Представление решения задачи Коши для колебательной системы с чистым запаздыванием

Представление решения задачи Коши для колебательной системы с чистым запаздыванием

Отримано зображення розв’язку задачi Кошi для лiнiйного неоднорiдного диференцiального рiвняння зi сталими коефiцiєнтами з чистим запiзненням. При цьому використано спецiальнi матричнi функцiї, що названi матричними запiзнiлими синусом та косинусом. Вони мають вигляд матричних полiномiв степеня, з...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:Нелінійні коливання
Datum:2008
Hauptverfasser: Хусаинов, Д.Я., Diblík, J., Ružičková, M., Lukáčová, J.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут математики НАН України 2008
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178580
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Представление решения задачи Коши для колебательной системы с чистым запаздыванием / Д.Я. Хусаинов, J. Diblík, M. Ružičková, J. Lukáčová // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 2. — С. 261-270. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178580
record_format dspace
spelling Хусаинов, Д.Я.
Diblík, J.
Ružičková, M.
Lukáčová, J.
2021-02-27T17:38:51Z
2021-02-27T17:38:51Z
2008
Представление решения задачи Коши для колебательной системы с чистым запаздыванием / Д.Я. Хусаинов, J. Diblík, M. Ružičková, J. Lukáčová // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 2. — С. 261-270. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
1562-3076
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178580
517.929
Отримано зображення розв’язку задачi Кошi для лiнiйного неоднорiдного диференцiального рiвняння зi сталими коефiцiєнтами з чистим запiзненням. При цьому використано спецiальнi матричнi функцiї, що названi матричними запiзнiлими синусом та косинусом. Вони мають вигляд матричних полiномiв степеня, залежного вiд запiзнення.
We obtain a representation of a solution for the Cauchy problem for a linear inhomogeneous differential equation with constant coefficients and pure delay. To find the relations, we use special matrix-valued functions, called a matrix-valued sine delay, and a matrix-valued cosine delay. They have the form of matrix-valued polynomials of the degree dependent on the value of the delay.
Поддержан Словацко-Украинским проектом № SK-UA-0028-07. Поддержаны Словацко-Украинским проектом № SK-UA-0028-07 и грантом № 1/3238/06 Грантового агентства Словацкой Республики (VEGA). Поддержана грантом № 1/3238/06 Грантового агентства Словацкой Республики (VEGA).
ru
Інститут математики НАН України
Нелінійні коливання
Представление решения задачи Коши для колебательной системы с чистым запаздыванием
Подання розв'язку задачі Коші для коливної системи с чистим запізненням
A representation of a solution of the Cauchy problem for an oscillation system wit pure delay
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Представление решения задачи Коши для колебательной системы с чистым запаздыванием
spellingShingle Представление решения задачи Коши для колебательной системы с чистым запаздыванием
Хусаинов, Д.Я.
Diblík, J.
Ružičková, M.
Lukáčová, J.
title_short Представление решения задачи Коши для колебательной системы с чистым запаздыванием
title_full Представление решения задачи Коши для колебательной системы с чистым запаздыванием
title_fullStr Представление решения задачи Коши для колебательной системы с чистым запаздыванием
title_full_unstemmed Представление решения задачи Коши для колебательной системы с чистым запаздыванием
title_sort представление решения задачи коши для колебательной системы с чистым запаздыванием
author Хусаинов, Д.Я.
Diblík, J.
Ružičková, M.
Lukáčová, J.
author_facet Хусаинов, Д.Я.
Diblík, J.
Ružičková, M.
