До задачі про стійкість руху істотно нелінійних систем
Для істотно нелінійних систем рівнянь збуреного руху запропоновано один підхід для оцінки функцій Ляпунова вздовж розв’язків розглянутих систем рівнянь. Як застосування розглянуто задачу про обмеженість і стійкість руху істотно нелінійної системи рівнянь другого порядку, задачі про стійкість при вел...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2021 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2021
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180399 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | До задачі про стійкість руху істотно нелінійних систем / А.А. Мартинюк, В.О. Чернієнко // Доповіді Національної академії наук України. — 2021. — № 2. — С. 3-12. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859936913154113536 |
|---|---|
| author | Мартинюк, А.А. Чернієнко, В.О. |
| author_facet | Мартинюк, А.А. Чернієнко, В.О. |
| citation_txt | До задачі про стійкість руху істотно нелінійних систем / А.А. Мартинюк, В.О. Чернієнко // Доповіді Національної академії наук України. — 2021. — № 2. — С. 3-12. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Для істотно нелінійних систем рівнянь збуреного руху запропоновано один підхід для оцінки функцій Ляпунова вздовж розв’язків розглянутих систем рівнянь. Як застосування розглянуто задачу про обмеженість і стійкість руху істотно нелінійної системи рівнянь другого порядку, задачі про стійкість при великих початкових збуреннях та про стійкість неавтономної афінної системи.
This article discusses essentially nonlinear systems. Following the approach of applying the pseudolinear inequalities
developed in a number of works, new estimates for the variation of Lyapunov functions along solutions
of the considered systems of equations are obtained. Based on these estimates, we obtain sufficient conditions
for the equiboundedness of solutions of second-order systems and sufficient conditions for the stability of an
essentially nonlinear system under large initial perturbations. Conditions for the stability of affine systems are
also obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:09:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
3
ОПОВІДІ
НАЦІОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМІЇ НАУК
УКРАЇНИ
ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2021. № 2: 3—12
МАТЕМАТИКА
MATHEMATICS
Ц и т у в а н н я: Мартинюк А.А., Чернієнко В.О. До задачі про стійкість руху істотно нелінійних систем.
Допов. Нац. акад. наук Укр. 2021. № 2. С. 3—12. https://doi.org/10.15407/dopovidi2021.02.003
Найбільш загальні оцінки функцій Ляпунова [1] (скалярних, векторних або матричн о-
значних) виникають у контексті принципу порівняння (див. [2—4] і бібліографію там).
Водночас проблемою цього підходу є те, що отримати розв’язок рівняння порівняння в
явному вигляді вдається лише у виняткових випадках, і, отже, конструктивні оцінки функ-
ції Ляпунова не вдаються. Тому питання побудови оцінки функцій Ляпунова без безпо-
середнього інтегрування рівнянь порівняння залишається досить актуальним.
1. Постановка задачі. Нехай nR — n -вимірний евклідів простір і — норма вектора
nx R . Позначимо { : < }nD x R x r — відкриту кулю з центром у точці 0x і радіусом
r , ([ , ], )C R — множину всіх неперервних функцій на [ , ] зі значеннями в R .
Розглядається система рівнянь збуреного руху
( , ) ( , ),
dx
f t x g t x
dt
(1)
0 0( ) ,x t x (2)
де nx R ; f і g — вектор-функції, неперервні по ( , )t x R D та ( , 0) ( , 0) 0f t g t
при всіх t R .
Нелінійну систему (1) будемо називати істотно нелінійною, якщо вектор-функції f і
g неперервні на R D і задовольняють умови:
https://doi.org/10.15407/dopovidi2021.02.003
УДК 514.8
А.А. Мартинюк, В.О. Чернієнко
Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України, Київ
E-mail: center@inmech.kiev.ua
До задачі про стійкість руху істотно нелінійних систем
Представлено академіком НАН України А.А. Мартинюком
Для істотно нелінійних систем рівнянь збуреного руху запропоновано один підхід для оцінки функцій Ля-
пунова вздовж розв’язків розглянутих систем рівнянь. Як застосування розглянуто задачу про обмеже-
ність і стійкість руху істотно нелінійної системи рівнянь другого порядку, задачі про стійкість при великих
початкових збуреннях та про стійкість неавтономної афінної системи
Ключові слова: iстотно нелiнiйна система, функцiя Ляпунова, стiйкiсть.
