До теорії можливостей та її застосування
An extended model of the space of possibilities is built with the use of the measure of possibility and necessity, and the definitions of perceptive elements and perceptive sets are introduced. It is shown that a perceptive set can be represented as an aggregate of perceptive elements. The operation...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1784 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | До теорії можливостей та її застосування / О.С. Бичков // Доп. НАН України. — 2007. — N 5. — С. 7–12. — Бібліогр.: 15 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859612096495353856 |
|---|---|
| author | Бичков, О.С. |
| author_facet | Бичков, О.С. |
| citation_txt | До теорії можливостей та її застосування / О.С. Бичков // Доп. НАН України. — 2007. — N 5. — С. 7–12. — Бібліогр.: 15 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | An extended model of the space of possibilities is built with the use of the measure of possibility and necessity, and the definitions of perceptive elements and perceptive sets are introduced. It is shown that a perceptive set can be represented as an aggregate of perceptive elements. The operations for the sets and elements are also defined.
|
| first_indexed | 2025-11-28T14:21:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
5 • 2007
МАТЕМАТИКА
УДК 517.987
© 2007
О.С. Бичков
До теорiї можливостей та її застосування
(Представлено членом-кореспондентом НАН України А.А. Мартинюком)
An extended model of the space of possibilities is built with the use of the measure of possibility
and necessity, and the definitions of perceptive elements and perceptive sets are introdused. It
is shown that a perceptive set can be represented as an aggregate of perceptive elements. The
operations for the sets and elements are also defined.
Теорiю можливостi, яка базується на теорiї нечiтких множин, вперше запропонував Л. За-
де [1]. Вiн ввiв поняття нестрогої належностi елемента до певної множини. Тобто елемент x
унiверсального простору X належить до множини A iз степеня належностi µ(x), яка на-
буває значень з вiдрiзку [0, 1]. Такий пiдхiд представлено для опису невизначеностей та
нечiткої динамiки в [2–6]. Але послiдовники теорiї Заде зводили дослiдження нечiткої ди-
намiки до чiткої, використовуючи α-зрiзи. При розв’язаннi сучасних задач виявилося, що
цей пiдхiд потребує розвитку [7–10]. Теорiю можливостей, що базувалася на теорiї нечiтких
множин Л. Заде [11–13], вперше почав узагальнювати Ю.П. Питьєв [14]. На цiй основi було
запропоновано новий клас диференцiальних рiвнянь для опису нечiткої динамiки [10].
У роботi розглядаються питання побудови абстрактної аксiоматики теорiї можливостей
та теорiї нечiтких множин. Загальноприйнято вважати, що для опису простору можливос-
тей достатнiм є використання мiри можливостей, а мiра необхiдностей вводиться лише як
допомiжна для опису подiй.
Вiдомо [15], що в теорiї ймовiрностей можливо охарактеризувати подiю та їй протилежну
подiю за допомогою лише однiєї мiри — iмовiрнiсної. Це випливає iз спiввiдношення P (A) =
= 1 − P (A). У теорiї можливостей для опису протилежних подiй виконується нерiвнiсть
P (A) + P (A) > 1. Тому для адекватної побудови моделi необхiдно застосовувати обидвi
мiри — мiру необхiдностей та можливостей.
При побудовi будемо додержуватись схеми теорiї ймовiрностей, що дозволяє прослiдку-
вати формальнi аналогiї та вiдмiнностi понять i методiв теорiї ймовiрностi та теорiї мож-
ливостей. Найбiльш суттєвою вiдмiннiстю цих теорiй є те, що трактування фiзичного змiсту
подiї, що описується в термiнах можливостей, iстотно вiдрiзняється вiд частотної iнтерпре-
тацiї в термiнах iмовiрностей. Часто виникає необхiднiсть у дослiдженнi та моделюваннi
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №5 7
унiкальних експериментiв, що не повторюються, тобто використання ймовiрнiсних моделей
не може бути адекватним. Тому пропонується для моделювання фiзичних явищ з невизначе-
нiстю параметрiв чи даних використовувати теорiю можливостей. Це дозволяє моделювати
та дослiджувати набагато ширший клас задач, нiж можна було б зробити за допомогою
методiв теорiї ймовiрностей. При дослiдженнi проблематики, пов’язаної з моделюванням
суб’єктивностi, виявилось, що самої можливостi недостатньо для повного та адекватного
опису експерименту. Тому було запропоновано розширити простiр можливостей шляхом
введення iншої характеристики подiї — необхiдностi. Це дозволило нам бiльш коректно
структуризувати нашi знання про дослiджуванi явища.
