Об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом
Встановлено новi властивостi розв’язкiв диференцiально-функцiонального рiвняння x'(t) = ax(t) + bx(t − r) + cx' (t − r) + px(qt) + hx' (qt) в околi особливої точки t = +∞. We find new properties of solutions of the differential-functional equation x'(t) = ax(t) + bx(t − r) + c...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178570 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом / Д.В. Бельский // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 2. — С. 147-150. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859644381477208064 |
|---|---|
| author | Бельский, Д.В. |
| author_facet | Бельский, Д.В. |
| citation_txt | Об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом / Д.В. Бельский // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 2. — С. 147-150. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Встановлено новi властивостi розв’язкiв диференцiально-функцiонального рiвняння x'(t)
= ax(t) + bx(t − r) + cx'
(t − r) + px(qt) + hx'
(qt) в околi особливої точки t = +∞.
We find new properties of solutions of the differential-functional equation x'(t) = ax(t) + bx(t − r) + cx'(t − r) + px(qt) + hx'(qt) in a neighbourhood of the singular point t = +∞.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:25:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517 . 929
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ЛИНЕЙНО ПРЕОБРАЗОВАННЫМ АРГУМЕНТОМ
Д. В. Бельский
Ин-т математики НАН Украины
Украина, 01601, Киев, ул. Терещенковская, 3
We find new properties of solutions of the differential-functional equation x′(t) = ax(t) + bx(t − r) +
+cx′(t− r) + px(qt) + hx′(qt) in a neighbourhood of the singular point t = +∞.
Встановлено новi властивостi розв’язкiв диференцiально-функцiонального рiвняння x′(t) =
= ax(t) + bx(t− r) + cx′(t− r) + px(qt) + hx′(qt) в околi особливої точки t = +∞.
В данной работе рассматривается уравнение
x′(t) = ax(t) + bx(t− r) + cx′(t− r) + px(qt) + hx′(qt), (1)
где {a, b, c, p, h} ⊂ R, r > 0, 0 < q < 1, которое было предметом исследований многих
математиков (см. работы [1 – 14] и приведенную в них библиографию). При этом осо-
бое внимание уделялось изучению вопросов существования различного рода решений
таких уравнений и исследованию их свойств. В частности, при исследовании асимптоти-
ческих свойств решений уравнения (1) в [12] доказана следующая теорема (все обозначе-
ния, используемые в этой статье, взяты также из [12]).
Теорема 1. Пусть выполняются условия:
1) α0 < 0;
2) параметры α, ν ∈ R и j ∈ N ∪ {0} удовлетворяют неравенствам α0 < α < 0,
1
ln q−1
ln
∣∣∣∣ p
a + b
∣∣∣∣ < ν,
(∣∣∣∣hq
∣∣∣∣ + |p|k1(α)
|α|
+
∣∣∣∣hq
∣∣∣∣ k2(α)
e−αr
e−αr − 1
)
qν+j < 1
и
|c|+ |h|qν+j < 1;
3) t0 >
r
1− q
.
Тогда существует константа K ≥ 0 такая, что для j + 1 раз непрерывно диффе-
ренцируемых решений x(t) уравнения (1) имеет место оценка
max
{
|x(t)| ,
∣∣x′(t)∣∣ , . . . ,
∣∣∣x(j+1)(t)
∣∣∣} ≤
≤ K max
{
sup
s∈[qt0,t0]
|x(s)| , sup
s∈[qt0,t0]
∣∣x′(s)∣∣ , . . . , sup
s∈[qt0,t0]
∣∣∣x(j+1)(s)
∣∣∣} tν
при любом t ∈ [qt0,+∞).
c© Д. В. Бельский, 2008
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2 147
148 Д. В. БЕЛЬСКИЙ
В настоящей статье продолжается исследование асимптотических свойств решений
уравнения (1), начатое в [9]. Основным ее результатом является следующая теорема.
Теорема 2. Пусть выполняются условия:
1) α0 < 0, p 6= 0;
2) параметры α ∈ R и j ∈ N ∪ {0} удовлетворяют неравенствам α0 < α < 0,(
|h|+ |pq|k1(α)
|α|
+ |h|k2(α)
e−αr
e−αr − 1
) ∣∣∣∣a + b
p
∣∣∣∣ qj < 1
и
|c|+
∣∣∣∣h(a + b)
p
∣∣∣∣ qj+1 < 1;
3) t0 >
r
1− q
.
Тогда существует константа l ≥ 0 такая, что для j +2 раз непрерывно дифферен-
цируемых решений x(t) уравнения (1) имеет место оценка
|x(t)| ≤ l max
{
sup
s∈[qt0,t0]
|x(s)| , sup
s∈[qt0,t0]
∣∣x′(s)∣∣ , . . . , sup
s∈[qt0,t0]
∣∣∣x(j+2)(s)
∣∣∣} t
1
ln q−1 ln| p
a+b |
при любом t ∈ [qt0,+∞).