4 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2021. № 2
А.А. Мартинюк, В.О. Чернієнко
(а) 1( , ) ( ) p
f t x k t x ,
1
1 ( ) <
i
it
t
k s ds ;
(б) 2( , ) ( ) q
g t x k t x ,
1
2 ( ) <
i
it
t
k s ds ,
де 1 2( ), ( ) ( , ), 1, 2, , 1< < <k t k t C R R i p q .
Припустимо, що в області R D для системи (1) існує диференційовна, додатно оз-
начена функція Ляпунова ( , )V t x , ( , 0) 0V t при всіх 0t t .
Актуальною є задача про оцінку зміни функції ( , ( ))V t x t вздовж розв’язків системи
(1) і її застосування в задачах якісного аналізу рухів.
2. Оцінка функції Ляпунова. Повна похідна функції ( , )V t x на розв’язках системи (1)
обчислюється за формулою
1( , ) limsup{[ ( , ( ( , ) ( , )) ( , )] : 0 }D V t x V t x f t x g t x V t x .
Має місце таке твердження.
Лема 1. Нехай існують інтегровні на J R функції 1 ( )a t і 2 ( )a t такі, що
(1) 1 2( , ) | ( ) ( , ) ( ) ( , )p qD V t x a t V t x a t V t x (3)
при всіх ( , )t x J D , де 1< < <p q , і при всіх t J R має місце нерівність
0 0
1 1
0 0 1 0 0 2( ) ( 2) ( , ) ( ) ( , ) ( ) <1p q
t t
t t
N t p q V t x a s ds V t x a s ds
. (4)
Тоді для функції ( , ( ))V t x t вздовж розв’зків системи (1) виконується оцінка
1
—
0
2
0( , ( )) ( , )(1 ( )) p qV t x t V t x N t (5)
при всіх t J .
Доведення. З нерівності (3) і співвідношення Ляпунова [1] для функції ( , ( ))V t x t ви-
пливає, що
0
0 1 20( , ( )) ( , ) ( ( ) ( , ( )) ( ) ( , ( )))p
t
t
qV t x t V t x a s V s x s a s V s x s ds
і далі
0
0 0( , ( )) ( , ) ( , ( )) ( , ( )) ,
t
t
V t x t V t x H s x s V s x s ds (6)
5ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2021. № 2
До задачі про стійкість руху істотно нелінійних систем
де 1 1
1 2( , ( )) ( ) ( , ( )) ( ) ( , ( ))p qH t x t a t V s x t a t V t x t .
Застосовуючи до нерівності (6) лемму Гронуолла—Беллмана [5, 6], отримаємо оцінку
0
0 0( , ( )) ( , )exp ( , ( )) .
t
t
V t x t V t x H s x s ds (7)
З нерівності (7) випливають оцінки:
0
1 1
0 0( , ( )) ( , )exp ( 1) ( , ( ))p p
t
t
V t x t V t x p H s x s ds , (8)
0
1 1
0 0( , ( )) ( , )exp ( 1) ( , ( )) .q q
t
t
V t x t V t x q H s x s ds (9)
Оскільки 1< < <p q , за умовою Леми 1, то нерівності (8), (9) можемо подати у
вигляді
0
1 1
0 0( , ( )) ( , )exp ( 2) ( , ( ))p p
t
t
V t x t V t x p q H s x s ds , (10)
0
1 1
0 0( , ( )) ( , )exp ( 2) ( , ( ))q q
t
t
V t x t V t x p q H s x s ds . (11)
Перетворимо нерівності (10), (11), помноживши обидві сторони нерівності (10) на
1( 2) ( )p q a t і нерівності (11) — на 2( 2) ( )p q a t :
0
1
1
1
0 0 1
( , ( )) ( )( 2)exp ( 2) ( , ( ))
( , )( 2) ( );
p
t
p
t
V t x t a t p q p q H s x s ds
V t x p q a t
(12)
0
1
2
1
0 0 2
( , ( )) ( )( 2)exp ( 2) ( , ( ))
( , )( 2) ( ).
q
t
q
t
V t x t a t p q p q H s x s ds
V t x p q a t
(13)
Підсумовуючи нерівності (12), (13), неважко отримати оцінку
6 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2021. № 2
А.А. Мартинюк, В.О. Чернієнко
0
1 1
1 2
1
0 0 1
1
0 0 2
( ( , ( )) ( )( 2) ( , ( )) ( )( 2))
exp ( 2) ( , ( )) ( , )( 2) ( )
( , )( 2) ( ).
