Градієнтні векторні поля з імпульсною дією на многовидах

Рассматриваются градиентные векторные поля с импульсным (гладким и непрерывным) воздействием, заданные на гладком компактном многообразии. При исследовании качественного поведения интегральных кривых этих векторных полей доказаны критерий существования замкнутых орбит и условие существования их орб...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Нелінійні коливання
Datum:	2009
1. Verfasser:	Шарко, Ю.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2009
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178389
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Градієнтні векторні поля з імпульсною дією на многовидах / Ю.В. Шарко // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 1. — С. 134-144. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178389
record_format	dspace
spelling	Шарко, Ю.В. 2021-02-19T06:53:17Z 2021-02-19T06:53:17Z 2009 Градієнтні векторні поля з імпульсною дією на многовидах / Ю.В. Шарко // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 1. — С. 134-144. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178389 512.662.5 Рассматриваются градиентные векторные поля с импульсным (гладким и непрерывным) воздействием, заданные на гладком компактном многообразии. При исследовании качественного поведения интегральных кривых этих векторных полей доказаны критерий существования замкнутых орбит и условие существования их орбитальной устойчивости. We consider gradient vector fields with impulsive (smooth and continuous) effects, defined on a smooth compact manifold. Conducting a study of the qualitative behavior of integral curves of these fields we prove a criterion for existence of closed orbits and a condition for their orbital stability. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Градієнтні векторні поля з імпульсною дією на многовидах Градиентные векторные поля с импульсным воздействием на многообразиях Gradient vector fields with impulsive effects on manifolds Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Градієнтні векторні поля з імпульсною дією на многовидах
spellingShingle	Градієнтні векторні поля з імпульсною дією на многовидах Шарко, Ю.В.
title_short	Градієнтні векторні поля з імпульсною дією на многовидах
title_full	Градієнтні векторні поля з імпульсною дією на многовидах
title_fullStr	Градієнтні векторні поля з імпульсною дією на многовидах
title_full_unstemmed	Градієнтні векторні поля з імпульсною дією на многовидах
title_sort	градієнтні векторні поля з імпульсною дією на многовидах
author	Шарко, Ю.В.
author_facet	Шарко, Ю.В.
publishDate	2009
language	Ukrainian
container_title	Нелінійні коливання
publisher	Інститут математики НАН України
format	Article
title_alt	Градиентные векторные поля с импульсным воздействием на многообразиях Gradient vector fields with impulsive effects on manifolds
description	Рассматриваются градиентные векторные поля с импульсным (гладким и непрерывным) воздействием, заданные на гладком компактном многообразии. При исследовании качественного поведения интегральных кривых этих векторных полей доказаны критерий существования замкнутых орбит и условие существования их орбитальной устойчивости. We consider gradient vector fields with impulsive (smooth and continuous) effects, defined on a smooth compact manifold. Conducting a study of the qualitative behavior of integral curves of these fields we prove a criterion for existence of closed orbits and a condition for their orbital stability.
issn	1562-3076
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178389
citation_txt	Градієнтні векторні поля з імпульсною дією на многовидах / Ю.В. Шарко // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 1. — С. 134-144. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT šarkoûv gradíêntnívektornípolâzímpulʹsnoûdíêûnamnogovidah AT šarkoûv gradientnyevektornyepolâsimpulʹsnymvozdeistviemnamnogoobraziâh AT šarkoûv gradientvectorfieldswithimpulsiveeffectsonmanifolds
first_indexed	2025-11-24T06:47:50Z
last_indexed	2025-11-24T06:47:50Z
_version_	1850843259570487296
