Про існування інваріантних торів зліченних систем диференціально-різницевих рівнянь, визначених на нескінченновимірних торах
Получены достаточные условия существования в пространстве ограниченных числовых последовательностей инвариантных торов линейных и квазилинейных счетных систем дифференциально-разностных уравнений, определенных на бесконечномерных торах и содержащих бесконечное множество постоянных отклонений скаляр...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2009 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178408 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про існування інваріантних торів зліченних систем диференціально-різницевих рівнянь, визначених на нескінченновимірних торах / А.М. Самойленко, Ю.В. Теплінський, К.В. Пасюк // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 3. — С. 347-367. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859680924285796352 |
|---|---|
| author | Самойленко, А.М. Теплінський, Ю.В. Пасюк, К.В. |
| author_facet | Самойленко, А.М. Теплінський, Ю.В. Пасюк, К.В. |
| citation_txt | Про існування інваріантних торів зліченних систем диференціально-різницевих рівнянь, визначених на нескінченновимірних торах / А.М. Самойленко, Ю.В. Теплінський, К.В. Пасюк // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 3. — С. 347-367. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Получены достаточные условия существования в пространстве ограниченных числовых последовательностей инвариантных торов линейных и квазилинейных счетных систем дифференциально-разностных уравнений, определенных на бесконечномерных торах и содержащих
бесконечное множество постоянных отклонений скалярного аргумента.
In the space of bounded number sequences, sufficient conditions of existence of invariant tori for linear
and quasi-linear countable systems of differential-difference equations defined on infinite-dimensional tori
and containing an infinite set of constant deviations of scalar argument are obtained.
|
| first_indexed | 2025-11-30T17:51:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
ПРО IСНУВАННЯ IНВАРIАНТНИХ ТОРIВ
ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ,
ВИЗНАЧЕНИХ НА НЕСКIНЧЕННОВИМIРНИХ ТОРАХ
А. М. Самойленко
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ, вул. Терещенкiвська, 3
e-mail: sam@imath.kiev.ua
Ю. В. Теплiнський
Кам’янець-Подiл. нац. ун-т
Україна, 32300, Кам’янець-Подiльський Хмельницької обл.,
вул. Iвана Огiєнка, 61
К. В. Пасюк
Буковин. держ. фiн. академiя
Україна, 58000, Чернiвцi, вул. Штерна, 1
In the space of bounded number sequences, sufficient conditions of existence of invariant tori for linear
and quasi-linear countable systems of differential-difference equations defined on infinite-dimensional tori
and containing an infinite set of constant deviations of scalar argument are obtained.
Получены достаточные условия существования в пространстве ограниченных числовых по-
следовательностей инвариантных торов линейных и квазилинейных счетных систем диффе-
ренциально-разностных уравнений, определенных на бесконечномерных торах и содержащих
бесконечное множество постоянных отклонений скалярного аргумента.
1. Постановка задачi. Вiдомо, що дослiдження iнварiантних множин i, зокрема, iнварiан-
тних торiв посiдають важливе мiсце як в теорiї неперервних динамiчних систем (потокiв),
так i в теорiї дискретних динамiчних систем (каскадiв), визначених у рiзноманiтних нор-
мованих просторах. Велика кiлькiсть фундаментальних результатiв, одержаних у цiй га-
лузi математики протягом майже чотирьох останнiх десятилiть, пов’язана iз застосуван-
ням методу функцiї Грiна задачi про iнварiантний тор лiнiйного розширення динамiчної
системи на торi, запропонованого А. М. Самойленком у 1970 роцi [1, 2]. У роботах [3 – 6]
вказаний метод застосовано до дослiдження iнварiантних торiв злiченних систем звичай-
них диференцiальних рiвнянь, визначених на торах. Протягом останнiх десяти рокiв було
опублiковано ряд наукових праць [7 – 15], в яких цей метод застосовано до дослiдження
iнварiантних торiв злiченних систем диференцiально-рiзницевих та рiзницевих рiвнянь.
У цiй роботi поставлено i розв’язано задачу вiдшукання достатнiх умов iснування у про-
сторi обмежених числових послiдовностей iнварiантних торiв лiнiйних та квазiлiнiйних
злiченних систем диференцiально-рiзницевих рiвнянь, що визначенi на нескiнченнови-
мiрних торах i мiстять нескiнченну множину рiзнознакових сталих вiдхилень скалярного
аргументу. До цього часу така задача у математичнiй лiтературi не дослiджувалась.
c© А. М. Самойленко, Ю. В. Теплiнський, К. В. Пасюк, 2009
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 347
348 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, К. В. ПАСЮК
2. Основне допомiжне твердження. Розглянемо спочатку рiвняння
dφ
dt
= a(φ), (1)
де φ = (φ1, φ2, φ3, . . .) ∈ M; вiдображення a(φ) = {a1(φ), a2(φ), a3(φ), . . .} визначено перi-
одичними для всiх i ∈ N вiдносно координат φj , j = 1, 2, 3, . . . , з перiодом 2π функцiями
ai(φ) : M → R1, що дозволяє вважати рiвняння (1) визначеним на нескiнченновимiрному
торi T∞, а цi координати — кутовими координатами на ньому;N — множина натуральних
чисел, M — простiр обмежених числових послiдовностей x = (x1, x2, x3, . . .) зi стандарт-
ною нормою ‖x‖ = supi{|xi|}; символом
dφ
dt
позначено вектор
{
dφ1
dt
;
dφ2
dt
;
dφ3
dt
, . . .
}
.
Домовимося надалi диференцiювати та iнтегрувати векторнi функцiї лише у покоор-
динатному сенсi.
Наступнi умови назвемо умовами (A) :
1) ‖a(φ)‖ = supi{|ai(φ)|} ≤ A = const > 0 ∀φ ∈ T∞;
2) ‖a(φ)− a(ψ)‖ ≤ α‖φ− ψ‖, де α = const > 0, ∀{φ, ψ} ⊂ T∞.
Якщо цi умови виконуються, то за теоремою 1.3 з [3, с. 12] для будь-якого φ ∈ T∞ рiв-
няння (1) має у класi функцiй, обмежених за нормою на будь-якому скiнченному сегментi
числової осi, єдиний розв’язок φ = φt(φ) = (φ1t(φ), φ2t(φ), . . . ), що визначений на всiй осi
i задовольняє початкову умову φ = φ0(φ), причому цей розв’язок є неперервним вiдносно
t вiдображенням R1 → M.
Запишемо тепер систему рiвнянь
dφ
dt
= a(φ),
dx
dt
= P (φ)x, (2)
де x ∈ M;P (φ) = [pij(φ)]∞ij=1 — така нескiнченна матриця з неперервними по φ i перiодич-
ними вiдносно φi, i = 1, 2, 3, . . . , з перiодом 2π елементами, що
∞∑
j=1
sup
φ∈T∞
|psj(φ)| ≤ P 0 = const < ∞, s = 1, 2, 3, . . . . (3)
Якщо справджуються умови (A) та нерiвностi (3), то для рiвняння
dx
dt
= P (φt(φ))x (4)
iснує 2π-перiодичний вiдносно φi, i = 1, 2, 3, . . . , матрицант Ωt
τ (φ) (див. [3, с. 108]), елемен-
ти якого неперервнi по τ для всiх τ ∈ R1 (див. наслiдок 5.1 з [3, с. 38]).
Норму матрицi P (φ) з (2) задамо рiвнiстю ‖P (φ)‖ = supi
∑∞
j=1 |pij(φ)| i через C0(T∞)
позначимо множину визначених на торi T∞ обмежених за нормою вектор-функцiй i мат-
риць, координати i елементи яких вiдповiдно 2π-перiодичнi по φi, i = 1, 2, 3, . . . , i непе-
рервнi вiдносно φ. Множину елементiв з C0(T∞), що задовольняють умову Лiпшиця по φ,
позначимо через C0
Lip(T∞) i вважатимемо, що матриця P (φ) ∈ Cφ(T∞), якщо вона нале-
жить множинi C0(T∞) i для неї справджується умова (3).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
ПРО IСНУВАННЯ IНВАРIАНТНИХ ТОРIВ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ . . . 349
Якщо iснує така матриця C(φ) ∈ Cφ(T∞), що функцiя
Gt(τ, φ) =
Ωt
τ (φ)C(φτ (φ)) при τ ≤ t,
Ωt
τ (φ)[C(φτ (φ))− E] при τ > t
задовольняє нерiвнiсть
‖Gt(τ, φ)‖ ≤ K exp{−γ|t− τ |} (5)
для всiх {t, τ} ⊂ R1, φ ∈ T∞, де K i γ — додатнi сталi, що не залежать вiд φ, t, τ, E —
нескiнченна одинична матриця, то цю функцiю називають функцiєю Грiна – Самойленка
(скорочено ФГС) задачi про обмеженi розв’язки, а функцiю G0(τ, φ) — функцiєю Грi-
на – Самойленка задачi про iнварiантнi тори лiнiйних розширень рiвняння (4) або системи
рiвнянь (2).
