Асимптотичний аналіз математичного сподівання повної енергії гармонічного осцилятора при випадковому імпульсному збуренні
Исследуется поведение при t → ∞ математического ожидания полной энергии гармонического
 осциллятора без трения при внешнем импульсном пуассоновском возмущении. We study the behavior, as t → ∞, of the mathematical expectation of a harmonic frictionless oscillator in
 the presence of a...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2009 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178413 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Асимптотичний аналіз математичного сподівання повної енергії гармонічного осцилятора при випадковому імпульсному збуренні / Г.Л. Кулiнiч, Д.Ю. Куровський, Д.В. Петрусенко // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 3. — С. 299-306. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860177726311235584 |
|---|---|
| author | Кулiнiч, Г.Л. Куровський, Д.Ю. Петрусенко, Д.В. |
| author_facet | Кулiнiч, Г.Л. Куровський, Д.Ю. Петрусенко, Д.В. |
| citation_txt | Асимптотичний аналіз математичного сподівання повної енергії гармонічного осцилятора при випадковому імпульсному збуренні / Г.Л. Кулiнiч, Д.Ю. Куровський, Д.В. Петрусенко // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 3. — С. 299-306. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Исследуется поведение при t → ∞ математического ожидания полной энергии гармонического
осциллятора без трения при внешнем импульсном пуассоновском возмущении.
We study the behavior, as t → ∞, of the mathematical expectation of a harmonic frictionless oscillator in
the presence of an external impulsive Poissonian perturbation.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:01:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21, 517.4
АСИМПТОТИЧНИЙ АНАЛIЗ МАТЕМАТИЧНОГО СПОДIВАННЯ
ПОВНОЇ ЕНЕРГIЇ ГАРМОНIЧНОГО ОСЦИЛЯТОРА
ПРИ ВИПАДКОВОМУ IМПУЛЬСНОМУ ЗБУРЕННI
Г. Л. Кулiнiч, Д. Ю. Куровський, Д. В. Петрусенко
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
Україна, 01033, Київ, вул. Володимирська, 64
e-mail:bks@univ.kiev.ua
We study the behavior, as t → ∞, of the mathematical expectation of a harmonic frictionless oscillator in
the presence of an external impulsive Poissonian perturbation.
Исследуется поведение при t → ∞ математического ожидания полной энергии гармонического
осциллятора без трения при внешнем импульсном пуассоновском возмущении.
1. Вступ. Пiд гармонiчним осцилятором без тертя при зовнiшньому перiодичному збу-
реннi iз пуассонiвською iмпульсною амплiтудою будемо розумiти тiло маси 1, рух якого
описується диференцiальним рiвнянням другого порядку
ü(t) + k2u(t) = q(t), u(0) = u0, u̇(0) = u̇0, (1)
де q(t) = ξ(t) cos αt — зовнiшня збурна сила, ξ(t) — пуассонiвський процес з параметром
λ > 0; u0, u̇0 — початковi положення i швидкiсть осцилятора; u(t), u̇(t) — положення
i швидкiсть осцилятора в момент часу t > 0; k > 0 — параметр осцилятора; ε(t) =
=
1
2
[
u̇2(t) + k2u2(t)
]
— повна енергiя осцилятора.
Вiдомо [1], що в детермiнованих випадках:
1) ε(t) = ε(0) при всiх t > 0, якщо q(t) ≡ 0; 2) повна енергiя обмежена, якщо q(t) =
= cos αt, α 6= k, i ε(t) ∼ 1
8
t2 при t → ∞ (резонанс) при α = k.
Модель гармонiчного осцилятора з неперервним випадковим зовнiшнiм збуренням, в
якому математичне сподiвання Eε(t) ∼
√
t при t → ∞, розглядалась у [2], Eε(t) ∼ t — у
[3], Eε(t) ∼ tα, α >
1
2
, — у [4, 5], ln Eε(t) ∼ t — у [6].
