
ному U). Як правило, ця обставина призводить до неiснування оптимальних розв’язкiв.
Ряд контрприкладiв цього явища наведено [3, 5].
На сьогоднi можна видiлити кiлька пiдходiв, якi торкаються регуляризацiї таких за-
дач. Один iз них полягає у переходi до так званого G-замикання рiвнянь типу (4) i за-
лученнi на основi цього узагальнених керувань (див. [3]). Другий — це припущення що-
до бiльшої регулярностi допустимих керувань, а саме, використання гiпотези, що ai j ∈
∈ W 1
q (Ω)
(
1
q
+
1
p
= 1
)
(див. [4]). Проте останнiй пiдхiд є надто обмежливим з точки зору
його практичних застосувань, особливо коли мова йде про випадок, де ai j є або характе-
ристичними, або кусково-сталими функцiями.
У зв’язку з цим у данiй роботi пропонується перехiд до так званих узагальнено-соле-
ноїдальних керувань, якi є дещо регулярнiшими за керування з Ln×n
∞ (Ω), проте вони не
обов’язково є елементами соболєвського простору (W 1
q (Ω))n×n.
Для уточнення класу допустимих керувань та дослiдження властивостей вiдповiдних
їм розв’язкiв крайової задачi (4) у першому пунктi наведено деякi допомiжнi факти та
результати, необхiднi для встановлення регулярностi задачi (3) – (5).
У другому пунктi введено поняття узагальнено-соленоїдальної матрицi, встановлено
∗-слабку замкненiсть множини таких матриць та доведено узагальнення леми про ком-
пенсовану компактнiсть на випадок p ≥ 2 (див. лему 4.2.1 в [6]).
Третiй пункт присвячено проблемi розв’язностi задачi оптимального керування (3) –
(5), якщо за множину допустимих керувань U∂ взяти множину узагальнено-соленоїдаль-
них матриць.
Деякi факти з теорiї операторних рiвнянь. Нехай X — банахiв простiр, X∗
— тополо-
гiчно спряжений до нього. Наведемо означення, необхiднi для подальшого викладу.
Означення 2. Будемо говорити, що вiдображення B : X → X∗ є демiнеперервним,
якщо з того, що yk → y0 сильно в X, випливає, що B(yk) → B(y0) слабко в X∗.
Означення 3. Будемо говорити, що вiдображення B : X → X∗ є радiально неперерв-
ним, якщо для довiльних фiксованих y, ξ ∈ X дiйсна функцiя [0, 1] ∋ t 7→ 〈B(y + tξ), ξ〉X
є неперервною.
Як видно, з демiнеперервностi оператора B випливає його радiальна неперервнiсть.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
62 В. О. КАПУСТЯН, О. П. КОГУТ
Означення 4. Будемо говорити, що вiдображення B : X → X∗ є коерцитивним,
якщо iснує γ : R+ → R̄ така, що γ(s) → ∞ при s → ∞ та
1
‖y‖X
〈By, y〉X ≥ γ(‖y‖X).
Означення 5. Будемо говорити, що вiдображення B : X → X∗ є строго монотон-
ним оператором, якщо для довiльних елементiв u, v ∈ X виконується нерiвнiсть
〈Bu − Bv, u − v〉X > 0
при u 6= v.
Означення 6. Будемо говорити, що вiдображення B : X → X∗ є cильно монотонним
оператором, якщо для довiльних елементiв u, v ∈ X виконується нерiвнiсть
〈Bu − Bv, u − v〉X ≥ γ (‖u − v‖X) ‖u − v‖X ,
де γ(t) — невiд’ємна функцiя, визначена при t ≥ 0, до того ж γ(t) → ∞ при t → ∞ i
γ(t) = 0 тiльки при t = 0.
Зрозумiло, що сильномонотонний оператор є строго монотонним. Наведемо наступ-
ний результат iз теорiї операторних рiвнянь (див. [1], наслiдок 4.3).
Твердження 1. Нехай B : X → X∗ — коерцитивний, радiально-неперервний, строго
монотонний оператор. Тодi рiвняння By = f має єдиний розв’язок при кожному f ∈
∈ X∗.
Тепер детальнiше означимо клас допустимих керувань U∂ i покажемо, що при кожно-
му фiксованому U ∈ U∂ оператор B(U, ·) буде задовольняти всi властивостi твердження 1.
Hехай ξ 1, ξ2 — заданi функцiї з простору L∞(Ω) такi, що
0 < δ ≤ ξ 1(x) ≤ ξ2(x) майже скрiзь в Ω, (6)
U∂ =
{aij}1≥i,j=1≥n
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
ai j ∈ L∞(Ω), i, j = 1, . . . , n,
ξ1(x) ≤ ai j(x) ≤ ξ2(x) майже скрiзь у Ω, i, j = 1, . . . , n,
∃α > 0 ∀ η ∈ Rn :
n
∑
i,j=1
aij(x)|ηj |
p−2 ηj ηi ≥ α ‖η‖p
Rn майже скрiзь у Ω.
