Побудова асимптотичного розв'язку задачі Коші для виродженої лінійної системи в сингулярному випадку

Побудова асимптотичного розв'язку задачі Коші для виродженої лінійної системи в сингулярному випадку

Предложен алгоритм построения асимптотического решения задачи Коши для сингулярно возмущенной линейной системы дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей при производных в случае сингулярности граничного пучка матриц. We propose an algorithm for constructing a solution of the Cauchy problem...

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Published in:Нелінійні коливання
Date:2008
Main Authors: Яковець, В.П., Яковець, О.В.
Format: Article
Language:Ukrainian
Published: Інститут математики НАН України 2008
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178569
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Побудова асимптотичного розв'язку задачі Коші для виродженої лінійної системи в сингулярному випадку / В.П. Яковець, О.В. Яковець // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 2. — С. 271-288. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178569
record_format dspace
spelling Яковець, В.П.
Яковець, О.В.
2021-02-27T17:37:25Z
2021-02-27T17:37:25Z
2008
Побудова асимптотичного розв'язку задачі Коші для виродженої лінійної системи в сингулярному випадку / В.П. Яковець, О.В. Яковець // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 2. — С. 271-288. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.
1562-3076
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178569
517.926
Предложен алгоритм построения асимптотического решения задачи Коши для сингулярно возмущенной линейной системы дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей при производных в случае сингулярности граничного пучка матриц.
We propose an algorithm for constructing a solution of the Cauchy problem for a singularly perturbed linear system of differential equations with a degenerate matrix at the derivatives in the case where the limit matrix pencil is singular.
uk
Інститут математики НАН України
Нелінійні коливання
Побудова асимптотичного розв'язку задачі Коші для виродженої лінійної системи в сингулярному випадку
Построение асимптотического решения задачи Коши для вырожденной линейной системы в сингулярном случае
The construction of the asymptotic solution of the Cauchy problem for the degenerated linear system in a singular case
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Побудова асимптотичного розв'язку задачі Коші для виродженої лінійної системи в сингулярному випадку
spellingShingle Побудова асимптотичного розв'язку задачі Коші для виродженої лінійної системи в сингулярному випадку
Яковець, В.П.
Яковець, О.В.
title_short Побудова асимптотичного розв'язку задачі Коші для виродженої лінійної системи в сингулярному випадку
title_full Побудова асимптотичного розв'язку задачі Коші для виродженої лінійної системи в сингулярному випадку
title_fullStr Побудова асимптотичного розв'язку задачі Коші для виродженої лінійної системи в сингулярному випадку
title_full_unstemmed Побудова асимптотичного розв'язку задачі Коші для виродженої лінійної системи в сингулярному випадку
title_sort побудова асимптотичного розв'язку задачі коші для виродженої лінійної системи в сингулярному випадку
author Яковець, В.П.
Яковець, О.В.
author_facet Яковець, В.П.
Яковець, О.В.
publishDate 2008
language Ukrainian
container_title Нелінійні коливання
publisher Інститут математики НАН України
format Article
title_alt Построение асимптотического решения задачи Коши для вырожденной линейной системы в сингулярном случае
The construction of the asymptotic solution of the Cauchy problem for the degenerated linear system in a singular case
description Предложен алгоритм построения асимптотического решения задачи Коши для сингулярно возмущенной линейной системы дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей при производных в случае сингулярности граничного пучка матриц. We propose an algorithm for constructing a solution of the Cauchy problem for a singularly perturbed linear system of differential equations with a degenerate matrix at the derivatives in the case where the limit matrix pencil is singular.
