Крайовий ефект в оцінці точності сіткового методу для розв’язування диференціального рівняння з дробовою похідною
Побудовано і досліджено сіткові методи розв"язування першої крайової задачі для диференціального рівняння з похідною Рімана Ліувілля дробового порядку. За допомогою функції Гріна крайову задачу зведено до інтегрального рівняння Фредгольма, для дискретизації якого застосовано інтерполяційні полі...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2019 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2019
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/179394 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Крайовий ефект в оцінці точності сіткового методу для розв’язування диференціального рівняння з дробовою похідною / В.Л. Макаров, Н.В. Майко // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 1. — С. 80-95. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-179394 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Макаров, В.Л. Майко, Н.В. 2021-05-04T18:19:41Z 2021-05-04T18:19:41Z 2019 Крайовий ефект в оцінці точності сіткового методу для розв’язування диференціального рівняння з дробовою похідною / В.Л. Макаров, Н.В. Майко // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 1. — С. 80-95. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/179394 519.6 Побудовано і досліджено сіткові методи розв"язування першої крайової задачі для диференціального рівняння з похідною Рімана Ліувілля дробового порядку. За допомогою функції Гріна крайову задачу зведено до інтегрального рівняння Фредгольма, для дискретизації якого застосовано інтерполяційні поліноми Лагранжа. Доведено вагові оцінки точності сіткових задач, які враховують вплив крайової умови Діріхле. Отримані результати свідчать про те, що точність наближеного розв"язку вища у примежових вузлах сітки, ніж в її внутрішніх вузлах. Теоретичні результати проілюстровано чисельним прикладом. Построены и исследованы сеточные методы решения первой краевой задачи для дифференциального уравнения с производной Римана Лиувилля дробного порядка. При помощи функции Грина краевая задача сводится к интегральному уравнению Фредгольма, для дискретизации которого применяются интерполяционные полиномы Лагранжа. Доказаны весовые оценки точности сеточных задач, учитывающие влияние краевого условия Дирихле. Полученные результаты свидетельствуют о том, что в приграничных узлах сетки точность приближенного решения выше, чем в ее внутренних узлах. Теоретические результаты проиллюстрированы численным примером. We construct and analyze grid methods for solving the first boundary-value problem for an ordinary differential equation with the Riemann–Liouville fractional derivative. Using Green’s function, we replace the boundaryvalue problem by the Fredholm integral equation, which is then discretized by means of the Lagrange interpolation polynomials. We prove the weight error estimates, which take into account the impact of the Dirichlet boundary condition. All the results give us clear evidence that the accuracy order of the grid scheme is higher near the endpointd of the line segment than in the inner points of the mesh set. We provide a numerical example to support the theory. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системний аналіз Крайовий ефект в оцінці точності сіткового методу для розв’язування диференціального рівняння з дробовою похідною Краевой эффект в оценке точности сеточного методадля решения дифференциального уравнения с дробной производной Boundary effect in error estimate of the grid method for solving a fractional differential equation Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Крайовий ефект в оцінці точності сіткового методу для розв’язування диференціального рівняння з дробовою похідною |
| spellingShingle |
Крайовий ефект в оцінці точності сіткового методу для розв’язування диференціального рівняння з дробовою похідною Макаров, В.Л. Майко, Н.В. Системний аналіз |
| title_short |
Крайовий ефект в оцінці точності сіткового методу для розв’язування диференціального рівняння з дробовою похідною |
| title_full |
Крайовий ефект в оцінці точності сіткового методу для розв’язування диференціального рівняння з дробовою похідною |
| title_fullStr |
Крайовий ефект в оцінці точності сіткового методу для розв’язування диференціального рівняння з дробовою похідною |
| title_full_unstemmed |
Крайовий ефект в оцінці точності сіткового методу для розв’язування диференціального рівняння з дробовою похідною |
| title_sort |
крайовий ефект в оцінці точності сіткового методу для розв’язування диференціального рівняння з дробовою похідною |
| author |
Макаров, В.Л. Майко, Н.В. |
| author_facet |
Макаров, В.Л. Майко, Н.В. |
| topic |
Системний аналіз |
| topic_facet |
Системний аналіз |
| publishDate |
2019 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Краевой эффект в оценке точности сеточного методадля решения дифференциального уравнения с дробной производной Boundary effect in error estimate of the grid method for solving a fractional differential equation |
| description |
Побудовано і досліджено сіткові методи розв"язування першої крайової задачі для диференціального рівняння з похідною Рімана Ліувілля дробового порядку. За допомогою функції Гріна крайову задачу зведено до інтегрального рівняння Фредгольма, для дискретизації якого застосовано інтерполяційні поліноми Лагранжа. Доведено вагові оцінки точності сіткових задач, які враховують вплив крайової умови Діріхле. Отримані результати свідчать про те, що точність наближеного розв"язку вища у примежових вузлах сітки, ніж в її внутрішніх вузлах. Теоретичні результати проілюстровано чисельним прикладом.
Построены и исследованы сеточные методы решения первой краевой задачи для дифференциального уравнения с производной Римана Лиувилля дробного порядка. При помощи функции Грина краевая задача сводится к интегральному уравнению Фредгольма, для дискретизации которого применяются интерполяционные полиномы Лагранжа. Доказаны весовые оценки точности сеточных задач, учитывающие влияние краевого условия Дирихле. Полученные результаты свидетельствуют о том, что в приграничных узлах сетки точность приближенного решения выше, чем в ее внутренних узлах. Теоретические результаты проиллюстрированы численным примером.
We construct and analyze grid methods for solving the first boundary-value problem for an ordinary differential equation with the Riemann–Liouville fractional derivative. Using Green’s function, we replace the boundaryvalue problem by the Fredholm integral equation, which is then discretized by means of the Lagrange interpolation polynomials. We prove the weight error estimates, which take into account the impact of the Dirichlet boundary condition. All the results give us clear evidence that the accuracy order of the grid scheme is higher near the endpointd of the line segment than in the inner points of the mesh set. We provide a numerical example to support the theory.
|
| issn |
1019-5262 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/179394 |
| citation_txt |
Крайовий ефект в оцінці точності сіткового методу для розв’язування диференціального рівняння з дробовою похідною / В.Л. Макаров, Н.В. Майко // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 1. — С. 80-95. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT makarovvl kraioviiefektvocíncítočnostísítkovogometodudlârozvâzuvannâdiferencíalʹnogorívnânnâzdrobovoûpohídnoû AT maikonv kraioviiefektvocíncítočnostísítkovogometodudlârozvâzuvannâdiferencíalʹnogorívnânnâzdrobovoûpohídnoû AT makarovvl kraevoiéffektvocenketočnostisetočnogometodadlârešeniâdifferencialʹnogouravneniâsdrobnoiproizvodnoi AT maikonv kraevoiéffektvocenketočnostisetočnogometodadlârešeniâdifferencialʹnogouravneniâsdrobnoiproizvodnoi AT makarovvl boundaryeffectinerrorestimateofthegridmethodforsolvingafractionaldifferentialequation AT maikonv boundaryeffectinerrorestimateofthegridmethodforsolvingafractionaldifferentialequation |
| first_indexed |
2025-11-24T06:48:13Z |
| last_indexed |
2025-11-24T06:48:13Z |
| _version_ |
1850843262871404544 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.6
Â.Ë. ÌÀÊÀÐÎÂ, Í.Â. ÌÀÉÊÎ
ÊÐÀÉÎÂÈÉ ÅÔÅÊÒ Â ÎÖ²ÍÖ² ÒÎ×ÍÎÑÒ² ѲÒÊÎÂÎÃÎ ÌÅÒÎÄÓ
ÄËß ÐÎÇÂ’ßÇÓÂÀÍÍß ÄÈÔÅÐÅÍÖ²ÀËÜÍÎÃΠвÂÍßÍÍß
Ç ÄÐÎÁÎÂÎÞ ÏÎÕ²ÄÍÎÞ
Àíîòàö³ÿ. Ïîáóäîâàíî ³ äîñë³äæåíî ñ³òêîâ³ ìåòîäè ðîçâ’ÿçàííÿ ïåðøî¿ êðà-
éîâî¿ çàäà÷³ äëÿ äèôåðåíö³àëüíîãî ð³âíÿííÿ ç ïîõ³äíîþ гìàíà–˳óâ³ëëÿ
äðîáîâîãî ïîðÿäêó. Çà äîïîìîãîþ ôóíêö³¿ Ãð³íà êðàéîâó çàäà÷ó çâåäåíî äî
³íòåãðàëüíîãî ð³âíÿííÿ Ôðåäãîëüìà, äëÿ äèñêðåòèçàö³¿ ÿêîãî çàñòîñîâàíî
³íòåðïîëÿö³éí³ ïîë³íîìè Ëàãðàíæà. Äîâåäåíî âàãîâ³ îö³íêè òî÷íîñò³ ñ³òêî-
âèõ çàäà÷, ÿê³ âðàõîâóþòü âïëèâ êðàéîâî¿ óìîâè ijð³õëå. Îòðèìàí³ ðåçóëü-
òàòè ñâ³ä÷àòü ïðî òå, ùî òî÷í³ñòü íàáëèæåíîãî ðîçâ’ÿçêó ó ïðèìåæîâèõ
âóçëàõ ñ³òêè âèùà, í³æ â ¿¿ âíóòð³øí³õ âóçëàõ. Òåîðåòè÷í³ ðåçóëüòàòè
ïðî³ëþñòðîâàíî ÷èñåëüíèì ïðèêëàäîì.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: äèôåðåíö³àëüíå ð³âíÿííÿ, êðàéîâà óìîâà ijð³õëå, ïîõ³äíà
äðîáîâîãî ïîðÿäêó, ñ³òêîâèé ðîçâ’ÿçîê, îö³íêà ïîõèáêè, êðàéîâèé åôåêò.