Неважко поширити доведення зауваження 7.1 з [3, с. 71] на випадок φ ∈ T∞ i переко-
натися в еквiвалентностi нерiвностi (5) та оцiнки ‖G0(τ, φ)‖ ≤ K exp{−γ|τ |}. Легко пе-
реконатися також, що для e-дихотомiчного на R1 рiвняння (4) з матричним проектором
(див. [3, с. 72]) iснує вказана вище матриця C(φ). Зауважимо, що до рiвнянь такого типу
належить рiвняння (4), матрицант якого задовольняє оцiнку ‖Ωt
τ (φ)‖ ≤ K exp{−γ|t− τ |}.
Розглянемо тепер неоднорiдне рiвняння
dx(t)
dt
= P (φt(φ))x(t) + c(φ, t), (6)
що вiдповiдає рiвнянню (4), де функцiя
c(φ, t) = (c1(z1(φ, t), z2(φ, t), . . .), c2(z1(φ, t), z2(φ, t), . . .), . . .)
здiйснює вiдображення множини T ∞∞ = T∞ × T∞ × . . . у простiр M, тобто ci(z1(φ, t),
z2(φ, t), . . .) : T ∞∞ 7→ R1 для будь-якого натурального числа i; точки zi(φ, t) = (φ1t+∆i1
(φ),
φ2t+∆i2
(φ), . . .), t ∈ R1, належать тору T∞,∆ij — довiльнi фiксованi дiйснi числа (сталi вiд-
хилення аргументу t), φ ∈ T∞, {i, j} ⊂ N.У випадку, коли ∆k1 = ∆k2 = . . . = ∆k = const,
одержуємо рiвнiсть zk = φt+∆k
(φ).
Наступнi умови назвемо умовами (C) :
1) функцiї ci(z) = ci(z1, z2, . . .) є 2π-перiодичними вiдносно кожної координати векто-
ра zj для будь-яких натуральних i та j;
2) функцiї ci(z) неперервнi вiдносно z на T ∞∞ i рiвномiрно обмеженi на цiй множинi,
тобто ‖c(z)‖ = supi |ci(z)| ≤ C0 = const > 0, i = 1, 2, 3, . . . .
Iнварiантним тором T 0 системи рiвнянь (1), (6) (рiвняння (6)) називають множину то-
чок x ∈ M, породжену функцiєю
x = u0(φ) = (u0
1(φ), u0
2(φ), . . .), φ ∈ T∞,
якщо вона 2π-перiодична вiдносно φi, i = 1, 2, 3, . . . , обмежена за нормою i при будь-яких
φ ∈ T∞, t ∈ R1 задовольняє рiвнiсть
du0(φt(φ))
dt
= P (φt(φ))u0(φt(φ)) + c(φ, t). (7)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
350 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, К. В. ПАСЮК
Справджується таке твердження.
Лема 1. Нехай a(φ) ∈ C0
Lip(T∞), P (φ) ∈ Cφ(T∞), виконуються умови (C) та для
рiвняння (4) iснує ФГС Gt(τ, φ). Тодi рiвняня (6) має iнварiантний тор T 0, породжений
функцiєю
u0(φ) =
∞∫
−∞
G0(τ, φ)c(φ, τ)dτ. (8)
Доведення. Зауважимо спочатку, що з включення a(φ) ∈ C0
Lip(T∞) випливають умови
(A), тобто рiвняння (6) записується однозначно. Неважко перевiрити, що невласний iнте-
грал у рiвностi (8) збiгається рiвномiрно вiдносно φ ∈ T∞ у покоординатному сенсi, якщо
функцiї ci(z(φ, t)) неперервнi по t наR1 при всiх i ∈ N.Переконаємося у виконаннi остан-
ньої вимоги. Очевидно, що для {t1, t2} ⊂ R1 рiвномiрно вiдносно φ ∈ T∞ справджуються
нерiвностi
‖φt1(φ)− φt2(φ)‖ ≤
∣∣∣∣∣∣
t1∫
t2
‖a(φt(φ))‖dt
∣∣∣∣∣∣ ≤ A|t1 − t2| < ε = const > 0,
‖zi(φ, t1)− zi(φ, t2)‖ = sup
j∈N
{|φjt1+∆ij
(φ)− φjt2+∆ij
(φ)|} ≤ A|t1 − t2| < ε ∀i ∈ N,
якщо |t1 − t2| < δ, а δ <
ε
A
. Це означає рiвностепеневу вiдносно i ∈ N неперервнiсть
послiдовностi функцiй zi(φ, t), а разом з тим i неперервнiсть функцiй ci(z(φ, t)) по t на
R1 при всiх i ∈ N. Далi, беручи до уваги включення {P (φ), C(φ)} ⊂ Cφ(T∞) та оцiнку
supi∈N
∑∞
j=1 maxt∈T |ωij(t, τ, φ)| ≤ eP
0σ, де Ωt
τ (φ) = [ωij(t, τ, φ)]∞i,j=1, σ — довжина сегмен-
та T числової прямої, який мiстить точку τ (див. [3, с. 31]), переконуємося, що коорди-
нати пiдiнтегральної векторної функцiї G0(τ, φ)c(φ, τ) з (8) є неперервними вiдносно τ на
R1 \ {0}.
Залишається показати, що:
а) функцiя u0(φ) є 2π-перiодичною вiдносно φi для будь-якого i ∈ N ;
б) при всiх φ ∈ T∞, t ∈ R1 справджується рiвнiсть
u0(φt(φ)) =
∞∫
−∞
Gt(τ, φ)c(φ, τ)dτ ;
в) функцiя u0(φt(φ)) диференцiйовна вiдносно t на всiй числовiй прямiй i задовольняє
рiвняння (7) при всiх t ∈ R1.
Наявнiсть сталих вiдхилень ∆ij , i, j = 1, 2, . . . , у рiвняннi (6) та у рiвностi (8) не ду-
же ускладнює обґрунтування правильностi трьох останнiх тверджень, яке проводиться
аналогiчно до доведень теорем 7.1 та 8.1 з [3, с. 60, 75]. При доведеннi третього тверд-
ження слiд врахувати, що iнтеграл
∫∞
−∞Gt(τ, φ)c(φ, τ)dτ збiгається рiвномiрно вiдносно t
на довiльному скiнченному вiдрiзку числової осi, а елементи матрицi Ωt
τ (φ) неперервнi
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
ПРО IСНУВАННЯ IНВАРIАНТНИХ ТОРIВ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ . . . 351
за сукупнiстю змiнних {t, τ} ⊂ R1, оскiльки таку властивiсть має будь-який її вектор-
стовпець, який ми позначимо через x(t, τ, x0). Дiйсно,
‖x(t+ ∆t, τ + ∆τ, x0)− x(t, τ, x0)‖ ≤ ε1 + ε2,
де ε1 = ‖x(t+∆t, τ+∆τ, x0)−x(t+∆t, τ, x0)‖, ε2 = ‖x(t+∆t, τ, x0)−x(t, τ, x0)‖.Очевидно,
для будь-якого
ε
2
> 0 iснує ρ > 0 таке, що ε2 <
ε
2
при ∆t < ρ. Крiм того, iз доведення
теореми 5.3 з [3, c. 37] випливає, що ε1 <
ε
2
при |∆τ | < 1
P 0
ln
ε
2g
, де g — деяка додатна
стала.
3. Iснування iнварiантного тора лiнiйної системи. Розглянемо рiвняння
dx(t)
dt
= P (φt(φ))x(t) +B(φ, t)x(t+ ∆) + c(φ, t), (9)
де B(φ, t) = [bij(φ, t)]∞ij=1 — нескiнченна матриця, функцiї
bij(φ, t) = bij(y1(φ, t), y2(φ, t), . . .)
здiйснюють вiдображення множини T ∞∞ у простiр R1, точки
yi(φ, t) = (φ1t+Γi1
(φ), φ2t+Γi2
(φ), . . .) ∀t ∈ R1
належать тору T∞; x(t+ ∆) = (x1(t+ ∆1), x2(t+ ∆2), . . .); Γij та ∆i — довiльнi фiксованi
дiйснi числа (сталi вiдхилення аргументу t); φ ∈ T∞, {i, j} ⊂ N.
Наступнi умови назвемо умовами (B) :
1) функцiї bij(y) = bij(y1, y2, . . .) є 2π-перiодичними вiдносно кожної координати век-
тора ys для будь-яких натуральних i, j, s;
2) для будь-яких {i, j} ⊂ N функцiї bij(y) неперервнi вiдносно y на T ∞∞ i
∞∑
j=1
sup
y∈T∞∞
|bsj(y)| ≤ B0 = const < ∞ ∀s ∈ N.
