Решение одного уравнения теплопроводности с запаздыванием
Доведено iснування та єдинiсть розв’язку крайової задачi для рiвняння теплопровiдностi iз запiзненням. Для побудови розв’язку використано спецiальну функцiю „запiзнiлого експоненцiала” We prove the existence and uniqueness of a solution of boundary-value problem for a heat conduction equation with...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Дата: | 2009 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178404 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Решение одного уравнения теплопроводности с запаздыванием / Д.Я. Хусаинов, А.Ф. Иванов, И.В. Коварж // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 2. — С. 251-272. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859603144744370176 |
|---|---|
| author | Хусаинов, Д.Я. Иванов, А.Ф. Коварж, И.В. |
| author_facet | Хусаинов, Д.Я. Иванов, А.Ф. Коварж, И.В. |
| citation_txt | Решение одного уравнения теплопроводности с запаздыванием / Д.Я. Хусаинов, А.Ф. Иванов, И.В. Коварж // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 2. — С. 251-272. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Доведено iснування та єдинiсть розв’язку крайової задачi для рiвняння теплопровiдностi iз запiзненням. Для побудови розв’язку використано спецiальну функцiю „запiзнiлого експоненцiала”
We prove the existence and uniqueness of a solution of boundary-value problem for a heat conduction
equation with delay. A special function, the delayed exponent, is used to define solution.
|
| first_indexed | 2025-11-28T01:31:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.929
РЕШЕНИЕ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
Д. Я. Хусаинов, А. Ф. Иванов, И. В. Коварж
Киев. нац. ун-т им. Т. Шевченко
Украина, 01033, Киев, ул. Владимирская, 64
We prove the existence and uniqueness of a solution of boundary-value problem for a heat conduction
equation with delay. A special function, the delayed exponent, is used to define solution.
Доведено iснування та єдинiсть розв’язку крайової задачi для рiвняння теплопровiдностi iз за-
пiзненням. Для побудови розв’язку використано спецiальну функцiю „запiзнiлого експоненцiала”.
Введение. В последнее время возрос интерес к исследованиям дифференциальных урав-
нений с распределенными параметрами, содержащими запаздывание. Уравнения пара-
болического типа с запаздывающим аргументом рассматриваются при анализе динами-
ки численности популяции в экологических системах с неоднородной внешней средой,
динамики численности рабочей силы с учетом миграции, динамики генераторов с за-
паздывающей обратной связью и др. [1, 2]. Следует отметить, что дифференциальные
уравнения с сосредоточенными параметрами различного типа с последействием изуче-
ны достаточно полно [3 – 6]. В то же время работ по исследованию уравнений в частных
производных с запаздыванием не так много [7].
1. Решение одномерного уравнения теплопроводности методом Фурье. Рассмотрим
первую краевую задачу для уравнения теплопроводности
ut(x, t) = a2uxx(x, t) + f(x, t).
Ищется классическое решение первой краевой задачи, т. е. функция u(x, t), определенная
при 0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0, дважды непрерывно дифференцируемая по x и непрерывно диф-
ференцируемая по t, удовлетворяющая начальным u(x, 0) = ϕ(x), 0 ≤ x ≤ l, и краевым
u(0, t) = µ1(t), u(l, t) = µ2(t), t ≥ 0, условиям. Для нахождения решения часто использу-
ют метод разделения переменных (метод Фурье). Решение ищется в виде суммы
u(x, t) = u1(x, t) + u2(x, t) + u3(x, t),
где u1(x, t) — решение однородного уравнения с нулевыми краевыми u1(0, t) ≡ 0, u1(l, t) ≡
≡ 0, t ≥ 0, и ненулевым начальным u1(x, 0) = Φ(x), Φ(x) = ϕ(x)−µ1(0)− x
l
[µ2(0)−µ1(0)],
0 ≤ x ≤ l, условиями; u2(x, t) — решение неоднородного уравнения с правой частью
F (x, t) = f(x, t) − µ̇1(t) −
x
l
[µ̇2(t)− µ̇1(t)] с нулевыми краевыми u2(0, t) ≡ 0, u2(l, t) ≡ 0,
t ≥ 0, и нулевым начальным u2(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ l, условиями; u3(x, t) имеет вид
u3(x, t) = µ1(t) +
x
l
[µ2(t)− µ1(t)], 0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0.
c© Д. Я. Хусаинов, А. Ф. Иванов, И. В. Коварж, 2009
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2 251
252 Д. Я. ХУСАИНОВ, А. Ф. ИВАНОВ, И. В. КОВАРЖ
Решение u1(x, t) однородного уравнения ищется в виде произведения двух функций
u1(x, t) = X(x) T (t).
В результате разделения переменных получают задачу на собственные числа и реше-
ние однородного уравнения представляется в виде ряда по собственным функциям задачи
Штурма – Лиувилля. Эти же собственные функции используются для получения решения
второй краевой задачи.
2. Решение одномерного уравнения теплопроводности с запаздыванием. Рассмотрим
первую краевую задачу для одномерного уравнения теплопроводности с запаздыванием
ut(x, t) = a2
1uxx(x, t) + a2
2uxx(x, t− τ) + c1u(x, t) + c2u(x, t− τ) + f(x, t), (1)
определенного при 0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0. Начальное условие имеет вид
u(x, t) = ϕ(x, t), 0 ≤ x ≤ l, −τ ≤ t ≤ 0, (2)
а краевые условия таковы:
u(0, t) = µ1(t), u(l, t) = µ2(t), t ≥ −τ, (3)
причем имеет место условие „согласования краевых и начального условий”
ϕ(0, t) = µ1(t), ϕ(l, t) = µ2(t), −τ ≤ t ≤ 0.
Решение ищется в виде суммы
u(x, t) = u1(x, t) + u2(x, t) + u3(x, t).
Здесь функции u1(x, t), u2(x, t), u3(x, t) определяются следующим образом:
u1(x, t) — решение однородного уравнения
∂u1(x, t)
∂t
= a2
1
∂2u1(x, t)
∂x2
+ a2
2
∂2u1(x, t− τ)
∂x2
+ c1u1(x, t) + c2u1(x, t− τ),
с нулевыми краевыми u1(0, t) = 0, u1(l, t) = 0, t ≥ −τ, и ненулевым начальным u1(x, t) =
= Φ(x, t), Φ(x, t) = ϕ(x, t)− µ1(t)−
x
l
[µ2(t)− µ1(t)], 0 ≤ x ≤ l, −τ ≤ t ≤ 0, условиями;
u2(x, t) — решение неоднородного уравнения
∂u2(x, t)
∂t
= a2
1
∂2u2(x, t)
∂x2
+ a2
2
∂2u2(x, t− τ)
∂x2
+ c1u2(x, t) + c2u2(x, t− τ) + F (x, t),
F (x, t) = f(x, t)− d
dt
{
µ1(t) +
x
l
[µ2(t)− µ1(t)]
}
+ c1
{
µ1(t) +
x
l
[µ2(t)− µ1(t)]
}
+
+ c2
{
µ1(t− τ) +
x
l
[µ2(t− τ)− µ1(t− τ)]
}
, 0 ≤ x ≤ l,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
РЕШЕНИЕ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 253
с нулевыми краевыми u2(0, t) = 0, u2(l, t) = 0, t ≥ −τ, и нулевым начальным u2(x, t) ≡ 0,
0 ≤ x ≤ l, −τ ≤ t ≤ 0, условиями;
u3(x, t) = µ1(t) +
x
l
[µ2(t)− µ1(t)].
