О построении целевой функции производственной системы
The goal function of a manufacturing system with mass production output is constructed with the use of the variational principle. The equations for the central manufacturing trajectory are defined. Euler's equations for the central base product of the manufacturing system are given.
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1786 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О построении целевой функции производственной системы / О.М. Пигнастый // Доп. НАН України. — 2007. — N 5. — С. 50–55. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859831719818952704 |
|---|---|
| author | Пигнастый, О.М. |
| author_facet | Пигнастый, О.М. |
| citation_txt | О построении целевой функции производственной системы / О.М. Пигнастый // Доп. НАН України. — 2007. — N 5. — С. 50–55. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | The goal function of a manufacturing system with mass production output is constructed with the use of the variational principle. The equations for the central manufacturing trajectory are defined. Euler's equations for the central base product of the manufacturing system are given.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:32:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 658.51.012
© 2007
О.М. Пигнастый
О построении целевой функции производственной
системы
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины Н. А. Азаренковым)
The goal function of a manufacturing system with mass production output is constructed with
the use of the variational principle. The equations for the central manufacturing trajectory are
defined. Euler’s equations for the central base product of the manufacturing system are given.
Хорошо известно, что основные уравнения теории относительности [1], электродинамики,
аналитической механики [2], теории упругости, механики сплошной среды [3] получены
при помощи вариационного подхода. В современных физических теориях вариационный
принцип представляет собой рабочий и, по существу, единственный рациональный аппарат
исследования систем, позволяет объединить и синтезировать различные феноменологичес-
кие и статистические методы. Анализ публикаций показывает, что вариационный принцип
должен быть положен в основу построения не только физических [1–3], но и биологических,
социологических, экономических теорий [4, 5].
Функционирование современного производства может быть представлено в виде стохас-
тического процесса, в ходе которого производственная система переходит из одного состоя-
ния в другое. Состояние производственной системы определяется как состояние общего чи-
сла базовых продуктов [6]. Под базовым продуктом [7] понимается элемент производствен-
ной системы, на который при движении по операционной цепочке технологических карт
происходит перенос стоимости живого труда, сырья, материалов и орудий труда. Состояние
базового продукта в момент времени t может быть описано микроскопическими величина-
ми в технологическом пространстве (S, µ) [8], где Sj (грн) и µj = lim
∆t→0
(∆Sj/∆t) (грн/ч) —
соответственно сумма общих затрат и затрат в единицу времени, перенесенные производст-
венной системой на j-й базовый продукт, 0 < j 6 N . Микроскопические величины Sj
и µj определяют технологические траектории базовых продуктов Sj = Sj(t). В ходе про-
изводственного процесса базовый продукт должен изготавливаться строго в соответствии
с технологией производства, определяющей последовательность использования производст-
венных ресурсов при переходе от одной технологической операции к другой. Отклонение
от технологии производственного процесса недопустимо. Каждая m-я технологическая опе-
рация (m = 1, Nm) с межоперационным заделом Nψm ≫ 1 в соответствии с технологи-
ческим процессом характеризуется средним использованием производственных ресурсов
∆Sψm (грн), передаваемых от оборудования к базовому продукту со средней интенсив-
ностью kψm (грн/ч). Перенесенные в ходе технологической операции на базовый продукт
затраты ∆Sψm могут быть представлены в виде условно-переменных ∆SψVm (усредненных
на единицу продукции затрат прямой заработной платы, расхода сырья, топлива, электро-
энергии) и условно-постоянных ∆SψCm (усредненных на единицу времени затрат амор-
тизации оборудования, арендной платы, заработанной платы обслуживающего персонала,
расходов, связанных с управлением и организацией производства) затрат [11]:
∆Sψm = ∆SψVm + ∆SψCm. (1)
50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №5
Деление затрат является условным и определяется особенностями технологии про-
изводства. Средняя интенсивность переноса условно-переменных затрат kψV m (грн/ч)