Поняття iнварiантного тора T : x = u(φ) = (u1(φ), u2(φ), . . .) для рiвняння (9) вводить-
ся аналогiчно до наведеного ранiше означення множини T 0 : x = u0(φ), лише спiввiдно-
шення (7) у ньому слiд замiнити рiвнiстю
du(φt(φ))
dt
= P (φt(φ))u(φt(φ)) +B(φ, t)u(φ, t+ ∆) + c(φ, t), (10)
де u(φ, t+ ∆) = (u1(φt+∆1(φ)), u2(φt+∆2(φ)), . . .).
Запишемо тепер рiвняння
dx(t)
dt
= P (φt(φ))x(t) +B(φ, t)u0(φ, t+ ∆) + c(φ, t) (11)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
352 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, К. В. ПАСЮК
i, використавши схему доведення леми 1, переконаємося, що воно визначає у просторi M
iнварiантний тор T 1, породжений функцiєю
x = u1(φ) =
∞∫
−∞
G0(τ, φ)c1(φ, τ)dτ, (12)
де c1(φ, τ) = B(φ, τ)u0(φ, τ + ∆) + c(φ, τ).
Лема 2. Нехай виконуються умови леми 1, умови (B) та наступнi вимоги:
1) ‖P (φ)− P (φ̄)‖ ≤ p0‖φ− φ̄‖, p0 = const > 0, ∀{φ, φ̄} ⊂ T∞;
2) ‖c(z)− c(z̄)‖ ≤ η‖z − z̄‖, η = const > 0, ∀{z, z̄} ⊂ T ∞∞ ;
3) рiвняння (4) не має обмежених на всiй числовiй осi розв’язкiв, крiм нульового;
4) множина ∆ij вiдхилень аргументу t обмежена, тобто |∆ij | ≤ ∆∗ = const < ∞
∀{i, j} ⊂ N.
Тодi рiвняння (11) має iнварiантний тор T 1, породжений функцiєю (12).
Доведення. Врахувавши 2π-перiодичнiсть функцiй c1i (φ, τ) вiдносно φj , {i, j} ⊂ N, рiв-
нiсть c1(φt(φ), τ) = c1(φ, τ + t), оцiнки
‖u0(φ)‖ ≤ 2KC0
γ
, ‖c1(φ, τ)‖ ≤ C0
(
1 +
2KB0
γ
)
i доведення леми 1, неважко зрозумiти, що невласний iнтеграл у рiвностi (12) збiгається
рiвномiрно вiдносно φ ∈ T∞ у покоординатному сенсi i породжує iнварiантний тор T 1
рiвняння (11), якщо функцiї c1i (φ, τ) неперервнi по τ на R1 при всiх i ∈ N. Оскiльки для
будь-яких {i, j} ⊂ N такими є функцiї ci(φ, τ) та bij(φ, τ), то залишається показати, що
цю властивiсть мають функцiї u0
i (φ, τ + ∆) при всiх i ∈ N. Останнє випливає з неперерв-
ностi функцiї u0(φ) вiдносно φ, що ми обґрунтуємо аналогiчно до доведення теореми 8.2
з [3, с. 76], в якiй наведено умови гельдеровостi iнварiантного тора рiвняння вигляду (6),
що не мiстить вiдхилень аргументу i визначене на m-вимiрному торi Tm. Не становить
труднощiв переконатись у правильностi оцiнки
‖u0(φ)− u0(φ̄)‖ ≤ I0
1 + I0
2 , (13)
де φ та φ̄ — довiльнi точки тора T∞,
I0
1 =
∞∫
−∞
‖G0(τ, φ)−G0(τ, φ̄)‖‖c(φ, τ)‖dτ,
I0
2 =
∞∫
−∞
‖G0(τ, φ̄)‖‖c(φ, τ)− c(φ̄, τ)‖dτ.
Повторюючи практично без змiн фрагменти доведення теореми 8.2 з [3, с. 76], одержуємо
I0
1 ≤ S1‖φ− φ̄‖
ν
2(ν+1) , де
S1 =
4C0
γ
(
2
γ − αν
ν+1
K3(2P 0(p0)ν)
1
ν+1
) 1
2
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
ПРО IСНУВАННЯ IНВАРIАНТНИХ ТОРIВ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ . . . 353
ν — довiльне додатне число, при якому
να
ν + 1
< γ.
Далi вважатимемо, що число ν задовольняє цю нерiвнiсть.
Знайдемо аналогiчну оцiнку для iнтеграла I0
2 . Справджуються спiввiдношення
‖c(φ, τ)− c(φ̄, τ)‖ ≤ η sup
i∈N
sup
j∈N
{
|φjτ+∆ij
(φ)− φjτ+∆ij
(φ̄)|
}
≤
≤ η sup
i∈N
sup
j∈N
exp{α|τ + ∆ij |}‖φ− φ̄‖ ≤ η exp{α|τ |} exp{α∆∗}‖φ− φ̄‖,
з якого для будь-якого ν > 0 випливає нерiвнiсть
‖c(φ, τ)− c(φ̄, τ)‖ ≤ Kν exp
{
αν
2(ν + 1)
|τ |
}
‖φ− φ̄‖
ν
2(ν+1) ,
де Kν =
{
2C0
[
2C0(η exp{α∆∗})ν
] 1
ν+1
} 1
2
.
Звiдси одержуємо I0
2 ≤ S2‖φ− φ̄‖
ν
2(ν+1) , де S2 = KKν
2
γ − αν
2(ν+1)
.
Використавши нерiвнiсть (13), отримаємо оцiнку
‖u0(φ)− u0(φ̄)‖ ≤ Γ0‖φ− φ̄‖
ν
2(ν+1) , Γ0 = (S1 + S2),
що завершує доведення леми 2.
Запишемо тепер рiвняння
dx(t)
dt
= P (φt(φ))x(t) +B(φ, t)u1(φ, t+ ∆) + c(φ, t) (14)
i, використавши схему доведення леми 2, переконаємось у правильностi наступного твер-
дження.
Лема 3. Нехай виконуються умови леми 2 та наступнi вимоги:
1) ‖B(y)−B(ȳ)‖ ≤ β‖y − ȳ‖, β = const > 0, ∀{y, ȳ} ⊂ T ∞∞ ;
2) множини вiдхилень Γij та ∆i аргументу t обмеженi, тобто |Γij | ≤ Γ∗ = const <
< ∞ та |∆i| ≤ ∆∗ = const < ∞ ∀{i, j} ⊂ N.
Тодi рiвняння (14) визначає у просторi M iнварiантний тор T 2, породжений функцi-
єю
x = u2(φ) =
∞∫
−∞
G0(τ, φ)c2(φ, τ)dτ,
де c2(φ, τ) = B(φ, τ)u1(φ, τ + ∆) + c(φ, τ).
Доведення. Зрозумiло, що достатньо обґрунтувати неперервнiсть функцiї u1(φ) вiднос-
но φ на T∞.
Неважко переконатись у правильностi оцiнки
‖u1(φ)− u1(φ̄)‖ ≤ I1
1 + I1
2 ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
354 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, К. В. ПАСЮК
де φ та φ̄ — довiльнi точки тора T∞,
I1
1 =
∞∫
−∞
‖G0(τ, φ)−G0(τ, φ̄)‖‖c1(φ, τ)‖dτ,
I1
2 =
∞∫
−∞
‖G0(τ, φ̄)‖‖c1(φ, τ)− c1(φ̄, τ)‖dτ.
Очевидно, що I1
1 ≤ S3‖φ− φ̄‖
ν
2(ν+1) , де
S3 =
4C0
γ
(
2
γ − αν
ν+1
K3(2P 0(p0)ν)
1
ν+1
) 1
2 (
1 +
2KB0
γ
)
.
Знайдемо аналогiчну оцiнку для iнтеграла I1
2 . Виконуються нерiвностi
‖u0(φ, τ + ∆)− u0(φ̄, τ + ∆)‖ ≤ sup
i∈N
Γ0‖φτ+∆i(φ)− φτ+∆i(φ̄)‖
ν
2(ν+1) ≤
≤ Γ0
{
exp{α(|τ |+ ∆∗)}‖φ− φ̄‖
} ν
2(ν+1) ≤
≤ S4 exp
{
αν
2(ν + 1)
|τ |
}
‖φ− φ̄‖
ν
2(ν+1) ,
де S4 = Γ0 exp{α∆∗}.