Доказательство. Выполнив замену переменных x(t) = tνy(t) при t ≥ qt0, получим
уравнение
y′(t) = ay(t) + by(t− r) + cy′(t− r) + pqνy(qt) + g(t), (2)
где
g(t) = −ν
t
y(t) +
(
b
((
1− r
t
)ν
− 1
)
+ cν
(
1− r
t
)ν−1 1
t
)
y(t− r)+
+ c
((
1− r
t
)ν
− 1
)
y′(t− r) + hνqν−1 1
t
y(qt) + hqνy′(qt).
Поскольку при достаточно больших t имеет место соотношение
(
1− r
t
)ν
− 1 =
+∞∑
n=1
Cn
ν
(
−r
t
)n
= −r
t
+∞∑
n=1
Cn
ν
(
−r
t
)n−1
,
∣∣∣r
t
∣∣∣ < 1,
где Cn
ν =
ν(ν − 1) . . . (ν − n + 1)
n!
, n ≥ 1, то слагаемые выражения g(t) являются вели-
чинами порядка
1
t
y(t) и y′(t). Следовательно, доказав ограниченность этих функций при
некотором ν, мы докажем ограниченность функции g(t). В силу теоремы 1 для
1
ln q−1
ln
∣∣∣∣ p
a + b
∣∣∣∣− 1 < ν <
1
ln q−1
ln
∣∣∣∣ p
a + b
∣∣∣∣ (3)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ . . . 149
при достаточной гладкости решения функции t−νx′(t) и t−ν−1x(t) ограничены в окрест-
ности точки t = +∞. Для доказательства следует, очевидно, лишь последовательно при-
менить это утверждение к уравнению (1) и
x′′(t) = ax′(t) + bx′(t− r) + cx′′(t− r) + pqx′(qt) + hqx′′(qt).
Иными словами, для некоторого параметра ν ∈ R, удовлетворяющего неравенству (3), и
для параметра j ∈ N ∪ {0} из второго условия теоремы j + 2 раза непрерывно диффе-
ренцируемые решения x(t) уравнения (1) удовлетворяют оценкам
|x(t)| ≤ K max
{
sup
s∈[qt0,t0]
|x(s)| , sup
s∈[qt0,t0]
∣∣x′(s)∣∣ , . . . , sup
s∈[qt0,t0]
∣∣∣x(j+1)(s)
∣∣∣} tν+1,
|x′(t)| ≤ K max
{
sup
s∈[qt0,t0]
∣∣x′(s)∣∣ , sup
s∈[qt0,t0]
∣∣x′′(s)∣∣ , . . . , sup
s∈[qt0,t0]
∣∣∣x(j+2)(s)
∣∣∣} tν
при любом t ∈ [qt0,+∞), где K — некоторая константа.
Из равенств x(t) = tνy(t) и x′(t) = νtν−1y(t) + tνy′(t) следует ограниченность
1
t
y(t) и
y′(t), а следовательно, и ограниченность g(t).
Запишем уравнение (2) в интегральной форме
y(t) = −pqν(a + b)−1y(qt) + X(t− t0)(y(t0)− cy(t0 − r)) + pqνW (t− t0)y(qt0)+
+ b
t0∫
t0−r
X(t− θ − r)y(θ)dθ − c
t0∫
t0−r
y(θ)dX(t− θ − r) + pqν+1
t∫
t0
W (t− s)y′(qs)ds+
+
t∫
t0
X(t− s)g(s)ds = −pqν(a + b)−1y(qt) + F (t), t ≥ t0.
Поскольку
|F (t)| ≤ Lmax
{
sup
s∈[qt0,t0]
|x(s)| , sup
s∈[qt0,t0]
∣∣x′(s)∣∣ , . . . , sup
s∈[qt0,t0]
∣∣∣x(j+2)(s)
∣∣∣} = M1, t ≥ t0,
где L ≥ 1 — некоторая константа, то при qnt ∈ [qt0, t0) получаем
|y(t)| ≤
∣∣pqν(a + b)−1
∣∣ |y(qt)|+ M1 = d|y(qt)|+ M1 ≤ d2|y(q2t)|+ dM1 + M1 ≤ . . .
. . . ≤ dn|y(qnt)|+ dn−1M1 + . . . + dM1 + M1 ≤ dn sup
s∈[qt0,t0]
|y(s)|+ dn − 1
d− 1
M1 ≤
≤ dn+1 − 1
d− 1
max
{
q−νt−ν
0 , t−ν
0 , 1
}
M1 =
dn+1 − 1
d− 1
M2,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
150 Д. В. БЕЛЬСКИЙ
qt0 ≤ qnt ⇒ q−n ≤ 1
qt0
⇒ n ≤ 1
ln q−1
ln
(
t
qt0
)
.
