Про ідентифікаційну модель динаміки дискретного спостережуваного неоднорідно-розподіленого просторово-часового процесу
A pseudoinverse approach to constructing the integral models of spatio-temporal distributed systems by a discretely observed state and an externally distributed dynamic disturbance has been offered. The problem of control over these systems has been solved. The results obtained are illustrated.
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1789 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про ідентифікаційну модель динаміки дискретного спостережуваного неоднорідно-розподіленого просторово-часового процесу / В.В. Скопецький, В.А. Стоян // Доп. НАН України. — 2007. — N 4. — С. 42-48. — Бібліогр.: 9 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860067708833366016 |
|---|---|
| author | Скопецький, В.В. Стоян, В.А. |
| author_facet | Скопецький, В.В. Стоян, В.А. |
| citation_txt | Про ідентифікаційну модель динаміки дискретного спостережуваного неоднорідно-розподіленого просторово-часового процесу / В.В. Скопецький, В.А. Стоян // Доп. НАН України. — 2007. — N 4. — С. 42-48. — Бібліогр.: 9 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | A pseudoinverse approach to constructing the integral models of spatio-temporal distributed systems by a discretely observed state and an externally distributed dynamic disturbance has been offered. The problem of control over these systems has been solved. The results obtained are illustrated.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:08:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.95:519.86
© 2007
Член-кореспондент НАН України В. В. Скопецький, В.А. Стоян
Про iдентифiкацiйну модель динамiки дискретного
спостережуваного неоднорiдно-розподiленого
просторово-часового процесу
A pseudoinverse approach to constructing the integral models of spatio-temporal distributed
systems by a discretely observed state and an externally distributed dynamic disturbance has
been offered. The problem of control over these systems has been solved. The results obtained
are illustrated.
Методи лiнiйної алгебри [1, 2], узагальненi [3, 4] на системи iнтегральних та функцiональних
перетворень, в поєднаннi з iдеями роботи [5] дозволили побудувати [6, 7] теорiю математич-
ного моделювання динамiчних систем з розподiленими параметрами при неповнотi даних
про їх початково-крайовий стан. Невiд’ємною частиною методики [6, 7] є наявнiсть мате-
матичної моделi дослiджуваного процесу, яка описується системою диференцiальних спiв-
вiдношень. Використання та практична реалiзацiя результатiв робiт [4, 6] при розв’язаннi
обернених задач динамiки розподiлених просторово-часових процесiв значно спрощується
для систем, функцiонування яких описується iнтегральними моделями.
Побудовi таких моделей та iлюстрацiї методики [6, 7] розв’язання задач керування ними
i присвячується дана робота. В основу дослiдження покладенi математичнi результати [8]
по iдентифiкацiї алгебраїчно перетворюючих систем та методика їх узагальнення, викла-
дена в [9]. Побудованi iнтегральнi моделi розподiлених просторово-часових процесiв, якi
за дискретно спостережуваним станом та розподiленими просторово-часовими збуреннями
визначають стан процесу в замкненiй просторово-часовiй областi.
1. Розглядатимемо розподiлений просторово-часовий процес, стан y(s) якого вивчається
в точках s∗1, . . . , s
∗
L просторово-часової областi
ST
0 = {s = (x, t) : x ∈ S0 ⊂ Rn, t ∈ [0, T ]}
при умовi, що викликаний вiн дiєю доступних для спостережень розподiлених в областi
S ⊆ ST
0 зовнiшньо-динамiчних збурень u(s). Для випадкiв, коли з урахуванням початкового
стану процесу та особливостей граничного впливу на нього оточуючого середовища вiдома
функцiя Грiна G(s − s′), маємо [7]
y(s) =
∫
S
G(s − s′)u(s′) ds′ (s ∈ ST
0 ). (1)
Зауважимо, що побудова функцiї G(s−s′) — задача не проста. Вiдомi тiльки окремi випадки
її розв’язання — для класично описуваних однорiдних за просторово-часовими координа-
тами процесiв, в канонiчних областях i тiльки при певних початково-крайових умовах.
Тому зупинимося на вивченнi неоднорiдних процесiв, особливостi протiкання яких важ-
ко описуються залежно вiд просторово-часової точки, в якiй вони розглядаються. Розгля-
немо задачу побудови дискретних перерiзiв функцiї G(s − s′) при умовi, що при вiдомiй
функцiї u(s) дослiджуваний процес є доступним для спостережень в цих точках.
