Связь между объемом и площадью для шаров в многообразиях Финслера–Адамара
We give upper and lower estimates for the ratio between the volume of a metric ball and the area of its surface in Finsler–Hadamard manifolds with pinched S-curvature. We apply these estimates to get the limit at infinity for this ratio. The derived estimates are a generalization of the well-known r...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1804 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Связь между объемом и площадью для шаров в многообразиях Финслера–Адамара / А.А. Борисенко, Е.А. Олин // Доп. НАН України. — 2007. — N 6. — С. 7–10. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1804 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Борисенко, А.А. Олин, Е.А. 2008-09-02T17:37:18Z 2008-09-02T17:37:18Z 2007 Связь между объемом и площадью для шаров в многообразиях Финслера–Адамара / А.А. Борисенко, Е.А. Олин // Доп. НАН України. — 2007. — N 6. — С. 7–10. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1804 514.763.624 We give upper and lower estimates for the ratio between the volume of a metric ball and the area of its surface in Finsler–Hadamard manifolds with pinched S-curvature. We apply these estimates to get the limit at infinity for this ratio. The derived estimates are a generalization of the well-known result in the Riemannian geometry. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Связь между объемом и площадью для шаров в многообразиях Финслера–Адамара Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Связь между объемом и площадью для шаров в многообразиях Финслера–Адамара |
| spellingShingle |
Связь между объемом и площадью для шаров в многообразиях Финслера–Адамара Борисенко, А.А. Олин, Е.А. Математика |
| title_short |
Связь между объемом и площадью для шаров в многообразиях Финслера–Адамара |
| title_full |
Связь между объемом и площадью для шаров в многообразиях Финслера–Адамара |
| title_fullStr |
Связь между объемом и площадью для шаров в многообразиях Финслера–Адамара |
| title_full_unstemmed |
Связь между объемом и площадью для шаров в многообразиях Финслера–Адамара |
| title_sort |
связь между объемом и площадью для шаров в многообразиях финслера–адамара |
| author |
Борисенко, А.А. Олин, Е.А. |
| author_facet |
Борисенко, А.А. Олин, Е.А. |
| topic |
Математика |
| topic_facet |
Математика |
| publishDate |
2007 |
| language |
Russian |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| description |
We give upper and lower estimates for the ratio between the volume of a metric ball and the area of its surface in Finsler–Hadamard manifolds with pinched S-curvature. We apply these estimates to get the limit at infinity for this ratio. The derived estimates are a generalization of the well-known result in the Riemannian geometry.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1804 |
| citation_txt |
Связь между объемом и площадью для шаров в многообразиях Финслера–Адамара / А.А. Борисенко, Е.А. Олин // Доп. НАН України. — 2007. — N 6. — С. 7–10. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT borisenkoaa svâzʹmežduobʺemomiploŝadʹûdlâšarovvmnogoobraziâhfinsleraadamara AT olinea svâzʹmežduobʺemomiploŝadʹûdlâšarovvmnogoobraziâhfinsleraadamara |
| first_indexed |
2025-11-26T20:35:51Z |
| last_indexed |
2025-11-26T20:35:51Z |
| _version_ |
1850773863932100608 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
6 • 2007
МАТЕМАТИКА
УДК 514.763.624
© 2007
Член-корреспондент НАН Украины А.А. Борисенко, Е.А. Олин
Связь между объемом и площадью для шаров
в многообразиях Финслера–Адамара
We give upper and lower estimates for the ratio between the volume of a metric ball and the
area of its surface in Finsler–Hadamard manifolds with pinched S-curvature. We apply these
estimates to get the limit at infinity for this ratio. The derived estimates are a generalization
of the well-known result in the Riemannian geometry.
Финслерова геометрия является важным и естественным обобщением римановой геометрии,
где метрика не должна быть квадратичной по направлению в касательных пространствах.
В [1, 2] была доказана следующая теорема.
Теорема 1. Пусь Mn+1 — риманово (n + 1)-мерное многообразие Адамара с защемлен-
ной секционной кривизной −k2
2 6 K 6 −k2
1, k1, k2 > 0. Пусть Ω — компактное λ-выпуклое
множество в Mn+1 (множество, границей которого является регулярная гиперповерх-
ность с нормальными кривизнами не меньше λ) с λ 6 k2. Тогда найдутся функции α(r)
от радиуса вписанной гиперсферы и β(R) от радиуса описанной гиперсферы такие, что
α(r) → 1/(nk1) и β(R) → 1/(nk2) при r и R, стремящихся к бесконечности, и
α(r)
λ
k2
6
Vol(Ω)
Vol(∂Ω)
6 β(R).