Фазовий „портрет” гармонiчного осцилятора при випадковому збуреннi процесом ти-
пу „бiлого шуму” вздовж вектора фазової швидкостi осцилятора дослiджувався у роботах
[7, 8], пiд певним кутом до вектора фазової швидкостi — у [9], а при випадковому збуреннi
процесом типу „дробового шуму” — у [10].
У данiй роботi дослiджується поведiнка при t → ∞ математичного сподiвання пов-
ної енергiї гармонiчного осцилятора (1) (теореми 1, 2) i осцилятора типу (1), в якому
q(t) = [ξ(t)−E ξ(t)] cos αt (теореми 3, 4). Частиннi результати в цьому напрямку наведено
в роботi [11].
Зауваження. Оскiльки [12] траєкторiї пуассонiвського процесу ξ(t) з iмовiрнiстю 1
розривнi, то рiвнiсть (1) ми не можемо розглядати для всiх t > 0, якщо похiднi в рiвняннi
c© Г. Л. Кулiнiч, Д. Ю. Куровський, Д. В. Петрусенко, 2009
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 299
300 Г. Л. КУЛIНIЧ, Д. Ю. КУРОВСЬКИЙ, Д. В. ПЕТРУСЕНКО
розумiти як звичайнi похiднi з iмовiрнiстю 1. Тому в рiвняння (1) похiднi будемо розгля-
дати як похiднi в середньоквадратичному, при цьому рiвнiсть (1) можна розглядати при
всiх t > 0 i знайти явний вигляд розв’язку, аналогiчний детермiнованому випадку при
неперервному зовнiшньому збуреннi. Бiльш того, у п. 3 для спрощення викладу будемо
вважати, що у рiвняннi (1) u0 = 0, u̇0 = 0.
2. Допомiжнi результати.
Означення. Випадковий процес η(t), t ∈ [0, T ], середньоквадратично диференцiйов-
ний у точцi t0 ∈ (0, T ), якщо E |η(t)|2 < ∞ i
lim
∆t→0
E
∣∣∣∣η(t0 + ∆t)− η(t0)
∆t
− η̇(t0)
∣∣∣∣2 = 0.
Випадкова величина η̇(t0) називається середньоквадратичною похiдною випадково-
го процесу η(t) у точцi t0. Якщо iснує середньоквадратична похiдна процесу η(t) у кож-
нiй точцi t ∈ (0, T ), то процес η(t) середньоквадратично диференцiйовний на iнтервалi
(0, T ).
Нехай ξ(t), t ≥ 0, — пуассонiвський процес з параметром λ > 0. Це означає, що ξ(t)
— процес з незалежними приростами, ξ(0) = 0 i
P {ξ(t + s)− ξ(t) = k} =
(λs)k
k!
`−λs, k = 0, 1, . . . .
Отже, математичне сподiвання Eξ(t) = λt, дисперсiя Dξ(t) = λt, коварiацiйна функцiя
B(t, s) = Eξ(t)ξ(s) = λ2ts + λ min(t, s), кореляцiйна функцiя R(t, s) = E(ξ(t) −
−Eξ(t))(ξ(s)− Eξ(s)) = λ min(t, s).
Розглянемо процес η(t) =
∫ t
0 ξ(s)ds. Оскiльки траєкторiї пуассонiвського процесу ξ(t)
кусково-сталi, то вони iнтегровнi, процес η(t) iснує при кожному t > 0 i має неперервнi з
iмовiрнiстю 1 траєкторiї, крiм того, має мiсце наступна лема.
Лема 1. Середньоквадратична похiдна η̇(t) = ξ(t) з iмовiрнiстю 1 при всiх t > 0.
