Асимптотичні властивості розв'язків систем нелінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу
Установлены достаточные условия существования непрерывно дифференцируемых и ограниченных при t ∈ R (вместе с первой производной) решений систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа и исследованы их асимптотические свойства. We establish sufficient conditions for exis...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2009 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178392 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Асимптотичні властивості розв'язків систем нелінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу / А.В. Вельгач // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 1. — С. 20-26. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860259753051029504 |
|---|---|
| author | Вельгач, А.В. |
| author_facet | Вельгач, А.В. |
| citation_txt | Асимптотичні властивості розв'язків систем нелінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу / А.В. Вельгач // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 1. — С. 20-26. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Установлены достаточные условия существования непрерывно дифференцируемых и ограниченных при t ∈ R (вместе с первой производной) решений систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа и исследованы их асимптотические свойства.
We establish sufficient conditions for existence of solutions, which are continuously differentiable and
bounded together with their first derivatives for t ∈ R of a system of nonlinear neutral type differentialfunctional equations, and study asymptotic properties of the solutions.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:53:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.929
АСИМПТОТИЧНI ВЛАСТИВОСТI РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ
НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ
РIВНЯНЬ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПУ
А. В. Вельгач
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ, вул. Терещенкiвська, 3
We establish sufficient conditions for existence of solutions, which are continuously differentiable and
bounded together with their first derivatives for t ∈ R of a system of nonlinear neutral type differential-
functional equations, and study asymptotic properties of the solutions.
Установлены достаточные условия существования непрерывно дифференцируемых и ограни-
ченных при t ∈ R (вместе с первой производной) решений систем нелинейных дифференциаль-
но-функциональных уравнений нейтрального типа и исследованы их асимптотические свой-
ства.
Розглянемо cистему нелiнiйних диференцiально-функцiональних рiвнянь вигляду
x′(t + 1) = Ax′(t) + f(t, x(t), x(t + 1), x′(t)), (1)
де A — неособлива (n×n)-матриця, функцiя f : R+×Rn×Rn×Rn → Rn, яка була об’єктом
дослiджень багатьох математикiв (див. [1 – 3] i наведену в них лiтературу). Зокрема, в [4 –
6] вивчалася структура множини неперервно диференцiйовних при t ≥ 0 розв’язкiв, що
задовольняють умову
lim
t→+∞
[x(t + 1)−Ax(t)] = 0. (2)
У данiй роботi продовжуємо дослiдження цiєї задачi у випадку, коли виконуються наступ-
нi умови:
1) det A 6= 0;
2) вектор-функцiя f(t, x, y, z) є неперервною при t ≥ 0, x, y, z ∈ Rn, f(t, 0, 0, 0) ≡ 0, i
задовольняє спiввiдношення
|f(t, x′, y′, z′)− f(t, x′′, y′′, z′′)| ≤ w(t)(|x′ − x′′|+ |y′ − y′′|+ |z′ − z′′|),
де w(t) — деяка неперервна, невiд’ємна функцiя, x′, y′, z′, x′′, y′′, z′′ ∈ Rn;
3) ряди
W1(t) =
∞∑
i=0
|A−1|i+1w(t + i),
W2(t) =
∞∑
i=0
|A−1|i+1
∞∫
t
w(τ + i)dτ
c© А. В. Вельгач, 2009
20 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
АСИМПТОТИЧНI ВЛАСТИВОСТI РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ НЕЛIНIЙНИХ . . . 21
рiвномiрно збiгаються при всiх t ≥ 0 i 3W1(t) ≤ ∆1 < 1, 3W2(t) ≤ ∆2 < 1.
Має мiсце наступна теорема.
Теорема 1. Якщо виконуються умови 1 – 3 i x(t) — деякий неперервно диференцiйов-
ний i обмежений (разом iз першою похiдною) розв’язок задачi (1), (2), то iснує неперерв-
но диференцiйовний i обмежений при t ≥ 0 (разом iз першою похiдною) розв’язок γ(t)
системи
γ(t + 1) = Aγ(t) (3)
такий, що при t → +∞ виконується спiввiдношення
x(t) = γ(t) + o(1). (4)
Доведення. Нехай x(t) — довiльний неперервно диференцiйовний i обмежений при
t ≥ 0 (разом iз першою похiдною) розв’язок задачi (1), (2). Тодi згiдно з умовами 1 – 3
маємо тотожнiсть
x(t) = γ(t) +
∞∑
i=0
(A−1)i+1
∞∫
t
f(τ + i, x(τ + i), x(τ + 1 + i), x′(τ + i))dτ,
де
γ(t) = x(t)−
∞∑
i=0
(A−1)i+1
∞∫
t
f(τ + i, x(τ + i), x(τ + 1 + i), x′(τ + i))dτ.
