Проекційний метод розв'язування інтегро-диференціальних рівнянь з обмеженнями і керуванням
Рассмотрено применение проекционного метода к краевой задаче для интегро-дифференциальных уравнений с ограничениями и управлением и предложена вычислительная схема метода. We consider an application of the projection method to the boundary-value problem for integro-differential equations with restri...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Дата: | 2008 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178575 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Проекційний метод розв'язування інтегро-диференціальних рівнянь з обмеженнями і керуванням / А.Ю. Лучка, О.Б. Нестеренко // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 2. — С. 208-216. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860106831491235840 |
|---|---|
| author | Лучка, А.Ю. Нестеренко, О.Б. |
| author_facet | Лучка, А.Ю. Нестеренко, О.Б. |
| citation_txt | Проекційний метод розв'язування інтегро-диференціальних рівнянь з обмеженнями і керуванням / А.Ю. Лучка, О.Б. Нестеренко // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 2. — С. 208-216. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Рассмотрено применение проекционного метода к краевой задаче для интегро-дифференциальных уравнений с ограничениями и управлением и предложена вычислительная схема метода.
We consider an application of the projection method to the boundary-value problem for integro-differential equations with restrictions and control, and propose a calculation scheme for the method.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:32:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517 . 968 . 7
ПРОЕКЦIЙНИЙ МЕТОД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ
IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
З ОБМЕЖЕННЯМИ ТА КЕРУВАННЯМ
А. Ю. Лучка, О. Б. Нестеренко
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ, вул. Терещенкiвська, 3
We consider an application of the projection method to the boundary-value problem for integro-differen-
tial equations with restrictions and control, and propose a calculation scheme for the method.
Рассмотрено применение проекционного метода к краевой задаче для интегро-дифференциаль-
ных уравнений с ограничениями и управлением и предложена вычислительная схема метода.
Важливими питаннями дослiдження крайових задач для диференцiальних рiвнянь з обме-
женнями та керуванням є встановлення умов iснування розв’язкiв i розробка ефективних
методiв їх побудови. Цим питанням присвячено низку дослiджень (див., наприклад, [1 –
4]). Застосуванню iтерацiйного методу до iнтегро-диференцiальних рiвнянь з обмежен-
нями i керуванням присвячено роботу [5]. Дана стаття є продовженням вказаної роботи,
i в нiй дослiджується застосування проекцiйного методу до крайової задачi для iнтегро-
диференцiальних рiвнянь.
1. Постановка задачi. Будемо розглядати iнтегро-диференцiальне рiвняння
(Lx)(t) = f(t) + C(t)λ+
b∫
a
H(t, s)(Mx)(s)ds (1)
i шукати наближений розв’язок (z(t), λ), який задовольняє крайовi умови
U(x) = γ (2)
та обмеження
b∫
a
S(t)x(t)dt = α. (3)
В рiвняннi (1) та умовах (2), (3) вважаємо
(Lx)(t) = x(m)(t) + p1(t)x(m−1)(t) + . . .+ pm(t)x(t),
(Mx)(t) = q0(t)xr(t) + . . .+ qr(t)x(t), r < m,
коефiцiєнти {p0, . . . , pm, q0, . . . , qr} ⊂ L2[a, b], f ∈ L2[a, b], (1 × l)-матриця C(t),
(l × 1)-матриця S(t), елементи яких — лiнiйно незалежнi функцiї, сумовнi з квадратом
c© А. Ю. Лучка, О. Б. Нестеренко, 2008
208 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
ПРОЕКЦIЙНИЙ МЕТОД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 209
на вiдрiзку [a, b], стала (m× 1)-матриця U, елементи якої мають вигляд
Uν(x) ≡
m∑
i=1
(
ανix
(i−1)(a) + βνix
(i−1)(b)
)
,
та γ ∈ Rm, α ∈ Rl є заданими, ядро H(t, s) — сумовне з квадратом за сукупнiстю змiнних.