fulltext	УДК 512.662.5 ГРАДIЄНТНI ВЕКТОРНI ПОЛЯ З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ НА МНОГОВИДАХ Ю. В. Шарко Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка Україна, 01033, Київ, вул. Володимирська, 64 We consider gradient vector fields with impulsive (smooth and continuous) effects, defined on a smooth compact manifold. Conducting a study of the qualitative behavior of integral curves of these fields we prove a criterion for existence of closed orbits and a condition for their orbital stability. Рассматриваются градиентные векторные поля с импульсным (гладким и непрерывным) воздействием, заданные на гладком компактном многообразии. При исследовании качествен- ного поведения интегральных кривых этих векторных полей доказаны критерий существова- ния замкнутых орбит и условие существования их орбитальной устойчивости. 1. Вступ. За останнi два десятирiччя бурхливого розвитку набула теорiя диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю. Основи цiєї теорiї було закладено у працях М. М. Крилова, М. М. Боголюбова та Ю. О. Митропольського. Визначальний вклад у розвиток цiєї теорiї внесли А. М. Самойленко та його учнi [1, 2]. Разом з тим дослiдження векторних полiв з iмпульсною дiєю на гладких многовидах тiльки розпочинається. Будемо розглядати на гладкому компактному многовидi Mn два градiєнтних вектор- них поля для однiєї i тiєї ж функцiї f : Mn → R1, але вiдносно рiзних рiманових метрик на Mn. Природним чином виникає векторне поле на Mn з iмпульсною дiєю. Опишемо поведiнку його траєкторiй, критерiй iснування так званих замкнених орбiт та доведемо теорему про їх орбiтальну стiйкiсть. 2. Попереднi вiдомостi. Наведемо необхiднi для подальшого викладу означення i тверд- ження, бiльшiсть з яких можна знайти в [3 – 6]. Нехай Mn — компактний гладкий много- вид без краю розмiрностi n. Означення 1. Векторним полем з гладкою iмпульсною дiєю на Mn називається чет- вiрка (X,Γn−1,Σn−1, ϕ) така, що: а) X — гладке векторне поле, що задане на Mn; б) Γn−1 ⊂ Mn i Σn−1 ⊂ Mn — замкненi гладкi пiдмноговиди корозмiрностi 1 (взагалi кажучи, незв’язнi) i такi, що Γn−1 ⋂ Σn−1 = ∅; в) векторне поле X є трансверсальним до пiдмноговидiв Γn−1 i Σn−1; г) ϕ : Γn−1 → Σn−1 — дифеоморфiзм. Iнтегральною кривою векторного поля з гладкою iмпульсною дiєю (X,Γn−1,Σn−1, ϕ), що проходить через точку p ∈ Mn, p /∈ Γn−1, називається таке гладке вiдображення α : (a, b) → Mn, де (a, b) — iнтервал, до якого належить 0, що α(0) = p, α(t) ⋂ Γn−1 = ∅ i α′(t) = X(α(t)). У випадку, коли iнтегральна крива α : (a, b) → Mn продовжується до значення параметра b i α(b) ∈ Γn−1, вона розривається, тобто точка α(b) вiдображається у точку ϕ(α(b)) ∈ Σn−1 i далi рухається по iнтегральнiй кривiй, що проходить через точку ϕ(α(b)). Образ iнтегральної кривої називається траєкторiєю або орбiтою. c© Ю. В. Шарко, 2009 134 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1 ГРАДIЄНТНI ВЕКТОРНI ПОЛЯ З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ НА МНОГОВИДАХ 135 Пiд гладким компактним многовидом з особливостямиMn sing розмiрностi n розумiє- мо компактний топологiчний простiрMn sing, у якому є скiнченна кiлькiсть точокm1,m2, . . . . . . ,mk така, що множина M \ ( ⋃k i=1mi) є гладким многовидом розмiрностi n. Точки m1,m2, . . . ,mk називаються сингулярними або особливими точками Mn sing. Пiд гладким компактним пiдмноговидом з особливостями Nn−1 sing корозмiрностi 1 у гладкому многовидiMn розмiрностi n розумiємо компактний многовид з особливостями Nn−1 sing розмiрностi n−1, який на доповненнi до сингулярних точок гладко вкладений уMn. Означення 2. Векторним полем з неперервною iмпульсною дiєю на гладкому компакт- ному многовидi без краю Mn називається четвiрка (X,Γn−1,Σn−1 sing , ψ) така що: а) X — гладке векторне поле, що задане на Mn; б) Γn−1 ⊂ Mn — замкнений гладкий пiдмноговид корозмiрностi 1 (взагалi кажучи, незв’язний); в) Σn−1 sing ⊂ Mn — компактний гладкий пiдмноговид з особливостями корозмiрнос- тi 1; г) Γn−1 ⋂ Σn−1 sing = ∅; д) векторне поле X є трансверсальним до пiдмноговиду Γn−1; е) на доповненнi