(7)
Лема 1. При кожному фiксованому u ∈ U∂ oператор B :
◦
W 1
p (Ω) → W−1
q (Ω), B(U, ·) =
= B(·), для p ≥ 2 є коерцитивним, демiнеперервним, сильномонотонним вiдображен-
ням.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
ПРО РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ОДНОГО КЛАСУ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ . . . 63
Доведення. Спочатку доведемо коерцитивнiсть оператора B. Розглянемо
〈By, y〉 ◦
W 1
p (Ω)
=
n
∑
i,j=1
∫
Ω
(
aij(x)
∣
∣
∣
∣
∂y
∂xj
∣
∣
∣
∣
p−2
∂y
∂xj
)
∂y
∂xi
dx+
+
∫
Ω
a0(x)|y|p−2y2 dx = I1 + I2.
З огляду на (6), (7) та (2) отримаємо оцiнки для першого i другого iнтегралiв вiдповiдно.
Роль вектора η ∈ R з (7) буде вiдiгравати градiєнт ∇y(x). Тодi
I1 ≥ α
∫
Ω
n
∑
i=1
∣
∣
∣
∣
∂y
∂xi
∣
∣
∣
∣
p
dx, I2 ≥ β
∫
Ω
|y|p dx.
В результатi отримаємо
I1 + I2 ≥ min{α, β}
∫
Ω
(
|y|p +
n
∑
i=1
∣
∣
∣
∣
∂y
∂xi
∣
∣
∣
∣
p
)
dx =
= min{α, β} ‖y‖p
◦
W 1
p (Ω)
= γ(‖y‖ ◦
W 1
p (Ω)
)‖y‖ ◦
W 1
p (Ω)
, (8)
де γ(s) = min{α, β} · sp−1
— функцiя з означення 4.
Далi доведемо демiнеперервнiсть оператора B. A саме, нехай вiдомо, що ym → y0
сильно в
◦
W 1
p (Ω). Покажемо, що для довiльного v ∈
◦
W 1
p (Ω)
〈Bym, v〉 ◦
W 1
p (Ω)
→ 〈By0, v〉 ◦
W 1
p (Ω)
. (9)
Оскiльки y ∈
◦
W 1
p (Ω), то
∂v
∂xi
∈ Lp(Ω) для всiх i = 1, n. Отже, для (9) достатньо встанови-
ти, що
∣
∣
∣
∣
∂ym
∂xj
∣
∣
∣
∣
p−2
∂ym
∂xj
→
∣
∣
∣
∣
∂y0
∂xj
∣
∣
∣
∣
p−2
∂y0
∂xj
слабко в Lq(Ω)
(
1
p
+
1
q
= 1
)
. Для цього скориста-
ємось вiдомою лемою.
Лема 2 [7]. Нехай Ω — обмежена область в Rn, gn та g — такi функцiї з Lq(Ω), 1 <
< q < ∞, що
‖gn‖Lq(Ω) ≤ C, gn → g майже скрiзь у Ω.
Тодi gn → g слабко в Lq(Ω).
В результатi сильна збiжнiсть ym → y0 в
◦
W 1
p (Ω) гарантує, що
∂ym
∂xi
→
∂y0
∂xi
майже
скрiзь у Ω для кожного i = 1, n. Таким чином,
∣
∣
∣
∣
∂ym
∂xj
∣
∣
∣
∣
p−2
∂ym
∂xj
→
∣
∣
∣
∣
∂y0
∂xj
∣
∣
∣
∣
p−2
∂y0
∂xj
майже скрiзь у Ω. (10)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
64 В. О. КАПУСТЯН, О. П. КОГУТ
Покажемо, що послiдовнiсть (10) є обмеженою. Для цього розглянемо її Lq-норму, де
q =
p
p − 1
. Маємо
∫
Ω
(
∣
∣
∣
∣
∂y
∂xi
∣
∣
∣
∣
p−1
)
p
p−1
dx =
∫
Ω
∣
∣
∣
∣
∂y
∂xi
∣
∣
∣
∣
p
dx ≤ ‖∇y‖p
Ln
p (Ω) < ∞.
Тодi, використовуючи лему 2, отримуємо
∣
∣
∣
∣
∂ym
∂xj
∣
∣
∣
∣
p−2
∂ym
∂xj
→
∣
∣
∣
∣
∂y0
∂xj
∣
∣
∣
∣
p−2
∂y0
∂xj
слабко в Lq(Ω).
