Исследование динамики одной слабонелинейной системы с запаздыванием

Рассмотрена математическая модель динамики нейронной сети, представленная системой дифференциальных уравнений с запаздыванием и выделенной асимптотически устойчивой линейной частью. С использованием прямого метода Ляпунова получены достаточные условия асимптотической устойчивости и построены экспоне...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Проблемы управления и информатики
Дата:	2018
Автори:	Хусаинов, Д.Я., Диблик, Й., Баштинец, Я., Шатырко, А.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2018
Теми:	Проблемы динамики управляемых систем
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180537
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Исследование динамики одной слабонелинейной системы с запаздыванием / Д.Я. Хусаинов, Й. Диблик, Я. Баштинец, А.В. Шатырко // Проблемы управления и информатики. — 2018. № 1. — С. 22-38. — Бібліогр.: 23 назв. — рос..

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-180537
record_format	dspace
spelling	Хусаинов, Д.Я. Диблик, Й. Баштинец, Я. Шатырко, А.В. 2021-10-02T09:32:04Z 2021-10-02T09:32:04Z 2018 Исследование динамики одной слабонелинейной системы с запаздыванием / Д.Я. Хусаинов, Й. Диблик, Я. Баштинец, А.В. Шатырко // Проблемы управления и информатики. — 2018. № 1. — С. 22-38. — Бібліогр.: 23 назв. — рос.. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180537 517.929 Рассмотрена математическая модель динамики нейронной сети, представленная системой дифференциальных уравнений с запаздыванием и выделенной асимптотически устойчивой линейной частью. С использованием прямого метода Ляпунова получены достаточные условия асимптотической устойчивости и построены экспоненциальные оценки затухания решений. Результаты сформулированы в виде матричных алгебраических неравенств. Розглянуто математичну модель динаміки нейромережі, що описана системою диференціальних рівнянь із запізнюванням та виділеною асимптотично стійкою лінійною частиною. З використанням прямого методу Ляпунова отримано достатні умови асимптотичної стійкості й побудовано експоненційні оцінки затухання розв’язків. Результати сформульовано у вигляді матричних алгебраїчних нерівностей. A mathematical model of neural network dynamics represented by a system of differential equations with time-delay argument and an asymptotically stable linear part is considered. With using the direct Lyapunov method, sufficient conditions for asymptotic stability are obtained and exponential estimates of the decay of solutions are constructed. The results are formulated in the form of matrix algebraic inequalities (using LMI). ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Проблемы динамики управляемых систем Исследование динамики одной слабонелинейной системы с запаздыванием Дослідження динаміки однієї слабконелінійної системи із запізнюванням Dynamics investigation of one weakly nonlinear system with delay argument Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Исследование динамики одной слабонелинейной системы с запаздыванием
spellingShingle	Исследование динамики одной слабонелинейной системы с запаздыванием Хусаинов, Д.Я. Диблик, Й. Баштинец, Я. Шатырко, А.В. Проблемы динамики управляемых систем
title_short	Исследование динамики одной слабонелинейной системы с запаздыванием
title_full	Исследование динамики одной слабонелинейной системы с запаздыванием
title_fullStr	Исследование динамики одной слабонелинейной системы с запаздыванием
title_full_unstemmed	Исследование динамики одной слабонелинейной системы с запаздыванием
title_sort	исследование динамики одной слабонелинейной системы с запаздыванием
author	Хусаинов, Д.Я. Диблик, Й. Баштинец, Я. Шатырко, А.В.
author_facet	Хусаинов, Д.Я. Диблик, Й. Баштинец, Я. Шатырко, А.В.
