Обмежені розв'язки слабконелінійних диференціальних рівнянь у банаховому просторі
Получены необходимое и достаточное условия существования ограниченных на всей действительной оси решений слабонелинейного дифференциального уравнения в банаховом пространстве в предположении, что порождающее уравнение имеет ограниченные решения, а соответствующее однородное уравнение допускает экспо...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Datum: | 2008 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178571 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Обмежені розв'язки слабконелінійних диференціальних рівнянь у банаховому просторі / О.А. Бойчук, О.О. Покутний // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 2. — С. 151-159. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178571 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Бойчук, О.А. Покутний, О.О. 2021-02-27T17:37:40Z 2021-02-27T17:37:40Z 2008 Обмежені розв'язки слабконелінійних диференціальних рівнянь у банаховому просторі / О.А. Бойчук, О.О. Покутний // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 2. — С. 151-159. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178571 517.9 Получены необходимое и достаточное условия существования ограниченных на всей действительной оси решений слабонелинейного дифференциального уравнения в банаховом пространстве в предположении, что порождающее уравнение имеет ограниченные решения, а соответствующее однородное уравнение допускает экспоненциальную дихотомию на полуосях. For a weakly nonlinear differential equation in a Banach space, we find necessary and sufficient conditions for existence of solutions that are bounded on the whole real axis with the assumption that the generating equation has bounded solutions and homogeneous equation admits exponential dichotomy on the halfaxes. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Обмежені розв'язки слабконелінійних диференціальних рівнянь у банаховому просторі Ограниченные решения слабонелинейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве Bounded solutions of weakly nonlinear differential equations in a Banach space Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Обмежені розв'язки слабконелінійних диференціальних рівнянь у банаховому просторі |
| spellingShingle |
Обмежені розв'язки слабконелінійних диференціальних рівнянь у банаховому просторі Бойчук, О.А. Покутний, О.О. |
| title_short |
Обмежені розв'язки слабконелінійних диференціальних рівнянь у банаховому просторі |
| title_full |
Обмежені розв'язки слабконелінійних диференціальних рівнянь у банаховому просторі |
| title_fullStr |
Обмежені розв'язки слабконелінійних диференціальних рівнянь у банаховому просторі |
| title_full_unstemmed |
Обмежені розв'язки слабконелінійних диференціальних рівнянь у банаховому просторі |
| title_sort |
обмежені розв'язки слабконелінійних диференціальних рівнянь у банаховому просторі |
| author |
Бойчук, О.А. Покутний, О.О. |
| author_facet |
Бойчук, О.А. Покутний, О.О. |
| publishDate |
2008 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Ограниченные решения слабонелинейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве Bounded solutions of weakly nonlinear differential equations in a Banach space |
| description |
Получены необходимое и достаточное условия существования ограниченных на всей действительной оси решений слабонелинейного дифференциального уравнения в банаховом пространстве в предположении, что порождающее уравнение имеет ограниченные решения, а соответствующее однородное уравнение допускает экспоненциальную дихотомию на полуосях.
For a weakly nonlinear differential equation in a Banach space, we find necessary and sufficient conditions
for existence of solutions that are bounded on the whole real axis with the assumption that the generating
equation has bounded solutions and homogeneous equation admits exponential dichotomy on the halfaxes.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178571 |
| citation_txt |
Обмежені розв'язки слабконелінійних диференціальних рівнянь у банаховому просторі / О.А. Бойчук, О.О. Покутний // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 2. — С. 151-159. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT boičukoa obmeženírozvâzkislabkonelíníinihdiferencíalʹnihrívnânʹubanahovomuprostorí AT pokutniioo obmeženírozvâzkislabkonelíníinihdiferencíalʹnihrívnânʹubanahovomuprostorí AT boičukoa ograničennyerešeniâslabonelineinyhdifferencialʹnyhuravneniivbanahovomprostranstve AT pokutniioo ograničennyerešeniâslabonelineinyhdifferencialʹnyhuravneniivbanahovomprostranstve AT boičukoa boundedsolutionsofweaklynonlineardifferentialequationsinabanachspace AT pokutniioo boundedsolutionsofweaklynonlineardifferentialequationsinabanachspace |
| first_indexed |
2025-11-25T22:34:39Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:34:39Z |
| _version_ |
1850568026127073280 |
| fulltext |
УДК 517 . 9
ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ СЛАБКОНЕЛIНIЙНИХ
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
У БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI*
О. А. Бойчук, О. О. Покутний
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ, вул. Терещенкiвська, 3
e-mail: boichuk@imath.kiev.ua
lenasas@gmail.com
For a weakly nonlinear differential equation in a Banach space, we find necessary and sufficient conditions
for existence of solutions that are bounded on the whole real axis with the assumption that the generating
equation has bounded solutions and homogeneous equation admits exponential dichotomy on the half-
axes.