issn 1562-3076
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178569
citation_txt Побудова асимптотичного розв'язку задачі Коші для виродженої лінійної системи в сингулярному випадку / В.П. Яковець, О.В. Яковець // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 2. — С. 271-288. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.
work_keys_str_mv AT âkovecʹvp pobudovaasimptotičnogorozvâzkuzadačíkošídlâvirodženoílíníinoísistemivsingulârnomuvipadku
AT âkovecʹov pobudovaasimptotičnogorozvâzkuzadačíkošídlâvirodženoílíníinoísistemivsingulârnomuvipadku
AT âkovecʹvp postroenieasimptotičeskogorešeniâzadačikošidlâvyroždennoilineinoisistemyvsingulârnomslučae
AT âkovecʹov postroenieasimptotičeskogorešeniâzadačikošidlâvyroždennoilineinoisistemyvsingulârnomslučae
AT âkovecʹvp theconstructionoftheasymptoticsolutionofthecauchyproblemforthedegeneratedlinearsysteminasingularcase
AT âkovecʹov theconstructionoftheasymptoticsolutionofthecauchyproblemforthedegeneratedlinearsysteminasingularcase
first_indexed 2025-11-26T00:37:52Z
last_indexed 2025-11-26T00:37:52Z
_version_ 1850596591761620992
fulltext УДК 517 . 926 ПОБУДОВА АСИМПТОТИЧНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ВИРОДЖЕНОЇ ЛIНIЙНОЇ СИСТЕМИ В СИНГУЛЯРНОМУ ВИПАДКУ В. П. Яковець, О. В. Яковець Нiжин. ун-т Україна, Нiжин Чернiгiвської обл., вул. Кропив’янського, 2 We propose an algorithm for constructing a solution of the Cauchy problem for a singularly perturbed linear system of differential equations with a degenerate matrix at the derivatives in the case where the limit matrix pencil is singular. Предложен алгоритм построения асимптотического решения задачи Коши для сингулярно возмущенной линейной системы дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей при производных в случае сингулярности граничного пучка матриц. Розглянемо задачу Кошi εhB(t) dx dt = A (t, ε)x+ f (t, ε) , (1) x (0, ε) = x0, (2) де x (t, ε) i f (t, ε) — шуканий i заданий n-вимiрнi вектори, A (t, ε) , B (t) — квадратнi мат- рицi n-го порядку, ε > 0 — малий дiйсний параметр, h — натуральне число. Припустимо, що виконуються такi умови: 10) матриця A (t, ε) i вектор f (t, ε) на заданому вiдрiзку [0;T ] допускають рiвномiрнi асимптотичнi розвинення за степенями параметра ε : A (t, ε) = ∑ k≥0 εkAk (t) , f (t, ε) = ∑ k≥0 εkfk (t) ; (3) 20) матричнi функцiї Ak (t) , B (t) i вектор-функцiї fk (t) , k = 0, 1, . . . , нескiнченно диференцiйовнi на [0;T ] ; 30) detB(t) = 0 ∀t ∈ [0;T ]; 40) гранична в’язка матриць A0 (t)− λB (t) сингулярна [1] при всiх t ∈ [0;T ] , тобто det [A0 (t)− λB (t)] ≡ 0 ∀t ∈ [0;T ] , λ ∈ C. У роботах [2, 3] розроблено теорiю асимптотичного аналiзу загального розв’язку системи (1), а в [4 – 7] вивчалось питання про побудову асимптотичного розв’язку задачi (1), (2) у випадку, коли гранична в’язка матриць є регулярною. Задача Кошi у сингуляр- ному випадку у данiй роботi розглядається вперше. c© В. П. Яковець, О. В. Яковець, 2008 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11 , N◦ 2 271 272 В. П. ЯКОВЕЦЬ, О. В. ЯКОВЕЦЬ Як показано в [3], асимптотичне iнтегрування системи (1) з виродженою матрицею при похiдних у сингулярному випадку принципово вiдрiзняється вiд регулярного, оскiльки в цьому випадку крiм визначення показникiв степенiв малого параметра ε, за якими слiд будувати асимптотичнi розвинення шуканих розв’язкiв, додається проблема вiдшукання головних членiв цих розвинень. Розв’язання задачi Кошi ускладнюється ще й необхiднiс- тю з’ясування умов iснування та єдиностi розв’язку. У данiй статтi будемо розглядати випадок, коли гранична в’язка матриць не мiстить регулярне „ядро” i має по одному мiнiмальному iндексу для рядкiв та стовпцiв [1]. А саме, будемо припускати, що виконується умова 50) в’язка матриць A0−λB (t) при всiх t ∈ [0;T ] має мiнiмальнi iндекси: p — для стовп- цiв i q = n− p− 1 — для рядкiв. Тодi iснують [1] перетворювальнi матрицi P (t) iQ (t) такої самої гладкостi, що йA0 (t) i B (t) [2, с. 26], за допомогою яких дану в’язку матриць на вiдрiзку [0;T ] можна звести до канонiчного вигляду. Будемо вважати далi, що матрицi A0 (t) i B (t) в системi (1) мають канонiчний вигляд, оскiльки в протилежному випадку цього можна досягти, помноживши систему (1) злiва на P (t) i виконавши замiну x = Q (t) y. Тодi згiдно з [1] A0 − λB = diag {L1 (λ) , L2 (λ)} , де L1 (λ) , L2 (λ) — прямокутнi матрицi розмiрностi p× (p+ 1) та (q + 1)× q вiдповiдно: L1 (λ) =  −λ 1 0 . . . 