topic	Проблемы динамики управляемых систем
topic_facet	Проблемы динамики управляемых систем
publishDate	2018
language	Russian
container_title	Проблемы управления и информатики
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format	Article
title_alt	Дослідження динаміки однієї слабконелінійної системи із запізнюванням Dynamics investigation of one weakly nonlinear system with delay argument
description	Рассмотрена математическая модель динамики нейронной сети, представленная системой дифференциальных уравнений с запаздыванием и выделенной асимптотически устойчивой линейной частью. С использованием прямого метода Ляпунова получены достаточные условия асимптотической устойчивости и построены экспоненциальные оценки затухания решений. Результаты сформулированы в виде матричных алгебраических неравенств. Розглянуто математичну модель динаміки нейромережі, що описана системою диференціальних рівнянь із запізнюванням та виділеною асимптотично стійкою лінійною частиною. З використанням прямого методу Ляпунова отримано достатні умови асимптотичної стійкості й побудовано експоненційні оцінки затухання розв’язків. Результати сформульовано у вигляді матричних алгебраїчних нерівностей. A mathematical model of neural network dynamics represented by a system of differential equations with time-delay argument and an asymptotically stable linear part is considered. With using the direct Lyapunov method, sufficient conditions for asymptotic stability are obtained and exponential estimates of the decay of solutions are constructed. The results are formulated in the form of matrix algebraic inequalities (using LMI).
issn	0572-2691
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180537
citation_txt	Исследование динамики одной слабонелинейной системы с запаздыванием / Д.Я. Хусаинов, Й. Диблик, Я. Баштинец, А.В. Шатырко // Проблемы управления и информатики. — 2018. № 1. — С. 22-38. — Бібліогр.: 23 назв. — рос..
work_keys_str_mv	AT husainovdâ issledovaniedinamikiodnoislabonelineinoisistemyszapazdyvaniem AT dibliki issledovaniedinamikiodnoislabonelineinoisistemyszapazdyvaniem AT baštinecâ issledovaniedinamikiodnoislabonelineinoisistemyszapazdyvaniem AT šatyrkoav issledovaniedinamikiodnoislabonelineinoisistemyszapazdyvaniem AT husainovdâ doslídžennâdinamíkiodníêíslabkonelíníinoísistemiízzapíznûvannâm AT dibliki doslídžennâdinamíkiodníêíslabkonelíníinoísistemiízzapíznûvannâm AT baštinecâ doslídžennâdinamíkiodníêíslabkonelíníinoísistemiízzapíznûvannâm AT šatyrkoav doslídžennâdinamíkiodníêíslabkonelíníinoísistemiízzapíznûvannâm AT husainovdâ dynamicsinvestigationofoneweaklynonlinearsystemwithdelayargument AT dibliki dynamicsinvestigationofoneweaklynonlinearsystemwithdelayargument AT baštinecâ dynamicsinvestigationofoneweaklynonlinearsystemwithdelayargument AT šatyrkoav dynamicsinvestigationofoneweaklynonlinearsystemwithdelayargument
first_indexed	2025-11-24T11:48:38Z
last_indexed	2025-11-24T11:48:38Z
_version_	1850846164577943552
fulltext	© Д.Я. ХУСАИНОВ, Й. ДИБЛИК, Я. БАШТИНЕЦ, А.В. ШАТЫРКО, 2018 22 ISSN 0572-2691 УДК 517.929 Д.Я. Хусаинов, Й. Диблик, Я. Баштинец, А.В. Шатырко1 ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ОДНОЙ СЛАБОНЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ Введение Еще в 1943 году Мак-Каллок и Уолтер Питтс [1] рассматривали нервные клетки головного мозга как логические элементы, а систему клеток, собранную в сеть, — как элементарный вычислительный прибор, способный имитировать логические элемен- ты. Этим же ученым принадлежит первенство и в определении «нейронных сетей». Для нейронных сетей свойственно два процесса: обучение, которое представляет, по сути, определение необходимых параметров для требуемого решения заданной про- блемы; и собственно работа нейронной