Традицiйно для опису невизначеностей використовується поняття нечiтких множин За-
де. Л. Заде використовував термiн fuzzy (нечiткий, розмитий) для опису висловлювань
людини природною мовою, якi не можуть бути описанi традицiйними математичними фор-
малiзмами.
Для формалiзацiї ж цiлiсного вiдображення окремих предметiв, об’єктiв та явищ зов-
нiшнього свiту як людиною, так i вимiрювальним приладом, тобто саме суб’єктивного
сприйняття дiйсностi, у роботi пропонується ввести поняття персептивного (вiд лат. per-
ceptio — сприйняття) елемента та персептивної множини. Для адекватного опису подiй
пропонується використовувати крiм мiри можливостi, ще й мiру необхiдностi. Тобто буду-
ється математична модель розширеного простору можливостей та математичних форма-
лiзмiв для опису природних невизначеностей.
Побудова розширеної моделi простору можливостей. Нехай X — довiльний прос-
тiр, A — визначена на просторi X σ-алгебра множин. Надалi будемо розглядати суб’єктивну
шкалу L = ([0, 1],6,+, ◦) з впорядкованiстю, яка визначається класичною нерiвнiстю 6,
операцiєю суми “+”: a+ b
∆
= max(a, b) та операцiєю множення “◦”: a ◦ b
∆
= min(a, b) [14]. Лег-
ко впевнитися, що введенi таким чином операцiї задовольняють усi класичнi властивостi,
а саме вони є комутативними, асоцiативними та взаємно дистрибутивними. Визначимо нейт-
ральнi елементи 0̃ та 1̃, поклавши 0̃
∆
= 0 та 1̃
∆
= 1.
Означення 1. Послiдовнiсть {an} ⊂ L називається збiжною, якщо
lim inf
n→∞
an
∆
= sup
N
inf
n>N
an = inf
N
sup
n>N
an
∆
= lim sup
n→∞
an = a,
число a називається границею послiдовностi, a = lim
n→∞
an.
Для кiлькiсного опису подiй введемо оцiнку — можливiсть. Кожнiй множинi A ∈ A
поставимо у вiдповiднiсть деяке число P (A) > 0, P (A) ∈ L.
Означення 2. Функцiю P : A → L будемо називати мiрою можливостi, якщо:
1) P (A) > 0 для ∀A ∈ A;
2) P (A) — злiченно-адитивна, тобто для
∀ {Ai}, i = 1,∞, Ai ∈ A:
∞⋃
i=1
Ai ∈ A ⇒ P
(
∞⋃
i=1
Ai
)
=
∞⊕
i=1
P (Ai) = sup
i=1,∞
P (Ai).
Вiдмiтимо, що на вiдмiну вiд класичної теорiї мiри в теорiї можливостей не є необхiдною
умова Ai
⋂
Aj = ∅, i 6= j. Можна показати, що якщо властивiсть 2 введена тiльки для
множин, що не перетинаються, то вона може бути легко поширена на будь-якi множини.
Це досягається введенням операцiї додавання як супремум.
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №5
Мiра можливостi монотонна, тобто для A, B ∈ A з того, що A ⊆ B, випливає, що
P (A) 6 P (B), неперервна вiдносно монотонно зростаючої послiдовностi та напiвнеперервна
знизу вiдносно монотонно спадної послiдовностi.
Нехай P (·) — можливiсть на A. Природним є питання продовження мiри на бiльш ши-
рокий клас множин. Для цього введемо поняття зовнiшньої мiри.