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №4
В такому випадку невiдомими будемо вважати набiр Gi(s
′) = G(si−s′) (i = 1, L) значень
функцiї Грiна G(s − s′), який визначається спiввiдношеннями
yi =
∫
S
Gi(s
′)fi(u(s′)) ds′ (i = 1, L), (2)
де yi = y(si), а fi(·) — невiдома функцiя, яку для однозначностi згодом виберемо полiно-
мiальною.
2. Для знаходження вектор-функцiї
G(s) = col(Gi(s), i = 1, L)
виходитимемо iз спостережень u(j)(s), y(j) = col(y
(j)
i , i = 1, L) (j = 1, N ) за зовнiшньо-дина-
мiчними збуреннями та станом системи. Аналiтичнi залежностi вектор-функцiї G(s) такої,
щоб
N∑
j=1
∥
∥
∥
∥
∥
y(j) −
∫
S
G(s)u(j)(s) ds
∥
∥
∥
∥
∥
2
→ min
G(s)
, (3)
знайдемо, скориставшись результатами роботи [9].
При умовi, що вектор-рядок
(u(1)(s), . . . , u(N)(s)) = UT (s)
спостережень за входом та матриця
Y = (y(1), . . . , y(N)) = col(yT
(1), . . . , y
T
(L))
спостережень за виходом системи задовольняють умови
ε2
i = min
Gi(s)
∥
∥
∥
∥
∥
∫
S
U(s)Gi(s) ds − y(i)
∥
∥
∥
∥
∥
2
= yT
(i)y(i) − yT
(i)P1P
+
1 y(i) = 0 ∀i = 1, L,
lim
N→∞
det Pn > 0 ∀ξi, ξj ∈ S,
(4)
де
P1 =
∫
S
U(s)UT (s) ds, Pn =
[
∫
S
UT (ξi)U(ξj)
]i,j=N
i,j=1
,
маємо
Gi(s) = yT
(i)P
+
1 U(s), G(s) = Y P+
1 U(s). (5)
У випадку ж, коли lim
N→∞
Pn = 0,
G(s) = Y P+
1 U(s) + V (s) − V (s)P+
1 P1
при довiльнiй V (s) ∈ RL ∀s ∈ S.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №4 43
3. При умовi, що ε2
p > 0 для одного або кiлькох p ∈ σ ⊂ {1, . . . , L}, утворимо систему
вектор-функцiй
Uk(s) = col([u(j)(s)]k, j = 1, N ) (k = 1, k∗),
для яких [9]
∫
S
[Uk(s)]
T (I − P+
1 P1)Uk(s) ds > 0, rank[U∗(s), Uk∗+1(s)] = k∗
при
U∗(s) = (U1(s), . . . , Uk∗
(s)).
Лiнiйною комбiнацiєю
k∗∑
k=1
ck(s)Uk(s) (6)
побудованих вище вектор-функцiй Uk(s), (k = 1, k
∗
) замiнимо спостережувану нами ве-
ктор-функцiю U(s) при iдентифiкацiї p-компоненти вектор-функцiї G(s). При цьому буде-
мо вимагати, щоб
∫
S
U(s)Gj(s) ds = y(j) (j = 1, L; j 6= p ∈ σ), (7)
∫
S
k∗∑
k=1
ck(s)Uk(s)Gp(s) ds = y(p) (p ∈ σ). (8)
Об’єднавши невiдомi функцiї Gp(s) та ck(s) (k = 1, k∗) у спiввiдношеннi (8) в нову век-
тор-функцiю
Gp(s) = col(ck(s)Gp(s), k = 1, k∗),
модель (8) запишемо у виглядi
∫
S
U∗(s)Gp(s) ds = y(p). (9)
Останнє дозволяє зробити висновок, що одержана таким чином модель (7), (9) точно вiд-
повiдатиме системi спостережень u(i)(s) та y(i) (i = 1, N ) за розглядуваним процесом, якщо
додатково до умови (4) для j = 1, L (j 6= p ∈ σ) виконуватиметься умова
ε2
p = yT
(p)y(p) − yT
(p)PpP
+
p y(p) = 0 (10)
для p ∈ σ при
Pp =
∫
S
U∗(s)U
T
∗
(s) ds.
