Aналогії між класичною задачею про коливання двох зв’язаних тіл некласичною задачею про поширення плоских хвиль у двофазній суміші

З метою виявлення аналогій в процедурах аналізу описано та прокоментовано дві задачі: класичну задачу (задачу К) про гармонічні коливання двох зв’язаних між собою абсолютно твердих тіл, підвішених на пружинах, і некласичну задачу (задачу Х) про поширення плоских поздовжніх хвиль у двофазній...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Доповіді НАН України
Date:	2021
Main Author:	Рущицький, Я.Я.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2021
Subjects:	Механіка
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180401
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Aналогії між класичною задачею про коливання двох зв’язаних тіл некласичною задачею про поширення плоских хвиль у двофазній суміші / Я.Я. Рущицький // Доповіді Національної академії наук України. — 2021. — № 2. — С. 21-28. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860085025761918976
author	Рущицький, Я.Я.
author_facet	Рущицький, Я.Я.
citation_txt	Aналогії між класичною задачею про коливання двох зв’язаних тіл некласичною задачею про поширення плоских хвиль у двофазній суміші / Я.Я. Рущицький // Доповіді Національної академії наук України. — 2021. — № 2. — С. 21-28. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Доповіді НАН України
description	З метою виявлення аналогій в процедурах аналізу описано та прокоментовано дві задачі: класичну задачу (задачу К) про гармонічні коливання двох зв’язаних між собою абсолютно твердих тіл, підвішених на пружинах, і некласичну задачу (задачу Х) про поширення плоских поздовжніх хвиль у двофазній пружній суміші Побудовано ряд аналогій між цими задачами, які описані у вигляді шести кроків порівняльного аналізу задач К та Х, кожен з яких відповідає певній конкретній аналогії. Акцентовано увагу на корисність спостережених аналогій для аналізу задачі про хвилі. Отже, показано, що теорія двофазних сумішей у своєму розвитку в області теорії хвиль може успішно використовувати аналогії з відповідних задач теорії коливань двох взаємозв’язаних коливних систем. З наведених аналогій випливає більш загальний факт, що виявлений майже 100 років тому академіком Мандельштамом, механізм взаємодопомоги в теорії коливань за цей час розширив свій вплив і на теорію хвиль. In order to identify analogies in the procedures of analysis, two problems are described and commented on: the classical problem (problem V) on harmonic vibrations of two interconnected rigid bodies suspended on the springs, and the nonclassical problem (problem W) on the propagation of plane longitudinal waves in the twophase elastic mixture. A number of analogies are constructed between these problems, which are described in the form of 6 steps of the comparative analysis of problems V and W, each of which corresponds to a specific analogy. Emphasis is placed on the usefulness of the observed analogies for the analysis of the problem of waves. Thus, it is shown that the theory of two-phase mixtures in its development in the field of wave theory can successfully use the analogies from the corresponding problems of the theory of vibrations of two coupled oscillating systems. The more general fact follows from the analogies shown that the mechanism of mutual aid in the theory of vibrations discovered almost 100 years ago by Academician Mandelstam extended its influence to the theory of waves during this time.