Означення 3. Функцiю P ∗(·) : β(X) → L, задану як P ∗(B) = inf
{Ej}∈A
sup
j
P (Ej), де {Ej},
j = 1,∞, Ej ∈ A такi, що B ⊂
∞⋃
j=1
Ej , будемо називати зовнiшньою мiрою можливостi.
Лема 1. Для довiльної множини A ∈ A зовнiшня мiра можливостi дорiвнює мiрi
можливостi, тобто P ∗(A) = P (A).
Доведення. Виберемо послiдовнiсть {Ej}, j = 1,∞, Ej ∈ A таким чином, що E1 = A,
E2 = E3 = · · · = ∅. Отримаємо, що A ⊂
∞⋃
j=1
Ej i, вiдповiдно, inf
{Ej}
sup
j
P (Ej) 6 P (A). Тобто
P ∗(A) > P (A). За визначенням точної нижньої межi для ∀ε > 0 ∃{Ej} ∈ A маємо, що
sup
j
P (Ej) < P ∗(A) + ε.
Оскiльки A = A
⋂( ∞⋃
j=1
Ej
)
=
∞⋃
j=1
(A
⋂
Ej), то для A ∈ A одержуємо
P (A) = P
(
∞⋃
j=1
(A
⋂
Ej)
)
=
∞
⊕
j=1
P (A
⋂
Ej) = sup
j=1,∞
P (A
⋂
Ej) 6 sup
j=1,∞
P (Ej).
Звiдси випливає, що P (A) < P ∗(A) + ε. Але при ε→ 0 матимемо знак нестрогої нерiвностi,
тобто P (A) 6 P ∗(A). А отже, P (A) = P ∗(A).
Лема 2. Зовнiшня мiра можливостi P ∗(·) є невiд’ємною функцiєю множин, тобто
P ∗(A) > 0 для ∀A ⊂ X.
Доведення випливає з невiд’ємностi самої мiри можливостi.
Лема 3. Зовнiшня мiра можливостi P ∗(·) монотонна, тобто для ∀A, B ⊂ X таких,
що A ⊂ B матимемо P ∗(A) 6 P ∗(B).
Доведення. Нехай {Ej}, j = 1,∞, Ej ∈ A — послiдовнiсть, яка у визначеннi зовнiшньої
мiри надає inf в рiвностi P ∗(B) = inf
{Ej}
sup
j
P (Ej). Але тодi A ⊂ B ⊂
∞⋃
j=1
Ej , звiдки випливає,
що P ∗(A) 6 P ∗(B). Справедлива така теорема.
Теорема 1 (про продовження мiри можливостi). Зовнiшня мiра P ∗, яка визначена на
булеанi β(X), є мiрою можливостi.
Слiд вiдзначити, що таке продовження можливе лише для моделi простору можливос-
тей, що запропонована Ю.П. Питьєвим в [14], i воно не єдине. Продовжуючи мiру, ми
отримуємо лише верхню оцiнку, бiльшою за яку не може бути можливiсть виникнення
певної подiї.
Властивостi мiри можливостi показують, що введення лише цiєї мiри в моделi експе-
рименту недостатньо для адекватного опису подiй. Тому iснує потреба введення нижньої
оцiнки мiри, фiзична суть якої полягає в тому, що певна подiя мусить вiдбутися.
Означення 4. Мiрою необхiдностi називатимемо функцiю N : A → L, яка задовольняє
такi умови:
1) N(A) > 0 для ∀A ∈ A;
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №5 9
2) N(A) — злiченна мультиплiкативна, тобто для
∀{Ai} ∈ A:
∞⋂
i=1
Ai ∈ A ⇒ N
(
∞⋂
i=1
Ai
)
=
∞⊗
i=1
Ai = inf
i=1,∞
N(Ai).
Можна показати, що введена мiра має властивостi монотонностi, неперервностi вiдносно
збiжної монотонно спадної послiдовностi, напiвнеперервностi зверху вiдносно монотонно
зростаючої послiдовностi. Для мiри необхiдностей теж можливо побудувати продовження,
використовуючи внутрiшнє покриття.
Теорема 2. Мiру необхiдностi можна продовжити з алгебри A на булеан β(X) iз
збереженням властивостей мiри.