Lukáčová, J.
publishDate 2008
language Russian
container_title Нелінійні коливання
publisher Інститут математики НАН України
format Article
title_alt Подання розв'язку задачі Коші для коливної системи с чистим запізненням
A representation of a solution of the Cauchy problem for an oscillation system wit pure delay
description Отримано зображення розв’язку задачi Кошi для лiнiйного неоднорiдного диференцiального рiвняння зi сталими коефiцiєнтами з чистим запiзненням. При цьому використано спецiальнi матричнi функцiї, що названi матричними запiзнiлими синусом та косинусом. Вони мають вигляд матричних полiномiв степеня, залежного вiд запiзнення. We obtain a representation of a solution for the Cauchy problem for a linear inhomogeneous differential equation with constant coefficients and pure delay. To find the relations, we use special matrix-valued functions, called a matrix-valued sine delay, and a matrix-valued cosine delay. They have the form of matrix-valued polynomials of the degree dependent on the value of the delay.
issn 1562-3076
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178580
citation_txt Представление решения задачи Коши для колебательной системы с чистым запаздыванием / Д.Я. Хусаинов, J. Diblík, M. Ružičková, J. Lukáčová // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 2. — С. 261-270. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT husainovdâ predstavlenierešeniâzadačikošidlâkolebatelʹnoisistemysčistymzapazdyvaniem
AT diblikj predstavlenierešeniâzadačikošidlâkolebatelʹnoisistemysčistymzapazdyvaniem
AT ruzickovam predstavlenierešeniâzadačikošidlâkolebatelʹnoisistemysčistymzapazdyvaniem
AT lukacovaj predstavlenierešeniâzadačikošidlâkolebatelʹnoisistemysčistymzapazdyvaniem
AT husainovdâ podannârozvâzkuzadačíkošídlâkolivnoísistemisčistimzapíznennâm
AT diblikj podannârozvâzkuzadačíkošídlâkolivnoísistemisčistimzapíznennâm
AT ruzickovam podannârozvâzkuzadačíkošídlâkolivnoísistemisčistimzapíznennâm
AT lukacovaj podannârozvâzkuzadačíkošídlâkolivnoísistemisčistimzapíznennâm
AT husainovdâ arepresentationofasolutionofthecauchyproblemforanoscillationsystemwitpuredelay
AT diblikj arepresentationofasolutionofthecauchyproblemforanoscillationsystemwitpuredelay
AT ruzickovam arepresentationofasolutionofthecauchyproblemforanoscillationsystemwitpuredelay
AT lukacovaj arepresentationofasolutionofthecauchyproblemforanoscillationsystemwitpuredelay
first_indexed 2025-11-26T13:31:21Z
last_indexed 2025-11-26T13:31:21Z
_version_ 1850623097383682048
