Найкращі наближення деяких класів голоморфних функцій
We construct the best linear methods of approximation in the Hardy and Bergman spaces of the classes of functions holomorphic in a unit disk, which are the convolutions of unit balls of the Hardy and Bergman spaces with certain reproducing kernel. We obtain the exact values for the n-widths, the bes...
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1785 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Найкращі наближення деяких класів голоморфних функцій / В.В. Савчук // Доп. НАН України. — 2007. — N 5. — С. 36–42. — Бібліогр.: 10 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860268596055244800 |
|---|---|
| author | Савчук, В.В. |
| author_facet | Савчук, В.В. |
| citation_txt | Найкращі наближення деяких класів голоморфних функцій / В.В. Савчук // Доп. НАН України. — 2007. — N 5. — С. 36–42. — Бібліогр.: 10 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | We construct the best linear methods of approximation in the Hardy and Bergman spaces of the classes of functions holomorphic in a unit disk, which are the convolutions of unit balls of the Hardy and Bergman spaces with certain reproducing kernel. We obtain the exact values for the n-widths, the best polynomial approximations, and the best linear approximations of the mentioned functional classes. We find the necessary and sufficient conditions, under which the generalized Bernstein inequalities for algebraic polynomials are hold true in the metrics of the Hardy and Bergman spaces.
|
| first_indexed | 2025-12-07T19:03:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
© 2007
В.В. Савчук
Найкращi наближення деяких класiв голоморфних
функцiй
(Представлено членом-кореспондентом НАН України О. I. Степанцем)
We construct the best linear methods of approximation in the Hardy and Bergman spaces of
the classes of functions holomorphic in a unit disk, which are the convolutions of unit balls
of the Hardy and Bergman spaces with certain reproducing kernel. We obtain the exact values
for the n-widths, the best polynomial approximations, and the best linear approximations of the
mentioned functional classes. We find the necessary and sufficient conditions, under which the
generalized Bernstein inequalities for algebraic polynomials are hold true in the metrics of the
Hardy and Bergman spaces.
1. Постановка задачi. Нехай D := {z ∈ C : |z| < 1} i T := ∂D = {z ∈ C : |z| = 1} —
вiдповiдно одиничний круг та його межа в комплекснiй площинi C. Через ν i σ будемо
позначати мiри Лебега, заданi вiдповiдно в D i на T так, що ν(D) = σ(T) = 1. Для 1 6
6 p < ∞ будемо розглядати простори Lp(D) i Lp(T) функцiй, визначених вiдповiдно в D
i на T з нормами
‖f‖Lp(D) :=
(∫
D
|f |pdν
)1/p
<∞ i ‖f‖Lp(T) :=
(∫
T
|f |pdσ
)1/p
<∞.
Через C(T) будемо позначати простiр неперервних на колi T функцiй f з нормою
‖f‖C(T) := max
z∈T
|f(z)|.
Нехай далi H — множина всiх функцiй, голоморфних в D. Для 1 6 p < ∞ позначимо
Ap := Lp(D)
⋂
H — простiр Бергмана з нормою ‖ · ‖Ap = ‖ · ‖Lp(D) i
Hp :=
{
f ∈ H : ‖f‖Hp := sup
0<̺<1
(∫
T
|f(̺w)|pdσ(w)
)1/p
<∞
}
, 1 6 p <∞, —
простiр Гардi. При p = ∞ покладаємо A∞ = H∞ i розумiємо пiд цим простiр обмежених
голоморфних у D функцiй f з нормою ‖f‖H∞
:= sup
z∈D
|f(z)|.
Позначимо f̂k := f (k)(0)/k!, k ∈ N. Тодi ряд Тейлора функцiї f ∈ H матиме вигляд
f(z) =
∞∑
k=0
f̂kz
k, z ∈ D.
Для формального степеневого ряду
Ψ(z) :=
∞∑
k=0
ψkz
k ∈ H, z ∈ D,
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №5
в якому ψ := {ψk}
∞
k=0 — послiдовнiсть комплексних чисел i ряду Тейлора функцiї f ∈ H,
суму ряду
(f ∗ Ψ)(z) :=
∞∑
k=0
ψkf̂kz
k
називають згорткою за Адамаром функцiй f та Ψ.