first_indexed	2025-12-07T17:19:05Z
format	Article
fulltext	21 МЕХАНІКА MECHANICS ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2021. № 2: 21—28 Ц и т у в а н н я: Рущицький Я.Я. Aналогії між класичною задачею про коливання двох зв’язаних тіл і не- класичною задачею про поширення плоских хвиль у двофазній суміші. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2021 № 2. С. 21—28. https://doi.org/10/15407/dopovidi2021.02.021 Термін “аналогія” походить від грецького слова “ἀναλογία”. У широкому сенсі він означає когнітивний процес передачі інформації чи розуміння від одного суб’єкта (аналога) до іншого (об’єкта). Вважається, що аналогія та абстракція є різними когнітивними процеса- ми і часто аналогія передує абстракції. У вузькому сенсі аналогію розуміють як часткову подібність між двома речами, які не є подібними за іншими ознаками, або як міркування, у якому з подібності речей за одними ознаками роблять висновки щодо можливості по- дібності цих речей за іншими ознаками. Встановлення аналогій є одним з інструментів розвитку науки. У теорії коливань ана- логії у вигляді застосування процедур аналізу, розвинутих в одному розділі теорії коливань (наприклад, механічні коливання), до аналізу в інших розділах теорії коливань (наприклад, електромагнітних коливань) вже існують давно і навіть отримали назву “коливної взаємо- https://doi.org/10.15407/dopovidi2021.02.021 УДК 539.3 Я.Я. Рущицький, член-кореспондент НАН України Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ E-mail: rushch@inmech.kiev.ua Aналогії між класичною задачею про коливання двох зв’язаних тіл і некласичною задачею про поширення плоских хвиль у двофазній суміші З метою виявлення аналогій в процедурах аналізу описано та прокоментовано дві задачі: класичну задачу (задачу К) про гармонічні коливання двох зв’язаних між собою абсолютно твердих тіл, підвішених на пру- жинах, і некласичну задачу (задачу Х) про поширення плоских поздовжніх хвиль у двофазній пружній суміші Побудовано ряд аналогій між цими задачами, які описані у вигляді шести кроків порівняльного аналізу задач К та Х, кожен з яких відповідає певній конкретній аналогії. Акцентовано увагу на корисність спостере- жених аналогій для аналізу задачі про хвилі. Отже, показано, що теорія двофазних сумішей у своєму роз- витку в області теорії хвиль може успішно використовувати аналогії з відповідних задач теорії коливань двох взаємозв’язаних коливних систем. З наведених аналогій випливає більш загальний факт, що виявлений май же 100 років тому академіком Мандельштамом, механізм взаємодопомоги в теорії коливань за цей час розширив свій вплив і на теорію хвиль. Ключові слова: коливання двох взаємозв’язаних тіл, поширення пружної плоскої хвилі в двофазній суміші, аналогії в процедурах аналізу. 22 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2021. № 2 Я.Я. Рущицький допомоги” [1]. Це явище основане на ізоморфізмі закономірностей, коли коливання ана- лізуються не за ознакою фізичних явищ, а за формою закономірностей. Дане повідомлення присвячене формам закономірностей і має метою встановлення ізоморфізму закономірностей при порівнянні аналізу однієї конкретної задачі теорії коли- вань і теж конкретної задачі про поширення хвиль. Задача К (коливання) — класична лінійна задача про вертикальні гармонічні коли- вання двох зв’язаних між собою пружною пружиною абсолютно твердих тіл, підвішених на пружинах. Задача Х (хвилі) — некласична лінійна задача про поширення плоских поздовжніх хвиль у двофазній пружній суміші. Аналіз аналогій між вказаними у назві повідомлення задачами проведено покроково. Крок 1. Постановки цих задач описані у відомих публікаціях [2—5], де вказані основні системи лінійних взаємозв’язаних диференціальних рівнянь. Задача К. Основна система рівнянь така [2, 3]: 11 1, 12 2, 11 1 12 2 0,tt ttu u u u     12 1, 22 2, 12 1 22 2 0,tt ttu u u u     (1) де ( ) ( 1; 2)u  t та  — відповідно залежні від часу t вертикальні зміщення тіл з ма сами  