Умови біфуркації розв'язків вироджених крайових задач
Получены условия бифуркации решений линейных вырожденных нетеровых краевых задач с малым параметром в предположении, что невозмущенная вырожденная дифференциальная система приводится к центральной канонической форме. We obtain conditions for bifurcations of solutions of linear degenerate Noether bo...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Дата: | 2009 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178397 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Умови біфуркації розв'язків вироджених крайових задач / О.А. Бойчук, Л.М. Шегда // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 2. — С. 147-154. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859712040109604864 |
|---|---|
| author | Бойчук, О.А. Шегда, Л.М. |
| author_facet | Бойчук, О.А. Шегда, Л.М. |
| citation_txt | Умови біфуркації розв'язків вироджених крайових задач / О.А. Бойчук, Л.М. Шегда // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 2. — С. 147-154. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Получены условия бифуркации решений линейных вырожденных нетеровых краевых задач с
малым параметром в предположении, что невозмущенная вырожденная дифференциальная система приводится к центральной канонической форме.
We obtain conditions for bifurcations of solutions of linear degenerate Noether boundary-value problems
with a small parameter under the assumption that the unperturbed degenerate differential system can be
reduced to a central canonical form.
|
| first_indexed | 2025-12-01T05:27:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
УМОВИ БIФУРКАЦIЇ РОЗВ’ЯЗКIВ
ВИРОДЖЕНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ
О. А. Бойчук
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ 4, ул. Терещенкiвська, 3
e-mail: boichuk@imath.kiev.ua
Л. М. Шегда
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
Україна, 01033, Київ, вул. Володимирська, 64
e-mail: shegda@gala.net
We obtain conditions for bifurcations of solutions of linear degenerate Noether boundary-value problems
with a small parameter under the assumption that the unperturbed degenerate differential system can be
reduced to a central canonical form.
Получены условия бифуркации решений линейных вырожденных нетеровых краевых задач с
малым параметром в предположении, что невозмущенная вырожденная дифференциальная сис-
тема приводится к центральной канонической форме.
1. Постановка задачi та основнi припущення. Розглянемо лiнiйну неоднорiдну крайову
задачу з малим параметром
(
B (t) + εB1 (t)
)dx
dt
= A (t) x + εA1 (t) x + f (t) , t ∈ [a, b], (1)
l x (·) = α + εl1x, α ∈ Rm, (2)
де A (t) , A1 (t) , B (t) , B1 (t) — (n × n)-вимiрнi матрицi, компоненти яких є дiйсними до-
статню кiлькiсть разiв неперервно диференцiйовними на [ a; b ] функцiями: A (t) , A1 (t) ,
B (t) , B1 (t) ∈ C3q−2[a; b]; det B (t) = 0 ∀ t ∈ [a; b]; f (t) — n-вимiрний вектор-стовпець
iз простору Cq−1[a; b] (значення величини q визначається згiдно з теоремою 2.1 [1]); α —
m-вимiрний вектор-стовпець констант; α ∈ Rm; l, l1 — лiнiйнi векторнi функцiонали, ви-
значенi на просторi n-вимiрних неперервних на [a; b] вектор-функцiй: l = col (l1, . . . , lm) :
C[a, b] → Rm, l1 = col
(
l11, . . . , l
1
m
)
: C[a, b] → Rm, li, l1i : C [a, b] → R.
Припустимо, що породжуюча виродженa крайова задача
B (t)
dx
dt
= A (t) x + f (t) , t ∈ [a; b], (3)
l x (·) = α ∈ Rm, (4)
отримана з (1), (2) при ε = 0, не має розв’язкiв при довiльних неоднорiдностях f(t) ∈
∈ Cq−1[a, b] i α ∈ Rm.
c© О. А. Бойчук, Л. М. Шегда, 2009
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2 147
148 О. А. БОЙЧУК, Л. М. ШЕГДА
Будемо вважати, що система (3) невиродженим лiнiйним перетворенням зводиться до
центральної канонiчної форми [1, 2].