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №4
В цьому випадку вектор коефiцiєнтiв-функцiй спiввiдношень (9)
Gp(s) ∈ Ωp = {Gp(s) : Gp(s) = UT
∗
(s)P+
p y(p) + vp(s) − PpP
+
p vp(s)} (11)
при довiльнiй iнтегровнiй в областi S функцiї vp(s). Коефiцiєнти-функцiї Gj(s) (j = 1, L;
j 6= p ∈ σ) спiввiдношень (7) при цьому, як i ранiше, будуть визначатися згiдно з (5).
Якщо ж (10) не виконується для p ∈ σ, то
min
Gp(s)∈Ωp
∥
∥
∥
∥
∥
∫
S
U∗(s)Gp(s) ds − y(p)
∥
∥
∥
∥
∥
2
= ε2
p.
А це означає, що математична модель розподiленого в областi ST
0 просторово-часового про-
цесу, функцiя стану y(s) якого може неоднорiдно залежати вiд функцiї зовнiшньо-динамiч-
них збурень u(s) для наперед заданих точок s1, . . . , sL, побудована за спостережуваними
в цих точках станами y(1), . . . , y(N), якi вiдповiдають значенням u(1)(s), . . . , u(N)(s) функцiї
u(s), буде записуватися спiввiдношеннями
∫
S
Gj(s)U(s) ds = yj (j = 1, L; j 6= p ∈ σ), (12)
∫
S
Gp(s)
k∗∑
k=1
ck(s)(U(s))kds = yp (p ∈ σ), (13)
якi випливають з (7), (9). При цьому Gj(s) в (12) визначаються згiдно з (5), а ck(s)Gp(s)
в (13), як елементи векторної функцiї Gp(s), — згiдно з (11).
4. Розглянемо проблеми розв’язання задач керування станом деяких дискретних точок
s1, . . . , sL просторово-часової областi ST
0 через функцiю зовнiшньо-динамiчних збурень u(s).
Задачi цi легко розв’язуються для точок, динамiка яких описується спiввiдношенням (12)
i дещо складнiше — для тих, якi функцiонують згiдно з (13).
Дiйсно, якщо точки si(i = 1, L) такi, що i /∈ σ, то стани Yi = y(si) ними будуть досягатися
при u(s) ∈ Ωu = {u(s) : u(s) = GT (s)P+
2 Y + v(s) − GT (s)P+
2 Gv,∀v(s),∀s ∈ S}, де
Y = (Yi, i = 1, L)T , P2 =
∫
S
G(s)GT (s) ds, Gv =
∫
S
G(s)v(s) ds. (14)
Точнiсть розв’язання задачi визначатиметься величиною
ε2
2 = min
u(s)∈Ωu
L∑
i=1
(y(si) − Yi)
2 = Y T Y − Y T P2P
+
2 Y . (15)
Розв’язок задачi може бути однозначним, якщо
lim
N→∞
det
[
GT (si)G(sj)
]i,j=N
i,j=1
> 0 ∀si,sj ∈ S. (16)
Для точок si(i = 1, L), функцiя стану яких виводиться в окiл значень Yi при i ∈ σ,
керуючим фактором буде вектор-функцiя
u∗(s) = col(u(s)i, i = 1, k∗) ∈ Ω∗, (17)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №4 45
де
Ω∗ = {u∗(s) : u∗(s) = GT
∗
(s)P+
∗
Y + v∗(s) − GT
∗
(s)P+
∗
Gυ∗
} (18)
при визначеному згiдно з (14) векторi Y очiкуваних значень функцiї y(s) стану системи
в точках si (i = 1, L; i ∈ σ), довiльнiй iнтегровнiй в S вектор-функцiї v∗(s) ∈ Rk∗ та
G∗(s) = [Gp(s)ck(s)]
p=L,k=k∗
p,k=1 , P∗ =
∫
S
G∗(s)G
T
∗
(s) ds, Gv∗ =
∫
S
G∗(s)v∗(s) ds.
Умови точностi та однозначностi розв’язку (17), (18) запишемо за аналогiєю з (15), (16),
замiнивши там G(s) на G∗(s), P2 — на P∗.