та параметри, що характеризують пружні властивості пружин, на яких підвішені тіла. Величини 12 та 12 позначають так звану приєднану масу та параметр, що пов’язаний з пружними властивостями пружини, яка зв’язує два тіла. Таким чином, зв’язаність системи (1) характеризується двома фізичними механізмами – інерціальним та пружним, які в механічній моделі описуються параметрами 12 та 12 . Задача Х. Основна система рівнянь така [4, 5]: (1) (2) (1) (2) (1) (2) 11 12 12 1 1 3 31, 1, 1,11 1,11 1 1( ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) 0,tt ttu u u u u u              (1) (2) (2) (1) (1) (2) 12 22 12 2 2 3 31, 1, 1,11 1,11 1 1( ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) 0,tt ttu u u u u u               де 1( , ) ( 1; 2)u x t   — залежні від поздовжної координати 1x та часу t поздовжні зміщен ня двох фаз суміші , ( 1; 2; 3)k k k   — пружні постійні суміші, для якoї конститутивні рівнян- ня (лінійні рівняння зв’язку між напруженнями ( ) ik  та деформаціями ( ) ( ) ( ) , ,(1 2)( )ik i k k iu u     ) мають вигляд ( ) ( ) ( )( ) ( ) 3 32 2mm ik mm ikik ik ik                     . (3) Постійні густини  називають парціальними густинами суміші, тоді як 12 є пос- тійною густиною, яка описує ефект приєднаної маси і має назву коефіцієнта інерційної вза- ємодії. Постійна  має назву коефіцієнта зсувної взаємодії. Таким чином, зв’язаність сис- теми (2) характеризується в механічній моделі суміші трьома фізичними механізмами — інерціальним, який описується параметром 12 , зсувним (пружним), який описуються параметром  та параметром 3 32   , який описує взаємний вплив деформацій однієї фа зи суміші на напруження в іншій фазі суміші. 23ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2021. № 2 Aналогії між класичною задачею про коливання двох зв’язаних тіл і некласичною задачею... Висновок. Система диференціальних рівнянь з частинними похідними (2) з двома не- відомими функціями, залежними від двох змінних, може трактуватися як певне матема- тичне узагальнення системи звичайних диференціальних рівнянь (1) з двома невідомими функціями, залежними від однієї змінної. Аналогія в математичній структурі систем ціл- ком очевидна. Крок 2. Задача К. Після формулювання задачі і запису системи рівнянь (1) вводяться поняття потенціальної та кінетичної енергій системи маятників. Ці енергії мають простий вигляд квадратичних форм 2 2 11 1, 12 1, 2, 22 2,2t t t tu u u u     , 2 2 11 1 12 1 2 22 22u u u u     . (4) Далі аналізуються обмеження на шести фізичних постійних, які входять у систему рівнянь (1). Такі обмеження формулюють на основі додатності обох енергій і тоді їх записують та ким чином: 2 11 22 11 22 120, 0, ( ) 0,         2 11 22 11 22 120, 0, ( ) 0         . (5) Зазвичай, обмеження (5) стосуються постійних, які характеризують взаємодію між ма- ятниками, і свідчать, що постійні не можуть бути довільними в рамках прийнятої моделі. Задача Х. Вирази для енергій відомі і мають такий вигляд (1) (1) (2) (2)2 2 11 12 12 22 121, 1, 1, 1,(1 2) ( )( ) 2 ( )( )t t t tu u u u          , (6) (1) (1) (2) (2) (1) (2)2 2 2 1 1 3 3 2 21,1 1,1 1,1 1,1 1 1( 2 ) ( ) 2( 2 ) ( 2 ) ( ) ( ) 0,u u u u u u               (7) Як випливає з формул (6) та (7), аналогія з кінетичною енергією повна, однак тут потен- ціальна енергія має складніший вигляд (включає два параметри взаємодії на відміну від задачі К, де всього один параметр) і тому додатна означеність квадратичної форми вже по- требує більших обмежень. Отже, аналогія працює, але обмежень маємо дещо більше 11 222 12 11 22( ) 0      , 2 1 1 2 2 1 1 2 2 3 32 0, 2 0, ( 2 )( 2 ) ( 2 ) 0, 0                     . (8) Таким чином, аналогія щодо обмежень на параметри взаємодії дозволяє встановити такі обмеження в задачі Х. Крок 3. Задача К. Розв’язок системи (1) шукаємо у вигляді ( ) i tu t A e    , тобто у вигляді гар- монічного коливання з фазою t . Підстановка цього розв’язку у систему (1) дає систему двох лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь щодо невідомих постійних амплітуд А 2 2 11 11 1 12 12 2( ) ( ) 0,А А        2 2 12 12 1 11 11 2( ) ( ) 0.