Динаміка квантованого гомеоморфізму кола з квазіперіодичним збуренням
Введено понятие квантованного гомеоморфизма окружности — разрывного отображения типа интервального сдвига, которое широко применяется в современной цифровой радиоэлектронике. Для двумерной динамической системы, заданной треугольным отображением — квантованным гомеоморфизмом окружности с квазипериод...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Дата: | 2009 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178403 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Динаміка квантованого гомеоморфізму кола з квазіперіодичним збуренням / О.Ю. Теплінський // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 2. — С. 235-250. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859903098236960768 |
|---|---|
| author | Теплінський, О.Ю. |
| author_facet | Теплінський, О.Ю. |
| citation_txt | Динаміка квантованого гомеоморфізму кола з квазіперіодичним збуренням / О.Ю. Теплінський // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 2. — С. 235-250. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Введено понятие квантованного гомеоморфизма окружности — разрывного отображения типа интервального сдвига, которое широко применяется в современной цифровой радиоэлектронике. Для двумерной динамической системы, заданной треугольным отображением —
квантованным гомеоморфизмом окружности с квазипериодическим возмущением, — при определенных условиях доказано существование инвариантного поглощающего пояса и отталкивающего контура, исследованы свойства этих структур и получены оценки на их размеры. Для
полноты изложения вначале исследованы соответствующие вопросы для трех систем более
низких уровней сложности, а именно, истинного гомеоморфизма окружности, истинного гомеоморфизма окружности с квазипериодическим возмущением и квантованного гомеоморфизма окружности без возмущения.
We introduce a notion of a quantized circle homeomorphism that is a discontinuous map of the type of
an interval translation. It has a broad area of applications in the modern digital electronics. For a twodimensional dynamical system, given by a triangular mapping, which is a quantized homeomorphism of a
circle with a quasiperiodic perturbation, we prove, making some assumptions, that there exist an invariant
absorbing belt and a repulsive contour, study properties of these structures, and get estimates of their sizes.
To make the exposition complete, we first study the corresponding problems for three systems that are
less complicated, namely, a proper homeomorphism of a circle, a proper homeomorphism of a circle with
quasiperiodic perturbation, and a quantized homeomorphism of a circle with no perturbation.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:58:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517 . 5
ДИНАМIКА КВАНТОВАНОГО ГОМЕОМОРФIЗМУ КОЛА
З КВАЗIПЕРIОДИЧНИМ ЗБУРЕННЯМ
О. Ю. Теплiнський
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ, вул. Терещенкiвська, 3
We introduce a notion of a quantized circle homeomorphism that is a discontinuous map of the type of
an interval translation. It has a broad area of applications in the modern digital electronics. For a two-
dimensional dynamical system, given by a triangular mapping, which is a quantized homeomorphism of a
circle with a quasiperiodic perturbation, we prove, making some assumptions, that there exist an invariant
absorbing belt and a repulsive contour, study properties of these structures, and get estimates of their sizes.
To make the exposition complete, we first study the corresponding problems for three systems that are
less complicated, namely, a proper homeomorphism of a circle, a proper homeomorphism of a circle with
quasiperiodic perturbation, and a quantized homeomorphism of a circle with no perturbation.
Введено понятие квантованного гомеоморфизма окружности — разрывного отображения ти-
па интервального сдвига, которое широко применяется в современной цифровой радио-
электронике. Для двумерной динамической системы, заданной треугольным отображением —
квантованным гомеоморфизмом окружности с квазипериодическим возмущением, — при опре-
деленных условиях доказано существование инвариантного поглощающего пояса и отталкива-
ющего контура, исследованы свойства этих структур и получены оценки на их размеры. Для
полноты изложения вначале исследованы соответствующие вопросы для трех систем более
низких уровней сложности, а именно, истинного гомеоморфизма окружности, истинного го-
меоморфизма окружности с квазипериодическим возмущением и квантованного гомеоморфиз-
ма окружности без возмущения.
1. Вступ та основнi поняття. В оглядовiй статтi [1] пояснено важливiсть для сучасної ра-
дiоелектронiки вивчення динамiки вiдображень, що походять вiд зсуву iнтервалiв. У ро-
ботi [2] дослiджено (а в [3] узагальнено) динамiку квазiперiодично збуреного зсуву двох
iнтервалiв дiйсної прямої з перекриттям, який моделює роботу поширеного електронно-
го пристрою — сигма-дельта-модулятора. Суттєвою рисою розглянутої динамiчної сис-
теми є її дисипативнiсть в тому сенсi, що кожна траєкторiя рано чи пiзно потрапляє в
певний наперед визначений обмежений регiон, в якому залишається назавжди. Бiльш
складна ситуацiя виникає, коли дослiджується зсув iнтервалiв не на прямiй, а на колi. Таке
вiдображення також має прикладне значення, зокрема як модель iншого радiоелектрон-
ного пристрою — цифрової системи фазового автопiдлаштування частоти [4, 5].
Перейдемо до математичного викладу. Одиничне коло S можна розглядати як резуль-
тат факторизацiї дiйсної прямої за модулем 1, тобто S = Rmod1 iз зрозумiлим чином
визначеними орiєнтацiєю, мiрою Лебега та груповою операцiєю зсуву, яка ототожню-
ється iз додаванням дiйсного числа mod1. Вiдповiдно, довiльний гомеоморфiзм одинич-
ного кола зi збереженням орiєнтацiї можна розглядати як гомеоморфiзм дiйсної прямої
R вигляду
F1 : x 7→ x + ν + N(x), (1)
c© О. Ю. Теплiнський, 2009
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2 235
236 О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ
де iстотний зсув ν — певне дiйсне число, а нелiнiйнiсть N — певна неперервна функ-
цiя з одиничним перiодом така, що значення суми x + N(x) строго зростає. Вiдповiдно,
траєкторiя динамiчної системи xn, n ≥ 0, визначається своєю початковою точкою x0 та
рекурентними спiввiдношеннями xn = xn−1+ν+N(xn−1). Очевидно, що вiдображення (1)
має властивiсть F (x+1) ≡ F (x)+1, яку називають динамiчною перiодичнiстю, оскiльки
внаслiдок неї всi динамiчнi структури на прямiй, породженi дiєю такого вiдображення,
повторюють себе з одиничним перiодом.
Для однозначного визначення нелiнiйностi N слiд вважати її певним чином нормова-
ною, наприклад, спiввiдношенням
∫ 1
0 N(x)dx = 0. При цьому для даного гомеоморфiзму
кола його пiдняття на дiйсну пряму (1) все одно визначається не однозначно, а з точнiстю
до цiлого доданка, отже, здається доцiльним нормувати також i ν, наприклад, умовою
ν ∈ [0, 1). Але ми цього не робитимемо з наступної причини. Насправдi гомеоморфiзм
кола, як правило, з’являється як вiдображення перерiзу Пуанкаре певного потоку на дво-
вимiрному торi, i в цьому випадку цiла частина iстотного зсуву ν мiстить iнформацiю
про те, скiльки разiв траєкторiї потоку обходять навколо тора до повернення на обраний
перерiз. Цю iнформацiю варто зберегти, i саме тому ми будемо розглядати не гомеомор-
фiзми кола, а їхнi пiдняття вигляду (1), що є спецiальним класом гомеоморфiзмiв дiйсної
прямої.
Зауважимо також, що число обертання r = lim
n→∞
xn/n гомеоморфiзму (1) не дорiв-
нює, взагалi кажучи, ν, а зi збiльшенням нелiнiйностi може набувати значення найближ-
чого до ν рацiонального числа з достатньо малим знаменником, яке в цьому випадку на-
зивають модою. Описаний феномен захоплення моди, або просто дробової синхронiзацiї
є добре вивченим у загальнiй теорiї одновимiрних динамiчних систем [6], зокрема на при-
кладi так званих вiдображень Арнольда — аналiтичних дифеоморфiзмiв кола вигляду (1)
з синусоїдальною нелiнiйнiстю N(x) = a sin 2πx, a < 1/(2π). Власне, явище захоплен-
ня моди i є предметом нашого дослiдження, але в бiльш складнiй системi, яка включає
водночас квантування нелiнiйностi та квазiперiодичне збурення, i означення якої ми на-
ведемо нижче.
Розглянемо випадок, коли на гомеоморфiзм вигляду (1) дiє квазiперiодичне збурення.
В радiоелектронiцi таким збуренням є зовнiшнiй перiодичний сигнал, частота якого є
рацiонально несумiрною з частотою внутрiшнього годинника приладу. Отже, рiвняння
траєкторiї має вигляд xn = xn−1+ν+N(xn−1)+fn, де fn = f(θn), f — певна 1-перiодична
функцiя, а θn = θn−1+ρ = θ0+nρ з iррацiональним кроком ρ, який можна вважати таким,
що належить iнтервалу (0, 1). Цю ситуацiю описує двовимiрна динамiчна система, задана
трикутним вiдображенням
F2 : (θ, x) 7→ (θ + ρ, x + ν + N(x) + f(θ + ρ)), (2)
фазовим простором якого природно вважати цилiндр S×R, а f — неперервною функцiєю
з S в R, для однозначностi припускаючи, що
∫
S f(θ)dθ = 0. (Очевидно, вiдображення (2)
є гомеоморфiзмом цилiндра S×R, а факторизацiя mod1 за змiнною x переводить його у
гомеоморфiзм двовимiрного тора T = S× S.)