2.1. Рассмотрим однородное уравнение с запаздывающим аргументом
∂u1(x, t)
∂t
= a2
1
∂2u1(x, t)
∂x2
+ a2
2
∂2u1(x, t− τ)
∂x2
+ c1u1(x, t) + c2u1(x, t− τ) (4)
с нулевыми краевыми u1(0, t) = 0, u1(l, t) = 0, t ≥ −τ, и ненулевым начальным u1(x, t) =
= Φ(x, t), 0 ≤ x ≤ l, −τ ≤ t ≤ 0, условиями. Его решение будем искать методом Фурье,
т. е. функцию u1(x, t) ищем в виде произведения
u1(x, t) = X(x) T (t).
После подстановки в однородное уравнение получаем
X(x) T ′(t) = a2
1X
′′(x) T (t) + a2
2X
′′(x)T (t− τ) + c1X(x) T (t) + c2X(x) T (t− τ).
Делим переменные
X ′′(x)
X(x)
=
T ′(t)− c1T (t)− c2T (t− τ)
a2
1T (t) + a2
2(t− τ)
= −λ2.
Тогда уравнение расщепляется на два:
X ′′(x) + λ2X(x) = 0, T ′(t) +
(
λ2a2
1 − c1
)
T (t) +
(
λ2a2
2 − c2
)
T (t− τ) = 0. (5)
Поскольку граничные условия нулевые, для первого уравнения получаем нулевые крае-
вые условия
X(0) = 0, X(l) = 0.
Ненулевым решение будет только при
λ = λn =
π n
l
, n = 1, 2, 3, . . . ,
и каждому собственному значению λn =
n π
l
соответствует
Xn(x) = An sin
π n
l
x, n = 1, 2, 3, . . . ,
где An — произвольная постоянная. Подставляя полученные значения λn =
π n
l
во вто-
рое уравнение (5), получаем дифференциальные уравнения с запаздывающим аргумен-
том вида
Ṫn(t) =
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
Tn(t) +
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]
Tn(t− τ), n = 1, 2, 3, . . . . (6)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
254 Д. Я. ХУСАИНОВ, А. Ф. ИВАНОВ, И. В. КОВАРЖ
Определим начальные условия для каждого из уравнений (6) следующим образом.
Разложим функцию Φ(x, t), 0 ≤ x ≤ l, −τ ≤ t ≤ 0, в ряд по собственным функциям
первого уравнения, т. е. представим в виде
Φ(x, t) =
∞∑
k=1
Φn(t) sin
π n
l
x, Φn(t) =
2
l
l∫
0
Φ(ξ, t) sin
π n
l
ξ dξ.
Подставив значение Φ(x, t) и проинтегрировав, получим начальные условия для каждого
из уравнений (6):
Tn(t) = Φn(t), n = 1, 2, 3, . . . , −τ ≤ t ≤ 0,
Φn(t) =
2
l
l∫
0
ϕ(ξ, t) sin
π n
l
ξ dξ +
2
π n
[(−1)nµ2(t)− µ1(t)] .
Найдем решение задачи Коши для каждого из уравнений (6) в аналитическом виде.
Предварительно приведем ряд вспомогательных утверждений. Как показано в работе
[8], решение систем линейных однородных дифференциальных уравнений с чистым за-
паздыванием
ẋ(t) = bx(t− τ), t ≥ 0, x(t) ≡ ϕ(t), −τ ≤ t ≤ 0,
имеет вид
x(t) = ebt
τ ϕ(−τ) +
0∫
−τ
eb(t−τ−s)
τ ϕ′(s) ds,
где функция ebt
τ представляет собой на промежутке (k−1)τ ≤ t < kτ матричный полином
k-го порядка, „склеенный” в узлах t = kτ. Он был назван „запаздывающим” экспонен-
циалом.
Рассмотрим скалярное дифференциальное уравнение с запаздыванием
ẋ(t) = ax(t) + bx(t− τ), t ≥ 0, τ > 0, x(t) ≡ ϕ(t), −τ ≤ t ≤ 0, (7)
в котором ϕ(t) — произвольная, непрерывно дифференцируемая функция, определяю-
щая начальное условие.
Определение 1. Запаздывающим экспоненциалом ebt
τ назовем функцию
ebt
τ =
0, −∞ < t < −τ,
1, −τ ≤ t < 0,
1 + b
t
1!
, 0 ≤ t < τ,
1 + b
t
1!
+ b2 (t− τ)2
2!
, τ ≤ t < 2τ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 + b
t
1!
+ . . . + bk [t− (k − 1)τ ]k
k!
, (k − 1)τ ≤ t < kτ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(8)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
РЕШЕНИЕ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 255
В работе [8] доказано, что функция ebt
τ является решением линейного однородного
уравнения с чистым запаздыванием
ẋ(t) = bx(t− τ), t ≥ 0,
удовлетворяющим единичному начальному условию x(t) ≡ 1, −τ ≤ t ≤ 0.
Покажем, что решение задачи Коши для уравнения с запаздыванием (7) также может
быть записано в интегральном виде с функцией аналогичного вида.
Лемма 1. Функция
x0(t) = eateb1
τ , b1 = e−aτ b, t ≥ 0, (9)
где eb1t
τ — запаздывающий экспоненциал, определенный в (8), является решением урав-
нения (7), удовлетворяющим начальному условию
x0(t) = eat, −τ ≤ t ≤ 0. (10)
Доказательство. Выполнение для функции x0(t) условия (10) следует из определений
для экспоненциалов eat и eb1t
τ . Покажем, что при t ≥ 0 функция x0(t) является решением
уравнения (7). Продифференцировав (9), получим
d
dt
(
eat eb1t
τ
)
= a
(
eat eb1t
τ
)
+ eat b1 eb1(t−τ)
τ = a
(
eat eb1t
τ
)
+ eat e−aτ b eb1(t−τ)
τ =
= a
(
eat eb1t
τ
)
+ b
(
ea(t−τ) e(t−τ)
τ
)
.