сети, представляющая идентификацию запро- са и выработку требуемого решения [1, 2]. Как правило, оба процесса итерационны, и их математическая модель может быть представлена в виде нелинейной дискретной системы большой размерности. При малых «шагах» дискретизации система может представлять собой дифференциальные уравнения. В нейронных сетях, в которых выходной сигнал вновь подается на вход, воз- никает итерационный процесс — получается сеть с обратной связью (feed-back). Такая структура сетей получила название автоассоциативной. Описываемый тип впервые был предложен Хопфилдом в 1982 году [2, 3]. Первоначально в сеть по- давался вектор, элементы которого принимали значения .1 Дальнейшие шаги расчетов для i-го нейрона выполнялись по итерационной схеме )),(()( kxfky ii  .)()1( 1 0 kywkx jji n j i     Расчет приостанавливался, когда образ начинал повторяться (или слабо менялся). Таким образом, математическая модель динамики нейронной сети могла описы- ваться системой разностных уравнений. Модель нейрона. Рассмотрим модель нейрона следующего вида [2, 4] (рис. 1). В литературе по нейронным сетям модель, показанную на рис. 1, обычно называ- ют аддитивной (additive model). Эту модель можно рассматривать как нeoднородную (lumped) аппроксимацию электрической цепью модели в виде распределенной линии передачи (distributed transmission line model) биологического дендрического нейрона (biological dendritic neuron) [4]. Такую природу RС-цепи (resistance capacity) (см. рис. 1) можно также объяснить тем фактом, что сам биологический синапс является фильтром, предназначенным для хорошей аппроксимации [5]. В физических (электрических) терминах синаптические веса jiw представ- ляют собой емкости, а соответствующие выходные сигналы ),(txi ,,1 ni  — по- тенциалы, где n — количество входов. Эти сигналы подаются на суммирующие соединения. Общий ток можно записать в виде ,)( 1 jiji n i Itxw   1 The authors were supported by the Czech Science Foundation under the project 16-08549S. This work was realized in CEITEC — Central European Institute of Technology with research infrastructure supported by the project CZ.1.05/1.1.00/02.0068 financed from European Regional Development Fund. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2018, № 1 23 где первое слагаемое отражает возбуждения, действующие на синаптические веса, а второе является источником тока, представляющим внешнее смещение. Пусть )(tvj — индуцированное локальное поле на входе нелинейной функции актива- ции ).( Тогда общий ток, вытекающий из входного узла нелинейного элемента, можно выразить следующим образом , )()( dt tvd C R tv j j j j  где первое слагаемое вызвано сопротивлением (leakage resistance) ,jR а второе — емкостью (leakage capacitance) .jC Применив закон Кирхгофа, получаем [2, 4] .)( )()( 1 jiji n ij jj j Itx R tv dt tvd C    Для заданного индуцированного локального поля )(tvj можно определить выход нейрона j с помощью соотношения )).(()( tvtx jj  Синап- тические входы Сумматор входа Источник тока Нейронный выход Нелинейность )(1 tx )(2 tx )(3 tx )(txN )(txw NjN jNw )(33 txwj 3jw )(22 txwj 2jw )(11 txwj 1jw )( i txw iij jl jc jR jv )( )(txj Рис. 1 Функция активации )( , определяющая отношение выхода )(tx j нейрона j к его же индуцированному локальному полю ),(tv j является непрерывно диффе- ренцируемой. Чаще всего в качестве функции активации используют логическую функцию , }{exp1 1 )( j j v v   .,1 nj  Тогда, произведя замену , 1 jj j CR a  , j ij ij C w   получаем систему    n i jjjijj j Itwtva dt tdv 1 .))(()( )( Еще одна модель нейродинамики i-го нейрона может быть описана системой дифференциальных уравнений [5]            n j jijii i txwtxa dt tdx 1 )()( )( . 