Получены необходимое и достаточное условия существования ограниченных на всей действи-
тельной оси решений слабонелинейного дифференциального уравнения в банаховом простран-
стве в предположении, что порождающее уравнение имеет ограниченные решения, а соответ-
ствующее однородное уравнение допускает экспоненциальную дихотомию на полуосях.
Постановка задачi. У банаховому просторi B розглянемо диференцiальне рiвняння
dx
dt
= A(t)x(t) + εZ(x, t, ε) + f(t), (1)
яке при ε = 0 перетворюється в породжуюче рiвняння
dx
dt
= A(t)x(t) + f(t), (2)
де вектор-функцiя f(t) дiє з R у банахiв простiр B,
f(t) ∈ BC(R,B) := {f(·) : R → B, f(·) ∈ C(R), |||f ||| = sup
t∈R
‖f(t)‖ < ∞},
BC(R,B) — банахiв простiр неперервних й обмежених на R функцiй, оператор-функцiя
A(t) сильно неперервна [1, c. 141], |||A||| = supt∈R ‖A(t)‖ < ∞, а розв’язок x(t) рiвняння
x(t) = x0 +
t∫
t0
(A(s)x(s) + f(s) + ε Z(x(s, ε), s, ε)) ds
неперервно диференцiйовний у кожнiй точцi t ∈ R i задовольняє рiвняння (1) скрiзь.
Обмежений розв’язок x(t, ε) рiвняння (1) будемо шукати у банаховому просторi BC1(R,B)
∗ Частково пiдтримано Державним фондом фундаментальних дослiджень України (№ 14.1/007).
c© О. А. Бойчук, О. О. Покутний, 2008
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11 , N◦ 2 151
152 О. А. БОЙЧУК, О. О. ПОКУТНИЙ
неперервно диференцiйовних на R функцiй, обмежених зi своєю похiдною. Знайдемо
умови iснування обмежених на всiй осi розв’язкiв рiвняння у припущеннi, що вiдповiдне
однорiдне рiвняння
dx
dt
= A(t) x(t) (3)
є експоненцiально-дихотомiчним на пiвосях R+ i R−, тобто [1, с. 236] iснують проектори
P (P 2 = P ) i Q (Q2 = Q), константи K1,2 ≥ 1, α1,2 > 0 такi, що мають мiсце оцiнки
‖U(t)PU−1(s)‖ ≤ K1e
−α1(t−s), t ≥ s,
‖U(t)(E − P )U−1(s)‖ ≤ K1e
α1(t−s), s ≥ t, для всiх t, s ∈ R+,
‖U(t)QU−1(s)‖ ≤ K2e
−α2(t−s), t ≥ s,
‖U(t)(E −Q)U−1(s)‖ ≤ K2e
α2(t−s), s ≥ t, для всiх t, s ∈ R−.
Тут U(t) = U(t, 0) — еволюцiйний оператор [1, с. 145] диференцiального рiвняння (3)
такий, що
dU(t)
dt
= A(t)U(t), U(0) = E − одиничний оператор.
У випадку скiнченновимiрних просторiв, коли B = Rn, цю проблему вирiшено в роботi
[2]. В роботi [3] анонсовано наступний результат.