до сингулярних точок векторне полеX є трансверсальним до Σn−1 sing , а в сингулярних точках Σn−1 sing перетворюється в 0; є) ψ : Γn−1 → Σn−1 sing — неперервне вiдображення. Аналогiчним чином iнтегральною кривою векторного поля з неперервною iмпульс- ною дiєю (X,Γn−1,Σn−1 sing , ψ), що проходить через точку p ∈ Mn, p /∈ Γn−1, називається гладке вiдображення α : (a, b) → Mn, де (a, b) — iнтервал, до якого належить 0, та- ке, що α(0) = p, α(t) ⋂ Γn−1 = ∅ i α ′(t) = X(α(t)). У випадку, коли iнтегральна крива α : (a, b) → Mn продовжується до значення параметра b i α(b) ∈ Γn−1, вона розри- вається, тобто точка α(b) вiдображається у точку ψ(α(b)) ∈ Σn−1 sing i далi або рухається по iнтегральнiй кривiй, що проходить через точку ψ(α(b)), якщо точка ψ(α(b)) не є осо- бливою точкою векторного поля X, або закiнчується у цiй точцi у випадку, коли точка ψ(α(b)) є особливiстю Σn−1 sing . Нехай функцiя z = f(x1, x2, . . . , xn), яка задана на гладкому замкненому многови- дi Mn, є диференцiйовною (класу C∞). Точка y ∈ Mn називається критичною точкою функцiї z = f(x1, x2, . . . , xn), якщо частиннi похiднi ∂f(y)/∂xфункцiї у цiй точцi дорiвню- ють нулевi. Точка y ∈ D називається регулярною точкою функцiї z = f(x1, x2, . . . , xn), якщо хоча б одна частинна похiдна ∂f(y)/∂x функцiї в цiй точцi є вiдмiнною вiд нуля. Нехай a належить множинi значень функцiї z = f(x1, x2, . . . , xn). Замкнена множина f−1(a) = Ma називається поверхнею рiвня функцiї. Якщо поверхня рiвня f−1(a) (вза- галi кажучи, незв’язна) функцiї z = f(x1, x2, . . . , xn) не мiстить критичних точок, то така поверхня рiвня є гладким пiдмноговидом корозмiрностi 1. Якщо на поверхнi рiвня f−1(a) (взагалi кажучи, незв’язнiй) функцiї z = f(x1, x2, . . . , xn) всi критичнi точки є iзольо- ваними, то така поверхня рiвня є гладким компактним пiдмноговидом з особливостями корозмiрностi 1. Припустимо, що F0 i F1 — два дифеоморфiзми компактного гладкого многовиду Mn у гладкий многовид Nn. Кажуть, що дифеоморфiзми F0 i F1 є iзотопними, якщо iснує неперервна сiм’я дифеоморфiзмiв Gt, t ∈ [0, 1], iз Mn в Nn така, що G0 = F0, G1 = F1. Для неперервного вiдображення F : Mn −→ Mn, де Mn — компактний гладкий мно- говид, за допомогою слiдiв iндукованих гомоморфiзмiв груп гомологiй H i(Mn, Q) много- ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1 136 Ю. В. ШАРКО виду Mn можна визначити число Лєфшеця Λ(F ) за формулою [3] Λ(F ) = Σn i=0(−1)i Tr (F∗(H i(Mn, Q) → H i(Mn, Q))). Це число використовують для вiдповiдi на питання про iснування нерухомих точок у вi- дображення F. Ейлерову характеристику χ(Mn) компактного гладкого многовиду Mn теж можна визначити через ранги груп гомологiй многовиду Mn за допомогою формули χ(Mn) = = Σn i=0(−1)i rank (H i(Mn, Q)) [3]. 3. Градiєнтнi векторнi поля на многовидах. Нехай Mn — компактний гладкий мно- говид без краю. Виберемо на Mn рiманову метрику ρ. Скалярний добуток двох дотич- них векторiв X i Y у точцi m ∈ Mn, визначений метрикою ρ, будемо позначати через 〈X,Y 〉m . Припустимо, що на многовидi Mn задано гладку функцiю f : Mn −→ [0, 1]. Нагадаємо, що градiєнтне векторне поле gradρf на многовидi Mn вiдносно рiманової метрики ρ визначається з рiвностi 〈 gradρf, Z 〉 m = Z(f(m)), де Z — довiльне векторне поле на Mn, а Z(f(m)) — похiдна у точцi m ∈ Mn функцiї f вздовж поля Z. Векторне поле gradρf дорiвнює нулю тiльки у критичних точках функ- цiї f. Зауваження. Незалежно вiд рiманової метрики ρ ненульовий вектор у точцi m ∈ Mn з векторного поля gradρf утворює з дотичним вектором до поверхнi рiвня функцiї f у цiй точцi ненульовий кут. Iншими словами, iнтегральна крива векторного поля gradρf, що проходить через точку m ∈ Mn, перетинає поверхню рiвня функцiї f у цiй точцi трансверсально i iнтегральнi кривi направленi у сторону зростання функцiї. Користуючись рiзними рiмановими метриками ρ i σ на многовидi Mn, можемо для однiєї i тiєї ж гладкої функцiї f : Mn −→ [0, 1] задавати рiзнi векторнi поля gradρf i gradσf. Ми скористаємося цiєю обставиною для побудови на Mn градiєнтних векторних полiв з iмпульсною дiєю. Нехай зафiксовано гладку