В статтi [5] було розглянуто питання iснування та єдиностi розв’язку задачi (1) – (3) i
обґрунтовано застосування до неї iтерацiйного методу. Iтерацiйний метод має обмежену
область застосування i може збiгатись повiльно. В такому випадку пропонується до задачi
(1) – (3) застосувати проекцiйний метод.
2. Проекцiйний метод. Суть проекцiйного методу стосовно задачi (1) – (3) полягає в
тому, що, маючи деяке вiдоме наближення (x̃(t), λ̃) до шуканого розв’язку, наступне на-
ближення шукаємо у виглядi
z(t) = x̃(t) + δ(t), (4)
λ = λ̃+ β. (5)
Функцiю δ(t) та параметр β визначаємо iз задачi
(Aδ)(t) = C(t)β + Φ(t)µ, (6)
U(δ) = 0,
b∫
a
S(t)δ(t)dt = 0, (7)
b∫
a
Ψ(t)ε(t)dt = 0, (8)
де
ε(t) = f(t) + C(t)λ+
b∫
a
H(t, s)(Mz)(s)ds− (Lz)(t). (9)
У виразах (4) – (9)
(Aδ)(t) = δ(m)(t) + c1(t)δ(m−1)(t) + . . .+ cm(t)δ(t),
коефiцiєнти ci(t) неперервнi на вiдрiзку [a, b], (1 × n)-матриця Φ(t), (n × 1)-матриця Ψ(t),
елементи яких — лiнiйно незалежнi функцiї, сумовнi з квадратом на вiдрiзку [a, b], є зада-
ними, β ∈ Rl, µ ∈ Rn — невiдомi параметри.
Виберемо оператор A таким чином, щоб однорiдна задача
(Aδ)(t) = C(t)β, U(δ) = 0,
b∫
a
S(t)δ(t)dt = 0
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
210 А. Ю. ЛУЧКА, О. Б. НЕСТЕРЕНКО
мала лише тривiальний розв’язок. Тодi, як це встановлено в [5], iснують такi функцiя
G(t, s) та (l × 1)-матриця P (s), що єдиний розв’язок неоднорiдної задачi зображується
формулами
δ(t) =
b∫
a
G(t, s)Φ(s)µds, (10)
β =
b∫
a
P (s)Φ(s)µds. (11)
Ввiвши позначення
Y (t) =
b∫
a
G(t, s)Φ(s)ds, (12)
запишемо (10) у виглядi
δ(t) = Y (t)µ. (13)
Вiдхил (9) iз урахуванням (4), (5), (13), позначення (Bz)(t) = (Az)(t) − (Lz)(t) та виразу
(6) запишемо таким чином:
ε(t) = f(t) + C(t)λ̃+ C(t)β +
b∫
a
H(t, s)(Mx̃)(s)ds+
b∫
a
H(t, s)(MY )(s)ds · µ+
+(Bx̃)(t)− (Ax̃)(t) + (BY )(t)µ− (AY )(t)µ =
= ε̃(t) + C(t)β +
b∫
a
H(t, s)(MY )(s)ds · µ+ (BY )(t)µ− C(t)β − Φ(t)µ,
або
ε(t) = ε̃(t) +
b∫
a
H(t, s)(MY )(s)ds+ (BY )(t)− Φ(t)
µ, (14)
де
ε̃(t) = f(t) + C(t)λ̃+
b∫
a
H(t, s)(Mx̃)(s)ds+ (Bx̃)(t)− (Ax̃)(t). (15)
Для визначення невiдомого параметра µ скористаємось умовою (8) та формулами
(14), (12), за якими отримаємо
b∫
a
Ψ(t)
Φ(t)−
b∫
a
K(t, s)Φ(s)ds
µdt =
b∫
a
Ψ(t)ε̃(t)dt, (16)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
ПРОЕКЦIЙНИЙ МЕТОД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 211
де
K(t, s) = (BG)(t, s) +
b∫
a
H(t, ξ)(MG)(ξ, s)dξ. (17)
Ввiвши позначення
Λ =
b∫
a
Ψ(t)
Φ(t)−
b∫
a
K(t, s)Φ(s)ds
dt, (18)
систему алгебраїчних рiвнянь (16) можемо записати у виглядi
Λµ =
b∫
a
Ψ(t)ε̃(t)dt. (19)
Припустимо, що матриця Λ є невиродженою. Тодi, розв’язавши систему (19) i пiдста-
вивши отриманий розв’язок у вирази (11), (13), визначимо шукане наближення (4), (5).