Для випадку, коли задача керування виконується за сукупнiстю точок (si, i = 1, L1),
якi задовольняють як спiввiдношення (12), так i спiввiдношення (13) (точки si, i = 1, L2),
керуючi факторами визначаються з такої системи iнтегральних рiвнянь:
∫
S
(
G∗
1(s)
G∗
2(s)
)
u∗(s) ds =
(
Y ∗
1
Y ∗
2
)
,
де
Y ∗
1 = col(Y1i, i = 1, L1), Y ∗
2 = col(Y2i, i = 1, L2),
G∗
1(s) = col((Gi(s), 0, . . . , 0
︸ ︷︷ ︸
k∗−1
), i = 1, L1), G∗
2(s) = [Gi(s)cj(s)]
i=L2,j=k∗
i,j=1 ,
звiдки
u∗(s) = (G∗T
1 (s), G∗T
2 (s))P+
12
[(
Y ∗
1
Y ∗
2
)
− Gv
]
+ v(s), (19)
де v(s) ∈ Rk∗ — довiльна iнтегровна на S вектор-функцiя,
P12 =
∫
S
(
G∗
1(s)
G∗
2(s)
)
(G∗T
1 (s), G∗T
2 (s)) ds, Gv =
∫
S
(
G∗
1(s)
G∗
2(s)
)
v(s) ds.
При цьому
min
u∗(s)
(
L1∑
i=1
(y(si) − Y1i)
2 +
L2∑
i=2
(y(si) − Y2i)
2
)
= (Y ∗T
1 , Y ∗T
2 )(I − P12P
+
12)(Y
∗T
1 , Y ∗T
2 )T ,
а v(s) ≡ 0, якщо
lim
N→∞
det
[
(G∗T
1 (si), G
∗T
2 (si))
(
G∗
1(sj)
G∗
2(sj)
)]i,j=N
i,j=1
> 0.
46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №4
5. Для iлюстрацiї одержаних результатiв розглянемо процес поширення тепла в одно-
вимiрнiй областi. Будемо виходити з того, що функцiя y(x, t) стану процесу пов’язана iз
функцiєю u(x, t) зовнiшньо-динамiчних збурень рiвнянням
u =
∂y
∂t
+
∂2y
∂x2
. (20)
Розв’язком (20) при u = sin(x) · cos(t) − sin(x) · sin(t) є y = sin(x) · sin(t).
Для побудови Gij(s) = G(xi − x, tj − t) (i, j = 1, 4) вважатимемо, що в точках xi ∈
∈ {0, 0,5, 1, 1,5} при tj ∈ {0, 2,5, 5, 7,5} спостерiгаються
y(1) = (0, 0, 0, 0, 0, 0,2892, 0,5076, 0,6017, 0,−0,4634,−0,8134,−0,9642, 0, 0,4533,
0,7956, 0,9431);
y(2) = (0, 0, 0, 0, 0, 0,2904, 0,5096, 0,6041, 0,−0,4652,−0,8166,−0,9680, 0, 0,4551,
0,7988, 0,9469);
y(3) = (0, 0, 0, 0, 0, 0,2895, 0,5081, 0,6023, 0,−0,4639,−0,8142,−0,9651, 0, 0,4537,
0,7964, 0,9441).
Вибираючи спостереження за зовнiшньо-динамiчними збуреннями у виглядi u(i)(x, t) =
= ki sin x(cos t−sin t), де k1 = 126/125, k2 = 253/250, k3 = 1009/1000, iдентифiкуємо функцiї
Gij(s) для i, j = 1, 4.
При цьому матимемо Gij(x, t) = αij sin x(cos t − sin t) при αi1 = 0 (i = 1, 4), α1j = 0
(j = 1, 4), α22 = 0,060640, α32 = 0,106434, α42 = 0,126168, α23 = 0,097163, α33 = −0,170537,
α43 = −0,202158, α24 = 0,095043, α34 = 0,166816, α44 = 0,197747.
З урахуванням одержаного визначимо функцiю зовнiшньо-динамiчних збурень, яка стан
системи y(x, t) в точках (((xi + 0,05, tj + 0,05), i = 1, 4), j = 1, 4) виводить в окiл значень:
0,0244, 0,0423, 0,0499, 0,0056, 0,0056, 0,2722, 0,4723, 0,5567, −0,0094, −0,4606, 0,7990, −0,9418,
0,0095, 0,4658, 0,8080, 0,9524. На основi (14) ця функцiя матиме вигляд
−0,9937 sin x · sin t + 0,9937 sin x · cos t.
При цьому значення функцiї стану y(xi +0,01, tj +0,05)((i = 1, 4), j = 1, 4), якi вiдповiдають
керуванню (20), будуть такими: 0, 0, 0, 0, 0, 0,2851, 0,5004, 0,5932, 0, −0,4568, −0,8018,
−0,9505, 0, 0,4469, 0,7843, 0,9297.