функцiю f : Mn −→ [0, 1] зi скiнченною кiлькiстю кри- тичних значень. Припустимо, що 0 = c1 < c2 < . . . < ck−1 < ck = 1 — всi критичнi значення функцiї f. Виберемо регулярнi значення функцiї f 0 < p1 < q1 < c2 < p2 < q2 < c3 < . . . < ck−1 < pk−1 < qk−1 < ck = 1 i розглянемо пiдмноговиди Mpi = f−1(pi) та Mqi = f−1(qi). Наступне твердження доведено в [4]. Твердження 1. ПiдмноговидиMpi таMqi , i = 1, 2, . . . , k−1, є дифеоморфними. Дифео- морфiзм ϕi : Mpi −→ Mqi можна побудувати за допомогою iнтегральних кривих довiль- ного векторного поля gradρf. А саме, через точку x ∈ Mpi проходить iнтегральна кри- ва поля gradρf, яка перетинає пiдмноговид Mqi у точцi y. Дифеоморфiзм ϕi вiдображає точку x у точку y. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1 ГРАДIЄНТНI ВЕКТОРНI ПОЛЯ З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ НА МНОГОВИДАХ 137 Дифеоморфiзм ϕi залежить вiд вибору векторного поля gradρf. Очевидно, що має мiсце рiвнiсть ϕ−1 i (x) ◦ ϕi(x) = IdMpi . Якщо позначити через ϕi(gradρf) : Mpi −→ Mqi та ϕi(gradσf) : Mpi −→ Mqi дифеоморфiзми, якi побудованi за допомогою рiзних рiманових метрик ρ i σ на Mn, то дифеоморфiзм Φi(gradσf, gradρf) = ϕi(gradσf)−1 ◦ ϕi(gradρf) вже, взагалi кажучи, не буде тотожним на Mpi . Має мiсце така лема. Лема 1. Дифеоморфiзм Φi(gradσf, gradρf) : Mpi −→ Mpi iзотопний тотожному вi- дображенню для довiльних рiманових метрик ρ та σ на многовидi Mn. Доведення. Вiдомо, що множина рiманових метрик ℜMn на компактному многовидi Mn в компактно-вiдкритiй C∞ топологiї утворює опуклий конус. Це означає, що якщо ρ1 i ρ2 — двi рiмановi метрики на многовидi Mn, то для кожного значення t ∈ [0, 1] тен- зорне поле ρt = tρ1 + (1 − t)ρ2 буде рiмановою метрикою на Mn. Отже, для кожного t ∈ [0, 1] векторне поле gradtρ1+(1−t)ρ2 f коректно задане i є градiєнтним для функцiї f. Якщо розглянути сiм’ю дифеоморфiзмiв Φi(grad(1−t)σf, gradρf) = ϕi(grad(1−t)σ+tρf)−1 ◦ ϕi(gradρf) : Mpi −→ Mpi , то очевидно, що вона задає необхiдну iзотопiю мiж тотожним вiдображенням i дифео- морфiзмом Φi(gradσf, gradρf) = ϕi(gradσf)−1 ◦ ϕi(gradρf). Лему доведено. У наступному пунктi, використавши дифеоморфiзми Φi(gradσf, gradρf) : Mpi −→ Mpi , побудуємо векторне поле з гладкою iмпульсною дiєю на Mn. Припустимо, що гладка функцiя g : Mn −→ [0, 1] має скiнченну кiлькiсть критичних точок m1,m2, . . . ,ml. Нехай 0 = c1 < c2 < . . . < ck−1 < ck = 1 — всi критичнi значення функцiї g. Виберемо регулярнi значення функцiї g 0 < q1 < c2 < q2 < c3 < . . . < ck−1 < qk−1 < ck = 1 i розглянемо гладкi пiдмноговиди Mqi = g−1(qi), i = 1, 2, . . . , k − 1, та гладкi пiдмноговиди з особливостями корозмiрностi 1 Mci = g−1(ci), i = 1, 2, . . . , k − 1. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1 138 Ю. В. ШАРКО Наступний факт є вiдомим. Твердження 2. Гладкий пiдмноговид Mqi неперервно вiдображається на M i — глад- кий пiдмноговид з особливостями в корозмiрностi 1. Неперервне вiдображення ψi : Mqi −→ Mci можна побудувати за допомогою iнтегральних кривих довiльного вектор- ного поля, наприклад V = −gradσg.А саме, через точку x ∈ Mqi проходить iнтегральна крива поля V = −gradσg, яка або перетинає Mci у точцi y, або прямує в критичну точ- ку mj функцiї g. Неперервне вiдображення ψi вiдображає точку x у точку y або у точ- ку mj . Неперервне вiдображення ψi залежить вiд вибору градiєнтного векторного поля V = = −gradσg. У наступному пунктi, використавши неперервне вiдображення ψi, побудуємо векторне поле з неперервною iмпульсною дiєю на Mn. Нехай mj — довiльна критична точка функцiї g. Розглянемо два векторних поля V = = −gradσg i W = gradρg. Позначимо через αW (mj) множину тих iнтегральних кривих векторного поля W, для яких точка mj є α-граничною множиною, а через ωV (mj) мно- жину тих iнтегральних кривих векторного поля V, для яких точка mj є ω-граничною мно- жиною. 