Знайдемо умови на збурюючi коефiцiєнти A1 (t) , B1 (t) в диференцiальнiй системi (1)
i l1 у крайовiй умовi (2), при яких крайова задача (1), (2) має розв’язок.
Згiдно з теоремою 1 [3], породжуюча крайова задача (3), (4) має r-параметричну сiм’ю
лiнiйно незалежних розв’язкiв
x0 (t, cr) = Xr (t) cr + (Gf) (t) + Xn−s (t) Q+α ∀ cr ∈ Rr (5)
тодi i тiльки тодi, коли неоднорiдностi f (t) ∈ Cq−1[a, b] в диференцiальнiй системi та
α ∈ Rm у крайовiй умовi задовольняють d лiнiйно незалежних умов
PQ∗
d
(
α − l
( ·
∫
a
Xn−s (·)Y ∗
n−s (τ) f (τ) dτ−
−Φ (·)
[
q−1
∑
k=0
Ik
dk
dtk
[
Ψ∗ (t) LΦ (t)
]
−1
]
(·)Ψ∗ (·) f (·)
))
= 0, d = m − n1. (6)
2. Основний результат. Поставлену задачу будемо розв’язувати з використанням ме-
тоду Вiшика – Люстерника [4]. Розв’язок крайової задачi (1), (2) шукаємо у виглядi части-
ни ряду Лорана за степенями малого параметра ε :
x (t, ε) =
+∞
∑
i=−1
εixi (t) =
x−1 (t)
ε
+ x0 (t) + εx1 (t) + ε2x2 (t) + . . . . (7)
Пiдставимо ряд (7) у крайову задачу (1), (2) i прирiвняємо коефiцiєнти при однакових
степенях ε. При ε−1 для знаходження коефiцiєнта x−1(t) ряду (7) отримаємо вироджену
лiнiйну однорiдну крайову задачу
B (t) ẋ−1 (t) = A (t)x−1 (t) , l x−1 (·) = 0. (8)
Згiдно з (5), однорiдна крайова задача (8) має r-параметричну сiм’ю лiнiйно незалежних
розв’язкiв
x−1 = x−1 (t, c−1) = Xr (t) c−1, c−1 ∈ Rr,
де r-вимiрний вектор-стовпець c−1 буде визначено з умови розв’язностi задачi для зна-
ходження коефiцiєнта x0(t) ряду (7). Для знаходження коефiцiєнта x0(t) ряду (7) при ε0
отримаємо вироджену лiнiйну неоднорiдну крайову задачу
B (t) ẋ0 (t) = A (t) x0 (t) + A1 (t) x−1 (t, c−1) − B1 (t) ẋ−1 (t, c−1) + f (t) ,
(9)
lx0 (·) = α + l1x−1 (·, c−1) .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
УМОВИ БIФУРКАЦIЇ РОЗВ’ЯЗКIВ ВИРОДЖЕНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ 149
Критерiй (6) розв’язностi задачi (9) має вигляд
PQ∗
d
(
α + l1x−1 (·, c−1) − l
( .
∫
a
Xn−s (·) Y ∗
n−s (τ)
{
A1(τ)x−1 (τ, c−1)−
− B1(t)ẋ−1 (τ, c−1) + f (τ)
}
dτ − Φ (·)
[
q−1
∑
k=0
Ik
dk
dtk
[
Ψ∗ (t) LΦ(t)
]
−1
]
(·)Ψ∗ (·)×
×
{
A1(·)x−1 (·, c−1) − B1 (t) ẋ−1 (·, c−1) + f (·)
}
))
= 0,
звiдки з урахуванням вигляду x−1(t, c−1) отримуємо алгебраїчну вiдносно c−1 ∈ Rr систе-
му
B0c−1 = −PQ∗
d
(
α − l
( .
