Експоненціально збіжний метод для розв’язування абстрактного інтегро-диференціального рівняння з дробовим інтегралом Харді—Тітчмарша
Розглянуто однорідне дробово-диференціальне рівняння з дробовим інтегралом Харді—Тітчмарша та не обмеженим операторним коефіцієнтом в банаховому просторі. Встановлено умови для зображення розв’язку у вигляді інтеграла Данфорда—Коші та розроблено експоненціально збіжний наближений метод. A homogene...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2021 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2021
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180384 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Експоненціально збіжний метод для розв’язування абстрактного інтегро-диференціального рівняння з дробовим інтегралом Харді—Тітчмарша / В.Л. Макаров, І.П. Гаврилюк, В.Б. Василик // Доповіді Національної академії наук України. — 2021. — № 1. — С. 3-8. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-180384 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Макаров, В.Л. Гаврилюк, І.П. Василик, В.Б. 2021-09-20T15:59:09Z 2021-09-20T15:59:09Z 2021 Експоненціально збіжний метод для розв’язування абстрактного інтегро-диференціального рівняння з дробовим інтегралом Харді—Тітчмарша / В.Л. Макаров, І.П. Гаврилюк, В.Б. Василик // Доповіді Національної академії наук України. — 2021. — № 1. — С. 3-8. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2021.01.003 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180384 519.6 Розглянуто однорідне дробово-диференціальне рівняння з дробовим інтегралом Харді—Тітчмарша та не обмеженим операторним коефіцієнтом в банаховому просторі. Встановлено умови для зображення розв’язку у вигляді інтеграла Данфорда—Коші та розроблено експоненціально збіжний наближений метод. A homogeneous fractional-differential equation with a fractional Hardy—Titchmarsh integral and an unbounded operator coefficient in a Banach space is considered. The conditions for the representation of the solution in the form of a Danford—Cauchy integral are established, and an exponentially convergent approximation method is developed. Робота частково підтримана Національним фондом досліджень України, проєкт № 2020.02-0089. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Експоненціально збіжний метод для розв’язування абстрактного інтегро-диференціального рівняння з дробовим інтегралом Харді—Тітчмарша Exponentially convergent method for an abstract integro - differential equation with fractional Hardy - Titchmarsh integral Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Експоненціально збіжний метод для розв’язування абстрактного інтегро-диференціального рівняння з дробовим інтегралом Харді—Тітчмарша |
| spellingShingle |
Експоненціально збіжний метод для розв’язування абстрактного інтегро-диференціального рівняння з дробовим інтегралом Харді—Тітчмарша Макаров, В.Л. Гаврилюк, І.П. Василик, В.Б. Математика |
| title_short |
Експоненціально збіжний метод для розв’язування абстрактного інтегро-диференціального рівняння з дробовим інтегралом Харді—Тітчмарша |
| title_full |
Експоненціально збіжний метод для розв’язування абстрактного інтегро-диференціального рівняння з дробовим інтегралом Харді—Тітчмарша |
| title_fullStr |
Експоненціально збіжний метод для розв’язування абстрактного інтегро-диференціального рівняння з дробовим інтегралом Харді—Тітчмарша |
| title_full_unstemmed |
Експоненціально збіжний метод для розв’язування абстрактного інтегро-диференціального рівняння з дробовим інтегралом Харді—Тітчмарша |
| title_sort |
експоненціально збіжний метод для розв’язування абстрактного інтегро-диференціального рівняння з дробовим інтегралом харді—тітчмарша |
| author |
Макаров, В.Л. Гаврилюк, І.П. Василик, В.Б. |
| author_facet |
Макаров, В.Л. Гаврилюк, І.П. Василик, В.Б. |
| topic |
Математика |
| topic_facet |
Математика |
| publishDate |
2021 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Exponentially convergent method for an abstract integro - differential equation with fractional Hardy - Titchmarsh integral |
| description |
Розглянуто однорідне дробово-диференціальне рівняння з дробовим інтегралом Харді—Тітчмарша та
не обмеженим операторним коефіцієнтом в банаховому просторі. Встановлено умови для зображення
розв’язку у вигляді інтеграла Данфорда—Коші та розроблено експоненціально збіжний наближений метод.