Пояснимо тепер, що ми називаємо квантуванням нелiнiйностi. В радiоелектронiцi
квантизатором називається пристрiй, що транслює аналоговий сигнал у цифровий. У ма-
тематичному розумiннi рiвномiрний квантизатор на крок d > 0 — це кусково-стала
функцiя Qd, яка переводить дiйсне число x у найбiльше число вигляду nd, що не переви-
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
ДИНАМIКА КВАНТОВАНОГО ГОМЕОМОРФIЗМУ КОЛА З КВАЗIПЕРIОДИЧНИМ ЗБУРЕННЯМ 237
щує x, iз цiлим n. Iнакше кажучи, для кожного цiлого n квантизатор Qd вiдображає всi
точки промiжку [nd, (n + 1)d) в його лiвий кiнець. Можна записати Qd(x) = d [x/d] , де
квадратнi дужки позначають цiлу частину функцiї. Власне кажучи, цiла частина функцiї
є рiвномiрним квантизатором на одиничний крок.
Квантованим гомеоморфiзмом кола будемо називати вiдображення дiйсної прямої в
себе вигляду
F3 : x 7→ x + ν + Qd(N(x)) (3)
з такою нелiнiйнiстю N, що вiдповiдне неквантоване вiдображення (1) є справжнiм го-
меоморфiзмом кола. Крок квантування d вважається значно меншим за 1. Легко бачити,
що квантований гомеоморфiзм кола є зсувом iнтервалiв [1, 3] на R, який факторизацiя
mod1 перетворює на зсув скiнченної кiлькостi iнтервалiв на одиничному колi. Зауважи-
мо, що квантований гомеоморфiзм кола не є, звичайно ж, його гомеоморфiзмом, але має
дуже спорiдненi властивостi, що дає нам право використовувати такий термiн. Проте з
математичної точки зору квантований гомеоморфiзм є дуже складним вiдображенням з
багатьма розривами, до якого не можна застосувати жодний iз класичних результатiв.
Власне, незастосовнiсть класичної теорiї до динамiки квантованих гомеоморфiзмiв за iн-
туїтивної очевидностi її подiбностi до динамiки справжнiх гомеоморфiзмiв i спонукала
нашi дослiдження. Зауважимо, що для квантованого гомеоморфiзму кола (3) припущен-
ня
∫ 1
0 N(x) dx = 0 вже не є природним; натомiсть операцiя одночасного додавання до ν i
вiднiмання вiд N величини вигляду kd з цiлим k залишає вiдображення (3) без змiн.
Головним предметом розгляду цiєї статтi є квантований гомеоморфiзм кола iз квазi-
перiодичним збуренням, тобто двовимiрне вiдображення
F : (θ, x) 7→ (θ + ρ,Φθ+ρ(x)) (4)
на цилiндрi S×R, де однопараметрична сiм’я квантованих гомеоморфiзмiв кола Φθ, θ ∈ S,
задається формулою
Φθ(x) = x + ν + f(θ) + Qd(N(x)) (5)
iз дiйсним параметром ν, неперервною функцiєю f : S → R, яка має нульове середнє зна-
чення
∫
S f(θ)dθ = 0, i неперервною функцiєю N : R → R перiоду 1 такою, що значення
суми x + N(x) строго зростає, d � 1, а ρ ∈ (0, 1) i є iррацiональним.
2. Формулювання результатiв. Наведемо результати щодо умов i динамiки захоплен-
ня моди для кожного з вiдображень (1) – (4). Розглядатимемо випадок, коли нелiнiйнiсть
N є бiмодальною (тобто має на одиничному перiодi єдину точку максимуму x∗ i єдину
точку мiнiмуму x∗, зi значеннями в них Nmax та Nmin вiдповiдно, мiж якими вона є строго
монотонною; без обмежень загальностi вважатимемо, що x∗ < x∗ < x∗ + 1), i вивчати-
мемо захоплення моди r = 0 (тобто обмеженi на дiйснiй прямiй траєкторiї xn, n ≥ 0).
Сформулюємо результати щодо кожної з систем (1) – (4).
Зауважимо, що цi системи моделюють динамiку цiлком певних радiоелектронних при-
строїв — систем фазового автопiдлаштування частоти (ФАПЧ) — у чотирьох випадках:
(1) та (2) описують аналоговi ФАПЧ, а (3) та (4) — цифровi, тодi як (1) та (3) вiдповiдають
вхiдному сигналовi сталої частоти, а (2) та (4) — модульованої (тобто FM-сигналу). За-
хоплення нульової моди є метою цих пристроїв, що призначенi для вловлення приладом
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
238 О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ
(наприклад, мобiльним телефоном) частоти вхiдного сигналу, яка не є завчасно точно вi-
домою. Вiдмiтимо також, що зазвичай в описаних прикладних моделях функцiї N i f є
синусоїдами: N(x) = a sin 2πx, a > 0; f(θ) = b sin 2πθ, b > 0.
Для гомеоморфiзму вигляду (1) умови захоплення нульової моди є еквiвалентними
наявностi в нього нерухомої точки, при цьому динамiка всiєї системи є дуже простою.
Твердження 1. Нехай нелiнiйнiсть N є бiмодальною, а iстотний зсув ν ∈ (−Nmax,
−Nmin). Тодi гомеоморфiзм (1) має на (одиничному) перiодi рiвно двi нерухомi точки:
стiйку xs, яка є (єдиним) коренем рiвняння ν + N(x) = 0 на iнтервалi (x∗, x∗), та не-
стiйку xu, яка є (єдиним) коренем рiвняння ν + N(x) = 0 на (x∗, x∗ + 1); усi траєкторiї
системи, що стартували на iнтервалi (xu − 1, xu), збiгаються до xs. Ця збiжнiсть є
рiвномiрною в тому сенсi, що для будь-якого ε > 0 iснує натуральне число K(ε) таке,
що кожна траєкторiя з початковою точкою в [xu − 1 + ε, xu − ε] через K(ε) крокiв
потрапляє до (xs − ε, xs + ε), де залишається назавжди.
(У випадку синусоїдальної нелiнiйностi N(x) = a sin 2πx умови на ν набирають прос-
того вигляду |ν| < a.)
Наявнiсть квазiперiодичного збурення, за умов його малостi, „розтягує” нерухомi точ-
ки в неперервнi iнварiантнi контури на цилiндрi (контуром на цилiндрi S×R називається
графiк будь-якої обмеженої функцiї з S в R; оскiльки це не призводить до великої плу-
танини, контур i вiдповiдну функцiю позначатимемо у цiй статтi однаково). Введемо ще
одне поняття: для даних двох контурiв L ≤ U на цилiндрi S×R множину точок, що лежать
мiж ними, будемо називати поясом з межами L та U. При цьому у випадку, коли для яки-
хось θ має мiсце рiвнiсть L(θ) = U(θ), пояс називатимемо виродженим. Межi можуть як
належати поясу, так i не належати йому (аналогiчно до кiнцiв промiжку дiйсної прямої).
Позначення також будемо використовувати аналогiчнi: так, запис B = [L,U) познача-
тиме напiввiдкритий пояс B з нижньою L i верхньою U межами, тобто множину точок
{(θ, x)|L(θ) ≤ x < U(θ)} ⊂ S× R.
Твердження 2. Нехай виконуються умови твердження 1, функцiя f : S → R не-
перервна,
∫
S f(θ)dθ = 0, i до того ж для всiх θ ∈ S виконуються обмеження f(θ) ∈
∈ [−Nmax − ν,−Nmin − ν]. Тодi система (2) на цилiндрi S × R має рiвно два неперервних
iнварiантних контури на (одиничному) перiодi за змiнною x : стiйкий x∗ < Cs < x∗ та
нестiйкий x∗ < Cu < x∗+1; усi траєкторiї системи, що стартували в поясi (Cu−1, Cu),
притягуються до Cs. Ця збiжнiсть є рiвномiрною в тому сенсi, що для будь-якого ε > 0
iснує натуральне число K(ε) таке, що кожна траєкторiя з початковою точкою в по-
яci [Cu − 1 + ε, Cu − ε] через K(ε) крокiв потрапляє до (Cs − ε, Cs + ε), де залишається
назавжди.
(У випадку синусоїдальних нелiнiйностi N(x) = a sin 2πx i збурення f(θ) = b sin 2πθ
обмеження набирають вигляду b ≤ a− |ν|.)