Крiм того, справджуються оцiнки
‖B(φ, τ)−B(φ̄, τ)‖ ≤ β sup
i∈N
sup
j∈N
{
|φjτ+Γij
(φ)− φjτ+Γij
(φ̄)|
}
≤
≤ β sup
i∈N
sup
j∈N
exp{α|τ + Γij |}‖φ− φ̄‖ ≤ β exp{α|τ |} exp{αΓ∗}‖φ− φ̄‖,
з яких випливає нерiвнiсть
‖B(φ, τ)−B(φ̄, τ)‖ ≤ S5 exp
{
αν
2(ν + 1)
|τ |
}
‖φ− φ̄‖
ν
2(ν+1) ,
де S5 =
{
2B0
[
2B0(β exp{αΓ∗})ν
] 1
ν+1
} 1
2
.
Нарештi одержуємо оцiнки
‖c1(φ, τ)− c1(φ̄, τ)‖ ≤ ‖c(φ, τ)− c(φ̄, τ)‖+
+ ‖B(φ, τ)‖‖u0(φ, τ + ∆)− u0(φ̄, τ + ∆)‖+
+ ‖B(φ, τ)−B(φ̄, τ)‖‖u0(φ̄, τ + ∆)‖ ≤
≤
{
Kν +B0S4 +
2KC0S5
γ
}
exp
{
αν
2(ν + 1)
|τ |
}
‖φ− φ̄‖
ν
2(ν+1) ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
ПРО IСНУВАННЯ IНВАРIАНТНИХ ТОРIВ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ . . . 355
звiдки випливає I1
2 ≤ S6‖φ− φ̄‖
ν
2(ν+1) , де
S6 = K
{
Kν +B0S4 +
2KC0S5
γ
}
2
γ − αν
2(ν+1)
.
Остаточно маємо оцiнку
‖u1(φ)− u1(φ̄)‖ ≤ (S3 + S6)‖φ− φ̄‖
ν
2(ν+1) ,
що завершує доведення леми 3.
Iндуктивна лема 4. Припустимо, що виконуються умови леми 3. Тодi для будь-якого
k ∈ N
⋃
{0} рiвняння
dx(t)
dt
= P (φt(φ))x(t) +B(φ, t)uk(φ, t+ ∆) + c(φ, t)
визначає у просторi M iнварiантний тор T k+1, породжений функцiєю
x = uk+1(φ) =
∞∫
−∞
G0(τ, φ)ck+1(φ, τ)dτ,
де ck+1(φ, τ) = B(φ, τ)uk(φ, τ + ∆) + c(φ, τ), функцiя uk(φ) задовольняє умову Гельдера
‖uk(φ)− uk(φ̄)‖ ≤ Γk‖φ− φ̄‖
ν
2(ν+1) , {φ, φ̄} ⊂ T∞,
а функцiя u0(φ) породжує iнварiантний тор T 0 рiвняння (6).
Доведення. Цю лему доведено вище для k ∈ {0, 1}. Далi використаємо метод повної
математичної iндукцiї, тобто припустимо, що вказане твердження виконується при всiх
натуральних k ≤ n, i доведемо, що воно справджується при k = n + 1. Очевидно, для
цього достатньо показати, що функцiя un+1(φ) задовольняє умову Гельдера вiдносно φ на
T∞. Неважко перевiрити, що при всiх натуральних k ≤ n+ 1 мають мiсце нерiвностi
‖ck(φ, τ)‖ ≤ C0
k∑
i=1
(
2KB0
γ
)i
+ C0 = C0
(
2KB0
γ
)k+1
− 1
2KB0
γ − 1
df= Ck, (15)
‖uk(φ)‖ ≤ 2KC0
γ
k∑
i=0
(
2KB0
γ
)i
=
2KC0
γ
(
2KB0
γ
)k+1
− 1
2KB0
γ − 1
df= Uk. (16)
Для всiх {φ, φ̄} ⊂ T∞ справджується оцiнка
‖un+1(φ)− un+1(φ̄)‖ ≤ In+1
1 + In+1
2 ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
356 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, К. В. ПАСЮК
де
In+1
1 =
∞∫
−∞
‖G0(τ, φ)−G0(τ, φ̄)‖‖cn+1(φ, τ)‖dτ,
In+1
2 =
∞∫
−∞
‖G0(τ, φ̄)‖‖cn+1(φ, τ)− cn+1(φ̄, τ)‖dτ.
Врахувавши (15), запишемо нерiвнiсть In+1
1 ≤ Sn+1
3 ‖φ− φ̄‖
ν
2(ν+1) , де
Sn+1
3 =
4
γ
(
2
γ − αν
ν+1
K3(2P 0(p0)ν)
1
ν+1
) 1
2
Cn+1.
Оцiнимо тепер iнтеграл In+1
2 . Запишемо нерiвностi
‖un(φ, τ + ∆)− un(φ̄, τ + ∆)‖ ≤ sup
i∈N
Γn‖φt+∆i(φ)− φt+∆i(φ̄)‖
ν
2(ν+1) ≤
≤ Γn
{
exp{α(|τ |+ ∆∗)}‖φ− φ̄‖
} ν
2(ν+1) ,
звiдки
‖un(φ, τ + ∆)− un(φ̄, τ + ∆)‖ ≤ Sn
4 exp
{
αν
2(ν + 1)
|τ |
}
‖φ− φ̄‖
ν
2(ν+1) ,
де Sn
4 = Γn exp{α∆∗}.
Крiм того, враховуючи (16), маємо
‖cn+1(φ, τ)− cn+1(φ̄, τ)‖ ≤ ‖c(φ, τ)− c(φ̄, τ)‖+
+ ‖B(φ, τ)‖‖un(φ, τ + ∆)− un(φ̄, τ + ∆)‖+
+ ‖B(φ, τ)−B(φ̄, τ)‖‖un(φ̄, τ + ∆)‖ ≤
≤
{
Kν +B0Sn
4 + UnS5
}
exp
{
αν
2(ν + 1)
|τ |
}
‖φ− φ̄‖
ν
2(ν+1) ,
звiдки випливає In+1
2 ≤ Sn+1
6 ‖φ− φ̄‖
ν
2(ν+1) , де
Sn+1
6 = K
{
Kν +B0Sn
4 + UnS5
} 2
γ − αν
2(ν+1)
.
Остаточно маємо оцiнку
‖un+1(φ)− un+1(φ̄)‖ ≤ (Sn+1
3 + Sn+1
6 )‖φ− φ̄‖
ν
2(ν+1) , (17)
що й завершує доведення леми 4.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
ПРО IСНУВАННЯ IНВАРIАНТНИХ ТОРIВ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ . . . 357
Наступне твердження надає достатнi умови iснування iнварiантного тора рiвняння (9).
Теорема 1. Нехай виконуються умови леми 3 та справджується нерiвнiсть 2KB0 <
< γ. Тодi послiдовнiсть {uk(φ)}∞k=1 рiвномiрно вiдносно φ ∈ T∞ збiгається за нормою
простору M до неперервної на T∞ функцiї u(φ) : T∞ → M, що визначає iнварiантний
тор T рiвняння (9).
При додатковiй умовi γ > 2KB0 exp{α∆∗} ця функцiя задовольняє умову Гельдера,
тобто для {φ, φ̄} ⊂ T∞
‖u(φ)− u(φ̄)‖ ≤ U‖φ− φ̄‖
ν
2(ν+1) , U = const > 0, (18)
де ν — довiльне число, що задовольняє нерiвнiсть γ − αν
ν + 1
> 2KB0 exp{α∆∗}.
Доведення. Перевiряючи оцiнку (16) для випадку k = n + 2, переконуємося в її пра-
вильностi для будь-якого k ∈ N, причому при 2KB0 < γ iз спiввiдношень (15) та (16)
випливає, що
Ck ≤ C0γ
γ − 2KB0
, Uk ≤ 2KC0
γ − 2KB0
рiвномiрно вiдносно k ∈ N .
З нерiвностей
‖ck+1(φ, τ)− ck(φ, τ)‖ ≤ ‖B(φ, τ)uk(φ, τ + ∆) + c(φ, τ)−B(φ, τ)uk−1(φ, τ + ∆)− c(φ, τ)‖ ≤
≤ B0‖uk(φ, τ + ∆)− uk−1(φ, τ + ∆)‖,
‖uk+1(φ)− uk(φ)‖ ≤
∞∫
−∞
‖G0(τ, φ)‖‖ck+1(φ, τ)− ck(φ, τ)‖dτ,
поклавши
‖uk+1(φ)− uk(φ)‖0 = sup
φ∈T∞
‖uk+1(φ)− uk(φ)‖,
неважко одержати iндуктивну оцiнку
‖uk+1(φ)− uk(φ)‖0 ≤
2KB0
γ
‖uk(φ)− uk−1(φ)‖0,
що приводить до нерiвностi
‖uk+1(φ)− uk(φ)‖0 ≤
(
2KB0
γ
)k
‖u1(φ)− u0(φ)‖0.