3. Обґрунтування методу. Встановимо, що за умови, коли наближення (x̃(t), λ̃) визна-
чається iз задачi
(Ax̃)(t) = C(t)λ̃+ ỹ(t), (20)
U(x̃) = γ,
b∫
a
S(t)x̃(t)dt = α, (21)
в якiй ỹ ∈ L2[a, b] — задана функцiя, проекцiйний метод (4) – (9) зводиться до проекцiй-
ного методу для iнтегрального рiвняння.
Справдi, як показано в статтi [5], задача (1) – (3) зводиться до iнтегрального рiвняння
вигляду
y(t) = g(t) +
b∫
a
K(t, s)y(s)ds, (22)
де K(t, s) має вигляд (17), а
g(t) = f(t) + (Bh)(t) +
b∫
a
H(t, s)(Mh)(s)ds. (23)
В цiй же статтi за умови, накладеної на оператор A, також встановлено, що задача (20),
(21) має єдиний розв’язок, який зображується таким чином:
x̃(t) = h(t) +
b∫
a
G(t, s)ỹ(s)ds, (24)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
212 А. Ю. ЛУЧКА, О. Б. НЕСТЕРЕНКО
λ̃ = σ +
b∫
a
P (s)ỹ(s)ds. (25)
Використовуючи формули (4), (10), (24), маємо
z(t) = h(t) +
b∫
a
G(t, s)(ỹ(s) + Φ(s)µ)ds. (26)
Якщо ввести позначення
v(t) = ỹ(t) + Φ(t)µ, (27)
то вираз (26) можна записати у виглядi
z(t) = h(t) +
b∫
a
G(t, s)v(s)ds. (28)
Скориставшись формулами (4), (20), (6), (5), отримаємо
(Az)(t) = (Ax̃)(t) + (Aδ)(t) = C(t)λ̃+ ỹ(t) + C(t)β + Φ(t)µ = C(t)λ+ ỹ(t) + Φ(t)µ. (29)
За допомогою виразiв (9) та (29) вiдхил легко записати у виглядi
ε(t) = f(t) + C(t)λ+
b∫
a
H(t, s)(Mz)(s) ds+ (Bz)(t)− (Az)(t) =
= f(t) +
b∫
a
H(t, s)(Mz)(s)ds+ (Bz)(t)− ỹ(t)− Φ(t)µ. (30)
Пiдставивши (28) у вираз (30), отримаємо
ε(t) = f(t) +
b∫
a
H(t, s)(Mh)(s) ds+
b∫
a
H(t, ξ)(MG)(ξ, s)v(s) dsdξ+
+(Bh)(t) +
b∫
a
(BG)(t, s)v(s) ds− v(t),
або, взявши до уваги формулу (17),
ε(t) = g(t) +
b∫
a
K(t, s)v(s)ds− v(t). (31)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
ПРОЕКЦIЙНИЙ МЕТОД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 213
Неважко помiтити, що формули (27), (8), (31) визначають суть проекцiйного методу
для iнтегрального рiвняння (22).
Таким чином, метод (4) – (9) розв’язування задачi (1) – (3) зводиться до проекцiйного
методу для iнтегрального рiвняння (22) з ядром (17) i вiльним членом (23), умови збiж-
ностi якого широко вiдомi в лiтературi.