∫
a
Xn−s (·) Y ∗
n−s (τ) f (τ) dτ−
− Φ (·)
[
q−1
∑
k=0
Ik
dk
dtk
[
Ψ∗ (t) LΦ (t)
]
−1
]
(·)Ψ∗ (·) f (·)
))
, (10)
в якiй B0 — (d × r)-вимiрна матриця:
B0 = PQ∗
d
(
l1Xr (·) − l
( .
∫
a
Xn−s (·)Y ∗
n−s (τ)
{
A1(τ)Xr(τ) − B1 (τ) Ẋr (τ)
}
dτ−
− Φ (·)
[
q−1
∑
k=0
Ik
dk
dtk
[
Ψ∗ (t) LΦ (t)
]
−1
]
(·)Ψ∗ (·)
{
A1(·)Xr(·) − B1 (·) Ẋr (·)
}
))
.
Для розв’язностi системи (10) необхiдно i достатньо, щоб виконувалась умова
PB∗
0
PQ∗
d
(
α − l
( .
∫
a
Xn−s (·) Y ∗
n−s (τ) f (τ) dτ −
− Φ (·)
[
q−1
∑
k=0
Ik
dk
dtk
[
Ψ∗ (t) LΦ (t)
]
−1
]
(·)Ψ∗ (·) f (·)
))
= 0.
Оскiльки умова (6) не виконується, з останнього виразу одержуємо умову PB∗
0
= 0, яка
еквiвалентна [5] умовi
rank B0 = d ≤ r. (11)
Тут PB∗
0
−(d × d)-вимiрна матриця (ортопроектор), яка проектує простiр Rd на ядро ker B∗
0
матрицi B∗
0 = BT
0 .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
150 О. А. БОЙЧУК, Л. М. ШЕГДА
Множина розв’язкiв алгебраїчної вiдносно c−1 ∈ Rr системи (10) має вигляд
c−1 = c−1 + Pρcρ ∀ cρ ∈ Rρ,
де
c−1 = −B+
0
PQ∗
d
(
α − l
( .
∫
a
Xn−s (·) Y ∗
n−s (τ) f (τ) dτ−
− Φ (·)
[
q−1
∑
k=0
Ik
dk
dtk
[
Ψ∗ (t) LΦ (t)
]
−1
]
(·)Ψ∗ (·) f (·)
))
;
B+
0
— єдина псевдообернена до B0 матриця; PB0
− (r × r)-вимiрна матриця (ортопро-
ектор), яка проектує простiр Rr на ядро ker B0. З огляду на те, що rank PB0
= r−rank B0 =
= r− d = n− s−m = ρ, матрицю PB0
замiнимо (r× ρ)-вимiрною матрицею Pρ, яка скла-
дається з ρ лiнiйно незалежних стовпцiв матрицi PB0
.
Однорiдна крайова задача (8) має ρ-параметричну сiм’ю розв’язкiв (з урахуванням
виразу для c−1)
x−1 (t, cρ) = x−1 (t, c−1) + Xr (t)Pρcρ ∀ cρ ∈ Rρ, (12)
x−1 (t, c−1) = Xr (t) c−1.