Враховуючи (16), одержуємо оцiнку
‖uk+1(φ)− uk(φ)‖0 ≤
(
2KB0
γ
)k
(U1 + U0),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
358 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, К. В. ПАСЮК
з якої при 2KB0 < γ випливає фундаментальнiсть послiдовностi {uk(φ)}∞k=1 у повному
метричному просторi M. Отже, ця послiдовнiсть рiвномiрно вiдносно φ ∈ T∞ збiгається
за нормою простору M до неперервної на T∞ функцiї u(φ) : T∞ → M.
Залишається показати, що ця функцiя визначає iнварiантний тор рiвняння (9). При
всiх k = 0, 1, 2, . . . справджуються тотожностi
duk+1(φt(φ))
dt
= P (φt(φ))uk+1(φt(φ)) +B(φ, t)uk(φ, t+ ∆) + c(φ, t), (19)
тобто у покоординатному виглядi одержуємо рiвностi
duk+1
s (φt(φ))
dt
=
∞∑
j=1
psj(ϕt(ϕ))uk+1
j (ϕt(ϕ))
+
∞∑
j=1
bsj(φ, t)uk
j (φ, t+ ∆) + cs(φ, t),
де s = 1, 2, . . . , ϕ ∈ T∞.
Очевидно, що для будь-якого s ∈ N ряди
∞∑
j=1
{
psj(ϕt(ϕ))uk+1
j (ϕt(ϕ)) + bsj(φ, t)uk
j (φ, t+ ∆)
}
, k = 0, 1, 2, . . . ,
збiгаються рiвномiрно вiдносно k та t ∈ R1, оскiльки вони мажоруються збiжним число-
вим рядом
∞∑
j=1
2KC0
γ − 2KB0
{
sup
φ∈T∞
|psj |+ sup
y∈T∞∞
|bsj(y)|
}
.
У цьому випадку
∞∑
j=1
{
psj(ϕt(ϕ))uk+1
j (ϕt(ϕ)) + bsj(φ, t)uk
j (φ, t+ ∆)
}
→
→
∞∑
j=1
{psj(ϕt(ϕ))uj(ϕt(ϕ)) + bsj(φ, t)uj(φ, t+ ∆)} , s = 1, 2, . . . ,
при k → ∞ рiвномiрно вiдносно t ∈ R1. Це дає можливiсть у рiвностi (19) перейти у
покоординатному сенсi до границi при k → ∞ i одержати тотожнiсть (10). При додатко-
вiй умовi теореми Γk ≤ U ∀k ∈ N i для доведення нерiвностi (18) достатньо перейти до
границi при n → ∞ у нерiвностi (17).
Зауваження 1. Виберемо будь-яку функцiю ρ(φ) = (ρ1(φ), ρ2(φ), . . . ), що задовольняє
наступнi умови:
1) є 2π-перiодичною вiдносно φi для будь-якого i ∈ N ;
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
ПРО IСНУВАННЯ IНВАРIАНТНИХ ТОРIВ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ . . . 359
2) на торi T∞ задовольняє умову Гельдера з показником
ν
2(ν + 1)
, де ν вибрано так, як
вказано ранiше, i ‖ρ(φ)‖ ≤ 2KC0
γ
.
Очевидно, такi функцiї iснують (наприклад, цi властивостi має кожна з функцiй uk(φ),
k ∈ N
⋃
{0}. Поклавши у рiвняння (11) замiсть u0(φ, t+ ∆) функцiю ρ(φ, t+ ∆), неважко
переконатися, що iндуктивна лема 4 i теорема 1 залишаються правильними, до того ж
функцiя u(φ) : T∞ → M, що визначає iнварiантний тор T рiвняння (9), при цьому не
змiнюється.
4. Iснування iнварiантного тора квазiлiнiйної системи. Тепер запишемо рiвняння
dx(t)
dt
= P (φt(φ))x(t) +B(φ, t)x(t+ ∆) + f(v(φ, t), x(t), x(t+ Θ)), (20)
де функцiя f(v, x, χ) = {f1(v, x, χ), f2(v, x, χ), . . .} вiдображує множинуD∗ = D0×D×D у
простiр M, {x, χ} ⊂ D, v ∈ D0, D = {x ∈ M|‖x‖ ≤ d = const > 0}, D0 = {x ∈ M|‖x‖ ≤
≤ V 0 = const > 0}; функцiя
v = v(φ, t) = (v1(ψ1(φ, t), ψ2(φ, t), . . .), v2(ψ1(φ, t), ψ2(φ, t), . . .), . . .)
здiйснює вiдображення T ∞∞ → M, тобто vi(ψ1(φ, t), ψ2(φ, t), . . .) : T ∞∞ 7→ R1 ∀i ∈ N ; точ-
ки ψi(φ, t) = (φ1t+Θi1
(φ), φ2t+Θi2
(φ), . . .) ∀t ∈ R1 належать тору T∞, Θij та Θi — довiльнi
дiйснi числа, φ ∈ T∞, {i, j} ⊂ N ; x(t+ Θ) = (x1(t+ Θ1), x2(t+ Θ2), . . .).
Наступнi умови назвемо умовами (F):
1) функцiї vi(ψ1, ψ2, . . .) є 2π-перiодичними вiдносно кожної координати вектора ψj
для будь-яких натуральних i та j;
2) для будь-яких {ψ, ψ̄} ⊂ T ∞∞ справджуються нерiвностi ‖v(ψ) − v(ψ̄)‖ ≤ ζ‖ψ − ψ̄‖,
‖v(ψ)‖ ≤ V 0, де ζ = const > 0;
3) функцiя f(v, x, χ) задовольняє умову Лiпшиця за сукупнiстю змiнних v, x, χ на D∗ i
обмежена на цiй множинi, тобто
‖f(v, x, χ)− f(v̄, x̄, χ̄)‖ ≤ ξ1‖v − v̄‖+ ξ2‖x− x̄‖+ ξ3‖χ− χ̄‖,
‖f(v, x, χ)‖ = sup
i∈N
|fi(v, x, χ)| ≤ F 0
∀ {(v, x, χ), (v̄, x̄, χ̄)} ⊂ D∗,
де F 0, ξ1, ξ2, ξ3 — додатнi сталi.
Поняття iнварiантного тора T ∗ для рiвняння (20) вводиться аналогiчно до наведеного
ранiше означення множини T 0 для рiвняння (6), лише спiввiдношення (7) у ньому слiд
замiнити рiвнiстю
du∗(φt(φ))
dt
= P (φt(φ))u∗(φt(φ))+
+B(φ, t)u∗(φ, t+ ∆) + f(v(φ, t), u∗(φt(φ)), u∗(φ, t+ Θ)), (21)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
360 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, К. В. ПАСЮК
де u∗(φ) — функцiя, що породжує iнварiантний тор T ∗,
u∗(φ, t+ Θ) = (u∗1(φt+Θ1(φ)), u∗2(φt+Θ2(φ)), . . .).
Сукупнiсть наступних умов назвемо умовами (V) :
1) функцiя a(φ) ∈ C0
Lip(T∞), матриця P (φ) ∈ Cφ(T∞) i є лiпшiцевою вiдносно φ з
коефiцiєнтом p0, для рiвняння (4) iснує ФГС Gt(τ, φ), яка задовольняє нерiвнiсть (5), i
воно не має обмежених на всiй осi розв’язкiв, крiм тривiального;
2) справджуються умови (B) та (F), до того ж матриця B(y) є лiпшицевою вiдносно
y ∈ T ∞∞ з коефiцiєнтом β;
3) множини вiдхилень Γij , ∆i, Θij та Θi аргументу t обмеженi, тобто |Γij | ≤ Γ∗, |∆i| ≤
≤ ∆∗, |Θij | ≤ Θ∗ та |Θi| ≤ Θ∗ ∀{i, j} ⊂ N, де Γ∗, ∆∗, Θ∗, Θ∗ — додатнi сталi;
4) виконується нерiвнiсть 2KB0 < γ.
Сформулюємо наступне твердження.
Лема 5. Нехай виконуються умови (V). Тодi лiнеаризоване рiвняння
dx(t)
dt
= P (φt(φ))x(t) +B(φ, t)x(t+ ∆) + f(v(φ, t), 0, 0), 0 ∈ M, (22)
визначає у просторi M iнварiантний тор T 0
∗ , породжуюча функцiя якого ũ(φ) : T∞ →
→ M неперервна на торi T∞, причому
‖ũ(φ)‖ ≤ 2KF 0
γ − 2KB0
df= U0. (23)
Доведення леми очевидне, оскiльки рiвняння (22) має вигляд рiвняння (9) i при умовах
(V) для нього виконуються всi умови теореми 1.