У випадку квантованого гомеоморфiзму, хоча за малого кроку квантування d дина-
мiка на одиничному масштабi в обчислювальних експериментах виглядає подiбною до
динамiки неквантованого, математичнi структури, якi при цьому виникають, є досить
специфiчними. Так, замiсть стiйкої нерухомої точки xs з’являється iнварiантний погли-
наючий (чи „абсорбуючий”) пiвiнтервал Ia, довжина якого дорiвнює кроку квантування,
з простою динамiкою всерединi, який поглинає траєкторiї рiвномiрно вiдносно їхнiх по-
чаткових даних. А мiсце нестiйкої нерухомої точки xs займає вiдштовхуюча точка xr, що
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
ДИНАМIКА КВАНТОВАНОГО ГОМЕОМОРФIЗМУ КОЛА З КВАЗIПЕРIОДИЧНИМ ЗБУРЕННЯМ 239
роздiляє басейни поглинання сусiднiх (тобто вiдмiнних на 1) iнварiантних поглинаючих
iнтервалiв.
Твердження 3. Нехай нелiнiйнiсть N квантованого гомеоморфiзму (3) є бiмодальною
i задовольняє умову стискання
|N(x1)−N(x2)| < |x1 − x2|, x1 6= x2, (6)
а iстотний зсув ν ∈ (−Qd(Nmax) + d,−Qd(Nmin) − d) i число ν/d не є цiлим. Тодi на
(одиничному) перiодi є двi структури: iнварiантний поглинаючий пiвiнтервал Ia =
= (xa, xa + d], який мiститься у промiжку (x∗, x∗), та вiдштовхуюча точка xr, що на-
лежить (x∗, x∗ + 1); iснує натуральне число K таке, що всi траєкторiї системи, якi
стартували в пiвiнтервалi [xr − 1, xr), потрапляють до Ia через не бiльше нiж K кро-
кiв. Динамiка траєкторiй всерединi iнварiантного поглинаючого пiвiнтервалу Ia, якщо
зiмкнути його шляхом ототожнення кiнцiв у коло довжини d, є жорстким поворотом
цього кола на величину Qd(ν) + d− ν.
(У випадку синусоїдальної нелiнiйностi N(x) = a sin 2πx з нецiлим a/d обмеження на
ν набирають вигляду ν ∈ (−Qd(a) + d, Qd(a)).)
Додаткова умова нецiлостi ν/d, яку ми тут накладаємо, вiдкидає особливий випадок,
коли один з iнтервалiв вiдображення зсуву iнтервалiв (3) насправдi не зазнає нiякого зсу-
ву. В цьому випадку цей нерухомий iнтервал буде iнварiантним поглинаючим пiвiнтер-
валом, але його довжина не є пов’язаною з кроком квантування d i може мати порядок
одиницi.
Нарештi, наш головний результат стосується квантованого гомеоморфiзму з квазiпе-
рiодичним збуренням.
Теорема. Нехай нелiнiйнiсть N сiм’ї квантованих гомеоморфiзмiв (5) є бiмодаль-
ною, задовольняє умову стискання (6), число ν/d не є цiлим, f : S → R неперервна,∫
S f(θ)dθ = 0, i до того ж для всiх θ ∈ S виконуються обмеження f(θ) ∈ [−Qd(Nmax) +
+d−ν,−Qd(Nmin)−d−ν]. Тодi система (4) на цилiндрi S×R має на (одиничному) перiодi
за змiнною x двi структури: iнварiантний поглинаючий пояс Ba = (La, Ua] сталої тов-
щини d з неперервними межами x∗ < La < Ua = La + d < x∗ та неперервний вiдштов-
хуючий контур x∗ < Cr < x∗ + 1; iснує натуральне число K таке, що всi траєкторiї
системи, якi стартували в поясi [Cr − 1, Cr), потрапляють до Ba через не бiльше нiж
K крокiв. Динамiка траєкторiй всерединi iнварiантного поглинаючого поясу Ba, якщо
зiмкнути його шляхом ототожнення меж у двовимiрний тор розмiру 1 × d, є певним
косим зсувом на цьому торi.
(У випадку синусоїдальних нелiнiйностi N(x) = a sin 2πx з нецiлим a/d i збурення
f(θ) = b sin 2πθ обмеження набирають вигляду b ≤ min{Qd(a)− ν, Qd(a) + ν − d}.)
3. Доведення тверджень. За нашим припущенням, функцiя N строго спадає на вiдрiзку
[x∗, x∗] i строго зростає на вiдрiзку [x∗, x∗ + 1], а функцiя (Id + N) : x 7→ x + N(x) строго
зростає на R, звiдки
0 < (Id + N)(x′′)− (Id + N)(x′) < x′′ − x′ для x∗ ≤ x′ < x′′ ≤ x∗, (7)
0 < x′′ − x′ < (Id + N)(x′′)− (Id + N)(x′) для x∗ ≤ x′ < x′′ ≤ x∗ + 1. (8)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
240 О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ
Нерiвностi (7), (8) свiдчать про те, що функцiя (Id + N) є на промiжку [x∗, x∗] строгим
стисканням, а на промiжку [x∗, x∗ + 1] — строгим розтягненням (хоча й не обов’язково
рiвномiрним).
Твердження 1 включено до цiєї статтi лише для повноти картини, його доведення є
майже тривiальною вправою з теорiї динамiки одновимiрних неперервних вiдображень,
тому ми його не наводимо. Доведення твердження 2 буде в певному сенсi пiдготовкою
iдей, якi будуть використанi при доведеннi теореми. Доведення твердження 3 є простою
технiчною перевiркою, але воно допоможе пояснити певнi нюанси наслiдкiв квантування
нелiнiйностi, якi також знайдуть своє використання при доведеннi теореми.
3.1. Доведення твердження 2. Зауважимо знову, що вiдображення F2 є неперервним,
оборотним i строго зростаючим вiдносно змiнної x, крiм того воно має властивiсть F2(θ,
x + 1) = F2(θ, x) + (0, 1). Розглянемо такi двостороннi послiдовностi неперервних конту-
рiв: U0(θ) ≡ x∗, L0(θ) ≡ x∗, Un = Fn
2 (U0), Ln = Fn
2 (L0), n ∈ Z. Внаслiдок обмеження
f(θ) ∈ [−Nmax − ν,−Nmin − ν], θ ∈ S, мають мiсце нерiвностi L1(θ) = x∗ + Nmax +
+ν + f(θ) ≥ x∗ = L0(θ), U1(θ) = x∗ + Nmin + ν + f(θ) ≤ x∗ = U0(θ), а отже, послi-
довнiсть Un, n ∈ Z, є незростаючою, а послiдовнiсть Ln, n ∈ Z, — неспадною. Оскiльки
U0 − 1 < L0 < U0 < L0 + 1, то цi послiдовностi є обмеженими з обох бокiв, отже, iсну-
ють граничнi контури L+ = lim
n→+∞
Ln, L− = lim
n→−∞
Ln, U+ = lim
n→+∞
Un, U− = lim
n→−∞
Un.
Граничнi переходи при n → ±∞ у рiвностях Ln = F2(Ln−1) та Un = F2(Un−1) показують,
що кожен iз чотирьох граничних контурiв L+, L−, U+, U− (а також кожна їхня копiя, зсу-
нута на цiле число за змiнною x) є iнварiантним вiдносно дiї F2, а отже, при пiдстановцi
замiсть невiдомої функцiї X : S → R задовольняє функцiональне рiвняння
X(θ) = (Id + N)(X(θ − ρ)) + ν + f(θ). (9)
Зауважимо, що згiдно з нашою побудовою маємо наступний порядок слiдування гранич-
них контурiв:
x∗ − 1 ≤ U− − 1 ≤ L− ≤ x∗ ≤ L+ ≤ U+ ≤ x∗ ≤ U− ≤ L− + 1 ≤ x∗ + 1. (10)
Доведемо неперервнiсть контуру U+. Стрибок функцiї U+ у точцi θ означається як
jmpU+(θ) = lim sup
θ1,θ2→θ
(U+(θ2)− U+(θ1)).
Нехай inf U+ = infθ∈S U+(θ). Для будь-якого заданого ε > 0 знайдуться n ≥ 1 та θ∗ ∈ S
такi, що Un(θ∗) < inf U+ + ε. Оскiльки контур Un неперервний, iснує певний (вiдкритий)
окiл I ⊂ S точки θ∗ такий, що Un(θ) < inf U+ + ε для всiх θ ∈ I. Таким чином, маємо
inf U+ ≤ U+(θ) < inf U+ + ε i, отже, jmpU+(θ) ≤ ε для всiх θ ∈ I. З (9) та (7) випливає,
що jmpU+(θ + ρ) ≤ jmpU+(θ) для кожного θ ∈ S. Оскiльки ρ iррацiональне, множина
точок {θ + mρ |m ≥ 0, θ ∈ I} являє собою суцiльне коло S. Отже, jmpU+(θ) ≤ ε для всiх
θ ∈ S. Але ε > 0 ми вибрали довiльне, тому насправдi jmpU+(θ) ≡ 0, тобто контур U+ є
неперервним.