За аналогiєю можна довести, що |ym|p−2ym → |y0|
p−2y0 слабко в Lq(Ω). Отже,
lim
m→∞
〈Bym, v〉 ◦
W 1
p (Ω)
=
= lim
m→∞
n
∑
i,j=1
∫
Ω
(
aij(x)
∣
∣
∣
∣
∂ym
∂xj
∣
∣
∣
∣
p−2
∂ym
∂xj
)
∂v
∂xi
dx +
∫
Ω
a0(x)|ym|p−2ym v dx
=
=
n
∑
i,j=1
∫
Ω
(
aij(x)
∣
∣
∣
∣
∂y0
∂xj
∣
∣
∣
∣
p−2
∂y0
∂xj
)
∂v
∂xi
dx +
∫
Ω
a0(x)|y0|
p−2y0 v dx = 〈By0, v〉 ◦
W 1
p (Ω)
,
тим самим властивiсть демiнеперервностi для оператора B доведено.
Покажемо, що оператор B є сильномонотонним. Для цього використаємо вiдому оцiн-
ку з [8]: для довiльних ξ, η ∈ Rn та p ≥ 2
(
‖ξ‖p−2
Rn ξ − ‖η‖p−2
Rn η
)
(ξ − η) ≥ 22−p‖ξ − η‖p
Rn . (11)
Виходячи з (11), знаходимо
〈By1 − By2, y1 − y2〉 ◦
W 1
p (Ω)
=
=
n
∑
i,j=1
∫
Ω
aij(x)
(
∣
∣
∣
∣
∂y1
∂xj
∣
∣
∣
∣
p−2
∂y1
∂xj
−
∣
∣
∣
∣
∂y2
∂xj
∣
∣
∣
∣
p−2
∂y2
∂xj
)
(
∂y1
∂xi
−
∂y2
∂xi
)
dx+
+
∫
Ω
a0(x)
(
|y1|
p−2y1 − |y2|
p−2y2
)
(y1 − y2) dx ≥
≥ δ
∫
Ω
(
‖∇y1‖
p−2
Rn ∇y1 − ‖∇y2‖
p−2
Rn ∇y2
)
(∇y1 −∇y2) dx+
+ β
∫
Ω
|y1 − y2|
p dx ≥
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
ПРО РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ОДНОГО КЛАСУ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ . . . 65
≥ min{δ, β}
∫
Ω
(
‖∇y1 −∇y2‖
p
Rn + |y1 − y2|
p
)
dx =
= min{δ, β}‖y1 − y2‖
p
◦
W 1
p (Ω)
= γ
(
‖y1 − y2‖ ◦
W 1
p (Ω)
)
‖y1 − y2‖ ◦
W 1
p (Ω)
.
Тут константу δ взято з нерiвностi (6), a функцiю γ(t) = tp−1
— з означення 6. Тим самим
лему доведено.
З встановлених вище результатiв та твердження 1 можна зробити наступний очевид-
ний висновок.
Теорема 2. Для кожного елемента U з множини U∂ , яка визначена за правилом (7),
крайова задача (4) має єдиний розв’язок у просторi
◦
W 1
p (Ω), тобто задача оптималь-
ного керування (3) – (7) є регулярною. Отже, множина допустимих пар Ξ є непорожньою
пiдмножиною декартового добутку Ln×n
∞ (Ω)×
◦
W 1
p (Ω).
Зауважимо, що множина U∂ є секвенцiйно компактною вiдносно ∗-слабкої топологiї
в Ln×n
∞ (Ω). Проте властивiсть компактностi для множини допустимих пар Ξ у загальному
випадку не виконується. Пiдтвердженням цього факту можуть слугувати контрприклади,
наведенi у роботi [3]. З iншого боку, нехай {Uk}k≥1 утворюють послiдовнiсть допустимих
керувань в U∂ . Не обмежуючи загальностi, можна вважати, що iснує U0 ∈ U∂ , при якому
Uk → U0 ∗-слабко в Ln×n
∞ (Ω). Нехай yk — вiдповiднi їм розв’язки крайової задачi 4 при
U = Uk. Виходячи з оцiнки (8), легко бачити, що послiдовнiсть {yk}k≥1 є обмеженою в
◦
W 1
p (Ω). Отже, цю послiдовнiсть можна вважати слабкозбiжною в
◦
W 1
p (Ω). Проте знайти
границю при k → ∞ в iнтегральнiй тотожностi
n
∑
i,j=1
∫
Ω
(
ak
ij(x)
∣
∣
∣
∣
∂yk
∂xj
∣
∣
∣
∣
p−2
∂yk
∂xj
)
∂v
∂xi
dx+
+
∫
Ω
a0(x)|yk|
p−2yk v dx =
∫
Ω
f v dx ∀v ∈
◦
W 1
p (Ω)
у загальному випадку неможливо через наявнiсть добутку двох слабкозбiжних послiдов-
ностей. Це означає, що множина Ξ не обов’язково є компактною. Отже, проблема розв’яз-
ностi задачi оптимального керування (3) – (7) залишається вiдкритою.