Для семейства {Ω(t)}t∈R+ компактных λ-выпуклых множеств с λ 6 k2, расширяю-
щихся на все пространство, как следствие, получаем
λ
nk2
2
6 lim
t→∞
inf
Vol(Ω(t))
Vol(∂Ω(t))
6 lim
t→∞
sup
Vol(Ω(t))
Vol(∂Ω(t))
6
1
nk1
.
Нашей целью являлось получить аналогичные результаты в финслеровой геометрии.
В качестве семейства {Ω(t)}t∈R+ мы рассматривали геодезические шары. В силу сложности
финслеровых метрик пришлось также ограничить одну из неримановых кривизн, S-кри-
визну.
Перед формулировкой основных результатов работы, дадим некоторые определения из
финслеровой геометрии. Более подробно эти вопросы изложены в [3–5].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №6 7
Основные понятия. Пусть Mn — n-мерное связное C∞-многообразие. Обозначим че-
рез TMn =
⊔
x∈Mn
TxMn касательное расслоение Mn. Тогда финслеровой метрикой на M
называется функция F : TMn → [0,∞), удовлетворяющая следующим свойствам:
1) F ∈ C∞(TMn \ {0});
2) F положительно однородна первой степени, т. е. для любой пары (x, y) ∈ TMn и лю-
бого λ > 0, F (x, λy) = λF (x, y);
3) для любой пары (x, y) ∈ TMn билинейная симметричная форма gy : TxMn ×TxMn →
→ R положительно определена,
gy(u, v) :=
1
2
∂2
∂t∂s
[F 2(x, y + su + tv)]
∣
∣
∣
∣
s=t=0
.
Пара (Mn, F ) называется финслеровым многообразием.
Рассмотрим финслерову метрику F на многообразии Mn. Для гладкой кривой c : [a, b] →
→ Mn длина определяется интегралом
LF (c) =
b
∫
a
F (c(t), ċ(t)) dt.
Пусть {ei}
n
i=1 — произвольний базис TxMn, {θi}n
i=1 — дуальный ему базис T ∗
xM . Рассмот-
рим подмножество Bn
x = {(yi) ∈ R
n : F (x, yiei) < 1} ⊂ TxMn. Пусть Vol
E
(A) — эвклидовый
объем множества A. Тогда определим форму
dVF = σF (x)θ1 ∧ · · · ∧ θn,
где
σF (x) :=
VolE(Bn)
VolE(Bn
x )
.
Здесь B
n — единичный шар R
n.
Форма dVF определяет меру Vol
F
=
∫
dVF и называется формой объема Буземана–Ха-
усдорфа. Для любой римановой метрики форма Буземана–Хаусдорфа превращается в стан-
дартную форму объема. На гиперповерхностях в финслеровых многообразиях специальным
образом вводится внешне индуцированная форма объема.
Как и в римановой геометрии, в финслеровой геометии вводятся геодезические как
локально кратчайшие. Они обладают всеми необходимыми свойствами. Также обобща-
ется секционная кривизна, здесь она называется флаговой кривизной. Тогда, по анало-
гии, пространствами Финслера–Адамара называются односвязные пространства неполо-
жительной флаговой кривизны. В таких пространствах выполняется обобщение теоремы
Картана–Адамара [6]. Но, в отличие от риманова случая, флаговая кривизна не описывает
до конца все свойства финслеровой метрики. Поэтому в рассмотрение вводятся так называ-
емые неримановы кривизны. Для римановых метрик они обращаются в ноль.
Пусть (Mn, F ) — финслерово пространство. Рассмотрим форму объема Буземана–Ха-
усдорфа dVF с плотностью σF . Определим
S(x, y) =
d
dt
[
ln
√
det(gij(c(t), ċ(t)))
σF (c(t))
]
∣
∣
∣
∣
t=0
,
где c(t) — геодезическая с ċ(0) = y. S называется S-кривизной.
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №6
Оценки для отношения объема шара к площади гиперсферы. Была получена
следующая теорема.