p q
p
t
q
t
V t x t a t p q V t x t a t p q
p q H s x s ds V t x p q a t
V t x p q a t (14)
Звідси випливає, що
0
1
0 0 1
1
0 0 2
exp ( 2) ( , ( )) ( , )( 2) ( )
( , )( 2) ( ).
p
t
q
t
d
p q H s x s ds V t x p q a t
dt
V t x p q a t
(15)
З нерівності (15) отримаємо
0 0
0
1
0 0 1
1
0 0 2
exp ( 2) ( , ( )) 1 ( , )( 2) ( )
( , )( 2) ( ) .
t
p
t t
q
t
t
t
p q H s x s ds V t x p q a s ds
V t x p q a s ds
(16)
Комбінуючи нерівності (7) і (16), отримуємо оцінку
2 ( 2) 1
0 0( , ( )) ( , ) (1 ( ))p q p qV t x t V t x N t , (17)
з якої випливає оцінка (14). Цим лема 1 доведена.
3. Еквіобмеженість рухів системи другого порядку. Системи рівнянь другого порядку
широко застосовуються для опису процесів у багатьох фізичних системах (див. [7] і бібліо-
графію там).
Розглянемо систему рівнянь другого порядку загального вигляду
1 2( , , ) ( , , ),
dx
X t x y X t x y
dt
1 2( , , ) ( , , )
dy
Y t x y Y t x y
dt
,
(18)
де ( , )iX C R R R R , ( , )iY C R R R R , 1,2i , — істотно нелінійні функції. З сис-
темою (18) розглянемо функцію Ляпунова
2 22 ( , )V x y x y (19)
7ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2021. № 2
До задачі про стійкість руху істотно нелінійних систем
і припустимо, що існують функції 1 ( )c t , 2 ( )c t з властивостями функцій 1 ( )a t , 2 ( )a t з
ле ми 1, для яких
2 2 2
1 2 1( ( , , ) ( , , )) ( )( )x X t x y X t x y c t x y ,
2 2 3
1 2 2( ( , , ) ( , , )) ( )( )y Y t x y Y t x y c t x y .
(20)
Неважко перевірити, що для функції ( , )V x y вздовж розв’язків системи (18) спра-
ведлива оцінка
* –1/3
0 0( ( ), ( )) ( , )(1 ( ))V x t y t V t x N t (21)
для всіх 0t t , для яких
0 0
* 2
0 0 1 0 0 2( ) 3 ( , ) ( ) ( , ) ( ) <1
t t
t t
N t V x y c s ds V x y c s ds
. (22)
Оцінка (21) встановлюється застосуванням леми 1 до системи (18) за допомогою
функції (19) з виконанням умови (22).
Далі знадобиться таке означення (див. [8]).
Означення 1. Розв’язок ( ( ), ( ))Tx t y t системи (18) еквіобмежений, якщо для будь-
яких > 0 і 0t R існує 0( , ) > 0t таке, що якщо 2 2 2
0 0x y , то
2 2
0 0 0 0 0 0 0( , , , ) ( , , , ) < ( , )x t t x y y t t x y t при всіх 0t t .
Покажемо, що має місце таке твердження.
Теорема 1. Нехай для системи (18) виконуються умови (20) та умови леми 1 для функції
(19) і, крім того:
1) при всіх 0t t справедлива нерівність
0 0
2 2
*
1 2( ) 3 ( ) ( ) <1
2 2
t t
t t
N t c s ds c s ds
;
2) при всіх 0t t для деякого 0( , )t має місце нерівність
* –1/3
2
2
(1 ( )) <N t .
Тоді розв’язок ( ( ), ( ))Tx t y t системи (18) еквіобмежений.
Доведення. Нехай ( ( ), ( ))Tx t y t — розв’язок системи (18) за початкових умов 0t R і
2 2 2
0 0 <x y , > 0 . За виконання умови 1 теореми 1 справедлива оцінка
2
* –1/3( ( ), ( )) (1 ( ))
2
V x t y t N t
8 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2021. № 2
А.А. Мартинюк, В.О. Чернієнко
при всіх 0t t . Звідси випливає, що за виконання умови 2 теореми 1 маємо 2 2( ) ( ) <x t y t
при всіх 0t t . Цим теорема 1 доведена.