A homogeneous fractional-differential equation with a fractional Hardy—Titchmarsh integral and an unbounded
operator coefficient in a Banach space is considered. The conditions for the representation of the solution
in the form of a Danford—Cauchy integral are established, and an exponentially convergent approximation
method is developed.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180384 |
| citation_txt |
Експоненціально збіжний метод для розв’язування абстрактного інтегро-диференціального рівняння з дробовим інтегралом Харді—Тітчмарша / В.Л. Макаров, І.П. Гаврилюк, В.Б. Василик // Доповіді Національної академії наук України. — 2021. — № 1. — С. 3-8. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT makarovvl eksponencíalʹnozbížniimetoddlârozvâzuvannâabstraktnogoíntegrodiferencíalʹnogorívnânnâzdrobovimíntegralomhardítítčmarša AT gavrilûkíp eksponencíalʹnozbížniimetoddlârozvâzuvannâabstraktnogoíntegrodiferencíalʹnogorívnânnâzdrobovimíntegralomhardítítčmarša AT vasilikvb eksponencíalʹnozbížniimetoddlârozvâzuvannâabstraktnogoíntegrodiferencíalʹnogorívnânnâzdrobovimíntegralomhardítítčmarša AT makarovvl exponentiallyconvergentmethodforanabstractintegrodifferentialequationwithfractionalhardytitchmarshintegral AT gavrilûkíp exponentiallyconvergentmethodforanabstractintegrodifferentialequationwithfractionalhardytitchmarshintegral AT vasilikvb exponentiallyconvergentmethodforanabstractintegrodifferentialequationwithfractionalhardytitchmarshintegral |
| first_indexed |
2025-11-25T16:24:56Z |
| last_indexed |
2025-11-25T16:24:56Z |
| _version_ |
1850517990955548672 |
| fulltext |
3
ОПОВІДІ
НАЦІОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМІЇ НАУК
УКРАЇНИ
МАТЕМАТИКА
MATHEMATICS
ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2021. № 1: 3—8
Ц и т у в а н н я: Макаров В.Л., Гаврилюк І.П., Василик В.Б. Експоненціально збіжний метод для роз в’я зу-
вання абстрактного інтегро-диференціального рівняння з дробовим інтегралом Харді—Тітчмарша. Допов.
Нац. акад. наук Укр. 2021. № 1. С. 3—8. https://doi.org/10.15407/dopovidi2021.01.003
За останні роки значно зріс інтерес до диференціальних рівнянь із дробовими похідними.
Пов’язано це з тим, що дробовий аналіз знайшов широке застосування в моделюванні ба-
гатьох природних і соціальних явищ, про що свідчить величезна кількість публікацій та
наукових конференцій. Найчастіше такі задачі виникають під час моделювання явищ лі-
нійної в’язкопружності. Ефективним є також використання дробових похідних у моделях
аномальної дифузії, теорії керування, електродинаміки, нелінійної гідроакустики тощо.
Для аналітичного розв’язування диференціальних рівнянь із дробовими похідними ви-
користовують методи інтегральних перетворень (Фур’є, Лапласа, Мелліна), метод функції
Гріна та ін., однак лише в небагатьох (деяких лінійних) випадках їх розв’язки можна знайти
в замкнутій формі. Тому актуальним питанням є розробка ефективних і надійних набли-
жених методів розв’язування таких рівнянь.
У даній роботі розглядається диференціальне рівняння з дробовою похідною і необ-
меженим операторним коефіцієнтом
https://doi.org/10.15407/dopovidi2021.01.003
УДК 519.6
В.Л. Макаров 1, І.П. Гаврилюк 2, В.Б. Василик 1
1 Інститут математики НАН України, Київ
2 Дуальна вища школа Гера–Айзенах, Німеччина
E-mail: makarov@imath.kiev.ua, iwan.gawriljuk@dhge.de, vasylyk@imath.kiev.ua
Експоненціально збіжний метод для розв’язування
абстрактного інтегро-диференціального рівняння
з дробовим інтегралом Харді—Тітчмарша
Представлено академіком НАН України В.Л. Макаровим
Розглянуто однорідне дробово-диференціальне рівняння з дробовим інтегралом Харді—Тітчмарша та
не обмеженим операторним коефіцієнтом в банаховому просторі. Встановлено умови для зображення
розв’язку у вигляді інтеграла Данфорда—Коші та розроблено експоненціально збіжний наближений метод.
Ключові слова: диференціальне рівняння з дробовими похідними, необмежений оператор, експоненціально
збіжний метод.