Лема про компенсовану компактнiсть та її застосування. Нехай Q1, Q2, . . . , Qn — суку-
пнiсть непорожнiх компактних пiдмножин простору W−1
q (Ω). Введемо до розгляду мно-
жину
V = {U = [u1,u2, . . . ,un] ∈ Ln×n
∞ (Ω) : div ui ∈ Qi, i = 1, 2, . . . , n}, (12)
де значення оператора div на векторi u ∈ Ln
q (Ω) визначається як елемент простору
W−1
q (Ω) такий, що
〈div u, φ〉 ◦
W 1
p (Ω)
= −
∫
Ω
(u,∇φ)Rndx ∀φ ∈
◦
W 1
p (Ω).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
66 В. О. КАПУСТЯН, О. П. КОГУТ
Наведемо означення оператора rot для випадку n-вимiрних вектор-функцiй v =
= {v1, v2, . . . , vn} ∈ Ln
p (Ω). Для довiльного v ∈ Ln
p (Ω) рiвнiстю
〈rot v, φ〉ij
◦
W 1
q (Ω)
= −
∫
Ω
(
vi
∂φ
∂xj
− vj
∂φ
∂xi
)
dx ∀φ ∈
◦
W 1
q (Ω), i, j = 1, . . . , n,
визначаються компоненти кососиметричної матрицi rot v як елементи з W−1
p (Ω). Вектор
v ∈ Ln
p (Ω) такий, що rot v = 0, у випадку однозв’язної областi Ω є потенцiйним, тобто
його можна подати у виглядi v = ∇ ξ, де ξ ∈ W 1
p (Ω).
Будемо говорити, що функцiональний параметр U є допустимим керуванням, якщо
U ∈ V
⋂
U∂ , де припускається, що V
⋂
U∂ 6= ∅, а множину U∂ означено в (6), (7). Множи-
ну всiх допустимих керувань позначимо через Usol.
Лема 3. Usol — секвенцiйно компактна множина в ∗-слабкiй топологiї простору
Ln×n
∞ (Ω).
Доведення. Нехай {U k = [u1k,u2k, . . . ,unk]}
∞
k=1 — довiльна послiдовнiсть в Usol. Оскiль-
ки Usol ⊂ U∂ , а множина U∂ є секвенцiйно ∗-слабкокомпактною в Ln×n
∞ (Ω), то можна
вважати, що iснують матриця U 0 ∈ U∂ та елементи fi ∈ Qi, i = 1, 2, . . . , n, такi, що
∫
Ω
(u i k, φ)Rndx →
∫
Ω
(u i 0, φ)Rndx ∀φ ∈ [L1(Ω)]n, i = 1, 2, . . . , n, (13)
та
div u i k → fi в W−1
q (Ω), i = 1, 2, . . . , n. (14)
Тепер залишилось довести, що насправдi div u i 0 = fi, i = 1, 2, . . . , n. Для цього вибе-
ремо в якостi вектора φ такий, що φ = ∇p, де p ∈
◦
W 1
p (Ω). Тодi, виходячи з означення
дивергенцiї та припущень (14), отримуємо
∫
Ω
(u i k,∇p)Rndx = −〈div u i k, p〉 ◦
W 1
p (Ω)
k→∞
−→ −〈fi, p〉 ◦
W 1
p (Ω)
, i = 1, 2, . . . , n.
З iншого боку, враховуючи (13) та останнє спiввiдношення, маємо
lim
k→∞
∫
Ω
(u i k,∇p)Rndx =
∫
Ω
(u i 0,∇p)Rn dx =
= −〈div u i 0, p〉 ◦
W 1
p (Ω)
= −〈fi, p〉 ◦
W 1
p (Ω)
, i = 1, 2, . . . , n.
Отже, U 0 = [u1 0,u2 0, . . . ,un 0] ∈ Usol, що i потрiбно було встановити.
Тепер, виходячи з переозначення множини допустимих керувань, перейдемо до нової
задачi оптимального керування
L(U, y) → inf (15)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
ПРО РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ОДНОГО КЛАСУ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ . . . 67
при обмеженнях
B(U, y) = f, (16)
U ∈ Usol. (17)
Множиною допустимих розв’язкiв Ξ задачi (15) – (17) будемо називати сукупнiсть пар
(U, y) ∈ Ln×n
∞ (Ω)×
◦
W 1
p (Ω), якi пов’язанi спiввiдношеннями (16), (17).
Далi через τ будемо позначати топологiю у просторi Ln×n
∞ (Ω)×
◦
W 1
p (Ω) як добуток
∗-слабкої топологiї в Ln×n
∞ (Ω) та слабкої топологiї у просторi
◦
W 1
p (Ω).