0 0 0 −λ 1 . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . −λ 1  , L2 (λ) =  −λ 0 0 . . . 0 1 −λ 0 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . −λ 0 0 0 . . . 1  . Як показано в [3], в цьому випадку в’язка матриць L (λ) = A0 − λB має циклiчний жорданiв ланцюжок завдовжки p+ 1, який складається з власного вектора ϕ1 (λ) = ϕ (λ) = p∑ i=0 λiei+1 = col (1, λ, . . . , λp, 0, . . . , 0) (4) i p B-приєднаних векторiв ϕi (λ) = 1 (i− 1)! di−1ϕ (λ) dλi−1 , i = 2, p+ 1, (5) якi задовольняють спiввiдношення L (λ) ϕ1 (λ) ≡ 0, L (λ)ϕi (λ) ≡ Bϕi−1 (λ) , i = 2, p+ 1, (6) Bϕp+1 (λ) ≡ 0 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2 ПОБУДОВА АСИМПТОТИЧНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ВИРОДЖЕНОЇ ЛIНIЙНОЇ СИСТЕМИ . . . 273 (ek — одиничний вектор, k-та координата якого дорiвнює 1, а всi iншi є нулями). Приєд- нанi вектори з цих спiввiдношень можна знайти за формулами ϕi (λ) = H (λ)Bϕi−1 (λ) , i = 2, p+ 1, (7) де H (λ) — напiвобернена матриця до матрицi L (λ) . Ця матриця визначається неодно- значно. Беручи [3] H (λ) = diag { L+ 1 (λ) , L+ 2 (λ) } , де L+ 1 (λ) =  0 0 . . . 0 0 1 0 . . . 0 0 λ 1 . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . λp−1 λp−2 . . . λ 1  , L+ 2 (λ) =  0 1 λ . . . λq−1 0 0 1 . . . λq−2 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . λ 0 0 0 . . . 1  , бачимо, що формули (5), (7) визначають однi й тi ж вектори, тобто diϕ (λ) dλi = i! [H (λ)B]i ϕ (λ) , i = 1, p. (8) Спряжена в’язка матриць L∗ (λ) = A∗0 − λB∗ = diag {L∗1 (λ) , L∗2 (λ)} має циклiчний жорданiв ланцюжок завдовжки q + 1, який складається з векторiв ψ1 (λ) = ψ (λ) = q∑ i=0 λ i ep+1+i = col ( 0, . . . , 0, 1, λ, . . . , λ q ) , (9) ψi (λ) = 1 (i− 1)! di−1ψ (λ) d λ i−1 , i = 2, q + 1, (10) що задовольняють спiввiдношення L∗(λ)ψ1 (λ) ≡ 0, L∗ (λ) ψi (λ) ≡ Bψi−1 (λ) , i = 2, q + 1, (11) L∗ (λ)ψq+1 (λ) ≡ 0. Цi вектори можна виразити також через матрицю H∗ (λ) , напiвобернену до H (λ) : ψi (λ) = [H∗ (λ)B∗]i−1 ψ (λ) , i = 1, q + 1. (12) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2 274 В. П. ЯКОВЕЦЬ, О. В. ЯКОВЕЦЬ Звiдси випливає diψ (λ) dλ i = i! [H∗ (λ)B∗]i ψ (λ) , i = 1, q. (13) Крiм того, згiдно з (7) iз сумiсностi рiвнянь (6) маємо( B [H (λ)B]i ϕ (λ) , ψ (λ) ) , i = 0, 1, . . . , (14) де символом (x, y) позначено скалярний добуток в n-вимiрному унiтарному просторi. Безпосередньою перевiркою легко також переконатися, що при всiх λ ∈ C має мiсце рiвнiсть dH (λ) dλ = H (λ) BH (λ) . (15) Зазначимо, що вектори e1, ep+1 та en визначають нуль-простори матриць A0, A ∗ 0 та B∗ вiдповiдно. Справджується така теорема. Теорема. Нехай виконуються умови 10 – 50, рiвняння (A1 (t)ϕ (λ) , ψ (λ)) ≡ p∑ i=0 q∑ j=0 λi+ja (1) p+1+j, i+1 (t) = 0 (16) має на вiдрiзку [0;T ] n − 1 простих вiдмiнних вiд нуля коренiв, де a(1) sk (t) — елементи матрицi A1(t), i початковий вектор x0 задовольняє спiввiдношення (Ak (0)x0 + fk (0) , en) = 0, k = 0, 1, . . . . (17) Тодi початкова задача (1), (2) має на даному вiдрiзку [0;T ] формальний розв’язок вигляду x (t, ε) = n−1∑ i=1 ε−1ui (t, ε) exp ε−h t∫ 0 λi (t, ε) dt + ε−1v (t, ε) , (18) де ui (t, ε) , i = 1, n− 1, v (t, ε) — n-вимiрнi вектор-функцiї, а λi (t, ε) — скалярнi функцiї, якi зображуються формальними розвиненнями ui (t, ε) = ∞∑ k=0 u (i) k (t) εk, i = 1, n− 1, v (t, ε) = ∞∑ k=0 εkvk (t) , (19) λi (t, ε) = ∞∑ k=0 λ (i) k (t) εk, i = 1, n− 1. (20) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2 ПОБУДОВА АСИМПТОТИЧНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ВИРОДЖЕНОЇ ЛIНIЙНОЇ СИСТЕМИ . . . 