Теорема 1. Нехай однорiдне рiвняння (3) допускає експоненцiальну дихотомiю на пiв-
осях R+ та R− з проекторами P та Q вiдповiдно. Якщо оператор
D = P − (E −Q) : B → B (4)
є узагальнено-оборотним [4], то:
1) для того щоб iснували обмеженi на всiй дiйснiй осi розв’язки рiвняння (2), необхiд-
но i достатньо, щоб вектор-функцiя f(t) ∈ BC(R, B) задовольняла умову
+∞∫
−∞
H(t)f(t)dt = 0; (5)
2) при умовi (5) обмеженi на всiй осi розв’язки рiвняння (2) мають вигляд
x0(t, c) = U(t)PPN(D)c + (G[f ])(t) ∀c ∈ B, (6)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ СЛАБКОНЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 153
де
(G[f ])(t) = U(t)
∫ t
0 PU−1(s)f(s) ds−
∫∞
t (E − P )U−1(s)f(s) ds+
+PD−
[ ∫∞
0 (E − P )U−1(s)f(s) ds+
+
∫ 0
−∞QU−1(s)f(s)ds
]
, t ≥ 0,
∫ t
−∞QU−1(s)f(s)ds−
∫ 0
t (E −Q)U−1(s)f(s) ds+
+(E −Q)D−
[ ∫∞
0 (E − P )U−1(s)f(s)ds+
+
∫ 0
−∞QU−1(s)f(s)ds
]
, t ≤ 0,
— узагальнений оператор Грiна задачi про обмеженi на всiй осi R розв’язки,
H(t) = PN(D∗)QU−1(t) = PN(D∗)(E − P )U−1(t),
D− — узагальнено-обернений оператор до оператора D [4], PN(D) = E − D−D та
PN(D∗) = E −DD−.
Будемо шукати такий розв’язок x(t, ε) рiвняння (1), який при ε = 0 перетворюється в
один iз розв’язкiв x(t, 0) = x0(t, c) породжуючого рiвняння (2).
Основний результат. Знайдемо спочатку необхiдну умову iснування обмеженого
розв’язку рiвняння (1). Для того щоб отримати необхiдну умову на оператор Z(x, t, ε),
потрiбно накласти такi обмеження:
Z(·, t, ε) ∈ C[‖x− x0‖ ≤ q], Z(x, ·, ε) ∈ BC(R,B), Z(x, t, ·) ∈ C[0, ε0],
де q — деяка додатна стала.
Покажемо, що цю задачу можна розв’язати за допомогою операторного рiвняння, що
(у випадку класичної перiодичної задачi) є аналогом так званого рiвняння для породжу-
ючих амплiтуд:
F (c) =
+∞∫
−∞
H(t)Z(x0(t, c), t, 0)dt = 0. (7)
Теорема 2 (необхiдна умова iснування). Нехай однорiдне рiвняння (3) є експоненцiаль-
но-дихотомiчним на пiвосях R+ i R− iз проекторами P i Q вiдповiдно, а нелiнiйне рiвнян-
ня (1) має обмежений розв’язок x(·, ε) ∈ BC1(R,B), який при ε = 0 перетворюється
в один iз породжуючих розв’язкiв iз константою c = c0 : x(t, 0) = x0(t, c0). Тодi ця
константа повинна задовольняти операторне рiвняння (7).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
154 О. А. БОЙЧУК, О. О. ПОКУТНИЙ
Доведення. Якщо рiвняння (1) має обмеженi розв’язки x(t, ε), то, згiдно з теоремою 1,
повинна виконуватись умова розв’язностi
+∞∫
−∞
H(t){f(t) + εZ(x(t, ε), t, ε)} dt = 0. (8)
Враховуючи умову (5), маємо ε
∫ +∞
−∞ H(t)Z(x(t, ε), t, ε)dt = 0. Оскiльки ε 6= 0, то
+∞∫
−∞
H(t)Z(x(t, ε), t, ε) dt = 0.
При ε → 0 x(t, ε) прямує до x0(t, c0). Остаточно (враховуючи неперервнiсть оператор-
функцiї Z(x, t, ε)), отримуємо
F (c0) =
+∞∫
−∞
H(t)Z(x0(t, c0), t, 0)dt = 0,
що й доводить теорему.
