Дослідження структури множини неперервних розв’язків систем лінійних функціонально-різницевих рівнянь

Установлены условия существования непрерывных решений систем линейных функциональноразностных уравнений с линейно преобразованным аргументом и разработан метод их построения. We find conditions for existence of continuous solutions to a system of linear functional-difference equations with linearly...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Нелінійні коливання
Дата:	2009
Автори:	Пелюх, Г.П., Сiвак, О.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2009
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178406
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Дослідження структури множини неперервних розв’язків систем лінійних функціонально-різницевих рівнянь / Г.П. Пелюх, О.А. Сiвак // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 3. — С. 307-335. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178406
record_format	dspace
spelling	Пелюх, Г.П. Сiвак, О.А. 2021-02-19T07:18:37Z 2021-02-19T07:18:37Z 2009 Дослідження структури множини неперервних розв’язків систем лінійних функціонально-різницевих рівнянь / Г.П. Пелюх, О.А. Сiвак // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 3. — С. 307-335. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178406 517.9 Установлены условия существования непрерывных решений систем линейных функциональноразностных уравнений с линейно преобразованным аргументом и разработан метод их построения. We find conditions for existence of continuous solutions to a system of linear functional-difference equations with linearly transformed argument, and develop a method to construct such solutions. Частково пiдтримано проектом Ф 25.1/021. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Дослідження структури множини неперервних розв’язків систем лінійних функціонально-різницевих рівнянь Исследование структуры множества непрерывных решений систем линейных функционально-разностных уравнений A study of the structure of the set of continuous solutions to systems of linear functional-difference equations Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Дослідження структури множини неперервних розв’язків систем лінійних функціонально-різницевих рівнянь
spellingShingle	Дослідження структури множини неперервних розв’язків систем лінійних функціонально-різницевих рівнянь Пелюх, Г.П. Сiвак, О.А.
title_short	Дослідження структури множини неперервних розв’язків систем лінійних функціонально-різницевих рівнянь
title_full	Дослідження структури множини неперервних розв’язків систем лінійних функціонально-різницевих рівнянь
title_fullStr	Дослідження структури множини неперервних розв’язків систем лінійних функціонально-різницевих рівнянь
title_full_unstemmed	Дослідження структури множини неперервних розв’язків систем лінійних функціонально-різницевих рівнянь
title_sort	дослідження структури множини неперервних розв’язків систем лінійних функціонально-різницевих рівнянь
author	Пелюх, Г.П. Сiвак, О.А.
author_facet	Пелюх, Г.П. Сiвак, О.А.
publishDate	2009
language	Ukrainian
container_title	Нелінійні коливання
publisher	Інститут математики НАН України
format	Article
title_alt	Исследование структуры множества непрерывных решений систем линейных функционально-разностных уравнений A study of the structure of the set of continuous solutions to systems of linear functional-difference equations
description	Установлены условия существования непрерывных решений систем линейных функциональноразностных уравнений с линейно преобразованным аргументом и разработан метод их построения. We find conditions for existence of continuous solutions to a system of linear functional-difference equations with linearly transformed argument, and develop a method to construct such solutions.
issn	1562-3076
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178406
citation_txt	Дослідження структури множини неперервних розв’язків систем лінійних функціонально-різницевих рівнянь / Г.П. Пелюх, О.А. Сiвак // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 3. — С. 307-335. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT pelûhgp doslídžennâstrukturimnožinineperervnihrozvâzkívsistemlíníinihfunkcíonalʹnoríznicevihrívnânʹ AT sivakoa doslídžennâstrukturimnožinineperervnihrozvâzkívsistemlíníinihfunkcíonalʹnoríznicevihrívnânʹ AT pelûhgp issledovaniestrukturymnožestvanepreryvnyhrešeniisistemlineinyhfunkcionalʹnoraznostnyhuravnenii AT sivakoa issledovaniestrukturymnožestvanepreryvnyhrešeniisistemlineinyhfunkcionalʹnoraznostnyhuravnenii AT pelûhgp astudyofthestructureofthesetofcontinuoussolutionstosystemsoflinearfunctionaldifferenceequations AT sivakoa astudyofthestructureofthesetofcontinuoussolutionstosystemsoflinearfunctionaldifferenceequations
first_indexed	2025-11-25T21:09:57Z
last_indexed	2025-11-25T21:09:57Z
_version_	1850551622927646720
fulltext	УДК 517.9 ДОСЛIДЖЕННЯ СТРУКТУРИ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ ЛIНIЙНИХ ФУНКЦIОНАЛЬНО-РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ* Г. П. Пелюх, О. А. Сiвак Iн-т математики НАН України Україна, 01601, Київ, вул. Терещенкiвська, 3 e-mail: grygor@imath.kiev.ua We find conditions for existence of continuous solutions to a system of linear functional-difference equati- ons with linearly transformed argument, and develop a method to construct such solutions. Установлены условия существования непрерывных решений систем линейных функционально- разностных уравнений с линейно преобразованным аргументом и разработан метод их постро- ения. Статтю присвячено дослiдженню систем лiнiйних рiвнянь вигляду x(t + 1) = A(t)x(t) + B(t)x(qt) + F (t), (1) де t ∈ R, A(t), B(t) — дiйснi (n × n)-матрицi, F (t) — дiйсний вектор розмiрностi n, q — деяка дiйсна стала. При рiзних припущеннях вiдносно матриць A(t), B(t) i вектора F (t) окремi класи таких систем рiвнянь були основним об’єктом дослiдження багатьох мате- матикiв (див. [1 – 10] i наведену в них бiблiографiю), i на сьогоднi ряд питань їх теорiї досить детально вивчено. Особливо це стосується iснування рiзного роду (аналiтичних, неперервних та iн.) розв’язкiв i дослiдження їх властивостей. У цiй статтi також вивча- ються питання iснування розв’язкiв (в основному неперервних i обмежених) i дослiджу- ється структура їх множини. При цьому основною метою є встановлення умов iснування неперервних розв’язкiв i розробка методу їх побудови. Спочатку розглянемо систему рiвнянь вигляду x(t + 1) = Ax(t) + Bx(qt), (2) де A, B — дiйснi сталi (n× n)-матрицi, q — дiйсна стала, i покажемо, що при певних умо- вах вона має неперервнi розв’язки, якi можна побудувати. При цьому вiдносно матрицi A будемо припускати, що її власнi значення λi, i = 1, . . . , n, задовольняють умови λi 6= λj , \|λi\| 6= 0, 1, i, j = 1, . . . , n. Тодi, як вiдомо, iснує замiна змiнних x(t) = Cy(t), ∗ Частково пiдтримано проектом Ф 25.1/021. c© Г. П. Пелюх, О. А. Сiвак, 2009 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 307 308 Г. П. ПЕЛЮХ, О. А. СIВАК де C — деяка стала неособлива (n × n)-матриця, яка приводить систему рiвнянь (2) до вигляду y(t + 1) = Λy(t) + B̃y(qt), (3) де Λ = diag (λ1, . . . , λn), B̃ = C−1BC. В залежностi вiд умов, якi задовольняють числа λi, i = 1, . . . , n, матриця B̃ i стала q, далi розглянемо ряд випадкiв, коли вдається не тiльки дати вiдповiдь на питання про iснування неперервних розв’язкiв системи рiвнянь (3), але й побудувати їх у виглядi деяких функцiональних рядiв. 