275 Для доведення цiєї теореми покажемо, що за виконання її умов коефiцiєнти розви- нень (19), (20) можна однозначно визначити так, щоб вектор (18) формально задовольняв систему рiвнянь (1) та початкову умову (2). Насамперед зазначимо, що згiдно з умовою теореми вiльний член i старший коефiцi- єнт у рiвняннi (16) повиннi бути вiдмiнними вiд нуля: a (1) p+1,1 (t) 6= 0 ∀t ∈ [0;T ] , (21) a (1) n,p+1 (t) 6= 0 ∀t ∈ [0;T ] . (22) Крiм того, якщо λ0 (t) — корiнь цього рiвняння, то згiдно з (8), (13) d dλ (A1ϕ (λ0) , ψ (λ0)) = ((A1 (t)H (λ0)B +BH (λ0)A1 (t))ϕ (λ0) , ψ (λ0)) 6= 0 (23) ∀t ∈ [0;T ] , оскiльки цей корiнь є простим. Пiдставивши (18) у систему (1) i прирiвнявши вирази при однакових експонентах, дi- станемо A (t, ε)ui (t, ε) = λi (t, ε)Bui (t, ε) + εhBu′i (t, ε) , i = 1, n− 1, (24) A (t, ε) v (t, ε) = εhBv′ (t, ε)− εf (t, ε) . (25) Врахувавши початкову умову (2), матимемо n−1∑ i=1 ui (0, ε) + v (0, ε) = εx0. (26) Пiдставивши в (24) – (26) розвинення (19), (20), (3) i прирiвнявши вирази при однакових степенях ε, отримаємо нескiнченну систему рiвнянь вiдносно коефiцiєнтiв розвинень (19), (20): L ( λ (i) 0 (t) ) u (i) 0 (t) = 0, i = 1, n− 1, A0 v0 (t) = 0, (27) n−1∑ i=1 u (i) 0 (0) + v0 (0) = 0, L ( λ (i) 0 (t) ) u (i) k (t) = b (i) k (t) , (28) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2 276 В. П. ЯКОВЕЦЬ, О. В. ЯКОВЕЦЬ A0vk (t) = dk (t) , (29) n−1∑ i=1 u (i) k (0) + vk (0) = δk,1x0, k = 1, 2 . . . , (30) де b (i) k (t) = k∑ s=1 λ(i) s (t)Bu(i) k−s (t)− k∑ s=1 As (t)u(i) k−s (t) +B ( u (i) k−h (t) )′ , (31) i = 1, n− 1, k = 1, 2, . . . , dk (t) = Bv′k−h (t)− k∑ s=1 As (t) vk−s (t)− fk−1 (t) , k = 1, 2, . . . , (32) δij — символ Кронекера. З рiвнянь (27) знайдемо u (i) 0 (t) = c (i) 0 ϕ ( λ (i) 0 (t) ) , i = 1, n− 1, (33) v0 (t) = c0 (t) e1, (34) n−1∑ i=1 c (i) 0 ϕ ( λ (i) 0 (0) ) + c0 (0) e1 = 0, (35) де c(i)0 , i = 1, n− 1, — сталi множники, c0(t) — скалярна функцiя, якi пiдлягають визна- ченню. Поклавши в (28) – (30) k = 1 i врахувавши (31) – (34), (8), будемо мати L ( λ (i) 0 (t) ) u (i) 1 (t) = b (i) 1 (t) , i = 1, n− 1, (36) A0v1 (t) = d1 (t) , (37) n−1∑ i=1 u (i) 1 (0) + v1 (0) = x0, (38) b (i) 1 (t) = c (i) 0 [ λ (i) 1 (t)Bϕ ( λ (i) 0 (t) ) −A1 (t)ϕ ( λ (i) 0 (t) ) + + δ1h ( λ (i) 0 (t) )′ BH ( λ (i) 0 (t) ) Bϕ ( λ (i) 0 (t) ) ] , (39) d1 (t) = δ1,hc ′ 0 (t)Be1 − c0 (t)A1 (t) e1 − f0 (t) . (40) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2 ПОБУДОВА АСИМПТОТИЧНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ВИРОДЖЕНОЇ ЛIНIЙНОЇ СИСТЕМИ . . . 277 Рiвняння (36) будуть розв’язними вiдносно векторiв u(i) 1 (t) тодi i тiльки тодi, коли при всiх t ∈ [0;T ] виконуватиметься рiвнiсть( b (i) 1 (t) , ψ ( λ (i) 0 (t) )) = 0. Взявши до уваги (14), (4), (9), неважко переконатися, що ця рiвнiсть рiвносильна (16), якщо в останнiй покласти λ = λ (i) 0 (t) . Отже, λ(i) 0 (t) , i = 1, n− 1, — коренi рiвняння (16). Тодi з (36) знайдемо u (i) 1 (t) = H ( λ (i) 0 (t) ) b (i) 1 (t) + c (i) 1 ϕ ( λ (i) 0 (t) ) , i = 1, n− 1, (41) де c(i)1 , i = 1, n− 1, — скалярнi множники, якi необхiдно визначити. Рiвняння (37) буде розв’язним вiдносно вектора v1 (t) , якщо виконується умова (d1 (t) , ep+1) = 0. Оскiльки Be1 = e1, (A1 (t) e1, ep+1) = a (1) p+1,1 (t) , то з огляду на (21) звiдси дiстанемо c0 (t) = −(f0 (t) , ep+1) a (1) p+1,1 (t) . Тепер рiвняння (37) є розв’язним i з нього знайдемо v1 (t) = Gd1 (t) + c1 (t) e1, (42) де G = H (0) = A∗0 — напiвобернена матриця до матрицi A0, а c1 (t) — скалярна функцiя, яка пiдлягає визначенню. Для знаходження c (i) 0 , i = 1, n− 1, використаємо рiвностi (35), (38). Врахувавши структуру вектора ϕ (λ) , з (35) отримаємо p+ 1 рiвнянь вiдносно n− 1 невiдомих c(i)0 : n−1∑ i=1 c (i) 0 = −c0 (0) , (43) n−1∑ i=1 [ λ (i) 0 (0) ]k c (i) 0 = 0, k = 1, p. Решту q− 1 рiвнянь дiстанемо з рiвностi (38). Врахувавши (41), (39), запишемо її у виглядi n−1∑ i=1 c (i) 0 H ( λ (i) 0 (0) ) A1 (0)ϕ ( λ (i) 0 (0) ) = g0, (44) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2 278 В. П. ЯКОВЕЦЬ, О. В. ЯКОВЕЦЬ де g0 = n−1∑ i=1 c (i) 0 λ (i) 1 (0)H ( λ (i) 0 (0) ) Bϕ ( λ (i) 0 (0) ) + +δ1,h n−1∑ i=1 c (i) 0 ( λ (i) 0 (0) )′ [ H ( λ (i) 0 (0) ) B ]2 ϕ ( λ (i) 0 (0) ) + v1 (0)− x0. (45) Згiдно з (8), (4) останнi