А А        (9) 24 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2021. № 2 Я.Я. Рущицький Далі процедура класична. Спочатку прирівнюємо детермінант системи (4) до нуля і отримуємо біквадратне рівняння для знаходження власних частот (частотне рівняння) в задачі К 2 4 2 2 2 11 22 12 11 22 22 11 12 12 11 22 12( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )                   (10) Задача Х. Тут крок 2 робимо аналогічно до описаного вище для задачі К. Перш за все, тому, що хвиля може розглядатися як коливання, яке поширюється в просторі. Роз- в’я зок системи (2) шукаємо у вигляді ( ) ( ) ( ) 1 ( ) i kx t ou t A e   , тобто у вигляді гармонічної xвилі з фазою 1kx tω . Але фази в задачах К та Х істотно різні. Тому тут доречно вже го- ворити про корисність використання аналогії. Підстановка розв’язку ( ) ( ) ( ) 1 ( ) i kx t ou t A e   у систему (2) дає систему двох лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь щодо невідомих постійних амплітуд Аα , яке для всіх типів хвиль називається дисперсійним рівнянням: 4 2 2 4 2 22 0k m k        , (11) 2 2 1 1 2 2 3 3( 2 )( 2 ) ( 2 ) ;             2 1 1 11 2 2 22 1 1 2 2 3 3 1222 ( 2 ) ( 2 ) (( 2 ) ( 2 ) 2( 2 )) ,m                           11 22 11 22 122 ( )            . Висновок. Частотне рівняння (10) є алгебраїчним біквадратним, як і дисперсійне рів- няння (11). Тому детальний аналіз частотного рівняння в класичній задачі К може служити аналогом (схемою) для такого ж аналізу дисперсійного рівняння в некласичній задачі Х, яка не так детально досліджена. Крок 4. Задача К. Розв’язок частотного рівняння включає чотири значення власної частоти ко ливної системи ( 1 2, ω ω ) і тому загальний розв‘язок системи (1) у вигляді гармонічних коливань записується як сума чотирьох коливань з довільними амплітудами, які можна ви- значити з чотирьох початкових умов (значень парціальних зміщень uα і їх швидкостей у початковий момент часу) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 ( ) ( ), ( ) ( ) . i t i t i t i t i t i t i t i t u t A e A e l A e A e u t l A e A e A e A e                     (12) У формулі (12) введені так звані коефіцієнти розподілу амплітуд l за такою проце ду- рою: розв’язок для першої (другої) власної частоти 1 1 1 1 2 1 1( ) , ( )i t i tu t A e u t l A e   підстав- ляється у перше (друге) рівняння системи (1), яке при цьому повинно задовольнятися то- тожно, і тому 2 2 2 2 1 11 11 1 12 12 1 12 12 1 22 22 1( ) ( ) ( ) ( )l                       , (13) 25ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2021. № 2 Aналогії між класичною задачею про коливання двох зв’язаних тіл і некласичною задачею... 2 2 2 2 2 22 22 2 12 12 2 12 12 2 11 11 2( ) ( ) ( ) ( )l                       . (14) З урахуванням позначень (13) та (14) розв’язок (12) можна записати стисліше через мат- рицю розподілу амплітуд 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 ( ) 1 . ( ) 1 i t i t i t i t u t l A e A e u t l A e A e                         (15) Задача Х. Розв’язок дисперсійного рівняння включає чотири власні значення довжини хвилі хвильової системи ( 1 2,k k  ). Одразу слід зазначити, що від’ємні значення хвильових чисел у теорії хвиль не мають фізичного сенсу, як і такі ж значення частот у теорії коливань. Розв’язок дисперсійного рівняння (6) записуємо у вигляді 2 2 2 1,2 2 2 2 2 { }k m m            , або 2 2 1,2 2 1 1 2 2 3 32[( 2 )( 2 ) ( 2 )] k              1 1 11 2 2 22 1 1 2 2 3 3 122 2 1 1 11 2 2 22 1 1 2 2 3 3 122 2 1 1 2 2 3 3 11 22 11 22 122 ( 2 ) ( 2 ) (( 2 ) ( 2 ) 2( 2 )) ( 2 ) ( 2 ) (( 2 ) ( 2 ) 2( 2 )) 4[( 2 )( 2 ) ( 2 ) ] ( )                                                                                                  , (16) або у записі через фазові швидкості ( )v k   2 2 1,2 2 2 2 1 { }v m m          . (17) Таким чином, загальний розв’язок системи (2) у вигляді гармонічних хвиль можна