Учитывая обозначение (9), имеем
d
dt
x0(t) = ax0(t) + bx0(t− τ),
т. е. получаем утверждение леммы 1.
Теорема 1. Решение x(t) уравнения (7), удовлетворяющее начальному условию x(t) ≡
≡ ϕ(t), −τ ≤ t ≤ 0, имеет вид
x(t) = ea(t+τ) eb1t
τ ϕ(−τ) +
0∫
−τ
ea(t−s)e
b1(t−τ−s)
−τ
[
ϕ′(s)− aϕ(s)
]
ds. (11)
Доказательство. Решение уравнения (7), удовлетворяющее начальному условию x(t) ≡
≡ ϕ(t), −τ ≤ t ≤ 0, будем искать в виде
x(t) = x0(t)c +
0∫
−τ
x0(t− τ − s) y(s) ds. (12)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
256 Д. Я. ХУСАИНОВ, А. Ф. ИВАНОВ, И. В. КОВАРЖ
Здесь c — неизвестная постоянная, y(t) — неизвестная непрерывно дифференцируемая
функция, x0(t) определена в (9). Поскольку, как следует из леммы 1, функция x0(t) яв-
ляется решением уравнения (7), при произвольных c и y(t) выражение (12) также будет
решением уравнения (7). Выберем c и y(t) таким образом, чтобы выполнялись началь-
ные условия, т. е. x(t) ≡ ϕ(t), −τ ≤ t ≤ 0, или с учетом обозначений (12), при −τ ≤ t ≤ 0
выполнялось
x0(t) c +
0∫
−τ
x0(t− τ − s) y(s) ds ≡ ϕ(t).
Положим t = −τ. Как следует из определения запаздывающего экспоненциала,
x0(−τ) = e−aτ , x0(−2τ − s) = 0, если −τ < s ≤ 0, и x0(−2τ − s) = e−aτ , если s = −τ.
Поэтому ϕ(−τ) = e−aτ c, откуда находим c = eaτϕ(−τ), и зависимость (12) принимает
вид
x(t) = ea(t+τ)eb1t
τ ϕ(−τ) +
0∫
−τ
ea(t−τ−s) eb1(t−τ−s)
τ y(s) ds.
Разобьем интеграл на промежутке −τ ≤ t ≤ 0 на два. В результате получим
ϕ(t) = ea(t+τ)ϕ(−τ) +
t∫
−τ
ea(t−τ−s) eb1(t−τ−s)
τ y(s) ds +
0∫
t
ea(t−τ−s) eb1(t−τ−s)
τ y(s) ds.
В первом интеграле −τ ≤ s ≤ t, поэтому −τ ≤ t − τ − s ≤ t и запаздывающий
экспоненциал равен
eb1(t−τ−s)
τ ≡ 1, −τ ≤ s ≤ t.
Во втором интеграле t ≤ s ≤ 0, поэтому t − τ ≤ t − τ − s ≤ −τ и запаздывающий
экспоненциал равен
eb1(t−τ−s)
τ = 0, если t < s ≤ 0, и eb1(t−τ−s)
τ = 1, если s = t.
Таким образом на промежутке −τ ≤ t ≤ 0 получаем
ea(t+τ)ϕ(−τ) +
t∫
−τ
ea(t−τ−s) y(s) ds = ϕ(t). (13)
Дифференцируя зависимость (13), имеем
aea(t+τ)ϕ(−τ) + a
t∫
−τ
ea(t−τ−s) y(s) ds + e−aτ y(t) = ϕ′(t). (14)
Решая систему уравнений (13), (14), находим
y(t) = eaτ
[
ϕ′(t)− aϕ(t)
]
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
РЕШЕНИЕ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 257
Подставляя это выражение в (12), получаем утверждение теоремы 1.
Замечание 1. Зависимость (11) можно записать в виде
x(t) = eaτ
x0(t)ϕ(−τ) +
0∫
−τ
x0(t− τ − s)
[
ϕ′(s)− aϕ(s)
]
ds
.
Замечание 2. Если a = 0, т. е. уравнение (7) является уравнением с чистым запаздыва-
нием, то получаем результаты, приведенные в [7]:
x(t) = ebt
τ ϕ(−τ) +
0∫
−τ
eb(t−τ−s)
τ ϕ′(s) ds.
Вернемся к дифференциальным уравнениям (6) с соответствующими начальными усло-
виями
Ṫn(t) =
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
Tn(t) +
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]
Tn(t− τ),
Tn(t) = Φn(t), −τ ≤ t ≤ 0, n = 1, 2, 3, . . . .
Введем обозначение
Dn =
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]
e
−
h
c1−(π n
l
a1)2
i
τ
.
Как следует из зависимости (11), решения задачи Коши для каждого из уравнений (6)
имеют вид
Tn(t) = e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t+τ)
eDnt
τ Φn(−τ)+
+
0∫
−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ
[
Φ′n(s)−
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
Φn(s)
]
ds. (15)
Отсюда решение первой краевой задачи для уравнения (4)
u1(x, t) =
∞∑
n=1
sin
π n
l
x
{
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t+τ)
eDnt
τ Φn(−τ) +
+
0∫
−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ
[
Φ′n(s)−
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
Φn(s)
]
ds
}
,
(16)
Φn(t) =
2
l
l∫
0
ϕ(ξ, t) sin
π n
l
ξ dξ +
2
π n
[(−1)nµ2(t)− µ1(t)] .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
258 Д. Я. ХУСАИНОВ, А. Ф. ИВАНОВ, И. В. КОВАРЖ
2.2. Рассмотрим неоднородное уравнение
∂u2(x, t)
∂t
= a2
1
∂2u2(x, t)
∂x2
+ a2
2
∂2u2(x, t− τ)
∂x2
+ c1u2(x, t) + c2u2(x, t− τ) + F (x, t) (17)
с нулевыми краевыми u2(0, t) = 0, u2(l, t) = 0, t ≥ −τ, и нулевым начальным u2(x, t) ≡
≡ 0, 0 ≤ x ≤ l,−τ ≤ t ≤ 0, условиями. Решение ищем в виде ряда Фурье по собственным
функциям sin
π n
l
x, n = 1, 2, . . . :
u2(x, t) =
∞∑
n=1
u2n(t) sin
π n
l
x, n = 1, 2, . . . ,
считая при этом t параметром. Представим функцию F (x, t) также в виде ряда
F (x, t) =
∞∑
n=1
Fn(t) sin
π n
l
x, Fn(t) =
2
l
l∫
0
F (s, t) sin
π n
l
ξ dξ.