Доведення. Оскiльки
E
∣∣∣∣∣∣ 1
∆
t+∆t∫
0
ξ(s)ds−
t∫
0
ξ(s)ds
− ξ(t)
∣∣∣∣∣∣
2
=
1
(∆t)2
E
t+∆t∫
t
ξ(s)ds
2
−
− 2
1
∆t
t+∆t∫
t
Eξ(t)ξ(s)ds + Eξ2(t) =
1
(∆t)2
t+∆t∫
t
t+∆t∫
t
[
λ2s1s2 + λ min(s1, s2)
]
ds1ds2−
− 2
1
∆t
t+∆t∫
t
[
λ2ts + λt
]
ds + λt + (λt)2 ⇒ λ2t2 + λt− 2
[
λ2t2 + λt
]
+ λ2t2 + λt = 0
при ∆t → 0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
АСИМПТОТИЧНИЙ АНАЛIЗ МАТЕМАТИЧНОГО СПОДIВАННЯ ПОВНОЇ ЕНЕРГIЇ . . . 301
то середньоквадратична похiдна η̇(t) iснує i дорiвнює ξ(t) з iмовiрнiстю 1 при кожному t >
> 0. Процес η(t) неперервний з iмовiрнiстю 1. Отже, вiн сепарабельний [12]. Тому рiвнiсть
η̇(t) = ξ(t) виконується для всiх t > 0 з iмовiрнiстю 1.
Лема 2. Нехай функцiя g(t, s) невипадкова, частиннi похiднi g′t(t, s), g′s(t, s) неперервнi
за двома аргументами в областi (t ≥ 0, s ≥ 0) i ξ(t) — пуассонiвський процес з парамет-
ром λ > 0. Тодi має мiсце рiвнiсть t∫
0
g(t, s)ξ(s)ds
′
= g(t, t)ξ(t) +
t∫
0
g′t(t, s)ξ(s)ds
при всiх t > 0 з iмовiрнiстю 1, де похiдна вiд iнтеграла розглядається як похiдна в
середньоквадратичному.
Доведення. Для доведення використаємо зображення
1
∆t
t+∆t∫
0
g (t + ∆t, s) ξ(s)ds−
t∫
0
g(t, s)ξ(s)ds
=
1
∆t
t+∆t∫
t
g(t + ∆t, s) ξ(s)ds+
+
1
∆t
t∫
0
[g (t + ∆t, s)− g(t, s)] ξ(s)ds. (2)
Оскiльки
1
∆t
t+∆t∫
t
g(t + ∆t, s)ξ(s)ds− g (t, t) ξ(t) =
1
∆t
t+∆t∫
t
g (t + ∆t, s)− g(t, s)
×
× ξ(s)ds +
1
∆t
t+∆t∫
t
g (t, s)− g(t, t)
ξ(s)ds + g(t, t)
1
∆t
t+∆t∫
t
ξ(s)ds− ξ(t)
,
то, враховуючи лему 1, маємо збiжнiсть
E
∣∣∣∣∣∣ 1
∆t
t+∆t∫
t
g(t + ∆t, s)ξ(s)ds− g(t, t)ξ(t)
∣∣∣∣∣∣
2
≤ 3
sup
t≤s1≤t+∆t
t≤s≤t+∆t
∣∣g′s1
(s1, s)
∣∣2 + sup
t≤s≤t+∆t
∣∣g′s(t, s)∣∣2
×
× E
t+∆t∫
t
ξ(s)ds
2
+ 3g2(t, t)E
1
∆t
t+∆t∫
t
ξ(s)ds− ξ(t)
2
→ 0 при ∆t → 0.
Отже, маємо збiжнiсть (l.i.m.) у середньоквадратичному
l.i.m.
∆t→0
1
∆t
t+∆t∫
t
g(t + ∆t, s)ξ(s)ds = g(t, t)ξ(t) (3)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
302 Г. Л. КУЛIНIЧ, Д. Ю. КУРОВСЬКИЙ, Д. В. ПЕТРУСЕНКО
з iмовiрнiстю 1 при кожному t > 0. Внаслiдок того, що g′s1
(s1, s) неперервна по s1, s, в
замкненiй областi t ≤ s1 ≤ t + ∆t, 0 ≤ s ≤ t, вона рiвномiрно неперервна. Тому з оцiнки
E
1
∆t
t∫
0
[g(t + ∆t, s)− g(t, s)] ξ(s)ds−
t∫
0
g′t(t, s)ξ(s)ds
2
≤
≤ sup
t≤s1≤t+∆t
0≤s≤t
∣∣g′s1
(s1, s)− g′t(t, s)
∣∣2 E
t∫
0
ξ(s)ds
2
маємо збiжнiсть
l.i.m.