Звiдси безпосередньо випливає, що спiввiдношення (4) виконується. Крiм цього, вектор-
функцiя γ(t) є, очевидно, неперервно диференцiйовною i обмеженою (разом iз першою
похiдною) при всiх t ≥ 0. Покажемо, що вона задовольняє систему рiвнянь (3). Дiйсно,
оскiльки внаслiдок (1), (2) маємо
x(t + 1) = Ax(t)−
∞∫
t
f(τ, x(τ), x(τ + 1), x′(τ))dτ,
то
γ(t + 1) = x(t + 1)−
∞∑
i=0
(A−1)i+1
∞∫
t+1
f(τ + i, x(τ + i), x(τ + 1 + i), x′(τ + i))dτ =
= x(t + 1)−
∞∑
i=0
(A−1)i+1
∞∫
t
f(τ + 1 + i, x(τ + 1 + i), x(τ + 2 + i), x′(τ + 1 + i))dτ =
= Ax(t)−
∞∫
t
f(τ, x(τ), x(τ + 1), x′(τ))dτ−
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
22 А. В. ВЕЛЬГАЧ
−
∞∑
i=1
(A−1)i
∞∫
t
f(τ + i, x(τ + i), x(τ + 1 + i), x′(τ + i))dτ =
= Ax(t)−
∞∑
i=0
(A−1)i
∞∫
t
f(τ + i, x(τ + i), x(τ + 1 + i), x′(τ + i))dτ =
= A
x(t)−
∞∑
i=0
(A−1)i+1
∞∫
t
f(τ + i, x(τ + i), x(τ + 1 + i), x′(τ + i))dτ
= Aγ(t),
тобто вектор-функцiя
γ(t) = x(t)−
∞∑
i=0
(A−1)i+1
∞∫
t
f(τ + i, x(τ + i), x(τ + 1 + i), x′(τ + i))dτ
задовольняє систему рiвнянь (3).
Теорему доведено.
Теорема 2. Якщо виконуються умови 1 – 3 i γ(t) — деякий неперервно диференцiйов-
ний i обмежений при t ≥ 0 (разом iз першою похiдною) розв’язок системи (3), то iснує
неперервно диференцiйовний i обмежений при t ≥ 0 (разом iз першою похiдною) розв’я-
зок задачi (1), (2) такий, що при t → +∞ виконується спiввiдношення (4).
Доведення. Оскiльки довiльний неперервно диференцiйовний i обмежений при t ≥ 0
(разом iз першою похiдною) розв’язок x(t) системи рiвнянь
x(t) = γ(t) +
∞∑
i=0
(A−1)i+1
∞∫
t
f(τ + i, x(τ + i), x(τ + 1 + i), x′(τ + i))dτ (5)
є розв’язком задачi (1), (2) (в цьому можна переконатися безпосередньою пiдстановкою
(5) в (1)), то для доведення теореми достатньо показати, що система рiвнянь (5) має єди-
ний неперервно диференцiйовний i обмежений при t ≥ 0 (разом iз першою похiдною)
розв’язок.
За допомогою спiввiдношень
x0(t) = γ(t),
x′0(t) = γ′(t),
xm+1(t) = γ(t) +
∞∑
i=0
(A−1)i+1
∞∫
t
f(τ + i, xm(τ + i), xm(τ + 1 + i), x′m(τ + i)) dτ, (6)
x′m+1(t) = γ′(t)−
∞∑
i=0
(A−1)i+1f(t + i, xm(t + i), xm(t + 1 + i), x′m(t + i)), m = 0, 1, . . . ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
АСИМПТОТИЧНI ВЛАСТИВОСТI РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ НЕЛIНIЙНИХ . . . 23
визначимо послiдовнiсть вектор-функцiй xm(t), m = 0, 1, 2, . . . , i їх похiдних i покажемо,
що вона рiвномiрно збiгається до деякого неперервно диференцiйовного i обмеженого
(разом iз першою похiдною) розв’язку системи рiвнянь (5).