4. Стійкість при великих початкових відхиленнях. Розглянемо систему рівнянь (1) і
припустимо, що вектор-функції f і g визначені і неперервні при всіх ( , ) nt x R R .
Для дослідження стійкості руху у випадку великих початкових відхилень застосову-
ються допоміжні функції Ляпунова, які названі локально великими.
Означення 2. Неперервна функція ( , ), ( , 0) 0V t x V t , визначена при всіх ( , ) nt x R R ,
називається локально великою, якщо при заданій оцінці A для будь-якого 0 < <c A існує
> 0 таке, що поза сферою x виконується нерівність ( , ) >V t x c при всіх t R .
Означення 3. Рух системи (1) є стійким щодо заданих величин 1 2 0( , , , )c c t T 1 20 < <c c
і 0 < <t T , якщо з умови 0 0 1( , ) <V t x c випливає, що 2( , ( )) <V t x t c при всіх 0 0[ , )t t t T .
Зауваження 1. Означення 3 примикає до поняття практичної стійкості (див. [9] і біб-
ліографію там) щодо множин 0 0 0 0 1( ) { : ( , ) < }nS t x R V t x c і 2( ) { : ( , ) < }nS t x R V t x c ,
для яких 0 0( ) ( )S t S t при всіх t J.
Оцінка (5) функції ( , )V t x з леми 1 дозволяє вказати умови такого роду стійкості в
нижченаведеному вигляді.
Теорема 2. Нехай для системи (1) існує локально велика функція Ляпунова, виконуються
всі умови леми 1 і, крім того, виконується нерівність
1
–
2 2
1
(1 ( )) <
p q c
N t
c
(23)
при всіх 0 0[ , )t t t T J . Тоді рух системи (1) 1 2 0( , , , )c c t T стійкий.
Доведення. З оцінки (5) випливає, що
1
–
2
1( , ( )) < (1 ( ))
p q
V t x t c N t
(24)
при всіх 0 0[ , )t t t T . За виконання нерівності (23) із оцінки (24) випливає, що
2( , ( )) <V t x t c при всіх 0 0[ , )t t t T .
Цим теорема 2 доведена.
5. Стійкість за Ляпуновим. Припустимо, що в системі (1) функції f і g істотно не-
лінійні.
Означення 4. Розв’язок ( ) 0x t системи (1) стійкий, якщо для будь-якого > 0 і
будь-якого 0t R існує 0( , ) > 0t таке, що якщо 0 0< ( , )x t , то 0 0( , , ) <x t t x
при всіх 0t t .
Справедливим є таке твердження.
Теорема 3. Припустимо, що для системи (1) існує функція Ляпунова, визначена на
R D , і виконуються умови:
1) ( , ) 0V t x при всіх t R , якщо 0x ;
2) існує функція a K — класу Хана і ( ) ( , )a x V t x при всіх ( , )t x R D ;
3)
0 0
1 1
0 0 1 0 0 2( ) ( 2) ( , ) ( ) ( , ) ( ) <1p q
t t
t t
N t p q V t x a s ds V t x a s ds
при всіх 0t t ;
9ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2021. № 2
До задачі про стійкість руху істотно нелінійних систем
4) існує деяке значення 0 < <k таке, що
1
–
2(1 ( )) p qN t k .
Тоді розв’язок ( ) 0x t істотно нелінійної системи (1) стійкий.
Доведення. Для заданого значення 0 < < r з умови 2 теореми 3 випливає, що
( ) ( , )a V t x при всіх t R , якщо x . За виконання умов 3, 4 теореми 3 для фіксо-
ваного 0t R можна вибрати 0( , ) > 0t так, що при 0x буде виконуватися не-
рівність 0 0( , ) < ( )kV t x a . Це випливає з неперервності функції ( , )V t x і умови 1 тео-
реми 3. Далі, нехай розв’язок 0 0( ) ( , , )x t x t t x виходить з області 0 <x і при деякому
1 0>t t має місце співвідношення 1 0 0( , , )x t t x .
Оскільки
1 0 0 0 0( ) ( , ( , , )) ( , ) < ( ),a V t x t t x kV t x a
отримуємо протиріччя, яке показує, що не існує значення 1t , при якому розв’язок 0 0( , , )x t t x
досягає поверхні кулі x . Цим теорема 3 доведена.