∆t→0
1
∆t
t∫
0
[g(t + ∆t, s)− g(t, s)] ξ(s)ds =
t∫
0
g′t(t, s)ξ(s)ds (4)
з iмовiрнiстю 1 при кожному t > 0. Iз спiввiдношень (2) – (4) i сепарабельностi процесу∫ t
0
g(t, s)ξ(s)ds випливає твердження леми 2.
Наслiдок. Процес
u(t) =
1
k
t∫
0
sin k(t− s)ξ(s) cos αsds + u0 cos kt +
u̇0
k
sin kt, (5)
де ξ(t) — пуассонiвський процес, при всiх t > 0 з iмовiрнiстю 1 задовольняє рiвняння (1),
в якому похiднi u̇(t)i ü(t) розглядаються в середньоквадратичному.
Справдi, для невипадкових функцiй середньоквадратичнi похiднi збiгаються iз звичай-
ними похiдними, а для пiдiнтегрального виразу в (5) виконуються умови леми 2. Тому без-
посередньою перевiркою встановлюється твердження наслiдку.
3. Основнi результати.
Теорема 1. Нехай ε(t) — повна енергiя випадкового гармонiчного осцилятора (1). То-
дi:
1) при α 6= k, α 6= 0
lim
t→∞
1
t2
E ε(t) =
λ2
4
[
k2 + α2
(k2 − α2)2
+
1
|α2 − k2|
]
,
lim
t→∞
1
t2
E ε(t) =
λ2
4
[
k2 + α2
(k2 − α2)2
− 1
|α2 − k2|
]
;
2) при α = k
lim
t→∞
1
t4
E ε(t) =
λ2
32
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
АСИМПТОТИЧНИЙ АНАЛIЗ МАТЕМАТИЧНОГО СПОДIВАННЯ ПОВНОЇ ЕНЕРГIЇ . . . 303
Доведення. Домножимо рiвнiсть (1) на u̇(t) i зiнтегруємо вiд 0 до t. Використовуючи
формулу Ньютона – Лейбнiца [11] (гл. V, § 2), отримуємо
ε(t) =
t∫
0
ξ(s) cos αsu̇(s)ds.
Згiдно з рiвнiстю (5) i лемою 2
u̇(t) =
t∫
0
cos k (t− s)ξ(s) cos αsds.
Тому
E ε(t) = λ2
t∫
0
sy(s) cos αsds + λ
t∫
0
y(s) cos αsds, (6)
де
y(t) =
t∫
0
s cos k(t− s) cos αsds.