1. Дослiдимо спочатку систему рiвнянь (3) у випадку, коли t ∈ R+ i виконуються умо- ви: 1) 0 < λi < 1, i = 1, . . . , n, q > 1; 2) λ∗ > λ∗q, 4 = b̃ λ∗ − λ∗q < 1, де b̃ = \|B̃\| = max i ∑ j \|bij \|, λ∗ = min{λi, i = 1, . . . , n}, λ∗ = max{λi, i = 1, . . . , n}. Має мiсце наступна лема. Лема 1. Нехай виконуються умови 1, 2. Тодi система рiвнянь (3) має сiм’ю непе- рервних i обмежених при t ∈ R+ розв’язкiв, що залежать вiд довiльної неперервної 1-перiодичної вектор-функцiї ω(t). Доведення. Покажемо, що система рiвнянь (3) має розв’язки у виглядi функцiональ- них рядiв y(t) = ∞∑ i=0 yi(t), (4) де yi(t), i = 0, 1, . . . , — деякi неперервнi вектор-функцiї. Дiйсно, пiдставляючи (4) у (3), отримуємо ∞∑ i=0 yi(t + 1) = Λ ∞∑ i=0 yi(t) + B̃ ∞∑ i=0 yi(qt). Звiдси безпосередньо випливає, що якщо вектор-функцiї yi(t), i = 0, 1, . . . , є розв’язками послiдовностi систем рiвнянь y0(t + 1) = Λy0(t), (50) yi(t + 1) = Λyi(t) + B̃yi−1(qt), i = 1, 2, . . . , (5i) то ряд (4) буде формальним розв’язком системи рiвнянь (3). Система рiвнянь (50) має множину неперервних при t ≥ 0 розв’язкiв вигляду y0(t) = Λtω(t), (60) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 ДОСЛIДЖЕННЯ СТРУКТУРИ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ . . . 309 де Λt = diag (λt 1, . . . , λ t n), ω(t) = (ω1(t), . . . , ωn(t)), ωi(t), i = 1, . . . , n, — довiльнi неперерв- нi 1-перiодичнi функцiї. Розглядаючи послiдовно системи рiвнянь (5i), i = 1, 2, . . ., доведе- мо, що вони також мають неперервнi при t ≥ 0 розв’язки. Дiйсно, оскiльки ряди yi(t) = − ∞∑ j=0 Λ−(j+1) B̃ yi−1(q(t + j)), i = 1, 2, . . . , (6i) є формальними розв’язками послiдовностi систем рiвнянь (5i), i = 1, 2, . . . , то для цього достатньо показати, що цi ряди рiвномiрно збiгаються до деяких неперервних вектор- функцiй yi(t), i = 1, 2, . . . , для яких виконуються оцiнки \|yi(t)\| ≤ M∆iλ∗qt, i = 1, 2, . . . , (7) де M = max t \|ω(t)\|. Далi, оскiльки \|y0(t)\| ≤ Mλ∗t, то з огляду на (61) отримуємо \|y1(t)\| ≤ ∞∑ j=0 \|Λ−1\|j+1\|B̃\| \|y0(q(t + j))\| ≤ ∞∑ j=0 λ −(j+1) ∗ b̃ Mλ∗q(t+j) ≤ ≤ M b̃ λ−1 ∗ λ∗qt ∞∑ j=0 (λ−1 ∗ λ∗q)j ≤ M b̃ λ∗ − λ∗q λ∗qt ≤ M∆ λ∗qt, тобто оцiнка (7) має мiсце при i = 1. Розмiрковуючи за iндукцiєю, припустимо, що оцiнку (7) доведено для деякого k, i покажемо, що вона не змiниться при переходi вiд k до k + 1. Згiдно з (6k+1) i (7) маємо \|yk+1(t)\| ≤ ∞∑ j=0 \|Λ−1\|j+1 \|B̃\| \|yk(q(t + j))\| ≤ ∞∑ j=0 λ −(j+1) ∗ b̃ M∆kλ∗q(q(t+j)) ≤ ≤ M ∆k b̃λ−1 ∗ λ∗q 2t ∞∑ j=0 (λ−1 ∗ λ∗q 2 )j ≤ M∆k b̃λ−1 ∗ λ∗qt ∞∑ j=0 (λ−1 ∗ λ∗q)j ≤ ≤ M∆k b̃ λ∗ − λ∗q λ∗qt ≤ M∆k+1 λ∗qt. Отже, оцiнки (7) мають мiсце при всiх i ≥ 1. Цим ми довели, що ряди (6i), i = 1, 2, . . . , рiвномiрно збiгаються при t ≥ 0 до деяких неперервних вектор-функцiй yi(t), i = 1, 2, . . . , якi задовольняють оцiнки (7). Звiдси безпосередньо випливає, що ряд (4), в якому вектор- функцiї yi(t), i = 0, 1, . . . , визначаються спiввiдношеннями (6i), i = 0, 1, . . . , рiвномiрно збiгається до деякої неперервної вектор-функцiї y(t), яка задовольняє умову \|y(t)\| ≤ M 1−∆ . Лему 1 доведено. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 310 Г. П. ПЕЛЮХ, О. А. СIВАК Лема 2. Нехай γ(t) — довiльний неперервний i обмежений при t ∈ R+ розв’язок сис- теми рiвнянь (3) i виконуються умови 1, 2 леми 1. Тодi при всiх t ∈ R+ виконується оцiнка \|γ(t)\| ≤ ˜̃ Mλ∗t, (8) де ˜̃M−деяка додатна стала. Доведення. Дiйсно, оскiльки γ(t + 1) = Λγ(t) + B̃γ(qt), (9) то, виконуючи в (9) взаємно однозначну замiну змiнних γ(t) = Λtv(t), (10) де Λt = diag (λt 1, . . . , λ t n), отримуємо систему рiвнянь для вектор-функцiї v(t): v(t + 1) = v(t) + Λ−(t+1)B̃Λqtv(qt). (11) Оскiльки довiльний неперервний обмежений при t ≥ 0 розв’язок системи рiвнянь (11) задовольняє систему рiвнянь v(t) = ω̃(t)− ∞∑ j=0 Λ−(t+1+j)B̃Λq(t+j)v(q(t + j)), (12) де ω̃(t) — деяка неперервна 1-перiодична вектор-функцiя, то для доведення леми достат- ньо встановити, що система рiвнянь (12) має єдиний неперервний i обмежений при t ≥ 0 розв’язок v(t). Для цього використаємо метод послiдовних наближень, якi побудуємо за допомогою спiввiдношень v0(t) = ω̃(t), vm(t) = ω̃(t)− ∞∑ j=0 Λ−(t+1+j)B̃Λq(t+j)vm−1(q(t + j)), m = 1, 2, . . . . (13) Покажемо спочатку, що вектор-функцiї vm(t), m = 0, 1, . . . , є неперервними й обме- женими при всiх t ≥ 0. Справдi, \|v0(t)\| ≤ \|ω̃(t)\| ≤ M̃, де M̃ — деяка додатна стала. Тодi згiдно з (13) i умовами леми отримуємо \|v1(t)\| ≤ \|ω̃(t)\|+ ∞∑ j=0 \|Λ−1\|t+1+j \|B̃\|\|Λ\|q(t+j)\|v0(q(t + j))\| ≤ ≤ M̃ + b̃ M̃ ∞∑ j=0 λ −(t+1+j) ∗ λ∗q(t+j) ≤ M̃ + b̃ M̃λ−1 ∗ ∞∑ j=0 (λ−1 ∗ λ∗q)j ≤ ≤ M̃ ( 1 + b̃ λ∗ − λ∗q ) ≤ M̃ 1−∆ = ˜̃ M. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 ДОСЛIДЖЕННЯ СТРУКТУРИ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ . . . 311 Розмiрковуючи за iндукцiєю, припустимо, що оцiнку \|vm(t)\| ≤ ˜̃ M (14) доведено для деякого m ≥ 1, i покажемо, що вона не змiниться при переходi вiд m до m + 1. Дiйсно, на пiдставi (13), умов леми i (14) знаходимо \|vm+1(t)\| ≤ \|ω̃(t)\|+ ∞∑ j=0 \|Λ−1\|t+1+j \|B̃\|\|Λ\|q(t+j)\|vm(q(t + j))\| ≤ ≤ M̃ + b̃ ˜̃ M ∞∑ j=0 λ −(t+1+j) ∗ λ∗q(t+j) ≤ M̃ + b̃ ˜̃ Mλ−1 ∗ ∞∑ j=0 (λ−1 ∗ λ∗q)j ≤ ≤ ˜̃ M ( M̃˜̃ M + b̃ λ∗ − λ∗q ) = ˜̃ M(1−∆ + ∆) = ˜̃ M. Отже, всi вектор-функцiї vm(t), m = 0, 1, . . . , є неперервними й обмеженими при t ≥ 0. Доведемо тепер, що послiдовнiсть вектор-функцiй vm(t), m = 0, 1, . . . , рiвномiрно збi- гається при t ≥ 0 до деякої неперервної й обмеженої вектор-функцiї v(t). Для цього, очевидно, достатньо показати, що при всiх m ≥ 1, t ≥ 0 виконується оцiнка \|vm(t)− vm−1(t)\| ≤ M̃∆m. (15) Справдi, з огляду на (13) при m = 1 отримуємо \|v1(t)− v0(t)\| ≤ ∞∑ j=0 \|Λ−1\|t+1+j \|B̃\|\|Λ\|q(t+j)\|v0(q(t + j))\| ≤ ≤ b̃ M̃ ∞∑ j=0 λ −(t+1+j) ∗ λ∗q(t+j) ≤ b̃ M̃λ−1 ∗ ∞∑ j=0 (λ−1 ∗ λ∗q)j ≤ M̃ b̃ λ∗ − λ∗q = M̃∆, тобто в цьому випадку оцiнка (15) має мiсце. Припустимо, що вона виконується для де- якого m ≥ 1, i покажемо її справедливiсть для m + 1. Дiйсно, беручи до уваги (13), (15) i умови леми, знаходимо \|vm+1(t)− vm(t)\| ≤ ∞∑ j=0 \|Λ−1\|t+1+j \|B̃\|\|Λ\|q(t+j)\|vm(q(t + j))− vm−1(q(t + j))\| ≤ ≤ b̃M̃∆mλ−1 ∗ ∞∑ j=0 (λ−1 ∗ λ∗q)j ≤ M̃∆m b̃ λ∗ − λ∗q = M̃∆m+1. Таким чином, оцiнка (15) має мiсце при всiх m ≥ 1, t ≥ 0. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 312 Г. П. ПЕЛЮХ, О. А. СIВАК Безпосередньо з (15) випливає, що послiдовнiсть vm(t), m = 0, 1, . . . , рiвномiрно збiга- ється при t ≥ 0 до деякої неперервної вектор-функцiї v(t) = lim m→+∞ vm(t), яка (внаслiдок (14)) задовольняє умову \|v(t)\| ≤ ˜̃ M. Переходячи в (13) до границi при m → +∞, можна переконатися, що вектор-функцiя v(t) = lim m→+∞ vm(t) є розв’язком системи рiвнянь (12). Припустимо тепер, що iснує ще один неперервний i обмежений при t ≥ 0 розв’язок ṽ(t) системи рiвнянь (12) такий, що ṽ(t) 6= v(t). Тодi на пiдставi спiввiдношень v(t) = ω̃(t)− ∞∑ j=0 Λ−(t+1+j)B̃Λq(t+j)v(q(t + j)), ṽ(t) = ω̃(t)− ∞∑ j=0 Λ−(t+1+j)B̃Λq(t+j)ṽ(q(t + j)) i умов 1, 2 отримуємо \|v(t)− ṽ(t)\| ≤ ∞∑ j=0 \|Λ−1\|t+1+j \|B̃\|\|Λ\|q(t+j)\|v(q(t + j))− ṽ(q(t + j))\| ≤ ≤ λ−1 ∗ b̃ ∞∑ j=0 (λ−1 ∗ λ∗q)j‖v(t)− ṽ(t)‖ ≤ ∆ ‖v(t)− ṽ(t)‖, де \|\|v(t)− ṽ(t)\|\| = sup t \|v(t)− ṽ(t)\|. Звiдси випливає спiввiдношення ‖v(t)− ṽ(t)‖ ≤ ∆‖v(t)− ṽ(t)‖, яке може мати мiсце лише у випадку, коли v(t) ≡ ṽ(t). Отримана суперечнiсть завершує доведення леми 2. Теорема 1. Нехай виконуються умови: 1) 0 < λi < 1, i = 1, . . . , n, q > 1; 2) 4 = b̃ λ∗ − λ∗q < 1 2 . Тодi довiльний неперервний i обмежений при t ≥ 0 розв’язок γ(t) системи рiвнянь (3) можна подати у виглядi ряду (4), в якому вектор-функцiї yi(t) = yi(t, ω(t)), i = = 0, 1, . . . , визначаються спiввiдношеннями (6i), i = 0, 1, . . . , а ω(t) — деяка неперерв- на 1-перiодична вектор-функцiя. Для доведення теореми достатньо, очевидно, показати, що для довiльного неперерв- ного й обмеженого при t ≥ 0 розв’язку γ(t) системи рiвнянь (3) iснує неперервна 1-перiо- дична вектор-функцiя ω(t) така, що виконується рiвнiсть γ(t) = ∞∑ i=0 yi(t, ω(t)). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 ДОСЛIДЖЕННЯ СТРУКТУРИ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ . . . 313 Запишемо цю рiвнiсть у виглядi ω(t) = Λ−tγ(t)− Λ−t ∞∑ i=1 yi(t, ω(t)), (16) де Λ−t = diag (λ−t 1 , . . . , λ−t n ). Оскiльки спiввiдношення (16) є системою рiвнянь вiдносно ω(t), то залишається показати, що вона має неперервний 1-перiодичний розв’язок. Для цього застосуємо метод послiдовних наближень, якi визначимо за допомогою формул ω0(t) = Λ−tγ(t), (17) ωm(t) = Λ−tγ(t)− Λ−t ∞∑ i=1 yi(t, ωm−1(t)), m = 1, 2, . . . . (18) Покажемо, що таким чином побудованi вектор-функцiї ωm(t), m = 0, 1, . . . , є обмежени- ми при t ≥ 0. Справдi, за лемою 2 маємо \|ω0(t)\| ≤ ˜̃ M. Тодi, беручи до уваги (18) i умови теореми, знаходимо \|ω1(t)\| ≤ \|Λ−tγ(t)\|+ \|Λ−1\|t ∞∑ i=1 \|yi(t, ω0(t))\| ≤ ˜̃ M + ˜̃M(λ−1 ∗ λ∗q)t ∞∑ i=1 ∆i ≤ ≤ ˜̃ M + ˜̃M ∞∑ i=1 ∆i ≤ ˜̃ M + ˜̃ M∆ 1−∆ ≤ ˜̃ M 1− θ , де θ = ∆ 1−∆ < 1. За iндукцiєю можна показати, що оцiнка \|ωm(t)\| ≤ ˜̃ M 1− θ (19) має мiсце при всiх m ≥ 1 i t ≥ 0. Справдi, нехай (19) доведено для деякого m ≥ 1. Тодi з огляду на (18), (19) i умови теореми покажемо її справедливiсть для m + 1 : \|ωm+1(t)\| ≤ \|Λ−tγ(t)\|+ \|Λ−1\|t ∞∑ i=1 \|yi(t, ωm(t))\| ≤ ˜̃ M + ˜̃ M 1− θ (λ−1 ∗ λ∗q)t ∞∑ i=1 ∆i ≤ ≤ ˜̃ M + ˜̃ M 1− θ ∆ 1−∆ ≤ ˜̃ M 1− θ (1− θ + θ) = ˜̃ M 1− θ . Отже, оцiнка (19) має мiсце при всiх m ≥ 1, t ≥ 0. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 314 Г. П. ПЕЛЮХ, О. А. СIВАК Доведемо тепер, що послiдовнiсть вектор-функцiй ωm(t), m = 0, 1, . . . , рiвномiрно збiгається до деякої неперервної при t ≥ 0 вектор-функцiї ω(t). Для цього, очевидно, достатньо показати, що при всiх m ≥ 1, t ≥ 0 виконується оцiнка ‖ωm(t)− ωm−1(t)‖ ≤ ˜̃ Mθm, (20) де ‖ωm(t)− ωm−1(t)‖ = sup t \|ωm(t)− ωm−1(t)\|. Покажемо спочатку, що якщо ṽ(t), v(t) — неперервнi обмеженi при t ≥ 0 вектор- функцiї, то при всiх i ≥ 1, t ≥ 0 виконується оцiнка \|yi(t, ṽ)− yi(t, v)\| ≤ ∆iλ∗qt‖ṽ(t)− v(t)‖, (21) де ‖ṽ(t)− v(t)‖ = sup t \|ṽ(t)− v(t)\|. Згiдно з (61) маємо \|y1(t, ṽ(t))− y1(t, v(t))\| ≤ ∞∑ j=0 \|Λ−1\|j+1\|B̃\| \| y0(q(t + j), ṽ(q(t + j)))− − y0(q(t + j), v(q(t + j)))\| ≤ b̃ ∞∑ j=0 λ −(j+1) ∗ λ∗q(t+j)\|ṽ(q(t + j))− v(q(t + j))\| ≤ ≤ b̃ ∞∑ j=0 λ −(j+1) ∗ λ∗q(t+j)\|\|ṽ(t)− v(t)\|\| ≤ b̃λ−1 ∗ λ∗qt‖ṽ(t)− v(t)‖ ∞∑ j=0 (λ−1 ∗ λ∗q)j ≤ ≤ b̃ λ∗ − λ∗q λ∗qt ‖ṽ(t)− v(t)‖ ≤ ∆λ∗qt‖ṽ(t)− v(t)‖, звiдки випливає (21) при i = 1. Припустимо, що оцiнку (21) доведено для деякого i = m, i покажемо, що вона не змiниться при переходi вiд m до m + 1. Дiйсно, на пiдставi (6m+1), (21) маємо \|ym+1(t, ṽ(t))− ym+1(t, v(t))\| ≤ ∞∑ j=0 \|Λ−1\|j+1 \|B̃\| \| ym(q(t + j), ṽ(q(t + j)))− − ym(q(t + j), v(q(t + j)))\| ≤ b̃ ∞∑ j=0 λ −(j+1) ∗ ∆mλ∗q(q(t+j))\|\|ṽ(t)− v(t)\|\| ≤ ≤ b̃λ−1 ∗ λ∗q 2t∆m‖ṽ(t)− v(t)‖ ∞∑ j=0 (λ−1 ∗ λ∗q 2 )j ≤ b̃λ−1 ∗ λ∗qt∆m‖ṽ(t)− v(t)‖ ∞∑ j=0 (λ−1 ∗ λ∗q)j ≤ ≤ b̃ λ∗ − λ∗q ∆mλ∗qt‖ṽ(t)− v(t)‖ ≤ ∆m+1λ∗qt‖ṽ(t)− v(t)‖. Таким чином, оцiнка (21) виконується при всiх i ≥ 1, t ≥ 0. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 ДОСЛIДЖЕННЯ СТРУКТУРИ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ . . . 315 Покажемо тепер, що має мiсце оцiнка (20). Дiйсно, оскiльки безпосередньо з (6i), i = = 0, 1, . . . , випливає, що при всiх i ≥ 0 виконується спiввiдношення yi(t, 0) ≡ 0, то, беручи до уваги (7), (17) – (19), при m = 1 отримуємо \|ω1(t)− ω0(t)\| ≤ \|Λ−1\|t ∞∑ i=1 \|yi(t, ω0(t))\| ≤ λ−t ∗ ∞∑ i=1 ˜̃ M∆iλ∗qt ≤ ≤ ˜̃ M(λ−1 ∗ λ∗q)t ∞∑ i=1 ∆i ≤ ˜̃ M ∆ 1−∆ ≤ ˜̃ Mθ, i, отже, ‖ω1(t) − ω0(t)‖ ≤ ˜̃ Mθ. Розмiрковуючи за iндукцiєю, припустимо, що оцiнку (20) доведено для деякого k, i покажемо, що вона не змiниться при переходi вiд k до k + 1. Справдi, на пiдставi спiввiдношень (18), (21) i ‖ωk(t)− ωk−1(t)‖ ≤ ˜̃ Mθk маємо \|ωk+1(t)− ωk(t)\| ≤ \|Λ−1\|t ∞∑ i=1 \|yi(t, ωk(t))− yi(t, ωk−1(t))\| ≤ ≤ λ−t ∗ ∞∑ i=1 ∆iλ∗qt‖ωk(t)− ωk−1(t)‖ ≤ (λ−1 ∗ λ∗q)t˜̃Mθk ∞∑ i=1 ∆i ≤ ˜̃ Mθk+1, звiдки випливає оцiнка (20) при k + 1. Цим ми довели, що спiввiдношення (20) має мiсце при всiх m ≥ 1. Отже, послiдовнiсть вектор-функцiй ωm(t), m = 0, 1, . . . , рiвномiрно збiгається при t ≥ 0 до деякої неперервної вектор-функцiї ω(t). Переходячи в (18) до границi при m → +∞, можна переконатися, що вектор-функцiя ω(t) = lim m→+∞ ωm(t) є розв’язком системи рiвнянь (16). Доведемо тепер, що вектор-функцiя ω(t) є 1-перiодичною. Згiдно з (16) маємо ω(t + 1) = Λ−(t+1)γ(t + 1)− Λ−(t+1) ∞∑ i=1 yi(t + 1, ω(t + 1)). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 316 Г. П. ПЕЛЮХ, О. А. СIВАК Оскiльки γ(t + 1) = Λγ(t) + B̃γ(qt), то ω(t + 1) = Λ−tγ(t) + Λ−(t+1)B̃γ(qt)− Λ−(t+1) ∞∑ i=1 yi(t + 1, ω(t + 1)) = = Λ−tγ(t)− Λ−t ( Λ−1 ∞∑ i=1 yi(t + 1, ω(t + 1))− Λ−1B̃γ(qt) ) = = Λ−tγ(t)− Λ−t ( ∞∑ i=1 yi(t, ω(t)) + Λ−1B̃ ∞∑ i=0 yi(qt, ω(qt))− Λ−1B̃γ(qt) ) = = Λ−tγ(t)− Λ−t ( ∞∑ i=1 yi(t, ω(t)) + Λ−1B̃γ(qt)− Λ−1B̃γ(qt) ) = = Λ−tγ(t)− Λ−t ∞∑ i=1 yi(t, ω(t)) = ω(t). Теорему 1 доведено. Розглянемо тепер систему неоднорiдних рiвнянь вигляду y(t + 1) = Λy(t) + B̃y(qt) + F (t), (22) де матрицi Λ = diag (λ1, . . . , λn), B̃, стала q i вектор-функцiя F (t) задовольняють умови: 1) 0 < λi < 1, i = 1, . . . , n, q > 1; 2) b̃ 1− λ∗ = θ̃ < 1; 3) всi елементи вектор-функцiї F (t) є неперервними й обмеженими при всiх t ∈ R функцiями i sup t \|F (t)\| = M < ∞. Для системи (22) має мiсце наступна теорема. Теорема 2. Нехай виконуються умови 1 – 3. Тодi система рiвнянь (22) має неперервний i обмежений при t ∈ R розв’язок y(t) у виглядi ряду y(t) = ∞∑ i=0 yi(t), (23) де yi(t), i = 0, 1, . . . , — деякi неперервнi й обмеженi при t ∈ R вектор-функцiї. Доведення. Пiдставляючи (23) в (22), отримуємо ∞∑ i=0 yi(t + 1) = Λ ∞∑ i=0 yi(t) + B̃ ∞∑ i=0 yi(qt) + F (t). Звiдси безпосередньо випливає, що якщо вектор-функцiї yi(t), i = 0, 1, . . . , є розв’язками послiдовностi систем рiвнянь y0(t + 1) = Λy0(t) + F (t), (240) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 ДОСЛIДЖЕННЯ СТРУКТУРИ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ . . . 317 yi(t + 1) = Λyi(t) + B̃yi−1(qt), i = 1, 2, . . . , (24i) то ряд (23) є формальним розв’язком системи рiвнянь (22). Беручи до уваги умови теореми, можна переконатися, що ряд y0(t) = ∞∑ j=1 Λj−1F (t− j) (250) рiвномiрно збiгається при всiх t ∈ R, задовольняє систему рiвнянь (240) i виконується оцiнка \|y0(t)\| ≤ M 1− λ∗ = M ′ . (260) З огляду на (250), (260) можна послiдовно показати, що ряди yi(t) = ∞∑ j=1 Λj−1B̃yi−1(q(t− j)), i = 1, 2, . . . , (25i) рiвномiрно збiгаються при t ∈ R, задовольняють вiдповiднi системи рiвнянь (24i), i = = 1, 2, . . . , i виконуються оцiнки \|yi(t)\| ≤ M ′ θ̃i, i = 1, 2, . . . . (26i) Таким чином, оскiльки вектор-функцiї yi(t), i = 0, 1, . . . , що визначаються за допо- могою спiввiдношень (25i), i = 0, 1, . . . , задовольняють умови (26i), i = 0, 1, . . . , то ряд (23) рiвномiрно збiгається при t ∈ R до деякої неперервної вектор-функцiї y(t), яка є розв’язком системи рiвнянь (22) i задовольняє умову \|y(t)\| ≤ M ′ 1− θ̃ . Теорему 2 доведено. Зауваження 1. Виконавши в (22) замiну змiнних y(t) = z(t) + y(t), (27) отримаємо систему рiвнянь (3) вiдносно вектор-функцiї z(t). Оскiльки для цiєї системи рiвнянь має мiсце теорема 1, то, зважаючи на замiну змiнних (27), умови 1, 3 теореми 2 i припускаючи виконаною умову max { b̃ 1− λ∗ , b̃ λ∗ − λ∗q } < 1 2 , можна описати структуру множини неперервних обмежених при t ∈ R+ розв’язкiв систе- ми рiвнянь (22). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 318 Г. П. ПЕЛЮХ, О. А. СIВАК Зауваження 2. Теорема 2 має мiсце також у випадку, коли замiсть умови 1 виконується умова 0 < λi < 1, i = 1, . . . , n, q > 0. Дослiдимо тепер структуру множини неперервних розв’язкiв системи рiвнянь (22) у випадку, коли B̃ = B̃(t). Розглянемо, наприклад, систему рiвнянь y(t + 1) = Λy(t) + B̃(t)y(qt) + F̃ (t), (28) де Λ = diag (λ1, . . . , λn), q — деяка стала, B̃(t) : R → Rn2 , F̃ (t) : R → Rn. Має мiсце наступна теорема. Теорема 3. Нехай виконуються умови: 1) 0 < λi < 1, i = 1, . . . , n, q > 1; 2) всi елементи матрицi B̃(t) i вектор-функцiї F̃ (t) є неперервними й обмеженими при всiх t ∈ R функцiями i sup t \|B̃(t)\| = b∗, sup t \|F̃ (t)\| = M̂ ; 3) b∗ 1− λ∗ = ∆̃ < 1. Тодi система рiвнянь (28) має неперервний i обмежений при t ∈ R розв’язок у виглядi ряду ỹ(t) = ∞∑ i=0 ỹi(t), (29) де ỹi(t), i = 0, 1, . . . , — деякi неперервнi й обмеженi при t ∈ R вектор-функцiї. Доведення. Дiйсно, пiдставляючи (29) в (28), одержуємо ∞∑ i=0 ỹi(t + 1) = Λ ∞∑ i=0 ỹi(t) + B̃(t) ∞∑ i=0 ỹi(qt) + F̃ (t). Звiдси безпосередньо випливає, що якщо вектор-функцiї ỹi(t), i = 0, 1, . . . , є розв’язками послiдовностi систем рiвнянь ỹ0(t + 1) = Λỹ0(t) + F̃ (t), (300) ỹi(t + 1) = Λỹi(t) + B̃(t)ỹi−1(qt), i = 1, 2, . . . , (30i) то ряд (29) є формальним розв’язком системи рiвнянь (28). На пiдставi умов теореми ряд ỹ0(t) = ∞∑ j=1 Λj−1F̃ (t− j) (310) рiвномiрно збiгається при t ∈ R до деякого неперервного розв’язку системи рiвнянь (300) (в цьому можна переконатися безпосередньою пiдстановкою (310) в (300)), який задо- вольняє умову \|ỹ0(t)\| ≤ M̂ 1− λ∗ = M̂ ′. (320) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 ДОСЛIДЖЕННЯ СТРУКТУРИ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ . . . 319 Беручи до уваги (30i), i = 1, 2, . . . , умови теореми i спiввiдношення (310), (320), можна послiдовно показати, що ряди ỹi(t) = ∞∑ j=1 Λj−1B̃(t− j)ỹi−1(q(t− j)), i = 1, 2, . . . , (31i) рiвномiрно збiгаються при t ∈ R до деяких неперервних вектор-функцiй ỹi(t), i = 1, 2, . . . , якi є розв’язками вiдповiдних систем рiвнянь (30i), i = 1, 2, . . . (в цьому можна перекона- тися безпосередньою пiдстановкою (31i) в (30i)) i задовольняють умови \|ỹi(t)\| ≤ M̂ ′∆̃i, i = 1, 2, . . . . (32i) З огляду на спiввiдношення (32i), i = 0, 1, . . . , i умови теореми приходимо до висновку, що ряд (29) рiвномiрно збiгається до деякої неперервної при всiх t ∈ R вектор-функцiї ỹ(t), яка є розв’язком системи рiвнянь (28) i задовольняє умову \|ỹ(t)\| ≤ M̂ ′ 1− ∆̃ . Теорему 3 доведено. Виконуючи в (28) взаємно однозначну замiну змiнних y(t) = z(t) + ỹ(t), (33) отримуємо систему рiвнянь z(t + 1) = Λz(t) + B̃(t)z(qt), (34) для якої вважатимемо виконаними умови 1, 2 теореми 3 i умову 3) b∗ λ∗ − λ∗q = ∆∗ < 1 2 . Тодi, як i при доведеннi теореми 1, можна довести, що довiльний неперервний i обме- жений при t ≥ 0 розв’язок системи рiвнянь (34) можна зобразити у виглядi ряду z(t) = ∞∑ i=0 zi(t), (35) в якому вектор-функцiї zi(t), i = 0, 1, . . . , визначаються за допомогою спiввiдношень z0(t) = Λtω(t), (360) zi(t) = − ∞∑ j=0 Λ−(j+1)B̃(t + j)zi−1(q(t + j)), i = 1, 2, . . . , (36i) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 320 Г. П. ПЕЛЮХ, О. А. СIВАК де ω(t) — деяка неперервна 1-перiодична вектор-функцiя. Отже, зважаючи на (29), (33), (35), можна описати структуру множини неперервних i обмежених при t ∈ R+ розв’язкiв системи рiвнянь (28). Зауваження 3. Теорема 3 має мiсце також у випадку, коли замiсть умови 1 виконується умова 0 < λi < 1, i = 1, . . . , n, q > 0. 