Таким чином, для опису експерименту ми отримали двi числовi характеристики подiї —
можливiсть та необхiднiсть. Використовуючи теореми про продовження, ми можемо опи-
сувати будь-яку подiю. Як ми вже зазначили, цi продовження мають значення вiдповiдно
верхньої та нижньої оцiнок появи подiї.
Персептивнi елементи та персептивнi множини. Невизначенiсть виникає в той
момент, коли з’являється потреба описувати ту чи iншу подiю. Така ситуацiя має мiсце
тодi, коли дослiдник спостерiгає за приладом або проводить опис експерименту. Оцiнюю-
чи дiйснiсть, реальнiсть, ми говоримо насамперед вiд свого iменi, що не є, прямо кажучи,
об’єктивним. До того ж реальний об’єкт може уявлятися нам зовсiм в iншому свiтлi, але
таким чином, що його неможливо описати в рамках поняття “дiйснiсть”. Тобто можна ска-
зати, що вiдбувається суб’єктивне сприйняття дiйсностi. Розглянемо, як можна описувати
цей процес.
Нехай X — це простiр для опису реальних об’єктiв, якi ми дослiджуємо, а P ∗ i N∗ —
вiдповiдно можливiсть та необхiднiсть, визначенi для подiй булеана. Розглянемо (PN)-мо-
дель (X, β(X), P ∗, N∗). Введемо також простiр Υ елементiв, якi є значенням суб’єктивного
сприйняття дiйсностi.
Означення 5. Довiльну функцiю ξ : X → Υ, задану на (X, β(X), P ∗, N∗), яка набуває
значень в Υ, називатимемо персептивним елементом.
Це визначення говорить про те, що конкретному суб’єктивному сприйняттю дiйсностi ξ,
тобто величинам iз Υ, вiдповiдає якийсь визначений стан (або навiть не один) реальностi
ξ−1(y) ⊂ X.
Означення 6. Назвемо функцiю ϕξ(y) : X → L таку, що задається рiвнiстю ϕξ(y) =
= P{x | ξ(x) = y}, розподiлом можливостей персептивного елемента ξ. А функцiю
ψξ(y) : X → L, що задана як ψξ(y) = N{x | ξ(x) = y}, — розподiлом необхiдностi пер-
септивного елемента ξ.
Означення 7. Функцiю η : X → β(Υ) будемо називати η-персептивною множиною.
Таке визначення персептивних елементiв та множин дозволяє сформулювати означення
персептивної множини.
Означення 8. Сукупнiсть персептивних елементiв A = {ξj}, j ∈ J , будемо називати
A-персептивною множиною.
Встановимо взаємозв’язок мiж цими двома означеннями.
Теорема 3 (про еквiвалентнiсть означень). η-персептивну множину можна зобразити
у виглядi A-персептивної множини та навпаки.
Доведення. Розглянемо розширений простiр X
⋃
∅, де ∅ — порожня множина, що
складається лише з одного порожнього елемента, {e} = ∅. Покажемо, що A-персептивну
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №5
множину можна зобразити через η-персептивну множину. Для кожного x ∈ X розглянемо
множини A(x) = {ξj(x)}, j ∈ J . Цiлком очевидно, що A(x) ⊂ Υ, тобто для кожного x iснує
також множина A(x) ∈ β(Υ). Таким чином, множина A(x) може бути зображена у виглядi
x
η
−→A(x).
Покажемо тепер, що η-персептивну множину можна зобразити через A-персептивну
множину. Розглянемо число M = sup
x∈X
card η(x). Виберемо довiльну множину iндексiв I,
розмiрнiсть якої card I = M . У цьому випадку A-персептивна множина A буде складатися
з M елементiв, тобто A = {Ej}, j ∈ I. Тодi для будь-якого x ∈ X виберемо персептивнi
елементи таким чином.
Розглянемо η(x) =
⋃
y∈η(x)
{y}. Якщо card η(x) < M , то покладемо ξi(x) = y, i ∈ Iη(x),
card Iη(x) = card η(x), ξi(x) = e, i ∈ Iη(x), card Iη(x) = M − card η(x).