Неперервнiсть решти граничних контурiв доводиться аналогiчно (для L+ i U− замiсть
inf слiд розглянути sup; для L− i U− замiсть (7) використати (8)).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
ДИНАМIКА КВАНТОВАНОГО ГОМЕОМОРФIЗМУ КОЛА З КВАЗIПЕРIОДИЧНИМ ЗБУРЕННЯМ 241
Нехай θ∗ ∈ S — точка максимуму (неперервної та обмеженої) функцiї ∆+ = U+ −
−L+ ≥ 0. Припустимо, що ∆+(θ∗) > 0. Тодi внаслiдок (9) та (7) маємо ∆+(θ∗ − ρ) >
> ∆+(θ∗), що суперечить вибору θ∗. Отже, насправдi ∆+(θ) ≡ 0. Це означає, що L+ та
U+ — один i той самий iнварiантний контур, який ми тепер позначимо Cs. Аналогiчно (з
використанням (8) замiсть (7)) доводиться, що L−+1 та U− — один i той самий iнварiант-
ний контур, який ми позначимо Cu.
Покажемо, що насправдi виконуються строгi нерiвностi x∗ < Cs < x∗ < Cu < x∗ + 1
(вiдповiднi нестрогi нерiвностi ми вже довели, див. (10)). Доведемо лише першу з них
(решта доводиться аналогiчно). Нехай x > x∗, тодi (Id+N)(x)+ν +f(θ) > (Id+N)(x∗)+
+ν + f(θ) ≥ x∗ внаслiдок того, що Id + N зростає, та обмежень на f(θ). Отже, з (9)
та нестрогої нерiвностi x∗ ≤ Cs випливає, що якщо Cs(θ) = x∗ для якогось θ ∈ S, то
i Cs(θ − ρ) = x∗. Оскiльки ρ iррацiональне, а контур Cs неперервний, то з припущення
Cs(θ) = x∗ для якогось одного θ ∈ S випливає Cs(θ) = x∗ для всiх θ ∈ S. Але тодi
Nmax+ν+f(θ) = 0 для всiх θ ∈ S на пiдставi рiвняння (9). Iнтегруючи останню рiвнiсть по
колу S, отримуємо ν+Nmax = 0, що суперечить припущенню твердження щодо обмежень
на величину ν.
Оскiльки послiдовнiсть неперервних функцiй на компактi, яка поточково збiгається
до неперервної функцiї, збiгається до неї рiвномiрно, то для заданого ε > 0 знайдеться
таке n0 = n0(ε) > 0, що L−n0 < Cu − 1 + ε, Ln0 > Cs − ε, Un0 < Cs + ε, U−n0 > Cu − ε.
Отже, K(ε) = 2n0(ε) задовольняє вимогу твердження, i прямування траєкторiй з поясу
(Cu − 1, Cu) до Cs є дiйсно рiвномiрним у вказаному сенсi.
3.2. Доведення твердження 3. Опишемо наявну картину iнтервального зсуву (3). Роз-
глянемо цiлi числа
kmin = Qd(Nmin)/d + 1 = [Nmin/d] + 1, kmax = Qd(Nmax)/d = [Nmax/d].
Для кожного kmin ≤ k ≤ kmax (i лише для них) рiвняння N(x) = kd має єдиний розв’язок
на [x∗, x∗] та єдиний розв’язок на [x∗, x∗ + 1], якi ми позначимо σ+
k та σ−k вiдповiдно. Цi
точки є точками розриву вiдображення F3 (крiм, можливо, точок σ−kmin
та σ+
kmin
у випадку,
коли вони обидва дорiвнюють x∗). Означенi точки впорядкованi таким чином:
x∗ ≤ σ+
kmax
< σ+
kmax−1 < . . . < σ+
kmin
≤ x∗ ≤ σ−kmin
< σ−kmin+1 < . . . < σ−kmax
≤ x∗ + 1
i задовольняють нерiвностi
σ−k+1 − σ−k > d, σ+
k − σ+
k+1 > d для kmin ≤ k ≤ kmax − 1 (11)
внаслiдок припущення (6). Отже, одиничний перiод [σ−kmax
− 1, σ−kmax
) виявляється розби-
тим на промiжки, якi жорстко зсуваються вiдображенням F3 на рiзнi вiдстанi, а саме,
F3(x) = x + ν + kd на промiжках [σ−k , σ−k+1) та (σ+
k+1, σ
+
k ] (якi згiдно з (11) є довшими
за d) для kmin ≤ k ≤ kmax − 1; на промiжку (σ+
kmin
, σ−kmin
) (який може бути порожнiм) для
k = kmin − 1 = [Nmin/d]; на промiжку [σ−kmax
− 1, σ+
kmax
] (який може бути виродженим у
точку) для k = kmax = [Nmax/d]. Зазначимо, що обмеження на ν гарантують, зокрема,
що −Qd(Nmax) + d < −Qd(Nmin)− d, з чого випливає kmax − kmin ≥ 2.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
242 О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ
Звернемо увагу на властивостi, що мають мiсце для будь-якого kmin ≤ k ≤ kmax:
x ≤ σ+
k ⇒ F3(x) ≤ F3(σ+
k ), (12)
x > σ+
k ⇒ F3(x) > F3(σ+
k + 0). (13)
Вони випливають зi строгого зростання F3 на промiжку (σ+
kmin
− 1, σ+
kmax
] i на кожному з
промiжкiв (σ+
k+1, σ
+
k ], kmin ≤ k < kmax, для кiнцiв яких внаслiдок (11) виконується нерiв-
нiсть F3(σ+
k+1)− F3(σ+
k ) = (σ+
k+1 + ν + (k + 1)d)− (σ+
k + ν + kd) = d− (σ+
k − σ+
k+1) < 0.
Умову ν ∈ (−Qd(Nmax) + d,−Qd(Nmin) − d) можна записати у виглядi ν ∈ (−(kmax −
−1)d,−kmind), отже,−(kmax−1) ≤ [ν/d] ≤ −kmin−1, kmin+1 ≤ −[ν/d] ≤ kmax−1. Оскiль-
ки ν/d не є цiлим числом, то промiжки [σ−−[ν/d], σ
−
−[ν/d]+1) та (σ+
−[ν/d]+1, σ
+
−[ν/d]] зсуваються
пiд дiєю F3 праворуч (тобто на додатну вiдстань, а саме, на ν − [ν/d], d = ν − Qd(ν)), а
промiжки [σ−−[ν/d]−1, σ
−
−[ν/d]) та (σ+
−[ν/d], σ
+
−[ν/d]−1] — лiворуч (тобто на вiд’ємну вiдстань, а
саме, на ν + (−[ν/d]− 1)d = ν −Qd(ν)− d).
Покладемо xr = σ−−[ν/d], xa = F3(σ+
−[ν/d] + 0) = σ+
−[ν/d] + ν −Qd(ν)− d.
Очевидно, що Ia = (F3(σ+
−[ν/d] + 0), F3(σ+
−[ν/d] − 0)] розбивається на два пiдiнтервали:
(σ+
−[ν/d] + ν −Qd(ν) − d, σ+
−[ν/d]] та (σ+
−[ν/d], σ
+
−[ν/d] + ν −Qd(ν)], якi пiд дiєю F3 переклада-
ються, знову утворюючи Ia. Отже, Ia дiйсно є iнварiантним пiвiнтервалом з динамiкою,
описаною в формулюваннi твердження.
Покажемо, що всi траєкторiї з [xr − 1, xr) потрапляють всередину Ia за унiверсальну
скiнченну кiлькiсть крокiв. Легко бачити, що кожна точка з [σ−−[ν/d], σ
+
−[ν/d]] пiд дiєю F3
зсувається праворуч принаймнi на ν − Qd(ν) > 0, а кожна точка з (σ+
−[ν/d], σ
−
−[ν/d] + 1) —
лiворуч принаймнi на−(ν−Qd(ν)−d) > 0, до того ж внаслiдок (12), (13) ця траєкторiя не
може перестрибнути через Ia. Отже, через K = [max{(ν−Qd(ν))−1, (−ν+Qd(ν)+d)−1}]+1
крокiв вона обов’язково потрапить до Ia.
3.3. Доведення теореми. Динамiчна система, задана вiдображенням (4), поєднує в собi
якостi систем (2) та (3), якi вивчалися в доведеннях тверджень 2 та 3 вiдповiдно. Легко
перевiрити, що виконання умов теореми приводить до виконання умов тверджень 1 – 3.
Розбиття R на промiжки неперервностi точками σ−k та σ+
k (i їхнiми копiями, зсунутими на
цiлi числа) залишається таким самим, як у доведеннi твердження 3, лише зараз це про-
мiжки неперервностi iнтервального зсуву Φθ, який у свою чергу неперервно залежить вiд
параметра θ, а саме, маємо Φθ(x) = x+ν+f(θ)+kd, якщо x належить промiжку [σ−k , σ−k+1)
або (σ+
k+1, σ
+
k ] (якi згiдно з (11) є довшими за d) для kmin ≤ k ≤ kmax − 1; якщо x нале-
жить промiжку (σ+
kmin
, σ−kmin
) (який може бути порожнiм) для k = kmin − 1 = [Nmin/d];
якщо x належить промiжку [σ−kmax
− 1, σ+
kmax
] (який може бути виродженим у точку) для
k = kmax = [Nmax/d] (нагадаємо, що kmax − kmin ≥ 2).