ÂÑÒÓÏ
Ó òåî𳿠³ çàñòîñóâàííÿõ ìåòîäó ñ³òîê äëÿ ðîçâ’ÿçóâàííÿ ñòàö³îíàðíèõ ³ íå-
ñòàö³îíàðíèõ çàäà÷ ó êàíîí³÷íèõ îáëàñòÿõ [1] çíà÷íèé ³íòåðåñ ñòàíîâèòü ïè-
òàííÿ ïðî òî÷í³ñòü íàáëèæåíîãî ðîçâ’ÿçêó ïîáëèçó ò³º¿ ÷àñòèíè ìåæ³ îáëàñò³,
äå çàäàíî êðàéîâó óìîâó ijð³õëå. Îñê³ëüêè ñ³òêîâèé ðîçâ’ÿçîê çàäîâîëüíÿº
òàêó óìîâó òî÷íî, òî ïðèðîäíî î÷³êóâàòè, ùî â ïðèìåæîâèõ âóçëàõ ñ³òêè éîãî
òî÷í³ñòü áóäå âèùîþ, í³æ ó âíóòð³øí³õ âóçëàõ [2].
ʳëüê³ñíó õàðàêòåðèñòèêó öüîãî ÿâèùà ó âèãëÿä³ âàãîâèõ îö³íîê, ÿê³ âðàõî-
âóþòü âïëèâ êðàéîâî¿ óìîâè ijð³õëå, âïåðøå çàïðîïîíîâàíî â [3]. Ö³ ³äå¿ çíàé-
øëè ñâîº ïðîäîâæåííÿ â ïóáë³êàö³ÿõ [4, 5]. Òàê, ó [4] âèâ÷àºòüñÿ ñê³í÷åí-
íî-ð³çíèöåâà àïðîêñèìàö³ÿ ïåðøî¿ êðàéîâî¿ çàäà÷³ äëÿ êâàç³ë³í³éíîãî åë³ïòè÷íî-
ãî ð³âíÿííÿ ç³ çì³ííèìè êîåô³ö³ºíòàìè â îäèíè÷íîìó êâàäðàò³ � � ( , )0 1 2 . Äëÿ
ïîõèáêè z x y x u x( ) ( ) ( )� � ð³çíèöåâî¿ ñõåìè äîâåäåíî âàãîâó îö³íêó â ñ³òêîâ³é
íîðì³
z x
x
M h u h h h
W
( )
( )
| | | | , | |
/ ( )
�1 2
2 2
1
2
2
2
2
4� � �� ,
äå x x x� ( , )1 2 , �( ) min{ , ( ), ( ) , ( )( )}x x x x x x x x x� � � � �1 2 1 2 1 2 1 21 1 1 1 , | |
( )
u
W2
4 � —
íàï³âíîðìà â W
2
4 ( )� , M — ñòàëà, íåçàëåæíà â³ä u x( ) ³ h h1 2, , u x( ) ³ y x( ) —
òî÷íèé ³ íàáëèæåíèé ðîçâ’ÿçîê â³äïîâ³äíî.
Ó [5] ³ç çàñòîñóâàííÿì ³íøî¿ òåõí³êè äîâåäåíî âàãîâ³ àïð³îðí³ îö³íêè òî÷-
íîñò³ ð³çíèöåâèõ ñõåì äëÿ äâî- ³ òðèâèì³ðíîãî ð³âíÿííÿ Ïóàññîíà ç êðàéîâèìè
óìîâàìè ijð³õëå ³ Íåéìàíà. Íàïðèêëàä, äëÿ ïåðøî¿ êðàéîâî¿ çàäà÷³ òà ¿¿ òðà-
äèö³éíî¿ ñê³í÷åííî-ð³çíèöåâî¿ àïðîêñèìàö³¿ íà ï’ÿòèòî÷êîâîìó øàáëîí³ êâàäðàò-
íî¿ ñ³òêè � äîâåäåíî îö³íêó
| ( ) ( )| ( )| | , ( , )
( )
y x u x Mh x u x x x
W
� � � �
�
2
1 24� �� ,
äå M — ñòàëà, íåçàëåæíà â³ä u x( ) ³ h, ôóíêö³ÿ �( )x º âåëè÷èíîþ O h( ) ïîáëèçó
ñòîð³í êâàäðàòà � � ( , )0 1 2 ³ âåëè÷èíîþ O h h( ln )2 1� — ïîáëèçó éîãî âåðøèí.
Àïð³îðí³ âàãîâ³ îö³íêè ïîõèáêè òðàäèö³éíèõ ð³çíèöåâèõ ñõåì äëÿ îäíî-
³ äâîâèì³ðíîãî ïàðàáîë³÷íîãî ð³âíÿííÿ ç êðàéîâîþ óìîâîþ ijð³õëå îòðèìàíî
â [6–8]. Ç äîâåäåíèõ îö³íîê âèïëèâàº, ùî òî÷í³ñòü ñõåìè âèùà ïîáëèçó á³÷íèõ
80 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 1
© Â.Ë. Ìàêàðîâ, Í.Â. Ìàéêî, 2019
ñòîð³í ³ äíà ïðîñòîðîâî-÷àñîâîãî ïðÿìîêóòíèêà â îäíîâèì³ðíîìó âèïàäêó òà ïî-
áëèçó á³÷íèõ ãðàíåé ³ äíà ïðîñòîðîâî-÷àñîâîãî ïàðàëåëåï³ïåäà — ó äâîâèì³ðíîìó.
Äîñë³äæåííÿ êðàéîâîãî ³ ïî÷àòêîâîãî åôåêò³â òàêîæ ñòàíîâèòü çíà÷íèé
³íòåðåñ äëÿ íîâèõ êëàñ³â çàäà÷, ïîÿâà ÿêèõ çóìîâëåíà áóðõëèâèì ðîçâèòêîì äðî-
áîâîãî àíàë³çó. Öåé ðîçä³ë êëàñè÷íîãî àíàë³çó ìàéæå òðèñòà ðîê³â (ç 1695 ð. ³ äî-
íåäàâíà) áóâ íå á³ëüøå í³æ âèøóêàíîþ ìàòåìàòè÷íîþ àáñòðàêö³ºþ [9]. Îäíàê
ïðîòÿãîì îñòàíí³õ ï’ÿòè äåñÿòèë³òü äðîáîâèé àíàë³ç øèðîêî çàñòîñîâóºòüñÿ â ìî-
äåëþâàíí³ áàãàòüîõ ïðèðîäíèõ ÿâèù. Ç’ÿñóâàëîñÿ [10, 11], ùî àïàðàò äèôå-
ðåíö³àëüíîãî òà ³íòåãðàëüíîãî ÷èñëåííÿ íåö³ëîãî ä³éñíîãî (³ êîìïëåêñíîãî) ïî-
ðÿäêó äຠçìîãó ÿêíàéêðàùå áóäóâàòè àäåêâàòí³ ìàòåìàòè÷í³ ìîäåë³, íàïðèêëàä,
äëÿ îïèñó â’ÿçêî-ïðóæíèõ ò³ë, ñóö³ëüíèõ ñåðåäîâèù ç ïàì’ÿòòþ, òðàíñôîðìàö³¿
òåìïåðàòóðè é âîëîãîñò³ â àòìîñôåðíèõ øàðàõ, íåð³âíîâàæíî¿ äèíàì³êè
ô³ëüòðàö³éíèõ ïðîöåñ³â ó òð³ùèíóâàòî-ïîðóâàòèõ ñåðåäîâèùàõ, ìîäåë³, çàñòî-
ñîâí³ äëÿ îáðîáëåííÿ áàãàòîâèì³ðíèõ ñèãíàë³â ó ðàä³îô³çèö³ òà ðàä³îëîêàö³¿,
ó íåë³í³éí³é ã³äðîàêóñòèö³, â åëåêòðîäèíàì³ö³ ìàòåð³àëüíèõ ñåðåäîâèù òîùî.
Ó ñòàí³ àêòèâíîãî ðîçâèòêó ïåðåáóâàþòü ³ íàáëèæåí³ ìåòîäè ðîçâ’ÿçóâàííÿ
äðîáîâî-äèôåðåíö³àëüíèõ ³ äðîáîâî-³íòåãðàëüíèõ ð³âíÿíü, ïðî ùî ñâ³ä÷èòü çíà÷-
íà ê³ëüê³ñòü ïóáë³êàö³é íà öþ òåìó [12–14].
Ó ö³é ñòàòò³ ðîçãëÿíóòî êðàéîâó çàäà÷ó
� � � ��u x D u x f x x( ) ( )( ) ( ), ( , )
0
0 1� ,
(1)
u u( ) , ( )0 0 1 0� � ,
äå [15]
( )( )
( )
( )
( )
D f x
n
d
dx
f t
x t
dta
n
n n
a
x
� � �
�
� �
�
��
1
1�
— ïîõ³äíà гìàíà–˳óâ³ëëÿ ïîðÿäêó � � 0 , n � �[ ]� 1, [ ]� — ö³ëà ÷àñòèíà ÷èñ-
ëà �, �( )
— ãàììà-ôóíêö³ÿ Åéëåðà.
Äëÿ íàáëèæåíîãî ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷³ (1) ïîáóäîâàíî ñ³òêîâ³ ñõåìè ïåðøîãî
³ äðóãîãî ïîðÿäê³â àïðîêñèìàö³¿ òà çíàéäåíî óçãîäæåí³ â ðîçóì³íí³ [16] âàãîâ³
îö³íêè äëÿ ïîõèáêè ç óðàõóâàííÿì êðàéîâîãî åôåêòó.