Використовуючи умови 1 – 3, за iндукцiєю покажемо, що вектор-функцiї xm(t) є непе-
рервно диференцiйовними при t ≥ 0 i для всiх m ≥ 0 виконуються нерiвностi
|xm(t)| ≤ M
1−∆
, |x′m(t)| ≤ M
1−∆
, (7)
де M = max
{
sup
t∈R+
|γ(t)|, sup
t∈R+
|γ′(t)|
}
, ∆ = max{∆1,∆2}.
Справедливiсть оцiнок (7) при m = 0 є очевидною. Припустимо, що вони викону-
ються у випадку m ≥ 0, i покажемо їх виконання при m + 1. Дiйсно,
|xm+1(t)| ≤ |γ(t)|+
∣∣∣∣∣∣
∞∑
i=0
(
A−1
)i+1
∞∫
t
f(τ + i, xm(τ + i), xm(τ + 1 + i), x′m(τ + i))dτ
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ |γ(t)|+
∞∑
i=0
∣∣A−1
∣∣i+1
∞∫
t
w(τ + i)
(
|xm(τ + i)|+ |xm(τ + 1 + i)|+ |x′m(τ + i)|
)
dτ ≤
≤ M + 3
M
1−∆
∞∑
i=0
∣∣A−1
∣∣i+1
∞∫
t
w(τ + i)dτ = M + 3W2(t)
M
1−∆
≤
≤ M + ∆
M
1−∆
=
M
1−∆
,
|x′m+1(t)| ≤
∣∣∣∣∣γ′(t)−
∞∑
i=0
(
A−1
)i+1
f(t + i, xm(t + i), xm(t + 1 + i), x′m(t + i))
∣∣∣∣∣ ≤
≤ |γ′(t)|+
∞∑
i=0
∣∣A−1
∣∣i+1
w(t + i)
(
|xm(t + i)|+ |xm(t + 1 + i)|+ |x′m(t + i)|
)
≤
≤ M + 3
M
1−∆
∞∑
i=0
∣∣A−1
∣∣i+1
w(t + i) = M + 3W1(t)
M
1−∆
≤
≤ M + ∆
M
1−∆
=
M
1−∆
.
Тепер покажемо, що для всiх m ≥ 1 i t ≥ 0 мають мiсце оцiнки
|xm(t)− xm−1(t)| ≤ M∆m,
(8)
|x′m(t)− x′m−1(t)| ≤ M∆m.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
24 А. В. ВЕЛЬГАЧ
Справдi, при m = 1 маємо
|x1(t)− x0(t)| ≤
∞∑
i=0
∣∣∣∣∣∣(A−1
)i+1
∞∫
t
f(τ + i, x0(τ + i), x0(τ + 1 + i), x′0(τ + i))dτ
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
∞∑
i=0
∣∣A−1
∣∣i+1
∞∫
t
w(τ + i)
(
|γ(τ + i)|+ |γ(τ + 1 + i)|+ |γ′(τ + i)|
)
dτ ≤
≤ 3M
∞∑
i=0
∣∣A−1
∣∣i+1
∞∫
t
w(τ + i)dτ ≤ 3MW2(t) ≤ M∆2 ≤ M∆,
|x′1(t)− x′0(t)| ≤
∞∑
i=0
∣∣(A−1)i+1f(t + i, x0(t + i), x0(t + 1 + i), x′0(t + i))
∣∣ ≤
≤
∞∑
i=0
|A−1|i+1w(t + i)
(
|γ(t + i)|+ |γ(t + 1 + i)|+ |γ′(t + i)|
)
≤
≤ 3M
∞∑
i=0
|A−1|i+1w(t + i) ≤ 3MW1(t) ≤ M∆1 ≤ M∆.