Оцiнка одержаних результатiв, визначена за формулою (15), дорiвнюватиме 0,0089.
1. Гантмахер Ф. Теория матриц. – Москва: Наука, 1967. – 287 с.
2. Альберт А. Регрессия, псевдоинверсия, рекуррентное оценивание. – Москва: Наука, 1977. – 305 с.
3. Кириченко Н.Ф. Аналитическое представление возмущений псевдообратных матриц // Кибернетика
и системный анализ. – 1997. – № 2. – С. 98–107.
4. Кириченко Н.Ф., Стоян В.А. Аналитическое представление матричных и интегральных линейных
преобразований // Там же. – 1998. – № 3. – С. 90–104.
5. Стоян А.В. Об одном подходе к исследованию начально-краевых задач матфизики // Пробл. управ-
ления и информатики. – 1998. – № 1. – С. 79–86.
6. Скопецкий В. В., Стоян В.А., Кривонос Ю. Г. Математичне моделювання прямих та обернених задач
динамiки систем з розподiленими параметрами. – Киев: Наук. думка, 2001. – 361 с.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №4 47
7. Стоян В.А. Моделювання та iдентифiкацiя динамiки систем iз розподiленими параметрами. – Киев:
ВПЦ “Київ. ун-т”, 2004. – 184 с.
8. Кириченко Н.Ф., Лепеха Н.П. Возмущения псевдообратных и проекционных матриц и их применение
к идентификации линейных и нелинейных зависимостей // Пробл. управления и информатики. –
2001. – № 1. – С. 6–22.
9. Стоян В.А. Обращение линейных пространственно-временных преобразований в ограниченных об-
ластях // Кибернетика и системный анализ. – 2001. – № 5. – С. 149–156.
Надiйшло до редакцiї 21.09.2006Iнститут кiбернетики iм. В.М. Глушкова
НАН України, Київ
Київський нацiональий унiверситет
iм. Тараса Шевченка
48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1789 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:08:41Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Скопецький, В.В. Стоян, В.А. 2008-09-02T17:29:11Z 2008-09-02T17:29:11Z 2007 Про ідентифікаційну модель динаміки дискретного спостережуваного неоднорідно-розподіленого просторово-часового процесу / В.В. Скопецький, В.А. Стоян // Доп. НАН України. — 2007. — N 4. — С. 42-48. — Бібліогр.: 9 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1789 517.95:519.86 A pseudoinverse approach to constructing the integral models of spatio-temporal distributed systems by a discretely observed state and an externally distributed dynamic disturbance has been offered. The problem of control over these systems has been solved. The results obtained are illustrated. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Інформатика та кібернетика Про ідентифікаційну модель динаміки дискретного спостережуваного неоднорідно-розподіленого просторово-часового процесу Article published earlier |
| spellingShingle | Про ідентифікаційну модель динаміки дискретного спостережуваного неоднорідно-розподіленого просторово-часового процесу Скопецький, В.В. Стоян, В.А. Інформатика та кібернетика |
| title | Про ідентифікаційну модель динаміки дискретного спостережуваного неоднорідно-розподіленого просторово-часового процесу |
| title_full | Про ідентифікаційну модель динаміки дискретного спостережуваного неоднорідно-розподіленого просторово-часового процесу |
| title_fullStr | Про ідентифікаційну модель динаміки дискретного спостережуваного неоднорідно-розподіленого просторово-часового процесу |
| title_full_unstemmed | Про ідентифікаційну модель динаміки дискретного спостережуваного неоднорідно-розподіленого просторово-часового процесу |
| title_short | Про ідентифікаційну модель динаміки дискретного спостережуваного неоднорідно-розподіленого просторово-часового процесу |
| title_sort | про ідентифікаційну модель динаміки дискретного спостережуваного неоднорідно-розподіленого просторово-часового процесу |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1789 |
| work_keys_str_mv | AT skopecʹkiivv proídentifíkacíinumodelʹdinamíkidiskretnogosposterežuvanogoneodnorídnorozpodílenogoprostorovočasovogoprocesu AT stoânva proídentifíkacíinumodelʹdinamíkidiskretnogosposterežuvanogoneodnorídnorozpodílenogoprostorovočasovogoprocesu |