ÂÀÃÎÂÀ ÎÖ²ÍÊÀ ÄËß ÐÎÇÂ’ßÇÊÓ ÄÈÔÅÐÅÍÖ²ÀËÜÍί ÇÀÄÀײ
Íàäàë³ â îö³íêàõ âèêîðèñòàíî ñòàíäàðòí³ ïîçíà÷åííÿ äëÿ íîðì ó ïðîñòîðàõ
C k
[ , ]0 1
³ C
k
[ , ]
,
0 1
�
[17]:
|| || || || | ( ) |
[ , ]
u u u xC
x
�
� �
� �
0 1
0 1
sup ; || || || || || || ,,
( )
[ , ] [ , ]
u u u kk C
l
C
l
k
k�
�
� � ��
0 1 0 1
0
� ;
|| || || || || || | | ,,
[ , ]
,
[ , ] [ , ]
,u u u uk C C Ck k k� � �� � �
0 1 0 1 0 1
k � �� { }0 ,
| |
| ( ) ( )|
| |[ , ]
,
, ( , )
( ) ( )
u
u x u y
x y
C
x y
x y
k k
k
0 1 0 1
� �
�
��
�
sup
�
,
äå | | | |,
[ , ]
,u uk C k� ��
0 1
— íàï³âíîðìà â ïðîñòîð³ Ãåëüäåðà C
k
[ , ]
,
0 1
�
ç ïîêàçíèêîì
� �( )0 1� � .
Ðîçãëÿíåìî çàäà÷ó (1) ïðè � � 0 :
� � � �u x u x f x x( ) ( ) ( ), ( , )0 1 , u u( ) , ( )0 0 1 0� � . (2)
³äîìî [18], ùî ïðè f x C( ) [ , ]� 0 1 êðàéîâà çàäà÷à (2) ìຠºäèíèé ðîçâ’ÿçîê
u x C C( )
( , ) [ , ]� �
0 1
2
0 1 , ÿêèé òàêîæ º ðîçâ’ÿçêîì òàêîãî ³íòåãðàëüíîãî ð³âíÿííÿ:
u x G x u d G x f d( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ,� �
� � � � � �
0
1
0
1
(3)
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 1 81
äå
G x( , )� � x x
x x
( ),
( ), ,
1
1
� �
� �
�
��
� ��
� �
(4)
— ôóíêö³ÿ Ãð³íà êðàéîâî¿ çàäà÷³ � �u x f x( ) ( ) , x �( , )0 1 , u( )0 0� , u( )1 0� .
Âèêîíàâøè â (3) çàì³íó �( )
( )
( )
x
u x
x x
�
�1
, îäåðæèìî ð³âíÿííÿ
� � � � � � � � � � �( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )x
x x
x d x d
x
x
�
�
� � � �
1
1
1 1 12
0
2
1
�
�
�
��
�
�
�
��
�
�
�
�
1
1
0 1
0
1
x x
G x f d x
( )
( , ) ( ) , ( , )� � � . (5)
Çâ³äñè âèïëèâຠíåð³âí³ñòü
|| ||
( )
( ) ( ) ( )� � � � � � ��
� �
�
�
� � � �
sup
0 1
2
0
21
1
1 1 1
x
x
x x
x d x d
x
1
�
�
�
��
�
�
�
��
��|| ||�
�
�� �
�
sup
0 1 0
1
1
1x x x
G x d f
( )
( , ) || ||� � . (6)
Îá÷èñëèìî
sup
0 1
2
0
2
1
1
1
1 1 1
� � �
� � � �
�
�
�
�
x
x
x
x x
x d x d
( )
( ) ( ) ( )� � � � � �
�
�
�
�
��
�
�
�
� �
�
�
!
"
#
#�
�
�
�
� �
sup
0 1
3 4 3
1
1
1
3 4
1
3
1
x x x
x
x x
x
x x
( )
( )
( ) ( )4
4
�
�
!
"
#
#
�
�
�
��
�
�
�
��
�
� � �
�
�
��
�
!
"
#
#
�
� � � �
sup sup
0 1
2 3 2 3
0 13 4
1
3
1
4
1
x x
x x x x( ) ( )
12
1
5
48
2( )� � �x x ,
sup sup
0 1 0
1
0 1
1
1
1
1
1
� � � ��
�
�
�
x xx x
G x d
x x
x d
( )
( , )
( )
( )� � � �
0
1
1
1
2
x
x
x d
� �
�
�
�
��
�
�
�
��
�( )� � ,
³ çàïèøåìî íåð³âí³ñòü (6) ó âèãëÿä³
|| || || || || ||� �� � �� �5
48
1
2
f .
Çâ³äñè âèïëèâàº, ùî äëÿ ðîçâ’ÿçêó u x( ) êðàéîâî¿ çàäà÷³ (2) ñïðàâäæóºòüñÿ âà-
ãîâà îö³íêà, ÿêà âðàõîâóº êðàéîâèé åôåêò:
u x
x x
f
( )
( )
|| ||
1
24
43�
�
�
� . (7)
Ðîçãëÿíåìî çàäà÷ó (1) ïðè � �1 . Âðàõóºìî, ùî ïîõ³äíà гìàíà–˳óâ³ëëÿ
â (1) ïðè n � 2 íàáóâຠâèãëÿäó
( )( )
( )
( ) ( )D u x
d
dx
u t dt u x
x
0
1
2
2
0
1
1� � �
�
.
Òîä³ çàäà÷à (1) ïåðåòâîðþºòüñÿ íà òàêó:
� � � �u x u x f x x( ) ( ) ( ), ( , )01 , u u( ) , ( )0 0 1 0� � . (8)
82 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 1
Ïîä³áíî äî êðàéîâî¿ çàäà÷³ (2) êðàéîâà çàäà÷à (8) ïðè f x C( ) [ , ]� 0 1 º îäíî-
çíà÷íî ðîçâ’ÿçíîþ â êëàñ³ C C
( , ) [ , ]0 1
2
0 1� , ïðè öüîìó ¿¿ ðîçâ’ÿçîê u x( ) º âîäíî-
÷àñ ðîçâ’ÿçêîì ³íòåãðàëüíîãî ð³âíÿííÿ
u x x u d x u d G x f
x
x
( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) (� � � �
�
�
�
��
�
�
�
��
�
1
0
1
� � � � � � �) ,d
0
1
(9)
äå G x( , )� — ôóíêö³ÿ Ãð³íà ç (4).
Âèêîíóþ÷è â (9) çàì³íó �( )
( )
( )
x
u x
x x
�
�1
, îòðèìóºìî ð³âíÿííÿ
� � � � � � � � � � �( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )x
x x
x d x d
x
x
�
�
� � � � �
1
1
1 1 1
0
1�
�
�
��
�
�
�
��
�
�
�
�
1
1
0 1
0
1
x x
G x f d x
( )
( , ) ( ) , ( , )� � � . (10)
Çâ³äñè âèïëèâຠíåð³âí³ñòü
|| ||
( )
( ) ( ) ( )� � � � � � ��
� �
�
�
� � � �
sup
0 1 0
1
1
1
1 1 1
x
x
x
x x
x d x d
�
�
�
��
�
�
�
��
��|| ||�
�
�� �
�
sup
0 1 0
1
1
1x x x
G x d f
( )
( , ) || ||� � . (11)
Îñê³ëüêè
sup
0 1 0
1
1
1
1 1 1
� � �
� � � �
�
�
�
��
�
x
x
x
x x
x d x d
( )
( ) ( ) ( )� � � � � ��
�
��
�
�
�
� �
�
�
!
"
#
#�
�
�
�
� �
sup
0 1
2 3 2
1
1
1
2 3
1
2
1
x x x
x
x x
x
x x
( )
( )
( ) ( )3
3
�
�
!
"
#
#
�
�
�
��
�
�
�
��
�
� � � � �
��
�
!
"
#
#
� �
� � � �
sup sup
0 1
2 2
0 12 3
1
2
1
3
1
6
1
x x
x x x x( )
( 4 4
1
3
2x x� �) ,
sup
0 1 0
1
1
1
1
2� � �
�
x x x
G x d
( )
( , )� � ,
òî íåð³âí³ñòü (11) ìîæíà çàïèñàòè òàê:
|| || || || || ||� �� � �� �1
3
1
2
f .
(12)
Òàêèì ÷èíîì, äëÿ ðîçâ’ÿçêó u x( ) êðàéîâî¿ çàäà÷³ (8) ñïðàâäæóºòüñÿ âàãîâà
îö³íêà, ÿêà âðàõîâóº êðàéîâèé åôåêò:
u x
x x
f
( )
( )
|| ||
1
3
4�
�
�
� .
(13)
Ðîçãëÿíåìî çàäà÷ó (1) ïðè 0 1� �� [15]:
Lu u x
d
dx
u t dt
x t
f x x
x
� �
� �
� � �
( )
( )
( )
( )
( ), ( , )
1
1
01
0
� � �
,
u u( ) , ( )0 0 1 0� � . (14)
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 1 83
Ëåìà 1 (ïðèíöèï ìàêñèìóìó). ßêùî u x C C( )
( , ) [ , ]� �
0 1
2
0 1 — ðîçâ’ÿçîê îä-
íîð³äíîãî ð³âíÿííÿ Lu � 0 , â³äì³ííèé â³ä òîòîæíî¿ ñòàëî¿, òî ôóíêö³ÿ u x( ) ìîæå
äîñÿãàòè ñâîãî äîäàòíîãî ìàêñèìóìó (â³ä’ºìíîãî ì³í³ìóìó) ò³ëüêè íà ê³íöÿõ
â³äð³çêà [ , ]0 1 .
Äîâåäåííÿ. Ïðèïóñòèìî ñóïðîòèâíå. Íåõàé max ( ) ( )
0 1
0 0
� �
� �
x
u x u x , 0 10� �x .