24 ISSN 0572-2691 Модель Хопфилда [2, 3]. Сеть Хопфилда состоит из множества нейронов, формирующих систему со множеством обратных связей (mu1tip1e-loop feedback system). Количество обратных связей равно количеству нейронов. Выход каждого нейрона замыкается через элемент единичной задержки на все остальные нейро- ны сети. Нейрон этой сети не имеет обратных связей с самим собой (рис. 2). 1z 1z 1z 1z Рис. 2 В этом случае уравнения динамики модели Хопфилда можно переписать в виде .))(( )()( 1    n j iiiij i ii i Itv R tv dt tdv C Пусть задана сеть Хопфилда, имеющая динамическое равновесие, если на ее вход подается образ, который отображается в себя. С точки зрения физики полная энергия системы в этой точке будет минимальна. Энергетическая функция (по существу, функция Ляпунова) может быть задана в виде суммы кинетической и потенциальной энергий      n ji n k kkjiij yyywyV 1, 1 . 2 1 )( Как следует из теорем второго метода Ляпунова, стационарное состояние сети будет асимптотически устойчивым, если функция Ляпунова будет положительно- определенной, а ее полная производная вдоль итерации — отрицательно-опреде- ленной. Если считать, что шаги итераций малы, то от разностной системы можно перейти к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. В настоящей работе фактически исследуются непрерывные нейронные сети Хопфилда, описываемые дифференциальными уравнениями с запаздыванием и без него, типа рассмотренных в [3, 4, 6, 7] ,))(()( 1)( 1    n j ijjiji i i i Ityty Rdt tdy C ,0t .,1 ni  Если учитывается время обработки сигнала, то используются системы диф- ференциально-разностных уравнений с запаздыванием ,))(()( 1)( 1    n j ijjiji i i i Ityty Rdt tdy C ,0t .,1 ni  Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2018, № 1 25 Здесь n — число нейронов в сети, T 21 ))(...,),(),(()( tytytyty n — вектор состоя- ния сети в момент времени ;0t ,iR ,iC ,iI ,,1 ni  — соответственно, сопро- тивления, емкости и внешние токи. Заменой , 1 ii i CR a  , i ij ij C   ,0 i i i C I I  ,,1 ni  ,,1 nj  приведенные выше системы, описывающие динамику сетей Хопфилда, можно свести к системам в стандартном виде ,))(()( )( 1 0    n j ijjijii i Itytya td tyd ,0t .,1 ni  Если учитывать время запаздывания, то ,))(()( )( 1 0    n j ijjijii i Itytya td tyd ,0t .,1 ni  Проблемы устойчивости динамики нейросетей. В работе [8] рассматри- вался общий принцип достижения устойчивости класса нейросетей, описываемых системой            N i iijijjjjj tuctubtuatu dt d 1 ))(())(())(()( , .,1 Nj  (i) Исследования проводились прямым методом Ляпунова с функцией вида         N i N j N j u jjjjiiji j dbuucE 1 1 1 0 )()()()( 2 1 , ),()(    jj d d .,1 Nj  (ii) Накладывались следующие ограничения. 1.Условие симметричности. Синаптические веса сети должны быть симмет- ричными: .ijji cc  2. Условие неотрицательности. Функции ,0)( jj ua .,1 Nj  3. Условие монотонности. Нелинейные функции отображения входа на выход )( jj u должны быть монотонными, т.е. .0)(    jj d d Теорема Коэна–Гроссберга [8]. Если система нелинейных дифференциаль- ных уравнений (i) удовлетворяет условиям симметрии, неотрицательности и мо- нотонности, то функция Ляпунова (ii) удовлетворяет условию .0E dt d И следовательно, система является глобально устойчивой. Для непрерывной модели Хопфилда, сравнивая систему (i) с системой, опи- сывающей модель Хопфилда, получаем следующее. Функция Ляпунова имеет вид                  N i N j N j v jj j j jjiiji j vdvI R v vvwE 1 1 1 0 )()()( 2 1 . 26 ISSN 0572-2691 Кроме того, можно сделать следующие преобразования. 1. ,)( iii xv  2. ,)( 00 j xv j xxdvdv jj   3.    j jjv x j x j xdxxdvdvv 0 0 1 0 .)