Поскольку
F (x, t) = f(x, t)− d
dt
{
µ1(t) +
x
l
[µ2(t)− µ1(t)]
}
+ c1
{
µ1(t) +
x
l
[µ2(t)− µ1(t)]
}
+
+ c2
{
µ1(t− τ) +
x
l
[µ2(t− τ)− µ1(t− τ)]
}
,
взяв интегралы, получим
Fn(t) =
2
l
l∫
0
f(ξ, t) sin
π n
l
ξ dξ +
2
π n
d
dt
[(−1)nµ2(t)− µ1(t)]−
− 2
π n
c1 [(−1)nµ2(t)− µ1(t)]−
2
π n
c2 [(−1)nµ2(t− τ)− µ1(t− τ)] , t ≥ 0.
Тогда каждая из функций u2n(t), n = 1, 2, . . . , является решением соответствующего
уравнения
u̇2n(t) =
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
u2n(t) +
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]
u2n(t− τ) + Fn(t) (18)
с нулевым начальным условием u2n(t) ≡ 0, −τ ≤ t ≤ 0.
Вновь приведем некоторые вспомогательные результаты. Рассмотрим задачу Коши
для неоднородного уравнения с запаздыванием
ẋ(t) = ax(t) + bx(t− τ) + f(t), t ≥ 0, τ > 0, (19)
с нулевым начальным условием.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
РЕШЕНИЕ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 259
Теорема 2. Решение x(t) неоднородного уравнения (19), удовлетворяющее нулевым
начальным условиям, имеет вид
x(t) =
t∫
0
ea(t−s) eb1(t−τ−s)
τ f(s) ds, t ≥ 0, b1 = e−aτ b. (20)
Доказательство. Поскольку x0(t) — решение однородного уравнения (7), используя
метод вариации произвольной постоянной и учитывая вид функции x0(t), решение x(t)
неоднородного уравнения (19) будем искать в виде
x(t) =
t∫
0
ea(t−τ−s) eb1(t−τ−s)
τ c(s) ds, (21)
где c(s), 0 ≤ s ≤ t, — неизвестная функция.
Продифференцировав выражение (21), получим
d
dt
x(t) = ea(t−τ−s) eb1(t−τ−s)
τ c(s)
∣∣∣
s=t
+
t∫
0
[
aea(t−τ−s) eb1(t−τ−s)
τ + ea(t−τ−s) b1 eb1(t−2τ−s)
τ
]
c(s)ds.
Подставив зависимость (21) и полученное выражение производной в уравнение (19), за-
пишем
e−aτc(t) +
t∫
0
[
aea(t−τ−s) eb1(t−τ−s)
τ + b ea(t−2τ−s) eb1(t−2τ−s)
τ
]
c(s) ds =
= a
t∫
0
ea(t−τ−s) eb1(t−τ−s)
τ c(s) ds
+ b
t−τ∫
0
ea(t−2τ−s) eb1(t−2τ−s)
τ c(s) ds
+ f(t),
откуда
e−aτc(t) +
t∫
t−τ
bea(t−2τ−s) eb1(t−2τ−s)
τ c(s) ds = f(t).
А поскольку e
b1(t−2τ−s)
τ = 0 при t − τ < s ≤ t и e
b1(t−2τ−s)
τ = 1 при s = t − τ, имеем
e−aτ c(t) = f(t) и c(t) = eaτf(t). Отсюда следует зависимость (20).
Использовав полученный результат, запишем решение задачи Коши с нулевым на-
чальным условием для уравнений (18) в виде
u2n(t) =
t∫
0
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ Fn(s) ds, Dn =
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]
e
−
h
c1−(π n
l
a1)2
i
τ
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
260 Д. Я. ХУСАИНОВ, А. Ф. ИВАНОВ, И. В. КОВАРЖ
Решение неоднородного уравнения теплопроводности с запаздывающим аргументом (17)
с нулевыми краевыми и начальным условиями имеет вид
u2(x, t) =
∞∑
n=1
t∫
0
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ Fn(s) ds
sin
π n
l
x,
Fn(t) =
2
l
l∫
0
f(ξ, t) sin
π n
l
ξ dξ +
2
π n
d
dt
[(−1)nµ2(t)− µ1(t)]−
− 2
π n
c1 [(−1)nµ2(t)− µ1(t)]−
2
π n
c2 [(−1)nµ2(t− τ)− µ1(t− τ)] , t ≥ 0.
Обьединяя все полученные зависимости, решение краевой задачи одномерного неодно-
родного уравнения теплопроводности с запаздыванием записываем в виде
u(x, t) =
∞∑
n=1
sin
π n
l
x
{
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t+τ)
eDnt
τ Φn(−τ) +
0∫
−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ ×
×
[
Φ′n(s)−
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
Φn(s)
]
ds
}
+
+
∞∑
n=1
t∫
0
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ Fn(s) ds
sin
π n
l
x + µ1(t) +
x
l
[µ2(t)− µ1(t)] , (22)
где
Fn(t) =
2
l
l∫
0
f(ξ, t) sin
π n
l
ξ dξ +
2
π n
d
dt
[(−1)nµ2(t)− µ1(t)]−
− 2
π n
c1 [(−1)nµ2(t)− µ1(t)]−
2
π n
c2 [(−1)nµ2(t− τ)− µ1(t− τ)] ,
(23)
Φn(t) =
2
l
l∫
0
ϕ(ξ, t) sin
π n
l
ξ dξ +
2
π n
[(−1)nµ2(t)− µ1(t)] ,
Dn =
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
e
−
h
c1−(π n
l
a1)2
i
τ
.
Решение дифференциального уравнения с запаздыванием (17) представлено в виде фор-
мального ряда Фурье.
Сформулируем следующую теорему о сходимости решений краевой задачи (1) – (3).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
РЕШЕНИЕ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 261
Теорема 3. Пусть функции F (x, t) Φ(x, t) таковы, что коэффициенты Фурье Fn(t),
Φn(t) и Φ′n(t) удовлетворяют соотношениям
lim
n→∞
n2(k−2)
[
Φ′n(s) +
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
Φn(s)
]
e−(π n
l
a1)2
(t∗−s) = 0,
lim
n→∞
n2(k−1) |Fn(s)| e−(π n
l
a1)2
(t∗+τ) = 0, −τ ≤ s ≤ 0, (k − 1)τ ≤ t∗ < kτ.
Тогда функция u(x, t), представленная рядом (22), имеет непрерывную производную по
t, непрерывную производную второго порядка по x и является решением уравнения (1),
удовлетворяющим начальному (2) и краевым (3) условиям. При этом возможно почлен-
ное дифференцирование ряда по x (два раза) и по t (один раз), и полученные ряды схо-
дятся абсолютно и равномерно при 0 ≤ x ≤ l, −τ ≤ t.