Òîä³ u x �( )0 0 , �u x( )0 0 . Îñê³ëüêè [15, ôîðìóëè (13.1), (13.2)]
( )( )
( )
( )
lim
( ) ( )
( )
(
D u x
u x
x
u t u x
x t
u
t x0
1
1� $
�
�
�
�
�
��
� ��
�
�
x u t
x t
dt
x
) ( )
( )
�
�
�
�
!
"
#
# �
�
� 1
0
�
�
�
�
�
�
�
!
"
#
# �
�
1
1 1
0
�( )
( ) ( ) ( )
( )
, (
�
�
� �
u x
x
u x u t
x t
dt x
x
0 1, ),
òî ( )( )D u x
0 0 0� �� , ùî ðàçîì ³ç ð³âíÿííÿì (14) (ïðè f x( ) � 0)
� ��u x D u x x( ) ( )( ), ( , ) ,
0
0 1�
äຠíåð³âí³ñòü �u x( )0 0 . Îòðèìàíà ñóïåðå÷í³ñòü äîâîäèòü, ùî ó âíóòð³øí³é
òî÷ö³ â³äð³çêà [ , ]01 ôóíêö³ÿ u x( ) íå ìîæå äîñÿãàòè ñâîãî äîäàòíîãî ìàêñèìóìó.
Àíàëîã³÷íî ìîæíà ïîêàçàòè, ùî ó âíóòð³øí³é òî÷ö³ â³äð³çêà [ , ]0 1 ôóíêö³ÿ u x( )
íå ìîæå äîñÿãàòè ñâîãî â³ä’ºìíîãî ì³í³ìóìó. Ëåìó äîâåäåíî.
Íàñë³äîê 1. Îäíîð³äíà êðàéîâà çàäà÷à (14) (ïðè f x( ) � 0) ó êëàñ³ ôóíêö³é
C C
( , ) [ , ]0 1
2
0 1� ìຠò³ëüêè òðèâ³àëüíèé ðîçâ’ÿçîê u x( ) � 0 .
Òåîðåìà 1. ßêùî f x C( ) [ , ]� 0 1 , òî êðàéîâà çàäà÷à ijð³õëå (14) ó êëàñ³
ôóíêö³é C C
( , ) [ , ]0 1
2
0 1� º îäíîçíà÷íî ðîçâ’ÿçíîþ.
Äîâåäåííÿ. Íåõàé u x( ) — ðîçâ’ÿçîê êðàéîâî¿ çàäà÷³ (14). Ç ïåðåòâîðåíü
� � � �
u G x d x u d x u d
x
( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � � �
0
1
0
1 1
x
u x
1
� � ( ) ,
G x
d
d
u t dt
t
d x
d
d
u t dt
t
( , )
( )
( )
( )
( )
( )
�
� �
� �
� ��
�
�
� �
�
00
1
1
�
�
�
�
� �
� �
�
00 0
1
1
� �
�
�d x
d
d
u t dt
t
d
x
x
( )
( )
( )
� �
�
%
%
%% �
�
�
�
( )
( )
( )
( )
( )
1
0 0 0
x
u t dt
t
d
u t dt
t
x
�
�
�
��
�
�
�
�
�
0 0
1
1
x
x
x
u t dt
t
d
u
�
�
!
"
#
#
#
� �
�
%
%
%% �
�
�
( )
( )
( )
(
�
�
�
�
�
�
�
t dt
tx
)
( )� �
�
�
�
�
!
"
#
#
#
�
0
1
� �
�
�
�
�
�
!
"
#
( )
( )
( )
( )
( )
1
0 0
x x
u t dt
x t
u t dt
d
t
x
t
xx
� �
�
� #�
� � �
�
�
�
�
x x
u t dt
x t
u t dt
d
t
u t d
x
x
x
( )
( )
( )
( )
( )
( )1
0
1
0
� �
�
�
t
d
ttx
�
� �( )�
�
�
!
"
#
# �
11
� � �
�
� ��
1
1
1
0
x
u t x t dt
x
�
�( )( )
84 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 1
�
�
� � � � �� � �
x
u t t x t dt u t t dt
x
x
1
1 11 1
0
1
1
�
� � �( )(( ) ( ) ) ( )( )
�
�
!
"
#
#
âèïëèâàº, ùî u x( ) çàäîâîëüíÿº ³íòåãðàëüíå ð³âíÿííÿ Ôðåäãîëüìà 2-ãî ðîäó
u x x x t u t dt
x
( )
( )
( ) ( ) ( )�
�
� � � �
�
�
�
1
2
1 1
0
� �
�
� � � � � �
!
� � �
x t x t u t dt x t u t dt
x
x
(( ) ( ) ) ( ) ( ) ( )1 11 1
0
1
1
� � �
"
#
# �
� �
G x f d x( , ) ( ) , [ , ]� � �
0
1
0 1 . (15)
Ìîæíà ïîêàçàòè, ùî ³ íàâïàêè, ðîçâ’ÿçîê ³íòåãðàëüíîãî ð³âíÿííÿ (15) º ðîç-
â’ÿçêîì êðàéîâî¿ çàäà÷³ (14). Òàêèì ÷èíîì, êðàéîâà çàäà÷à ijð³õëå (14) åêâ³âà-
ëåíòíà ³íòåãðàëüíîìó ð³âíÿííþ (15).
Îñê³ëüêè îäíîð³äíà êðàéîâà çàäà÷à (14) ìຠò³ëüêè òðèâ³àëüíèé ðîçâ’ÿçîê
u x( ) ,� 0 òî é îäíîð³äíå ð³âíÿííÿ Ôðåäãîëüìà (15) (ïðè f x( ) � 0) ìຠò³ëüêè
òðèâ³àëüíèé ðîçâ’ÿçîê. Âíàñë³äîê àëüòåðíàòèâè Ôðåäãîëüìà çâ³äñè âèïëèâàº, ùî
íåîäíîð³äíå ð³âíÿííÿ Ôðåäãîëüìà (15) îäíîçíà÷íî ðîçâ’ÿçíå, à òîìó çàäà÷à
ijð³õëå (14) òàêîæ º îäíîçíà÷íî ðîçâ’ÿçíîþ. Òåîðåìó äîâåäåíî.
Çàóâàæåííÿ 1. Ìåòîä ôóíêö³¿ Ãð³íà (4) òàêîæ âèêîðèñòîâóþòü [15] äëÿ
äîñë³äæåííÿ êðàéîâî¿ çàäà÷³
� � � ��u x a x D u x f x x( ) ( )( )( ) ( ), ( , )
0
0 1� , u u( ) , ( )0 0 1 0� � ,
ç³ çì³ííèì êîåô³ö³ºíòîì a x C( ) [ , ]� 0 1 , a x( ) & 0 .
Òåïåð îòðèìàºìî âàãîâó îö³íêó òèïó (7) ³ (13) ó êëàñ³ ôóíêö³é ìåíøî¿ ãëàäêîñò³.
Íåõàé f x x( ) ( )� , äå �C
[ , ]0 1
. Çíàéäåìî
G x f d G x d x d
x
( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � � �
0
1
0
1
0
1
� � �
� � �x d
x
( ) ( )1
1
� � �
� � �
�
�
!
"
#
#� � �
( ) ( )| ( ) ( ) ( )|1 1
0
0
1x d xx
x
x� � � � � � � �
�
�
!
"
#
# �
( )d
x
1
� � � � � � � � � �( )( ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( ) ( ) ( ))1 0 1 1x x x x x x x x
� � � � � �( )( ( ) ( )) ( ( ) ( )).1 0 1x x x x
Îçíà÷åííÿ 1. Ñëàáêèì ðîçâ’ÿçêîì êðàéîâî¿ çàäà÷³ ijð³õëå (14) íàçèâàòèìå-
ìî ðîçâ’ÿçîê u x C( ) [ , ]� 0 1 ³íòåãðàëüíîãî ð³âíÿííÿ Ôðåäãîëüìà 2-ãî ðîäó
u x x x t u t dt
x
( )
( )
( ) ( ) ( )�
�
� � � �
�
�
�
1
2
1 1
0
� �
�
� � � � � �
!
� � �
x t x t u t dt x t u t dt
x
x
(( ) ( ) ) ( ) ( ) ( )1 11 1
0
1
1
� � �
"
#
# �
� � � � � � �( )( ( ) ( )) ( ( ) ( )), [ , ]1 0 1 0 1x x x x x . (16)
Ç òåîðåì Ôðåäãîëüìà âèïëèâàº, ùî äëÿ áóäü-ÿêî¿ ôóíêö³¿ ( )
[ , ]
x C�
0 1
ð³âíÿííÿ (16) ìຠºäèíèé ðîçâ’ÿçîê u x C( ) [ , ]� 0 1 . Ç (16) âèâîäèìî íåð³âí³ñòü
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 1 85
| ( )|
( )
( ) ( )u x x x t dt
x
x
�
�
� � �
�
�
� �
�
1
2
1
0 1
1
0
� �
�sup
� � � � � �
!
"
#
#
� � �
x t x t dt x t dt u
x
x
(( ) ( ) ) ( ) || ||1 11 1
0
1
1
� � �
C
[ , ]0 1
�
' '� � � � � � �
� �
sup
0 1
1 0 1 0 1
x
x x x x x( )( ( ) ( )) ( ( ) ( )) , [ , ] ,
³ îñê³ëüêè
sup
0 1
1
0
1 1
0
1 1
� �
� � �� � � � � �
x
x
x x t dt x t x t dt( ) ( ) (( ) ( ) )� � �
x
x
x t dt
� �
�
�
!