()( Тогда, подставляя эти три выражения в последнюю функцию Ляпунова, получаем результат, идентичный полученному в работе [3]. Исследованию качественного поведения нейросетей различного вида с помо- щью прямого метода Ляпунова и подхода линейных матричных неравенств (LMI) посвящено в последнее время достаточное количество работ [7, 9–11]. В данной статье рассмотрена математическая модель динамики нейронной сети, представленная системой обыкновенных дифференциальных уравнений с выделенной асимптотически устойчивой линейной частью. Исследование подоб- ных систем проводилось в работах [12–14]. Качественному исследованию особых точек систем дифференциальных уравнений на плоскости посвящены работы [15, 16]. Отдельные результаты исследования устойчивости освещены в [17]. В работе [17] исследование устойчивости положения равновесия системы с за- паздыванием проводилось с использованием метода функций Ляпунова с условием Б.С. Разумихина. Получены достаточные условия устойчивости, равномерные по запаздыванию. Нелинейные части рассматривались как «возмущающие члены». Поэтому накладывались достаточно жесткие условия их «малости». В частности, постоянные Липшица нелинейных функций должны были быть достаточно малыми. Получены условия устойчивости, равномерные по запаздыванию. В работе [18] получены условия асимптотической устойчивости для «малого запаздывания», зави- сящего от параметров системы и коэффициентов функции Ляпунова. В настоящей статье на нелинейные члены накладываются «секторные» огра- ничения. Исследование устойчивости нулевого положения равновесия систем без запаздывания проводится с использованием функции вида суммы квадратичной части и интеграла от нелинейности. Такого вида функции Ляпунова используются при исследовании нелинейных систем автоматического регулирования [19, 20]. Далее рассматриваются системы с запаздыванием. Для них используется метод функционалов Ляпунова–Красовского [21, 22]. Если нелинейные части удовлетво- ряют «условию сектора», то получаются «более слабые» условия устойчивости [22]. Понятия асимптотической, абсолютной, глобальной устойчивости по Ляпунову как для систем с запаздыванием аргумента, так и без него, использованные в дан- ной работе, применяются в смысле представленных в работе [23] определений и не приведены в статье в целях экономии места. 1. Системы на плоскости без запаздывания Рассмотрим математическую модель динамики нейронной сети, которая опи- сывается системой двух нелинейных дифференциальных уравнений .0,0,))(())(()()( ,))(())(()()( 21222221121222 122121111111   aaItytytyaty Itytytyaty   (1) Предположим, что нелинейные функции )),(( 11 ty ))(( 22 ty непрерывные и удовлетворяют условию Липшица, т.е. yLyyy iii  )()( , ,2,1i (2) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2018, № 1 27 а решением системы уравнений 0)()( ,0)()( 22222112122 12212111111   Iyyya Iyyya (3) является точка ),,( 0 2 0 10 yyM ,00 1 y .00 2 y Заменим ,)()( 0 111 ytxty  .)()( 0 222 ytxty  После подстановки в систему (1) получаем ,))(())(())(()( 1 0 22212 0 11111 0 1111 Iytxytxytxatx  .))(())(())(()( 2 0 22222 0 11121 0 2222 Iytxytxytxatx  Перепишем полученную систему в виде ),())(()())(()()( 0 2212 0 22212 0 1111 0 11111111 yytxyytxtxatx  ).())(()())(()()( 0 22222 0 222222 0 12121 0 112121222 yfytxfyfytxftxatx  Произведя замену ),())(())(( 0 11 0 11111 yytxtxF  ),())(())(( 0 22 0 22222 yytxtxF  получаем «возмущенную» систему уравнений )).(())(()()( )),(())(()()( 22221121222 22121111111 txFtxFtxatx txFtxFtxatx     (4) Причем функции ))(( 11 txF и ))(( 22 txF также удовлетворяют условиям Липшица (2) с теми же постоянными )())(( 1111 txLtxF  , )())(( 2222 txLtxF  . (5) После этой замены исследование устойчивости положения равновесия ),( 0 2 0 10 yyM системы (3) было сведено к исследованию устойчивости нулевого положения равновесия системы (4). Обозначим            )(2 )(2 ][ 2222212122121 1212212111111 0 LahLhLh LhLhLah hS , },,{min 21min hhh  },,{max 21max hhh  )(min  — минимальное собственное чис- ло соответствующей