fulltext УДК 517 . 929 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ С ЧИСТЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ Д. Я. Хусаинов* Киев. нац. ун-т им. Т. Шевченко Украина, 01033, Киев, ул. Владимирская, 64 Й. Диблик**, М. Ружичкова**, Я. Лукачева*** Žilina Univ. Hurbanova 15, Žilina, 01026, Slovak Republic e-mail: josef.diblik@fpv.utc.sk miroslava.ruzickova@fpv.uniza.sk jana.lukacova@fpv.uniza.sk We obtain a representation of a solution for the Cauchy problem for a linear inhomogeneous differential equation with constant coefficients and pure delay. To find the relations, we use special matrix-valued functions, called a matrix-valued sine delay, and a matrix-valued cosine delay. They have the form of matrix-valued polynomials of the degree dependent on the value of the delay. Отримано зображення розв’язку задачi Кошi для лiнiйного неоднорiдного диференцiального рiвняння зi сталими коефiцiєнтами з чистим запiзненням. При цьому використано спецiаль- нi матричнi функцiї, що названi матричними запiзнiлими синусом та косинусом. Вони мають вигляд матричних полiномiв степеня, залежного вiд запiзнення. Введение. Многие процессы в механических и технических системах описываются диф- ференциальными уравнениями второго порядка [1 – 4]. При использовании этих моделей в биологии и динамике популяций возникает необходимость введения эффекта после- действия. Дифференциальные уравнения с запаздыванием более адекватно описывают эти процессы [5]. Поэтому возникла необходимость изучения систем уравнений второго порядка с запаздыванием [6, 7]. В ряде работ для уравнений такого типа решалась кра- евая задача [8, 9]. В настоящей статье получено представление задачи Коши для линей- ного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами с чистым запаздыванием. Для получения зависимостей используются специальные мат- ричные функции, названные матричными запаздывающими синусом и косинусом. Они имеют вид матричных полиномов степени, зависящей от величины запаздывания. Полу- ченная зависимость достаточно удобна для решения задач управления. Основные результаты. Как известно, решение линейного однородного дифференци- ального уравнения ẍ(t) + ω2x(t) = 0, t ≥ 0, x(0) = x0, x′(0) = x′0, ∗ Поддержан Словацко-Украинским проектом № SK-UA-0028-07. ∗∗ Поддержаны Словацко-Украинским проектом № SK-UA-0028-07 и грантом № 1/3238/06 Грантового агентства Словацкой Республики (VEGA). ∗∗∗ Поддержана грантом № 1/3238/06 Грантового агентства Словацкой Республики (VEGA). c© Д. Я. Хусаинов, Й. Диблик, М. Ружичкова, Я. Лукачева, 2008 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11 , N◦ 2 261 262 Д. Я. ХУСАИНОВ, Й. ДИБЛИК, М. РУЖИЧКОВА, Я. ЛУКАЧЕВА имеет вид x(t) = x0 cos ωt + x′0 ω sin ωt, где функции sin ωt, cos ωt могут быть представлены в виде рядов sin ωt = ω t 