и среднее операционное время τψOm для m-й технологической операции задаются характе-
ристиками оборудования, а средняя интенсивность переноса условно-постоянных затрат
kψCm (грн/ч) и среднее межоперационное время τψCm — утвержденным на предприятии
порядком разнесения затрат. Определение межоперационного времени τψCm является наи-
более сложным элементом в расчете длительности производственного цикла Td, часто уста-
навливается без должного обоснования [7]. Технологию производства можно представить
в виде центральной технологической траектории базового продукта Sψ = Sψ(t) в техноло-
гическом пространстве (S, µ):
Sψm =
m
∑
k=1
∆Sψk =
m
∑
k=1
(αψVmkψV mτψOm + αψCmkψCmτψCm), (2)
где αψV m, αψCm — коэффициенты пропорциональности между интенсивностью переноса
затрат производственным оборудованием на элемент производственной системы и интен-
сивностью потребления затрат базовым продуктом при технологической обработке на m-й
операции. Для центральной технологической траектории справедливо соотношение
τψOm + τψCm = NψτψOm. (3)
Тот факт, что m-я технологическая операция производственного процесса характеризу-
ется только величинами ∆Sψm (грн) и kψm (грн/ч), является утверждением того, что состо-
яние производственной системы предприятия полностью определяется знанием координат
Sj(t) и их скоростей изменения во времени µj(t) [8–11]. Полагаем, что для производственной
системы существует задаваемый технологическим процессом целевой функционал, который
при движении базовых продуктов вдоль технологических траекторий имеет минимум
I =
Td
∫
0
J(t, Sj(t), µj(t)) dt. (4)
Из равенства нулю вариации δI следуют уравнения Эйлера, описывающие поведение j-го
базового продукта в ходе процесса технологической обработки
d
dt
∂J
∂µj
−
∂J
∂Sj
= 0. (5)
Пусть в момент времени t1 на промежутке ∆Sψm между двумя технологическими опера-
циями находится межоперационный задел базовых продуктов Nψm, движущихся по тех-
нологическим траекториям S1(t), S2(t), . . . , Sj(t), . . . , SNψ(t). На j-й базовый продукт воз-
действует оборудование с мгновенной интенсивностью передачи условно-переменных kjV m
и условно-постоянных kjCm производственных ресурсов. Интенсивность передачи услов-
но-переменных производственных ресурсов kjV m и время воздействия оборудования τjOm
на базовый продукт являются случайными величинами. Вид плотности распределения этих
случайных величин ψk(k, SψV ) и ψτ (τO, SψV ) с математическими ожиданиями kψV (SψV ),
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №5 51
τψOm(SψV ) и дисперсиями (ηψV (SψV ))2, (γψV (SψV ))2 задаются паспортными параметрами
технологического процесса [8]:
∞
∫
0
ψk(k, SψV )dk = 1,
∞
∫
0
ψτ (τO, SψV )d(τO) = 1. (6)
Для серийного и массового производства отклонения от норматива составляют 10–20%,
что определяется в основном техническими условиями на поставляемое сырье и фондом
заработной платы
(
ηψV (SψV )
kψV (SψV )
)2
≈ 0,01 ≪ 1,
(
γψV (SψV )
τψOm(SψV )
)2
≈ 0,04 ≪ 1. (7)
Временную ось разобьем на промежутки времени dt таким образом, чтобы они, с одной
стороны были много меньше времени производственного цикла Td, с другой стороны, за
это время можно было осуществить большое количество технологических операций
Td ≈
Nm
∑
m=1
(τψOm + τψCm) ≫ (τψOm + τψCm) > dt≫ τψOm. (8)
Приращение стоимости dSj j-го базового продукта за время dt может быть выражено че-
рез мгновенную интенсивность передачи технологическим оборудованием производствен-
ных ресурсов:
dSj ≈ αjV (SψV )kjV (SψV )τjO(SψV )̟j(SψV ) + αjC(SψV )kjC(SψV )dt. (9)
Вероятность того, что j-й базовый продукт за время dt прошел технологическую обработку
на m-й технологической операции, не зависит от номера базового продукта:
̟j(SψV ) =
dt
(τψOm + τψCm)
=
dt
NψτψOm
. (10)
Как правило, закон изменения интенсивности передачи технологическим оборудованием
производственных ресурсов kψm при коэффициенте использования оборудования αm за-
дается на период, много больше характерного времени производственного цикла Td, что
позволяет считать kψm и αm не зависимыми от времени
kψm
Td
≫
dkψm
dt
,
αm
Td
≫
dαm
dt
. (11)
Целевую функцию производственной системы будем строить из требования того, чтобы
передаваемые технологическим оборудованием производственные ресурсы полностью пере-
носились на j-й базовый продукт в соответствии с заданным технологическим процессом:
dΩj = dSj − αjV (SψV )kjV (SψV )τjO(SψV )̟j(SψV ) − αjC(SψV )kjC(SψV )dt. (12)
Производственный процесс должен быть поставлен так, чтобы фактические значения
скорости изменения затрат Ṡj для j-го базового продукта были близки к заданным значе-
ниям передачи производственных ресурсов от технологического оборудования, т. е. Ω̇j → 0.