Таким чином, ми визначили персептивнi елементи ξj, j ∈ J .
Зауваження 1. Як видно з доведення, ми можемо неоднозначним чином зобразити η-пер-
септивну множину у виглядi A-персептивної множини.
Зауваження 2. Згiдно з класичною теорiєю множин ми можемо визначити поняття по-
рожнього персептивного елемента та порожньої персептивної множини, а саме: ξ0 : X → e;
η0 : X → ∅.
Легко переконатися, що поняття персептивного елемента не вiдрiзняється вiд поняття
нечiткого елемента, введеного Ю.А. Питьєвим [14]. Але на вiдмiну вiд поняття нечiткої
множини, введеного в роботi [14], поняття персептивної множини iстотно вiдрiзняється.
Розглянемо основнi операцiї над η-персептивними множинами.
Пiд перетином η1
⋂
η2 будемо розумiти множину η1∩2 таку, що ∀x ∈ X η1∩2(x) =
= η1(x)
⋂
η2(x).
Пiд об’єднанням η1
⋃
η2 будемо розумiти множину η1∪2 таку, що ∀x ∈ X η1∪2(x) =
= η1(x)
⋃
η2(x).
Пiд рiзницею η1\η2 будемо розумiти множину η1\2 таку, що ∀x ∈ X η1\2(x) = η1(x)\η2(x).
Пiд доповненням η1 будемо розумiти множину η1 таку, що ∀x ∈ X η1(x) = Υ \ η1(x).
Пiд включенням η1 ⊂ η2 будемо розумiти виконання спiввiдношення η1(x) ⊂ η2(x) для
∀x ∈ X.
Зауваження 3.
1. Запропонованi операцiї бiльш природнi нiж операцiї, що використовуються в теорiї
нечiтких множин.
2. Порожню множину розглядатимемо як множину η∅(x) таку, що ∀x ∈ X η(x) = ∅;
3. Пiд унiверсальною персептивною множиною будемо розумiти множину ηuniv таку, що
∀x ∈ X ηuniv(x) = Υ;
4. Простiр усiх η-персептивних множин будемо позначати через β(X,Y ). Ясно, що пара
〈β(X,Y ),⊂〉 утворює частково впорядковану множину.
Для операцiй, введених таким чином, неважко переконатися, що доповнення η можна
зобразити у виглядi η = ηuniv \ η. Також легко переконатися, що виконуються такi елемен-
тарнi властивостi (пiд символами A, B, C розумiємо η-персептивнi множини):
1) закон iдемпотенцiї: A
⋂
A = A
⋃
A = A;
2) закон комутативностi: A
⋂
B = B
⋂
A, A
⋃
B = B
⋃
A;
3) закон асоцiативностi: A
⋂
(B
⋂
C) = (A
⋂
B)
⋂
C, A
⋃
(B
⋃
C) = (A
⋃
B)
⋃
C;
4) закон абсорбцiї: A
⋂
(A
⋃
B) = A
⋃
(A
⋂
B) = A;
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №5 11
5) закон дистрибутивностi: A
⋂
(B
⋃
C) = (A
⋂
B)
⋃
(A
⋂
C), A
⋃
(B
⋂
C) = (A
⋃
B)
⋂
⋂
(A
⋃
C);
6) закон комплiментарностi: A
⋂
A = ∅, A
⋃
A — унiверсальна множина.
Таким чином, клас персептивних множин разом з операцiями доповнення, об’єднання
та перетину з розглянутими операцiями включення є дистрибутивною решiткою.
Наведемо деякi спiввiдношення мiж η- та A-персептивними множинами.
Означення 9. Персептивнi множини A1 та A2 називатимемо η-еквiвалентними, якщо
∀x ∈ X маємо A1(x) = A2(x).
Лема 4. Вiдношення η-еквiвалентностi є вiдношенням еквiвалентностi.
Доведення. Властивостi рефлективностi, симетричностi та транзитивностi випливають
з того, що вони справедливi для кожного фiксованого значення x ∈ X.
Природним чином вводяться операцiї перетину, об’єднання, включення, рiзницi та до-
повнення для A-персептивних множин.