симметричной положительно-определенной матрицы ,/)( maxmin hhh  .2/])[()( max0min0 hhSh  Теорема 1. Пусть нелинейные функции ),( 11 xF )( 22 xF удовлетворяют усло- виям Липшица (2) с постоянными ,1L 2L и существуют ,01 h ,02 h при кото- рых справедливы неравенства ,01111  La .0)())((4 2 121221212222111121  LhLhLaLahh 28 ISSN 0572-2691 Тогда нулевое решение системы (4) асимптотически устойчиво и справедливы следующие оценки сходимости )(1 tx ,)]0()()0(}[)({exp 2/12 212 2 10 xhhxth  )(2 tx .)]0()0()/}[()({exp /212 2 2 1210 xxhhth  (6) Доказательство. Для получения доказательства теоремы 1 используем квад- ратичную функцию Ляпунова ).()())(),(( 2 22 2 1121 txhtxhtxtxV  (7) Для нее справедливы следующие двусторонние неравенства )].()([))(),(()]()([ 2 2 2 1max21 2 2 2 1min txtxhtxtxVtxtxh  (8) Полная производная функции Ляпунова (7) в силу системы (4) имеет вид  ))](())(()()[(2))(),(( 22121111111121 txFtxFtxatxhtxtxV dt d ))].(())(()()[(2 222211212222 txFtxFtxatxh  Учитывая ограничения (5), наложенные на функции )),(( 11 txF )),(( 22 txF получаем   ])()()([2 )]()([2))(),(( 212121 2 11111 2 222 2 11121 txtxLhtxLh txahtxahtxtxV dt d )].()()([2 2 22222211212 txLhtxtxLh  Запишем полученное выражение в виде квадратичной формы .))(,)(]([))(,)(())(),(( T 2102121 txtxhStxtxtxtxV dt d  Условие отрицательной определенности полной производной функции Ляпунова — положительная определенность матрицы .][0 hS Этим условием, согласно крите- рию Сильвестра, является выполнение неравенств ,0)(2 111111  Lah .0)())((4 2 1212212122221111212  LhLhLaLahh При выполнении этих неравенств, для полной производной функции Ляпуно- ва будет выполняться )].()([)][())(),(( 2 2 2 10min21 txtxhStxtxV dt d  (9) Используя двусторонние неравенства (8), перепишем (9) в виде )).(),(()(2))(),(( 21021 txtxVhtxtxV dt d  Проинтегрировав полученное неравенство, получаем .))0(),0((})(2{exp))(),(( 21021 xxVthtxtxV  Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2018, № 1 29 Используя вновь неравенства (8), запишем  ))0(),0((})(2{exp))(),(()()( 21021 2 22 2 11 xxVthtxtxVtxhtxh )].0()0(}[)(2{exp 2 22 2 110 xhxhth  Отсюда получаем необходимые оценки (6), что и требовалось доказать. К сожалению, полученные условия асимптотической устойчивости достаточ- но «жесткие». Они накладывают «требования малости» на постоянные Липшица функций ),( 11 xF ).( 22 xF Накладывая «менее жесткие» ограничения типа «усло- вий сектора» [19–22], получим «более слабые» условия асимптотической устой- чивости. Будем говорить, что функции ),( 11 xF )( 22 xF удовлетворяют «условиям сек- тора», если существуют постоянные ,01 k ,02 k при которых выполняются неравенства ,)(0 2 11111 xkxFx  .)(0 2 22222 xkxFx  (10) Геометрически это означает, что функции ),( 11 xF )( 22 xF находятся внутри сек- тора первого и третьего квадрантов, ограниченного прямыми ,01 x 11xky  и ,02 x .22xky  Введем следующие обозначения },2/,2/{max ~ 2122111max khkhh  , ~ 2/]),,[()( max1min1 hrhSh   ],,[1 rhS                                   2222 212121 222 2222 121 212121 1111212111 1111 222 2222 21222 121111 1111 11 22 22 2 20 2 02 rh rka h rhh rka h rka hha hh rka ha . Условия устойчивости можно сформулировать следующим образом. Теорема 2. Пусть функции ),( 11 xF )( 22 xF удовлетворяют условиям (10) и система уравнений (3) имеет решение ),,( 0 2 0 10 yyM ,00 1 y .00 2 y Если суще- ствуют параметры ,01 h ,02 h ,01  ,02  ,01 r ,02 r при которых мат- рица ],,[1 rhS  положительно-определенная, то нулевое положение равновесия системы (4) глобально асимптотически устойчиво, а для ее решений ),(1 tx )(2 tx имеет место следующая верхняя экспоненциальная оценка сходимости )(1 tx ,)]0()/()0(}[)({exp 2/12 212 2 11 xhhxth  )(2 tx .)]0()0()/}[()({exp 2/12 2 2 1211 xxhhth  Доказательство. Для исследования