"
#
# ��( )1 1
1
�
�
� � � � � � �
�� �
� � � �
sup
0 1
2 2 2 21 1 1 1
2x
x x x x x x x( ) ( ( ) ) ( )
(
� � � �
�)
�
� � �
�
�
�� �
� �
sup
0 1
2 32
2
1
2 2x
x x x� �
� �( ) ( )
,
òî äëÿ u x( ) îäåðæóºìî îö³íêó
|| ||
( )
|| ||
[ , ] [ , ]
u
C C
0 1 0 1
1
1
2 3
4
1
� �
�
�
�
!
"
##
�
� �
.
Òåîðåìà 2. Íåõàé
( )
[ , ]
,
x C�
0 1
0
³ äëÿ
âèêîíóºòüñÿ óìîâà
1
4
3
3
1 0 1
ln
ln
( )
( )
�
�
� � � ��
�
�
�
. (17)
Òîä³ ñëàáêèé ðîçâ’ÿçîê u x( ) êðàéîâî¿ çàäà÷³ (14) çàäîâîëüíÿº óìîâó
u x C( )
[ , ]
,�
0 1
0
³ äëÿ íüîãî ñïðàâäæóºòüñÿ âàãîâà îö³íêà, ÿêà âðàõîâóº êðàéîâèé
åôåêò: u x
x x
C
( )
[ ( )] ( )
| |
[ , ]1
1
3
4 3
2
1
0 1
0
�
� � �
�
�
�
!
"
#
#
�
�
�
�
�
,
(18)
Äîâåäåííÿ. Âèêîíóþ÷è â (16) çàì³íó �
( )
( )
[ ( )]
x
u x
x x
�
�1
, îäåðæóºìî ð³âíÿííÿ
�
�
�
�
( )
( ) [ ( )]
( ) ( ) [ ( )] ( )x
x x
x x t t t t dt�
� �
� � � ��1
2 1
1 11
� 0
x
�
�
�
� � � � � � �� � �
x t x t t t t dt x t
x
(( ) ( ) )[ ( )] ( ) ( ) [1 1 11 1
0
1� �
�� t t t dt
x
( )] ( )1
1
�
!
"
#
# �
�
�
� � � � �
�
�
( )( ( ) ( )) ( ( ) ( ))
[ ( )]
, ( , )
1 0 1
1
0 1
x x x x
x x
x
.
(19)
Çâ³äñè âèïëèâຠíåð³âí³ñòü
|| ||
( ) [ ( )]
( ) ( )�
�
�
�
� �
��
� �
� �
1
2
1
1
1
0 1
1
0
�
sup
x
x
x x
x x t dt �
�
�
� � � � � �
!
"
#
#
� � �
x t x t dt x t dt
x
x
(( ) ( ) ) ( ) ||1 1
1
4
1 1
0
1
1
� � �
� || � �
' '
�
� � � � �
�� �
sup
0 1
1 0 1
1x
x x x x
x x
( )( ( ) ( )) ( ( ) ( ))
[ ( )]
. (20)
86 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 1
Çíàéäåìî
sup
0 1
1
0
1 1
0
1 1
� �
� � �� � � � � �
x
x
x x t dt x t x t dt( ) ( ) (( ) ( ) )� � �
x
x
x t dt
x x
� �
�
�
�( )
[ ( )]
1
1
1
1
�
�
� � � � � � �
�� �
� � � �
sup
0 1
2 2 2 21 1 1 1
2x
x x x x x x x( ) ( ( ) ) ( )
(
� � � �
�
) [ ( )]x x1�
�
� � �
� �
� �
� �
� �
� �
�
sup sup
0 1
2 3
0 1
22
2 1x x
x x x
x x
x x� �
�
�( )[ ( )]
�
� �
� � �
� �
�
�
� �
� �2
2 1
1 2
2 1
3
0 1
1 2x
x x
x x
xx
� � �
� �( ) ( ) ( ) ( )
sup
� � �
� �
�
� �
$ �
� �
$ �
�
lim
( ) ( )
lim
( )
x x
x x
x
x
1 0
1 2
1 0
1
1 2
2 1
1� � �
�
� ( )
( )
2 2
2
3
2
1�
� �
� �
�
��
�
�
�
�x
(21)
(çàñòîñîâàíî ïðàâèëî Ëîï³òàëÿ);
' '
sup
0 1
1 0 1
1� �
� � � � �
�
�
x
x x x x
x x
( )( ( ) ( )) ( ( ) ( ))
[ ( )]
� � �
�
�
�
�
%
� �
� �sup
0 1
1 11
0 1
1x
x
x
x
x
x
x
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
%
%
%
%
%�
� � � �
� �
� �sup
0 1
1 11 2
0 1
0
0 1
0
x
C C
x x(( ) )| | | |
[ , ]
,
[ , ]
,
. (22)
Âèêîðèñòîâóþ÷è îö³íêè (21) ³ (22), ç íåð³âíîñò³ (20) âèâîäèìî
|| ||
( )
|| || | |
[ , ]
,�
�
�
�
� �� �
�
�3
3
1
4
2
0 1
0
� C
. (23)
ßêùî
çàäîâîëüíÿº óìîâó (17), òî
3
3
1
4
1
�
�
��
�
�( )
. Òîä³ ç íåð³âíîñò³ (23)
âèïëèâàº, ùî ñïðàâäæóºòüñÿ îö³íêà (18).
Ïîêàæåìî, ùî u x C( )
[ , ]
,�
0 1
0
. Çàïèøåìî ³íòåãðàëüíå ð³âíÿííÿ (16) ó âèãëÿä³
u x x t u t dt x t u t dt
x
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )�
�
� � �
�
�
� �
1
2
1 1
0
1
1
0
� �
� �
!
"
#
# �
� � � � � � ( ) ( ) ( ( ) ( )), [ , ]x x x0 1 0 0 1 .
Òîä³ ïðè x x1 2 0 1, [ , ]� , x x1 2� , îòðèìàºìî
u x u x
x x
x x
x x
t u
( ) ( )
| | ( ) | |
( ) (2 1
2 1
2 1
2 1
11
2
1
�
�
�
�
�
�
� �
�
��
t dt)
0
1
�
�
�
� � �� �
1
2
2
1
0
1
1
0
2
2 1
�( )
( ) ( ) ( ) ( )
|�
� �x t u t dt x t u t dt
x
x x
�
�
x1|
�
�
�
� �
�
�
( ) ( )
| |
( ( ) ( ))
| |
x x
x x
x x
x x
1 2
2 1
2 1
2 1
1 0 .
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 1 87
Çâ³äñè âèïëèâຠíåð³âí³ñòü
| ( ) ( )|
| | ( )
| | ( ) (
u x u x
x x
x x t u t2 1
2 1
2 1
1 11
2
1
�
�
�
�
� �� �
�
��
)dt
0
1
%
%
%%
%
%
%%�
�
�
� � �
%
%
% � �
1
2
2
1
0
1
1
0
2 1
�( )
( ) ( ) ( ) ( )
�
� �x t u t dt x t u t dt
x x
%
%
%
%%
�
�
| |x x2 1
�
�
�
� � � �| ( ) ( )|
| |
( ( ) ( )) | |
x x
x x
x x2 1
2 1
2 1
11 0 .
(24)
Ðîçãëÿíåìî äðóãèé äîäàíîê ó ïðàâ³é ÷àñòèí³ ö³º¿ íåð³âíîñò³. Äëÿ ôóíêö³¿
g x x t u t dt x
x
( ) ( ) ( ) , [ , ],� � ��
1
0
01�
ìàºìî: g x C( )
[ , ]
�
0 1
1 ³ g x x t u t dt
x
� � � �
( ) ( ) ( ) ( )1
0
� � ,
| ( ) ( )| | ( )( )| ( ) ( ) ( )g x g x g x x t u t dt2 1 2 1
0
1� � � � � � �
� � � �
�%
%
%%
%
%
%% � �| |x x2 1
� �|| || | |
[ , ]
u x x
C
0 1
2 1 (x x1 2&
�
&
�� ).
Òîä³ ç (24) ä³ñòàºìî îö³íêó
| |
( ) ( )
|| ||
[ , ]
,
[ , ]
u u
C C
0 1
0
0 1
1
3
1
2
� �
�
�
�
�
�
�
!
"
##� �
� � �| | | ( ) ( )|
[ , ]
,
C
0 1
0 1 0 ,
à îòæå, u C�
[ , ]
,
0 1
0
. Òåîðåìó äîâåäåíî.
Çàóâàæåííÿ 2. Ìíîæèíà çíà÷åíü
, ÿê³ çàäîâîëüíÿþòü óìîâó (17), íå ïî-
ðîæíÿ, îñê³ëüêè
0.2924812504 0.5024543610� ��
�
�
�1
4
3
3ln
ln
( )
�
��
ïðè 0 1� �� .