4 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2021. № 1
В.Л. Макаров, І.П. Гаврилюк, В.Б. Василик
1
0
( ) ( ) 0, (0, ), ( 1,1),
(0) ,
t D u t Au t t
u u
α+
∞− + = ∈ ∞ α∈ −
=
(1)
де 1
t D +α
∞ — права похідна Рімана—Ліувілля
1
[ ] 1
{ }
1
( ) ( ) , 0,
( )
( )
1 ( )
, 0,
(1 { }) ( )
t
t
t
s t f s ds
D f t
d f s
ds
dt s t
∞
−ν−
ν
∞ ν + ∞
ν
⎧
− ν <⎪
Γ −ν⎪
=⎨
⎪ ⎛ ⎞− ν⎜ ⎟⎪Γ − ν −⎝ ⎠⎩
∫
∫
A — сильно позитивний оператор із всюди щільною областю визначення ( )D A у бана-
хо вому просторі X . Його спектр лежить у секторі Σ( )A
0( ) e : [0, ), | | ,
2
iA z a r rφ π⎧ ⎫Σ = = + ∈ ∞ φ ϕ<⎨ ⎬
⎩ ⎭
а на його границі ΣΓ та зовні неї виконується оцінка
1( )
1 | |
M
zI A
z
−−
+
з деякою додатною сталою M . Зазначимо, що випадок задачі (1) з лівою похідною Ріма-
на—Ліувілля на скінченному інтервалі розглянуто в [1].
Має місце
Теорема 1. Розв’язок задачі (1) за виконання умов
lim[( ) ( )] 0,
lim[( ) ( )] 0
s
s
s
s
s t D u s
s t D u s
α+1 α
∞→∞
α α−1
∞→∞
− =
− =
(2)
зображується через операторну експоненту і має вигляд
1/(1 )( ) exp( ) (0).u t A t u+α= − (3)
Доведення. Дійсно, застосовуючи оператор ( 1)
t D − α+
∞ до рівняння (1) та враховуючи
умо ву (2), отримаємо рівняння
( 1)( ) ( ) 0, (0, ), ( 1,1),tu t A D u t t− α+
∞− + = ∈ ∞ α∈ −
яке збігається з інтегральним рівнянням Харді—Тітчмарша, якщо в ньому замінити α на
α +1 (див. [2]). Звідси випливає, що розв’язок задачі (1) можна записати у вигляді (3).
За допомогою інтеграла Данфорда—Коші, з деякою його модифікацією резольвенти
(див. [3]), формулу (3) можна зобразити у такий спосіб:
1 (1 ) 11 1
( ) e ( ) (0) ,
2
t zu t zI A I u dz
i z
+α− −
Γ
⎡ ⎤= − −⎢ ⎥π ⎣ ⎦∫ (4)
5ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2021. № 1
Експоненціально збіжний метод для розв’язування абстрактного інтегро-диференціального рівняння...
де Γ — гладка крива, що охоплює спектральний контур, і якщо обходити її проти го дин-
никової стрілки, цей контур залишиться зліва.
За контур інтегрування у (4) візьмемо криву ΓI
{ ( ) cosh i sinh , ( , )},I I Iz a bΓ = ξ = ξ− ξ ξ∈ −∞ ∞
яка охоплює спектральну параболу з параметрами ,I Ia b , що будуть визначені нижче та
залежать від параметра α, і коли α→ 0, то виконуються граничні співвідношення
0 0
0 0
cos sin
4 2 4 2
, .
cos cosI Ia a b a
α→ α→
π ϕ π ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠→ →
ϕ ϕ
Тоді (4) набуває вигляду
1
( ) ( , ) (0) ,
2 i Au t F t u d
∞
−∞
= ξ ξ
π ∫ (5)
1/(1 )( ) 1 1
( , ) e ( sinh i cosh ) ( ( ) ) ,
( )
z t
A I IF t a b z I A I
z
+α− ξ −⎡ ⎤
ξ = ξ− ξ ξ − −⎢ ⎥ξ⎣ ⎦
i ( )( ) cosh i sinh ( )e .I Iz a b ψ ξξ = ξ ξ = ρ ξ−
Для існування інтеграла (5) необхідно, щоб дійсна частина показника експоненти була
від’єм ною, тобто
( )1/(1 )Re ( ) 0z +αξ > .
У результаті одержуємо
ψ ξ⎛ ⎞ >⎜ ⎟+α⎝ ⎠
( )
cos 0,
1
тобто
2 2 2 2
cosh( ) 1
cos( ( )) cos
2cosh sinh
I
I I
a
a b
ξ +α⎛ ⎞ψ ξ = > π ⇒⎜ ⎟
⎝ ⎠ξ+ ξ
2
1 1
cos , ( 1,1).
2
1 tanhI
I
b
a
+α⎛ ⎞⇒ π α∈ −⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞
+ ξ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Звідси видно, що для випадку додатного α дійсна частина контуру інтегрування бу де
додатною, тому ΓI можна вибрати таким, як у [3], тобто коли α = 0. У випадку від’єм ного
α з останньої нерівності отримуємо умови
1
tan , ( 1,0).