52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №5
При отклонениях Ω̇j от нуля производственный процесс осуществляется с отклонением от
технологии, что приводит к нежелательным результатам. В связи с этим будем требовать
для производственной системы за период обработки базового продукта минимум отклоне-
ний Ω̇j от нулевого значения. На практике это обеспечивается взаимодействием службы
главного технолога и службы контроля качества. Так как работа технологического обо-
рудования определяется тремя первыми моментами функций технологического процесса
ψk(k, SψV ) и ψτ (τO, SψV ) [7, 8], то целесообразно функционал производственной системы
представить в виде
1
2
Td
∫
0
Np
∑
j=1
(
µj − αjV (SψV )kjV (SψV )τjO(SψV )
1
NψτψOm
− αψC(SψV )kψC(SψV )
)2
dt, (13)
где целевая функция партии Np ≫ 1 базовых продуктов с некоррелированными между
собою случайными величинами kjV m, τjO(SψV ) есть квадратичная форма
J(t, Sj , µj) =
Np
∑
j=1
µ2
j
2
+ F1ψ(SψV )
Np
∑
j=1
µj −W0ψ(SψV ), (14)
F1ψ(SψV ) = −
1
Nψ
αψV (SψV )kψV (SψV ) − αψC(SψV )kψC (SψV ),
W0ψ(SψV ) = −(F1ψ)2 −
(γψ)2
2Np
(
αψV kψV
τψOm
Np
Nψ
)2
−
(ηψV )2
2Np
(
αψV
Np
Nψ
)2
.
(15)
Коэффициент передачи оборудованием условно-переменных производственных ресурсов
взят детерминированным αjV (SψV ) = αψV (SψV ). Функция W0ψ(SψV ) представляет собой
производственный потенциал технологического поля предприятия. Поле задается услов-
но-переменными и условно-постоянными затратами предприятия.
Вариация функционала (13) дает уравнения Эйлера (5) для движения базового продук-
та вдоль технологической траектории. Целевая функция производственной системы (14)
по своему виду напоминает функцию Лагранжа ансамбля заряженных частиц во внешнем
электромагнитном поле [1]. Так как воздействие производственного поля (работа оборудо-
вания, обслуживающего персонала и т. д.) не зависит от состояния конкретного базового
продукта (∂J(t, Sj , µj)/∂Sj = 0), то производственная система с целевой функцией (14)
допускает Np интегралов движения
∂J(t, Sj , µj)
∂µj
= µj + F1ψ(SψV ) = Pj . (16)
Из идентичности базовых продуктов следует Pj = P . Целевая функция (14), не завися-
щая явно от времени, допускает интеграл движения
H =
Np
∑
1
µj
∂J(, Sj , µj)
∂µj
− J(, Sj , µj) =
Np
∑
j=1
µ2
j
2
+W0ψ(SψV ) = const. (17)
Для описания поведения партии базовых продуктов введем среднюю скорость изменения
затрат µψ центрального базового продукта. Скорость изменения затрат для j-го базового
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №5 53
продукта может быть записана через скорость изменения затрат центрального базового
продукта µψ и разность ∆µj:
µψ =
dSψ
dt
=
1
Np
Np
∑
j=1
dSj
dt
=
1
Np
Np
∑
j=1
µj, µj = µψ + ∆µj, (18)
σ2
ψ =
1
Np
Np
∑
j=1
(∆µj)
2,
σ2
ψ
µ2
ψ
≪ 1. (19)
Интенсивность передачи условно-переменных затрат kψVm (грн/ч) выражается через про-
изводительность работы технологического оборудования [χ]1ψ и межоперационные заделы
[χ]0 [12]:
kψV (SψV ) = [χ]1ψ∆Sψ(SψV ) =
[χ]1ψ
[χ]0
Nψ. (20)
Целевая функция производственной системы (14) может быть представлена в виде слага-
емых нулевого и второго порядков малости
J(Sj , µj) = Np(Jψ0(Sψ, µψ) + Jψ2(∆Sψ, σψ)),
Jψ0(Sψ, µψ) =
1
2
(
µψ − αψV (SψV )
[χ]1ψ
[χ]0
− αψC(SψV )kψC (SψV )
)2
, (21)
Jψ2(∆Sψ, σψ) =
σ2
ψ
2
+
1
2
(
αψV (SψV )
[χ]1ψ
[χ]0
)2((
γψ(SψV )
τψOm
)2
+
(
ηψV (SψV )
kψV (SψV )
)2)
. (22)
Первое слагаемое Jψ0(Sψ, µψ) описывает движение центрального базового продукта партии
вдоль центральной технологической траектории, второе слагаемое Jψ2(∆Sψ, σψ) — откло-
нение “условной границы” партии от положения центрального базового продукта. Будем
полагать, что число базовых продуктов в партии есть величина постоянная Np = const.