Зауважимо, що сусiднi промiжки неперервностi iнтервального зсуву Φθ зi спiльним
кiнцем σ+
k посуваються пiд його дiєю один до одного ближче, тодi як промiжки неперерв-
ностi зi спiльним кiнцем σ−k посуваються один вiд одного далi. Вiдповiдно виконуються
нерiвностi
Φθ(x2)− Φθ(x1) ≤ x2 − x1, x∗ ≤ x1 ≤ x2 ≤ x∗, θ ∈ S, (14)
Φθ(x2)− Φθ(x1) ≥ x2 − x1, x∗ ≥ x1 ≤ x2 ≤ x∗ + 1, θ ∈ S. (15)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
ДИНАМIКА КВАНТОВАНОГО ГОМЕОМОРФIЗМУ КОЛА З КВАЗIПЕРIОДИЧНИМ ЗБУРЕННЯМ 243
Аналогiчно властивостям (12), (13) для F3, для всiх kmin ≤ k ≤ kmax, θ ∈ S маємо
x ≤ σ+
k ⇒ Φθ(x) ≤ Φθ(σ+
k ), (16)
x > σ+
k ⇒ Φθ(x) > Φθ(σ+
k + 0). (17)
Для доведення теореми скористаємося iдеєю доведення твердження 2, а саме, побу-
дуємо двi послiдовностi неперервних поясiв B+
n = (L+
n , U+
n ] та B−
n = [L−n , U−
n ), n ≥ 0,
де B+
0 = S × (σ+
kmax
, σ+
kmin
], B−
0 = S × [σ−kmin
, σ−kmax
), а далi iндуктивно B+
n = F (B+
n−1),
B−
n = F−1(B−
n−1), n ≥ 1. Перша з цих послiдовностей стягнеться до iнварiантного поясу
Ba, а друга — до вiдштовхуючого контуру Cr. Але спершу переконаємось, що наведена
конструкцiя насправдi приводить до послiдовностей поясiв вказаного вигляду, якi до того
ж насправдi стягуються.
Для побудови першої послiдовностi означимо, виходячи з функцiї Φθ, її верхню Φ̂θ та
нижню Φ̌θ зрiзки на вiдрiзку [x∗, x∗] таким чином:
Φ̂θ(x) = sup
y∈[x∗,x]
Φθ(y), Φ̌θ(x) = inf
y∈[x,x∗]
Φθ(y), x ∈ [x∗, x∗], θ ∈ S.
Цi функцiї неважко виразити у явному виглядi:
Φ̂θ(x) =
{
σ+
k + ν + f(θ) + kd для x ∈ [σ+
k , σ+
k + d], kmin ≤ k ≤ kmax,
Φθ(x) для решти x ∈ [x∗, x∗],
(18)
Φ̌θ(x) =
{
σ+
k + ν + f(θ) + kd− d для x ∈ [σ+
k − d, σ+
k ], kmin ≤ k ≤ kmax,
Φθ(x) для решти x ∈ [x∗, x∗].
(19)
Очевидно, що вирази Φ̂θ(x) та Φ̌θ(x) є неперервними за двома змiнними (θ, x) ∈ S×[x∗, x∗],
до того ж для кожного фiксованого θ ∈ S функцiї Φ̂θ та Φ̌θ є кусково-лiнiйними, скла-
даючись з кускiв нахилу 1 та 0 почергово, а отже, задовольняють умови неспадання та
нерозтягнення
0 ≤ Φ̂θ(x2)− Φ̂θ(x1) ≤ x2 − x1, 0 ≤ Φ̌θ(x2)− Φ̌θ(x1) ≤ x2 − x1, x∗ ≤ x1 ≤ x2 ≤ x∗.
(20)
Легко переконатися, що з (18) та (19) для довiльного θ ∈ S випливають нерiвностi
Φ̂θ(x)− d ≤ Φθ(x) ≤ Φ̂θ(x), Φ̌θ(x) ≤ Φθ(x) ≤ Φ̌θ(x) + d, x ∈ [x∗, x∗], (21)
а також симетрична тотожнiсть
Φ̂θ(x + d) = Φ̌θ(x) + d, x ∈ [x∗, x∗ − d]. (22)
Лема 1. Для довiльного поясу B1 = (L1, U1] ⊂ B+
0 товщини U1 − L1 ≥ d його образ
F (B1) також є поясом B2 = (L2, U2] ⊂ B+
0 товщини U2 − L2 ≥ d. Межi поясу B2 задо-
вольняють рiвняння
U2(θ) = Φ̂θ(U1(θ − ρ)), (23)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
244 О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ
L2(θ) = Φ̌θ(L1(θ − ρ)) (24)
для всiх θ ∈ S. Якщо контури L1 та U1 неперервнi, то L2 та U2 також неперервнi.
Доведення. Спочатку покажемо, що F (B+
0 ) ⊂ B+
0 . Обмеження на збурення f(θ) в умо-
вi теореми можна переписати як ν + f(θ)+Qd(Nmin)+ d ≤ 0, ν + f(θ)+Qd(Nmax)−d ≥ 0.
Iншими словами, вони означають, що промiжки (σ+
kmin+1, σ
+
kmin
] та [σ−kmin
, σ−kmin+1) зсува-
ються на недодатну величину (тобто лiворуч або не рухаються), а промiжки (σ+
kmax
,
σ+
kmax−1] та [σ−kmax−1
, σ−kmax
) — на невiд’ємну величину (тобто праворуч або не рухаються).
Оскiльки це має мiсце для кожного θ ∈ S, то, враховуючи властивостi (16), (17), переко-
нуємося, що дiйсно F (B+
0 ) ⊂ B+
0 .
Розглянемо довiльне θ ∈ S. Промiжок (L1(θ− ρ), U1(θ− ρ)] покриває кiлька послiдов-
них точок розриву σ+
k , k1 ≤ k ≤ k2 (можливо, не покриває жодної), а отже, подiляється
ними на декiлька пiдпромiжкiв, що зсуваються жорстко пiд дiєю Φθ на рiзнi вiдстанi. З не-
рiвностi (11) та умови U1 − L1 ≥ d випливає, що спiльна довжина будь-яких двох сусiднiх
таких пiдпромiжкiв є не меншою за d. Оскiльки цi два сусiднi пiдпромiжки дiя Φθ зсуває
один вiдносно одного назустрiч на величину d, то мiж їхнiми образами не може утвори-
тися щiлина, а тому їхнє об’єднання є (пiввiдкритим) промiжком довжини не меншої за
d. Оскiльки це має мiсце для кожної пари сусiднiх пiдпромiжкiв, то це правильно i для
всього їхнього набору в цiлому, отже,
F
(
{θ − ρ} ×
(
L1(θ − ρ), U1(θ − ρ)
])
= {θ} ×
(
L2(θ), U2(θ)
]
для певних значень U2(θ), L2(θ) таких, що U2(θ) − L2(θ) ≥ d. Рiвняння (23) та (24) ви-
пливають з означень верхньої Φ̂θ та нижньої Φ̌θ зрiзок. Твердження щодо неперервностi
випливає з рiвнянь (23), (24) та неперервностi Φ̂θ(x) i Φ̌θ(x) за двома змiнними.
Лему 1 доведено.
З леми 1 випливає, що запропонована вище конструкцiя щодо послiдовностi поясiв
B+
n = (L+
n , U+
n ], n ≥ 0, де B+
0 = S × (σ+
kmax
, σ+
kmin
], а B+
n = F (B+
n−1), є коректною, в нiй
насправдi має мiсце вкладення B+
n ⊂ B+
n−1 (для n = 1 за лемою, а далi за iндукцiєю), до
того ж межовi контури поясiв задовольняють для всiх θ ∈ S спiввiдношення
U+
n (θ) = Φ̂θ(U+
n−1(θ − ρ)), (25)
L+
n (θ) = Φ̌θ(L+
n−1(θ − ρ)) (26)
i обмеження знизу на товщину
∆+
n (θ) = U+
n (θ)− L+
n (θ) ≥ d. (27)
Монотоннi обмеженi послiдовностi контурiв U+
n ↓, n ≥ 0, та L+
n ↑, n ≥ 0, мають
поточковi межi — контури Ua та La вiдповiдно. Таким чином побудовано межовий пояс
Ba = [La, Ua) ⊂ B+
0 . Використовуючи граничний перехiд у (25) – (27), для всiх θ ∈ S
отримуємо рiвностi
Ua(θ) = Φ̂θ(Ua(θ − ρ)), (28)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
ДИНАМIКА КВАНТОВАНОГО ГОМЕОМОРФIЗМУ КОЛА З КВАЗIПЕРIОДИЧНИМ ЗБУРЕННЯМ 245
La(θ) = Φ̌θ(La(θ − ρ)) (29)
та оцiнку знизу на товщину ∆a(θ) = Ua(θ)− La(θ) ≥ d.
Згiдно з лемою 1, з тотожностей (28), (29) випливає, що F (Ba) = Ba, тобто пояс Ba є
iнварiантним.