2. Розглянемо тепер систему рiвнянь (3) у випадку, коли t ≤ 0. Має мiсце наступна лема. Лема 3. Нехай виконуються умови: 1) λi > 1, i = 1, . . . , n, q > 1; 2) λq ∗ > λ∗, 4 = b̃ λq ∗ − λ∗ < 1, де b̃ = \|B̃\|, λ∗ = min{λi, i = 1, . . . , n}, λ∗ = max{λi, i = = 1, . . . , n}. Тодi система рiвнянь (3) має сiм’ю неперервних i обмежених при t ≤ 0 розв’язкiв, що залежать вiд довiльної неперервної 1-перiодичної вектор-функцiї ω(t). Доведення. Покажемо, що система рiвнянь (3) має сiм’ю розв’язкiв у виглядi функ- цiонального ряду (4). Для цього, очевидно, достатньо показати, що вектор-функцiї yi(t), i = 0, 1, . . . , є розв’язками послiдовностi систем рiвнянь (5i), i = 0, 1, . . ., i задовольняють оцiнки \|yi(t)\| ≤ M∆iλqt ∗ , i = 1, 2, . . . , (37) де M = max t \| ω(t)\|. Справдi, безпосередньою пiдстановкою в (5i), i = 0, 1, . . . , можна переконатися, що вектор-функцiї y0(t) = Λtω(t), (380) yi(t) = ∞∑ j=1 Λj−1B̃yi−1(q(t− j)), i = 1, 2, . . . , (38i) де Λt = diag (λt 1, . . . , λ t n), ω(t) — довiльна неперервна 1-перiодична вектор-функцiя, є фор- мальними розв’язками вiдповiдних систем рiвнянь (5i), i = 0, 1, . . . . Покажемо тепер, що ряди (38i), i = 1, 2, . . . , рiвномiрно збiгаються до деяких непе- рервних вектор-функцiй yi(t), i = 1, 2, . . . , для яких при всiх i ≥ 1, t ≤ 0 виконуються оцiнки (37). Дiйсно, оскiльки \|y0(t)\| ≤ Mλt ∗, то на пiдставi (381) маємо \|y1(t)\| ≤ ∞∑ j=1 \|Λ\|j−1\|B̃\|\|y0(q(t− j))\| ≤ b̃ ∞∑ j=1 λ∗j−1λ q(t−j) ∗ M ≤ ≤ Mb̃λ∗−1λqt ∗ ∞∑ j=1 (λ∗λ−q ∗ )j ≤ M b̃λ∗ λ−q ∗ λ∗(1− λ∗λ−q ∗ ) λqt ∗ ≤ M b̃ λq ∗ − λ∗ λqt ∗ ≤ M∆λqt ∗ . ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 ДОСЛIДЖЕННЯ СТРУКТУРИ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ . . . 321 Розмiрковуючи за iндукцiєю, припустимо, що оцiнку (37) доведено для деякого i ≥ 1, i покажемо, що вона не змiниться при переходi вiд i до i+1. Згiдно з (37), (38i+1) отримуємо \|yi+1(t)\| ≤ ∞∑ j=1 \|Λ\|j−1\|B̃\|\|yi(q(t− j))\| ≤ b̃ ∞∑ j=1 λ∗j−1M∆iλ q(q(t−j)) ∗ ≤ ≤ M∆ib̃λ∗−1λq2t ∗ ∞∑ j=1 (λ∗λ−q2 ∗ )j ≤ M∆ib̃λ∗−1λqt ∗ ∞∑ j=1 (λ∗λ−q ∗ )j ≤ ≤ M∆i b̃λ∗λ−q ∗ λ∗(1− λ∗λ−q ∗ ) λqt ∗ ≤ M∆i+1λqt ∗ . Отже, ми довели, що ряди (38i), i = 1, 2, . . . , рiвномiрно збiгаються при t ≤ 0 до деяких неперервних вектор-функцiй yi(t), i = 1, 2, . . . , що задовольняють оцiнки (37). Цим самим ми показали, що ряд (4) рiвномiрно збiгається при t ≤ 0 до деякої неперервної вектор- функцiї y(t), яка задовольняє умову \|y(t)\| ≤ M 1−∆ i є розв’язком системи рiвнянь (3). Лему 3 доведено. Лема 4. Нехай виконуються умови леми 3 i γ(t)−довiльний неперервний i обмежений при всiх t ≤ 0 розв’язок системи рiвнянь (3). Тодi при всiх t ≤ 0 виконується умова \|γ(t)\| ≤ M̂ λt ∗, де M̂ = const > 0. Доведення леми 4 проводиться за тiєю ж схемою, що i доведення леми 2. Теорема 4. Нехай виконуються умови: 1) λi > 1, i = 1, . . . , n, q > 1; 2) ∆ = b̃ λq ∗ − λ∗ < 1 2 . Тодi довiльний неперервний i обмежений при t ≤ 0 розв’язок системи рiвнянь (3) можна подати у виглядi ряду (4), в якому вектор-функцiї yi(t), i = 0, 1, . . . , визна- чаються спiввiдношеннями (38i), i = 0, 1, . . . , а ω(t) — деяка неперервна 1-перiодична вектор-функцiя. Для доведення теореми 4 достатньо показати, що для довiльного неперервного й обме- женого при t ≤ 0 розв’язку γ(t) системи рiвнянь (3) iснує неперервна 1-перiодична вектор- функцiя ω(t) така, що ω(t) = Λ−tγ(t)− Λ−t ∞∑ i=1 yi(t, ω(t)), (39) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 322 Г. П. ПЕЛЮХ, О. А. СIВАК де вектор-функцiї yi(t) = yi(t, ω(t)), i = 1, 2, . . . , визначаються спiввiдношеннями (38i), i = 1, 2, . . . . Це можна зробити аналогiчно тому, як було доведено iснування та єдинiсть неперервного 1-перiодичного розв’язку системи рiвнянь (16). Розглянемо тепер неоднорiдну систему рiвнянь вигляду y(t + 1) = Λy(t) + B̃y(qt) + F̂ (t), (40) у випадку, коли виконуються умови: 1) λi > 1, i = 1, . . . , n, q > 1; 2) b̃ λ∗ − 1 = θ < 1; 3) всi елементи вектор-функцiї F̂ (t) є неперервними й обмеженими при всiх t ∈ R функцiями i sup t \|F̂ (t)\| = M̂ < ∞. Має мiсце наступна теорема. Теорема 5. Нехай виконуються умови 1 – 3. Тодi система рiвнянь (40) має неперервний i обмежений при всiх t ∈ R розв’язок ŷ(t) = ∞∑ i=0 ŷi(t), (41) де ŷi(t), i = 0, 1, . . . , — деякi неперервнi й обмеженi при всiх t ∈ R вектор-функцiї. Доведення. Пiдставляючи (41) в (40), одержуємо ∞∑ i=0 ŷi(t + 1) = Λ ∞∑ i=0 ŷi(t) + B̃ ∞∑ i=0 ŷi(qt) + F̂ (t). Звiдси безпосередньо випливає, що якщо вектор-функцiї ŷi(t), i = 0, 1, . . . , є розв’язками послiдовностi систем рiвнянь ŷ0(t + 1) = Λŷ0(t) + F̂ (t), (420) ŷi(t + 1) = Λŷi(t) + B̃ŷi−1(qt), i = 1, 2, . . . , (42i) то ряд (41) є формальним розв’язком системи рiвнянь (40). Згiдно з умовами теореми ряд ŷ0(t) = − ∞∑ j=0 Λ−(j+1)F̂ (t + j) (430) рiвномiрно збiгається при t ∈ R, задовольняє систему рiвнянь (420) (в цьому можна пере- конатися безпосередньою пiдстановкою в (420)) i виконується оцiнка \|ŷ0(t)\| ≤ λ−1 ∗ M̂ 1− λ−1 ∗ = M̂ λ∗ − 1 = M̂∗. (440) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 ДОСЛIДЖЕННЯ СТРУКТУРИ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ . . . 323 Розглядаючи послiдовно системи рiвнянь (42i), i = 1, 2, . . . , можна за iндукцiєю довес- ти, що ряди ŷi(t) = − ∞∑ j=0 Λ−(j+1)B̃ŷi−1(q(t + j)), i = 1, 2, . . . , (43i) рiвномiрно збiгаються при всiх t ∈ R, задовольняють системи рiвнянь (42i), i = 1, 2, . . . , i виконуються оцiнки \|ŷi(t)\| ≤ M̂∗ θi, i = 1, 2, . . . . (44i) Звiдси безпосередньо випливає, що ряд (41) рiвномiрно збiгається при t ∈ R до деякої неперервної вектор-функцiї ŷ(t), яка задовольняє умову \|ŷ(t)\| ≤ M̂∗ 1− θ i є розв’язком системи рiвнянь (40). Зауваження 4. За допомогою замiни змiнних y(t) = z(t) + ŷ(t) дослiдження структури множини неперервних i обмежених розв’язкiв системи рiвнянь (40) можна звести до дослiдження структури множини неперервних i обмежених розв’яз- кiв системи рiвнянь (3), для якої має мiсце теорема 4. Зауваження 5. Теорема 5 має мiсце також у випадку, коли λi > 1, i = 1, . . . , n, q > 0. Розглянемо тепер систему рiвнянь (28), яка є природним узагальненням системи рiв- нянь (40) на випадок, коли B̃ є деякою дiйсною матрицею дiйсної змiнної t. Для системи рiвнянь (28) має мiсце наступна теорема. Теорема 6. Нехай виконуються умови: 1) λi > 1, i = 1, . . . , n, q > 1; 2) всi елементи матрицi B̃(t) i вектор-функцiї F̃ (t) є неперервними й обмеженими при t ∈ R функцiями i sup t \|B̃(t)\| = b∗, sup t \|F̃ (t)\| = M̃ ; 3) b∗ λ∗ − 1 = ∆ < 1. Тодi система рiвнянь (28) має неперервний i обмежений при t ∈ R розв’язок у виглядi ряду ˜̃y(t) = ∞∑ i=0 ˜̃yi(t), (45) де ˜̃yi(t), i = 0, 1, . . . , — деякi неперервнi й обмеженi при t ∈ R вектор-функцiї. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 324 Г. П. ПЕЛЮХ, О. А. СIВАК Для доведення теореми достатньо, очевидно, спочатку показати, що послiдовнiсть си- стем рiвнянь ˜̃y0(t + 1) = Λ˜̃y0(t) + F̃ (t), (460) ˜̃yi(t + 1) = Λ˜̃yi(t) + B̃(t)˜̃yi−1(qt), i = 1, 2, . . . , (46i) має неперервнi й обмеженi при t ∈ R розв’язки ˜̃yi(t), i = 0, 1, . . . . Безпосередньою пiдстановкою в (46i), i = 0, 1, . . . , можна переконатися, що ряди ˜̃y0(t) = − ∞∑ j=0 Λ−(j+1)F̃ (t + j), (470) ˜̃yi(t) = − ∞∑ j=0 Λ−(j+1)B̃(t + j)˜̃yi−1(q(t + j)), i = 1, 2, . . . , (47i) є формальними розв’язками систем рiвнянь (46i), i = 0, 1, . . . . Беручи до уваги умови те- ореми, легко показати, що вони рiвномiрно збiгаються при t ∈ R до деяких неперервних вектор-функцiй, якi задовольняють умови \|˜̃yi(t)\| ≤ M̃ ′ ∆i , i = 0, 1, . . . , (48) де M̃ ′ = M̃ λ∗ − 1 . Отже, внаслiдок (48) ряд (45) рiвномiрно збiгається при t ∈ R до де- якої неперервної вектор-функцiї ˜̃y(t), яка є розв’язком системи рiвнянь (28) i задовольняє умову \|˜̃y(t)\| ≤ M̃ ′ 1−∆ . Теорему 6 доведено. Виконуючи в (28) замiну змiнних y(t) = z(t) + ˜̃y(t), дослiдження системи рiвнянь (28) можна звести до дослiдження системи рiвнянь вигляду (34) вiдносно вектор-функцiї z(t), для якої вважатимемо виконаними умови 1, 2 теореми 6 i умову 3) b∗ λq ∗ − λ∗ = ∆ < 1 2 . Тодi, як i при доведеннi теореми 4, можна показати, що довiльний неперервний i обме- жений при t ≤ 0 розв’язок γ(t) системи рiвнянь (34) можна зобразити у виглядi ряду γ(t) = ∞∑ i=0 zi(t), ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 ДОСЛIДЖЕННЯ СТРУКТУРИ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ . . . 325 де вектор-функцiї zi(t), i = 0, 1, . . . , визначаються за допомогою спiввiдношень z0(t) = Λtω(t), zi(t) = ∞∑ j=1 Λj−1B̃(t− j)zi−1(q(t− j)), i = 1, 2, . . . , ω(t)− деяка неперервна 1-перiодична вектор-функцiя. Зауваження 6. Теорема 6 має мiсце також у випадку, коли λi > 1, i = 1, . . . , n, q > 0. 3. Дослiдимо тепер питання про iснування неперервних при t ≥ 0 розв’язкiв системи рiзницевих рiвнянь (3) у випадку, коли власнi числа λi, i = 1, . . . , n, задовольняють умову λi > 1, i = 1, . . . , n. Для цього виконаємо в (3) взаємно однозначну замiну змiнних y(t) = Λtz(t). (49) В результатi отримаємо систему рiвнянь вигляду z(t + 1) = z(t) + Λ−(t+1)B̃Λqtz(qt), (50) для якої має мiсце наступна лема. Лема 5. Нехай виконуються умови: 1) λi > 1, i = 1, . . . , n, 0 < q < 1; 2) λ∗ > λ∗q, ∆ = b̃ λ∗ − λ∗q < 1, де b̃ = \|B̃\|, λ∗ = min{λi, i = 1, . . . , n}, λ∗ = max{λi, i = = 1, . . . , n}. Тодi система рiвнянь (50) має сiм’ю неперервних i обмежених при t ≥ 0 розв’язкiв, якi залежать вiд довiльної неперервної 1-перiодичної вектор-функцiї ω(t). Доведення. Розв’язки системи рiвнянь (50) шукатимемо у виглядi ряду z(t) = ∞∑ i=0 zi(t), (51) де zi(t), i = 0, 1, . . . , — деякi неперервнi вектор-функцiї. Пiдставляючи (51) в (50), отри- муємо ∞∑ i=0 zi(t + 1) = ∞∑ i=0 zi(t) + Λ−(t+1)B̃Λqt ∞∑ i=0 zi(qt). Якщо вектор-функцiї zi(t), i = 0, 1, . . . , є розв’язками послiдовностi систем рiвнянь z0(t + 1) = z0(t), (520) zi(t + 1) = zi(t) + Λ−(t+1)B̃Λqtzi−1(qt), i = 1, 2, . . . , (52i) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 326 Г. П. ПЕЛЮХ, О. А. СIВАК то, очевидно, ряд (51) буде формальним розв’язком системи рiвнянь (50). Оскiльки множина неперервних при t ≥ 0 розв’язкiв системи рiвнянь (520) має вигляд z0(t) = ω(t), (530) де ω(t) = (ω1(t), . . . , ωn(t)), ωi(t), i = 1, 2, . . . , — довiльнi неперервнi 1-перiодичнi функцiї, то, розглядаючи послiдовно системи рiвнянь (52i), i = 1, 2, . . . , доведемо, що вони також мають неперервнi при t ≥ 0 розв’язки. Дiйсно, оскiльки ряди zi(t) = − ∞∑ j=0 Λ−(t+j+1)B̃ Λq(t+j)zi−1(q(t + j)), i = 1, 2, . . . , (53i) є формальними розв’язками систем рiвнянь (52i), i = 1, 2, . . . , то для цього достатньо показати, що цi ряди рiвномiрно збiгаються до деяких неперервних вектор-функцiй zi(t), i = 1, 2, . . . . Для цього, в свою чергу, достатньо встановити, що при всiх i ≥ 1, t ≥ 0 виконується оцiнка \|zi(t)\| ≤ M∆i(λ−1 ∗ λ∗q)t, (54) де M = max t \| ω(t)\|. Дiйсно, оскiльки \|z0(t)\| ≤ M, то, беручи до уваги (531), отримуємо \|z1(t)\| ≤ ∞∑ j=0 \|Λ−1\|t+j+1\|B̃\| \|Λ\|q(t+j)\|z0(q(t + j))\| ≤ Mb̃ ∞∑ j=0 λ −(t+j+1) ∗ λ∗q(t+j) ≤ ≤ Mb̃ λ−1 ∗ (λ−1 ∗ λ∗q)t ∞∑ j=0 (λ−1 ∗ λ∗q)j ≤ M b̃ λ∗(1− λ−1 ∗ λ∗q) (λ−1 ∗ λ∗q)t ≤ ≤ M b̃ λ∗ − λ∗q (λ−1 ∗ λ∗q)t ≤ M ∆ (λ−1 ∗ λ∗q)t. Розмiрковуючи за iндукцiєю, припустимо, що оцiнку (54) доведено для деякого i ≥ 1, i покажемо, що вона не змiниться при переходi вiд i до i + 1. Враховуючи (53i+1), (54), знаходимо \|zi+1(t)\| ≤ ∞∑ j=0 \|Λ−1\|t+j+1\|B̃\|\|Λ\|q(t+j)\|zi(q(t + j))\| ≤ ≤ b̃ ∞∑ j=0 λ −(t+j+1) ∗ λ∗q(t+j)M∆i(λ−1 ∗ λ∗q)q(t+j) ≤ M∆ib̃(λ−1−q ∗ λ∗q+q2 )tλ−1 ∗ × × ∞∑ j=0 (λ−1−q ∗ λ∗q+q2 )j ≤ M∆ib̃(λ−1 ∗ λ∗q)tλ−1 ∗ ∞∑ j=0 (λ−1 ∗ λ∗q)j ≤ ≤ M∆i b̃ λ∗(1− λ−1 ∗ λ∗q) (λ−1 ∗ λ∗q)t ≤ M ∆i+1(λ−1 ∗ λ∗q)t. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 ДОСЛIДЖЕННЯ СТРУКТУРИ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ . . . 327 Отже, ми показали, що оцiнка (54) має мiсце при всiх i ≥ 1, t ≥ 0. Цим самим ми довели, що ряди (53i), i = 1, 2, . . . , рiвномiрно збiгаються до деяких неперервних вектор- функцiй zi(t), i = 1, 2, . . . , для яких виконується оцiнка (54). Звiдси безпосередньо випли- ває, що ряд (51) рiвномiрно збiгається при t ≥ 0 до деякої неперервної вектор-функцiї z(t), яка задовольняє умову \|z(t)\| ≤ M 1−∆ . Лему 5 доведено. Беручи до уваги замiну змiнних (49) i лему 5, отримуємо наступну теорему. Теорема 7. Нехай виконуються умови 1, 2 леми 5. Тодi система рiвнянь (3) має сiм’ю неперервних при t ≥ 0 розв’язкiв y(t) = y(t, ω(t)), якi залежать вiд довiльної неперервної 1-перiодичної вектор-функцiї ω(t). 4. Розглянемо тепер систему рiзницевих рiвнянь (3) у випадку, коли t ≤ 0 i власнi числа λi, i = 1, . . . , n, задовольняють умову 0 < λi < 1, i = 1, . . . , n. Виконуючи в (3) взаємно однозначну замiну змiнних y(t) = Λtz(t), (55) систему рiвнянь (3) можна звести до вигляду z(t + 1) = z(t) + Λ−(t+1)B̃Λqtz(qt). (56) Для системи рiвнянь (56) має мiсце наступна лема. Лема 6. Нехай виконуються умови: 1) 0 < λi < 1, i = 1, n, 0 < q < 1; 2) λq ∗ > λ∗, 4 = b̃ λq ∗ − λ∗ < 1, де b̃ = \|B̃\|, λ∗ = max{λi, i = 1, . . . , n}, λ∗ = min{λi, i = = 1, . . . , n}. Тодi система рiвнянь (56) має сiм’ю неперервних i обмежених при t ≤ 0 розв’язкiв, якi залежать вiд довiльної неперервної 1-перiодичної вектор-функцiї ω(t). Доведення. Покажемо, що система рiвнянь (56) має розв’язки у виглядi ряду (51). Дiй- сно, пiдставляючи (51) у систему рiвнянь (56), отримуємо ∞∑ i=0 zi(t + 1) = ∞∑ i=0 zi(t) + Λ−(t+1)B̃Λqt ∞∑ i=0 zi(qt). Якщо вектор-функцiї zi(t), i = 0, 1, . . . , задовольняють послiдовностi систем рiвнянь z0(t + 1) = z0(t), (570) zi(t + 1) = zi(t) + Λ−(t+1)B̃Λqtzi−1(qt), i = 1, 2, . . . , (57i) то ряд (51) буде формальним розв’язком системи рiвнянь (56). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 328 Г. П. ПЕЛЮХ, О. А. СIВАК Система рiвнянь (570) має сiм’ю неперервних при t ≤ 0 розв’язкiв вигляду z0(t) = ω(t), (580) де ω(t) = (ω1(t), . . . , ωn(t)), ωi(t), i = 1, 2, . . . , — довiльнi неперервнi 1-перiодичнi функцiї. Розглядаючи послiдовно системи рiвнянь (57i), i = 1, 2, . . . , доведемо, що вони також мають неперервнi при t ≤ 0 розв’язки. Дiйсно, оскiльки ряди zi(t) = ∞∑ j=1 Λ−(t−j+1)B̃Λq(t−j)zi−1(q(t− j)), i = 1, 2, . . . , (58i) є формальними розв’язками послiдовностi систем рiвнянь (57i), i = 1, 2, . . . , то для цього достатньо показати, що цi ряди рiвномiрно збiгаються до деяких неперервних вектор- функцiй zi(t), i = 1, 2, . . . . Для цього, в свою чергу, достатньо показати, що при всiх i ≥ 1 виконується оцiнка \|zi(t)\| ≤ M∆i(λ∗−1λq ∗) t, (59) де M = max t \| ω(t)\|. Дiйсно, оскiльки \|z0(t)\| ≤ M, то з огляду на (581) отримуємо \|z1(t)\| ≤ ∞∑ j=1 \|Λ−(t−j+1)\| \|B̃\| \|Λq(t−j)\| \|z0(q(t− j))\| ≤ Mb̃ ∞∑ j=1 λ∗−(t−j+1)λ q(t−j) ∗ ≤ ≤ M b̃(λ∗−1λq ∗) tλ∗−1 ∞∑ j=1 (λ∗λ−q ∗ )j ≤ M λ∗−1 b̃λ∗λ−q ∗ 1− λ∗λ−q ∗ (λ∗−1λq ∗) t ≤ ≤ M b̃ λq ∗ − λ∗ (λ∗−1λq ∗) t = M∆(λ∗−1λq ∗) t. Розмiрковуючи за iндукцiєю, припустимо, що оцiнку (59) доведено для деякого i ≥ 1, i покажемо, що вона не змiниться при переходi вiд i до i + 1. Згiдно з (58i+1), (59) маємо \|zi+1(t)\| ≤ ∞∑ j=1 \|Λ−(t−j+1)\| \|B̃\| \|Λq(t−j)\| \|zi(q(t− j))\| ≤ ≤ b̃ ∞∑ j=1 λ∗−(t−j+1)λ q(t−j) ∗ M∆i(λ∗−1λq ∗) q(t−j) ≤ M∆ib̃(λ∗−1λq ∗) (1+q)tλ∗−1× × ∞∑ j=1 (λ∗λ−q ∗ )(1+q)j ≤ M∆ib̃(λ∗−1λq ∗) tλ∗−1 ∞∑ j=1 (λ∗λ−q ∗ )j ≤ ≤ M∆i b̃ λq ∗ − λ∗ (λ∗−1λq ∗) t = M∆i+1(λ∗−1λq ∗) t, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 ДОСЛIДЖЕННЯ СТРУКТУРИ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ . . . 329 звiдки випливає оцiнка (59) при i + 1. Цим ми показали, що оцiнка (59) має мiсце при всiх i ≥ 1, t ≤ 0. Отже, ряди (58i), i = 1, 2, . . . , рiвномiрно збiгаються при t ≤ 0 до деяких неперервних вектор-функцiй zi(t), i = 1, 2, . . . . Звiдси безпосередньо випливає, що ряд (51) рiвномiрно збiгається при t ≤ 0 до деякої неперервної вектор-функцiї z(t), яка задовольняє умову \|z(t)\| ≤ M 1−∆ . Беручи до уваги замiну змiнних (55) i лему 6, отримуємо наступну теорему. Теорема 8. Нехай виконуються умови 1, 2 леми 6. Тодi система рiвнянь (3) має сiм’ю неперервних при t ≤ 0 розв’язкiв, якi залежать вiд довiльної неперервної 1-перiодичної вектор-функцiї ω(t). 5. Розглянемо тепер систему рiзницевих рiвнянь (3) при наступних припущеннях: 1) 0 < λi < 1 < λj , i = 1,m, j = m + 1, n, 0 ≤ m ≤ n, q > 1; 2) λ∗ > λ∗q, ∆ = b̃ λ∗ − λ∗q < 1, де b̃ = \|B̃\|, λ∗ = min{λi, i = 1, . . . ,m}, λ∗ = max{λi, i = = 1, . . . ,m}. Має мiсце наступна лема. Лема 7. Нехай виконуються умови 1, 2. Тодi система рiвнянь (3) має сiм’ю неперерв- них i обмежених при t ≥ 0 розв’язкiв, якi залежать вiд m довiльних неперервних 1-перiо- дичних функцiй. Доведення. Покажемо, що система рiвнянь (3) має розв’язки у виглядi ряду (4). Для цього, очевидно, достатньо показати, що системи рiвнянь (5i), i = 0, 1, . . . , мають непе- рервнi обмеженi при t ≥ 0 розв’язки yi(t), i = 0, 1, . . . , якi задовольняють оцiнки \|yi(t)\| ≤ M̃∆iλ∗qt, i = 0, 1, . . . , (60) де M̃ — деяка додатна стала. Дiйсно, система рiвнянь (50) має сiм’ю неперервних обмежених при t ≥ 0 розв’язкiв вигляду y0(t) = Λtω̃(t), (610) де Λt = diag (λt 1, . . . , λ t n), ω̃(t) = (ω1(t), . . . , ωm(t), 0, . . . , 0), ωi(t), i = 1, . . . ,m, — довiльнi неперервнi 1-перiодичнi функцiї. Тодi безпосередньою пiдстановкою в (5i), i = 1, 2, . . . , можна переконатися, що ряди yi(t) = − ∞∑ j=0 Λ−(j+1)B̃ yi−1(q(t + j)), i = 1, 2, . . . , (61i) є формальними розв’язками вiдповiдних систем рiвнянь (5i), i = 1, 2, . . . . Покажемо, що ряди (61i), i = 1, 2, . . . , рiвномiрно збiгаються до деяких неперерв- них вектор-функцiй yi(t), i = 1, 2, . . . , якi задовольняють оцiнки (60). Справдi, оскiльки ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 330 Г. П. ПЕЛЮХ, О. А. СIВАК \|y0(t)\| ≤ M̃λ∗t, де M̃ = max t \|ω̃(t)\|, то згiдно з (611) отримуємо \|y1(t)\| ≤ ∞∑ j=0 \|Λ−1\|j+1 \|B̃\| \|y0(q(t + j))\| ≤ M̃ b̃ ∞∑ j=0 λ −(j+1) ∗ λ∗q(t+j) ≤ ≤ M̃ b̃ λ−1 ∗ λ∗qt ∞∑ j=0 (λ−1 ∗ λ∗q)j ≤ M̃ b̃ λ∗(1− λ−1 ∗ λ∗q) λ∗qt ≤ M̃ b̃ λ∗ − λ∗q λ∗qt ≤ M̃∆λ∗qt. Розмiрковуючи за iндукцiєю, припустимо, що оцiнку (60) доведено для деякого i ≥ 1, i покажемо, що вона не змiниться при переходi вiд i до i+1. Згiдно з (61i+1), (60) одержуємо \|yi+1(t)\| ≤ ∞∑ j=0 \|Λ−1\|j+1 \|B̃\| \|yi(q(t + j))\| ≤ b̃ ∞∑ j=0 λ −(j+1) ∗ M̃ ∆iλ∗q(q(t+j)) ≤ ≤ M̃∆i b̃ λ−1 ∗ λ∗q 2t ∞∑ j=0 (λ−1 ∗ λ∗q 2 )j ≤ M̃∆i b̃ λ−1 ∗ λ∗qt ∞∑ j=0 (λ−1 ∗ λ∗q)j ≤ ≤ M̃∆i b̃ λ∗(1− λ−1 ∗ λ∗q) λ∗qt ≤ M̃∆i+1λ∗qt, звiдки випливає оцiнка (60) при i + 1. Цим ми довели, що ряди (61i), i = 1, 2, . . . , рiвно- мiрно збiгаються при t ≥ 0 до деяких неперервних вектор-функцiй yi(t), i = 1, 2, . . . , що задовольняють оцiнки (60). Звiдси безпосередньо випливає, що ряд (4) рiвномiрно збiга- ється при t ≥ 0 до деякої неперервної вектор-функцiї y(t), яка задовольняє умову \|y(t)\| ≤ M̃ 1−∆ . Лему 7 доведено. Дослiдимо тепер питання про iснування неперервних при t ≤ 0 розв’язкiв системи рiзницевих рiвнянь (3) у випадку, коли виконуються умови: 1) 0 < λi < 1 < λj , i = 1,m, j = m + 1, n, 0 ≤ m ≤ n, q > 1; 2) λ q ∗ > λ ∗ , ∆ = b̃ λ q ∗ − λ ∗ < 1, де b̃ = \|B̃\|, λ ∗ = max{λj , j = m + 1, . . . , n}, λ∗ = = min{λj , j = m + 1, . . . , n}. Має мiсце наступна лема. Лема 8. Нехай виконуються умови 1, 2. Тодi система рiвнянь (3) має сiм’ю неперерв- них i обмежених при t ≤ 0 розв’язкiв, якi залежать вiд n − m довiльних неперервних 1-перiодичних функцiй ωj(t), j = m + 1, n. Доведення. Покажемо, що система рiвнянь (3) має розв’язки у виглядi ряду (4). Дiйс- но, якщо вектор-функцiї yi(t), i = 0, 1, . . . , є розв’язками систем рiвнянь (5i), i = 0, 1, . . . , то ряд (4) буде формальним розв’язком системи рiвнянь (3). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 ДОСЛIДЖЕННЯ СТРУКТУРИ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ . . . 331 Система рiвнянь (50) має сiм’ю неперервних i обмежених при t ≤ 0 розв’язкiв вигляду y0(t) = Λt ω (t), (620) де Λt = diag (λt 1, . . . , λ t n), ω(t) = (0, . . . , 0, ωm+1(t), . . . , ωn(t)), ωi(t), i = m + 1, . . . , n, — довiльнi неперервнi 1-перiодичнi функцiї. Розглядаючи послiдовно системи рiвнянь (5i), i = 1, 2, . . . , доведемо, що вони також мають неперервнi при t ≤ 0 розв’язки. Дiйсно, оскiльки ряди yi(t) = ∞∑ j=1 Λj−1B̃ yi−1(q(t− j)), i = 1, 2, . . . , (62i) є формальними розв’язками вiдповiдних систем рiвнянь (5i), i = 1, 2, . . . , то достатньо показати, що цi ряди рiвномiрно збiгаються до деяких неперервних вектор-функцiй yi(t), i = 1, 2, . . . . Для цього, в свою чергу, достатньо показати, що при всiх i ≥ 1 виконується оцiнка \|yi(t)\| ≤ M ∆i λ qt ∗ , (63) де M = max t \|ω(t)\|. Справдi, оскiльки \|y0(t)\| ≤ M λ t ∗, то внаслiдок (621) отримуємо \|y1(t)\| ≤ ∞∑ j=1 \|Λ\|j−1 \|B̃\| \|y0(q(t− j))\| ≤ b̃ ∞∑ j=1 λ ∗(j−1)\|y0(q(t− j))\| ≤ ≤ b̃ ∞∑ j=1 λ ∗j−1 M λ q(t−j) ∗ ≤ M b̃λ ∗−1 λ qt ∗ ∞∑ j=1 (λ∗λ−q ∗ )j ≤ M b̃ λ −q ∗ 1− λ ∗ λ −q ∗ λ qt ∗ ≤ ≤ M b̃ λ q ∗ − λ ∗ λ qt ∗ ≤ M ∆ λ qt ∗ . Розмiрковуючи за iндукцiєю, припустимо, що оцiнку (63) доведено для деякого i ≥ 1, i покажемо, що вона не змiниться при переходi вiд i до i+1. Згiдно з (62i+1), (63) отримуємо \|yi+1(t)\| ≤ ∞∑ j=1 \|Λ\|j−1\|B̃\| \|yi(q(t− j))\| ≤ b̃ ∞∑ j=1 λ ∗(j−1) M ∆i λ q(q(t−j)) ∗ ≤ ≤ M ∆i b̃ λ ∗−1 λ q2t ∗ ∞∑ j=1 (λ∗λ−q2 ∗ )j ≤ M ∆i b̃ λ ∗−1 λ qt ∗ ∞∑ j=1 (λ∗λ−q ∗ )j ≤ ≤ M ∆i b̃ λ −q ∗ 1− λ ∗ λ −q ∗ λ qt ∗ ≤ M ∆i+1 λ qt ∗ , звiдки випливає оцiнка (63) при i + 1. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 332 Г. П. ПЕЛЮХ, О. А. СIВАК Отже, ми довели, що ряди (62i), i = 1, 2, . . . , рiвномiрно збiгаються при t ≤ 0 до деяких неперервних вектор-функцiй yi(t), i = 1, 2, . . . , якi задовольняють оцiнку (63). Цим ми довели, що ряд (4) рiвномiрно збiгається при t ≤ 0 до деякої неперервної вектор-функцiї y(t), яка задовольняє умову \|y(t)\| ≤ M 1−∆ . Лему 8 доведено. Розглянемо тепер систему неоднорiдних рiвнянь вигляду y(t + 1) = Λy(t) + B̃y(qt) + F (t), (64) де F : R → Rn. Вводячи позначення Λ = diag (Λ1,Λ2), Λ1 = diag (λ1, . . . , λm), Λ2 = diag (λm+1, . . . , λn), y(t) = (y1(t), y2(t)), y1(t) = (y1(t), . . . , ym(t)), y2(t) = (ym+1(t), . . . , yn(t)), (65) B̃ = ( B̃11 B̃12 B̃21 B̃22 ) , F (t) = (F 1(t), F 2(t)), F 1(t) = (F1(t), . . . , Fm(t)), F 2(t) = (Fm+1(t), . . . , Fn(t)), систему рiвнянь (64) записуємо у виглядi y1(t + 1) = Λ1y 1(t) + B̃11y 1(qt) + B̃12y 2(qt) + F 1(t), (66) y2(t + 1) = Λ2y 2(t) + B̃21y 1(qt) + B̃22y 2(qt) + F 2(t). Має мiсце наступна теорема. Теорема 9. Нехай виконуються умови: 1) 0 < λi < 1 < λj , i = 1, . . . ,m, j = m + 1, . . . , n, q > 0; 2) θ = max { b̃1 1− λ∗ , b̃2 λ∗ − 1 } < 1, де b̃1 = \|B̃11\| + \|B̃12\|, b̃2 = \|B̃21\| + \|B̃22\|, λ∗ = = max{λi, i = 1, . . . ,m}, λ∗ = min{λj , j = m + 1, . . . , n}; 3) всi елементи вектор-функцiї F (t) є неперервними й обмеженими при всiх t ∈ R функцiями. Тодi система рiвнянь (66) має неперервний i обмежений при t ∈ R розв’язок y(t) = = (y1(t), y2(t)). Доведення. Розв’язок системи рiвнянь (66) шукатимемо у виглядi функцiональних ря- дiв y1(t) = ∞∑ i=0 y1 i (t), (67) y2(t) = ∞∑ i=0 y2 i (t), ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 ДОСЛIДЖЕННЯ СТРУКТУРИ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ . . . 333 де y1 i (t), y2 i (t), i = 0, 1, . . . , — деякi неперервнi й обмеженi при t ∈ R вектор-функцiї. Дiйсно, пiдставляючи (67) в (66), отримуємо ∞∑ i=0 y1 i (t + 1) = Λ1 ∞∑ i=0 y1 i (t) + B̃11 ∞∑ i=0 y1 i (qt) + B̃12 ∞∑ i=0 y2 i (qt) + F 1(t), ∞∑ i=0 y2 i (t + 1) = Λ2 ∞∑ i=0 y2 i (t) + B̃21 ∞∑ i=0 y1 i (qt) + B̃22 ∞∑ i=0 y2 i (qt) + F 2(t). Звiдси безпосередньо випливає, що якщо вектор-функцiї y1 i (t), y 2 i (t) i = 0, 1, . . . , є розв’яз- ками послiдовностi систем рiвнянь y1 0(t + 1) = Λ1y 1 0(t) + F 1(t), y2 0(t + 1) = Λ2y 2 0(t) + F 2(t), (680) y1 i (t + 1) = Λ1y 1 i (t) + B̃11y 1 i−1(qt) + B̃12y 2 i−1(qt), i = 1, 2, . . . , y2 i (t + 1) = Λ2y 2 i (t) + B̃21y 1 i−1(qt) + B̃22y 2 i−1(qt), (68i) то ряди (67) є формальним розв’язком системи рiвнянь (66). Беручи до уваги умови теореми, можна переконатися, що ряди y1 0(t) = ∞∑ j=1 Λj−1 1 F 1(t− j), y2 0(t) = − ∞∑ j=0 Λ−(j+1) 2 F 2(t + j) (690) рiвномiрно збiгаються при t ∈ R, задовольняють систему рiвнянь (680) i виконуються оцiнки \|y1 0(t)\| ≤ M1 1− λ∗ , \|y2 0(t)\| ≤ M2 λ∗ − 1 , (700) де M1 = sup t \|F 1(t)\|, M2 = sup t \|F 2(t)\|. Згiдно з (700) отримуємо оцiнку \|y0(t)\| ≤ M ′ = max { M1 1− λ∗ , M2 λ∗ − 1 } . (710) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 334 Г. П. ПЕЛЮХ, О. А. СIВАК Враховуючи (68i) та (700), можна послiдовно показати, що ряди y1 i (t) = ∞∑ j=1 Λj−1 1 ( B̃11y 1 i−1(q(t− j)) + B̃12y 2 i−1(q(t− j)) ) , i = 1, 2, . . . , y2 i (t) = − ∞∑ j=0 Λ−(j+1) 2 ( B̃21y 1 i−1(q(t + j)) + B̃22y 2 i−1(q(t + j)) ) , (69i) рiвномiрно збiгаються при t ∈ R, задовольняють системи рiвнянь (68i), i = 1, 2, . . . , i виконуються оцiнки \|y1 i (t)\| ≤ M ′θi, i = 1, 2, . . . . \|y2 i (t)\| ≤ M ′θi, (70i) Звiдси безпосередньо випливає, що ряди (67) рiвномiрно збiгаються при t ∈ R до деякої неперервної вектор-функцiї y(t) = (y1(t), y2(t)), яка є розв’язком системи рiвнянь (64) i задовольняє умову \|y(t)\| ≤ M ′ 1− θ . Теорему 9 доведено. Дослiдимо тепер систему рiвнянь (64) у випадку, коли B̃ = B̃(t), тобто розглянемо систему рiвнянь y(t + 1) = Λy(t) + B̃(t)y(qt) + F̃ (t), (72) де Λ = diag (λ1, . . . , λn), q — деяка стала, B̃(t) : R → Rn2 , F̃ (t) : R → Rn. Ввiвши позначення Λ = diag (Λ1,Λ2), Λ1 = diag (λ1, . . . , λm), Λ2 = diag (λm+1, . . . , λn), y(t) = (y1(t), y2(t)), y1(t) = (y1(t), . . . , ym(t)), y2(t) = (ym+1(t), . . . , yn(t)), (73) B̃(t) = ( B̃11(t) B̃12(t) B̃21(t) B̃22(t) ) , F̃ (t) = (F̃ 1(t), F̃ 2(t)), F̃ 1(t) = (F̃1(t), . . . , F̃m(t)), F̃ 2(t) = (F̃m+1(t), . . . , F̃n(t)), систему рiвнянь (72) можна записати у виглядi y1(t + 1) = Λ1y 1(t) + B̃11(t)y1(qt) + B̃12(t)y2(qt) + F̃ 1(t), (74) y2(t + 1) = Λ2y 2(t) + B̃21(t)y1(qt) + B̃22(t)y2(qt) + F̃ 2(t). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 ДОСЛIДЖЕННЯ СТРУКТУРИ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ . . . 335 Для системи рiвнянь (74) має мiсце наступна теорема. Теорема 10. Нехай виконуються умови: 1) 0 < λi < 1 < λj , i = 1, . . . ,m, j = m + 1, . . . , n, q > 0; 2) всi елементи матрицi B̃(t) i вектор-функцiї F̃ (t) є неперервними й обмеженими при t ∈ R функцiями; 3) ∆ = max { b̃∗1 1− λ∗ , b̃∗2 λ∗ − 1 } < 1, де b̃∗1 = \|B̃11(t)\|+ \|B̃12(t)\|, b̃∗2 = \|B̃21(t)\|+ \|B̃22(t)\|. Тодi система рiвнянь (74) має неперервний i обмежений при t ∈ R розв’язок. Доведення теореми проводиться за тiєю ж схемою, що i доведення теореми 9. 1. Birkhoff G. D. General theory of linear difference equations // Trans. Amer. Math. Soc. — 1911. — 12. — P. 243 – 284. 2. Birkhoff G. D. Formal theory of irregular linear difference equations // Acta math. — 1930. — 54. — P. 205 – 246. 3. Trjitzinsky W. J. Analytic theory of linear q-difference equations // Ibid. — 1933. — 61. — P. 1 – 38. 4. Adams C. R. On the irregular cases of linear ordinary difference equations // Trans. Amer. Math. Soc. — 1928. — 30, № 3. — P. 507 – 541. 5. Carmichael R. D. linear difference equations and their analytic solutions // Ibid. — 1911. — 12. — P. 99 – 134. 6. Kuczma M. Functional equations in a single variable. — Warsawa, 1968. 7. Миролюбов А. А., Солдатов М. А. Линейные неоднородные разностные уравнения. — М.: Наука, 1986. — 128 c. 8. Шарковский А. Н., Майстренко Ю. Л., Романенко Е. Ю. Разностные уравнения и их приложения. — Киев: Наук. думка, 1986. — 280 c. 9. Пелюх Г. П. К теории систем линейных разностных уравнений с непрерывным аргументом // Докл. АН. — 2006. — 407, № 5 — С. 600 – 603. 10. Пелюх Г. П. О периодических решениях систем линейных разностных уравнений в критическом слу- чае // Дифференц. уравнения. — 2008. — № 3. — С. 421 – 423. Одержано 25.06.08 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3

Дослідження структури множини неперервних розв’язків систем лінійних функціонально-різницевих рівнянь

Репозитарії

Схожі ресурси