Доказательство. Запишем ряд (22) в виде суммы трех рядов:
u(x, t) = S1(x, t) + S2(x, t) + S3(x, t) + µ1(t) +
x
l
[µ2(t)− µ1(t)],
где
S1(x, t) =
∞∑
n=1
An(t) sin
π n
l
x, S2(x, t) =
∞∑
n=1
Bn(t) sin
π n
l
x, S3(x, t) =
∞∑
n=1
Cn(t) sin
π n
l
x,
An(t) = e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t+τ)
eDnt
τ Φn(−τ), Cn(t) =
t∫
0
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ Fn(s) ds,
Bn(t) =
0∫
−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ
[
Φ′n(s)−
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
Φn(s)
]
ds.
1. Рассмотрим An(t), n = 1, 2, . . . , — коэффициенты первого ряда S1(x, t). Для произ-
вольного фиксированного момента времени t∗ : (k − 1)τ ≤ t∗ < kτ получаем
An(t∗) = e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t∗+τ)
eDnt∗
τ Φn(−τ) =
= e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t∗+τ)
{
1 + Dn
t∗
1!
+ D2
n
(t∗ − τ)2
2!
+ . . . + Dk
n
[t∗ − (k − 1)τ ]k
k!
}
Φn(−τ).
После подстановки значения Dn запишем
An(t∗) = e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t∗+τ)
{
1 +
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]
e
−
h
c1−(π n
l
a1)2
i
τ t∗
1!
+
+
[[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]
e
−
h
c1−(π n
l
a1)2
i
τ
]2 (t∗ − τ)2
2!
+ . . .
. . . +
[[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]
e
−
h
c1−(π n
l
a1)2
i
τ
]k [t∗ − (k − 1)τ ]k
k!
}
Φn(−τ),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
262 Д. Я. ХУСАИНОВ, А. Ф. ИВАНОВ, И. В. КОВАРЖ
или
An(t∗) =
{
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t∗+τ) +
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
t∗ t∗
1!
+
+
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]2
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t∗−τ) (t∗ − τ)2
2!
+ . . .
. . . +
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]k
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
[t∗−(k−1)τ ] [t∗ − (k − 1)τ ]k
k!
}
Φn(−τ).
Поскольку, по условию, (k − 1)τ ≤ t∗ < kτ, при выполнении неравенств
c1 −
(π n
l
a1
)2
< 0, c2 −
(π n
l
)2
< −1
или при выполнении более „сильного” неравенства
n >
l
π
max
{√
|c1|
|a1|
,
√
|1 + c2|
|a2|
}
будут выполняться соотношения
|An(t∗)| ≤ |Φn(−τ)|e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
[t∗−(k−1)τ ]
∣∣∣∣{1 +
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]
t∗
1!
+
+
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]2 (t∗ − τ)2
2!
+ . . . +
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]k [t∗ − (k − 1)τ ]k
k!
}∣∣∣∣∣ ≤
≤ |Φn(−τ)|e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
[t∗−(k−1)τ ]
∣∣∣∣∣
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]k
∣∣∣∣∣×
×
∣∣∣∣∣1 +
t∗
1!
+
(t∗ − τ)2
2!
+ . . . +
[t∗ − (k − 1)τ ]k
k!
∣∣∣∣∣
и найдется непрерывная функция N1(t∗), при которой
|An(t∗)| ≤ N1(t∗)
(π n
l
a2
)2k
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
[t∗−(k−1)τ ] |Φn(−τ)| .
Таким образом, если для момента времени t∗, (k − 1)τ ≤ t∗ < kτ,
lim
n→∞
n2ke−(π n
l
a1)2
[t∗−(k−1)τ ] Φn(−τ) = 0,
то ряд
S1(x, t∗) =
∞∑
n=1
An(t∗) sin
π n
l
x
сходится равномерно и абсолютно.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
РЕШЕНИЕ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 263
2. Рассмотрим Bn(t), n = 1, 2, . . . , — коэффициенты второго ряда S2(x, t). Для фикси-
рованного момента времени t∗, (k − 1)τ ≤ t∗ < kτ, выполним замену t∗ − τ − s = ξ и
разобьем интеграл на сумму двух интегралов:
Bn(t∗) =
(k−1)τ∫
t∗−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(ξ+τ)
eDnξ
τ
[
Φ′n(t− τ − ξ)−
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
Φn(t− τ − ξ)
]
dξ+
+
t∗∫
(k−1)τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(ξ+τ)
eDnξ
τ
[
Φ′n(t− τ − ξ)−
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
Φn(t− τ − ξ)
]
dξ.
Используя представление запаздывающего экспоненциала eDnξ
τ на каждом из промежут-
ков, получаем следующее:
Bn(t∗) =
(k−1)τ∫
t∗−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(ξ+τ)
[
Φ′n(t∗ − τ − ξ)−
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
Φn(t∗ − τ − ξ)
]
×
×
{
1 + Dn
ξ
1!
+ D2
n
(ξ − τ)2
2!
+ . . . + Dk−1
n
[ξ − (k − 2)τ ]k−1
(k − 1)!
}
dξ+
+
t∗∫
(k−1)τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(ξ+τ)
[
Φ′n(t∗ − τ − ξ)−
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
Φn(t∗ − τ − ξ)
]
×
×
{
1 + Dn
ξ
1!
+ D2
n
(ξ − τ)2
2!
+ . . . + Dk
n
[ξ − (k − 1)τ ]k
k!
}
dξ.
Подставив значение Dn, получим
Bn(t∗) =
(k−1)τ∫
t∗−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(ξ+τ)
[
Φ′n(t∗ − τ − ξ)−
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
Φn(t∗ − τ − ξ)
]
×
×
{
1 +
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]
e
−
h
c1−(π n
l
a1)2
i
τ ξ
1!
+
+
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]2
e
−2
h
c1−(π n
l
a1)2
i
τ (ξ − τ)2
2!
+ . . .
. . . +
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]k−1
e
−(k−1)
h
c1−(π n
l
a1)2
i
τ [ξ − (k − 2)τ ]k−1
(k − 1)!
}
dξ+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
264 Д. Я. ХУСАИНОВ, А. Ф. ИВАНОВ, И. В. КОВАРЖ
+
t∗∫
(k−1)τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(ξ+τ)
[
Φ′n(t∗ − τ − ξ)−
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
Φn(t∗ − τ − ξ)
]
×
×
{
1 +
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]
e
−
h
c1−(π n
l
a1)2
i
τ ξ
1!
+
+
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]2
e
−2
h
c1−(π n
l
a1)2
i
τ (ξ − τ)2
2!
+ . . .
. . . +
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]k
e
−k
h
c1−(π n
l
a1)2
i
τ [ξ − (k − 1)τ ]k
k!