Неперервнiсть контурiв Ua та La доводиться аналогiчно тому, як це зроблено щодо
контуру U+ у доведеннi твердження 2, лише замiсть (9) слiд розглянути (28) та (29), а
замiсть (7) — умови нерозтягнення з (20) щодо Φ̂θ та Φ̌θ вiдповiдно.
Послiдовно застосувавши (28), (29), (22) та (20), одержимо
∆a(θ) = Φ̂θ(Ua(θ − ρ))− Φ̌θ(La(θ − ρ)) =
= d + Φ̌θ(Ua(θ − ρ)− d)− Φ̌θ(La(θ − ρ)) ≤ ∆a(θ − ρ) (30)
для всiх θ ∈ S.
Нехай θ∗ ∈ S — точка максимуму (неперервної та обмеженої) функцiї ∆a. Внаслiдок
нерiвностi (30) маємо ∆a(θ∗ −mρ) = max
θ∈S
∆a(θ) для всiх m ≥ 0. Оскiльки множина точок
{θ∗ − mω|m ≥ 0} є щiльною в S, а товщина ∆a = Ua − La поясу Ba, як ми тiльки що
довели, є неперервною, то вона є сталою.
З цього факту випливає, що нерiвнiсть (30) насправдi є рiвнiстю, отже,
Φ̌θ(Ua(θ − ρ)− d)− Φ̌θ(La(θ − ρ)) = (Ua(θ − ρ)− d)− La(θ − ρ) (31)
для кожного θ ∈ S. Якщо ми припустимо, що ∆a > d, то для всiх θ ∈ S матимемо Ua(θ −
−ρ) − d > La(θ − ρ), i з огляду на (19) рiвнiсть (31) може виконуватися лише тодi, коли
обидвi величини Ua(θ − ρ) − d та La(θ − ρ) належать одному й тому ж самому лiнiйному
куску функцiї Φ̌θ з нахилом 1. Внаслiдок неперервностi Φ̌θ, Ua та La по θ цей лiнiйний
кусок є одним i тим самим для всiх θ ∈ S, отже, La(θ) = Φ̌θ(La(θ − ρ)) = La(θ − ρ) +
+ν + f(θ) + kd з одним i тим самим k для всiх θ ∈ S. Зiнтегрувавши останню рiвнiсть по
колу S, отримаємо ν + kd = 0, що суперечить припущенню теореми про нецiлiсть ν/d.
Ця суперечнiсть доводить, що ∆a = d на всьому колi, тобто
Ua(θ) = La(θ) + d, θ ∈ S. (32)
Тепер покажемо, що iнварiантний пояс Ba рiвномiрно поглинає усi траєкторiї з поясу
B+
0 , тобто iснує таке натуральне K+, що кожна траєкторiя з початковою точкою в B+
0 че-
рез не бiльше нiж K+ крокiв потрапить в Ba. Для цього розглянемо динамiку траєкторiй
в B+
0 вiдносно меж Ba. Насамперед зауважимо, що якби жодна з лiнiй розриву S × {σ+
k },
kmin < k < kmax, не перетинала внутрiшнiсть поясу Ba, то з (29) та (19) випливало б, що
La(θ) = La(θ − ρ) + ν + f(θ) + kd з одним i тим самим k для всiх θ ∈ S, неможливiсть
чого ми щойно довели. Отже, iснують kmin < k+ < kmax та замкнений вiдрiзок I+ ⊂ S
ненульової довжини такi, що σ+
k+ ∈
(
La(θ), La(θ)+ d
)
для всiх θ ∈ I+. Згiдно з (11), жодна
з iнших точок розриву, вiдмiнних вiд σ+
k+ , вiдрiзку [La(θ), Ua(θ)] при θ ∈ I+ належати не
може. Позначимо d+ = minθ∈I+{σ+
k+ − La(θ), Ua(θ)− σ+
k+} > 0.
Нехай x ∈ (σ+
kmax
, L(θ)] при деякому θ ∈ S. Послiдовно застосовуючи (32), (21), (29) та
(20), отримуємо Ua(θ + ρ)− Φθ+ρ(x) = La(θ + ρ)− (Φθ+ρ(x)− d) ≥ La(θ + ρ)− Φ̌θ+ρ(x) =
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
246 О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ
= Φ̌θ+ρ(La(θ)) − Φ̌θ+ρ(x) ≥ 0. З iншого боку, з наведених формул випливає Ua(θ + ρ) −
−Φθ+ρ(x) = d+La(θ+ρ)−Φθ+ρ(x) ≤ d+Φ̌θ+ρ(La(θ))−Φ̌θ+ρ(x) ≤ d+La(θ)−x = Ua(θ)−x.
В результатi маємо 0 ≤ Ua(θ + ρ) − Φθ+ρ(x) ≤ Ua(θ) − x, а це означає, що якщо точка
(θ, x) ∈ B+
0 лежить нижче за iнварiантний пояс Ba, то її образ F (θ, x) = (θ + ρ,Φθ+ρ(x))
не може анi вiддалитися вiд Ba, анi перестрибнути через нього вгору.
Нехай тепер x ∈ (σ+
kmax
, L(θ)] для деякого θ ∈ I+. Згiдно з (29) та (19) маємо La(θ +
+ρ) = Φ̌θ+ρ(La(θ)) = σ+
k+ + ν + f(θ + ρ) + k+d− d = Φθ+ρ(σ+
k+)− d. Тому, враховуючи, що
x ≤ L(θ) < σ+
k+ , внаслiдок (14) отримуємо нерiвнiсть La(θ + ρ) − Φθ+ρ(x) = Φθ+ρ(σ+
k+) −
−Φθ+ρ(x)− d ≤ σ+
k+ − x− d = (La(θ)− x)− (Ua(θ)− σ+
k+) ≤ (La(θ)− x)− d+, яка означає,
що якщо точка (θ, x) ∈ B+
0 лежить нижче за iнварiантний пояс Ba, причому θ ∈ I+,
то її образ F (θ, x) = (θ + ρ,Φθ+ρ(x)) або потрапляє до Ba, або наближається до нього
принаймнi на d+ > 0.
Аналогiчнi мiркування доводять, що якщо точка (θ, x) ∈ B+
0 лежить вище за iнварi-
антний пояс Ba, то її образ F (θ, x) не може анi вiддалитися вiд Ba, анi перестрибнути через
нього вниз, а якщо додатково вiдомо, що θ ∈ I+, то цей образ або потрапляє до Ba, або
наближається до нього принаймнi на d+ > 0.
Оскiльки ρ iррацiональне, то iснує таке m+ ≥ 1, що
⋃m+
m=1(I
+ −mρ) = S, отже, серед
кожних послiдовних m+ точок довiльної траєкторiї знайдеться принаймнi одна, коорди-
ната θ якої належить вiдрiзку I+. Тому через m+ крокiв будь-яка траєкторiя в B+
0 або
потрапить до iнварiантного поясу Ba, або наблизиться до нього принаймнi на d+ > 0. От-
же, через K+ = ([(x∗ − x∗)/d+] + 1)m+ крокiв будь-яка траєкторiя з початковою точкою
в B+
0 напевно потрапить до Ba, де i залишиться назавжди. Зокрема, звiдси випливає, що
побудована нами послiдовнiсть поясiв B+
n , n ≥ 0, насправдi є фiнiтною: B+
n = Ba для всiх
n ≥ K+.
Наступна побудова стосується промiжку [x∗, x∗ + 1]. Зауважимо, що обмеження F на
B−
0 = S× [σ−kmin
, σ−kmax
) є iн’єкцiєю, оскiльки Φθ строго зростає на [x∗, x∗ + 1] для кожного
θ ∈ S. Природно означити, виходячи з функцiї Φθ, її розширену обернену функцiю Φ̄θ на
промiжку [Φθ(x∗),Φθ(x∗)+1] (який для кожного θ ∈ S включає в себе [x∗, x∗+1] внаслiдок
обмежень на f(θ)) таким чином:
Φ̄θ(y) = sup{x ∈ [x∗, x∗ + 1] |Φθ(x) ≤ y} = inf{x ∈ [x∗, x∗ + 1] |Φθ(x) ≥ y},
y ∈ [Φθ(x∗),Φθ(x∗) + 1], θ ∈ S
(зрозумiло, що записанi супремум та iнфiмум мають одне й те саме значення внаслiдок
зростання Φθ).
В явному виглядi ця функцiя записується таким чином:
Φ̄θ(y) =
{
σ−k для y ∈ [σ−k + ν + f(θ) + kd− d, σ−k + ν + f(θ) + kd], kmin ≤ k ≤ kmax,
Φ−1
θ (y) для решти y ∈ [Φθ(x∗),Φθ(x∗) + 1].