Для подальшого дослiдження множини Ξ наведемо один результат типу вiдомої леми
про компенсовану компактнiсть на випадок p ≥ 2 (див. для порiвняння лему 4.2.1 в [6]):
Лема 4. Нехай {fk}
∞
k=1 ⊂ Ln
q (Ω), {gk}
∞
k=1 ⊂ Ln
p (Ω) — послiдовностi вектор-функцiй
такi, що fk → f0 слабко в Ln
q (Ω) i gk → g0 слабко в Ln
p (Ω). Додатково припуcтимо, що
означенi послiдовностi задовольняють умови:
1) {div fk}
∞
k=1 — компактна послiдовнiсть в W−1
q (Ω),
2) rot gk = 0 ∀k ∈ N.
Тодi
lim
k→∞
∫
Ω
φ (fk, gk)Rn dx =
∫
Ω
φ (f0, g0)Rn dx ∀φ ∈ C∞
0 (Ω). (18)
Зауваження 2. Зазвичай спiввiдношення (18) можна трактувати як ∗-слабку збiжнiсть
послiдовностi {(fk, gk)Rn}∞k=1 до елемента (f0, g0)Rn у просторi L1(Ω) (див. [9]).
Доведення. Маємо
(fk, gk)Rn = (fk − f0, gk − g0)Rn − (f0, g0)Rn + (fk, g0)Rn + (f0, gk)Rn .
Останнi три доданки мають очевидну ∗-слабку границю, яка дорiвнює (f0, g0)Rn . Тому до-
ведення можна звести до випадку, коли f0 = g0 = 0. Тодi можна вважати, що (переходячи
при необхiдностi до пiдпослiдовностi) div fk → 0 сильно в W−1
q (Ω).
Оскiльки ∗-слабка збiжнiсть має локальний характер, то область Ω можна вважати
кулею. Внаслiдок того, що rot gk = 0 ∀ k ∈ N, вектори gk є потенцiйними, тобто можна
вважати, що gk = ∇uk, де
∫
Ω
uk dx = 0 ∀ k ∈ N. За початковими припущеннями gk =
= ∇uk → 0 слабко в Ln
p (Ω). Тому, виходячи з нерiвностi Пуанкаре – Фрiдрiхса, одержуємо
uk → 0 слабко в W 1
p (Ω), а отже, uk → 0 сильно в Lp(Ω).
Тепер для довiльної фiксованої функцiї φ ∈ C∞
0 (Ω) маємо
∫
Ω
(fk, gk)Rn φdx =
∫
Ω
(fk,∇(φ uk))Rn dx −
∫
Ω
uk (fk,∇φ)
Rn dx =
= 〈div fk, φ uk〉 ◦
W 1
p (Ω)
−
∫
Ω
uk (fk,∇φ)
Rn dx. (19)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
68 В. О. КАПУСТЯН, О. П. КОГУТ
З того, що div fk → 0 сильно в W−1
q (Ω), а послiдовнiсть {φuk}
∞
k=1 є обмеженою в
◦
W 1
p (Ω),
випливає, що 〈div fk, φ uk〉 ◦
W 1
p (Ω)
k→∞
−→ 0. Останнiй iнтеграл у (19) прямує до нуля, тому що
uk → 0 сильно в Lp(Ω), a {(fk,∇φ)
Rn}∞k=1 — обмежена послiдовнiсть в Lq(Ω).
Наступне твердження є основним результатом даної роботи.
Теорема 3. Нехай виконуються умови (6), (7) та (12) i множина Usol є непорожньою.
Тодi для кожного фiксованого f ∈ W−1
q (Ω) множина допустимих розв’язкiв Ξ є секвен-
цiйно τ -замкненою в Ln×n
∞ (Ω)×
◦
W 1
p (Ω).
Доведення. Нехай {(Uk, yk)}
∞
k=1 ⊂ Ξ — довiльна τ -збiжна послiдовнiсть допустимих
пар, а (U0, y0) — її τ -границя. Покажемо, що (U0, y0) ∈ Ξ. Введемо наступнi позначення.
Нехай
B(U, y) = −div
(
U(x) |∇ y|p−2 ∇ y
)
+ a0(x) |y|p−2 y,
B̃(U, y) = −div
(
U(x) |∇ y|p−2 ∇ y
)
= −divA(U(x),∇ y).
За початковими припущеннями
Uk → U0 ∗ -слабко в Ln×n
∞ (Ω),
yk → y0 слабко в
◦
W 1
p (Ω).
Тодi, як показано в лемi 1, для q =
p
p − 1
{
|∇yk|
p−2 ∇yk
}∞
k=1
обмежена в Ln
q (Ω),
|yk|
p−2 yk → |y0|
p−2 y0 слабко в Lq(Ω).
За умовою
−div (A(Uk,∇yk)) = f − a0(x)|yk|
p−2yk.
Позначимо fk = f − a0(x)|yk|
p−2yk. Тодi fk ∈ W−1
q (Ω) ∀ k ∈ N. При цьому, виходя-
чи з компактностi вкладення простору Lq(Ω) у простiр W−1
q (Ω) (див. [10]), отримуємо
fk → f0 = f − a0(x)|y0|
p−2|y0| сильно в W−1
q (Ω). Отже, {A(Uk,∇yk)}
∞
k=1 — обмежена
послiдовнiсть у Ln
q (Ω).