Припустимо тепер, що U0 ≤ d, i покладемо u0
∗(φ) = ũ(φ), якщо ця функцiя задоволь-
няє умову Гельдера з показником
ν
2(ν + 1)
. У протилежному випадку покладемо u0
∗(φ) =
= ρ(φ), де ρ(φ) — довiльна функцiя, що має властивостi, вказанi у зауваженнi 1, до того ж
‖ρ(φ)‖ ≤ U0.
У цьому випадку при всiх {φ, φ̄} ⊂ T∞
‖u0
∗(φ)− u0
∗(φ̄)‖ ≤ U0
∗ ‖φ− φ̄‖
ν
2(ν+1) , U0
∗ = const > 0,
i має сенс рiвняння
dx(t)
dt
= P (φt(φ))x(t) +B(φ, t)u0
∗(φ, t+ ∆) + f(v(φ, t), u0
∗(φt(φ)), u0
∗(φ, t+ Θ)). (24)
Переконаємося, що функцiя
x = u1
∗(φ) =
∞∫
−∞
G0(τ, φ)f1(φ, τ)dτ, (25)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
ПРО IСНУВАННЯ IНВАРIАНТНИХ ТОРIВ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ . . . 361
де f1(φ, τ) = B(φ, τ)u0
∗(φ, τ + ∆) + f(v(φ, τ), u0
∗(φτ (φ)), u0
∗(φ, τ + Θ)), визначає у просторi
M iнварiантний тор T 1
∗ рiвняння (24).
Врахувавши нерiвнiсть (23), 2π-перiодичнiсть функцiй f1
i (φ, τ) вiдносно φj ∀{i, j} ⊂ N,
рiвнiсть f1(φt(φ), τ) = f1(φ, τ + t), очевидну оцiнку
‖f1(φ, τ)‖ ≤ B0 2KF 0
γ − 2KB0
+ F 0
i доведення леми 2, неважко зрозумiти, що невласний iнтеграл у рiвностi (25) збiгається
рiвномiрно вiдносно φ ∈ T∞ у покоординатному сенсi i породжує iнварiантний тор T 1
∗ рiв-
няння (24), якщо функцiї f1
i (φ, τ) неперервнi по τ на R1 при всiх i ∈ N. Остання вимога
дiйсно виконується, оскiльки функцiя f(v, x, χ) неперервна на множинi D∗ за сукупнiстю
змiнних, що випливає з третьої умови (F),функцiї u0
∗(φτ (φ)) та u0
∗(φ, τ+Θ) неперервнi вiд-
носно τ ∈ R1 за нормою простору M, оскiльки неперервною на торi T∞ є функцiя u0
∗(φ),
i, нарештi, функцiя v(φ, τ) неперервна по τ ∈ R1 у сенсi норми простору T ∞∞ , оскiльки iз
спiввiдношень
‖vi(φ, τ1)− vi(φ, τ2)‖ ≤ ζ sup
j∈N
{|φjτ1+Θij
(φ)− φjτ2+Θij
(φ)|} ≤ A|τ1 − τ2|,
якi справджуються при всiх i ∈ N, {τ1, τ2} ⊂ R1, випливає рiвностепенева неперервнiсть
вiдносно τ на R1 послiдовностi функцiй {vi(φ, τ)}∞i=1. Бiльш того, очевидно, що функцiя
f(φ, τ) неперервна вiдносно τ i в сенсi норми простору M.
При цьому має мiсце нерiвнiсть
‖u1
∗(φ)‖ ≤ 2KB0
γ
U0 +
2KF 0
γ
= U0.
Покажемо тепер, що функцiя u1
∗(φ) задовольняє умову Гельдера по φ. З рiвностi (25)
для всiх {φ, φ̄} ⊂ T∞ випливає аналог нерiвностi (13):
‖u1
∗(φ)− u1
∗(φ̄)‖ ≤ I1
∗ + I2
∗ ,
де
I1
∗ =
∞∫
−∞
‖G0(τ, φ)−G0(τ, φ̄)‖ ‖f1(φ, τ)‖dτ,
I2
∗ =
∞∫
−∞
‖G0(τ, φ̄)‖ ‖f1(φ, τ)− f1(φ̄, τ)‖dτ.
Повторюючи хiд доведення леми 2, одержуємо I1
∗ ≤ S∗1‖φ− φ̄‖
ν
2(ν+1) , де
S∗1 =
4(B0U0 + F 0)
γ
(
2
γ − αν
ν+1
K3(2P 0(p0)ν)
1
ν+1
) 1
2
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
362 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, К. В. ПАСЮК
Знайдемо аналогiчну оцiнку для iнтеграла I2
∗ . Враховуючи нерiвностi
‖B(φ, τ)−B(φ̄, τ)‖‖u0
∗(φ, τ + ∆)‖ ≤ U0S5 exp
{
αν
2(ν + 1)
|τ |
}
‖φ− φ̄‖
ν
2(ν+1) ,
‖B(φ̄, τ)‖‖u0
∗(φ, τ + ∆)− u0
∗(φ̄, τ + ∆)‖ ≤
≤ B0U0
∗ exp{α∆∗} exp
{
αν
2(ν + 1)
|τ |
}
‖φ− φ̄‖
ν
2(ν+1) ,
‖u0
∗(φτ (φ))− u0
∗(φτ (φ̄))‖ ≤ U0
∗ exp
{
αν
2(ν + 1)
|τ |
}
‖φ− φ̄‖
ν
2(ν+1) ,
‖u0
∗(φ, τ + Θ)− u0
∗(φ̄, τ + Θ)‖ ≤ U0
∗ exp{αΘ∗} exp
{
αν
2(ν + 1)
|τ |
}
‖φ− φ̄‖
ν
2(ν+1) ,
‖v(φ, τ)− v(φ̄, τ)‖ ≤
{
2V 0
{
2V 0ζν
} 1
ν+1
} 1
2
exp{αΘ∗} exp
{
αν
2(ν + 1)
|τ |
}
‖φ− φ̄‖
ν
2(ν+1) ,
одержуємо такi оцiнки:
‖f1(φ, τ)− f1(φ̄, τ)‖ ≤ ‖B(φ, τ)−B(φ̄, τ)‖‖u0
∗(φ, τ + ∆)‖+
+ ‖B(φ̄, τ)‖‖u0
∗(φ, τ + ∆)− u0
∗(φ̄, τ + ∆)‖+ ξ1‖v(φ, τ)− v(φ̄, τ)‖+
+ ξ2‖u0
∗(φτ (φ))− u0
∗(φτ (φ̄))‖+ ξ3‖u0
∗(φ, τ + Θ)− u0
∗(φ̄, τ + Θ)‖ ≤
≤ F ∗ exp
{
αν
2(ν + 1)
|τ |
}
‖φ− φ̄‖
ν
2(ν+1) ,
де
F ∗ = U0S5 +B0U0
∗ exp{α∆∗}+ ξ1
{
2V 0
{
2V 0ζν
} 1
ν+1
} 1
2
exp{αΘ∗}+ ξ2U
0
∗+
+ ξ3U
0
∗ exp{αΘ∗} = const > 0.
Тодi
I2
∗ ≤ S2
∗‖φ− φ̄‖
ν
2(ν+1) , S2
∗ =
2KF ∗
γ − αν
2(ν+1)
= const > 0
i
‖u1
∗(φ)− u1
∗(φ̄)‖ ≤ U1
∗ ‖φ− φ̄‖
ν
2(ν+1) ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
ПРО IСНУВАННЯ IНВАРIАНТНИХ ТОРIВ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ . . . 363
де U1
∗ = S1
∗ + S2
∗ , тобто функцiя u1
∗(φ) задовольняє умову Гельдера по φ.
Оскiльки ‖u1
∗(φ)‖ ≤ U0 ≤ d, то має сенс рiвняння
dx(t)
dt
= P (φt(φ))x(t) +B(φ, t)u1
∗(φ, t+ ∆) + f(v(φ, t), u1
∗(φt(φ)), u1
∗(φ, t+ Θ)), (26)
аналогiчне до рiвняння (24). Повторивши попереднi мiркування, приходимо до висновку,
що функцiя
x = u2
∗(φ) =
∞∫
−∞
G0(τ, φ)f2(φ, τ)dτ,
де f2(φ, τ) = B(φ, τ)u1
∗(φ, τ + ∆) + f(v(φ, τ), u1
∗(φτ (φ)), u1
∗(φ, τ + Θ)), визначає у просторi
M iнварiантний тор T 2
∗ рiвняння (26), до того ж для будь-яких {φ, φ̄} ⊂ T∞
‖u2
∗(φ)− u2
∗(φ̄)‖ ≤ U2
∗ ‖φ− φ̄‖
ν
2(ν+1) ,
де U2
∗ = const > 0, ‖u2
∗(φ)‖ ≤ U0 ≤ d.