Как известно [1], умножение целевой функции на постоянную величину не отражается на
уравнениях движения системы.
Целевой функции (21) соответствует уравнение Эйлера
dµψ
dt
=
(
αψV
[χ]1ψ
[χ]0
+ αψCkψC(SψV )
)
∂
∂SψV
(
αψV
[χ]1ψ
[χ]0
+ αψCkψC
)
. (23)
В теоретической механике целевую функцию, обеспечивающую равенство нулю вариа-
ции целевого функционала, называют функцией Лагранжа.
Таким образом, с использованием вариационного принципа записана целевая функция
для партии базовых продуктов производственной системы. Определены слагаемые целевой
функции, характеризующие технологическое поле оборудования и собственные свойства ба-
зового продукта. Записаны первые интегралы движения базового продукта вдоль техноло-
гической цепочки. Представлено уравнение Эйлера для поведения центрального базового
продукта.
Материалы работы подготовлены в рамках совместных семинаров кафедр “Экономической ки-
бернетики и прикладной экономики”, “Теоретической ядерной физики” ХНУ им. В.Н. Каразина
и ПО НПФ Технология, г. Харьков.
54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №5
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. – Москва: Наука, 1988. – 512 с.
2. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. – Москва: Наука, 1966. – 300 с.
3. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. – Москва: Наука, 1973. – 536 с.
4. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. – Москва: Про-
гресс, 1975. – 605 с.
5. Занг 3. В.-Б. Синергетическая экономика. – Москва: Мир, 1999. – 335 с.
6. Прыткин Б.В. Технико-экономический анализ производства. – Москва: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. –
399 с.
7. Летенко В.А., Родионов Б.Н. Организация, планирование и управление машиностроительным пред-
приятием. Ч. 2. Внутризаводское планирование. – Москва: Высш. шк., 1979. – 232 с.
8. Демуцкий В.П., Пигнастая В.С., Пигнастый О.М. Стохастическое описание экономико-производ-
ственных систем с массовым выпуском продукции // Доп. НАН України. – 2005. – № 7. – С. 66–71.
9. Шананин А.А. Обобщенная модель чистой отрасли производства // Мат. моделирование. – 1997. –
9, № 9. – С. 117–127.
10. Бессонов В.А., Иванилов И.П. Темповые производственные зависимости с ограниченным эффектив-
ным множеством // Докл. АН СССР. – 1989. – 309, № 5. – С. 1033–1036.
11. Савицкая Г. В. Анализ хозяйственной деятельности предприятия. – Минск: Новое знание, 2002. –
704 с.
12. Демуцкий В.П., Пигнастый О.М. Вопросы устойчивости макроскопических параметров технологи-
ческих процессов массового производства // Доп. НАН України. – 2006. – № 3. – С. 63–67.
Поступило в редакцию 25.09.2006Харьковский национальный университет
им. В.Н. Каразина
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №5 55
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1786 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:32:26Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Пигнастый, О.М. 2008-09-02T17:27:06Z 2008-09-02T17:27:06Z 2007 О построении целевой функции производственной системы / О.М. Пигнастый // Доп. НАН України. — 2007. — N 5. — С. 50–55. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1786 658.51.012 The goal function of a manufacturing system with mass production output is constructed with the use of the variational principle. The equations for the central manufacturing trajectory are defined. Euler's equations for the central base product of the manufacturing system are given. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Інформатика та кібернетика О построении целевой функции производственной системы Article published earlier |
| spellingShingle | О построении целевой функции производственной системы Пигнастый, О.М. Інформатика та кібернетика |
| title | О построении целевой функции производственной системы |
| title_full | О построении целевой функции производственной системы |
| title_fullStr | О построении целевой функции производственной системы |
| title_full_unstemmed | О построении целевой функции производственной системы |
| title_short | О построении целевой функции производственной системы |
| title_sort | о построении целевой функции производственной системы |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1786 |
| work_keys_str_mv | AT pignastyiom opostroeniicelevoifunkciiproizvodstvennoisistemy |