ÂÀÃÎÂÀ ÎÖ²ÍÊÀ ÒÎ×ÍÎÑÒ² ѲÒÊÎÂÎÃÎ ÌÅÒÎÄÓ
Äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ ð³âíÿííÿ (16) çàñòîñóºìî ìåòîä ñ³òîê. Ââåäåìî ñ³òêîâó ìíî-
æèíó
� � � � � �{ , , , , / }x jh j N h Nj 1 1 1� , � �� � �{ } { }0 1 ,
äå N & 2 — ö³ëå, ³ ïîêëàäåìî â (16) x x j� :
u x x x t u t dtj j j
x
x
k
j
k
k
( )
( )
( ) ( ) ( )�
�
� � � �
�
�
�
�
�
�1
2
1 1
1
1
� �
��
��
� � � � � �� �
�
�
�x t x t u t dt x tj j
x
x
k
j
j
k
k
(( ) ( ) ) ( ) ( )1 11 1
1
1
1
� � �
� �
�
�
�
�
�
��
�� u t dt
x
x
k j
N
k
k
( )
1
1
� � � � � � � �( )( ( ) ( )) ( ( ) ( )) , , , ..., .1 0 1 1 2 1x x x x j Nj j j j
88 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 1
Çâ³äñè îòðèìàºìî ñ³òêîâó ñõåìó
u x x u x x t dth
j j
h
k j
x
x
k
j
k
k
( )
( )
( ) ( ) ( )�
�
� � � �
�
�
�1
2
1 1
1
1
� �
� �
�
�
�
��
� � � � �� �
�
�
�x u x t x t dt x u xj
h
k j
x
x
k
j
j
h
k
k
( ) (( ) ( ) ) (1 1 1
1
1
� �
k
x
x
k j
N
t dt
k
k
) ( )1 1
1
1
�
�
�
�
��
��
� �
�
� �
� � � � � � � �( )( ( ) ( )) ( ( ) ( )) , , , ..., ,1 0 1 12 1x x x x j Nj j j j u xh
N( ) .� 0 (25)
Ïîõèáêà
z x u x u xh( ) ( ) ( )� � (26)
º ðîçâ’ÿçêîì ñ³òêîâî¿ çàäà÷³
z x x z x x t dtj j k j
x
x
k
j
k
k
( )
( )
( ) ( ) ( )�
�
� � � �
�
�
�
�
�1
2
1 1
1
1
� �
�
�
�
��
� � � � �� �
�
�
�x z x t x t dt x z xj k j
x
x
k
j
j k
k
k
( ) (( ) ( ) ) ( )1 1 1
1
1
� � ( )1 1
1
1
�
�
�
�
��
��
� �
�
� t dt
x
x
k j
N
k
k
�
� � � ��( ) , , , ..., , ( )x j N z xj N1 2 1 0 , (27)
äå
�
�
�( )
( )
( ) ( ) ( ( ) ( ))x x x t u t u x dtj j j k
x
x
k
k
�
�
� � � ��
�
1
2
1 1
1
� k
j
�
� �
�
�
�
�� 1
� � � � � �� �
�
�
�x t x t u t u x dtj j k
x
x
k
j
k
k
(( ) ( ) )( ( ) ( ))1 1 1
1
1
� �
( )� � �
�
�
�
��
�
� �
�
�x t u t u x dtj k
x
x
k j
N
k
k
( ) ( ) ( )1 1
1
1
�
(28)
— ïîõèáêà àïðîêñèìàö³¿.
Âèêîíàâøè â (27) çàì³íó Z x
z x
x x
( )
( )
[ ( )]
�
�1
, îòðèìàºìî ñ³òêîâó çàäà÷ó
Z x
x x
x Z x x x xj
j j
j k k k j( )
( )[ ( )]
( ) ( )[ ( )] (�
� �
� � �1
2 1
1 1
� �
� �
�
�
�
��
�
�
�
� t dt
x
x
k
j
k
k
)1
1
1
�
� � � � �� �
�
�
x Z x x x t x t dtj k k k j
x
x
k
k
k
( )[ ( )] (( ) ( ) )1 1 1 1
1
� �
1
j
� �
� � �
�
�
�
��
��
� �
�
�x Z x x x t dtj k k k
x
x
k j
N
k
k
( )[ ( )] ( )1 1 1
1
1
� �( )
[ ( )]
x
x x
j
j j1�
,
j N Z x N� � �1 2 1 0, , ..., , ( ) . (29)
Ïîçíà÷èìî ñ³òêîâó íîðìó || || max | ( ) |,w w x
x
�
�
��
�
.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 1 89
Çíàéäåìî îö³íêó äëÿ
�
�
( )
[ ( )]
,
x
x x
j
j j1�
�
, äå �( )x j âèçíà÷åíà â (28).
ßêùî u C� � �
[ , ]
,
( )
0 1
0
0 1
, òî
| ( ) ( )|
( ) ( )
( )
( ) | |u t u x
u t u x
x t
x t h uk
k
k
k� �
�
�
�
%
%
%
%
%
%�
0,
; (30)
ÿêùî u x C( )
[ , ]
�
0 1
1 , òî
| ( ) ( )| | ( )( )| || || ( ( , ),u t u x u x t x h u x x xk k k k k k� � � � �� �1 1 ). (31)
Âðàõîâóþ÷è íåð³âíîñò³ (21), (30) ³ (31), ç ð³âíîñò³ (29) âèâîäèìî îö³íêè
|| ||
( )
|| ||
( )
| | (, , ,Z Z h u� �� �
�
� �
�
��
�
�
�
�
�
3
3
1
4
3
3
00� �
� 1),
|| ||
( )
|| ||
( )
|| ||, , ,Z Z h u� � �� �
�
� �
��
�
�
�
�
�
3
3
1
4
3
3
1� �
.
Çâ³äñè âèïëèâàþòü òàê³ òâåðäæåííÿ.
Òåîðåìà 3. Íåõàé âèêîíàíî óìîâè òåîðåìè 2. Òîä³ äëÿ ïîõèáêè (26) ñ³òêîâî¿
ñõåìè (25) ñïðàâäæóºòüñÿ âàãîâà îö³íêà, ÿêà âðàõîâóº êðàéîâèé åôåêò:
u u
x x
Mh u
h�
�
�
�[ ( )]
| |
,
,
1
0
�
, (32)
äå M � � �
�
�
�
!
"
#
#
�
�
�
1
3
4 3
3
3
1
�
�
�
�
� �( ) ( )
— ñòàëà, íåçàëåæíà â³ä h ³ u x( ) .
Çàóâàæåííÿ 3. ßêùî u x C( )
[ , ]
�
0 1
1 , òî äëÿ ïîõèáêè z x u x u xh( ) ( ) ( )� � ñ³òêî-
âî¿ ñõåìè (25) âèêîíóºòüñÿ âàãîâà îö³íêà
u u
x x
Mh u
h�
�
�
�
�
( )
|| ||
,
,
1
1
�
, (33)
äå M � � �
�
�
�
!
"
##
�
�
�
1
3
4 3
3
3
1
�
�
�
�� �( ) ( )
— ñòàëà, íå çàëåæíà â³ä h ³ u x( ) .
Ïîáóäóºìî ³ äîñë³äèìî ñ³òêîâó ñõåìó äðóãîãî ïîðÿäêó àïðîêñèìàö³¿
u x x x t L t u dth
j j j k
h
x
x
k
k
k
( )
( )
( ) ( ) ( ; )�
�
� � � �
�
�
1
2
1 1
1
1
� �
�
j
� �
�
�
�
��
� � � � �� �
�
�
�x t x t L t u dtj j k
h
x
x
k
j
k
k
(( ) ( ) ) ( ; )1 1 1
1
1
� �
� �
�
�
�
��
��
� �
�
�x t L t u dtj k
h
x
x
k j
N
k
k
( ) ( ; )1 1
1
1
�
� � � � � � � �( )( ( ) ( )) ( ( ) ( )), , , ..., ,1 0 1 12 1x x x x j Nj j j j u xh
N( ) � 0 , (34)
äå L t w
t x
x x
w x
x t
x x
w x t xk
k
k k
k
k
k k
k( ; ) ( ) ( ) , [�
�
�
�
�
�
��
� �
�
1
1 1
1 k kx�1, ] , — ³íòåðïî-
ëÿö³éíèé ïîë³íîì Ëàãðàíæà 1-ãî ñòåïåíÿ äëÿ ôóíêö³¿ w x( ) .
90 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 1
Äëÿ ïîõèáêè
z x u x u xh( ) ( ) ( )� � (35)
ìàºìî ñ³òêîâó ñõåìó
u x x x t L t u dth
j j j k
h
x
x
k
k
k
( )
( )
( ) ( ) ( ; )�
�
� � � �
�
�
1
2
1 1
1
1
� �
�
j
� �
�
�
�
��
� � � � �� �
�
�
�x t x t L t u dtj j k
h
x
x
k
j
k
k
(( ) ( ) ) ( ; )1 1 1
1
1
� �
� �
�
�
�
��
� ��
� �
�
�x t L t u dt x jj k
h
x
x
k j
N
j
k
k
( ) ( ; ) ( ) ,1 11
1
1
� � , , ..., , ( ) ,2 1 0N u xh
N� � (36)
äå
�
�
�( )
( )
( ) ( ) ( ( ) ( ; ))x x x t u t L t u dtj j j k
x
x
k
�
�
� � � ��
�
1
2
1 1
1
�
k
k
j
�
�
�
�
�
�
�� 1
� � � � �� �
�
�
x t x t u t L t u dtj j k
x
x
k
j
k
k
(( ) ( ) )( ( ) ( ; ))1 1 1
1
1
� �� �
� � �
�
�
�
��
�
� �
�
�x t u t L t u dtj k
x
x
k j
N
k
k
( ) ( ( ) ( ; ))1 1
1
1
�
(37)
— ïîõèáêà àïðîêñèìàö³¿.
Òîä³ ôóíêö³ÿ Z x
z x
x x
( )
( )
[ ( )]
�
�1
º ðîçâ’ÿçêîì ñ³òêîâî¿ çàäà÷³
Z x
x x
x x t L t xj
j j
j j k( )
( ) [ ( )]
( ) ( ) ( ; [ (�
� �
� � � ��1
2 1
1 11
� �
� x Z dt
x
x
k
j
k
k
)] )
�
�
�
�
�
�
�
�� 1
1
� � � � �� �
�
�
x t x t L t x x Z dtj j k
x
x
k
k
k
(( ) ( ) ) ( ; [ ( )] )1 11 1
1
� �
1
j
� �
( )� � �
�
�
�
��
��
� �
�
�x t L t x x Z dt
x
j k
x
x
k j
N
j
k
k
( ) ; ( )
( )
[
1 11
1
1
� �
x xj j( )]1�
,
j N u xh
N� � �1 2 1 0, , ..., , ( ) . (38)
Çíàéäåìî îö³íêó äëÿ
�
�
( )
[ ( )]
,
x
x x
j
j j1�
� , äå �( )x j âèçíà÷åíà â (37).