Для отримання достатньої умови iснування обмежених розв’язкiв рiвняння (1) буде-
мо вимагати, щоб оператор-функцiя Z(x, t, ε) була диференцiйовною за Фреше в околi
породжуючого розв’язку (Z(·, t, ε) ∈ C1[‖x− x0‖ ≤ q]).
Цю задачу можна розв’язати за допомогою оператора
B0 =
+∞∫
−∞
H(t) A1(t)U(t)PPN(D)dt : B → B,
де A1(t) = Z(1)(v, t, ε)|v=x0;ε=0 (похiдна розумiється в сенсi Фреше).
Теорема 3 (достатня умова iснування). Нехай однорiдне рiвняння (3) є експоненцiаль-
но-дихотомiчним на пiвосях R+ та R− з проекторами P та Q вiдповiдно, а рiвняння (2)
має обмеженi розв’язки у виглядi (6).
Припустимо, що оператор B0 задовольняє умови:
1) має узагальнено-обернений;
2) PN(B∗
0 )PN(D∗)Q = 0.
Тодi для будь-якого елемента c = c0 ∈ B, який задовольняє рiвняння (7), iснує при-
наймнi один обмежений розв’язок рiвняння (1). Цей розв’язок можна знайти за допомо-
гою iтерацiйного процесу
yk+1(t, ε) = εG[Z(x0(τ, c0) + yk, τ, ε)](t),
ck = −B−0
+∞∫
−∞
H(τ){A1(τ)yk(τ, ε) +R(yk(τ, ε), τ, ε)}dτ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ СЛАБКОНЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 155
yk+1(t, ε) = U(t)PPN(D)ck + yk+1(t, ε),
xk(t, ε) = x0(t, c0) + yk(t, ε), k = 0, 1, 2, . . . , y0(t, ε) = 0,
x(t, ε) = lim
k→∞
xk(t, ε).
Доведення. В рiвняннi (1) виконаємо замiну змiнних x(t, ε) = x0(t, c0) + y(t, ε), де кон-
станта c0 задовольняє операторне рiвняння (7). Тодi вiдносно y отримаємо рiвняння
dy
dt
= A(t)y(t) + εZ(x0(t, c0) + y(t, ε), t, ε). (9)
Потрiбно знайти обмежений розв’язок y(t, ε) : y(·, ε) ∈ BC1(R,B), y(t, ·) ∈ C[0, ε0],
y(t, 0) = 0. Рiвняння (9), очевидно, еквiвалентне рiвнянню (1). Запишемо умову iснування
обмежених розв’язкiв для рiвняння (9):
+∞∫
−∞
H(t)Z(x0(t, c0) + y(t, ε), t, ε) dt = 0. (10)
При виконаннi цiєї умови множина обмежених розв’язкiв рiвняння (9) буде мати вигляд
y(t, ε) = U(t)PPN(D)c + y(t, ε),
де
y(t, ε) = εG[Z(x0 + y, τ, ε)](t).
Оскiльки оператор Z(x, t, ε) є диференцiйовним за Фреше в околi породжуючого розв’яз-
ку, то [5] має мiсце наступний розклад оператора Z(x, t, ε):
Z(x0(t, c0) + y(t, ε), t, ε) = Z(x0(t, c0), t, 0) + A1(t)y(t, ε) +R(y(t, ε), t, ε),
де
A1(t) = Z(1)(v, t, ε)|v=x0;ε=0, R (0, t, 0) = 0, R(1)
x (0, t, 0) = 0.