4. Обчислювальна схема. Виконувати обчислення при побудовi наближених розв’яз-
кiв безпосередньо за формулами (4) – (9) iнколи незручно, а тому доцiльно розробляти
зручнi обчислювальнi схеми. Наведемо одну з них, згiдно з якою послiдовно виконуємо
наступнi операцiї:
1. Задаємо оператор (Ax)(t), функцiю ỹ(t), (1 × n)-матрицю Φ(t) та (n × 1)-матрицю
Ψ(t), елементи яких ϕj(t), j = 1, n, та ψi(t), i = 1, n, — лiнiйно незалежнi функцiї, i
знаходимо (Bx)(t) = (Ax)(t)− (Lx)(t).
2. Визначаємо елементи (1×n)-матрицi Y (t) =
(
η1(t) . . . ηn(t)
)
i вектори σj ∈ Rl,
якi є стовпцями (l × n)-матрицi E, iз задач
(Aηj)(t) = C(t)σj + ϕj(t), U(ηj) = 0,
b∫
a
S(t)ηj(t)dt = 0, j = 1, n. (32)
3. Формуємо (1× n)-матрицю
Z(t) = (BY )(t) +
b∫
a
H(t, s)(MY )(s)ds,
елементи якої обчислюємо за формулами
ξj(t) = (Bηj)(t) +
b∫
a
H(t, s)(Mηj)(s)ds, j = 1, n. (33)
4. Iз урахуванням виразiв (18), (12), (17) знаходимо (n× n)-матрицю
Λ =
b∫
a
Ψ(t)(Φ(t)− Z(t))dt,
елементи якої виражаються формулами
Λij =
b∫
a
ψi(t)(ϕj(t)− ξj(t))dt, i, j = 1, n. (34)
5. Визначаємо початкове наближення (x̃(t), λ̃) iз допомiжної задачi
(Ax̃)(t) = C(t)λ̃+ ỹ(t), U(x̃) = γ,
b∫
a
S(t)x̃(t)dt = α, (35)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
214 А. Ю. ЛУЧКА, О. Б. НЕСТЕРЕНКО
для розв’язку якої правильними є зображення (24), (25).
6. Обчислюємо вiдхил (15), який iз урахуванням спiввiдношення (35) набирає вигляду
ε̃(t) = f(t) + (Bx̃)(t) +
b∫
a
H(t, s)(Mx̃)(s)ds− ỹ(t), (36)
i компоненти вектора d ∈ Rn :
di =
b∫
a
ψi(t)ε̃(t)dt, i, j = 1, n. (37)
7. Складаємо систему лiнiйних алгебраїчних рiвнянь
Λµ = d, (38)
i знаходимо її розв’язок µ ∈ Rn.
8. Визначаємо шукане наближення за формулами
z(t) = x̃(t) + Y (t)µ, λ = λ̃+ Eµ. (39)
Якщо виконати простi перетворення, легко впевнитись в тому, що запропонована об-
числювальна схема (32) – (39) рiвносильна методовi (4) – (9).
Приклад. Застосуємо обчислювальну схему до задачi
x′′(t) + 10
√
tx(t) = 3λ+ 10t3 + 5
1∫
0
(3
√
ts− 2)x(s) ds, (40)
x(0) = 1, x(1) = 2,
1∫
0
(7− 9t)x(t)dt = 2, 5. (41)
Побудуємо наближений розв’язок при n = 3 i
ϕj(t) = ajt
j−1, ψj(t) = bjt
j−1, j = 1, 2, 3, (Ax)(t) = x′′(t), ỹ(t) = 0. (42)
Згiдно зi схемою, насамперед слiд знайти розв’язки задач
η′′j (t) = 3σj + ajt
j−1, ηj(0) = 0, ηj(1) = 0,
1∫
0
(7− 9t)ηj(t)dt = 0, j = 1, 2, 3.