Нехай ξk = A(Uk,∇yk) ∀ k ∈ N. Тодi можна вважати, що ξk → ξ слабко в Ln
q (Ω). Отже,
враховуючи початковi припущення, маємо:
1) Uk → U0 = [u10
,u20
, . . . ,un0
] ∗-слабко в Ln×n
∞ (Ω),
2) div uik → div ui0 сильно в W−1
q (Ω), i = 1, 2, . . . , n,
3) yk → y0 слабко в
◦
W 1
p (Ω),
4) |yk|
p−2 yk → |y0|
p−2 y0 слабко в Lq(Ω),
5) ξk → ξ слабко в Ln
q (Ω).
Тому, переходячи до границi (у сенсi розподiлiв) у рiвностi
−div ξk = f − a0(x)|yk|
p−2|yk|,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
ПРО РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ОДНОГО КЛАСУ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ . . . 69
отримуємо
−div ξ = f − a0(x)|y0|
p−2|y0|. (20)
Проблема полягає у встановленнi зв’язку мiж ξ та парою (U0, y0). Введемо до розгляду
функцiю
v(x) = (z, x)Rn , (21)
де z — довiльний фiксований вектор з Rn. Оскiльки оператор B є монотонним, то для всiх
z ∈ Rn та всiх додатних φ ∈ C∞
0 (Ω) маємо
∫
Ω
φ(x) (A(Uk,∇ yk) − A(Uk,∇ v),∇ yk −∇ v)
Rn dx ≥ 0,
або, враховуючи (21), останнє можна переписати у виглядi
∫
Ω
φ(x) (A(Uk,∇ yk) − A(Uk, z),∇ yk − z)
Rn dx ≥ 0. (22)
Тут
−div A(Uk,∇yk) → f − a0(x)|y0|
p−2|y0| сильно в W−1
q (Ω),
rot(∇ yk − z) = rot∇ yk = 0 ∀ k ∈ N.
Покажемо, що послiдовнiсть {divA(Uk, z)}∞k=1 є компактною в W−1
q (Ω). Якщо це так, то
в нерiвностi (22) можна перейти до границi за лемою про компенсовану компактнiсть.
Виходячи з означення оператора дивергенцiї, внаслiдок щiльностi C∞
0 (Ω) в
◦
W 1
p (Ω)
маємо
〈−div A(Uk, z), φ〉 ◦
W 1
p (Ω)
=
∫
Ω
(A(Uk, z),∇φ)
Rn dx = Ik ∀φ ∈ C∞
0 (Ω),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
70 В. О. КАПУСТЯН, О. П. КОГУТ
Отже,
Ik =
∫
Ω
(
Uk(x)|z|p−2z,∇φ
)
dx =
= |z|p−2
∫
Ω
(u1k
(x), z)Rn
. . .
(unk
(x), z)Rn
,∇φ
Rn
dx =
= |z|p−2
∫
Ω
n
∑
i=1
(uik(x), z)
Rn
∂φ
∂xi
dx =
= |z|p−2
∫
Ω
n
∑
i=1
n
∑
j=1
ak
i j(x)
∂φ
∂xi
zj dx =
= |z|p−2
n
∑
j=1
zj
∫
Ω
(ujk
(x),∇φ)Rndx =
= −|z|p−2
n
∑
j=1
zj〈divujk
, φ〉 ◦
W 1
p (Ω)
. (23)
Перейдемо в (23) до границi, врахувавши умову 2. Отримаємо
lim
k→∞
Ik = |z|p−2
n
∑
j=1
zj lim
k→∞
〈−div ujk
, φ〉 ◦
W 1
p (Ω)
=
= |z|p−2
n
∑
j=1
zj〈−div uj0 , φ〉 ◦
W 1
p (Ω)
.
Реалiзуючи обернену до (23) процедуру, знаходимо
lim
k→∞
〈−div A(Uk, z), φ〉 ◦
W 1
p (Ω)
= 〈−div A(U0, z), φ〉 ◦
W 1
p (Ω)
. (24)
Оскiльки для кожного i = 1, 2, . . . , n {div uik}
∞
k=1 утворюють сильнозбiжну послiдовнiсть
в W−1
q (Ω), то тим самим доведено, що з (24) випливає
lim
k→∞
〈−div A(Uk, z), φk〉 ◦
W 1
p (Ω)
= 〈−div A(U0, z), φ〉 ◦
W 1
p (Ω)
(25)
для будь-якої слабкозбiжної в
◦
W 1
p (Ω) послiдовностi {φk}
∞
k=1 ⊂ C∞
0 (Ω). Тим самим маємо,
що divA(Uk, z) → divA(U0, z) cильно в W−1
q (Ω). Окрiм цього, легко бачити, що
A(Uk, z) = Uk |z|
p−2z → U0 |z|
p−2z = A(U0, z) ∗ -слабко в Ln
∞(Ω). (26)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
ПРО РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ОДНОГО КЛАСУ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ . . . 71
Отже, всi передумови леми 4 виконуються. Тому, переходячи в (22) до границi i враховую-
чи умови 3, 5 та (25), (26), отримуємо
∫
Ω
φ(x) (ξ − A(U0, z),∇ y0 − z)
Rn dx ≥ 0 ∀z ∈ Rn.