Теорема 4. Якщо умову 2 у теоремі 3 замінити такою:
2¢) існують функції ,a b K — класу Хана і ( ) ( , ) ( )a x V t x b x при ( , )t x R D,
тоді розв’язок ( ) 0x t системи (1) буде рівномірно стійким.
Доведення. За умови 2 в теоремі 4 величину ( ) можна вибрати незалежною від 0t
з умови ( ) < ( )b a . Тоді, якщо виконуються умови 1, 2, 3 і 4 теореми 3, то при 0x
має місце оцінка 0 0( , , )x t t x при всіх 0t t рівномірно по 0t R . Цим теорема 4
доведена.
6. Стійкість в неавтономній афінній системі. Розглянемо неавтономну афінну систе-
му диференціальних рівнянь збуреного руху (пор. [6])
=1
/ ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( )
m
i i
i
dx dt A t x t x g t x u t Bu t , (25)
0 0( )x t x , (26)
де nx R , ( )A t — n n -матриця з неперервними елементами на будь-якому скінченно-
му інтервалі; ( , )t x — нелінійна вектор-функція, ( , 0) 0t при всіх t R ; ( , )ig t x —
неперервні, нелінійні функції, ( , 0) 0ig t при всіх t R і 1, 2, ,i m ; B — n m -пос-
тійна матриця; ( ) mu t R — вектор керування. Про нелінійні вектор-функції ( , )t x і
( , )ig t x зробимо такі припущення:
1A . Існують неперервна функція 1 ( ) :a t R R і постійна > 0 такі, що
1
1( , ) ( ) ( )t x a t x t
в області значень ( , )t x R D .
2A . При всіх 1, 2, ,i m існує неперервна функція 2 ( ) :a t R R і постійна >1
такі, що
2( , ( )) ( ) ( )ig t x t a t x t
10 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2021. № 2
А.А. Мартинюк, В.О. Чернієнко
в області значень ( , )t x R D .
3A . Існує керування ( ) ( )u t Lx t , L — n m-постійна матриця, таке, що
( , ) ( , ) ( ( ) ) 0
T
V V
t x t x A t BL x
t x
(27)
для деякої функції ( , ) > 0V t x при всіх t R і \ {0}x D , ( , 0) 0V t .
Очевидно, що за виконання умов 1 2,A A система (25) є істотно нелінійною і якісні влас-
тивості її розв’язків можуть бути досліджені на основі леми 1. Покажемо це на прикладі
аналізу рівномірної стійкості нульового розв’язку системи (25).
Нехай функція ( , )V t x задовольняє умову 2 теореми 4. За виконання припущень
1 3—A A знайдуться функції 1 2( ), ( ) :a t a t R R такі, що
1( , ) ( , ) ( ) ( , ), >1
T
pV
t x t x a t V t x p
x
, (28)
2
=1
( , ) ( , ) ( ( )) ( ) ( , )
Tn
q
i i
i
V
t x g t x Lx t a t V t x
x
, (29)
де 1< < <p q .
З огляду на оцінки (27)—(29) для повної похідної функції ( , )V t x на розв’язках сис-
теми (25) отримаємо нерівність
1 2( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )p qdV
t x a t V t x a t V t x
dt
(30)
при всіх значеннях ( , )t x R D .
Далі скористаємося теоремою 4. За умови 2 виберемо ( ) > 0 з нерівності ( ) < ( )b a
при заданій величині > 0 . За початкових умов 0 ( )x маємо 0 0( , ) ( )V t x b . З огля-
ду на це, умову (4) леми 1 перепишемо у вигляді нерівності
0 0
1 1
1 2( ) ( 2) ( ) ( ) ( ) ( ) <1p q
t t
t t
N t p q b a s ds b a s ds
(31)
і припустимо її виконання при всіх 0t t . Оцінка (5) функції ( , )V t x на розв’язках систе-
ми (25) набуває вигляду
1
–
2
( , ( )) ( )(1 ( ))
p q
V t x t b N t (32)
при всіх 0t t . Якщо виконується умова
1
–
2 ( )
(1 ( )) <
( )
p q a
N t
b
(33)
11ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2021. № 2
До задачі про стійкість руху істотно нелінійних систем
при всіх 0t t , то розв’язок ( )x t системи (25) залишається в області <x при всіх 0t t .