Заметим, что согласно выбору ν имеем d =
∣∣∣∣ pqν
a + b
∣∣∣∣ > 1, и тогда оценку y(t) можно
уточнить
|y(t)| ≤ d
1
ln q−1 ln
�
t
qt0
�
d
d− 1
M2 = e
ln d 1
ln q−1 ln
�
t
qt0
�
M3 =
= e
ln d 1
ln q−1 ln t
e
ln d 1
ln q−1 (− ln qt0)
M3 =
= t
ln d 1
ln q−1 M4 = t
1
ln q−1 ln| p
a+b |−ν
M4.
Отсюда находим
|x(t)| = tν |y(t)| ≤ t
1
ln q−1 ln| p
a+b |M4, t ≥ t0.
Теорема доказана.
1. Kato T., McLeod J. B. The functional-differential equation y′(x) = ay(λx) + by(x) // Bull. Amer. Math. Soc.
— 1971. — 77. — P. 891 – 937.
2. De Bruijn N. G. The difference-differential equation F ′(x) = expαx+β F (x−1). I, II // Ned. Akad. Wetensch.
Proc. Ser. A. Math. — 1953. —15. — P. 449 – 464.
3. Frederickson P. O. Series solutions for certain functional-differential equations // Lect. Notes Math. — 1971.
— 243. — P. 249 – 254.
4. Frederickson P. O. Global solutions to certain nonlinear functional differential equations // J. Math. Anal.
and Appl. — 1971. — 33. — P. 355 – 358.
5. Пелюх Г. П., Шарковский А. Н. Введение в теорию функциональных уравнений. — Киев: Наук. думка,
1974. — 192 с.
6. Дерфель Г. А. Вероятностный метод исследования одного класса дифференциально-функциональных
уравнений // Укр. мат. журн. — 1989. — 41, № 10. — С. 1483 – 1491.
7. Полищук В. М., Шарковский А. Н. Представление решений линейных дифференциально-разностных
уравнений нейтрального типа // Дифференц. уравнения. — 1973. — 9, № 9. — С. 1627 – 1645.
8. Бельский Д. В. Об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональ-
ных уравнений с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом // Нелiнiйнi
коливання. — 2004. — 7, № 1. — С. 24 – 28.
9. Гребенщиков Б. Г., Рожков В. И. Асимптотическое поведение решения одной стационарной системы
с запаздыванием // Дифференц. уравнения. — 1993. — 29, № 5. — С. 751 – 758.
10. Гребенщиков Б. Г., Ложников А. Б. Стабилизация системы, содержащей постоянное и линейное за-
паздывания // Там же. — 2004. — 40, № 12. — С. 1587 – 1595.
11. Гребенщиков Б. Г. Об асимптотических свойствах некоторых систем с двумя запаздываниями // Изв.
вузов. Математика. — 2006. — 528, № 5. — С. 27 – 37.
12. Пелюх Г. П., Бельский Д. В. Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функциональ-
ных уравнений с линейно преобразованным аргументом // Нелiнiйнi коливання. — 2007. — 10, № 1. —
С. 144 – 160.
13. Gumovski I., Mira C. Recurrences and discrete dynamic systems // Lect. Notes Math. — 1980. — 809. —
267 p.
14. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1984. — 421 с.
Получено 27.06.07
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178570 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:25:25Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бельский, Д.В. 2021-02-27T17:37:33Z 2021-02-27T17:37:33Z 2008 Об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом / Д.В. Бельский // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 2. — С. 147-150. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178570 517.929 Встановлено новi властивостi розв’язкiв диференцiально-функцiонального рiвняння x'(t) = ax(t) + bx(t − r) + cx' (t − r) + px(qt) + hx' (qt) в околi особливої точки t = +∞. We find new properties of solutions of the differential-functional equation x'(t) = ax(t) + bx(t − r) + cx'(t − r) + px(qt) + hx'(qt) in a neighbourhood of the singular point t = +∞. ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом Про асимптотичні властивості розв'язків лінійних диференціально-функціональних рівнянь із лінійно перетвореним аргументом On asymptotic properties of solutions of linear differential-functional equations with the linearly transformed argument Article published earlier |
| spellingShingle | Об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом Бельский, Д.В. |
| title | Об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом |
| title_alt | Про асимптотичні властивості розв'язків лінійних диференціально-функціональних рівнянь із лінійно перетвореним аргументом On asymptotic properties of solutions of linear differential-functional equations with the linearly transformed argument |
| title_full | Об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом |
| title_fullStr | Об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом |
| title_full_unstemmed | Об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом |
| title_short | Об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом |
| title_sort | об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178570 |
| work_keys_str_mv | AT belʹskiidv obasimptotičeskihsvoistvahrešeniilineinyhdifferencialʹnofunkcionalʹnyhuravneniislineinopreobrazovannymargumentom AT belʹskiidv proasimptotičnívlastivostírozvâzkívlíníinihdiferencíalʹnofunkcíonalʹnihrívnânʹízlíníinoperetvorenimargumentom AT belʹskiidv onasymptoticpropertiesofsolutionsoflineardifferentialfunctionalequationswiththelinearlytransformedargument |