Припустимо, що оцiнки (8) виконуються для деякого m ≥ 1, i покажемо, що вони не
змiняться при переходi вiд m до m + 1. Дiйсно, згiдно з (6), (7) i умовами 1 – 3 отримуємо
|xm+1(t)− xm(t)| ≤
∞∑
i=0
∣∣∣∣∣∣(A−1
)i+1
∞∫
t
(
f(τ + i, xm(τ + i), xm(τ + 1 + i), x′m(τ + i)) −
− f(τ + i, xm−1(τ + i), xm−1(τ + 1 + i), x′m−1(τ + i))
)
dτ
∣∣ ≤
≤
∞∑
i=0
|A−1|i+1
∞∫
t
w(τ + i) (|xm(τ + i)− xm−1(τ + i)|+ |xm(τ + 1 + i) −
− xm−1(τ + 1 + i)|+ |x′m(τ + i))− x′m−1(τ + i)|
)
dτ ≤
≤
∞∑
i=0
∣∣A−1
∣∣i+1
∞∫
t
w(τ + i)
(
M∆m + M∆m + M∆m
)
dτ ≤
≤ 3M∆m
∞∑
i=0
∣∣A−1
∣∣i+1
∞∫
t
w(τ + i)dτ ≤ 3M∆mW2(t) ≤ M∆m+1,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
АСИМПТОТИЧНI ВЛАСТИВОСТI РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ НЕЛIНIЙНИХ . . . 25
|x′m+1(t)− x′m(t)| ≤
∞∑
i=0
∣∣∣(A−1
)i+1 (
f(t + i, xm(t + i), xm(t + 1 + i), x′m(t + i)) −
−f(t + i, xm−1(t + i), xm−1(t + 1 + i), x′m−1(t + i))
)∣∣ ≤
≤
∞∑
i=0
∣∣A−1
∣∣i+1
w(t + i) (|xm(t + i)− xm−1(t + i)|+ |xm(t + 1 + i) −
− xm−1(t + 1 + i)|+ |x′m(t + i))− x′m−1(t + i)|
)
≤
≤
∞∑
i=0
|A−1|i+1w(t + i) (M∆m + M∆m + M∆m) ≤
≤ 3M∆m
∞∑
i=0
|A−1|i+1w(t + i) ≤ 3M∆mW1(t) ≤ M∆m+1.
Таким чином, оцiнки (8) виконуються при t ≥ 0 i всiх m ≥ 1. Оскiльки 0 < ∆ < 1, то iз
(8) безпосередньо випливає, що послiдовностi вектор-функцiй xm(t), m = 0, 1, 2 . . . , i їх
похiдних рiвномiрно збiгаються при t ≥ 0. Бiльш того, вектор-функцiя x(t) = lim
m→∞
xm(t)
є неперервно диференцiйовним розв’язком системи рiвнянь (5) i мають мiсце нерiвностi
|x(t)| ≤ M
1−∆
, |x′(t)| ≤ M
1−∆
(в цьому легко переконатись, якщо перейти в (6), (7) до границi при m → ∞).
Покажемо тепер, що система рiвнянь (5) не має iнших неперервно диференцiйовних
i обмежених при t ≥ 0 (разом iз першою похiдною) розв’язкiв. Дiйсно, нехай система
(5) має ще один неперервно диференцiйовний i обмежений при t ≥ 0 (разом iз першою
похiдною) розв’язок y(t). Тодi на пiдставi умов теореми i (5) отримаємо
|x(t)− y(t)| ≤
∞∑
i=0
∣∣∣∣∣∣(A−1
)i+1
∞∫
t
(
f(τ + i, x(τ + i), x(τ + 1 + i), x′(τ + i)) −
− f(τ + i, y(τ + i), y(τ + 1 + i), y′(τ + i))
)
dτ
∣∣ ≤
≤
∞∑
i=0
∣∣A−1
∣∣i+1
∞∫
t
w(τ + i) (|x(τ + i)− y(τ + i)|+ |x(τ + 1 + i) −
−y(τ + 1 + i)|+ |x′(τ + i))− y′(τ + i)|
)
dτ ≤
≤ 3‖x(t)− y(t)‖
∞∑
i=0
|A−1|i+1
∞∫
t
w(τ + i)dτ ≤
≤ 3W2(t)‖x(t)− y(t)‖ ≤ ∆‖x(t)− y(t)‖,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
26 А. В. ВЕЛЬГАЧ
|x′(t)− y′(t)| ≤
∞∑
i=0
∣∣∣(A−1
)i+1 (
f(t + i, x(t + i), x(t + 1 + i), x′(t + i)) −
− f(t + i, y(t + i), y(t + 1 + i), y′(t + i))
)∣∣ ≤
≤
∞∑
i=0
∣∣A−1
∣∣i+1
w(t + i) (|x(t + i)− y(t + i)|+ |x(t + 1 + i) −
− y(t + 1 + i)|+ |x′(t + i))− y′(t + i)|
)
≤
≤ 3‖x(t)− y(t)‖
∞∑
i=0
|A−1|i+1w(t + i) ≤
≤ 3W1(t)‖x(t)− y(t)‖ ≤ ∆‖x(t)− y(t)‖,
де
‖x(t)− y(t)‖ = max
{
sup
t∈R+
|x(t)− y(t)|, sup
t∈R+
|x′(t)− y′(t)|
}
.