q координат векторiв, якi утворюють два першi доданки в g0, дорiвнюють нулю, а згiдно з (42), (40) вiдповiднi координати вектора v1 (0) мiстять уже визначенi величини. Тому, прирiвнюючи в (44) координати векторiв злiва i справа, починаючи з (n − 1)-ї i закiнчуючи (p+ 2)-ю, рухаючись знизу вгору, i враховуючи при цьому структуру матриць H (λ), B та вектора ϕ (λ) , маємо p∑ k=0 n−1∑ i=1 c (i) 0 [ a (1) n−1,k+1 (0) ( λ (i) 0 (0) )k + a (1) n,k+1 (0) ( λ (i) 0 (0) )k+1 ] = g (n−1) 0 , p∑ k=0 n−1∑ i=1 c (i) 0 [ a (1) n−2,k+1 (0) ( λ (i) 0 (0) )k + a (1) n−1,k+1 (0) ( λ (i) 0 (0) )k+1 + + a (1) n,k+1 (0) ( λ (i) 0 (0) )k+2 ] = g (n−2) 0 , (46) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p∑ k=0 n−1∑ i=1 q−1∑ j=0 c (i) 0 a (1) p+2+j,k+1 (0) ( λ (i) 0 (0) )k+j = g (p+2) 0 , де gi 0 — i-та координата вектора g0, яка згiдно з (45), (42), (40) має вигляд gi 0 = −c0 (0) {GA1 (0) e1}i − {f0 (0)}i − (x0)i = = −c0 (0) a(1) i,1 (0)− {f0 (0)}i − (x0)i , i = p+ 2, n. (47) Розглянемо перше рiвняння системи (46). Врахувавши (43), (47), (22), дiстанемо a (1) n,p+1 (0) n−1∑ i=1 [ λ (i) 0 (0) ]p+1 c (i) 0 − a (1) n−1,1 (0) c0 (0) = g (n−1) 0 , або n−1∑ i=1 [ λ (i) 0 (0) ]p+1 c (i) 0 = − ( a (1) n,p+1 (0) )−1 [ {f0 (0)}n−1 + {x0}n−1 ] . (48) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2 ПОБУДОВА АСИМПТОТИЧНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ВИРОДЖЕНОЇ ЛIНIЙНОЇ СИСТЕМИ . . . 279 Тепер з урахуванням (43), (47), (48) друге рiвняння запишемо у виглядi n−1∑ i=1 [ λ (i) 0 (0) ]p+2 c (i) 0 = − ( a (1) n,p+1 (0) )−1 [ {f0 (0)}n−2 + {x0}n−2 − − ( a (1) n−1,p+1 (0) + a(1) n,p (0) ) α (p+1) 0 ] , де α(p+1) 0 — права частина рiвняння (48). Продовжуючи так i далi, рiвняння (46) перетворюємо до вигляду n−1∑ i=1 [ λ (i) 0 (0) ]p+k c (i) 0 = α (p+k) 0 , k = 1, q − 1, (49) де числа α(p+k) 0 виражаються рекурентними формулами α (p+1) 0 = − ( a (1) n,p+1 (0) )−1 [ {f0 (0)}n−1 + {x0}n−1 ] , α (p+k) 0 = − ( a (1) n,p+1 (0) )−1 k−1∑ s=1 k+1−s∑ j=1 α (p+s) 0 an−(k+1−s−j),p+2−j (0) + {f0 (0)}n−k + {x0}n−k  , k = 2, q − 1. Об’єднуючи рiвняння (43), (49), дiстаємо таку систему рiвнянь для визначення c(i)0 , i = = 1, n− 1 : W (0) c̃0 = α0, де c̃0 = col ( c (1) 0 , c (2) 0 , . . . , c (n−1) 0 ) , α0 = col ( −c0 (0) , 0, . . . , 0, α(p+1) 0 , . . . , α (p+q−1) 0 ) , W (t) =  1 1 . . . 1 λ (1) 0 (t) λ (2) 0 (t) . . . λ (n−1) 0 (t) . . . . . . . . . . . .( λ (1) 0 (t) )n−2 ( λ (2) 0 (t) )n−2 . . . ( λ (n−1) 0 (t) )n−2  . Оскiльки за умовою теореми λ(i) 0 (t) 6= λ (j) 0 (t) при i 6= j i всiх t ∈ [0;T ] , то detW (t) = n−1∏ i, j = 1 i > j ( λ (i) 0 (t)− λ (j) 0 (t) ) 6= 0 ∀t ∈ [0;T ] . ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2 280 В. П. ЯКОВЕЦЬ, О. В. ЯКОВЕЦЬ Отже, c̃0 = W−1α0. Розглянемо тепер рiвнiсть, яку одержимо, якщо в (44) прирiвняти останнi n − i коор- динат векторiв злiва i справа: p∑ k=0 n−1∑ i=1 c (i) 0 a (1) n,k+1 (0) ( λ (i) 0 (t) )k = g (n) 0 . Iз урахуванням (47), (43) її можна записати у виглядi {x0}n + {f0 (0)}n = 0, або (A0x0 + f0 (0) , en) = 0, якщо взяти до уваги, що {A0x0}n = {x0}n . Згiдно з умовою (17) ця рiвнiсть виконується. Таким чином, використовуючи рiвняння (27), умови розв’язностi рiвнянь (36), (37) та початкову умову (35) i частково (38), знаходимо функцiї λ(i) 0 (t) , i = 1, n− 1, i вектори u (i) 0 (t) , i = 1, n− 1, та v0 (t) . Для знаходження функцiй λ(i) 1 (t) , i = 1, n− 1, використаємо умову розв’язностi рiв- нянь (28) при k = 2 : ( b (i) 2 (t) , ψ ( λ (i) 0 (t) )) = 0, i = 1, n− 1. (50) З цiєю метою, пiдставивши (33), (41), (39) у вираз (31) для вектора b(i)2 (t), перетворимо його до вигляду b (i) 2 (t) = λ (i) 1 Bu (i) 1 + λ (i) 2 Bu (i) 0 −A1u (i) 1 −A2u (i) 0 + δh,1B ( u (i) 1 )′ + +δh,2B ( u (i) 0 )′ = −λ(i) 1 c (i) 0 ( BH ( λ (i) 0 ) A1 +A1H ( λ (i) 0 ) B ) ϕ ( λ (i) 0 ) + +c(i)0 ( A1H ( λ (i) 0 ) A1 −A2 ) ϕ ( λ (i) 0 ) − δh,1c (i) 0 B ( H ( λ (i) 0 ) A1ϕ ( λ (i) 0 ))′ + +λ(i) 1 c (i) 0 BH ( λ (i) 0 ) Bϕ ( λ (i) 0 ) + δh,1c (i) 0 λ (i) 1 ( λ (i) 0 )′ B ( H ( λ (i) 0 ) B )2 ϕ ( λ (i) 0 ) + +c(i)1 λ (i) 1 Bϕ ( λ (i) 0 ) + λ (i) 2 c (i) 0 Bϕ ( λ (i) 0 ) − c (i) 1 A1ϕ ( λ (i) 0 ) + +δh,1B [ c (i) 0 ( λ (i) 1 H ( λ (i) 0 ) Bϕ ( λ (i) 0 ) + ( λ (i) 0 )′ ( H ( λ (i) 0 ) B )2 ϕ ( λ (i) 0 )) + +c(i)1 ϕ ( λ (i) 0 )]′ + δh,1c (i) 0 B ( ϕ ( λ (i) 0 ))′ . (51) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2 ПОБУДОВА АСИМПТОТИЧНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ВИРОДЖЕНОЇ ЛIНIЙНОЇ СИСТЕМИ . . . 