Якщо для заданої послiдовностi ψ функцiю f ∈ H можна зобразити у виглядi згортки
g ∗Ψ з деякою функцiєю g ∈ H, то кажуть [1], що f є ψ-iнтегралом функцiї g. У свою чергу,
функцiю g називають ψ-похiдною функцiї f i використовують при цьому позначення fψ.
Позначивши через UAp i UHp одиничнi кулi вiдповiдно в просторах Ap i Hp, для даної
послiдовностi {ψk}
∞
k=0 визначимо класи Aψp i Hψ
p , 1 6 p 6 ∞, таким чином:
Aψp := {f ∈ H : fψ ∈ UAp}, Hψ
p := {f ∈ H : fψ ∈ UHp}.
При цьому будемо казати, що функцiя Ψ(z) =
∞∑
k=0
ψkz
k ∈ H є твiрним ядром класу Aψp або
Hψ
p , якщо lim
k→∞
k
√
|ψk| 6 1 i |ψk| > 0 для всiх k ∈ Z+.
Зрозумiло, якщо Ψ є твiрним ядром i функцiя f ∈ Aψp ∨ Hψ
p , то її ψ-похiдна має роз-
винення в ряд Тейлора
fψ(z) =
∞∑
k=0
1
ψk
f̂kz
k, z ∈ D.
Нехай далi Λ := {λk,n}, n = 1,∞, k = 0, n − 1, — нескiнченна нижньотрикутна функцiо-
нальна матриця, елементами якої є функцiї λk,n(·), визначенi на вiдрiзку [0, 1], i {Un}
∞
0 —
послiдовнiсть лiнiйних операторiв, заданих на H правилом
Un(f)(z) = Un,Λ(f)(z) =
n−1∑
k=0
λk,n(|z|)f̂kz
k. (1)
Кажуть, що матриця Λ за допомогою (1) породжує лiнiйний метод наближення голо-
морфних функцiй. Надалi пiд термiном “лiнiйний метод наближення голоморфних функцiй”
ми будемо розумiти оператор Un,Λ. Якщо ж оператор Un,Λ вiдображає H в простiр Pn−1
алгебраїчних многочленiв степеня не бiльше n − 1, то кажемо, що матриця Λ породжує
полiномiальний лiнiйний метод наближення голоморфних функцiй.
Зауважимо, що для всiх z ∈ T̺ := {z : |z| = ̺} при фiксованому ̺ ∈ [0, 1) λk,n(|z|) =
= const. Тому метод Un,Λ на кожному концентричному колi T̺ можна трактувати як полi-
номiальний лiнiйний метод наближення, породжений числовою матрицею Λ̺ := {λ(̺)k,n}.
Нехай X — нормований лiнiйний простiр функцiй, визначених на деякому компактi в D,
i A — пiдмножина в H.
Величина
Ln(A;X) := inf
Λ
sup
f∈A
‖f − Un,Λ(f)‖X , n ∈ N,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №5 37
де нижня межа береться по множинi всiх нижньотрикутних функцiональних матриць Λ,
називається найкращим лiнiйним наближенням класу A в просторi X. Якщо iснує матри-
ця Λ∗, яка породжує послiдовнiсть операторiв {Un,Λ∗}∞0 таких, що
sup
f∈A
‖f − Un,Λ∗(f)‖X = Ln(A;X), n = 0,∞, (2)
то матриця Λ∗ називається найкращим лiнiйним методом наближення класу A в просторi X.
Величина
En(A;X) := sup
f∈A
inf
Pn−1∈Pn−1
‖f − Pn−1‖X , n ∈ N,
називається найкращим многочленним наближенням порядку n класу A у просторi X.
Нескладно показати, що для будь-якої послiдовностi ψ i натурального n
|ψn| 6 En(H
ψ
∞
;C(T)) 6 Ln(H
ψ
∞
;C(T)). (3)
Метою нашого дослiдження є знаходження точних значень величин En(A;X) i Ln(A;X)
у контекстi спiввiдношення (3), коли A набуває значень Hψ
p i Aψp , а X — це простiр неперерв-
них функцiй, або ж Lp-простiр на концентричному колi T̺ := {z ∈ C : |z| = ̺} чи в крузi
D̺ := {z ∈ C : |z| 6 ̺}, 0 6 ̺ 6 1, до того ж ми прагнемо побудувати найкращий лiнiйний
метод наближення, тобто вказати явний вигляд λk,n(·), для яких виконується (2).