Оскiльки
y(t) =
1
2
t∫
0
s cos(kt− s(k − α))ds +
t∫
0
s cos(kt− s(k + α))ds
=
= − αt
k2 − α2
sin αt +
k2 + α2
(k2 − α2)2
[cos αt− cos kt]
при α 6= k i
y(t) =
t2
4
cos kt +
t
4k
sin kt
при α = k, то
t∫
0
y(s) cos αsds = − α
k2 − α2
[
− t
4α
cos 2αt +
1
8α2
sin 2αt
]
+
+
k2 + α2
(k2 − α2)2
[
t
2
+
1
4α
sin 2αt− 1
2(k + α)
sin(k + α)t− 1
2(k − α)
sin(k − α)t
]
(7)
при α 6= k i
t∫
o
y(s) cos αsds =
t3
24
+
t2
16k
sin 2kt (8)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
304 Г. Л. КУЛIНIЧ, Д. Ю. КУРОВСЬКИЙ, Д. В. ПЕТРУСЕНКО
при α = k. Бiльш того,
t∫
0
sy(s) cos αsds = − α
k2 − α2
{
− t2
4α
cos 2αt +
t
4α2
sin 2αt +
1
8α3
[cos 2αt− 1]
}
+
+
k2 + α2
(k2 − α2)2
{
t2
4
+
t
4α
sin 2αt +
1
8α2
[cos 2αt− 1]− t
2(k + α)
sin(k + α)t−
− t
2(k − α)
sin(k − α)t +
1
2(k + α)2
[1− cos(k + α)t] +
1
2(k − α)2
[1− cos(k − α)t]
}
при k 6= α i
t∫
0
sy(s) cos αsds =
t4
32
+
t3
8k
sin 2kt− t2
8k2
sin 2kt− t
8k3
cos 2kt +
1
16k4
sin 2kt
при α = k. Отже, згiдно з (6)
Eε(t) = λ2
{
t2
4
k2 + α2
(k2 − α2)2
+
t2
4(k2 − α2)
cos 2αt +
+
1
2(k2 − α2)2
[
tα sin 2αt +
1
2
(cos 2αt− 1)
]
−
− t(k2 + α2)
2(k2 − α2)2
[
sin(k + α)t
k + α
+
sin(k − α)t
k − α
]}
+
+ λ
{
t(k2 + α2)
2(k2 − α2)2
+
t
4(k2 − α2)
cos 2t−
− k2 + α2
2(k2 − α2)2
[
sin(k + α)t
k + α
+
sin(k − α)t
k − α
]}
, α 6= k, α 6= 0, (9)
Eε(t) = λ2
{
t4
32
+
t3
8k
sin 2kt− t2
8k2
sin 2kt− t
8k3
cos 2kt+
+
1
16k4
sin 2kt
}
+ λ
{
t3
24
+
t2
16k
sin 2kt
}
, α = k.
Звiдси випливає твердження теореми 1.
Теорема 2. Нехай ε(t) — повна енергiя осцилятора вигляду (1), в якому q(t) = ξ(t).
Тодi
E ε(t) = λ2
[
t2
2k2
− t
k3
sin kt
]
+ λ
[
3t
4k2
− t
k3
sin kt
] (
lim
t→∞
Eε(t)
t2
=
λ2
2k2
)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
АСИМПТОТИЧНИЙ АНАЛIЗ МАТЕМАТИЧНОГО СПОДIВАННЯ ПОВНОЇ ЕНЕРГIЇ . . . 305
Це твердження випливає з теореми 1, якщо в рiвняннi (9) покласти α = 0.
Теорема 3. Нехай ε(t) — повна енергiя осцилятора вигляду (1), в якому q(t) = [ξ(t)−
−E ξ(t)] cos αt. Тодi:
1) lim
t→∞
Eε(t)
t
=
λ
2
[
k2 + α2
(k2 − α2)2
+
1
2 |k2 − α2|
]
, lim
t→∞
Eε(t)
t
=
λ
2
[
k2 + α2
(k2 − α2)2
+
1
2 |k2 − α2|
]
при α 6= k, α 6= 0;
2) lim
t→∞
E ε(t)
t3
=
λ
24
при α = k.
Доведення аналогiчне доведенню теореми 1. Тiльки в цьому випадку замiсть рiвностi
(6) отримаємо рiвнiсть
Eε(t) = λ
t∫
0
y(s) cos αsds,
де y(t) має той самий вигляд, що i в рiвностi (6). Тому iз (7) i (8) знаходимо
Eε(t) = λ
{
t
2
[
k2 + α2
(k2 − α2)2
+
1
2(k2 − α2)
cos αt
]
+
+
k2 + 3α2
8α(k2 − α2)2
sin 2αt− k2 + α2
(k2 − α2)2
[
sin(k + α)t
2(k + α)
+
sin(k − α)t
2(k − α)
]}
(10)
при α 6= k, α 6= 0;
Eε(t) = λ
{
t3
24
+
t2
16k
sin 2kt
}
при α = k. Iз цих рiвностей випливають твердження теореми 3.