пред- ставити як суперпозицію двох гармонічних хвиль (двох мод), які відрізняються хвильови- ми числами kα чи фазовими швидкостями ( )v k   ( ) ( )( ) ( ) ( ) 11 ( , ) ( )i k x t i k x t o ou x t A e l k A e          . (18) У формулі (13) по аналогії з задачею К введені коефіцієнти розподілу амплітуд ( )l k  за такою ж процедурою: розв’язок для першої (чи другої) моди 1( )1 1( ) ,i k x t ou t A e  2( )u t  1( )1 1 1( ) i k x t ol k A e  підставляємо у перше (чи друге) рівняння системи (2), яке при цьому по- винно задовольнятися тотожно, і тому 26 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2021. № 2 Я.Я. Рущицький 2 2 2 2 1 1 1 11 12 3 3 1 12 1 1 11 112 2 2 2 3 3 1 12 2 2 1 22 12 ( 2 ) (( ) ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) (( ) ) k k l k A A k k                               , (20) 2 2 2 2 1 1 1 11 12 3 3 1 12 1 1 11 112 2 2 2 3 3 1 12 2 2 1 22 12 ( 2 ) (( ) ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) (( ) ) k k l k A A k k                               . (21) З врахуванням позначень (20) та (21) розв’язок (18) можна записати стисліше через матрицю розподілу амплітуд: 1 2 ( )(1) (1) 1 2 21 (2) ( )(2) 1 111 ( , ) 1 ( ) ( ) 1( , ) i k x t o i k x t o u x t A el k l ku x t A e                       . (22) Висновок. Формальна аналогія між представленнями розв’язків (15) та (22) існує, однак у них вже закладені відмінності, що спричиняють лише часткову можливість перенесення елементів повного аналізу задачі К у неповний на цей час аналіз задачі Х. Тому доцільно далі розглянути кожен елемент окремо. Крок 6. Задача К. Одним із головних елементів аналізу є введення парціальних частот і до- слідження частотного рівняння на предмет взаємозв’язку між власними і парціальними частотами. Парціальними частотами тут називають власні частоти ( )n     , які ма- ють окремо взяті невзаємодіючі маятники. Вказаний взаємозв’язок аналізується за до- помогою трактування частотного рівняння (10) як опуклої вниз параболи ( )  , яка пере- тинає вісь O в точках, що відповідають власним частотам. Для цього на основі частотного рівняння вибирається функція 2 4 2 2 2 11 22 12 11 22 22 11 12 12 11 22 12( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )                      , (23) з аналізу якої маємо (0) 0  , 2 12 12( ) [ ( ) ] 0n          (24) і далі необхідний факт, що парціальні частоти лежать між власними 1 1 2 2n n     . (25) Це трактується так, що внесення взаємодії між маятниками призводить до більшої від- мінності між власними частотами (і чим більша взаємодія, тим більша відмінність). Задача Х. Тут аналогом парціальних частот є парціальні хвильові числа ( 2 )Pk          . (26) Побудований за (26) графік є прямою лінією, яка проходить під певним кутом до осі абсцис (осі частот) через початок координат і свідчить про недисперсивність відповід- них хвиль. Але дисперсійне рівняння (11) дає розв’язки, які відповідають дисперсив- ним хвильовим модам. Крім того, друга мода не існує в діапазоні частот (0; cut  11 22 11 22 12 11 22( ) [ ( )])         . Частоту cut , при якій біжуча хвиля переходить у 27ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2021. № 2 Aналогії між класичною задачею про коливання двох зв’язаних тіл і некласичною задачею... експоненціально затухаючу, називають частотою запирання або частотою відсікання. Ця частота залежить від парціальних густин суміші та коефіцієнта інерціальної взаємодії. От же, аналогія не є прямою. Розглянемо функцію, пов’язану з дисперсійним рівнянням 4 2 2 4 2 2( ) 2k k m k          . (27) Графіком цієї функції є парабола, яка перетинає вісь Ok в точках, що відповідають хви- льовим числам описаних вище двох мод. Оскільки (0)    , то парабола змінює нап- рямок опуклості при переході значення частоти через значення частоти запирання, зовсім не подібно до того як це є в задачі К. Порахуємо далі значення функції в точках, що від- повідають парціальним хвильовим числам (задля компактності запису введемо позначен- ня 