1! − ω3 t3 3! + . . . + (−1)kω2k+1 t2k+1 (2k + 1)! + . . . , cos ωt = 1− ω2 t2 2! + . . . + (−1)kω2k t2k (2k)! + . . . . В работе [10] были рассмотрены системы дифференциальных уравнений ẍ(t) + Ω2x(t) = 0, x ∈ Rn, t ≥ 0, x(0) = x0, x′(0) = x′0. Было показано, что решение задачи Коши для систем такого вида можно записать в ана- логичной форме с использованием матричных функций (названных матричными коси- нусом и синусом), которые представляли собой формальные матричные ряды Sin Ωt = Ω t 1! − Ω3 t3 3! + . . . + (−1)kΩ2k+1 t2k+1 (2k + 1)! + . . . , Cos Ωt = 1− Ω2 t2 2! + . . . + (−1)kΩ2k t2k (2k)! + . . . . Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с чистым запаздыванием ẍ(t) + Ω2x(t− τ) = 0, x ∈ Rn, t ≥ 0, τ > 0, x(t) ≡ ϕ(t), −τ ≤ t ≤ 0, (1) где ϕ(t) — произвольная дважды непрерывно дифференцируемая векторная функция, определяющая начальные условия. Покажем, что решение задачи Коши для системы с чистым запаздыванием (1) может быть записано в аналогичном интегральном виде с использованием матричных функций, похожих на матричные синус и косинус [11]. Предварительно рассмотрим матричное дифференциальное уравнение Ẍ(t) + Ω2X(t− τ) = 0 (2) и исследуем свойства его решений. Определение 1. Запаздывающим матричным косинусом назовем матричную функ- цию, имеющую вид Cosτ Ωt :=  Θ, −∞ < t < −τ, I, −τ ≤ t < 0, I − Ω2 t2 2! , 0 ≤ t < τ, . . . . . . I − Ω2 t2 2! + Ω4 (t− τ)4 4! + . . . + (−1)kΩ2k [t− (k − 1)τ ]2k (2k)! , (k − 1)τ ≤ t < kτ, (3) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ . . . 263 полинома степени 2k на промежутках (k − 1)τ ≤ t < kτ, склеенного в узлах t = kτ, k = 0, 1, 2 . . . , I — единичная, Θ — нулевая матрицы. Определение 2. Запаздывающим матричным синусом назовем матричную функцию, имеющую вид Sinτ Ωt :=  Θ, −∞ < t < −τ, Ω(t + τ), −τ ≤ t < 0, Ω(t + τ)− Ω3 t3 3! , 0 ≤ t < τ, . . . . . . Ω(t + τ)− Ω3 t3 3! + . . . + (−1)kΩ2k+1 [t− (k − 1)τ ]2k+1 (2k + 1)! , (k − 1)τ ≤ t < kτ, (4) полинома степени 2k + 1 на промежутках (k − 1)τ ≤ t < kτ, склеенного в узлах t = kτ, k = 0, 1, 2, . . . . Приведем ряд утверждений, которые характеризуют свойства функций Sinτ Ωt, Cosτ Ωt. Лемма 1. Для матричного косинуса справедливо следующее правило дифференциро- вания: d dt Cosτ Ωt = −Ω Sinτ Ω(t− τ), d2 dt2 Cosτ Ωt = −Ω2 Cosτ Ω(t− τ), (5) т. е. запаздывающий косинус является решением линейного матричного дифференци- ального уравнения второго порядка с чистым запаздыванием (2), удовлетворяющим единичному начальному условию X(t) ≡ I, −τ ≤ t ≤ 0. Доказательство. Пусть величины Ω и τ фиксированы. Для произвольного момента времени t, (k − 1)τ ≤ t < kτ, выполняется соотношение d2 dt2 Cosτ Ωt = d2 dt2 [ I − Ω2 