Теорема 4. Нехай ε(t) — повна енергiя осцилятора (1), в якому q(t) = ξ(t)−Eξ(t). Тодi
Eε(t) = λ
{
t
k2
− 1
k3
sin kt
} (
lim
t→∞
Eε(t)
t
=
λ
k2
)
.
Ця теорема випливає iз теореми 3, якщо в (10) покласти α = 0.
4. Висновок. У спорудах i машинах явище резонансу вiдiграє дуже негативну роль:
збiльшення амплiтуди коливань викликає зростання напруження матерiалу, а це може
призвести до руйнацiї споруди або машини. В акустицi й радiотехнiцi, як вiдомо, роль
резонансу є позитивною.
Отже, отриманi в роботi результати мають теоретичне значення та практичне засто-
сування при побудовi математичних моделей та дослiдженнi поведiнки динамiчних систем
при iмпульсних випадкових збуреннях.
1. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1965. —
424 с.
2. Кулiнiч Г. Л. Про граничну поведiнку випадкового гармонiчного осцилятора // Вiсн. Київ. ун-ту. Мате-
матика, механiка. — 1985. — Вип. 25. — С. 108 – 113.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
306 Г. Л. КУЛIНIЧ, Д. Ю. КУРОВСЬКИЙ, Д. В. ПЕТРУСЕНКО
3. Papanirolan G. G. Stochastic equations and their applications // Amer. Math. Mon. — 1973. — 80, № 5. —
P. 526 – 545.
4. Kulinich G. L. On the limiting behavions of a harmonic oscillator with randon external disturbance // Y.A.M.S.A.
— 1995. — 8. — P. 265 – 274.
5. Дивнич М. Т., Куровський Д. Ю., Єршов А. В. Асимптотичний аналiз математичного сподiвання повної
енергiї випадкового гармонiчного осцилятора // Вiсн. Київ. ун-ту. Математика, механiка. — 2005. —
№ 3. — С. 104 – 112.
6. Бандерский М. М., Пастур Л. А. Об асимптотике уравнений 2-го порядка со случайным коэффициен-
том // Теория функций, функцион. анализ и их прил. — 1975. — Вып. 22. — С. 3 – 14.
7. Kulinich G. L. Qualitative analysis of the influence of random perturbations of the phase velocity of the
harmonic oscillator // Random Oper. and Stochast. Equat. — 1995. — 3, № 2 — P. 141 – 152.
8. Кулiнiч Г. Л. Якiсний аналiз впливу на гармонiчний осцилятор з тертям випадкових збурень типу „бi-
лого шуму” вздовж вектора фазової швидкостi // Укр. мат. журн. — 1997. — 49, № 1. — C. 36 – 47.
9. Кулинич Г. Л., Бернацкая Ю. В. О фазовом „портрете” гармонического осциллятора с трением, возму-
щенного случайным процессом типа „белого шума” // Мат. зап. — 1998. — 68, № 4. — С. 862 – 869.
10. Кулiнiч Г. Л. Якiсний аналiз поведiнки гармонiчного осцилятора пiд впливом випадкових збурень пара-
метрiв процесами типу „бiлого i дробового шумiв” // Теорiя ймовiрностей та мат. статистика. — 1998.
— Вип. 58. — С. 81 – 91.
11. Кулiнiч Г. Л., Куровський Д. Ю., Петрусенко Д. В. Про асимптотичну поведiнку гармонiчного осци-
лятора математичного сподiвання повної енергiї стохастичного гармонiчного осцилятора // Мат. XI
Мiжнар. наук. конф. iм. акад. М. Кравчука. — Київ, 2006. — С. 719.
12. Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. — М.: Наука, 1965. — 654 с.