2i i ia     ) 2 2 2 3 1 2 3 124 2 11 22 12 ( ) ( ) [( 2 ) ][( ) ] ( ) 0 ( )[( ) ] P a a a a a a k                             . (28) Таким чином, і у цьому випадку аналогія діє. Однак задача Х має деякі новели, як-от за- лежність мод від частоти чи запирання однієї з мод, чи одночасне існування обох хвильових мод у кожному компоненті суміші. Тому подальший аналіз ускладнюється. Загальний висновок. Теорія двофазних сумішей у своєму розвитку в області теорії хвиль може успішно використовувати аналогії з відповідних задач теорії коливань двох взаємозв’язаних коливних систем. З показаних аналогій випливає більш загальний факт, що виявлений майже 100 років тому академіком Мандельштамом, механізм взаємодопомо- ги в теорії коливань за цей час розширив свій вплив і на теорію хвиль. Якщо коментувати спостережені аналогії більш загально, то теорія хвиль у своєму розвитку може успішно ви- користовувати аналогії з відповідних розділів теорії коливань. ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА 1. Академик Л.И. Мандельштам. К 100–летию со дня рождения. Москва: Наука, 1979. 312 с. 2. Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний. 2-е изд. Москва: Наука, 1964. 440 с. 3. Schmitz T.L., Smith K.S. Mechanical Vibrations. Modeling and Measurement. 2nd ed. New York: Springer, 2021. 426 p. 4. Рущицкий Я.Я. Элементы теории смеси. Киeв: Наук. думка, 1991. 160 c. 5. Рущицький Я.Я., Цурпал С.І. Хвилі в матеріалах з мікроструктурою. Київ: Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка, 1998. 377 c. 6. Rushchitsky J.J. Theory of waves in materials. Copenhagen: Ventus Publishing ApS, 2011. 270 p. Надійшло до редакції 10.02.2021 REFERENCES 1. Academician L.I.Mandelstam. (1979). To Centenary of Birthday К. Moscow: Nauka (in Russian). 2. Strelkov, S.P. (1964). Introduction in Theory of Vibrations. 2nd ed. Moscow: Nauka (in Russian). 3. Schmitz, T.L. & Smith, K.S. (2021).Mechanical Vibrations. Modeling and Measurement. 2nd ed. New York: Springer. 28 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2021. № 2 Я.Я. Рущицький 4. Rushchitsky, J.J. (1991). Elements of the theory of mixtures. Kiev: Naukova Dumka (in Russian). 5. Rushchitsky, J.J. & Tsurpal, S.I. (1998). Waves in Materials with Microstructure. Kyiv, S.P.Timoshenko Institute of Mechanics (in Ukrainian). 6. Rushchitsky, J.J. (2011).Theory of waves in materials. Copenhagen: Ventus Publishing Received 10.02.2021 J.J. Rushchitsky S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kyiv E-mail: rushch@inmech.kiev.ua ANALOGIES BETWEEN THE CLASSICAL PROBLEM ON VIBRATIONS OF TWO COUPLED BODIES AND THE NONCLASSICAL PROBLEM ON PROPAGATION OF PLANE WAVES IN THEORY OF TWO-PHASE MIXTURES In order to identify analogies in the procedures of analysis, two problems are described and commented on: the classical problem (problem V) on harmonic vibrations of two interconnected rigid bodies suspended on the springs, and the nonclassical problem (problem W) on the propagation of plane longitudinal waves in the two- phase elastic mixture. A number of analogies are constructed between these problems, which are described in the form of 6 steps of the comparative analysis of problems V and W, each of which corresponds to a specific analogy. Emphasis is placed on the usefulness of the observed analogies for the analysis of the problem of waves. Thus, it is shown that the theory of two-phase mixtures in its development in the field of wave theory can successfully use the analogies from the corresponding problems of the theory of vibrations of two coupled oscillating systems. The more general fact follows from the analogies shown that the mechanism of mutual aid in the theory of vibrations discovered almost 100 years ago by Academician Mandelstam extended its influence to the theory of waves during this time. Keywords: oscillations of two coupled bodies, propagation of elastic plane wave in two-phase mixture, analogies in procedures of analysis.