Загальний розв’язок крайової задачi (9) при умовi (11) має вигляд
x0 (t, c0) = Xr (t) c0 +
(
G
[
A1 (·)x−1 (·, c−1) − B1 (·) ẋ−1 (·, c−1) + f (·)
]
)
(t)+
+ Xn−s (t) Q+
[
α + l1x−1 (·, c−1)
]
+
+
[(
G
[
A1 (·) Xr (·) − B1 (·) Ẋr (·)
]
)
(t) + Xn−s (t)Q+l1Xr (·)
]
Pρcρ =
= Xr (t) c0 + F−1(t) + K−1(t)Pρcρ,
де
F−1 (t) =
(
G
[
A1 (·)x−1 (·, c−1) − B1 (·) ẋ−1 (·, c−1) + f (·)
]
)
(t) +
+ Xn−s (t) Q+
[
α + l1x−1 (·, c−1)
]
;
K−1 (t) =
(
G
[
A1 (·) Xr (·) − B1 (·) Ẋr (·)
]
)
(t) + Xn−s (t) Q+l1Xr (·) ;
c0 — r-вимiрний вектор констант, який буде визначено з умови розв’язностi крайової за-
дачi для знаходження коефiцiєнта x1(t) ряду (7). Для знаходження коефiцiєнта x1(t) ряду
(7) при ε1 отримаємо вироджену лiнiйну неоднорiдну крайову задачу
B (t) ẋ1 (t) = A (t) x1 (t) + A1 (t) x0 (t, c0) − B1 (t) ẋ0 (t, c0) ,
(13)
lx1 (·) = l1x0 (·, c0) .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
УМОВИ БIФУРКАЦIЇ РОЗВ’ЯЗКIВ ВИРОДЖЕНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ 151
З критерiю розв’язностi крайової задачi (13) отримаємо алгебраїчну вiдносно c0 ∈ Rr
систему
B0c0 = −PQ∗
d
(
l1 {F−1 (·) + K−1 (·) Pρcρ}−
− l
( .
∫
a
Xn−s (·) Y ∗
n−s (τ)
[
A1(τ) {F−1 (τ) + K−1 (τ) Pρcρ}−
− B1(τ)
{
Ḟ−1 (τ) + K̇−1 (τ) Pρcρ
}]
dτ − Φ (·)
[
q−1
∑
k=0
Ik
dk
dtk
[
Ψ∗(t)LΦ(t)
]
−1
]
(·)Ψ∗(·)×
×
[
A1(·) {F−1 (·) + K−1 (·) Pρcρ} − B1(·)
{
Ḟ−1 (·) + K̇−1 (·)Pρcρ
}]
))
.
При умовi (11) з останньої рiвностi знаходимо c0 ∈ Rr:
c0 = −B+
0
PQ∗
d
(
l1 {F−1 (·) + K−1 (·) Pρcρ}−
− l
( .
∫
a
Xn−s (·) Y ∗
n−s (τ)
[
A1(τ) {F−1 (τ) + K−1 (τ) Pρcρ}−
− B1(τ)
{
Ḟ−1 (τ) + K̇−1 (τ) Pρcρ
}]
dτ − Φ (·)
[
q−1
∑
k=0
Ik
dk
dtk
[
Ψ∗ (t) LΦ (t)
]
−1
]
(·)Ψ∗ (·)×
×
[
A1(·) {F−1 (·) + K−1 (·)Pρcρ} − B1(·)
{
Ḟ−1 (·) + K̇−1 (·) Pρcρ
}]
))
+ Pρcρ.
Останнiй вираз запишемо у виглядi
c0 = c0 + D0Pρcρ ∀ cρ ∈ Rρ,
де
c0 = −B+
0
PQ∗
d
(
l1F−1 (·) − l
( .
∫
a
Xn−s (·) Y ∗
n−s (τ)W−1(τ)dτ−
− Φ (·)
[
q−1
∑
k=0
Ik
dk
dtk
[
Ψ∗ (t) LΦ (t)
]
−1
]
(·)Ψ∗ (·)W−1(·)
))
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
152 О. А. БОЙЧУК, Л. М. ШЕГДА
D0 = Ir − B+
0
PQ∗
d
(
l1K−1(·) − l
( .
∫
a
Xn−s (·)Y ∗
n−s (τ) V−1(τ)dτ−
− Φ (·)
[
q−1
∑
k=0
Ik
dk
dtk
[
Ψ∗ (t) LΦ (t)
]
−1
]
(·)Ψ∗ (·)V−1(·)
))
,
W−1(t) = A1(t)F−1 (t) − B1(t)Ḟ−1 (t) ,
V−1(t) = A1(t)K−1 (t) − B1(t)K̇−1 (t) .