ßêùî u C� � �
[ , ]
,
( )
0 1
0
0 1
, òî
' 'u t L t u u t
t x
x x
u x
x t
x x
uk
k
k k
k
k
k k
( ) ( ; ) ( ) ( ) (� � �
�
�
�
�
�
�
� �
1
1 1
xk�
%
%
% %
%
%�1 )
�
�
�
� �
�
�
��
� �
�
t x
x x
u t u x
x t
x x
u t u xk
k k
k
k
k k
k
1
1 1
1( ( ) ( )) ( ( ) ( ))
%
%
% %
%
%�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
� �
t x
x x
u t u x
x t
x t
x t
x x
k
k k
k
k
k
k
k k
1
1 1
( ) ( )
( )
( )
u t u x
t x
t x h uk
k
k
( ) ( )
( )
( ) | | ;,
�
�
�
%
%
%
%
%
%��
�
�
1
1
1 0
(39)
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 1 91
ÿêùî u C�
[ , ]0 1
1 , òî
' 'u t L t u
t x
x x
u t u x
x t
x x
k
k
k k
k
k
k k
( ) ( ; ) ( ( ) ( ))� �
�
�
� �
�
�
�
� �
1
1 1
( ( ) ( ))u t u xk�%
%
% %
%
%��1
�
�
�
� �
�
�
��
� �
�
t x
x x
u x t x
x t
x x
u x t xk
k k
k k
k
k k
k k
1
1 1
( )( ) ( )( 1 )
%
%
% %
%
%�
�
� �
�
��
�
� �
2
2
1
1
1 1
( )( )
|| || || ||, ,
t x x t
x x
u
h
uk k
k k
( , ( , ))x x x xk k k k� �1 ; (40)
ÿêùî u C� � �
[ , ]
,
( )
0 1
1
0 1
, òî
' 'u t L t u
t x
x x
u t u x
x t
x x
k
k
k k
k
k
k k
( ) ( ; ) ( ( ) ( ))� �
�
�
� �
�
�
�
� �
1
1 1
( ( ) ( ))u t u xk�%
%
% %
%
%��1
�
�
�
� �
�
�
��
� �
�
t x
x x
u x t x
x t
x x
u x t xk
k k
k k
k
k k
k k
1
1 1
( )( ) ( )( 1 )
%
%
% %
%
% �
�
� �
�
�
�
��
�
( )( ) ( ) ( )
( )
( )
t x x t
x x
u x u x
x x
x xk k
k k
k k
k k
k k
1
1
%
%
%
%
%
% �
�h
u
1
1
4
| | ,
( , ( , ))x x x xk k k k� �1 ; (41)
ÿêùî u C�
[ , ]0 1
2 , òî ç óðàõóâàííÿì ôîðìóëè [19]
u t L t u
u x
t x t x x x xk
k
k k k k k( ) ( ; )
( )
!
( )( ) , ( , )� �
� � �� �
2
1 1 ,
îòðèìàºìî
' 'u t L t u
h
uk( ) ( ; ) || || ,� � �
2
2
8
. (42)
Âðàõîâóþ÷è íåð³âíîñò³ (21), (39)–(42), ç ð³âíîñò³ (29) âèâîäèìî îö³íêè
|| ||
( )
|| ||
( )
| | (, , ,Z Z h u� �� �
�
� �
�
��
�
�
�
�
�
3
3
1
4
3
3
00� �
� 1) ,
|| ||
( )
|| ||
( )
|| ||, , ,Z Z
h
u� � �� �
�
� �
�� �
�
�
�
�
3
3
1
4
3
3 2
1� �
,
|| ||
( )
|| ||
( )
| |, , ,Z Z
h
u� �
�
� �
�
� �
��
�
�
�
�
�
3
3
1
4
3
3 4
1
1� �
( )0 1� �
,
|| ||
( )
|| ||
( )
|| ||, , ,Z Z
h
u� � �� �
�
� �
�� �
�
�
�
�
3
3
1
4
3
3 8
2
2� �
.
Çâ³äñè âèïëèâàþòü òàê³ òâåðäæåííÿ.
Òåîðåìà 4. Íåõàé ñëàáêèé ðîçâ’ÿçîê u x( ) çàäà÷³ (14) çàäîâîëüíÿº óìîâó
u C
k�
[ , ]
,
0 1
( , ; )k � � �0 1 0 1
³ âèêîíàíà óìîâà (17). Òîä³ äëÿ ïîõèáêè (35) ñ³òêîâî¿
ñõåìè (34) ñïðàâäæóºòüñÿ âàãîâà îö³íêà, ÿêà âðàõîâóº êðàéîâèé åôåêò:
u u
x x
M h u
h
k
k
k
�
�
�
�
�
[ ( )]
| |
,
,
1
�
, (43)
92 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 1
äå M 0 ³ M1 — ñòàë³, ÿê³ º íåçàëåæíèìè â³ä h òà u x( ) ,
M 0
1
1
3
4 3
3
3
� � �
�
�
�
!
"
#
#
�
�
�
�
�
�
�
� �( ) ( )
, M1
1
1
3
4 3
3
4 3
� � �
�
�
�
!
"
#
#
�
�
�
�
�
�
�
� �( ) ( )
.
Çàóâàæåííÿ 4. ßêùî u C�
[ , ]0 1
1 , òî äëÿ ïîõèáêè z x u x u xh( ) ( ) ( )� � ñ³òêîâî¿
ñõåìè (34) âèêîíóºòüñÿ âàãîâà îö³íêà
u u
x x
M h u
h�
�
�
�
�
( )
|| ||
,
,
1
1 1
�
,
ÿêùî u C�
[ , ]0 1
2 , òî ñïðàâäæóºòüñÿ âàãîâà îö³íêà
u u
x x
M h u
h�
�
�
�
�
( )
|| ||
,
,
1
2
2
2
�
,
äå M1 ³ M 2 — ñòàë³, ÿê³ º íåçàëåæíèìè â³ä h òà u x( ) ,
M1
1
1
3
4 3
3
2 3
� � �
�
�
�
!
"
##
�
�
�
�
�
�
�� �( ) ( )
, M 2
1
1
3
4 3
3
8 3
� � �
�
�
�
!
"
##
�
�
�
�
�
�
�� �( ) ( )
.
×ÈÑÅËÜÍÈÉ ÏÐÈÊËÀÄ
Ðîçãëÿíåìî çàäà÷ó (14) ïðè � �1 2/ :
�
�
� � � �
u x
d
dx
u t dt
x t
f x x
x
( )
( )
( ),
1
0 1
0
�
, u u( ) , ( )0 0 1 0� � . (44)
Äëÿ íàáëèæåíîãî ðîçâ’ÿçóâàííÿ ñêîðèñòàºìîñÿ ñ³òêîâîþ ñõåìîþ (25) ïåðøîãî
ïîðÿäêó àïðîêñèìàö³¿:
1
2
1
1
� � � �
�
�
�
��
�
�
�
��
�
�
�
( ) ( )x t x t dt u xj j
x
x
h
j
j
j
� � � � � �
�
�
�
�2
1
2
1
1
1
1
� �
u x x t x t dt x u xh
k j j
x
x
k
j
j
h
k
k
k
( ) ( ) ( ) tdt
x
x
k j
N
k
k
�
�
� �
�
�
1
1
1
� � � � � �
( ) ( ) ( ) ( ) , , , ...,1 1 1 2 1
0
1
x f d x f d j Nj
x
j
x
j
j
� � � � � � ; (45)
� h jx jh j N h N� � � � �{ , , , , / }1 1 1� , äå N & 2 — ö³ëå.
Ïðè f x x x x( ) / /� � ��
�
!
"
#6
1
2
16
5
1 2 5 2
�
çàäà÷à (44) ìຠòî÷íèé ðîçâ’ÿçîê
u x x x( ) ( )� �1 2 . Ó ïðàâ³é ÷àñòèí³ ñèñòåìè (45) îòðèìóºìî
( ) ( )/ /1 6
2 16
5
1 61 2 5 2
0
� � �
�
�
!
"
## � � �
x d xj
x
j
j
� �
�
�
�
� � � �
2 16
5
1 2 5 2
1
�
�
�
� �/ / .�
�
�
!
"
##
d
xj
Îö³íêà (33) ìຠâèãëÿä
u u
x x
Mh u
h�
�
�
�
�
( )
|| ||
,
,
1
1
�
,
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 1 93
äå M � � �
�
�
�
!
"
##
�
�
�
�
�
�
1
3
4 3
3
3
20
6 5
3 5494201
1
�
�
�
� �� �( ) ( )
, 96� ,
|| || || ||,u x1
21 3 2� �� � � .
Ðåçóëüòàòè îá÷èñëåíü íàâåäåíî â òàáë. 1.
Äëÿ ÷èñëîâèõ ðîçðàõóíê³â âèêîðèñòàíî ïàêåò Maple 18.
ÂÈÑÍÎÂÊÈ
Îòðèìàí³ â òåîðåìàõ 2 ³ 3 âàãîâ³ îö³íêè ñâ³ä÷àòü ïðî òå, ùî òî÷í³ñòü íàáëè-
æåíîãî ðîçâ’ÿçêó ïåðøî¿ êðàéîâî¿ çàäà÷³ äëÿ ð³âíÿííÿ ç äðîáîâîþ ïîõ³äíîþ ó
ïðèìåæîâèõ âóçëàõ ñ³òêè âèùà, í³æ â ¿¿ âíóòð³øí³õ âóçëàõ. Òåîðåòè÷í³ âèñ-
íîâêè óçãîäæóþòüñÿ ç ðåçóëüòàòàìè îá÷èñëåíü.