Ранiше така задача розглядалася в [2–8] за умови, що послiдовнiсть ψ є дiйсною, опуклою
i спадною до нуля (за таких умов спiввiдношення (3) перетворюється в низку рiвностей).
На цей час залишалося нез’ясованим питання про те, чи будуть наведенi умови необхiдни-
ми. З огляду на це актуальною є задача про знаходження необхiдних i достатнiх умов на
послiдовнiсть ψ, за яких спiввiдношення (3) перетворюється в рiвнiсть.
2. Найкращi лiнiйнi методи наближення класiв A
ψ
p i H
ψ
p . Розглянемо на класах
Aψp i Hψ
p лiнiйний метод наближення Un,Λ∗, породжений числовою матрицею
Λ∗ = {λ∗k,n} : λ∗k,n = 1 −
ψ2n−k
ψk
e2i argψn̺2(n−k), k = 0, n − 1, n ∈ N. (4)
Основний результат цього пункту говорить, зокрема, про те, що метод Un,Λ∗ є найкра-
щим лiнiйним методом наближення одночасно на класах Hψ
p i Aψp в метриках просторiв
Lp(T̺) i Lp(D̺) вiдповiдно i до того ж вiн є найкращим полiномiальним методом набли-
ження.
Нагадаємо, що норми в просторах Lp(T̺), Lp(D̺) i C(T̺) задаються таким чином:
‖f‖Lp(T̺) = ‖f(̺·)‖Lp(T), ‖f‖Lp(D̺) = ̺2/p‖f(̺·)‖Lp(D), ‖f‖C(T̺) = ‖f(̺·)‖C(T).
Теорема 1. Нехай функцiя Ψ(z) :=
∞∑
k=0
ψkz
k — твiрне ядро класу Hψ
p , 1 6 p 6 ∞.
1. Для даного натурального n i будь-якого ̺ ∈ [0, 1] рiвнiсть
En(H
ψ
∞
;C(T̺)) = Ln(H
ψ
∞
;C(T̺)) = |ψn|̺
n (5)
має мiсце тодi i тiльки тодi, коли
2Re
(
1
ψn
∞∑
k=0
ψk+nz
k
)
> 1 ∀z ∈ D. (6)
При цьому метод (4) є єдиним найкращим лiнiйним методом наближення класу Hψ
∞.
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №5
2. Якщо Ψ задовольняє умову (6), то для кожного фiксованого ̺ ∈ [0, 1] i кожного
натурального n при всiх p ∈ [1,∞)
En(H
ψ
p ;Lp(T̺)) = Ln(H
ψ
p ;Lp(T̺)) = sup
f∈Hψ
p
‖f − Un,Λ∗(f)‖Lp(T̺) = |ψn|̺
n; (7)
En(A
ψ
p ;Lp(D̺)) = Ln(A
ψ
p ;Lp(D̺)) = sup
f∈Aψp
‖f − Un,Λ∗(f)‖Lp(D̺) = |ψn|̺
n+2/p. (8)
Зауваження 1. Умова (6) є рiвносильною такiй: для кожного n ∈ N iснує додатна бо-
релiвська мiра µn на T така, що
ψk+n
ψn
=
∫
T
w−kdµn(w), k = 0, 1, 2, . . . .
Зауваження 2. Якщо числа ψk, k = 0, 1, 2, . . ., є дiйсними, то умову (6) можна переписати
у виглядi: для кожного натурального n гармонiчна функцiя
1
2
ψn + Re
∞∑
k=1
ψk+nz
k (9)
є знакосталою в крузi D.
За таких обмежень на функцiю Ψ iмплiкацiю (6) ⇒ Ln(H
ψ
p ;Lp(T̺)) = |ψn|̺
n доведено
в роботi [7], в якiй також побудовано найкращий лiнiйний метод наближення у виглядi (4).
За цих же обмежень на Ψ iмплiкацiя (6) ⇒ En(H
ψ
p ;Lp(T̺)) = |ψn|̺
n випливає з результатiв
робiт [2, 5].
Нескладно перевiрити, що умова (9) виконується для кожного натурального n, коли
послiдовнiсть ψ є додатною, опуклою i спадною до нуля або ж коли ψ є сталою.