Таким чином, крайова задача (9) при умовi (11) має ρ-параметричну сiм’ю розв’язкiв
x0 (t, cρ) = x0(t, c0) + X0 (t) Pρcρ ∀ cρ ∈ Rρ,
де
x0(t, c0) = Xr(t)c0 + F−1 (t) ,
X0 (t) = Xr(t)D0 + K−1 (t) .
При умовi (11) крайова задача (13) має ρ-параметричну сiм’ю розв’язкiв
x1 (t, c1) = Xr (t) c1 + F0 (t) + K0 (t) Pρcρ,
в якiй c1 — r-вимiрний вектор констант, який буде визначено на наступному кроцi з умови
розв’язностi крайової задачi для знаходження коефiцiєнта x2 (t) ряду (7). Продовжуючи
цей процес, бачимо, що коефiцiєнти xi (t) ряду (7) визначаються з крайової задачi
B (t) ẋi (t) = A (t) xi (t) + A1 (t) xi−1 (t, ci−1) − B1 (t) ẋi−1 (t, ci−1) ,
lxi (·) = l1xi−1 (·, ci−1) ,
яка при умовi (11) має ρ-параметричну сiм’ю лiнiйно незалежних розв’язкiв
xi (t, ci) = xi(t, ci) + Xi (t) Pρcρ ∀ cρ ∈ Rρ, i = 1, 2, . . . ,
де
xi (t, ci) = Xr(t)ci + Fi−1 (t) ,
ci = −B+
0
PQ∗
d
(
l1Fi−1 (·) − l
( .
∫
a
Xn−s (·) Y ∗
n−s (τ) Wi−1 (τ) dτ−
− Φ (·)
[
q−1
∑
k=0
Ik
dk
dtk
[
Ψ∗ (t)LΦ(t)
]
−1
]
(·)Ψ∗ (·) Wi−1(·)
))
, i = 1, 2, . . . ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
УМОВИ БIФУРКАЦIЇ РОЗВ’ЯЗКIВ ВИРОДЖЕНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ 153
Wi−1 = A1(t)Fi−1 (t) − B1(t)Ḟi−1 (t) ,
Fi−1 (t) =
(
G
[
A1 (·) xi−1 (·, c−1) − B1 (·) ẋi−1 (·, c−1)
])
(t) +
+ Xn−s(t)Q
+l1xi−1 (·, c−1) , (14)
Xi (t) = Xr(t)Di + Ki−1 (t) , X−1(t) = Xr(t),
Di = Ir − B+
0
PQ∗
d
(
l1Ki−1 (·) − l
( .
∫
a
Xn−s (·) Y ∗
n−s (τ) Vi−1 (τ) dτ−
−Φ (·)
[
q−1
∑
k=0
Ik
dk
dtk
[
Ψ∗ (t) LΦ (t)
]
−1
]
(·)Ψ∗ (·) Vi−1 (·)
))
,
Vi−1 (t) = A1(t)Ki−1 (t) − B1(t)K̇i−1 (t) ,
Ki−1 (t) =
(
G
[
A1 (·) Xi−1 (·) − B1 (·) Ẋi−1 (·)
])
(t) + Xn−s (t) Q+l1Xi−1 (·) .
Отже, справедливим є наступне твердження.
Теорема. Нехай вироджена породжуюча крайова задача (3), (4) при довiльних неодно-
рiдностях f (t) ∈ Cq−1 [a, b] i α ∈ Rm не має розв’язкiв. Тодi крайова задача (1), (2) при
умовi
rank B0 = d, d = m − rank Q,
має ρ = (n−s−m)-параметричну сiм’ю лiнiйно незалежних розв’язкiв у виглядi частини
ряду Лорана:
x (t, cρ) =
+∞
∑
i=−1
εi[xi (t, ci) + Xi (t) Pρcρ] ∀ cρ ∈ Rρ, (15)
де коефiцiєнти xi (t, ci) , ci, Xi(t) визначаються за формулами (14).