Виконавши нескладнi обчислення i взявши з метою компактного запису формул a1 = 3,
a2 = 3, 78, a3 = 4, 62, отримаємо
η1(t) = 0, η2(t) = 0, 0252(25t3 − 33t2 + 8t), η3(t) = 0, 0154(25t4 − 36t2 + 11t), (43)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
ПРОЕКЦIЙНИЙ МЕТОД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 215
σ1 = −1, σ2 = −0, 5544, σ3 = −0, 3696. (44)
Пiсля цього, врахувавши формули (33) та (40), знайдемо функцiї
ξj(t) = 5
1∫
0
(3
√
ts− 2)ηj(s)ds− 10
√
tηj(t), j = 1, 2, 3,
або, виконавши обчислення iз урахуванням даних (43),
ξ1(t) = 0, ξ2(t) = 0, 189− (0, 2544 + 2, 016t− 8, 316t2 + 6, 3t3)
√
t,
(45)
ξ3(t) = 0, 231− (0, 3096 + 1, 694t− 5, 544t2 + 3, 85t4)
√
t.
Елементи матрицi Λ обчислюємо за формулами (34). Якщо у другому виразi (42) по-
класти b1 = 1, b2 = 5, 005, b3 = 9, 009 i врахувати ще функцiї (45), то будемо мати
Λ =
3 1, 701 1, 309
7, 5075 5, 7092763 5, 0432767
9, 009 7, 7469876 7, 3624694
, (46)
причому всi елементи матрицi є точними.
Тепер визначаємо початкове наближення iз задачi
x̃′′(t) = 3λ̃, x̃(0) = 1, x̃(1) = 2,
1∫
0
(7− 9t)x̃(t)dt = 2, 5,
яка має єдиний розв’язок
x̃(t) = 1− 0, 2t+ 1, 2t2, λ̃ = 0, 8. (47)
Знаходимо, згiдно з формулами (36) та (40), вiдхил
ε̃(t) = 3λ̃+ 10t3 + 5
1∫
0
(3
√
ts− 2)x̃(s)ds− 10
√
tx̃(t)− x̃′′(t)
i, збiльшивши його в сiм разiв та врахувавши данi (47), пiсля обчислень отримаємо
7ε̃(t) = 70t3 − 91 + (27, 6 + 0, 4t− 2, 4t2)
√
t, (48)
а на основi формул (37) та (48) маємо
d1 = −10, 5, d2 = −25, 1155667, d3 = −29, 5270857. (49)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
216 А. Ю. ЛУЧКА, О. Б. НЕСТЕРЕНКО
Складаємо систему лiнiйних алгебраїчних рiвнянь (38), у якiй матриця системи та пра-
ва частина мають вигляд (46) та (49), i знаходимо її розв’язок з точнiстю 10−7 :
µ1 = −4, 0730526, µ2 = 1, 3747053, µ3 = −0, 4730451. (50)
Таким чином, використавши формули (39), (43), (44) та (50), отримаємо шукане на-
ближення
z(t) = x̃(t) + µ2η2(t) + µ3η3(t), λ = λ̃+ σ1µ1 + σ2µ2 + σ3µ3,
або, зробивши нескладнi операцiї,
z(t) = 1− 0, 0029931t+ 0, 3190506t2 + 0, 8660650t3 − 0, 1821225t4; λ = 4, 2857532. (51)
Вiдхилення початкового (47) i отриманого (51) наближень вiд точного розв’язку зада-
чi (40), (41)
x∗(t) = 1 + t2
√
t, λ∗ = 4, (285714)
наведено в таблицi.
t x∗(t) x̃(t) z(t) x∗(t)− x̃(t) x∗(t)− z(t)
0,2 1,0178885 1,008 1,0188005 0,0098885 −0,0009122
0,4 1,1011928 1,112 1,1006166 −0,0108072 0,0005762
0,6 1,2788548 1,312 1,2765293 −0,0331452 0,0023255
0,8 1,5724334 1,608 1,5706257 −0,0355666 0,0018077
1 2 2 2 0 0
λ 4,(285714) 0,8 4,2857532 3,4857140 −0,0000130
1. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф., Самойленко А. М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы крае-
вые задачи. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. — 319 с.