281 Пiдставивши цей вираз у (50) i взявши до уваги (14), (8), (15), (16), а також (23), дiстанемо λ (i) 1 (t) = a (i) 1 (t) d dλ ( A1ϕ ( λ (i) 0 (t) ) , ψ ( λ (i) 0 (t) )) , i = 1, n− 1, де a (i) 1 (t) = (( A1 (t)H ( λ (i) 0 (t) ) A1 (t)−A2 (t) ) ϕ ( λ (i) 0 (t) ) − −δh,1B ( H ( λ (i) 0 (t) ) A1 (t)ϕ ( λ (i) 0 (t) ))′ , ψ ( λ (i) 0 (t) )) , i = 1, n− 1. При даних λ(i) 1 (t) i k = 2 рiвняння (28) буде розв’язним i з нього отримаємо u (i) 2 (t) = H ( λ (i) 0 (t) ) b (i) 2 (t) + c (i) 2 ϕ ( λ (i) 0 (t) ) , i = 1, n− 1, (52) де c(i)2 — числовi множники, якi визначатимуться на наступному кроцi. Для знаходження функцiї c1 (t) , яка входить до формули (42), використаємо умову розв’язностi рiвняння (29), поклавши в ньому k = 2 : (d2 (t) , ep+1) = 0. (53) Згiдно з (32), (42) d2 (t) = δh,1c ′ 1 (t) e1 − c1 (t)A1 (t) e1 + δh,1Gd1 (t)− −A1 (t)Gd1 (t)−A2 (t) v0 (t)− f0 (t) + δh,2v ′ 0 (t) . Пiдставивши цей вираз у (53), знайдемо c1 (t) = r1 (t) ap+1,1 (t) , де r1 (t) = ( δh,1Gd1 (t)−A1 (t)Gd1 (t)−A2 (t) v0 (t)− f0 (t) + δh,2v ′ 0 (t) , ep+1 ) . Тепер за формулою (42) однозначно визначається i вектор v1 (t) . У свою чергу v2 (t) = Gd2 (t) + c2 (t) e1, (54) де c2 (t) — скалярна функцiя, яка буде визначатися аналогiчно c1 (t) на наступному кроцi. Щоб знайти вектори u (i) 1 (t) , i = 1, n− 1, необхiдно визначити сталi множники c (i) 1 , i = 1, n− 1, якi мiстяться в (41). Для цього використаємо початкову умову (38) i частково (30) при k = 2. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2 282 В. П. ЯКОВЕЦЬ, О. В. ЯКОВЕЦЬ На попередньому кроцi було використано q останнiх рiвнянь, якi утворюються з (38) прирiвнюванням вiдповiдних координат векторiв злiва i справа. Тепер використаємо пер- шi p+ 1 рiвнянь, якi згiдно з (41), (42) запишемо у виглядi n−1∑ i=1 ( λ (i) 0 (0) )j c (i) 1 = α (1) j , j = 0, p, (55) де α (1) j = { x0 − v1 (0)− n−1∑ i=1 H ( λ (i) 0 (0) ) b (i) 1 (0) } j+1 , j = 0, p. Решту рiвнянь отримаємо з (30), поклавши k = 2 i прирiвнявши координати вiдповiд- них векторiв, починаючи з (n− 1)-ї i закiнчуючи (p+ 2)-ю. Видiляючи у виразi для u(i) 2 (0) доданки, якi мiстять невiдомi c(i)1 , i вiдкидаючи тi вектори, в яких q останнiх координат дорiвнюють нулю, отримуємо векторну рiвнiсть n−1∑ i=1 c (i) 1 H ( λ (i) 0 (0) ) A1 (0)ϕ ( λ (i) 0 (0) ) = g1, де g1 = n−1∑ i=1 [ λ (i) 1 (0)H ( λ (i) 0 (0) ) BH ( λ (i) 0 (0) ) b (i) 1 (0)− −H ( λ (i) 0 (0) ) A1 (0)H ( λ (i) 0 (0) ) b (i) 1 (0)−H ( λ (i) 0 (0) ) A2 (0)u(i) 0 (0)+ + δh,1H ( λ (i) 0 (0) ) B ( H ( λ (i) 0 (0) ) b (i) 1 (0) )′ ] +Gd2 (0) — вiдомий вектор. Прирiвнюючи координати векторiв злiва i справа, починаючи з (n− 1)-ї, рухаючись знизу вгору, i перетворюючи отриманi рiвняння з урахуванням (55), так само, як i в (46), маємо n−1∑ i=1 ( λ (i) 0 (0) )p+j c (i) 1 = α (1) p+j , j = 1, q − 1, (56) де α (1) p+j = ( a (1) n,p+1 (0) )−1 [ {g1}n−j − j−1∑ s=0 p∑ k=0 a (1) n−1+s,k+1 (0)α(1) k+s− − p−1∑ k=0 a (1) n,k+1α (1) k+j ] , j = 1, q − 1. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2 ПОБУДОВА АСИМПТОТИЧНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ВИРОДЖЕНОЇ ЛIНIЙНОЇ СИСТЕМИ . . . 283 Об’єднуючи рiвняння (53), (56), дiстаємо W (0) c̃1 = α1, де c̃1 = col ( c (1) 1 , c (1) 2 , . . . , c (1) n−1 ) , α1 = col ( α (1) 0 , α (1) 1 . . . , α (1) n−2 ) , звiдки c̃1 = W−1 (0)α1. Розглянемо тепер рiвнiсть, яка утворюється з початкової умови (30) при k = 2, якщо прирiвняти n-i координати вiдповiдних векторiв. Оскiльки множення вектора на матрицi H i G не змiнює його n-у координату, а матриця B її анулює, то, враховуючи (51), (52), (32), (54), маємо{ n−1∑ i=1 A1 (0)u(i) 1 (0) + n−1∑ i=1 A2 (0)u(i) 0 (0) +A1 (0) v1 (0) +A2 (0) v0 (0) + f1 (0) } n = 0, звiдки, беручи до уваги (38), (33), (34), дiстаємо( n−1∑ i=1 c (i) 0 A2 (0)ϕ ( λ (i) 0 (0) ) + c0 (0)A2 (0) e1 +A1 (0)x0 + f1 (0) , en ) = 0, або n−1∑ i=1 p∑ k=0 c (i) 0 a (2) n,k+1 (0) ( λ (i) 0 (0) )k + c0 (0) a(2) n1 (0) + (A1 (0)x0 + f1 (0) , en) = 0, де a(2) ij — елементи матрицi A2. Нарештi, врахувавши (43), остаточно отримаємо (A1 (0)x0 + f1 (0) , en) = 0. Згiдно з умовою (17) ця рiвнiсть виконується. Отже, на цьому кроцi визначаються функцiї λ(i) 1 (t) , i = 1, n− 1, i вектори u (i) 0 (t) , i = 1, n− 1, та v1 (t) . Продовжуючи цей процес, визначимо будь-якi коефiцiєнти розвинень (19), (20). Дiйсно, припустимо, що вектори u(i) s (t) , i = 1, n− 1, vs (t) i функцiї λ(i) s (t) вже вiдомi при s < k. При цьому u(i) s (t) = H ( λ (i) 0 (t) ) b(i)s (t) + c(i)s ϕ ( λ (i) 0 ) , i = 1, n− 1, (57) vs (t) = Gds (t) + cs (t) e1, s = 1, k. (58) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2 284 В. П. ЯКОВЕЦЬ, О. В. ЯКОВЕЦЬ Тодi згiдно з (31), (32) для визначення u(i) k (t) , vk (t) необхiдно знайти функцiї λ(i) k (t) , якi входять до складу b(i)k (t) , а також ck (t) i c(i)k , i = 1, n− 1. Для знаходження λ(i) k (t) вико- ристаємо умову розв’язностi рiвнянь (28) на (k + 1)-му кроцi:( b (i) k+1 (t) , ϕ ( λ (i) 0 (t) )) = 0, i = 1, n− 1. (59) З цiєю метою, видiляючи у виразi для b(i)k+1 (t) вiдомi i невiдомi доданки, подаємо його у виглядi b (i) k+1 (t) = λ (i) k+1Bu (i) 0 + λ (i) k Bu (i) 1 + λ (i) 1 Bu (i) k −A1u (i) k + δh,1B ( u (i) k )′ + + k−1∑ s=2 λ(i) s Bu (i) k+1−s − k+1∑ s=2 Asu (i) k+1−s + (1− δh,1)B ( u (i) k+1−h )′ . Враховуючи (39), (41), (57), маємо b (i) k+1 (t) = −λ(i) k (A1HB +BHA1)ϕ ( λ (i) 0 ) − c (i) k A1ϕ ( λ (i) 0 ) + b̃ (i) k+1, де b̃ (i) k+1 = λ (i) 1 k−1∑ s=1 λ(i) s BHBu (i) k−s − λ (i) 1 k∑ s=1 BHAsu (i) k−s+ +λ(i) 1 BHB ( u (i) k−h )′ − k−1∑ s=1 λ(i) s A1HBu (i) k−s + k∑ s=1 A1HA1u (i) k−s− −AHB ( u (i) k−h )′ + λ (i) k+1Bu (i) 0 + k−1∑ s=2 λ(i) s Bu (i) k+1−s − k+1∑ s=2 Asu (i) k+1−s+ +δh,1B ( k−1∑ s=1 λ(i) s HBu (i) k−s − k−1∑ s=1 HAsu (i) k−s +B ( HBu (i) k−h )′)′ , H = H ( λ (i) 0 ) . Пiдставляючи цей вираз у (59) i беручи до уваги (23), (16), знаходимо λ (i) k (t) = a (i) k (t) d dλ ( A1ϕ ( λ (i) 0 (0) ) , ψ ( λ (i) 0 (0) )) , i = 1, n− 1, де a (i) k (t) = ( b̃ (i) k+1 (t) , ψ ( λ (i) 0 (0) )) , i = 1, n− 1. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2 ПОБУДОВА АСИМПТОТИЧНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ВИРОДЖЕНОЇ ЛIНIЙНОЇ СИСТЕМИ . . . 285 Функцiю ck (t) знайдемо з умови розв’язностi на (k + 1)-му кроцi рiвняння (29): (dk+1 (t) , ep+1) = 0. Згiдно з (32), (58) цю умову запишемо у виглядi −ck (A1e1, ep+1) + δh,1c ′ k (Be1, ep+1) + rk (t) = 0, де rk (t) = δh,1BGd ′ k (t)−A1 (t)Gdk (t)− k+1∑ s=2 As (t) vk+1−s (t) + (1− δh,1)Bv′k+1−h (t)− fk (t) , звiдки ck (t) = rk (t) ap+1,1 (t) . Для знаходження чисел c(i)k , i = 1, n− 1, використаємо початкову умову (30). Згiдно з (57) на k-му кроцi з цiєї умови маємо n−1∑ i=1 [ λ (i) 0 (0) ]j c (i) k = α (k) j , j = 0, p, (60) де α (k) j = − { n−1∑ i=1 H ( λ (i) 0 (0) ) b (i) k (0) + vk (0) } j+1 , j = 0, p, — вiдомий вираз. Решту q − 1 рiвнянь отримаємо на (k + 1)-му кроцi з рiвностi n−1∑ i=1 u (i) k+1 (0) + vk+1 (0) = 0. (61) Для цього перетворимо вирази для векторiв u (i) k+1 (t) , видiляючи в них доданки, якi мiстять невiдомi c(i)k . Згiдно з (61), (57) одержуємо u (i) k+1 (t) = Hb (i) k+1 (t) + c (i) k+1ϕ ( λ (i) 0 (t) ) = −c(i)k HA1ϕ ( λ (i) 0 ) + +c(i)k λ (i) 1 HBϕ ( λ (i) 0 ) + δh,1c (i) k HB ( ϕ ( λ (i) 0 ))′ + λ (i) k+1HBϕ ( λ (i) 0 ) + +c(i)k+1ϕ ( λ (i) 0 ) + λ (i) 1 HBHb (i) k −HA1Hb (i) k + δh,1HB ( Hb (i) k )′ + +(1− δh,1)HB ( u (i) k+1−h )′ + k∑ s=2 λ(i) s HBu (i) k+1−s − k+1∑ s=2 HAsu (i) k+1−s. (62) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2 286 В. П. ЯКОВЕЦЬ, О. В. ЯКОВЕЦЬ Тодi, взявши до уваги, що vk+1 (t) = Gdk+1 (t) + ck+1 (t) e1, (63) iз умови (61) отримаємо векторну рiвнiсть n−1∑ i=1 c (i) k H ( λ (i) 0 (0) ) A1 (0)ϕ ( λ (i) 0 (0) ) = gk, (64) де gk = n−1∑ i=1 [ λ (i) 1 (0)H ( λ (i) 0 (0) ) BH ( λ (i) 0 (0) ) b (i) k (0)− −H ( λ (i) 0 (0) ) A1 (0)H ( λ (i) 0 (0) ) b (i) k (0) + δh,1H ( λ (i) 0 (0) ) B ( H ( λ (i) 0 (0) ) b (i) k (0) )′ + +(1− δh,1)H ( λ (i) 0 (0) ) B ( u (i) k+1−h (0) )′ + k∑ s=2 λ(i) s (0)H ( λ (i) 0 (0) ) Bu (i) k+1−s (0)− − k+1∑ s=2 H ( λ (i) 0 (0) ) As (0)u(i) k+1−s (0) ] +Gdk+1 (0) (до складу gk не входять тi векторнi доданки з (62), (63), останнi q координат яких дорiв- нюють нулю). Прирiвнявши в (64) координати вiдповiдних векторiв, починаючи з (n− 1)- ї й закiнчуючи (p+ 2)-ю, i врахувавши при цьому рiвностi (60), дiстанемо n−1∑ i=1 ( λ (i) 0 (0) )p+r c (i) k = α (k) p+r, (65) де α (k) p+r = ( a (1) n,p+1 (0) )−1 {gk}n−r − r−1∑ s=0 p∑ j=0 a (1) n−r+s,j+1α (k) j+s − p−1∑ j=0 a (1) n,j+1α (k) j+r  , r = 1, q − 1. Об’єднавши рiвняння (60), (65) i позначивши c̃k = col ( c (1) k , c (2) k , . . . , c (n−1) k ) , αk = col ( α (k) 0 , α (k) 1 , . . . , α (k) n−2 ) , одержимо W (0) c̃k = αk, звiдки c̃k = W−1 (0)αk. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2 ПОБУДОВА АСИМПТОТИЧНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ВИРОДЖЕНОЇ ЛIНIЙНОЇ СИСТЕМИ . . . 287 Нарештi, прирiвнявши в (61) останнi n-i координати вiдповiдних векторiв i взявши до уваги, що матрицi H i G не змiнюють n-у координату вектора, на який вони множаться, будемо мати { n−1∑ i=1 b (i) k+1 (0) + dk+1 (0) } n = 0. (66) Оскiльки b (i) k+1 = k+1∑ s=1 λ(i) s Bu (i) k+1−s − k+1∑ s=1 Asu (i) k+1−s +B ( u (i) k+1−h )′ , dk+1 = Bv′k+1−h − k+1∑ s=1 Asvk+1−s − fk, то, врахувавши, що матриця B анулює n-у координату, звiдси дiстанемо{ n−1∑ i=1 k+1∑ s=1 Asu (i) k+1−s + k+1∑ s=1 Asvk+1−s + fk } n = 0. З початкових умов n−1∑ i=1 u (i) j (0) + vj (0) = δj,1x0, j = 1, k, виконання яких забезпечене на попереднiх кроках, маємо v1 (0) = x0 − n−1∑ i=1 u (i) 1 (0) , vk+1−s (0) = − n−1∑ i=1 u (i) k+1−s (0) , s = 1, k − 1. Крiм того, згiдно з (34) v0 (0) = c0 (0) e1. Пiдставивши цi вирази в (66), отримаємо{ Ak+1 (0) n−1∑ i=1 c (i) 0 ϕ ( λ (i) 0 (0) ) + c0 (0)Ak+1 (0) e1 +Ak (0)x0 + fk (0) } n = 0, звiдки з урахуванням (43) одержимо рiвнiсть (Ak (0)x0 + fk (0) , en) = 0, яка виконується згiдно з умовою (17). За допомогою отриманих рекурентних формул можна послiдовно визначити будь-якi коефiцiєнти розвинень (19), (20). Теорему доведено. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2 288 В. П. ЯКОВЕЦЬ, О. В. ЯКОВЕЦЬ Використовуючи методи [2, 3], можна довести, що побудований формальний розв’я- зок є асимптотичним розвиненням точного розв’язку задачi (1), (2) при ε → 0. А саме, якщо при даному натуральному m Re ( m∑ k=1 λ (i) k (t) εk ) ≤ 0 ∀t ∈ [0;T ] , i = 1, n− 1, то має мiсце оцiнка ‖xm (t, ε)− x (t, ε)‖ ≤ cεm−h, де x (t, ε) — точний розв’язок задачi (1), (2), а xm (t, ε) — m-те наближення, яке утворю- ється з (18), якщо вiдповiднi ряди (19), (20) обiрвати на m-му членi, c — деяка стала, яка не залежить вiд ε. Згiдно з [3] iснування i єдинiсть розв’язку задачi (1), (2) забезпечується умовою (17). 1. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1988. — 552 с. 2. Шкиль Н. И., Старун И. И., Яковец В. П. Асимптотическое интегрирование линейных систем диффе- ренциальных уравнений с вырождениями. — Киев: Вища шк., 1991. — 207 с. 3. Самойленко А. М., Шкiль М. I., Яковець В. П. Лiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь з виродження- ми. — Київ: Вища шк., 2000. — 294 с. 4. Старун И. И. О решении задачи Коши для сингулярно возмущенной линейной системы // Укр. мат. журн. — 1991. — 43, № 5. — С. 715 – 718. 5. Яковець В. П., Кочерга О. I. Асимптотика розв’язку задачi Кошi для виродженої сингулярно збуреної лiнiйної системи у випадку кратного спектра головного оператора // Доп. НАН України. — 1999. — № 5. — С. 34 – 39. 6. Кочерга О. I., Яковець В. П. Асимптотичне розв’язання задачi Кошi для виродженої сингулярно збуре- ної лiнiйної системи у випадку кратного спектра головного оператора // Нелiнiйнi коливання. — 1999. — 2, № 1. — С. 19 – 29. 7. Kocherga O. I., Yakovets V. P. The Cauchy problem for the degenerate singularly perturbed linear system in case of the multiple spectrum of the limit bundle of matrixes // Nonlinear Oscillations. — 2001. — 4, № 2. — P. 226 – 233. Одержано 29.10.07 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2

Similar Items