Простi iндуктивнi мiркування показують, що цей рекурентний процес можна продов-
жити нескiнченно, що дає можливiсть сформулювати наступне твердження.
Iндуктивна лема 6. Нехай виконуються умови (V) i
2KF 0
γ − 2KB0
≤ d. Тодi для будь-
якого k ∈ N
⋃
{0} рекурентне рiвняння
dx(t)
dt
= P (φt(φ))x(t) +B(φ, t)uk
∗(φ, t+ ∆) + f(v(φ, t), uk
∗(φt(φ)), uk
∗(φ, t+ Θ))
визначає у просторi M iнварiантний тор T k+1
∗ , породжений функцiєю
x = uk+1
∗ (φ) =
∞∫
−∞
G0(τ, φ)fk+1(φ, τ)dτ,
де fk+1(φ, τ) = B(φ, τ)uk
∗(φ, τ + ∆) + f(v(φ, τ), uk
∗(φτ (φ)), uk
∗(φ, τ + Θ)), функцiя uk
∗(φ) за-
довольняє умову Гельдера
‖uk
∗(φ)− uk
∗(φ̄)‖ ≤ Uk
∗ ‖φ− φ̄‖
ν
2(ν+1) ∀{φ, φ̄} ⊂ T∞ (27)
i обмежена на торi T∞ сталою d, тобто ‖uk
∗(φ)‖ ≤ d i Uk
∗ = const > 0.
Наступне твердження визначає достатнi умови збiжностi послiдовностi {uk
∗(φ)}∞k=1 до
функцiї u∗(φ), що визначає iнварiантний тор T∗ рiвняння (20).
Теорема 2. Припустимо, що виконуються умови (V), четверту з яких замiнено не-
рiвнiстю 2K(B0 + ξ2 + ξ3) < γ, i
2KF 0
γ − 2KB0
≤ d. Тодi послiдовнiсть {uk
∗(φ)}∞k=1 рiв-
номiрно вiдносно φ ∈ T∞ збiгається за нормою простору M до неперервної функцiї
u∗(φ) : T∞ → M, що визначає iнварiантний тор T∗ рiвняння (20).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
364 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, К. В. ПАСЮК
Якщо множина чисел Uk
∗ (k ∈ N) обмежена, то ця функцiя задовольняє умову Гель-
дера по φ, тобто для будь-яких {φ, φ̄} ⊂ T∞
‖u∗(φ)− u∗(φ̄)‖ ≤ U∗‖φ− φ̄‖
ν
2(ν+1) , U∗ = const > 0. (28)
Доведення проведемо аналогiчно до доведення теореми 1. З нерiвностей
‖fk+1(φ, τ)− fk(φ, τ)‖ ≤ B0‖uk
∗(φ, τ + ∆)− uk−1
∗ (φ, τ + ∆)‖+
+ ξ2‖uk
∗(φτ (φ))− uk−1
∗ (φτ (φ))‖+ ξ3‖uk
∗(φ, τ + Θ)− uk−1
∗ (φ, τ + Θ)‖,
‖uk+1
∗ (φ)− uk
∗(φ)‖ ≤
∞∫
−∞
‖G0(τ, φ)‖‖fk+1(φ, τ)− fk(φ, τ)‖dτ,
поклавши
‖uk+1
∗ (φ)− uk
∗(φ)‖0 = sup
φ∈T∞
‖uk+1
∗ (φ)− uk
∗(φ)‖,
неважко одержати iндуктивну оцiнку
‖uk+1
∗ (φ)− uk
∗(φ)‖0 ≤
2K(B0 + ξ2 + ξ3)
γ
‖uk
∗(φ)− uk−1
∗ (φ)‖0,
що приводить до нерiвностi
‖uk+1
∗ (φ)− uk
∗(φ)‖0 ≤
(
2K(B0 + ξ2 + ξ3)
γ
)k
‖u1
∗(φ)− u0
∗(φ)‖0.
Нарештi одержуємо оцiнку
‖uk+1
∗ (φ)− uk
∗(φ)‖0 ≤
(
2K(B0 + ξ2 + ξ3)
γ
)k
2d,
з якої при 2K(B0 + ξ2 + ξ3) < γ випливає фундаментальнiсть послiдовностi {uk
∗(φ)}∞k=1
у повному метричному просторi M. Отже, ця послiдовнiсть рiвномiрно вiдносно φ ∈ T∞
збiгається за нормою простору M до неперервної на T∞ функцiї u∗(φ) : T∞ → M.
Залишилося показати, що ця функцiя визначає iнварiантний тор рiвняння (20). При
всiх k = 0, 1, 2, . . . справджуються тотожностi
duk+1
∗ (φt(φ))
dt
= P (φt(φ))uk+1
∗ (φt(φ)) +B(φ, t)uk
∗(φ, t+ ∆)+
+ f(v(φ, t), uk
∗(φt(φ)), uk
∗(φ, t+ Θ)), (29)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
ПРО IСНУВАННЯ IНВАРIАНТНИХ ТОРIВ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ . . . 365
тобто у покоординатному виглядi одержуємо рiвностi
duk+1
∗s (φt(φ))
dt
=
∞∑
j=1
psj(φt(φ))uk+1
∗j (φt(φ))+
+
∞∑
j=1
bsj(φ, t)uk
∗j(φ, τ + ∆) + fs(v(φ, t), uk
∗(φt(φ)), uk
∗(φ, t+ Θ)),
де s = 1, 2, . . . , φ ∈ T∞.
Очевидно, що для будь-якого s ∈ N ряди
∞∑
j=1
{
psj(φt(φ))uk+1
∗j (φt(φ)) + bsj(φ, t)uk
∗j(φ, t+ ∆)
}
, k = 0, 1, 2, . . . ,
збiгаються рiвномiрно вiдносно k та t ∈ R1, оскiльки вони мажоруються збiжним число-
вим рядом
∞∑
j=1
d
{
sup
φ∈T∞
|psj(φ)|+ sup
y∈T∞∞
|bsj(y)|
}
.
Неважко також переконатися в тому, що
lim
k→∞
f(v(φ, t), uk
∗(φt(φ)), uk
∗(φ, t+ Θ)) = f(v(φ, t), u∗(φt(φ)), u∗(φ, t+ Θ))
у сенсi норми простору M.
Це дає можливiсть у рiвностi (29) перейти у покоординатному сенсi до границi при
k → ∞ i одержати тотожнiсть (21). При умовi, що Uk
∗ ≤ U∗ ∀k ∈ N, для доведення
нерiвностi (28) достатньо перейти до границi при k → ∞ у нерiвностi (27).
Теорему доведено.
Зауваження 2. Неоднозначнiсть вибору функцiї u0
∗(φ) при побудовi iтерацiйного про-
цесу в останньому пунктi не приводить до змiни функцiї u∗(φ) : T∞ → M, що визначає
iнварiантний тор T∗ рiвняння (20).
Зауваження 3. Лiпшицевiсть на торi T∞ функцiй uk(φ) та uk
∗(φ) при будь-якому k ∈
∈ N
⋃
{0} з наведених вище тверджень не випливає. Щоб ця властивiсть мала мiсце, до-
статньо до умов леми 2 та умов (V) додати нерiвнiсть γ > α i функцiю ρ(φ) у зауваженнi 1
вважати лiпшицевою на цьому торi. Це саме стосується вибору функцiї u0
∗(φ).Пiсля цього
формулювання наведених вище лем i теорем та їх доведення слiд адаптувати до вказаних
змiн.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
366 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, К. В. ПАСЮК
Приклад. Розглянемо систему рiвнянь вигляду (9):
dφi
dt
= trig (φi + φi+1),
(30)
dxi
dt
= −xi +
∞∑
j=1
1
2 j+2
trig
(
φsij
t+cij
(φ)
)
xj(t+ ∆j)+
+ trig
(
φsi
t+ais
(φ) + φki
t+aik
(φ)
)
, i = 1, 2, 3, . . . ,
де символом trig позначено функцiї синус або косинус, sij , si, ki — довiльнi натуральнi
числа, серед яких може бути скiльки завгодно однакових, cij , ais, aik, ∆j — довiльнi дiйснi
числа з обмеженого вiдрiзка числової осi, серед яких також може бути скiльки завгодно
однакових. Очевидно, що перше рiвняння цiєї системи задовольняє умови (A), матриця
P (φ) для неї є сталою дiагональною матрицею, до того ж diagP (φ) = {−1,−1,−1, . . .} i
‖P (φ)‖ = P 0 = 1. При цьому матриця Ω0
τ для системи рiвнянь
dxi
dt
= −xi, i = 1, 2, 3, . . . ,
теж є дiагональною матрицею, причому diag Ω0
τ = {exp{τ}, exp{τ}, exp{τ}, . . .} i при τ ≤
≤ 0 ‖Ω0
τ‖ = exp{−1|τ |}. Це означає, що остання система не має жодного обмеженого на
всiй осi розв’язку, крiм нульового, i для неї iснує ФГС
G0(τ, φ) =
{
Ω0
τ (φ) при τ ≤ 0,
0 при τ > 0,
для якої коефiцiєнти K = 1, γ = 1. Неважко переконатися, що матриця B(φ, t) та
функцiя c(φ, t), якi вiдповiдають системi (30), задовольняють умови теореми 1, причому
‖B(φ, t)‖ ≤ B0 =
1
4
, тобто виконується нерiвнiсть 2KB0 < γ. Таким чином, у просторi M
система рiвнянь (30) визначає неперервний iнварiантний тор.