Звiдси випливає
‖x(t)− y(t)‖ ≤ ∆‖x(t)− y(t)‖,
де 0 < ∆ < 1, що можливо лише у випадку x(t) ≡ y(t). Отримана суперечнiсть завершує
доведення теореми 2.
1. Беллман Р., Кук К. Л. Дифференциально-разностные уравнения. — М.: Мир, 1967. — 548 с.
2. Хейл Дж. Теория дифференциально-функциональных уравнений. — М.: Мир, 1984. — 421 с.
3. Самойленко А. М., Пелюх Г. П. Ограниченные на всей вещественной оси решения систем нелинейных
дифференциально-функциональных уравнений и их свойства // Укр. мат. журн. — 1994. — 46, № 6. —
С. 737 – 747.
4. Пелюх Г. П. Асимптотичнi властивостi розв’язкiв систем нелiнiйних диференцiально-функцiональних
рiвнянь з нелiнiйним вiдхиленням аргументу // Диференцiальнi рiвняння i нелiнiйнi коливання: Пр.
Укр. мат. конгр. – 2001. — Київ: Iн-т математики НАН України, 2002. — С. 94 – 100.
5. Пелюх Г. П. Об асимптотических свойствах решений нелинейных дифференциально-функциональных
уравнений // Дифференц. уравнения. — 2003. — 39, № 1. — С. 45 – 49.
6. Пелюх Г. П. О структуре множества решений одного класса систем нелинейных дифференциально-
функциональных уравнений нейтрального типа // Нелiнiйнi коливання. — 2002. — 5, № 1. — С. 58 – 65.
Одержано 03.03.08
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178392 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:53:45Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Вельгач, А.В. 2021-02-19T06:54:03Z 2021-02-19T06:54:03Z 2009 Асимптотичні властивості розв'язків систем нелінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу / А.В. Вельгач // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 1. — С. 20-26. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178392 517.929 Установлены достаточные условия существования непрерывно дифференцируемых и ограниченных при t ∈ R (вместе с первой производной) решений систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа и исследованы их асимптотические свойства. We establish sufficient conditions for existence of solutions, which are continuously differentiable and
 bounded together with their first derivatives for t ∈ R of a system of nonlinear neutral type differentialfunctional equations, and study asymptotic properties of the solutions. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Асимптотичні властивості розв'язків систем нелінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу Асимптотические свойства решений систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа Asymptotic properties of solutions of systems of nonlinear neutral type differential-functional equations Article published earlier |
| spellingShingle | Асимптотичні властивості розв'язків систем нелінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу Вельгач, А.В. |
| title | Асимптотичні властивості розв'язків систем нелінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу |
| title_alt | Асимптотические свойства решений систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа Asymptotic properties of solutions of systems of nonlinear neutral type differential-functional equations |
| title_full | Асимптотичні властивості розв'язків систем нелінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу |
| title_fullStr | Асимптотичні властивості розв'язків систем нелінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу |
| title_full_unstemmed | Асимптотичні властивості розв'язків систем нелінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу |
| title_short | Асимптотичні властивості розв'язків систем нелінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу |
| title_sort | асимптотичні властивості розв'язків систем нелінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178392 |
| work_keys_str_mv | AT velʹgačav asimptotičnívlastivostírozvâzkívsistemnelíníinihdiferencíalʹnofunkcíonalʹnihrívnânʹneitralʹnogotipu AT velʹgačav asimptotičeskiesvoistvarešeniisistemnelineinyhdifferencialʹnofunkcionalʹnyhuravneniineitralʹnogotipa AT velʹgačav asymptoticpropertiesofsolutionsofsystemsofnonlinearneutraltypedifferentialfunctionalequations |