Z(1)(v, t, ε) — похiдна Фреше. Тодi умову (10) можна записати так:
+∞∫
−∞
H(t){Z(x0(t, c0), t, 0) + A1(t){U(t)PPN(D)c + y(t, ε)}}dt+
+
+∞∫
−∞
H(t)R(y(t, ε), t, ε)dt = 0. (11)
Використовуючи позначення, умову (11) записуємо у виглядi операторного рiвняння
B0c = −
+∞∫
−∞
H(t){A1(t)y(t, ε) +R(y(t, ε), t, ε)}dt. (12)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
156 О. А. БОЙЧУК, О. О. ПОКУТНИЙ
Згiдно з теоремою 1, необхiдною i достатньою умовою розв’язностi операторного рiвнян-
ня (12) є умова
PN(B∗
0 )
+∞∫
−∞
H(t){A1(t)y(t, ε) +R(y(t, ε), t, ε)}dt = 0,
яка виконується внаслiдок припущення 2. Тодi константу c можна вибрати у виглядi
c = −B−0
+∞∫
−∞
H(t){A1(t)y(t, ε) +R(y(t, ε), t, ε)} dt,
де B−0 — узагальнено-обернений оператор до оператора B0 [4]. Таким чином, отримаємо
операторну систему
y(t, ε) = U(t)PPN(D)c + y(t, ε),
c = −B−0
+∞∫
−∞
H(t){A1(t)y(t, ε) +R(y(t, ε), t, ε)}dt, (13)
y(t, ε) = εG[Z(x0 + y, τ, ε)](t).
Введемо допомiжний вектор u = (y, c, y)t ∈ B × B × B (далi B3), що належить декар-
товому добутку просторiв B на себе (t означає операцiю транспонування), i допомiжний
оператор L1g = −B−0
∫ +∞
−∞ H(t)A1(t)g(t) dt. Тодi операторну систему (13) можна записати
у виглядi
u =
0 U(t)PPN(D) I
0 0 L1
0 0 0
u +
0
−B−0
∫ +∞
−∞ H(t)R(y, t, ε)dt
εG[Z(x0 + y, τ, ε)](t)
.
Ця операторна система еквiвалентна наступнiй:
I −U(t)PPN(D) −I
0 I −L1
0 0 I
u =
0
−B−0
∫ +∞
−∞ H(t)R(y, t, ε)dt
εG[Z(x0 + y, τ, ε)](t)
. (14)
Введемо позначення
L =
I −U(t)PPN(D) −I
0 I −L1
0 0 I
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ СЛАБКОНЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 157
g =
0
−B−0
∫ +∞
−∞ H(t)R(y, t, ε)dt
εG[Z(x0 + y, τ, ε)](t)
.
Доведемо, що оператор L є оборотним, причому обернений до нього оператор є обме-
женим. Для цього знайдемо обернений оператор. Будемо шукати його у виглядi
L−1 =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
(кожна компонента aij — це оператор, що дiє в банаховому просторi B (aij : B → B)) з
умови LL−1 = L−1L = I, де I : B3 → B3 — одиничний оператор вигляду
I =
I 0 0
0 I 0
0 0 I
.
В результатi отримаємо спiввiдношення
Ia11 − U(t)PPN(D)a21 − Ia31 = I,
Ia12 − U(t)PPN(D)a22 − Ia32 = 0,
Ia13 − U(t)PPN(D)a23 − Ia33 = 0,
Ia21 − L1a31 = 0, Ia22 − L1a32 = I, Ia23 − L1a33 = 0,
Ia31 = 0, Ia32 = 0, Ia33 = I,
звiдки знаходимо
L−1 =
I U(t)PPN(D) U(t)PPN(D)L1 + I
0 I L1
0 0 I
.
Доведемо обмеженiсть оператора L−1. Для цього потрiбно довести, що iснує констан-
та c1 > 0 така, що для всiх u ∈ B3 виконується нерiвнiсть ‖L−1u‖B3 ≤ c1‖u‖B3 . Ця не-
рiвнiсть еквiвалентна наступнiй: iснує константа c2 > 0 така, що для всiх y, c, y ∈ B
виконується нерiвнiсть
|||L−1(y, c, y)t|||B3 ≤ c2(|||y|||B + |||c|||B + |||y|||B),
L−1(y, c, y)t =
y + U(t)PPN(D)c + U(t)PPN(D)L1y + y
c + L1y
y
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
158 О. А. БОЙЧУК, О. О. ПОКУТНИЙ
Доведемо обмеженiсть норми кожної компоненти вектора у банаховому просторi B:
|||y + PPN(D)c + U(·)PPN(D)L1y + y|||B ≤ |||y|||B + |||U(·)PPN(D)|||B|||c|||B+
+|||U(·)PPN(D)L1y|||B + |||y|||B ≤ |||y|||B + c1|||c|||B + c2|||y|||B.