(33)
Кажучи словами, розширена обернена функцiя Φ̄θ дорiвнює оберненiй функцiї Φ−1
θ на
промiжках, на яких та iснує, а мiж цими промiжками є сталою. Легко бачити, що вираз
Φ̄θ(y) є неперервним за двома змiнними (θ, y), до того ж для кожного фiксованого θ ∈ S
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
ДИНАМIКА КВАНТОВАНОГО ГОМЕОМОРФIЗМУ КОЛА З КВАЗIПЕРIОДИЧНИМ ЗБУРЕННЯМ 247
функцiя Φ̄θ є кусково-лiнiйною, складаючись з кускiв нахилу 1 та 0 почергово, а отже,
задовольняє умови неспадання та нерозтягнення
0 ≤ Φ̄θ(y2)− Φ̄θ(y1) ≤ y2 − y1 для всiх Φθ(x∗) ≤ y1 ≤ y2 ≤ Φθ(x∗) + 1. (34)
Лема 2. Для довiльного поясу B1 = [L1, U1) ⊂ B−
0 , U1−L1 ≥ 0, його прообраз F−1(B1)
також є поясом B2 = [L2, U2) ⊂ B−
0 , U2−L2 ≥ 0. Межi поясу B2 задовольняють рiвнян-
ня
U2(θ) = Φ̄θ+ρ(U1(θ + ρ)), (35)
L2(θ) = Φ̄θ+ρ(L1(θ + ρ)) (36)
для всiх θ ∈ S. Якщо контури L1 та U1 неперервнi, то L2 та U2 також неперервнi.
Доведення. Спочатку покажемо, що F−1(B−
0 ) ⊂ B−
0 . Властивостi (16), (17) разом iз
доведеним в лемi 1 фактом F−1(B+
0 ) ⊂ B+
0 свiдчать про те, що Φθ((−∞, σ+
kmin
] ∪ (σ+
kmax
+
+1,+∞)) ⊂ R\[σ−kmin
, σ−kmax
). З обмежень на збурення f(θ) в умовi теореми випливає,
що промiжок (σ+
kmin
, σ−kmin
) пiд дiєю Φθ зсувається лiворуч або не рухається, а промiжок
[σ−kmax
, σ+
kmax
+1] — праворуч або не рухається, отже, Φθ((σ+
kmin
, σ−kmin
)∪ [σ−kmax
, σ+
kmax
+1]) ⊂
⊂ R\[σ−kmin
, σ−kmax
). Об’єднуючи цi властивостi, одержуємо Φθ(R\[σ−kmin
, σ−kmax
)) ⊂ R\[σ−kmin
,
σ−kmax
). Оскiльки це має мiсце для кожного θ ∈ S, то F ((S×R)\B−
0 ) ⊂ (S×R)\B−
0 , звiдки
F−1(B−
0 ) ⊂ B−
0 .
Легко перевiрити, що Φ−1
θ
(
[y1, y2)
)
= [Φ̄θ(y1), Φ̄θ(y2)) для будь-яких x∗ ≤ y1 ≤ y2 ≤
≤ x∗ + 1 за означенням Φ̄θ. Головне твердження леми випливає з формули
F−1(B1) =
⋃
θ∈S
{θ} × Φ−1
θ+ρ
(
[L1(θ + ρ), U1(θ + ρ))
)
.
Твердження щодо неперервностi випливає з рiвнянь (35), (36) та неперервностi Φ̄θ(y) за
двома змiнними.
Лему 2 доведено.
З леми 2 випливає, що запропонована вище конструкцiя щодо послiдовностi поясiв
B−
n = [L−n , U−
n ), n ≥ 0, де B−
0 = S × [σ−kmin
, σ−kmax
), а B−
n = F−1(B−
n−1), є коректною, в нiй
насправдi має мiсце вкладення B−
n ⊂ B−
n−1 (для n = 1 за лемою, а далi за iндукцiєю), до
того ж межовi контури поясiв задовольняють спiввiдношення
U−
n (θ) = Φ̄θ+ρ(U−
n−1(θ + ρ)), (37)
L−n (θ) = Φ̄θ+ρ(L−n−1(θ + ρ)) (38)
для всiх θ ∈ S (але на вiдмiну вiд (27) додатного обмеження знизу на товщину
∆−
n (θ) = U−
n (θ)− L−n (θ) ≥ 0 (39)
немає, тобто пояси B−
n можуть бути виродженими). В термiнах динамiчної системи сенс
цих поясiв є таким: якщо точка (θ, φ) ∈ B−
0 не належить поясу B−
n , то її образ F (θ, φ) не
належить поясу B−
n−1, n ≥ 1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
248 О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ
Монотоннi обмеженi послiдовностi контурiв U−
n ↓, n ≥ 0, та L−n ↑, n ≥ 0, мають
поточковi межi — контури U− та L− вiдповiдно. Таким чином побудовано межовий пояс
B− = [L−, U−) ⊂ B−
0 . Використовуючи граничний перехiд у (37) – (39), для всiх θ ∈ S
отримуємо рiвностi
U−(θ) = Φ̄θ+ρ(U−(θ + ρ)), (40)
L−(θ) = Φ̄θ+ρ(L−(θ + ρ)) (41)
та нерiвнiсть ∆− = U− − L− ≥ 0.
Згiдно з лемою 2, з тотожностей (40), (41) випливає F−1(B−) = B−.
Неперервнiсть контурiв U− та L− доводиться знову ж таки аналогiчно тому, як це
зроблено щодо контуру U+ у доведеннi твердження 2, лише замiсть (9) слiд розглянути
(40) та (41), а замiсть (7) — умови нерозтягнення з (34) щодо Φ̄θ.
Щодо товщини поясу B− зi спiввiдношень (40), (41) та (34) випливає, що ∆−(θ) =
= Φ̄θ+ρ(U−(θ + ρ))− Φ̄θ+ρ(L−(θ + ρ)) ≤ U−(θ + ρ)− L−(θ + ρ) для всiх θ ∈ S, а отже, ∆−
є сталою на колi; доведення цього аналогiчне доведенню сталостi ∆a. З цього безпосе-
редньо випливає, що
Φ̄θ(U−(θ))− Φ̄θ(L−(θ)) = U−(θ)− L−(θ) (42)
для всiх θ ∈ S. Якщо припустити, що ∆− > 0, то рiвнiсть (42) може виконуватися лише
у випадку, коли точки U−(θ) i L−(θ) належать одному й тому самому лiнiйному кусковi
Φ̄θ з нахилом 1. Оскiльки Φ̄θ, U− та L− неперервнi по θ, цей лiнiйний кусок є одним i
тим самим для всiх θ ∈ S, тому L−(θ − ρ) = L−(θ) − ν − f(θ) − kd з одним i тим самим
k для всiх θ ∈ S. Зiнтегрувавши останню рiвнiсть по колу S, отримаємо ν + kd = 0,
що суперечить припущенню теореми про нецiлiсть ν/d. Ця суперечнiсть доводить, що
∆− = 0 на всьому колi, тобто U− = L−, i пояс B− є повнiстю виродженим (порожньою
множиною). Покладемо Cr = U− = L−, тодi для цього неперервного контуру рiвняння
(40), (41) набирають вигляду
Cr(θ) = Φ̄θ+ρ(Cr(θ + ρ)), θ ∈ S. (43)
Тепер покажемо, що траєкторiї рiвномiрно виштовхуються з поясу B−
0 , тобто iснує
таке натуральне K−, що кожна траєкторiя з початковою точкою в B−
0 через не бiльше
нiж K− крокiв залишить B−
0 назавжди. Для цього розглянемо динамiку траєкторiй в B−
0
вiдносно контуру Cr. Ми щойно показали, що Cr(θ) не може належати одному й тому
самому лiнiйному куску Φ̄θ з нахилом 1 для всiх θ ∈ S. Отже, знайдуться kmin < k− < kmax
та замкнений вiдрiзок I− ⊂ S ненульової довжини такi, що Cr(θ) ∈ (σ−
k− +ν +f(θ)+k−d−
−d, σ−
k− +ν +f(θ)+k−d) для всiх θ ∈ I−. Позначимо d− = minθ∈I+{Cr(θ)−σ−
k−−ν−f(θ)−
−k−d + d, σ−
k− + ν + f(θ) + k−d− Cr(θ)} > 0.
З рiвняння (43) та нерiвностей (34) легко вивести (як i у випадку для Ba), що якщо точ-
ка (θ+ρ, x)∈B−
0 лежить вище (нижче) за контур Cr, то її „майже прообраз” (θ, Φ̄θ+ρ(x))∈
∈ B−
0 не може анi перестрибнути через контур Cr вниз (вгору), анi вiддалитися вiд ньо-
го, а якщо додатково вiдомо, що θ + ρ ∈ I−, то цей майже прообраз або потрапляє
на Cr, або наближається до нього принаймнi на d− > 0. Внаслiдок iррацiональностi
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
ДИНАМIКА КВАНТОВАНОГО ГОМЕОМОРФIЗМУ КОЛА З КВАЗIПЕРIОДИЧНИМ ЗБУРЕННЯМ 249
ρ iснує таке натуральне m−, що серед m− послiдовних точок будь-якої траєкторiї зна-
йдеться принаймнi одна, координата θ якої належить вiдрiзку θ ∈ I−. З нашої побу-
дови випливає, що послiдовнiсть поясiв B−
n є фiнiтною: B−
n = [Cr, Cr) = ∅ для всiх
n ≥ K− = ([(x∗ + 1 − x∗)/d−] + 1)m−. В термiнах вiдображення F це означає, що
F−K−
(B−
0 ) = ∅, отже, через K− крокiв будь-яка траєкторiя з початковою точкою в B−
0
залишить цей пояс назавжди.