Оскiльки ця нерiвнiсть виконується для всiх додатних φ ∈ C∞
0 (Ω), то пiсля локалiзацiї
маємо
(ξ − A(U, z),∇y − z)Rn ≥ 0 ∀z ∈ Rn.
Виходячи зi строгої монотонностi для B(U, z), доведеної в лемi 1, знаходимо
ξ = A(U0,∇y0) = U0(x)|∇y0|
p−2∇y0.
Тим самим (див. (20)) одержуємо наступне рiвняння:
−div
(
U0(x)|∇y0|
p−2∇y0
)
+ a0(x)|y0|
p−2y0 = f ∀x ∈ Ω.
Отже, ми довели, що пара (U0, y0) пов’язана рiвнянням (16) i при цьому U0 ∈ Usol внаслi-
док ∗-слабкої замкненостi множини Usol. Тим самим доведено, що множина допустимих
розв’язкiв Ξ є секвенцiйно τ -замкненою у просторi Ln×n
∞ (Ω)×
◦
W 1
p (Ω).
Теорему 3 доведено.
Розв’язнiсть задачi оптимального керування.
Теорема 4. Нехай Usol 6= ∅ i в задачi (15) – (17) функцiонал якостi
L : Usol×
◦
W 1
p (Ω) → R
є напiвнеперервним знизу в ∗-слабкiй топологiї Ln×n
∞ (Ω) та топологiї слабкої збiжностi
в
◦
W 1
p (Ω). Нехай також виконуються умови (6), (7) та (2). Тодi задача оптимального
керування (15) – (17) (у класi узагальнено-соленоїдальних керувань) має непорожню мно-
жину розв’язкiв.
Доведення. З припущення про непорожнiсть множини Usol i теореми 2 випливає ре-
гулярнiсть задачi (15) – (17). Покажемо тепер, що виконуються умови 1 та 3 теореми 1.
Оцiнка (8) з леми 1 дає виконання умови 3. А умову 1 доведемо за допомогою теореми 3,
при доведеннi якої було показано, що якщо
Uk → U0 *-слабко в Ln×n
∞ (Ω),
yk → y0 слабко в
◦
W 1
p (Ω),
то B(Uk, yk) → B(U0, y0) слабко у просторi W−1
q (Ω). Отже, для оператора B(U, y) власти-
вiсть (M) виконується. Таким чином, для завершення доведення залишається скориста-
тися теоремою 1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
72 В. О. КАПУСТЯН, О. П. КОГУТ
Як приклад функцiонала якостi, що задовольняє умови теореми 1, наведемо наступ-
ний:
L(U, y) = ‖∇y − z∂‖Ln
p (Ω) +
n
∑
i=1
‖div ui‖W−1
q (Ω) + ‖U‖Ln×n
∞ (Ω),
де z∂ ∈ Ln
p (Ω) — заданий фiксований вектор.
Зауважимо, що вибiр в якостi класу допустимих керувань множини узагальнено-со-
леноїдальних матриць Usol не передбачає перехiд до матриць, елементи яких належать
простору W 1
q (Ω). Тобто у загальному випадку це ширша множина, нiж
{
U = [u1,u2, . . . ,un] ∈ [W 1
q (Ω)]n×n : div ui ∈ Qi, i = 1, 2, . . . , n
}
∩ U∂ .
Бiльш того, оскiльки div u ∈ [W−1
q (Ω)] для всiх u ∈ [W 1
q (Ω)]n, то для вибраних множин
Qi ⊂ W−1
q (Ω) мають мiсце спiввiдношення
Usol * [W 1
q (Ω)]n×n ∩ U∂ , Usol ∩
(
[W 1
q (Ω)]n×n ∩ U∂
)
6= ∅,
{
[u1,u2, . . . ,un] ∈ [W 1
q (Ω)]n×n : div ui ∈ Qi, i = 1, n
}
∩ U∂ ⊂ Usol ⊂ U∂ .
Крiм того, для оператора
B(U, y) = −div(U(x)|∇y|p−2|∇y|) + a0(x) |y|p−2 y,
як було показано вище, властивiсть (M) може порушуватися. Проте ця властивiсть зали-
шиться незмiнною, як тiльки U ∈ Usol.
1. Иваненко В. И., Мельник В. С. Вариационные методы в задачах управления для систем с распределен-
ными параметрами. — Киев: Наук. думка, 1988. — 324 с.