2
I
I
b
a
+α⎛ ⎞π α∈ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
6 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2021. № 1
В.Л. Макаров, І.П. Гаврилюк, В.Б. Василик
Для можливості засто сування експоненціально збіжної квадратурної формули, тре ба піді-
брати параметри aI, bI таким чином, щоб підінтегральна функція ξ( , )AF t мала ана літичне
продовження відносно ξ у смугу
1
1 1
1( i ) : ( , ), , , 0 .
2 2d
d d
D z d
⎧ ⎫⎡ ⎤= = ξ+ ν ξ∈ −∞ ∞ ν∈ − >⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭
Зробимо заміну ξ на ( i )ξ+ ν у функції ( , )AF t ξ . Тоді для того щоб існувало аналітич не
продовження в смугу
1dD та інтеграл залишався збіжним, необхідно, щоб
( )1/(1 )
2 2 2 2
Re ( i ) 0, ( i ) ( ) cosh( ) i ( )sinh( ),
( ) sin( ), ( ) cos( ).I I I I
z z a b
a a b b a b
+αξ+ ν > ξ+ ν = ν ξ − ν ξ
ν = + ν +ψ ν = + ν +ψ
Дана умова буде виконуватись, якщо
,
2
α
ν +ψ < π (6)
де
2 2 2 2
cos( ) , sin( ) .I I
I I I I
b a
a b a b
ψ = ψ =
+ +
Крім того, аналогічно до [3] необхідно застосувати вимогу, щоб гіпербола
{ ( i ) [ ( )cosh( ) i ( )sinh( )] : ( , )}z a bξ+ ν = ν ξ − ν ξ ξ∈ −∞ ∞
для 1 1,
2 2
d d⎛ ⎞ν∈ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
залишалась у правій півплощині. Ця вимога буде виконуватись, якщо бу-
дуть вірними співвідношення
1 0 1 0
1 0 1 0
0 0
( / 2) , ( / 2) tan( ( , )),
( / 2) , ( / 2) tan( ),
0 , .
2
a d c b d c
a d a b d a
c a
− = − = θ ν +ψ ξ
= = ϕ
π
< < ϕ < θ <
(7)
Тут ( , )θ = θ ν +ψ ξ визначається у такий спосіб:
1/(1 ) 1/(1 )( i ) [ ( )cosh( ) i ( )sinh( )]z a b+α +αξ+ ν = ν ξ − ν ξ =
1/(1 )
2 2 ( , )
( , ) exp i ,
1I Ia b r
+α θ ν +ψ ξ⎛ ⎞⎡ ⎤= + ν ξ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ +α⎝ ⎠
2 2 2 2( , ) sin ( )cosh ( ) cos ( )sinh ( ),r ν ξ = ν +ψ ξ + ν +ψ ξ
sin( )cosh( )
cos( ( , )) ,
( , )
cos( )sinh( )
sin( ( , )) .
( , )
r
r
ν +ψ ξ
θ ν +ψ ξ =
ν ξ
ν +ψ ξ
θ ν +ψ ξ =
ν ξ
7ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2021. № 1
Експоненціально збіжний метод для розв’язування абстрактного інтегро-диференціального рівняння...
Розв’язуючи систему (7) , отримуємо
0 0 0 0
cos(( ) / 2) sin(( ) / 2) cos( )
, , ,
cos( ) cos( ) cos( )I Ia a b a c a
θ+ϕ θ+ϕ θ
= = =
ϕ ϕ ϕ
(8)
1 .d = θ−ϕ (9)
Отже, ми довели таку теорему.
Теорема 2. За виконання умов (6), (8) функція ( , )AF t ξ має аналітичне продовження в
смугу
1dD , ширина якої визначається з (9) .
Справедливою є теорема:
Теорема 3. Нехай виконуються умови теореми 2 і (0) ( ), 0.u D Aβ∈ β > Тоді для функ ції
( , )AF t ξ у просторі
1
1( )dH D вірною є оцінка
1
1
( )3
( )
,
( , ) (0) (0) ,
d
A D
C
F t w u A uβ
Η
α θ
β
де 3C залежить від α θ( , ) таким чином (згідно з лемою 3.1 із [3]), що справджується нерів-
ність 0 ( (1 )) / 2.< ϕ < θ < π +α
Для знаходження наближеного розв’язку задачі (1) за допомогою операторної експо-
ненти (3) використаємо Sinc-квадратурну формулу (див. [3, 4]) до інтегрального зобра-
ження (5). Виберемо
1, 2 / ( 1),k kh h d Nξ = = π +
та покладемо
( ) ( , ) (0).