4. Градiєнтне векторне поле з гладкою (неперервною) iмпульсною дiєю. У цьому пунктi, використавши попереднi конструкцiї, побудуємо два векторних поля з гладкою та неперервною iмпульсною дiєю. Градiєнтне векторне поле з гладкою iмпульсною дiєю. Будемо розглядати наступне градiєнтне векторне поле з гладкою iмпульсною дiєю (X,Γn−1,Σn−1, ϕ). Спочатку за- фiксуємо на замкненому гладкому многовидi Mn двi рiзнi рiмановi метрики ρ i σ i задамо гладку функцiю f : Mn −→ [0, 1] зi скiнченною кiлькiстю критичних значень. Викори- ставши попереднi побудови, розглянемо дифеоморфiзми ϕi = ϕi(gradσf)−1 : Mqi −→ Mpi . Покладемо Γn−1 = ∪iMqi , Σn−1 = ∪iMpi , ϕ = ∪iϕi, X = gradρf. Рух точки у фазовому просторi Mn для такого градiєнтного векторного поля з глад- кою iмпульсною дiєю (X,Γn−1,Σn−1, ϕ) вiдбувається по однiй з iнтегральних траєкторiй x(t) системи gradρf(x) у промiжках мiж двома послiдовними попаданнями цiєї iнтеграль- ної траєкторiї на пiдмноговид Γn−1.У момент t0 попадання траєкторiї x(t) на пiдмноговид Γn−1 точка x(t0) „миттєво” переводиться дифеоморфiзмом ϕ у точку y = ϕ(x(t0)) пiд- многовиду Σn−1. Таким чином, траєкторiї векторного поля (X,Γn−1,Σn−1, ϕ) належать гладким n-ви- мiрним некомпактним пiдмноговидам Dn i = f−1(qi, qi+1], тобто траєкторiї, якi беруть початок у Ḋn i = f−1(qi, qi+1) i досягають пiдмноговидуMqi+1 , за допомогою дифеоморфiзму ϕi+1 переходять у траєкторiї, якi належать пiдмноговидам Ei+1 = f−1[pi+1, qi+1]. Зрозумiло, що для траєкторiй, якi беруть початок у точках, що належать пiдмноговиду Si = f−1(qi, ci+1), ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1 ГРАДIЄНТНI ВЕКТОРНI ПОЛЯ З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ НА МНОГОВИДАХ 139 є двi можливостi: а) прямувати до точок рiвноваги векторного поля (X,Γn−1,Σn−1, ϕ), якi вiдповiда- ють множинi критичних точок функцiї z = f(x1, x2, . . . , xn) i належать поверхнi рiвня f−1(ci+1); б) попасти у точку, що належить пiдмноговиду Mqi+1 , i далi весь час залишатися на n-вимiрному компактному пiдмноговидi Ei+1 = f−1[pi+1, qi+1] з краєм ∂Ei+1 = f−1(pi+1) ⋃ f−1(qi+1). Означення 3. Розривними траєкторiями i-го поверху градiєнтного векторного по- ля з гладкою iмпульсною дiєю (X,Γn−1,Σn−1, ϕ) будемо називати тi траєкторiї, якi беруть початок на пiдмноговидi Ḋn i = f−1(qi, qi+1) i досягають пiдмноговиду Mqi+1 . Iншими словами, розривнi траєкторiї i-го поверху — це траєкторiї, для яких iснує „биття” об (n− 1)-вимiрний пiдмноговид Mqi+1 ⊂ Γn−1. Серед розривних траєкторiй i-го поверху можуть бути такi, якi пiсля першої „зустрi- чi” з пiдмноговидом Mqi+1 ⊂ Γn−1 i пiсля застосування дифеоморфiзму ϕi+1 вiдразу або через деякий час рухаються по точках пiдмноговиду Ei+1 = f−1[pi+1, qi+1), якi вони вже „проходили” . Назвемо такi траєкторiї квазiзамкненими. Разом з тим серед розривних траєкторiй i-го поверху можуть бути такi, якi пiсля пер- шої „зустрiчi” з пiдмноговидомMqi+1 i пiсля застосування дифеоморфiзму ϕi+1 рухаються по iнших точках, нiж тi, якi вони „проходили” перший раз до зустрiчi з Mqi+1 . Але пiсля скiнченної кiлькостi „зустрiчей” з пiдмноговидом Mqi+1 вони повертаються в ту точку на пiдмноговидi Mpi+1 , яку вони вже „проходили” . Назвемо такi траєкторiї квазiперiодич- ними. Градiєнтне векторне поле з неперервною iмпульсною дiєю. Знову, використовуючи попереднi побудови, будемо розглядати наступне градiєнтне векторне поле з неперерв- ною iмпульсною дiєю (X,Γn−1,Σn−1 sing , ψ). Для цього припустимо, що гладка функцiя g : Mn −→ [0, 1] має скiнченну кiлькiсть критичних точок i 0 = c1 < c2 < . . . < ck−1 < ck = 1 — всi її критичнi значення. Виберемо регулярнi значення функцiї g 0 < q1 < c2 < q2 < c3 < . . . < ck−1 < qk−1 < ck = 1 i розглянемо гладкi пiдмноговиди Mqi = g−1(qi) та гладкi пiдмноговиди з особливостями Mci = g−1(ci), i = 1, 2, . . . , k − 1, корозмiрностi 1. Покладемо Γn−1 = ∪iMqi , Σn−1 sing = ∪iMci , ψ = ∪i, X = gradρg, де неперервне вiдображення ψi : Mqi −→ Mci побудовано за допомогою iнтегральних кривих векторного поля −gradσg. Рух точки у фазовому просторiMn для такого градiєнт- ного векторного поля з неперервною iмпульсною дiєю (X,Γn−1,Σn−1 sing , ψ) вiдрiзняється вiд попереднього випадку. Рух вiдбувається по однiй з iнтегральних траєкторiй x(t) системи gradρg у промiжках мiж двома послiдовними попаданнями цiєї iнтегральної траєкторiї на пiдмноговид Γn−1. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1 140 Ю. В. ШАРКО У момент t0 попадання траєкторiї x(t) на пiдмноговид Γn−1 точка x(t0) „миттєво” перево- диться неперервним вiдображенням ψ у точку y = ψ(x(t0)) на пiдмноговид з особливо- стями Σn−1 sing . Знову траєкторiї векторного поля (X,Γn−1,Σn−1 sing , ψ) належать гладким n-вимiрним некомпактним пiдмноговидам Dn i = g−1(qi, qi+1]. Таким чином, траєкторiї, якi беруть початок на пiдмноговидi Ḋn i = f−1(qi, qi+1) i дося- гають пiдмноговиду Mqi+1 , за допомогою вiдображення ψi+1 переходять у траєкторiї, що належать компактним n-вимiрним множинам Ei+1 = g−1[ci+1, qi+1]. Очевидно, що для траєкторiй, якi беруть початок у точках, що належать гладким неком- пактним n-вимiрним пiдмноговидам Si = g−1(qi, ci+1), є двi можливостi: а) прямувати до точки рiвноваги векторного поля (X,Γn−1,Σn−1 sing , ψ), яка вiдповiдає критичнiй точцi функцiї z = g(x1, x2, . . . , xn) i належить поверхнi рiвня g−1(ci+1); б) попасти у точку, що належить пiдмноговиду Mqi+1 , i далi весь час залишатися на компактнiй пiдмножинi Ei+1 = g−1[ci+1, qi+1]. Для траєкторiй з пункту б) знову ж таки є двi можливостi: 1) вiдразу або через скiнченну кiлькiсть „зустрiчей” з пiдмноговидомMqi+1 за допомо- гою вiдображення ψi+1 попасти у точку рiвноваги, що вiдповiдає критичнiй точцi функцiї z = g(x1, x2, . . . , xn) i належить поверхнi рiвня g−1(ci+1); про такi траєкторiї будемо гово- рити, що вони закiнчуються в сингулярних точках; 2) весь час рухатися мiжMci+1 = g−1(ci+1) iMqi+1 ; iншими словами, знову буде „биття” цих iнтегральних кривих об (n− 1)-вимiрний пiдмноговид Mqi+1 ⊂ Γn−1. Означення 4. Розривними траєкторiями i-го поверху градiєнтного векторного по- ля з неперервною iмпульсною дiєю (X,Γn−1,Σn−1, ϕ) будемо називати траєкторiї, якi беруть початок на пiдмноговидi Ḋn i = f−1(qi, qi+1) i досягають пiдмноговиду Mqi+1 . Аналогiчно, як i для гладкої дiї, серед розривних траєкторiй i-го поверху градiєнтного векторного поля з неперервною iмпульсною дiєю (X,Γn−1,Σn−1, ϕ) можуть бути такi, якi пiсля першої „зустрiчi” з пiдмноговидом Mqi+1 ⊂ Γn−1 i пiсля застосування неперервного вiдображенняψi+1 вiдразу або через деякий час рухаються по точках пiдмноговиду Ei+1 = = f−1[ci+1, qi+1], якi вони вже „проходили” . Назвемо такi траєкторiї квазiзамкненими. Водночас серед розривних траєкторiй i-го поверху можуть бути такi, якi пiсля першої „зустрiчi” з пiдмноговидом Mqi+1 i пiсля застосування вiдображення ψi+1 рухаються по iнших точках, нiж тi, якi вони „проходили” першого разу до зустрiчi з Mqi+1 . Але пiсля скiнченної кiлькостi „зустрiчей” з пiдмноговидом Mqi+1 вони повертаються в ту точку на пiдмноговидi з особливостями Mci+1 ⊂ Σn−1 sing корозмiрностi 1, яку вони вже „проходили” . Назвемо такi траєкторiї квазiперiодичними. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1 ГРАДIЄНТНI ВЕКТОРНI ПОЛЯ З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ НА МНОГОВИДАХ 141 5. Умови iснування квазiзамкнених траєкторiй у градiєнтних систем з гладкою iмпульс- ною дiєю. Нехай (X,Γn−1,Σn−1, ϕ) — градiєнтне векторне поле з гладкою iмпульсною дi- єю, яке побудоване у попередньому пунктi. Взагалi кажучи, векторне поле може не мати квазiзамкнених траєкторiй. У цьому пунктi ми наведемо достатнi умови для iснування у (X,Γn−1,Σn−1, ϕ) квазiзамкнених траєкторiй. Спочатку доведемо наступну лему. Лема 2. Припустимо,що ейлерова характеристика χ(M s pi ) 6= 0 для деякої компонен- ти зв’язностi M s pi ⊂ Mpi . Тодi дифеоморфiзм Φi(gradσf, gradρf) : M s pi −→ M s pi має нерухому точку. Множина нерухомих точок Fix (Φi(gradσf, gradρf)) дифеоморфiзму Φi(gradσf, gradρf) є компактною пiдмножиною в M s pi . Доведення. Вiдомо [3], що критерiєм для iснування нерухомих точок у неперервно- го вiдображення g компактного многовиду M самого в себе є вiдмiннiсть вiд нуля числа Лєфшеця Λ(g) для вiдображення g. У гомотопних вiдображень многовиду M числа Лєфшеця збiгаються. Число Лєфшеця Λ(Id) тотожного вiдображення довiльного ком- пактного многовиду M самого в себе дорiвнює ейлеровiй характеристицi χ(M) многови- ду