}
dξ,
или
Bn(t∗) =
(k−1)τ∫
t∗−τ
[
Φ′n(t∗ − τ − ξ)−
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
Φn(t∗ − τ − ξ)
]
×
×
{
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(ξ+τ) +
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
ξ ξ
1!
+
+
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]2
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(ξ−τ) (ξ − τ)2
2!
+ . . .
. . . +
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]k−1
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
[ξ−(k−2)τ ] [ξ − (k − 2)τ ]k−1
(k − 1)!
}
dξ+
+
t∗∫
(k−1)τ
[
Φ′n(t∗ − τ − ξ)−
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
Φn(t∗ − τ − ξ)
]
×
×
{
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(ξ+τ) +
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
ξ ξ
1!
+
+
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]2
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(ξ−τ) (ξ − τ)2
2!
+ . . .
. . . +
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]k
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
[ξ−(k−1)τ ] [ξ − (k − 1)τ ]k
k!
}
dξ.
Как и в предыдущем случае, так как t∗ ≥ (k − 1)τ, при достаточно большом n выполня-
ется неравенство
n >
l
π
max
{√
|c1|
|a1|
,
√
|1 + c2|
|a2|
}
.
Поэтому, как следует из свойств определенных интегралов и второй теоремы о среднем,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
РЕШЕНИЕ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 265
существуют s1, s2, t∗ −τ ≤ s1 ≤ (k − 1)τ, (k − 1)τ ≤ s2 ≤ t∗, такие, что
|Bn(t∗)| ≤
≤
∣∣∣∣∣
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]k−1
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣(kτ − t∗)
[
Φ′n(t∗ − τ − s1)−
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
Φn(t∗ − τ − s1)
]
×
×e
−
h
(π n
l
a1)2−c1
i
[s1−(k−2)τ ]
{
1 +
s1
1!
+
(s1 − τ)2
2!
+ . . . +
[s1 − (k − 2)τ ]k−1
(k − 1)!
}∣∣∣∣ +
+
∣∣∣∣∣
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]k
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣[t∗ − (k − 1)τ ]
[
Φ′n(t∗ − τ − s2)−
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
Φn(t∗ − τ − s2)
]
×
× e
−
h
(π n
l
a1)2−c1
i
[s2−(k−1)τ ]
{
1 +
s2
1!
+
(s2 − τ)2
2!
+ . . . +
[s2 − (k − 1)τ ]k
k!
}∣∣∣∣ ,
и найдутся непрерывные функции N1
2 (t∗, s), N2
2 (t∗, s), ограниченные при (k − 1)τ ≤ t∗ <
< kτ, −τ ≤ t ≤ 0, такие, что
|Bn(t∗)| ≤
≤
∣∣∣∣∣
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]k−1
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
[
Φ′n(t∗ − τ − s1)−
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
Φn(t∗ − τ − s1)
]
×
× e
−
h
(π n
l
a1)2−c1
i
[s1−(k−2)τ ]
∣∣∣∣∣ ∣∣N1
2 (t∗, s1)
∣∣ +
+
∣∣∣∣∣
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]k
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
[
Φ′n(t∗ − τ − s2)−
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
Φn(t∗ − τ − s2)
]
×
× e
−
h
(π n
l
a1)2−c1
i
[s2−(k−1)τ ]
∣∣∣∣∣ ∣∣N2
2 (t∗, s2)
∣∣ .
Пусть функции Φ′n(s), Φn(s) „не очень сильно растут” на промежутке −τ ≤ s ≤ 0,
т. е. для момента времени t∗, (k − 1)τ ≤ t∗ < kτ, и для произвольного s, −τ ≤ s ≤ 0,
выполняется
lim
n→∞
n2(k−2)
[
Φ′n(s) +
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
Φn(s)
]
e−(π n
l
a1)2
(t∗−s) = 0.
Тогда
lim
n→∞
Bn(t∗) = 0
и ряд S2(x, t) также сходится равномерно и абсолютно.
3. Рассмотрим Cn(t∗) n = 1, 2, . . . , — коэффициенты третьего ряда S3(x, t).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
266 Д. Я. ХУСАИНОВ, А. Ф. ИВАНОВ, И. В. КОВАРЖ
Для произвольного фиксированного момента времени t∗, (k − 1)τ ≤ t∗ < kτ, выпол-
ним замену t − τ − ξ = s и представим интеграл в виде суммы интегралов, в которых
функция запаздывающего экспоненциала имеет одинаковую структуру
Cn(t∗) =
t∗−τ∫
−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(ξ+τ)
eDnξ
τ Fn(t∗ − τ − ξ) dξ =
=
0∫
−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(ξ+τ)
Fn(t∗ − τ − ξ) dξ+
+
τ∫
0
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(ξ+τ)
[
1 + Dn
ξ
1!
]
Fn(t∗ − τ − ξ) dξ + . . .
. . . +
t∗−τ∫
(k−2)τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(ξ+τ)
[
1 + Dn
ξ
1!
+ D2
n
(ξ − τ)2
2!
+ . . .
. . . + Dk−1
n
(ξ − (k − 2)τ)k−1
(k − 1)!
]
Fn(t∗ − τ − ξ) dξ.
Представляя значение Dn и используя теорему о среднем, можем показать, что существу-
ют моменты времени −τ ≤ s1 ≤ 0, 0 ≤ s2 ≤ τ, . . . , (k − 2)τ ≤ sk ≤ t∗ − τ такие, что
Cn(t∗) ≤ τe
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(τ+s1)
Fn(t∗ − τ − s1)+
+ τe
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(τ+s1)
[
1 +
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]
e
−
h
c1−(π n
l
a1)2
i
τ s2
1!
]
Fn(t∗ − τ − s2) + . . .
. . . + τe
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(τ+sk)
[
1 +
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]
e
−
h
c1−(π n
l
a1)2
i
τ sk
1!
+ . . .
. . . + τ
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]k−1
e
−(k−1)τ
h
c1−(π n
l
a1)2
i
[sk − (k − 2)τ ]k−1
(k − 1)!
]
Fn(t∗ − τ − sk),
и при достаточно большом n выполняется неравенство
n >
l
π
max
{√
|c1|
|a1|
,
√
|1 + c2|
|a2|
}
.
Поэтому найдется непрерывная ограниченная при −τ ≤ s ≤ t∗ функция N3(t∗, s), для
которой имеет место неравенство
|Cn(t∗)| ≤ τ max
−τ≤s≤t∗
|Fn(s)|N3(t∗, s)
(π n
l
a2
)2(k−1)
e
−
h
(π n
l
a1)2−c1
i
(t∗+τ)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
РЕШЕНИЕ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 267
Пусть функции Fn(s) „не очень сильно растут” на промежутке −τ ≤ s ≤ t∗, т. е.