Таким чином, у роботi побудовано розширену модель (X, β(X), P ∗, N∗) простору мож-
ливостей з двома мiрами, яку називатимемо (PN)-моделлю. Ця модель може використо-
вуватись для розв’язання поставлених на початку роботи задач, оскiльки дозволяє бiльш
адекватно характеризувати подiї. Введено означення персептивних елементiв, персептивних
множин. Показано, що персептивну множину можна логiчно подати як сукупнiсть персеп-
тивних елементiв. Також введено операцiї об’єднання, перетину, доповнення, включення,
рiзницi та закони iдемпотенцiї, комутативностi, асоцiативностi, абсорбцiї, дистрибутивностi,
комплiментарностi.
1. Zadeh L.A. Fuzzy sets // Information and Control. – 1965. – 8. – P. 338–353.
2. Buckley J., Feuring T. Fuzzy differential equations // Fuzzy Sets and Systems. – 2000. – 110, No 1. –
P. 43–54.
3. Kaleva O. Fuzzy differential equations // Ibid. – 1987. – 24, No 3. – P. 301–317.
4. Kloeden P. E. Fuzzy dynamical systems // Ibid. – 1982. – 19, No 7. – P. 275–296.
5. Аверкин А.Н., Батыршин И. З., Блишун А.Ф. и др. Нечеткие множества в моделях управления и
искусственного интеллекта / Под ред. Д.А. Поспелова. – Москва: Наука, 1986. – 312 с.
6. Борисов А.Н., Алексеев А. В. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений. –
Москва: Радио и связь, 1989. – 304 с.
7. Орлов А.И. Прикладная статистика: Учебник. – Москва: Экзамен, 2004. – 656 с.
8. Орлов А.И. Нечисловая статистика. – Москва: МЗ-Пресс, 2004. – 513 с.
9. Мартынюк А.А., Слынько В.И. О расщеплении фазового пространства нечеткой системы диффе-
ренциальных уравнений // Докл. АН. – 2005. – 402, № 3. – С. 303–307.
10. Бичков О. Побудова iнтегралу за процесом нечiткого блукання // Вiсник Київ. ун-ту. Сер. фiз.-мат.
науки. – 2005. – № 4. – С. 125–134.
11. Zadeh L.A. Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility // Fuzzy Sets and Systems. – 1978. – 1. –
P. 3–28.
12. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике. Пер.
с франц. – Москва: Радио и связь, 1990. – 288 с.
13. Sugeno M. Fuzzy measures and fuzzy integrals: a survey // Fuzzy automata and decision processes / Eds.
M.M. Gupta, G. N. Saridis, B.R. Gains. – Amsterdam, 1977. – P. 89–102.
14. Пытьев Ю.П. Возможность. Элементы теории и применение. – Москва: УРСС, 1990. – 190 с.
15. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. – Москва: Наука, 1974. – 120 с.
Надiйшло до редакцiї 03.11.2006Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1784 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-28T14:21:29Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бичков, О.С. 2008-09-02T17:25:52Z 2008-09-02T17:25:52Z 2007 До теорії можливостей та її застосування / О.С. Бичков // Доп. НАН України. — 2007. — N 5. — С. 7–12. — Бібліогр.: 15 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1784 517.987 An extended model of the space of possibilities is built with the use of the measure of possibility and necessity, and the definitions of perceptive elements and perceptive sets are introduced. It is shown that a perceptive set can be represented as an aggregate of perceptive elements. The operations for the sets and elements are also defined. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика До теорії можливостей та її застосування Article published earlier |
| spellingShingle | До теорії можливостей та її застосування Бичков, О.С. Математика |
| title | До теорії можливостей та її застосування |
| title_full | До теорії можливостей та її застосування |
| title_fullStr | До теорії можливостей та її застосування |
| title_full_unstemmed | До теорії можливостей та її застосування |
| title_short | До теорії можливостей та її застосування |
| title_sort | до теорії можливостей та її застосування |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1784 |
| work_keys_str_mv | AT bičkovos doteoríímožlivosteitaíízastosuvannâ |