На завершення зазначимо, що одержанi результати є новими i для випадку, коли рiв-
няння (9) та (20) розглядаються у скiнченновимiрному просторi i визначенi на скiнченно-
вимiрних торах.
1. Самойленко А. М. К теории возмущения инвариантных многообразий динамических систем // Тр. V
Междунар. конф. по нелинейным колебаниям. Т. I. Аналитические методы. — Киев: Ин-т математики
АН УССР, 1970. — С. 495 – 499.
2. Самойленко А. М. К вопросу о сохранении инвариантного тора при возмущении // Изв. АН СССР.
Сер. мат. — 1970. — 34, № 6. — С. 1219 – 1240.
3. Самойленко А. М., Теплинский Ю. В. Счетные системы дифференциальных уравнений. — Киев: Ин-т
математики НАН Украины, 1993. — 308 с.
4. Самойленко А. М., Теплинский Ю. В. Об инвариантных торах дифференциальных систем с импульса-
ми в пространствах ограниченных числовых последовательностей // Дифференц. уравнения. — 1985.
— 21, № 8. — С. 1353 – 1361.
5. Самойленко А. М., Теплинский Ю. В. О гладкости инвариантного тора счетного линейного расшире-
ния динамической системы на m-мерном торе // Там же. — 1994. — 30, № 5. — С. 781 – 790.
6. Samoilenko A. M., Teplinskiy Yu. V. Countable systems of differential equations.— Utrecht; Boston: VSP,
2003. — 287 p.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
ПРО IСНУВАННЯ IНВАРIАНТНИХ ТОРIВ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ . . . 367
7. Ельназаров А. А. Деякi питання теорiї злiченних систем та асимптотичних методiв: Автореф. дис. ...
канд. фiз.-мат. наук. — Київ, 1998. — 16 с.
8. Жанбусинова Б. Х. Квазипериодические решения счетных систем дифференциально-разностных урав-
нений: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. — Киев, 1991. — 12 с.
9. Мартинюк Д. I., Верьовкiна Г. В. Iнварiантнi множини злiченних систем рiзницевих рiвнянь // Вiсн.
Київ. ун-ту. Сер. фiз.-мат. наук. — 1997. — Вип. 1. — С. 117 – 127.
10. Мартынюк Д. И., Кравец В. И., Жанбусинова Б. Х. Об инвариантном торе счетной системы диффе-
ренциальных уравнений с запаздыванием // Асимптотические методы в задачах математической фи-
зики. — Киев: Ин-т математики АН УССР, 1989. — С. 77 – 86.
11. Самойленко А. М., Теплинский Ю. В. Инвариантные торы линейных счетных систем дискретных урав-
нений, заданных на бесконечномерном торе // Укр. мат. журн. — 1998. — 50, № 2. — С. 244 – 251.
12. Теплiнський Ю. В., Марчук Н. А. Про Cρ-гладкiсть iнварiантного тора зчисленної системи рiзницевих
рiвнянь, визначеної на m-вимiрному торi // Нелiнiйнi коливання. — 2002. — 5, № 2. — С. 251 – 265.
13. Теплiнський Ю. В., Марчук Н. А. Про диференцiйовнiсть в сенсi Фреше iнварiантних торiв зчисленних
систем рiзницевих рiвнянь, визначених на нескiнченновимiрних торах // Укр. мат. журн. — 2003. — 55,
№ 1. — С. 75 – 90.
14. Самойленко А. М., Теплiнський Ю. В., Семенишина I. В. Про iснування гладкого обмеженого напiвiн-
варiантного многовиду виродженої нелiнiйної системи рiзницевих рiвнянь у просторi m // Нелiнiйнi
коливання. — 2003. — 6, № 3. — С. 378 – 400.
15. Самойленко А. М., Теплiнський Ю. В. Елементи математичної теорiї еволюцiйних рiвнянь у банахових
просторах. — Київ: Iн-т математики НАН України, 2008. — 496 с.
Одержано 18.10.08
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178408 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-30T17:51:08Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Самойленко, А.М. Теплінський, Ю.В. Пасюк, К.В. 2021-02-19T07:19:04Z 2021-02-19T07:19:04Z 2009 Про існування інваріантних торів зліченних систем диференціально-різницевих рівнянь, визначених на нескінченновимірних торах / А.М. Самойленко, Ю.В. Теплінський, К.В. Пасюк // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 3. — С. 347-367. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178408 517.9 Получены достаточные условия существования в пространстве ограниченных числовых последовательностей инвариантных торов линейных и квазилинейных счетных систем дифференциально-разностных уравнений, определенных на бесконечномерных торах и содержащих бесконечное множество постоянных отклонений скалярного аргумента. In the space of bounded number sequences, sufficient conditions of existence of invariant tori for linear and quasi-linear countable systems of differential-difference equations defined on infinite-dimensional tori and containing an infinite set of constant deviations of scalar argument are obtained. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Про існування інваріантних торів зліченних систем диференціально-різницевих рівнянь, визначених на нескінченновимірних торах О существовании инвариантных торов счётных систем дифференциально-разностных уравнений, определённых на бесконечномерных торах On existence of invariant tori for countable systems of differential-difference equations defined on infinite-dimensional tori Article published earlier |
| spellingShingle | Про існування інваріантних торів зліченних систем диференціально-різницевих рівнянь, визначених на нескінченновимірних торах Самойленко, А.М. Теплінський, Ю.В. Пасюк, К.В. |
| title | Про існування інваріантних торів зліченних систем диференціально-різницевих рівнянь, визначених на нескінченновимірних торах |
| title_alt | О существовании инвариантных торов счётных систем дифференциально-разностных уравнений, определённых на бесконечномерных торах On existence of invariant tori for countable systems of differential-difference equations defined on infinite-dimensional tori |
| title_full | Про існування інваріантних торів зліченних систем диференціально-різницевих рівнянь, визначених на нескінченновимірних торах |
| title_fullStr | Про існування інваріантних торів зліченних систем диференціально-різницевих рівнянь, визначених на нескінченновимірних торах |
| title_full_unstemmed | Про існування інваріантних торів зліченних систем диференціально-різницевих рівнянь, визначених на нескінченновимірних торах |
| title_short | Про існування інваріантних торів зліченних систем диференціально-різницевих рівнянь, визначених на нескінченновимірних торах |
| title_sort | про існування інваріантних торів зліченних систем диференціально-різницевих рівнянь, визначених на нескінченновимірних торах |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178408 |
| work_keys_str_mv | AT samoilenkoam proísnuvannâínvaríantnihtorívzlíčennihsistemdiferencíalʹnoríznicevihrívnânʹviznačenihnaneskínčennovimírnihtorah AT teplínsʹkiiûv proísnuvannâínvaríantnihtorívzlíčennihsistemdiferencíalʹnoríznicevihrívnânʹviznačenihnaneskínčennovimírnihtorah AT pasûkkv proísnuvannâínvaríantnihtorívzlíčennihsistemdiferencíalʹnoríznicevihrívnânʹviznačenihnaneskínčennovimírnihtorah AT samoilenkoam osuŝestvovaniiinvariantnyhtorovsčetnyhsistemdifferencialʹnoraznostnyhuravneniiopredelennyhnabeskonečnomernyhtorah AT teplínsʹkiiûv osuŝestvovaniiinvariantnyhtorovsčetnyhsistemdifferencialʹnoraznostnyhuravneniiopredelennyhnabeskonečnomernyhtorah AT pasûkkv osuŝestvovaniiinvariantnyhtorovsčetnyhsistemdifferencialʹnoraznostnyhuravneniiopredelennyhnabeskonečnomernyhtorah AT samoilenkoam onexistenceofinvarianttoriforcountablesystemsofdifferentialdifferenceequationsdefinedoninfinitedimensionaltori AT teplínsʹkiiûv onexistenceofinvarianttoriforcountablesystemsofdifferentialdifferenceequationsdefinedoninfinitedimensionaltori AT pasûkkv onexistenceofinvarianttoriforcountablesystemsofdifferentialdifferenceequationsdefinedoninfinitedimensionaltori |