Дійсно, нехай це не так і існує значення 1 0>t t таке, що 1 0 0( , , )x t t x . При цьому
1
–
2
1 1 0 0( ) ( , ( , , )) ( )(1 ( )) < ( )
p q
a V t x t t x b N t a . (34)
Отримане протиріччя показує, що не існує значення 1 0>t t , при якому 1 0 0( , , )x t t x .
Таким чином, умови (27)—(29) і (31)—(33) є достатніми для рівномірної стійкості
нульового розв’язку системи (25) за наявності функції ( , )V t x , що задовольняє умови тео-
реми 4.
Зауваження 2. За виконання припущення 3A при керуванні ( ) ( )u t Lx t лінійне
наближення афінної системи (25) є нейтрально стійким.
Підсумки. Для розглянутих типів рівнянь збуреного руху (1), (18) і (25) обговорює-
ться проблема прямого методу Ляпунова: отримання оцінки допоміжної функції на роз-
в’язках відповідної системи рівнянь та встановлення умов еквіобмеженості, стійкості при
великих початкових відхиленнях і стійкості за Ляпуновим. Підхід до розв’язання цих
проблем, запропонований у даній роботі, може бути продуктивним у задачах якісного ана-
лізу руху істотно нелінійних систем, що мають місце в теорії коливань і нелінійній динамі-
ці [10, 11].
ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. Москва, Ленинград: Гостехтеоретиздат, 1950.
472 с.
2. Lakshmikantham V., Leela S., Martynyuk A.A. Stability analysis of nonlinear systems. 2 ed. Basel: Birkhäuser,
2015. 329 p.
3. Corduneanu C., Li Y., Mahdavi M. Functional differntial equations: Advances and applications. New York:
Wiley, 2016. 368 p.
4. Martynyuk A.A. Stability of motion. The role of multicomponent Liapunov’s functions. Cambridge:
Cambridge Scientific Publishers, 2007. 322 p.
5. Pachpatte B.G. Inequalities for differential and integral equations. San Diego: Academic Press, 1998. 611 p.
6. N’Doye I. Généralisation du lemme de Gronwall–Bellman pour la stabilisation des systèmes fractionnaires:
These PhD / Université Henri Poincaré — Nancy I; Université Hassan II Aïn Chock de Casablanca. Nancy,
2011. 202 p.
7. Директор С., Рорер Р. Введение в теорию систем. Москва: Мир, 1974. 464 с.
8. Yoshizawa T. Stability theory by Liapunov's second method. Tokyo: Mathematical Society of Japan, 1966.
223 p.
9. Lakshmikantham V., Leela S., Martynyuk A.A. Practical stability of nonlinear systems. Singapore: World
Scientific, 1990. 207 p.
10. Martynyuk A.A., Chernienko V.A. Sufficient stability conditions for polynomial systems. Int. Appl. Mech.
2020. 56, № 1. P. 13—21. https://doi.org/10.1007/s10778-020-00992-1
11. Martynyuk A.A., Khusainov D.Ya., Chernienko V.A. Constructive estimation of the Lyapunov function for
quadratic nonlinear systems. Int. Appl. Mech. 2018. 54, № 3. P. 346—357. https://doi.org/10.1007/s10778-
018-0886-y
Надійшло до редакції 17.02.2021
12 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2021. № 2
А.А. Мартинюк, В.О. Чернієнко
REFERENCES
1. Lyapunov, А.M. (1950). The general problem of the stability of motion. Moscow, Leningrad: Gostehteoretizdat
(in Russian).
2. Lakshmikantham, V., Leela S. & Martynyuk, A.A. (2015). Stability analysis of nonlinear systems. 2 ed. Basel:
Birkhäuser.
3. Corduneanu, C., Li, Y. & Mahdavi, M. (2016). Functional differential equations: Advances and applications.
New York: Wiley.
4. Martynyuk, A.A. (2007). Stability of motion. The role of multicomponent Liapunov’s functions. Cambridge:
Cambridge Scientific Publishers.
5. Pachpatte, B.G. (1998). Inequalities for differential and integral equations. San Diego: Academic Press.
6. N’Doye, I. (2011). Généralisation du lemme de Gronwall–Bellman pour la stabilisation des systèmes
fractionnaires. (These PhD). Université Henri Poincaré — Nancy I; Université Hassan II Aïn Chock de
Casablanca. Nancy, Français.