2 i
N
N A k
k N
h
u t F t u
=−
= ξ
π ∑ (10)
Справедливою є така теорема:
Теорема 4. Нехай A — сильно позитивний оператор із всюди щільною областю ви-
значення ( )D A у банаховому просторі X і спектром у секторі ( ).AΣ Тоді за виконання
умов теореми 3 для наближеного розв’язку ( )Nu t задачі (1), який знайдено за формулою (10),
вірною є оцінка похибки
1
0( ) ( ) exp ( 1) ,
2N
d
u t u t c N A uβ
⎧ ⎫π⎪ ⎪− − +⎨ ⎬
⎪ ⎪⎩ ⎭
(11)
де c — невід’ємна стала.
Для ілюстрації розробленого наближеного методу розглянемо задачу (1) з α = 1/2 і опе-
ра тором A вигляду
2
1
22 , ( ) { ( ) W (0,1) : (0) (1) 0},A D A v x v v
x
∂
= − = ∈ = =
∂
де 1
2W (0,1) — стандартний простір Соболєва. За початкову ум ову візьмемо
0 sin( ).u x= π
8 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2021. № 1
В.Л. Макаров, І.П. Гаврилюк, В.Б. Василик
Безпосередньою перевіркою легко переконатися, що точним розв’язком є
4
( , ) e sin( ).tu x t x−π= π
Похибку обчислення наближеного розв’язку задачі (1) за допомогою формули (10) для
t = 1/π2 , x = 1/2 наведено в таблиці. З результатів обчислень видно, що похибка зменшу-
ється згідно з апріорною оцінкою (11).
Робота частково підтримана Національним фондом досліджень України, проєкт
№ 2020.02-0089.
ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. McLean W., Thomée V. Numerical solution via Laplace transforms of a fractional order evolution equation.
J. Integral Equations Applications. 2010. 22, № 1. P. 57—94. https://doi.org/10.1216/JIE-2010-22-1-57
2. Hardy G.H., Titchmarsh E.C. An integral equation. Math. Proc. Camb. Philos. Soc. 1932. 28, Iss. 2. P. 165—173.
https://doi.org/10.1017.SO305004100010847
3. Gavrilyuk I., Makarov V., Vasylyk V. Exponentially convergent algorithms for abstract differential equations.
Basel: Birkhäuser/Springer Basel AG, 2011. VIII+180 p. (Frontiers in Mathematics).
4. Stenger F. Numerical methods based on sinc and analytic functions. New York: Springer, 1993. XV+565 p.
Надійшло до редакції 17.11.2020
REFERENCES
1. McLean, W. & Thomée, V. (2010). Numerical solution via Laplace transforms of a fractional order evolution
equation. J. Integral Equations Applications, 22, No 1, pp. 57-94. https://doi.org/10.1216/JIE-2010-22-1-57
2. Hardy, G. H. & Titchmarsh, E. C. (1932). An integral equation. Math. Proc. Camb. Philos. Soc., 28, Iss. 2,
pp. 165-173. https://doi.org/10.1017.SO305004100010847
3. Gavrilyuk, I., Makarov, V. & Vasylyk, V. (2011). Exponentially convergent algorithms for abstract differential
equations. Frontiers in Mathematics. Basel: Birkhäuser/Springer Basel AG.
4. Stenger, F. (1993). Numerical methods based on sinc and analytic functions. New York: Springer.
Received 17.11.2020
V.L. Makarov1, I.P. Gawriljuk2, V.B. Vasylyk1,
1 Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, Kyiv
2 Duale Hochschule Gera-Eisenach, Germany
E-mail: makarov@imath.kiev.ua, iwan.gawriljuk@dhge.de, vasylyk@imath.kiev.ua
EXPONENTIALLY CONVERGENT METHOD FOR AN ABSTRACT INTEGRO-DIFFERENTIAL
EQUATION WITH FRACTIONAL HARDY—TITCHMARSH INTEGRAL
A homogeneous fractional-differential equation with a fractional Hardy—Titchmarsh integral and an unboun-
ded operator coefficient in a Banach space is considered. The conditions for the representation of the solution
in the form of a Danford—Cauchy integral are established, and an exponentially convergent approximation
method is developed.
Keywords: differential equation with fractional derivatives, unbounded operator, exponentially convergent method.
Похибка обчислень
Кількість вузлів N Похибка Кількість вузлів N Похибка Кількість вузлів N Похибка
4 0,00225 32 3,72857 · 10–7 256 1,03171 · 10–17
8 0,00017 64 2,29011 · 10–9 512 2,94399 · 10–23
16 7,48280 · 10–6 128 1,28593 · 10–12 1024 1,25671 · 10–30
|