У випадку наближення класу Hψ
p в метрицi простору Lp(D̺) має мiсце таке твердження.
Теорема 2. Нехай функцiя Ψ(z) :=
∞∑
k=0
ψkz
k — твiрне ядро класу Hψ
p , 1 6 p 6 ∞,
0 6 ̺ 6 1 i
Λ∗ = {λk,n(|z|)} : λk,n(|z|) = 1 −
ψ2n−k
ψk
e2i argψn |̺z|2(n−k), k = 0, n− 1, n ∈ N. (10)
Якщо Ψ задовольняє умову (6), то
Ln(H
ψ
p ;Lp(D̺)) = sup
f∈Hψ
p
‖f − Un,Λ∗(f)‖Lp(D̺) = |ψn|
̺n+2/p
(
p
2
n+ 1
)1/p
. (11)
3. n-Поперечники класiв A
ψ
p i H
ψ
p . Покажемо, що найкращий лiнiйний метод на-
ближення Λ∗ на класах Aψp i Hψ
p є найкращим агрегатом наближення серед усiх елементiв
усiх n-вимiрних пiдпросторiв Hp i Ap вiдповiдно. У такому випадку прийнято казати, що
метод Λ∗ реалiзує n-поперечник за Колмогоровим.
Нагадаємо необхiднi означення.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №5 39
Нехай X — комплексний нормований лiнiйний простiр, A — пiдмножина в X, Xn —
множина всiх n-вимiрних пiдпросторiв X, X
n — множина всiх пiдпросторiв X ковимiрностi n
i Ln — множина всiх неперервних лiнiйних операторiв Ln : X → Xn рангу n.
Нижченаведенi величини називаються вiдповiдно бернштейнiвським, колмогорiвським,
гельфандiвським та лiнiйним n-поперечником множини A в просторi X:
bn(A;X) := sup
Xn+1∈Xn+1
sup{r : rUXn+1 j A},
dn(A;X) := inf
Xn∈Xn
sup
f∈A
inf
g∈Xn
‖f + g‖X ,
dn(A;X) := inf
Xn∈Xn
sup
f∈A∩Xn
‖f‖X ,
δn(A;X) := inf
Ln∈Ln
sup
f∈A
‖f + Ln(f)‖X .
Оптимальними пiдпросторами для перших трьох з наведених поперечникiв називаються
пiдпростори, для яких досягаються вiдповiдно верхня межа для bn та нижнi межi для dn
i dn. Аналогiчно для δn, оператор Ln називається оптимальним, якщо для нього досягається
нижня межа.
Перерахованi n-поперечники та величини En i Ln спiввiдносяться мiж собою таким чи-
ном (див., напр., [9, гл. 2]):
bn(A;X) 6
dn(A;X)
dn(A;X)
6
δn(A;X)
En(A;X)
6 Ln(A;X). (12)
Теорема 3. Нехай 1 6 p 6 ∞, Ψ(z) :=
∞∑
k=0
ψkz
k — твiрне ядро класу Hψ
p , n ∈ N i Dn —
один з n-поперечникiв bn, dn, d
n або ж δn. Якщо для Ψ одночасно виконуються умови (6)
i (16), то для будь-якого ̺ ∈ [0, 1]
Dn(H
ψ
p ;Lp(T̺)) = |ψn|̺
n. (13)
При цьому:
1) простiр Pn є оптимальним пiдпростором для bn;
2) простiр Pn−1 є оптимальним пiдпростором для dn;
3) простiр Hn−1
p := {f ∈ Hp : f̂k = 0, k = 0, 1, . . . , n − 1} є оптимальним пiдпростором
для dn;
4) оператор Ln := Un,Λ∗, де елементи матрицi Λ∗ визначаються правилом (4), є опти-
мальним для δn.
Теорема 4. Нехай 1 6 p 6 ∞, Ψ(z) :=
∞∑
k=0
ψkz
k — твiрне ядро класу Aψp , n ∈ N i Dn —
один з n-поперечникiв bn, dn, d
n або ж δn. Якщо для Ψ одночасно виконуються умови (6)
i (16), то для будь-якого ̺ ∈ [0, 1]
Dn(A
ψ
p ;Lp(D̺)) = |ψn|̺
n+2/p.