Одержано 22.01.08
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178413 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:01:22Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кулiнiч, Г.Л. Куровський, Д.Ю. Петрусенко, Д.В. 2021-02-19T07:20:19Z 2021-02-19T07:20:19Z 2009 Асимптотичний аналіз математичного сподівання повної енергії гармонічного осцилятора при випадковому імпульсному збуренні / Г.Л. Кулiнiч, Д.Ю. Куровський, Д.В. Петрусенко // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 3. — С. 299-306. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178413 519.21, 517.4 Исследуется поведение при t → ∞ математического ожидания полной энергии гармонического
 осциллятора без трения при внешнем импульсном пуассоновском возмущении. We study the behavior, as t → ∞, of the mathematical expectation of a harmonic frictionless oscillator in
 the presence of an external impulsive Poissonian perturbation. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Асимптотичний аналіз математичного сподівання повної енергії гармонічного осцилятора при випадковому імпульсному збуренні Асимптотический анализ математического ожидания полной энергии гармонического осциллятора при случайном импульсном возмущении Asymptotic analysis of mathematical expectation of the total energy of a harmonic oscillator with a random perturbation impulse Article published earlier |
| spellingShingle | Асимптотичний аналіз математичного сподівання повної енергії гармонічного осцилятора при випадковому імпульсному збуренні Кулiнiч, Г.Л. Куровський, Д.Ю. Петрусенко, Д.В. |
| title | Асимптотичний аналіз математичного сподівання повної енергії гармонічного осцилятора при випадковому імпульсному збуренні |
| title_alt | Асимптотический анализ математического ожидания полной энергии гармонического осциллятора при случайном импульсном возмущении Asymptotic analysis of mathematical expectation of the total energy of a harmonic oscillator with a random perturbation impulse |
| title_full | Асимптотичний аналіз математичного сподівання повної енергії гармонічного осцилятора при випадковому імпульсному збуренні |
| title_fullStr | Асимптотичний аналіз математичного сподівання повної енергії гармонічного осцилятора при випадковому імпульсному збуренні |
| title_full_unstemmed | Асимптотичний аналіз математичного сподівання повної енергії гармонічного осцилятора при випадковому імпульсному збуренні |
| title_short | Асимптотичний аналіз математичного сподівання повної енергії гармонічного осцилятора при випадковому імпульсному збуренні |
| title_sort | асимптотичний аналіз математичного сподівання повної енергії гармонічного осцилятора при випадковому імпульсному збуренні |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178413 |
| work_keys_str_mv | AT kuliničgl asimptotičniianalízmatematičnogospodívannâpovnoíenergíígarmoníčnogooscilâtoraprivipadkovomuímpulʹsnomuzburenní AT kurovsʹkiidû asimptotičniianalízmatematičnogospodívannâpovnoíenergíígarmoníčnogooscilâtoraprivipadkovomuímpulʹsnomuzburenní AT petrusenkodv asimptotičniianalízmatematičnogospodívannâpovnoíenergíígarmoníčnogooscilâtoraprivipadkovomuímpulʹsnomuzburenní AT kuliničgl asimptotičeskiianalizmatematičeskogoožidaniâpolnoiénergiigarmoničeskogooscillâtoraprislučainomimpulʹsnomvozmuŝenii AT kurovsʹkiidû asimptotičeskiianalizmatematičeskogoožidaniâpolnoiénergiigarmoničeskogooscillâtoraprislučainomimpulʹsnomvozmuŝenii AT petrusenkodv asimptotičeskiianalizmatematičeskogoožidaniâpolnoiénergiigarmoničeskogooscillâtoraprislučainomimpulʹsnomvozmuŝenii AT kuliničgl asymptoticanalysisofmathematicalexpectationofthetotalenergyofaharmonicoscillatorwitharandomperturbationimpulse AT kurovsʹkiidû asymptoticanalysisofmathematicalexpectationofthetotalenergyofaharmonicoscillatorwitharandomperturbationimpulse AT petrusenkodv asymptoticanalysisofmathematicalexpectationofthetotalenergyofaharmonicoscillatorwitharandomperturbationimpulse |