Теорема 2. Пусть (Mn+1, F ) — (n + 1)-мерное многообразие Финслера–Адамара, удов-
летворяющее условиям:
1) флаговая кривизна K удовлетворяет неравенству −k2
2 6 K 6 −k2
1, k1, k2 > 0;
2) S-кривизна удовлетворяет неравенству nδ1 6 S 6 nδ2 и δi < ki. Пусть Bn+1
r (p) —
метрический шар в Mn+1 с центром в точке p ∈ Mn+1, Sn
r (p) = ∂Bn+1
r (p) — метри-
ческая сфера. Vol =
∫
dVF обозначает меру Буземана–Хаусдорфа, Area =
∫
dAF — ме-
ра, внешне индуцированная на Sn
r (p). Тогда найдутся функции f(r) и F (r) такие, что
f(r) → 1/(n(k2 − δ2)) и F (r) → 1/(n(k1 − δ1)) при r, стремящемся к бесконечности, и
f(r) 6
Vol(Bn+1
r (p))
Area(Sn
r (p))
6 F (r).
Здесь
f(r) =
1
(1 − e−2k2r)n
(
1
n(k2 − δ2)
−
n
n(k2 − 2) − δ2
(e−2k2r − e−nr(k2−δ2))
)
,
F (r) =
1
n(k1 − δ1)
(1 − e−nr(k1−δ1)).
Для семейства шаров Bn+1
r (p), как следствие, получаем
1
n(k2 − δ2)
6 lim
r→∞
inf
Vol(Bn+1
r (p))
Area(Sn
r (p))
6 lim
r→∞
sup
Vol(Bn+1
r (p))
Area(Sn
r (p))
6
1
n(k1 − δ1)
.
Если (Mn+1, F ) — пространство постоянной флаговой кривизны K = −k2 и S-кривизны
S = nδ, δ < k, то
lim
r→∞
Vol(Bn+1
r (p))
Area(Sn
r (p))
=
1
n(k − δ)
.
Доказательство теоремы основано на вычислении и оценке средней кривизны для ги-
персфер.
Существенность ограничений на S-кривизну показывает пример с метрикой Функа.
П р и м е р 1 . Пусть U — открытое множество R
n с положительными нормальными кривизнами
границы. Тогда метрикой Функа называется финслерова метрика следующего вида. Для точки
x ∈ U и направления y ∈ TxU \{0} ≃ U \{0} метрика Функа F (x, y) должна удовлетворять условию
x +
y
F (x, y)
∈ ∂U.
Для таких метрик δ > k, и
lim
r→∞
Vol(Bn+1
r
(p))
Area(Sn
r
(p))
= ∞.
Оценки на энтропию многообразия. Также получены оценки на энтропию много-
образия (скорость роста объема шаров), т. е. на величину
lim
t→∞
ln(Vol(Bn+1
t (p))
t
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №6 9
В [7] было показано, что скорость роста объема шаров в (n + 1)-мерных пространствах
Гильберта равна n, т. е. в точности как в H
n+1.
Доказана следующая теорема.
Теорема 3. Пусть (Mn+1, F ) — (n + 1)-мерное многообразие Финслера–Адамара удов-
летворяющее условиям:
1) флаговая кривизна K удовлетворяет неравенству −k2
2 6 K 6 −k2
1, k1, k2 > 0;
2) S-кривизна удовлетворяет неравенству nδ1 6 S 6 nδ2 и δi < ki. Тогда
n(k1 − δ1) 6 lim
t→∞
ln(Vol(Bn+1
t (p))
t
6 n(k2 − δ2).
Если (Mn+1, F ) — пространство постоянной кривизны K = −k2 и S = nδ, δ < k, по-
лучаем
lim
t→∞
ln(Vol(Bn+1
t (p))
t
= n(k − δ).
Также показывается существенность наложенных ограничений.
1. Borisenko A.A., Gallego E., Reventos A. Relation between area and volume for convex sets in Hadamard
manifolds // Diff. geometry and its application. – 2001. – 14. – P. 267–280.
2. Борисенко A.A. Внутренняя и внешняя геометрия многомерных подмногообразий. – Москва: Экза-
мен, 2003. – 672 с.
3. Shen Z. Volume comparison and its application in Riemann–Finsler geometry // Adv. Math. – 1997. –
128. – P. 306–328.
4. Shen Z. Lectures on Finsler geometry. – Singapore: World Scientific, 2001. – 306 p.
5. Shen Z. Landsberg curvature, S-curvature and Riemann curvature. – Cambridge: Cambridge Univ. Press,
2004. – 53 p.
6. Egloff D. Uniform Finsler Hadamard manifolds // Ann. Inst. H. Poincare. – 1997. – 66, No 3. – P. 323–357.
7. Colbois B., Verovic P. Hilbert geometries for strictly convex domains // Ann. Global Analysis and Geo-
metry. – 2004. – 21. – P. 29–41.
Поступило в редакцию 10.11.2006Харьковский национальный университет
им. В.Н. Каразина
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №6
|