При цьому:
1) простiр Pn є оптимальним пiдпростором для bn;
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №5
2) простiр Pn−1 є оптимальним пiдпростором для dn;
3) простiр An−1
p := {f ∈ Ap : f̂k = 0, k = 0, 1, . . . , n − 1} є оптимальним пiдпростором
для dn;
4) оператор Ln := Un,Λ∗, де елементи матрицi Λ∗ визначаються правилом (4), є опти-
мальним для δn.
Теорема 5. Нехай 1 6 p 6 ∞, Ψ(z) :=
∞∑
k=0
ψkz
k — твiрне ядро класу Aψp , n ∈ N i Dn —
один з n-поперечникiв bn, dn, d
n або ж δn. Якщо для Ψ одночасно виконуються умови (6)
i (16), то для будь-якого ̺ ∈ [0, 1]
Dn(H
ψ
p ;Lp(D̺)) = |ψn|
̺n+2/p
(
pn
2
+ 1
)1/p
. (14)
При цьому:
1) простiр Pn є оптимальним пiдпростором для bn;
2) простiр span
{
(1 − (ψ2n−k/ψk)e
2i argψn |̺z|2(n−k))zk
}n−1
k=0
є оптимальним пiдпросто-
ром для dn;
3) простiр An−1
p є оптимальним пiдпростором для dn;
4) оператор Ln := Un,Λ∗, де елементи матрицi Λ∗ визначаються правилом (10), є опти-
мальним для δn.
Зауваження 3. Теореми 3 i 4 залишаються в силi, якщо в них замiсть Lp(T̺) i Lp(D̺)
розглядати простори Hp(D̺) i Ap(D̺) — простори Гардi та Бергмана, визначенi вiдповiдним
чином в крузi D̺. Рiвнiсть (14) в теоремi 5 при цьому залишається правильною тiльки для
поперечникiв bn i dn.
Теорему 3 у випадку, коли послiдовнiсть ψ задовольняє умову (9) i умову (16) зi значен-
нями ck = 0, k = 0, 1, . . ., доведено в [8]. Теореми 4 i 5 у випадку, коли ψk = 1, k = 0, 1, . . .,
доведено в [9, с. 254–257].
Доведення наведених тверджень згiдно зi спiввiдношенням (12) зводиться по сутi до
доведення вiдповiдних оцiнок зверху поперечника δn та оцiнок знизу поперечника bn.
Оцiнки для δn випливають з результатiв, наведених у п. 2 даної роботи.
Оцiнки для bn проводяться за вiдомою методикою, яка грунтується на використаннi
нерiвностi типу Бернштейна.
4. Нерiвнiсть типу Бернштейна для алгебраїчних многочленiв. У цьому пунк-
тi знайдено необхiднi та достатнi умови на функцiю Ψ, за яких виконується нерiвнiсть
Бернштейна в термiнах ψ-похiдних для алгебраїчних многочленiв у крузi D.
Теорема 6. Нехай ψ := {ψ0, . . . , ψn}, n ∈ N, — набiр комплексних чисел, вiдмiнних
вiд нуля.
1. Для того щоб для будь-якого алгебраїчного многочлена Pn ∈ Pn виконувалася уза-
гальнена нерiвнiсть Бернштейна
‖Pψn ‖C(T) 6
1
|ψn|
‖Pn‖C(T), (15)
необхiдно i достатньо, щоб iснувала послiдовнiсть чисел {ck}
∞
k=0 така, що
2Re
(
n∑
k=0
ψn
ψn−k
zk + zn+1
∞∑
k=0
ckz
k
)
> 1 ∀z ∈ D. (16)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №5 41
2. Якщо виконується (16), то для будь-якого алгебраїчного многочлена Pn ∈ Pn при
кожному p ∈ [1,∞) i будь-якому ̺ ∈ [0, 1]
‖Pψn ‖Lp(T) 6
1
|ψn|̺n
‖Pn‖Lp(T̺), (17)
‖Pψn ‖Lp(T) 6
1
|ψn|̺n+2/p
(
p
2
n+ 1
)1/p
‖Pn‖Ap(D̺), (18)
‖Pψn ‖Lp(D) 6
1
|ψn|̺n+2/p
‖Pn‖Ap(D̺). (19)
Рiвнiсть у спiввiдношеннях (17)–(19) досягається для многочлена Pn(z) = eiαzn, α ∈ R.