Аналогiчно
|||c + L1y|||B ≤ |||c|||B + |||L1|||B|||y|||B ≤ |||c|||B + c3|||y|||B.
Таким чином,
|||L−1(y, c, y)t|||B3 ≤ |||y|||B + (c1 + 1)|||c|||B + (1 + c2 + c3)|||y|||B ≤
≤ c4(‖y‖B + ‖c‖B + ‖y‖B),
де c4 = max{1, 1 + c1, 1 + c2 + c3}. Отже, обмеженiсть оператора L−1 доведено.
З урахуванням позначень операторну систему (14) запишемо у виглядi
u = L−1g = L−1S(ε)u,
де оператор S(ε) у загальному випадку є нелiнiйним. За рахунок вибору ε та обмеженостi
оператора L−1 можна досягти того, щоб оператор L−1S(ε) був оператором стиску. То-
дi з принципу стискаючих вiдображень [6] буде випливати, що операторна система (14)
має єдину нерухому точку, яка й буде обмеженим розв’язком рiвняння (1). Таким чином,
теорему доведено.
Слiд зауважити, що у скiнченновимiрному випадку ця задача вивчалась у робо-
тах [4, 7].
Наслiдок. Нехай функцiонал F (c) має похiдну Фреше F (1)(c) для деякого елемента c0
банахового простору B, який задовольняє операторне рiвняння (7). Тодi якщо F (1)(c0)
має обернений оператор, то рiвняння (1) має єдиний обмежений розв’язок x(t, ε), який
при ε = 0 перетворюється у розв’язок x(t, 0) = x0(t, c0).
Доведення. Зоображення
F (1)(c)[h] =
+∞∫
−∞
H(t)Z(1)(v, t, ε)|v=x0,ε=0[x
(1)
0 (t, c)[h]]dt
випливає з теореми про суперпозицiю диференцiйовних вiдображень у банаховому прос-
торi [5]. Знайдемо похiдну x
(1)
0 (t, c). Оскiльки x0(t, c) = U(t)PPN(D)c + (G[f ])(t), то
x
(1)
0 (t, c)[h] =
∂x0(t, c + αh)
∂α
∣∣∣∣
α=0
=
∂
∂α
(U(t)PPN(D)c+
+αU(t)PPN(D)h + (G[f ])(t))|α=0 =
=
∂
∂α
(U(t)PPN(D)c)|α=0 +
∂
∂α
(αU(t)PPN(D)h)|α=0 +
∂
∂α
(G[f ])(t))|α=0 =
= U(t)PPN(D)h,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ СЛАБКОНЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 159
Z(1)(v, t, ε)|v=x0,ε=0 = A1(t).
Таким чином, остаточно будемо мати
F (1)(c)[h] =
+∞∫
−∞
H(t)A1(t)U(t)PPN(D)dt[h] = B0[h].
Внаслiдок оборотностi оператора F (1)(c0) оператор B0 є також оборотним. Завдяки цьо-
му рiвняння (12) має єдиний розв’язок, а тодi й рiвняння (1) має єдиний обмежений розв’я-
зок.
1. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом про-
странстве. — М.: Наука, 1970. — 534 с.
2. Boichuk A. A. Solutions of weakly nonlinear differential equations bounded on the whole line // Nonlinear
Oscillations. — 1999. — 2, № 1. — P. 3 – 10.
3. Бойчук А. А., Покутний А. А. Ограниченные решения линейных дифференциальных уравнений в
банаховом пространстве // Нелiнiйнi коливання. — 2006. — 9, № 1. — С. 3 – 14.
4. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary value problems. —
Utrecht; Boston: VSP, 2004. — 317 p.
5. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979. — 430 с.
6. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука,
1976. — 544 с.
7. Palmer K. J. Exponential dichotomies and transversal homoclinic points // J. Different. Equat. — 1984. — 55.
— P. 225 – 256.
Одержано 30.11.07
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
|