2. Лучка А. Ю. Методи дослiдження систем диференцiальних рiвнянь з обмеженнями // Диференцiальнi
рiвняння i нелiнiйнi коливання: Пр. Укр. мат. конгресу. — Київ: Iн-т математики НАН України, 2001.
— С. 43 – 59.
3. Лучка А. Ю. Интегральные уравнения с ограничениями и методы их решения // Кибернетика и систем.
анализ. — 1996. — № 3. — С. 82 – 96.
4. Лучка А. Ю. Парнi системи функцiонально-диференцiальних рiвнянь з обмеженнями i методи їх розв’я-
зання // Нелiнiйнi коливання. — 2007. — 10, № 1. — С. 113 – 125.
5. Нестеренко О. Б. Iтерацiйний метод розв’язування iнтегро-диференцiальних рiвнянь з обмеженнями
// Там же. — № 3. — С. 336 – 347.
Одержано 06.12.07
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178575 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:32:08Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лучка, А.Ю. Нестеренко, О.Б. 2021-02-27T17:38:10Z 2021-02-27T17:38:10Z 2008 Проекційний метод розв'язування інтегро-диференціальних рівнянь з обмеженнями і керуванням / А.Ю. Лучка, О.Б. Нестеренко // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 2. — С. 208-216. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178575 517.968.7 Рассмотрено применение проекционного метода к краевой задаче для интегро-дифференциальных уравнений с ограничениями и управлением и предложена вычислительная схема метода. We consider an application of the projection method to the boundary-value problem for integro-differential equations with restrictions and control, and propose a calculation scheme for the method. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Проекційний метод розв'язування інтегро-диференціальних рівнянь з обмеженнями і керуванням Проекционный метод решения интегро-дифференциальных уравнений с ограничениями и управлением A projection method for solving integro-differential equations with restrictions and control Article published earlier |
| spellingShingle | Проекційний метод розв'язування інтегро-диференціальних рівнянь з обмеженнями і керуванням Лучка, А.Ю. Нестеренко, О.Б. |
| title | Проекційний метод розв'язування інтегро-диференціальних рівнянь з обмеженнями і керуванням |
| title_alt | Проекционный метод решения интегро-дифференциальных уравнений с ограничениями и управлением A projection method for solving integro-differential equations with restrictions and control |
| title_full | Проекційний метод розв'язування інтегро-диференціальних рівнянь з обмеженнями і керуванням |
| title_fullStr | Проекційний метод розв'язування інтегро-диференціальних рівнянь з обмеженнями і керуванням |
| title_full_unstemmed | Проекційний метод розв'язування інтегро-диференціальних рівнянь з обмеженнями і керуванням |
| title_short | Проекційний метод розв'язування інтегро-диференціальних рівнянь з обмеженнями і керуванням |
| title_sort | проекційний метод розв'язування інтегро-диференціальних рівнянь з обмеженнями і керуванням |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178575 |
| work_keys_str_mv | AT lučkaaû proekcíiniimetodrozvâzuvannâíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹzobmežennâmiíkeruvannâm AT nesterenkoob proekcíiniimetodrozvâzuvannâíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹzobmežennâmiíkeruvannâm AT lučkaaû proekcionnyimetodrešeniâintegrodifferencialʹnyhuravneniisograničeniâmiiupravleniem AT nesterenkoob proekcionnyimetodrešeniâintegrodifferencialʹnyhuravneniisograničeniâmiiupravleniem AT lučkaaû aprojectionmethodforsolvingintegrodifferentialequationswithrestrictionsandcontrol AT nesterenkoob aprojectionmethodforsolvingintegrodifferentialequationswithrestrictionsandcontrol |