Зауваження 4. Умова (16) є рiвносильною кожнiй з таких умов:
1) iснує додатна борелiвська мiра µ на T така, що
∫
T
w−kdµ(w) =
ψn
ψn−k
, k = 0, . . . , n;
2) для кожного натурального m i будь-яких комплексних чисел λk, k = 0, 1, . . .
m∑
k=0
m∑
l=0
γk−lλkλl > 0, (20)
де
γk =
ψn
ψn−k
, k = 0, . . . , n,
ck, k = n+ 1, . . .
i γ−k = γk, k > 1.
У випадку, коли числа ψk є такими, що умова (16) виконується при ck = 0, k = 0, 1, . . .,
iмплiкацiя (16) ⇒ (15) доведена Г. Сеге (див. посилання в [10, с. 173]) i передоведена в [8].
1. Степанец А.И., Савчук В. В. Приближения интегралов типа Коши // Укр. мат. журн. – 2002. – 54,
№ 5. – С. 706–740.
2. Бабенко К.И. Наилучшие приближения классов аналитических функций // Изв. АН СССР. Сер.
мат. – 1958. – 22, № 5. – С. 631–640.
3. Тихомиров В.М. Поперечники множеств в функциональном пространстве и теория наилучших при-
ближений // Успехи мат. наук. – 1960. – 15, № 3. – С. 81–120.
4. Тайков Л.В. О наилучших линейных методах приближения классов B
r и H
r // Успехи мат. наук. –
1963. – 18, № 4. – С. 183–189.
5. Scheick J. T. Polynomial approximation of functions analytic in a disk // Proc. Amer. Math. Soc. – 1966. –
17. – P. 1238–1243.
6. Тайков Л.В. О наилучшем приближении в среднем некоторых классов аналитических функций //
Мат. заметки. – 1967. – 1, № 2. – С. 155–162.
7. Белый В.И., Двейрин М.З. О наилучших линейных методах приближения на классах функций,
определяемых союзными ядрами // Метрические вопросы теории функций и отображений. – Киев:
Наук. думка, 1971. – Т. 5. – С. 37–54.
8. Тайков Л.В. Поперечники некоторых классов аналитических функций // Мат. заметки. – 1977. – 22,
№ 2. – С. 285–295.
9. Pincus A. n-Widths in approximation theory. – Berlin: Springer, 1985. – 291 p.
10. Бернштейн С.Н. Собрание сочинений. Т. 2. – Москва: Изд-во АН СССР, 1954. – 630 с.
Надiйшло до редакцiї 24.10.2006Iнститут математики НАН України, Київ
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1785 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T19:03:56Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Савчук, В.В. 2008-09-02T17:26:32Z 2008-09-02T17:26:32Z 2007 Найкращі наближення деяких класів голоморфних функцій / В.В. Савчук // Доп. НАН України. — 2007. — N 5. — С. 36–42. — Бібліогр.: 10 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1785 517.5 We construct the best linear methods of approximation in the Hardy and Bergman spaces of the classes of functions holomorphic in a unit disk, which are the convolutions of unit balls of the Hardy and Bergman spaces with certain reproducing kernel. We obtain the exact values for the n-widths, the best polynomial approximations, and the best linear approximations of the mentioned functional classes. We find the necessary and sufficient conditions, under which the generalized Bernstein inequalities for algebraic polynomials are hold true in the metrics of the Hardy and Bergman spaces. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Найкращі наближення деяких класів голоморфних функцій Article published earlier |
| spellingShingle | Найкращі наближення деяких класів голоморфних функцій Савчук, В.В. Математика |
| title | Найкращі наближення деяких класів голоморфних функцій |
| title_full | Найкращі наближення деяких класів голоморфних функцій |
| title_fullStr | Найкращі наближення деяких класів голоморфних функцій |
| title_full_unstemmed | Найкращі наближення деяких класів голоморфних функцій |
| title_short | Найкращі наближення деяких класів голоморфних функцій |
| title_sort | найкращі наближення деяких класів голоморфних функцій |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1785 |
| work_keys_str_mv | AT savčukvv naikraŝínabližennâdeâkihklasívgolomorfnihfunkcíi |