Оскiльки Φ̄θ не спадає, то з (37), (38) випливає наступне: якщо точка лежить в B−
0
нижче (вище) за пояс B−
n , то її образ лежить нижче (вище) за пояс B−
n−1, n ≥ 1. З цього
випливає, що кожна точка, що лежить в B−
0 нижче (вище) за контур Cr, через не бiльш
нiж K− крокiв лежатиме нижче (вище) за пояс B−
0 . Враховуючи 1-перiодичнiсть дина-
мiчної системи по x (та властивостi (12), (13), якi не дозволяють точцi перестрибнути
через поглинаючий пояс), робимо висновок, що кожна точка, яка стартувала з поясу
[Cr − 1, Cr), через не бiльш нiж K− крокiв потрапить до множини S×
(
[σ−kmax
− 1, σ+
kmax
] ∪
∪(σ+
kmax
, σ+
kmin
] ∪ (σ+
kmin
, σ−kmin
)
)
. Оскiльки внаслiдок обмежень на f(θ) для кожного θ ∈ S
промiжок [σ−kmax
−1, σ+
kmax
] зсувається функцiєю Φθ праворуч не менш нiж на d, а промiжок
(σ+
kmin
, σ−kmin
) — лiворуч не менш нiж на d, то через не бiльш нiж K0 =
= [max{σ+
kmax
− σ−kmax
+ 1, σ−kmin
− σ+
kmin
}/d] + 1 крокiв будь-яка точка зi згаданої вище
множини потрапить до поясу B+
0 = S × (σ+
kmax
, σ+
kmin
], звiдки в свою чергу через не бiльш
нiж K+ крокiв опиниться всерединi iнварiантного поглинаючого поясу Ba.
Таким чином, твердження теореми щодо рiвномiрного поглинання траєкторiй з поясу
[Cr − 1, Cr) поясом Ba доведено з K = K− + K0 + K+.
Поклавши ξ(θ, x) = x−La(θ)mod d, легко переконатися, що в координатах (θ, ξ) обме-
ження вiдображення F на iнварiантний поглинаючий пояс Ba дiйсно є косим зсувом на
двовимiрному торi S × (dS) вигляду (θ, ξ) 7→ (θ + ρ, ξ + φ(θ)) з неперервною функцiєю
φ : S → (dS), яку можна описати таким чином. Якщо для даного θ ∈ S на iнтервалi
(La(θ), La(θ) + d) лежить якесь σ+
k , kmin < k < kmax (а воно тодi єдине внаслiдок (11)), то
φ(θ) = La(θ) + d− σ+
k (mod d); якщо ж не лежить жодного, то φ(θ) = 0(mod d).
Теорему доведено.
Зауваження 1. Нехай k∗ = [−(ν + fmax)/d], k∗ = −[(ν + fmin)/d] + 1, де fmax =
= maxθ∈S f(θ), fmin = minθ∈S f(θ) (при цьому маємо kmin ≤ k∗ < k∗ ≤ kmax). Неваж-
ко довести наступнi нерiвностi (що є важливими для прикладних застосувань оцiнками
зверху та знизу множини значень координати x у стацiонарному станi системи):
σ+
k∗ < La < Ua < σ+
k∗
, σ−k∗ < Cr < σ−k∗ .
Дiйсно, k∗ та k∗ — вiдповiдно найбiльше та найменше цiлi числа такi, що для всiх θ ∈ S
мають мiсце обмеження f(θ) ∈ [−k∗d + d − ν,−k∗d − ν], тобто ν + f(θ) + k∗d − d ≥ 0,
ν + f(θ) + k∗d ≤ 0, а отже, кожна точка з промiжку [σ−k∗ − 1, σ+
k∗ ] зсувається функцiєю Φθ
праворуч не менш нiж на d, а кожна точка з промiжку (σ+
k∗
, σ−k∗) — лiворуч не менш нiж
на d, з чого випливає, що суцiльнi множини S × [σ−k∗ − 1, σ+
k∗ ] та S × (σ+
k∗
, σ−k∗) не можуть,
згiдно з нашою побудовою, перетинатися анi з iнварiантним поглинаючим поясом Ba, анi
з вiдштовхуючим контуром Cr.
Зауваження 2. Можна показати, що побудованi контури Ua, La та Cr є насправдi єди-
ними неперервними розв’язками функцiональних рiвнянь (28), (29) та (43) вiдповiдно.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
250 О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ
1. Теплiнський О. Ю. Вiдображення зсуву iнтервалiв як об’єднавчий пiдхiд до вивчення динамiки ряду
моделей дискретизованих електронних пристроїв // Доп. НАН України. — 2008. — № 12. — С. 40 – 45.
2. Teplinsky A., Condon E., Feely O. Driven interval shift dynamics in sigma-delta modulators and phase-locked
loops // IEEE Trans. Circ. and Systems. Pt I. — 2005. — 52, № 6. — P. 1224 – 1235.
3. Теплiнський О. Ю. Граничний абсорбуючий пояс для квазiперiодично керованого вiдображення зсуву
вiдрiзкiв // Укр. мат. журн. — 2009. — 61, № 3. — C. 408 – 417.
4. Teplinsky A., Feely O., Rogers A. Phase-jitter dynamics of digital phase-locked loops // IEEE Trans. Circ. and
Systems. Pt I. — 1999. — 46, № 5. — P. 545 – 558.
5. Teplinsky A., Feely O. Phase-jitter dynamics of digital phase-locked loops. Part II // Ibid. — 2000. — 47, № 4.
— P. 458 – 472.
6. Шарковский А. Н., Коляда С. Ф., Сивак А. Г., Федоренко В. В. Динамика одномерных отображений. —
Киев: Наук. думка, 1989. — 216 с.
Одержано 16.02.09
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178403 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:58:26Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Теплінський, О.Ю. 2021-02-19T07:16:41Z 2021-02-19T07:16:41Z 2009 Динаміка квантованого гомеоморфізму кола з квазіперіодичним збуренням / О.Ю. Теплінський // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 2. — С. 235-250. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178403 517.5 Введено понятие квантованного гомеоморфизма окружности — разрывного отображения типа интервального сдвига, которое широко применяется в современной цифровой радиоэлектронике. Для двумерной динамической системы, заданной треугольным отображением — квантованным гомеоморфизмом окружности с квазипериодическим возмущением, — при определенных условиях доказано существование инвариантного поглощающего пояса и отталкивающего контура, исследованы свойства этих структур и получены оценки на их размеры. Для полноты изложения вначале исследованы соответствующие вопросы для трех систем более низких уровней сложности, а именно, истинного гомеоморфизма окружности, истинного гомеоморфизма окружности с квазипериодическим возмущением и квантованного гомеоморфизма окружности без возмущения. We introduce a notion of a quantized circle homeomorphism that is a discontinuous map of the type of an interval translation. It has a broad area of applications in the modern digital electronics. For a twodimensional dynamical system, given by a triangular mapping, which is a quantized homeomorphism of a circle with a quasiperiodic perturbation, we prove, making some assumptions, that there exist an invariant absorbing belt and a repulsive contour, study properties of these structures, and get estimates of their sizes. To make the exposition complete, we first study the corresponding problems for three systems that are less complicated, namely, a proper homeomorphism of a circle, a proper homeomorphism of a circle with quasiperiodic perturbation, and a quantized homeomorphism of a circle with no perturbation. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Динаміка квантованого гомеоморфізму кола з квазіперіодичним збуренням Динамика квантованного гомеоморфизма окружности с квазипериодическим возмущением The dynamics of quantized circle homeomorphism with a quasiperiodic perturbation Article published earlier |
| spellingShingle | Динаміка квантованого гомеоморфізму кола з квазіперіодичним збуренням Теплінський, О.Ю. |
| title | Динаміка квантованого гомеоморфізму кола з квазіперіодичним збуренням |
| title_alt | Динамика квантованного гомеоморфизма окружности с квазипериодическим возмущением The dynamics of quantized circle homeomorphism with a quasiperiodic perturbation |
| title_full | Динаміка квантованого гомеоморфізму кола з квазіперіодичним збуренням |
| title_fullStr | Динаміка квантованого гомеоморфізму кола з квазіперіодичним збуренням |
| title_full_unstemmed | Динаміка квантованого гомеоморфізму кола з квазіперіодичним збуренням |
| title_short | Динаміка квантованого гомеоморфізму кола з квазіперіодичним збуренням |
| title_sort | динаміка квантованого гомеоморфізму кола з квазіперіодичним збуренням |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178403 |
| work_keys_str_mv | AT teplínsʹkiioû dinamíkakvantovanogogomeomorfízmukolazkvazíperíodičnimzburennâm AT teplínsʹkiioû dinamikakvantovannogogomeomorfizmaokružnostiskvaziperiodičeskimvozmuŝeniem AT teplínsʹkiioû thedynamicsofquantizedcirclehomeomorphismwithaquasiperiodicperturbation |