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-180401
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1025-6415
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T17:19:05Z
publishDate	2021
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
record_format	dspace
spelling	Рущицький, Я.Я. 2021-09-23T15:10:15Z 2021-09-23T15:10:15Z 2021 Aналогії між класичною задачею про коливання двох зв’язаних тіл некласичною задачею про поширення плоских хвиль у двофазній суміші / Я.Я. Рущицький // Доповіді Національної академії наук України. — 2021. — № 2. — С. 21-28. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2021.02.021 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180401 539.3 З метою виявлення аналогій в процедурах аналізу описано та прокоментовано дві задачі: класичну задачу (задачу К) про гармонічні коливання двох зв’язаних між собою абсолютно твердих тіл, підвішених на пружинах, і некласичну задачу (задачу Х) про поширення плоских поздовжніх хвиль у двофазній пружній суміші Побудовано ряд аналогій між цими задачами, які описані у вигляді шести кроків порівняльного аналізу задач К та Х, кожен з яких відповідає певній конкретній аналогії. Акцентовано увагу на корисність спостережених аналогій для аналізу задачі про хвилі. Отже, показано, що теорія двофазних сумішей у своєму розвитку в області теорії хвиль може успішно використовувати аналогії з відповідних задач теорії коливань двох взаємозв’язаних коливних систем. З наведених аналогій випливає більш загальний факт, що виявлений майже 100 років тому академіком Мандельштамом, механізм взаємодопомоги в теорії коливань за цей час розширив свій вплив і на теорію хвиль. In order to identify analogies in the procedures of analysis, two problems are described and commented on: the classical problem (problem V) on harmonic vibrations of two interconnected rigid bodies suspended on the springs, and the nonclassical problem (problem W) on the propagation of plane longitudinal waves in the twophase elastic mixture. A number of analogies are constructed between these problems, which are described in the form of 6 steps of the comparative analysis of problems V and W, each of which corresponds to a specific analogy. Emphasis is placed on the usefulness of the observed analogies for the analysis of the problem of waves. Thus, it is shown that the theory of two-phase mixtures in its development in the field of wave theory can successfully use the analogies from the corresponding problems of the theory of vibrations of two coupled oscillating systems. The more general fact follows from the analogies shown that the mechanism of mutual aid in the theory of vibrations discovered almost 100 years ago by Academician Mandelstam extended its influence to the theory of waves during this time. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Aналогії між класичною задачею про коливання двох зв’язаних тіл некласичною задачею про поширення плоских хвиль у двофазній суміші Analogies between the classical problem on vibrations of two coupled bodies and the nonclassical problem on propagation of plane waves in theory of two-phase mixtures Article published earlier
spellingShingle	Aналогії між класичною задачею про коливання двох зв’язаних тіл некласичною задачею про поширення плоских хвиль у двофазній суміші Рущицький, Я.Я. Механіка
title	Aналогії між класичною задачею про коливання двох зв’язаних тіл некласичною задачею про поширення плоских хвиль у двофазній суміші
title_alt	Analogies between the classical problem on vibrations of two coupled bodies and the nonclassical problem on propagation of plane waves in theory of two-phase mixtures
title_full	Aналогії між класичною задачею про коливання двох зв’язаних тіл некласичною задачею про поширення плоских хвиль у двофазній суміші
title_fullStr	Aналогії між класичною задачею про коливання двох зв’язаних тіл некласичною задачею про поширення плоских хвиль у двофазній суміші
title_full_unstemmed	Aналогії між класичною задачею про коливання двох зв’язаних тіл некласичною задачею про поширення плоских хвиль у двофазній суміші
title_short	Aналогії між класичною задачею про коливання двох зв’язаних тіл некласичною задачею про поширення плоских хвиль у двофазній суміші
title_sort	aналогії між класичною задачею про коливання двох зв’язаних тіл некласичною задачею про поширення плоских хвиль у двофазній суміші
topic	Механіка
topic_facet	Механіка
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180401
work_keys_str_mv	AT ruŝicʹkiiââ analogíímížklasičnoûzadačeûprokolivannâdvohzvâzanihtílneklasičnoûzadačeûpropoširennâploskihhvilʹudvofazníisumíší AT ruŝicʹkiiââ analogiesbetweentheclassicalproblemonvibrationsoftwocoupledbodiesandthenonclassicalproblemonpropagationofplanewavesintheoryoftwophasemixtures

Aналогії між класичною задачею про коливання двох зв’язаних тіл некласичною задачею про поширення плоских хвиль у двофазній суміші

Institution

Similar Items