ÑÏÈÑÎÊ Ë²ÒÅÐÀÒÓÐÈ
1. Samarskii A.A. The theory of difference schemes. New York: Marcel Dekker, Inc., 2001. 762 p.
2. Ãàëáà Å.Ô. Î ïîðÿäêå òî÷íîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà ñî ñìåøàííûì
ãðàíè÷íûì óñëîâèåì. Ñá. «Îïòèìèçàöèÿ àëãîðèòìîâ ïðîãðàììíîãî îáåñïå÷åíèÿ ÝÂÌ».
Êèåâ: Èí.-ò êèáåðíåòèêè èì. Â. Ì. Ãëóøêîâà ÀÍ ÓÑÑÐ. 1985. Ñ 30–34.
3. Makarov V. On a priori estimate of difference schemes giving an account of the boundary effect.
C. R. Acad. Bulg. Sci. (Proc. of the Bulgarian Academy of Sciences). 1989. Vol. 42, N 5. P. 41–44.
4. Makarov V.L., Demkiv L.I. Accuracy estimates of difference schemes for quasi-linear elliptic
equations with variable coefficients taking into account boundary effect. Lect. Notes Comput. Sc.
2005. Vol. 3401. P. 80–90.
5. Makarov V.L., Demkiv L.I. Weight uniform accuracy estimate of finite-difference method for Poisson
equation taking into account boundary effect. Lect. Notes Comput. Sc. 2009. Vol. 5434. P. 92–103.
6. Ìàêàðîâ Â.Ë., Äåìê³â Ë.². Ïîêðàùåí³ îö³íêè òî÷íîñò³ òðàäèö³éíèõ ð³çíèöåâèõ ñõåì äëÿ ïàðà-
áîë³÷íèõ ð³âíÿíü. Ïðàö³ óêð. ìàòåì. êîíãðåñó. 2001. Ñ. 31–42.
7. Ìàêàðîâ Â.Ë., Äåìê³â Ë.². Îö³íêè òî÷íîñò³ ð³çíèöåâèõ ñõåì äëÿ ïàðàáîë³÷íèõ ð³âíÿíü, ùî âðà-
õîâóþòü ïî÷àòêîâî-êðàéîâèé åôåêò. Äîïîâ³ä³ ÍÀÍ Óêðà¿íè. 2003. ¹ 2. Ñ. 26–32.
8. Mayko N.V. Improved accuracy estimates of the difference scheme for the two-dimensional
parabolic equation with regard for the effect of initial and boundary conditions. Cybern. Syst. Anal.
2017. Vol. 53, N 1. P. 99–107.
9. Machado J.A., Galhano A.M.S.F., Trujillo J.J. On development of fractional calculus during the last
fifty years. Scientometrics. 2014. Vol. 98, Iss. 1. P. 577–582.
10. Bulavatsky V.M. Fractional differential analog of biparabolic evolution equation and some of its
application. Cybern. Syst. Anal. 2016. Vol. 52, N 5. P. 737–747.
11. Âàñèëüåâ Â.Â, Ñèìàê Ë.À. Äðîáíîå èñ÷èñëåíèå è àïïðîêñèìàöèîííûå ìåòîäû â ìîäåëèðîâà-
íèè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Êèåâ: ÍÀÍ Óêðàèíû, 2008. 256 ñ.
94 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 1
Ò à á ë è ö ÿ 1
N err h
hu x u x
x x
h
�
�
�
�
( ) ( )
( )
,
1
�
Mh u|| || ,1 �
p
h
h
� log
/
2
2
err
err
4 0.108432317883416745723216 1.774710098 ––
8 0.0547152701094182091868434 0.887355049 0.986779384943758484362501
16 0.0275431416451253171904171 0.443677524 0.990250394523665314608884
32 0.0138219070074192345792445 0.221838762 0.994736448571623860157041
64 0.00692350462915187444833523 0.110919381 0.997382268069024220886207
128 0.00346479632445953474833496 0.055459690 0.998731957725250175509775
256 0.00173313158010428842310395 0.027729845 0.999389358381004698470821
512 0.000866742870244009382101217 0.013864922 0.999705219593735010043082
12. Demkiv I.I., Gavrilyuk I.P., Makarov V.L. Super-exponentionally convergent parallel algorithm for
the eirgen value problems with fractional derivatives. Comput. Methods Appl. Math. 2016. Vol. 16,
N 4. P 633–652.
13. Bangti J., Lazarov R., Vabishchevich P. Preface: Numerical analysis of fractional differential
equations. Comp. Methods Appl. Math. 2017. Vol. 17, N 4. P. 643–646.
14. Makarov V.L, Mayko N.V. The boundary effect in the accuracy estimate for the grid solution of the
fractional differential equation. Computational Methods in Applied Mathematics. 2018. Vol. 20,
Iss. 10. DOI: https://doi.org/10.1515/cmam-2018-0002.
15. Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Fractional integrals and derivatives: Theory and
applications. New York: Gordon and Breach Science, 1993. 1006 p.
16. Ñàìàðñêèé À.À., Ëàçàðîâ Ð.Ä., Ìàêàðîâ Â.Ë. Ðàçíîñòíûå ñõåìû äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâ-
íåíèé ñ îáîáùåííûìè ðåøåíèÿìè. Ìîñêâà: Âûñøàÿ øêîëà, 1987. 296 ñ.
17. Evans L.C. Partial differential equations. 2nd ed. Providence, USA: AMS Press, 2010. 778 p.
18. Áèöàäçå À.Â. Íåêîòîðûå êëàññû óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ. Ìîñêâà: Íàóêà, 1981. 448 ñ.
19. Ãàâðèëþê ².Ï., Ìàêàðîâ Â.Ë. Ìåòîäè îá÷èñëåíü. ×àñòèíà 1. Êè¿â: Âèùà øêîëà, 1995. 367 ñ.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 14.01.2018
Â.Ë. Ìàêàðîâ, Í.Â. Ìàéêî
ÊÐÀÅÂÎÉ ÝÔÔÅÊÒ Â ÎÖÅÍÊÅ ÒÎ×ÍÎÑÒÈ ÑÅÒÎ×ÍÎÃÎ ÌÅÒÎÄÀ
ÄËß ÐÅØÅÍÈß ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎÃÎ ÓÐÀÂÍÅÍÈß Ñ ÄÐÎÁÍÎÉ ÏÐÎÈÇÂÎÄÍÎÉ
Àííîòàöèÿ. Ïîñòðîåíû è èññëåäîâàíû ñåòî÷íûå ìåòîäû ðåøåíèÿ ïåðâîé
êðàåâîé çàäà÷è äëÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïðîèçâîäíîé Ðèìà-
íà–Ëèóâèëëÿ äðîáíîãî ïîðÿäêà. Ïðè ïîìîùè ôóíêöèè Ãðèíà êðàåâàÿ çàäà-
÷à ñâîäèòñÿ ê èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ Ôðåäãîëüìà, äëÿ äèñêðåòèçàöèè
êîòîðîãî ïðèìåíÿþòñÿ èíòåðïîëÿöèîííûå ïîëèíîìû Ëàãðàíæà. Äîêàçàíû
âåñîâûå îöåíêè òî÷íîñòè ñåòî÷íûõ çàäà÷, ó÷èòûâàþùèå âëèÿíèå êðàåâîãî
óñëîâèÿ Äèðèõëå. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ñâèäåòåëüñòâóþò î òîì, ÷òî
â ïðèãðàíè÷íûõ óçëàõ ñåòêè òî÷íîñòü ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ âûøå, ÷åì
â åå âíóòðåííèõ óçëàõ. Òåîðåòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû ïðîèëëþñòðèðîâàíû ÷èñ-
ëåííûì ïðèìåðîì.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, êðàåâîå óñëîâèå Äèðèõëå,
ïðîèçâîäíàÿ äðîáíîãî ïîðÿäêà, ñåòî÷íîå ðåøåíèå, îöåíêà ïîãðåøíîñòè,
êðàåâîé ýôôåêò.
V.L. Makarov, N.V. Mayko
BOUNDARY EFFECT IN ERROR ESTIMATE OF THE GRID METHOD
FOR SOLVING A FRACTIONAL DIFFERENTIAL EQUATION
Abstract. We construct and analyze grid methods for solving the first
boundary-value problem for an ordinary differential equation with the
Riemann–Liouville fractional derivative. Using Green’s function, we replace the
boundaryvalue problem by the Fredholm integral equation, which is then
discretized by means of the Lagrange interpolation polynomials. We prove the
weight error estimates, which take into account the impact of the Dirichlet
boundary condition. All the results give us clear evidence that the accuracy
order of the grid scheme is higher near the endpointd of the line segment than
in the inner points of the mesh set. We provide a numerical example to support
the theory.
Keywords: fractional differential equation, Dirichlet boundary condition, grid
solution, error estimate, boundary effect.
Ìàêàðîâ Âîëîäèìèð Ëåîí³äîâè÷,
àêàäåì³ê ÍÀÍ Óêðà¿íè, äîêòîð ô³ç.-ìàò. íàóê, ïðîôåñîð, çàâ³äóâà÷ â³ää³ëó ²íñòèòóòó ìàòåìàòèêè
ÍÀÍ Óêðà¿íè, Êè¿â, e-mail: makarovimath@gmail.com.
Ìàéêî Íàòàë³ÿ Âàëåíòèí³âíà,
êàíäèäàò ô³ç.-ìàò. íàóê, äîöåíò, äîöåíò êàôåäðè Êè¿âñüêîãî íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó ³ìåí³ Òàðàñà
Øåâ÷åíêà, e-mail: mayko@knu.ua.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 1 95
|