t2 2! + Ω4 (t− τ)4 4! + . . . + (−1)k Ω2k [t− (k − 1) τ ]2k (2k)! ] . Последовательно дифференцируя выражение в скобках, получаем d2 dt2 Cosτ Ωt = d dt [ −Ω2 t 1! + Ω4 (t− τ)3 3! + . . . + (−1)k Ω2k [t− (k − 1)τ ]2k−1 (2k − 1)! ] = = −Ω2 + Ω4 (t− τ)2 2! + . . . + (−1)kΩ2k [t− (k − 1)τ ]2k−2 (2k − 2)! , или d2 dt2 Cosτ Ωt = −Ω2 [ I − Ω2 (t− τ)2 2! + . . . + (−1)k−1Ω2(k−1) [(t− τ)− ((k − 1)− 1)τ ]2(k−1) (2(k − 1))! ] = = −Ω2 Cosτ Ω (t− τ), что и необходимо было доказать. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2 264 Д. Я. ХУСАИНОВ, Й. ДИБЛИК, М. РУЖИЧКОВА, Я. ЛУКАЧЕВА Лемма 2. Для матричного синуса справедливо следующее правило дифференцирова- ния: d dt Sinτ Ωt = Ω Cosτ Ωt, d2 dt2 Sinτ Ωt = −Ω2 Sinτ Ω (t− τ), (6) т. е. запаздывающий синус является решением матричного дифференциального урав- нения с чистым запаздыванием (2), удовлетворяющим начальному условию X(t) ≡ ≡ Ω(t + τ), −τ ≤ t ≤ 0. Доказательство. Пусть величины Ω и τ фиксированы. Тогда для произвольного мо- мента времени t, (k − 1)τ ≤ t < kτ, выполняется соотношение d2 dt2 Sinτ Ωt = d2 dt2 [ Ω (t + τ)− Ω3 t3 3! + Ω5 (t− τ)5 5! + . . . + (−1)k Ω2k+1 [t− (k − 1) τ ]2k+1 (2k + 1)! ] . Дифференцируя выражение в скобках, получаем d2 dt2 Sinτ Ωt = d dt [ Ω− Ω3 t2 2! + Ω5 (t− τ)4 4! + . . . + (−1)k Ω2k+1 [t− (k − 1)τ ]2k (2k)! ] = = −Ω3 t 1! + Ω5 (t− τ)3 3! + . . . + (−1)k Ω2k+1 [t− (k − 1)τ ]2k−1 (2k − 1)! , или d2 dt2 Sinτ Ωt = = −Ω2 [ Ω[(t− τ) + τ ]− Ω3 (t− τ)3 3! + . . . + (−1)(k−1)Ω2(k−1)+1 [(t− τ)− (k − 2)τ ]2(k−1)+1 [2(k − 1) + 1]! ] = = −Ω2 Sinτ Ω(t− τ), что и необходимо было доказать. Лемма 3. Если матрица Ω не особая, то для запаздывающего матричного косинуса справедливо правило интегрирования t∫ 0 Cosτ Ωξdξ = Ω−1 {Sinτ Ωt− Sinτ (Ω • 0)} , (7) где Sinτ (Ω • 0) = SinτΩt|t=0 . Доказательство. Пусть Ω и τ — фиксированные величины. Тогда для произвольного ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ . . . 265 момента времени t, (k − 1)τ ≤ t < kτ, выполняется следующее: t∫ 0 Cosτ Ωξdξ = τ∫ 0 [ I − Ω2 ξ2 2! ] dξ + 2τ∫ τ [ I − Ω2 ξ2 2! + Ω4 (ξ − τ)4 4! ] dξ + . . . . . . + (k−1)τ∫ (k−2)τ [ I − Ω2 ξ2 2! + Ω4 (ξ − τ)4 4! + . . . + (−1)k−1Ω2(k−1) [ξ − (k − 2)τ ]2(k−1) (2(k − 1))! ] dξ+ + t∫ (k−1)τ [ I − Ω2 ξ2 2! + Ω4 (ξ − τ)4 4! + . . . + (−1)k Ω2k [ξ − (k − 1)τ ]2k (2k)! ] dξ. Интегрируя каждый из членов, получаем t∫ 0 Cosτ aξdξ = [ Iξ − Ω2 ξ3 3! ]ξ=τ ξ=0 + [ Iξ − Ω2 ξ 3! + Ω4 (ξ − τ)5 5! ]ξ=2τ ξ=τ + . . . . . . + [ Iξ − Ω2 ξ3 3! + Ω4 (ξ − τ)5 5! + . . . + (−1)k−1Ω2(k−1) [ξ − (k − 2)τ ]2(k−1)+1 [2(k − 1) + 1]! ]ξ=(k−1)τ ξ=(k−2)τ + + [ Iξ − Ω2 ξ3 3! + Ω4 (ξ − τ)5 5! + . . . + (−1)k Ω2k [ξ − (k − 1)τ ]2k+1 (2k + 1)! ]ξ=t ξ=(k−1)τ . Выполняя