2. Фурсиков А. В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. — Но-
восибирск: Науч. книга, 1999. — 350 с.
3. Райтум У. Е. Задачи оптимального управления для эллиптических уравнений. — Рига: Зинатне, 1989.
— 274 с.
4. Литвинов В. Г. Оптимизация в эллиптических граничных задачах с приложениями к механике. — М.:
Наука, 1987. — 366 с.
5. Корсакова Л. В. Примеры несуществования решения задачи Лионса об оптимальном управлении //
Пробл. мат. анализа. — 1977. — Вып. 6. — С. 60 – 67.
6. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. Л. Усреднение дифференциальных операторов. — М.: Физмат-
лит, 1993. — 461 c.
7. Лионс Дж. Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. — М.: Мир, 1972. — 587 с.
8. Casado-Diaz J. Existence of a sequence satisfying Cioranescu – Murat conditions in homogenization of Diri-
chlet problems in perforated domains // Rend. mat. — 1996. — Ser. VII. — P. 387 – 413.
9. Згуровский М. З., Мельник В. С., Новиков А. Н. Прикладные методы анализа и управления нелиней-
ными процессами и полями. — Киев: Наук. думка, 2004. — 590 с.
10. Adams R. Sobolev spaces. — New York: Acad. Press, 1975. — 245 p.
Одержано 04.03.08
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178381 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-02T00:29:26Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Капустян, В.О. Когут, О.П. 2021-02-19T06:50:53Z 2021-02-19T06:50:53Z 2009 Про розв'язність одного класу задач оптимального керування коефіцієнтами у головній частині нелінійного еліптичного оператора / В.О. Капустян, О.П. Когут // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 1. — С. 59-72. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178381 517.95, 97 Рассматривается проблема существования решений задачи оптимального управления для нелинейного эллиптического уравнения с условиями Дирихле на границе при условии, что функциями управлений являются коэффициенты в главной части дифференциального оператора. Показано, что такая задача имеет оптимальные решения в классе обобщенно-соленоидальных матриц. We consider the problem of existence of solutions of an optimal control problem for a nonlinear elliptic equation with Dirichlet conditions on the boundary under the condition that the control functions are coefficients in the principal part of the differential operator. It is shown that this problem has optimal solutions in the class of generalized solenoidal matrices. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Про розв'язність одного класу задач оптимального керування коефіцієнтами у головній частині нелінійного еліптичного оператора О разрешимости одного класса задач оптимального управления коэффициентами в главной части нелинейного эллиптического оператора About solvabiblity of a class of optimal control problems controlling the coefficients of the principal part of a nonlinear ellyptic operator Article published earlier |
| spellingShingle | Про розв'язність одного класу задач оптимального керування коефіцієнтами у головній частині нелінійного еліптичного оператора Капустян, В.О. Когут, О.П. |
| title | Про розв'язність одного класу задач оптимального керування коефіцієнтами у головній частині нелінійного еліптичного оператора |
| title_alt | О разрешимости одного класса задач оптимального управления коэффициентами в главной части нелинейного эллиптического оператора About solvabiblity of a class of optimal control problems controlling the coefficients of the principal part of a nonlinear ellyptic operator |
| title_full | Про розв'язність одного класу задач оптимального керування коефіцієнтами у головній частині нелінійного еліптичного оператора |
| title_fullStr | Про розв'язність одного класу задач оптимального керування коефіцієнтами у головній частині нелінійного еліптичного оператора |
| title_full_unstemmed | Про розв'язність одного класу задач оптимального керування коефіцієнтами у головній частині нелінійного еліптичного оператора |
| title_short | Про розв'язність одного класу задач оптимального керування коефіцієнтами у головній частині нелінійного еліптичного оператора |
| title_sort | про розв'язність одного класу задач оптимального керування коефіцієнтами у головній частині нелінійного еліптичного оператора |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178381 |
| work_keys_str_mv | AT kapustânvo prorozvâznístʹodnogoklasuzadačoptimalʹnogokeruvannâkoefícíêntamiugolovníičastinínelíníinogoelíptičnogooperatora AT kogutop prorozvâznístʹodnogoklasuzadačoptimalʹnogokeruvannâkoefícíêntamiugolovníičastinínelíníinogoelíptičnogooperatora AT kapustânvo orazrešimostiodnogoklassazadačoptimalʹnogoupravleniâkoéfficientamivglavnoičastinelineinogoélliptičeskogooperatora AT kogutop orazrešimostiodnogoklassazadačoptimalʹnogoupravleniâkoéfficientamivglavnoičastinelineinogoélliptičeskogooperatora AT kapustânvo aboutsolvabiblityofaclassofoptimalcontrolproblemscontrollingthecoefficientsoftheprincipalpartofanonlinearellypticoperator AT kogutop aboutsolvabiblityofaclassofoptimalcontrolproblemscontrollingthecoefficientsoftheprincipalpartofanonlinearellypticoperator |