выполняется условие
lim
n→∞
n2(k−1) |Fn(s)| e−(π n
l
a1)2
(t∗+τ) = 0.
Тогда
lim
n→∞
Cn(t∗) = 0
и ряд также сходится абсолютно и равномерно.
Таким образом, показано, что для абсолютной и равномерной сходимости рядов S1(x, t),
S2(x, t), S3(x, t) требуется лишь „не очень сильный рост” по индексу n коэффициентов
Фурье Fn(t), −τ ≤ s ≤ t∗, Φn(t) и Φ′n(t), −τ ≤ t ≤ 0. Сходимость производных функции
u(x, t) следует из свойств дифференцируемости запаздывающего экспоненциала.
Представление решения краевой задачи (1) – (3) в виде (22), (23) не всегда удобно,
например, при оценивании влияния начальных, краевых и внешних воздействий. Нужно
разделить эти факторы в отдельные слагаемые.
Перепишем (22) следующим образом:
u(x, t) =
∞∑
n=1
sin
π n
l
xe
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t+τ)
eDnt
τ ×
×
2
l
l∫
0
ϕ(ξ,−τ) sin
π n
l
ξ dξ +
2
π n
[(−1)nµ2(−τ)− µ1(−τ)]
+
+
∞∑
n=1
sin
π n
l
x
0∫
−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ ×
×
2
l
l∫
0
ϕ′s(ξ, s) sin
π n
l
ξ dξ +
2
π n
[(−1)nµ̇2(s)− µ̇1(s)]
ds
−
−
∞∑
n=1
sin
π n
l
x
0∫
−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
×
×
2
l
l∫
0
ϕ(ξ, s) sin
π n
l
ξ dξ +
2
π n
[(−1)nµ2(s)− µ1(s)]
ds+
+
∞∑
n=1
sin
π n
l
x
t∫
0
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ
2
l
l∫
0
f(ξ, s) sin
π n
l
ξ dξ ds+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
268 Д. Я. ХУСАИНОВ, А. Ф. ИВАНОВ, И. В. КОВАРЖ
+
∞∑
n=1
sin
π n
l
x
t∫
0
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ
2
π n
[(−1)nµ̇2(s)− µ̇1(s)] ds−
−
∞∑
n=1
sin
π n
l
x
t∫
0
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ
2
π n
c1 [(−1)nµ̇2(s)− µ̇1(s)] ds−
−
∞∑
n=1
sin
π n
l
x
t∫
0
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ ×
× 2
π n
c2 [(−1)nµ̇2(s− τ)− µ̇1(s− τ)] ds + µ1(t) +
x
l
[µ2(t)− µ1(t)]. (24)
Разделим начальное и краевые воздействия:
u(x, t) =
∞∑
n=1
sin
π n
l
xe
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t+τ)
eDnt
τ
2
l
l∫
0
ϕ(ξ,−τ) sin
π n
l
ξ dξ
+
+
∞∑
n=1
sin
π n
l
x
0∫
−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ
2
l
l∫
0
ϕ′s(ξ, s) sin
π n
l
ξ dξ
ds
−
−
∞∑
n=1
sin
π n
l
x
0∫
−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ ×
×
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
] 2
l
l∫
0
ϕ(ξ, s) sin
π n
l
ξ dξ
ds+
+
∞∑
n=1
sin
π n
l
x
t∫
0
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ
2
l
l∫
0
f(ξ, s) sin
π n
l
ξ dξ ds+
+
∞∑
n=1
sin
π n
l
xe
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t+τ)
eDnt
τ
[
2
π n
[(−1)nµ2(−τ)− µ1(−τ)]
]
+
+
∞∑
n=1
sin
π n
l
x
t∫
−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ
[
2
π n
[(−1)nµ̇2(s)− µ̇1(s)]
]
ds
+
+
∞∑
n=1
sin
π n
l
x
0∫
−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ
(π n
l
a1
)2
[
2
π n
[(−1)nµ2(s)− µ1(s)]
]
ds−
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
РЕШЕНИЕ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 269
− c1
∞∑
n=1
sin
π n
l
x
t∫
−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ
2
π n
[(−1)nµ2(s)− µ1(s)] ds−
−
∞∑
n=1
sin
π n
l
x
t∫
0
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ
2
π n
c2 [(−1)nµ2(s− τ)− µ1(s− τ)]+
+ µ1(t) +
x
l
[µ2(t)− µ1(t)].
Вычислим интеграл
t∫
−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ [(−1)nµ̇2(s)− µ̇1(s)] ds =
= e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ [(−1)nµ2(s)− µ1(s)]
∣∣∣∣t
−τ
+
+
t∫
−τ
[(−1)nµ2(s)− µ1(s)]×
×
[[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ +
+
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s−τ)
eDn(t−2τ−s)
τ
]
ds =
= [(−1)nµ2(t)− µ1(t)]− e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t+τ)
eDnt
τ [(−1)nµ2(−τ)− µ1(−τ)]+
+
t∫
−τ
[(−1)nµ2(s)− µ1(s)]
[[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ +
+
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s−τ)
eDn(t−2τ−s)
τ
]
ds.
После подстановки полученных выражений получим
u(x, t) =
∞∑
n=1
sin
π n
l
xe
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t+τ)
eDnt
τ
2
l
l∫
0
ϕ(ξ,−τ) sin
π n
l
ξ dξ
+
+
∞∑
n=1
0∫
−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ
2
l
l∫
0
ϕ′s(ξ, s) sin
π n
l
ξ dξ
ds
sin
πn
l
x−
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
270 Д. Я. ХУСАИНОВ, А. Ф. ИВАНОВ, И. В. КОВАРЖ
−
∞∑
n=1
0∫
−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
×
×
2
l
l∫
0
ϕ(ξ, s) sin
π n
l
ξ dξ
ds
sin
πn
l
x+
+
∞∑
n=1
t∫
0
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ
2
l
l∫
0
f(ξ, s) sin
π n
l
ξ dξ
ds
sin
π n
l
x+
+
(
a2
1 − a2
2
) ∞∑
n=1
t∫
0
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ
[
2π n
l2
[(−1)nµ2(s)− µ1(s)]
]
ds
sin
π n
l
x−
− c2
∞∑
n=1
t∫
t−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−τ−s)
eDn(t−2τ−s)
τ
[
2
π n
[(−1)nµ2(s)− µ1(s)]
]
ds
sin
π n
l
x+
+ 2
{
µ1(t) +
x
l
[µ2(t)− µ1(t)]
}
.