M. Таким чином, множина нерухомих точок Fix (Φi(gradσf, gradρf)) дифеоморфiзму Φi(gradσf, gradρf) : M s pi −→ M s pi завжди є непорожньою. Множина нерухомих точок у неперервного вiдображення ком- пактного многовиду M завжди є замкненою. Довiльна замкнена пiдмножина компактно- го топологiчного простору завжди є компактом. Оскiльки M s pi ⊂ Mn є компактним топологiчним простором, то множина Fix (Φi(gradσf, gradρf)) є компактною пiдмножи- ною в M s pi . Лему доведено. Наступне твердження є наслiдком леми 2 i мiстить достатню умову iснування квазi- замкненої траєкторiї векторного поля (X,Γn−1,Σn−1, ϕ). Твердження 3. Нехай на гладкому замкненому многовидiMn за допомогою рiманових метрик ρ, σ i гладкої функцiї f : Mn −→ [0, 1] зi скiнченною кiлькiстю критичних зна- чень побудовано градiєнтне векторне поле з гладкою iмпульсною дiєю (X,Γn−1,Σn−1, ϕ). Якщо ейлерова характеристика χ(M s pi+1 ) 6= 0 для деякої компоненти зв’язностiM s pi+1 ⊂ ⊂ Mpi+1 , то серед розривних траєкторiй i-го поверху завжди iснує квазiзамкнена тра- єкторiя. Перетином множини квазiзамкнених траєкторiй i-го поверху з пiдмногови- дом M s pi+1 є компактна пiдмножина в M s pi+1 . Зафiксуємо на многовидi Mn рiманову метрику ζ = ρ + σ i за допомогою метрики ζ перетворимо Mn у метричний простiр, який будемо позначати через Mn ζ . Означення 5. Нехай γ — квазiзамкнена траєкторiя i-го поверху векторного поля (X,Γn−1,Σn−1, ϕ). Трубчастим ǫ-околом траєкторiї γ називається вiдкрита множи- на Uǫ ⊂ Mn ζ , яка утримує γ i така, що для довiльної точки z ∈ γ дiаметр множини f−1(f(z)) ⋂ Uǫ не перевищує 2ǫ. Для довiльної квазiзамкненої траєкторiї i-го поверху векторного поля (X,Γn−1, Σn−1, ϕ) поняття стiйкостi будемо розумiти у наступному сенсi. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1 142 Ю. В. ШАРКО Означення 6. Нехай (X,Γn−1,Σn−1, ϕ) — градiєнтне векторне поле з гладкою iмпульс- ною дiєю на гладкому замкненому многовидi Mn. Припустимо, що γ — квазiзамкнена траєкторiя i-го поверху поля (X,Γn−1,Σn−1, ϕ). Будемо говорити, що вона орбiталь- но стiйка, якщо для кожного її ǫ-околу Uǫ iснує δ-окiл Vδ ⊂ Uǫ, для якого виконується умова: довiльна розривна траєкторiя i-поверху γ1, яка бере початок у Vδ, весь час зали- шається в Uǫ i в подальшому пiсля кожного „биття” об пiдмноговид Mpi+1 . Вiдомо [6], що поведiнка гомеоморфiзму в околi нерухомої точки може бути досить складною. Нам знадобиться наступне означення. Означення 7. Нехай X — компактний простiр, F : X −→ X — гомеоморфiзм, у якого точка y ∈ X є нерухомою точкою вiдображення F. Будемо говорити, що точка y є квазiпритягуючою нерухомою точкою, якщо для кожного околу U точки y знай- деться менший окiл V ⊂ U цiєї точки такий, що для довiльного натурального числа n Fn(V ) ⊂ U (Fn = F ◦ F ◦ . . . ◦ F ︸︷︷︸ n ). Теорема 1. Нехай на гладкому замкненому многовидiMn задано градiєнтне векторне поле з гладкою iмпульсною дiєю (X,Γn−1,Σn−1, ϕ), яке побудоване за допомогою рiмано- вих метрик ρ, σ i гладкої функцiї f : Mn −→ [0, 1] зi скiнченною кiлькiстю критичних значень. Припустимо, що γ — квазiзамкнена траєкторiя i-го поверху поля (X,Γn−1, Σn−1, ϕ), яка перетинає пiдмноговид Mpi+1 у точцi x. Припустимо, що точка x є неру- хомою квазiпритягуючою точкою для дифеоморфiзму Φi+1(gradσf, gradρf) : Mpi+1 −→ Mpi+1 . Тодi квазiзамкнена траєкторiя γ буде орбiтально стiйкою. Доведення. Точка x завжди має трубчастий ε-окiл U, який не перетинає критичну по- верхню рiвня f−1(ci) функцiї f. Нехай точка y знаходиться в цьому околi. Траєкторiя γ1, що проходить через точку y, буде, очевидно, розривною траєкторiєю i-го поверху для по- ля (X,Γn−1,Σn−1, ϕ). Використовуючи той факт, що довжини вiдрiзкiв траєкторiй γ i γ1 вiд точок x i y i до перетину з пiдмноговидом Mqi+1 є скiнченними, можна зробити висно- вок, що γ1 буде близькою до γ. Це завжди можна зробити, зменшуючи величину околу U. Оскiльки точка x є квазiпритягуючою нерухомою точкою, то i пiсля застосування вi- дображення Φi+1(gradσf, gradρf) : Mpi+1 −→ Mpi+1 наступна траєкторiя буде близькою до γ. Теорему доведено. 