7. Director, S.W. & Rohrer, R.A. (1972). Introduction to systems theory. New York: Mc Gram — Hill Book
Com.
8. Yoshizawa, T. (1966). Stability theory by Liapunov’s second method. Tokyo: Mathematical Society of Japan.
9. Lakshmikantham, V., Leela, S. & Martynyuk, A.A. (1990). Practical stability of nonlinear systems. Singapore:
World Scientific.
10. Martynyuk, A.A. & Chernienko, V.A. (2020). Sufficient stability conditions for polynomial systems. Int.
Appl. Mech., 56, No. 1, pp. 13-21. https://doi.org/10.1007/s10778-020-00992-1
11. Martynyuk, A.A., Khusainov, D.Ya. & Chernienko, V.A. (2018). Constructive estimation of the Lyapunov
function for quadratic nonlinear systems. Int. Appl. Mech., 54, No. 3, pp. 346-357. https://doi.org/10.1007/
s10778-018-0886-y
Received 17.02.2021
A.A. Martynyuk, V.O. Chernienko
S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kyiv
E-mail: center@inmech.kiev.ua
ON THE PROBLEM OF STABILITY OF A MOTION
OF ESSENTIALLY NONLINEAR SYSTEMS
This article discusses essentially nonlinear systems. Following the approach of applying the pseudolinear ine-
qualities developed in a number of works, new estimates for the variation of Lyapunov functions along solutions
of the considered systems of equations are obtained. Based on these estimates, we obtain sufficient conditions
for the equiboundedness of solutions of second-order systems and sufficient conditions for the stability of an
essentially nonlinear system under large initial perturbations. Conditions for the stability of affine systems are
also obtained.
Keywords: estimation of the Lyapunov function, essentially nonlinear system, motion, resistance to large
disturbances.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-180399 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:09:59Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мартинюк, А.А. Чернієнко, В.О. 2021-09-23T15:09:50Z 2021-09-23T15:09:50Z 2021 До задачі про стійкість руху істотно нелінійних систем / А.А. Мартинюк, В.О. Чернієнко // Доповіді Національної академії наук України. — 2021. — № 2. — С. 3-12. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2021.02.003 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180399 514.8 Для істотно нелінійних систем рівнянь збуреного руху запропоновано один підхід для оцінки функцій Ляпунова вздовж розв’язків розглянутих систем рівнянь. Як застосування розглянуто задачу про обмеженість і стійкість руху істотно нелінійної системи рівнянь другого порядку, задачі про стійкість при великих початкових збуреннях та про стійкість неавтономної афінної системи. This article discusses essentially nonlinear systems. Following the approach of applying the pseudolinear inequalities developed in a number of works, new estimates for the variation of Lyapunov functions along solutions of the considered systems of equations are obtained. Based on these estimates, we obtain sufficient conditions for the equiboundedness of solutions of second-order systems and sufficient conditions for the stability of an essentially nonlinear system under large initial perturbations. Conditions for the stability of affine systems are also obtained. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика До задачі про стійкість руху істотно нелінійних систем On the problem of stability of a motion of essentially nonlinear systems Article published earlier |
| spellingShingle | До задачі про стійкість руху істотно нелінійних систем Мартинюк, А.А. Чернієнко, В.О. Математика |
| title | До задачі про стійкість руху істотно нелінійних систем |
| title_alt | On the problem of stability of a motion of essentially nonlinear systems |
| title_full | До задачі про стійкість руху істотно нелінійних систем |
| title_fullStr | До задачі про стійкість руху істотно нелінійних систем |
| title_full_unstemmed | До задачі про стійкість руху істотно нелінійних систем |
| title_short | До задачі про стійкість руху істотно нелінійних систем |
| title_sort | до задачі про стійкість руху істотно нелінійних систем |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180399 |
| work_keys_str_mv | AT martinûkaa dozadačíprostíikístʹruhuístotnonelíníinihsistem AT černíênkovo dozadačíprostíikístʹruhuístotnonelíníinihsistem AT martinûkaa ontheproblemofstabilityofamotionofessentiallynonlinearsystems AT černíênkovo ontheproblemofstabilityofamotionofessentiallynonlinearsystems |