Зауваження. 1. За аналогiєю з [4, 6] можна довести, що ряд (15) при кожному фiксо-
ваному достатньому малому ε ∈ (0; ε0] буде збiжним при будь-якому t ∈ [a, b] .
2. Умова (11) є достатньою умовою iснування розв’язкiв крайової задачi (1), (2). У ви-
падку, коли умова (11) не виконується, розв’язки крайової задачi (1), (2) необхiдно шукати
у виглядi частини ряду Лорана (7) з вiд’ємними степенями ε, якi меншi за −1.
1. Самойленко А. М., Шкiль М. I., Яковець В. П. Лiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь з виродження-
ми. — Київ: Вища шк., 2000. — 294 с.
2. Бояринцев Ю. Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных
уравнений. — Новосибирск: Наука (Сиб. отд-ние), 1980. — 216 с.
3. Бойчук О. А., Шегда Л. М. Виродженi нетеровi крайовi задачi // Нелiнiйнi коливання. — 2007. — 10,
№ 3. — C. 303 – 312.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
154 О. А. БОЙЧУК, Л. М. ШЕГДА
4. Вишик В. И., Люстерник Л. А. Решение некоторых задач о возмущениях в случае матриц и самосо-
пряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. — 1960. — 15,
вып. 3. — С. 3 – 80.
5. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1967. — 572 с.
6. Бойчук А. А., Коростиль И. А., Фечкан М. Условия бифуркации решения абстрактного волнового
уравнения // Дифференц. уравнения. — 2007. — 43, № 4. — С. 481 – 487.
Одержано 30.06.08
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178397 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-01T05:27:51Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бойчук, О.А. Шегда, Л.М. 2021-02-19T07:14:26Z 2021-02-19T07:14:26Z 2009 Умови біфуркації розв'язків вироджених крайових задач / О.А. Бойчук, Л.М. Шегда // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 2. — С. 147-154. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178397 517.9 Получены условия бифуркации решений линейных вырожденных нетеровых краевых задач с малым параметром в предположении, что невозмущенная вырожденная дифференциальная система приводится к центральной канонической форме. We obtain conditions for bifurcations of solutions of linear degenerate Noether boundary-value problems with a small parameter under the assumption that the unperturbed degenerate differential system can be reduced to a central canonical form. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Умови біфуркації розв'язків вироджених крайових задач Условия бифуркации решений вырожденных краевых задач Conditions for bifurcations of solutions of degenerate boundary-value problems Article published earlier |
| spellingShingle | Умови біфуркації розв'язків вироджених крайових задач Бойчук, О.А. Шегда, Л.М. |
| title | Умови біфуркації розв'язків вироджених крайових задач |
| title_alt | Условия бифуркации решений вырожденных краевых задач Conditions for bifurcations of solutions of degenerate boundary-value problems |
| title_full | Умови біфуркації розв'язків вироджених крайових задач |
| title_fullStr | Умови біфуркації розв'язків вироджених крайових задач |
| title_full_unstemmed | Умови біфуркації розв'язків вироджених крайових задач |
| title_short | Умови біфуркації розв'язків вироджених крайових задач |
| title_sort | умови біфуркації розв'язків вироджених крайових задач |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178397 |
| work_keys_str_mv | AT boičukoa umovibífurkacíírozvâzkívvirodženihkraiovihzadač AT šegdalm umovibífurkacíírozvâzkívvirodženihkraiovihzadač AT boičukoa usloviâbifurkaciirešeniivyroždennyhkraevyhzadač AT šegdalm usloviâbifurkaciirešeniivyroždennyhkraevyhzadač AT boičukoa conditionsforbifurcationsofsolutionsofdegenerateboundaryvalueproblems AT šegdalm conditionsforbifurcationsofsolutionsofdegenerateboundaryvalueproblems |