6. Умови iснування квазiзамкнених траєкторiй градiєнтних систем з неперервною iм- пульсною дiєю. Розглянемо градiєнтне векторне поле з неперервною iмпульсною дiєю (X,Γn−1,Σn−1 sing , ψ), яке побудоване у пунктi 4. Як i для гладкого випадку, це векторне по- ле може не мати квазiзамкнених траєкторiй. У цьому пунктi ми наведемо достатнi умови для iснування квазiзамкнених траєкторiй поля (X,Γn−1,Σn−1 sing , ψ). Теорема 2. Нехай на гладкому замкненому многовидi Mn за допомогою рiманових метрик ρ, σ i гладкої функцiї g : Mn −→ [0, 1] зi скiнченною кiлькiстю критичних точок побудовано градiєнтне векторне поле з неперервною iмпульсною дiєю (X,Γn−1, Σn−1 sing , ψ). Припустимо, що: ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1 ГРАДIЄНТНI ВЕКТОРНI ПОЛЯ З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ НА МНОГОВИДАХ 143 1) ейлерова характеристика χ(M s qi+1 ) 6= 0 для деякої компоненти зв’язностiM s qi+1 ⊆ ⊆ Mqi+1 регулярної гiперповерхнi Mqi+1 ; 2) для критичних точокm1, . . . ,mt функцiї g, якi належатьMci+1 , виконується умо- ва αW (mj) ⋂ ωV (mj) ⋂ M s qi+1 = ∅, де V = −gradσg i W = gradρg j = 1, . . . , t; 3) для тiєї компоненти зв’язностi Q ⊂ f−1(ci, qi+1], до якої належить M s qi+1 , знай- деться ε > 0 таке, що на Q ⋂ f−1(ci, ci + ε) рiмановi метрики ρ i σ збiгаються. Тодi серед розривних траєкторiй i-го поверху поля (X,Γn−1,Σn−1 sing , ψ) завжди iснує квазiзамкнена траєкторiя. Доведення. Нехай дiйсне число pi+1 ∈ (ci, ci + ε). Розглянемо гладкий пiдмноговид Mpi+1 = f−1(pi+1). Використавши пiдмноговиди Mpi+1 = f−1(pi+1) i Mqi+1 , рiмановi мет- рики ρ, σ та гладку функцiю g : Mn −→ [0, 1], побудуємо на Mn градiєнтне векторне поле з гладкою iмпульсною дiєю (X,Γn−1,Σn−1, ϕ). Твердження 3 гарантує iснування у (X,Γn−1,Σn−1, ϕ) квазiзамкненої траєкторiї γ̂. Згiдно з умовами 2 i 3 траєкторiя γ̂ не на- лежить множинi αW (mj), тобто не буде прямувати у критичну точку функцiї g. Розгля- немо продовження траєкторiї γ̂ до перетину з множиною Mci+1 , яке позначимо через γ. Оскiльки в околi множиниQ ⋂ f−1(ci, ci+ε) рiмановi метрики ρ i σ збiгаються,то траєкто- рiя γ буде квазiзамкненою для градiєнтного векторного поля з неперервною iмпульсною дiєю (X,Γn−1,Σn−1 sing , ψ). Теорему доведено. Нехай y — точка перетину квазiзамкненої траєкторiї γ градiєнтного векторного поля з неперервною iмпульсною дiєю (X,Γn−1,Σn−1 sing , ψ) з множиноюMci+1 . Розглянемо деякий окiл U(y) ⊂ Mci+1 точки y в Mci+1 . Як i у гладкому випадку, для градiєнтного векторного поля з неперервною iмпульсною дiєю (X,Γn−1,Σn−1 sing , ψ) в околi U(y) можна локально побудувати дифеоморфiзм Φi+1(gradσg, gradρg) : U(y) −→ U(y). Теорема 3. Нехай на гладкому замкненому многовидi Mn за допомогою рiманових метрик ρ, σ i гладкої функцiї g : Mn −→ [0, 1] зi скiнченною кiлькiстю критичних точок побудовано градiєнтне векторне поле з неперервною iмпульсною дiєю (X,Γn−1, Σn−1 sing , ψ). Припустимо, що γ — квазiзамкнена траєкторiя i-го поверху поля (X,Γn−1, Σn−1 sing , ψ), яка перетинає множину Mci+1 у точцi y. Припустимо, що точка y є нерухо- мою квазiпритягуючою точкою для дифеоморфiзму Φi+1(gradσg, gradρg) : U(y) −→ U(y). Тодi квазiзамкнена траєкторiя γ буде орбiтально стiйкою. Доведення. Локалiзуючи мiркування, якi було використано при доведеннi теореми 1, легко отримати доведення i в цьому випадку. 1. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. — Киев: Вища шк., 1987. — 287 с. 2. Перестюк Н. А., Черникова О. С. Устойчивость решений импульсных систем // Укр. мат. журн. — 1997. — 49, № 1. — С. 98 – 111. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1 144 Ю. В. ШАРКО 3. Борисович Ю., Близняков Н. М., Израилевич Я. А., Фоменко Т. Н. Введение в топологию. — М.: Наука, 1995. — 415 с. 4. Хирш М. Дифференциальная топология. — М.: Мир, 1979. — 279 c. 5. Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976. — 403 c. 6. Палис Ж., Димелу В. Геометрическая теория динамических систем. — М.: Мир, 1986. — 301 с. Одержано 23.12.08 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1

Градієнтні векторні поля з імпульсною дією на многовидах

Institution

Ähnliche Einträge