соответствующие преобразования, имеем t∫ 0 Cosτ Ωξdξ = = Ω−1 { Ω(t + τ)− Ω3 t3 3! + Ω5 (t− τ)5 5! − . . . + (−1)kΩ2k+1 [t− (k − 1)τ ]2k+1 (2k + 1)! − Ωτ } = = Ω−1 {Sinτ Ωt− Sinτ (Ω • 0)} , т. е. получаем зависимость (7). Лемма 4. Если матрица Ω не особая, то для запаздывающего синуса справедливо правило интегрирования t∫ 0 Sinτaξdξ = −Ω−1 {Cosτ Ω(t + τ)− CosτΩ(0 + τ)} , (8) где Cosτ Ω(0 + τ) = Cosτ Ω(t + τ)|t=0. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2 266 Д. Я. ХУСАИНОВ, Й. ДИБЛИК, М. РУЖИЧКОВА, Я. ЛУКАЧЕВА Доказательство. Пусть Ω и τ — фиксированные величины. Тогда для произвольного момента времени t, (k − 1)τ ≤ t < kτ, выполняется следующее: t∫ 0 SinτΩξdξ = τ∫ 0 [ Ω(ξ + τ)− Ω3 ξ3 3! ] dξ + 2τ∫ τ [ Ω(ξ + τ)− Ω3 ξ3 3! + Ω5 (ξ − τ)5 5! ] dξ + . . . . . . + (k−1)τ∫ (k−2)τ [ Ω(ξ + τ)− Ω3 ξ3 3! + Ω5 (ξ − τ)5 5! + . . . + (−1)k−1Ω2(k−1)+1 [ξ − (k − 2)τ ]2(k−1)+1 [2(k − 1) + 1]! ] dξ+ + t∫ (k−1)τ [ Ω(ξ + τ)− Ω3 ξ3 3! + Ω5 (ξ − τ)5 5! + . . . + (−1)kΩ2k+1 [ξ − (k − 2)τ ]2k+1 (2k + 1)! ] dξ. Вычисляя интеграл от каждого из членов, получаем t∫ 0 Sinτ Ωξdξ = [ Ω (ξ + τ)2 2! − Ω3 ξ4 4! ]ξ=τ ξ=0 + [ Ω (ξ + τ)2 2! − Ω3 ξ4 4! + Ω5 (ξ − τ)6 6! ]ξ=2τ ξ=τ + . . . . . . + [ Ω (ξ + τ)2 2! − Ω3 ξ4 4! + Ω5 (ξ − τ)6 6! + . . . + (−1)k−1Ω2(k−1)+1 [ξ − (k − 2)τ ]2k (2k)! ]ξ=(k−1)τ ξ=(k−2)τ + + [ Ω (ξ + τ)2 2! − Ω3 ξ4 4! + Ω5 (ξ − τ)6 6! + . . . + (−1)kΩ2k+1 [ξ − (k − 1)τ ]2(k+1) (2(k + 1))! ]ξ=t ξ=(k−1)τ . Выполняя соответствующие преобразования, имеем t∫ 0 Sinτ Ωξdξ = = −Ω τ2 2! + Ω (t + τ)2 2! − Ω3 t4 4! + Ω5 (t− τ)6 6! + . . . + (−1)kΩ2k+1 [t− (k − 1)τ ]2(k+1) (2(k + 1))! . Пусть матрица Ω не особая. Тогда t∫ 0 Sinτ Ωξdξ = = −Ω−1 {[ I − Ω2 (t + τ)2 2! + Ω4 t4 4! − Ω6 (t− τ)6 6! + . . . + (−1)k+1Ω2(k+1) [(t + τ)− kτ ]2(k+1) (2(k + 1))! ] − − ( I − Ω2 τ2 2! )} = −Ω−1 {Cosτ Ω(t + τ)− Cosτ Ω(0 + τ)} , т. е. получаем зависимость (18). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ . . . 267 Лемма 5. Запаздывающий косинус cosτ Ωt, t > 0, является почти всюду бесконечное число раз непрерывно дифференцируемой функцией. В узлах t = kτ, k = 1, 2, . . . , прои- сходит разрыв (2k + 1)-й производной d2k+1 dt2k+1 Cosτ Ωt|t=kτ−0 = 0, d2k+1 dt2k+1 Cosτ Ωt|t=kτ+0 = (−1)k+1 Ω2k+3. (9) Утверждение леммы следует из вида зависимости (3). Аналогичным является следу- ющее утверждение. Лемма 6. Запаздывающий синус Sinτ Ωt, t > 0, является почти всюду бесконечное число раз непрерывно дифференцируемой функцией. В узлах t = kτ, k = 1, 2, . . . , про- исходит разрыв 2(k + 1)-й производной d2(k+1) dt2(k+1) Sinτ Ωt|t=kτ−0 = 0, d2(k+1) dt2(k+1) Sinτ Ωt|t=kτ+0 = (−1)k Ω2k+1. (10) Утверждение леммы следует из вида зависимости (4). Использовав приведенные леммы, рассмотрим возможность получения решения за- дачи Коши в компактном виде. Теорема 1. Пусть матрица Ω не особая. Тогда решение x(t) системы линейных одно- родных уравнений с чистым запаздыванием (2), удовлетворяющее начальному условию x(t) ≡ ϕ(t), x′(t) ≡ ϕ′(t), −τ ≤ t ≤ 0, где ϕ(t) — произвольная дважды непрерывно дифференцируемая векторная функция, имеет вид x(t) = (Cosτ Ωt) ϕ(−τ) + Ω−1 (Sinτ Ωt) ϕ̇(−τ) + 0∫ −τ Sinτ Ω(t− τ − ξ) ϕ̈(ξ) dξ  . (11) Доказательство. Решение системы (2), удовлетворяющее условию x(t) ≡ ϕ(t), −τ ≤ ≤ t ≤ 0, будем искать в виде x(t) = (Cosτ Ωt) c1 + (Sinτ Ωt) c2 + 0∫ −τ Sinτ Ω(t− τ − ξ) ÿ(ξ) dξ. (12) Здесь c1, c2 — неизвестные постоянные векторы, y(t) — неизвестная дважды непрерыв- но дифференцируемая векторная функция. Поскольку Cosτ Ωt, Sinτ Ωt — решения одно- родного матричного уравнения (3) с постоянными коэффициентами, при произвольных c1, c2 и произвольной векторной функции y(t) векторная функция (12) также будет реше- нием уравнения (2). Найдем постоянные c1, c2 и векторную функцию y(t) таким образом, чтобы выполнялись начальные условия x(t) ≡ ϕ(t), x′(t) ≡ ϕ′(t), −τ ≤ t ≤ 0, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2 268 Д. Я. ХУСАИНОВ, Й. ДИБЛИК, М. РУЖИЧКОВА, Я. ЛУКАЧЕВА т. е. при −τ ≤ t ≤ 0 имели место соотношения (Cosτ Ωt) c1 + (Sinτ Ωt) c2 + 0∫ −τ Sinτ Ω(t− τ − ξ) ÿ(ξ) dξ = ϕ(t), d dt (Cosτ Ωt) c1 + (Sinτ Ωt) c2 + 0∫ −τ Sinτ Ω(t− τ − ξ) ÿ(ξ) dξ  = ϕ′(t). Рассмотрим первое условие. Разделим интеграл на сумму двух интегралов, соответ- ствующих −τ ≤ t < 0 : (Cosτ Ωt) c1 + (Sinτ Ωt) c2 + t∫ −τ Sinτ Ω(t− τ − ξ) ÿ(ξ)dξ + 0∫ t Sinτ Ω(t− τ − ξ) ÿ(ξ) dξ = ϕ(t). Согласно введенным определениям, при произвольной векторной функции y(t) на промежутке −τ ≤ t ≤ 0 будет выполняться следующее: Cosτ Ωt = I, Sinτ Ωt = Ω(t + τ), 0∫ t Sinτ Ω(t− τ − ξ) ÿ(ξ) dξ ≡ 0. Проинтегрируем по частям: t∫ −τ SinτΩ(t− τ − ξ) ÿ(ξ) dξ = t∫ −τ SinτΩsÿ(t− τ − s) ds = t∫ −τ Ω(s + t)ÿ(t− τ − s) ds = = −Ω(s + τ)ẏ(t− τ − s) ∣∣∣t −τ + Ω t∫ −τ ẏ(t− τ − s) ds = −Ω(t + τ) ẏ(−τ)− Ω[y(−τ)− y(t)]. Таким образом, выполнение начальных условий приводит к равенству Ic1 + Ω(t + τ) c2 − Ω(t + τ) ẏ(−τ)− Ω[y(−τ)− y(t)] = ϕ(t), −τ ≤ t ≤ 0. Перепишем полученное равенство в виде I [c1 − Ω y(−τ)] + Ω [c2 − ẏ(−τ)] (t + τ) + [Ω y(t)− ϕ(t)] = 0. Пусть Ω — не особая матрица. Тогда полученное равенство будет выполняться, если выполняются следующие: y(t) = Ω−1ϕ(t), c1 = ϕ(−τ), c2 = Ω−1ϕ(−τ). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ . . . 269 Зависимость (12) принимает вид x(t) = (Cosτ Ωt) ϕ(−τ) + Ω−1 Sinτ Ωtϕ̇(−τ) + Ω−1 0∫ −τ Sinτ Ω(t− τ − s)ϕ̈(s) ds, что и требовалось доказать. Рассмотрим линейное неоднородное уравнение второго порядка с чистым запаздыва- нием ẍ(t) + Ω2x(t− τ) = f(t), x ∈ Rn, t ≥ 0, τ > 0, (13) и нулевыми начальными условиями x(t) ≡ 0, −τ ≤ t ≤ 0. Теорема 2. Пусть матрица Ω не особая. Тогда решение x0(t) неоднородного уравне- ния (13), удовлетворяющее нулевому начальному условию x(t) ≡ 0, −τ ≤ t ≤ 0, имеет вид x0(t) = Ω−1  t∫ 0 Sinτ Ω(t− τ − ξ) f(ξ) dξ  . (14) Доказательство. Решение неоднородного уравнения (13) ищем методом вариации про- извольной постоянной в виде x0(t) = t∫ 0 Sinτ Ω(t− τ − ξ) C(ξ) dξ, где C(ξ), 0 ≤ ξ ≤ t, — неизвестная функция. Дифференцируя функцию x0(t), получаем d dt x0(t) = Sinτ Ω(t− τ − ξ) C(ξ) ∣∣∣ ξ=t + t∫ 0 d dt [Sinτ Ω(t− τ − ξ)]C(ξ) dξ = = t∫ 0 d dt [Sinτ Ω(t− τ − ξ)] C(ξ) dξ, d2 dt2 x0(t) = d dt [Sinτ Ω(t− τ − ξ)] C(ξ) ∣∣∣ ξ=t − Ω2 t∫ 0 Sinτ Ω(t− 2τ − ξ) C(ξ) dξ = = Ω C(t)− Ω2 t∫ 0 Sinτ Ω(t− 2τ − ξ) C(ξ) dξ. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2 270 Д. Я. ХУСАИНОВ, Й. ДИБЛИК, М. РУЖИЧКОВА, Я. ЛУКАЧЕВА Подставляя полученное выражение в уравнение (13) и учитывая, что согласно определе- нию t∫ t−τ Sinτ Ω(t− 2τ − ξ) C(ξ) dξ = Θ, имеем Ω C(t)− Ω2 t∫ 0 Sinτ Ω(t− 2τ − ξ) C(ξ) dξ + Ω2  t∫ 0 Sinτ Ω(t− 2τ − ξ) C(ξ) dξ  = f(t). Отсюда находим C(t) = Ω−1 f(t) и, учитывая перестановочность матриц Ω−1 и Sin Ωt, получаем зависимость (14). 1. Тимошенко С. П., Янг Д. Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле. — М.: Машиностроение, 1985. — 472 с. 2. Булгаков Б. В. Колебания. — М.: Гостехтеориздат, 1954. — 892 с. 3. Бабаков И. М. Теория колебаний. — М.: Наука, 1968. — 559 с. 4. Кононенко В. О. Нелинейные колебания механических систем: Избр. тр. — Киев: Наук. думка, 1980. — 382 с. 5. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1984. — 420 с. 6. Митропольский Ю. А., Мартынюк Д. И. Лекции по теории колебаний систем с запаздыванием. — Киев: Ин-т математики АН УССР, 1969. — 309 c. 7. Митропольский Ю. А., Мартынюк Д. И. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием. — Киев: Вища шк., 1979. — 247 с. 8. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф., Самойленко А. М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы крае- вые задачи. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. — 320 с. 9. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary value problems. — Utrecht; Boston: VSP, 2004. — 317 p. 10. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1966. — 576 с. 11. Коварж И. В., Хусаинов Д. Я. Одномерное волновое уравнение с запаздыванием // Журн. обчислюв. та прикл. математики. — 2004. — № 2. — С. 99. Получено 10.10.07 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2

Ähnliche Einträge