Пусть
S̃1[ϕ] =
∞∑
n=1
sin
π n
l
x
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t+τ)
eDnt
τ
2
l
l∫
0
ϕ(ξ,−τ) sin
π n
l
ξ dξ
+
+
0∫
−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ ×
×
2
l
l∫
0
ϕ′s(ξ, s) sin
π n
l
ξ dξ −
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
2
l
l∫
0
ϕ(ξ, s) sin
π n
l
ξ dξ
ds
(25)
— сумма, зависящая от начальных условий,
S̃2[f ] =
∞∑
n=1
t∫
0
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ
[
2
l
l∫
0
f(ξ, s) sin
π n
l
ξ dξ
]
ds
sin
π n
l
x (26)
— сумма, зависящая от внешних воздействий, и
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
РЕШЕНИЕ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 271
S̃3[µ1, µ2] =
=
∞∑
n=1
{(
a2
1 − a2
2
) 2πn
l2
t∫
0
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ [(−1)nµ2(s)− µ1(s)] ds−
− 2c2
πn
t∫
t−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−τ−s)
eDn(t−2τ−s)
τ [(−1)nµ2(s)− µ1(s)] ds
}
sin
π n
l
x+
+ 2
{
µ1(t) +
x
l
[µ2(t)− µ1(t)]
}
(27)
— сумма, зависящая от краевых условий.
Тогда решение краевой задачи можно представить в виде
u(x, t) = S̃1[ϕ] + S̃2[f ] + S̃3[µ1, µ2].
Справедлива следующая теорема.
Теорема 4. Пусть функции ϕ(x, t), f(x, t), µ1(t) и µ2(t) таковы, что на интервале
−τ ≤ t ≤ t∗, (k − 1)τ ≤ t∗ < kτ, их коэффициенты Фурье
ϕn(t) =
2
l
l∫
0
ϕ(s, t) sin
π n
l
s ds, ϕ̇n(t) =
2
l
l∫
0
ϕ̇t(s, t) sin
π n
l
s ds, −τ ≤ t ≤ 0,
fn(t) =
2
l
l∫
0
f(s, t) sin
π n
l
s ds
и
µn(t) =
2πn
l2
(a2
1 − a2
2)
t∫
0
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ [(−1)nµ2(s)− µ1(s)] ds−
− 2c2
πn
t∫
t−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−τ−s)
eDn(t−2τ−s)
τ [(−1)nµ2(s)− µ1(s)] ds, n = 1, 2, 3, . . . ,
удовлетворяют условиям
lim
n→∞
n2(k−1)|ϕn(s)|e−(πn
l
a1)2
(t∗+τ) = 0, −τ ≤ s ≤ 0, (k − 1)τ ≤ t∗ < kτ,
lim
n→∞
n2(k−1)|fn(t∗)|e−(πn
l
a1)2
(t∗+τ) = 0, lim
n→∞
n2(k−1)|µn(t∗)|e−(πn
l
a1)2
(t∗+τ) = 0,
(k − 1)τ ≤ t∗ < kτ.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
272 Д. Я. ХУСАИНОВ, А. Ф. ИВАНОВ, И. В. КОВАРЖ
Тогда при 0 ≤ t ≤ t∗ решение первой краевой задачи (1) – (3) имеет вид
u(x, t) = S̃1[ϕ] + S̃2[f ] + S̃3[µ1, µ2],
где S̃1[ϕ], S̃2[f ], S̃3[µ1, µ2] определены формулами (25) – (27).
Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.
1. Базыкин А. Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. — М.: Наука, 1985. —
181 с.
2. Жуков А. Б. Пространственная и временная изменчивость процесса прироста леса // Докл. АН СССР.
— 1978. — 239, № 1. — С. 245 – 248.
3. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся
аргументом. — М.: Наука, 1971. — 296 с.
4. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1984. — 421 с.
5. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматулина Л. Ф. Введение в теорию функционально-дифферен-
циальных уравнений. — М.: Наука, 1991. — 277 c.
6. Ткач Б. П. Об одном дифференциальном уравнении в частных производных с запаздывающим аргу-
ментом // Дифференц. уравнения. — 1967. — 3, № 10. — С. 1796 – 1801.
7. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф., Самойленко А. М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы крае-
вые задачи // Тр. Ин-та математики АН Украины. — 1985. — 13. — 320 с.
8. Хусаинов Д. Я., Шуклин Г. В. Об относительной управляемости в системах с чистым запаздыванием //
Прикл. механика. — 2005. — 41, № 2. — С. 118 – 130.
Получено 27.05.08
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178404 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-28T01:31:18Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Хусаинов, Д.Я. Иванов, А.Ф. Коварж, И.В. 2021-02-19T07:16:58Z 2021-02-19T07:16:58Z 2009 Решение одного уравнения теплопроводности с запаздыванием / Д.Я. Хусаинов, А.Ф. Иванов, И.В. Коварж // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 2. — С. 251-272. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178404 517.929 Доведено iснування та єдинiсть розв’язку крайової задачi для рiвняння теплопровiдностi iз запiзненням. Для побудови розв’язку використано спецiальну функцiю „запiзнiлого експоненцiала” We prove the existence and uniqueness of a solution of boundary-value problem for a heat conduction equation with delay. A special function, the delayed exponent, is used to define solution. ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Решение одного уравнения теплопроводности с запаздыванием Розв'язання одного рівняння теплопровідності з запізненням Solution of a heat equation with delay Article published earlier |
| spellingShingle | Решение одного уравнения теплопроводности с запаздыванием Хусаинов, Д.Я. Иванов, А.Ф. Коварж, И.В. |
| title | Решение одного уравнения теплопроводности с запаздыванием |
| title_alt | Розв'язання одного рівняння теплопровідності з запізненням Solution of a heat equation with delay |
| title_full | Решение одного уравнения теплопроводности с запаздыванием |
| title_fullStr | Решение одного уравнения теплопроводности с запаздыванием |
| title_full_unstemmed | Решение одного уравнения теплопроводности с запаздыванием |
| title_short | Решение одного уравнения теплопроводности с запаздыванием |
| title_sort | решение одного уравнения теплопроводности с запаздыванием |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178404 |
| work_keys_str_mv | AT husainovdâ rešenieodnogouravneniâteploprovodnostiszapazdyvaniem AT ivanovaf rešenieodnogouravneniâteploprovodnostiszapazdyvaniem AT kovarživ rešenieodnogouravneniâteploprovodnostiszapazdyvaniem AT husainovdâ rozvâzannâodnogorívnânnâteploprovídnostízzapíznennâm AT ivanovaf rozvâzannâodnogorívnânnâteploprovídnostízzapíznennâm AT kovarživ rozvâzannâodnogorívnânnâteploprovídnostízzapíznennâm AT husainovdâ solutionofaheatequationwithdelay AT ivanovaf solutionofaheatequationwithdelay AT kovarživ solutionofaheatequationwithdelay |