устойчивости нулевого положения рав- новесия системы (4) используем функцию Ляпунова 30 ISSN 0572-2691   1 2 0 0 22221111 2 22 2 1121 ,)()(),( x x dssFdssFxhxhxxV ,01  .02  (11) Поскольку функции ),( 11 xF )( 22 xF удовлетворяют условиям (10), то при любых ,01  02  функция будет положительно-определенной, удовлетворяющей двусторонним неравенствам )]()([ ~ ))(),(()]()([ 2 2 2 1max21 2 2 2 1min txtxhtxtxVtxtxh  . Вычислим полную производную функции Ляпунова (11) в силу системы (4). Она имеет вид  ))](())(()()[(2))(),(( 22121111111121 txFtxFtxatxhtxtxV dt d  ))](())(()())[(( 2212111111111 txFtxFtxatxF  ))](())(()()[(2 222211212222 txFtxFtxatxh ))].(())(()())[(( 2222112122222 txFtxFtxatxF  Перепишем полученное выражение в виде квадратичной формы четырех переменных  ))(()),((),(),(())(),(( 22112121 txFtxFtxtxtxtxV dt d                                    ))(( ))(( )( )( 2/)(2/ 2/)(2/ 2/20 2/02 22 11 2 1 22221212122222121 21212111121211111 2222221222 1211111111 txF txF tx tx hah hha hahha hhaha . Преобразуем полную производную функции Ляпунова ),( 21 xxV в силу систе- мы (4) следующим образом:  )))(()),((),(),(())(),(( 22112121 txFtxFtxtxtxtxV dt d                                     2222 212121 222 2222 121 212121 1111212111 1111 222 2222 21222 121111 1111 11 22 22 2 20 2 02 rh ark h rhh ark h ark hha hh ark ha ))](()())[(( ))(( ))(( )( )( 1111111 22 11 2 1 txFtxktxFr txF txF tx tx                   ))].(()())[(( 2222222 txFtxktxFr  Здесь ,01 r 02 r — произвольные положительные постоянные. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2018, № 1 31 Поскольку, как следует из условий теоремы, выполняются условия «секто- ра» (10), матрица ],,[1 rhS  положительно-определенная, а постоянные ,01 r ,02 r то, отбросив два последних слагаемых, получаем оценку ))(),(( 21 txtxV dt d )].()([)],,[( 2 2 2 11min txtxrhS  Дальнейшее доказательство условий теоремы 2 полностью совпадает с дока- зательством аналогичных утверждений теоремы 1. 2. Системы с запаздыванием на плоскости Рассмотрим системы дифференциальных уравнений с запаздыванием ,))(())(()()( 12221211111111 Itytytyaty  ,))(())(()()( 22222211121222 Itytytyaty  (12) где ,01 a .02 a Как и в разд. 1, считаем, что нелинейные функции )),(( 11 ty ))(( 22 ty непрерывные и удовлетворяют условию Липшица (2), а решением системы уравнений (3) есть точка ),,( 0 2 0 10 yyM ,00 1 y .00 2 y Заменим ,)()( 0 111 ytxty  .)()( 0 222 ytxty  После подстановки в систему (12) получаем ,))(())(())(()( 1 0 222212 0 111111 0 1111 Iytxytxytxatx  .))(())(())(()( 2 0 222222 0 111121 0 2222 Iytxytxytxatx  Перепишем полученную систему в виде ),())(()())(()()( 0 2212 0 222212 0 1111 0 111111111 yytxyytxtxatx  ).())(()())(()()( 0 2222 0 222222 0 1121 0 111121222 yytxyytxtxatx  Произведя замену ),())(())(( 0 11 0 1111111 yytxtxF  ),())(())(( 0 22 0 2222222 yytxtxF  получаем «возмущенную» систему уравнений с запаздыванием )),(())(()()( 2221211111111  txFtxFtxatx )).(())(()()( 2222211121222  txFtxFtxatx (13) После этой замены исследование устойчивости положения равновесия ),( 0 2 0 10 yyM системы с запаздыванием (12) сводится к исследованию устойчиво- сти нулевого положения равновесия системы с запаздыванием (13). Для получе- ния условий устойчивости используем метод функционалов Ляпунова–Красов- ского с функционалами вида 32 ISSN 0572-2691    )( 0 222 )( 0 21111 2 22 2 1121 1 2 )()()()()](),([ tx tx dssFdssFtxhtxhtxtxV    t t t t dssxFdssxF 21 ,))(())(( 2 2 221 2 11 ,01  ,02  ,01  .02  (14) Обозначим ,)))(()),(()),(()),((),(),(()( T 222111221121  txFtxFtxFtxFtxtxtz (15)  ],,,[2 rhS                              2222121222121 1212111212111 212212222222 121111111111 222212222222 121111111111 02/2/ 02/2/ 2/2/02/)(0 2/2/002/)( 2/)(020 02/)(02 hh hh rrka rrka hhrkaha hhrkaha . Имеют место следующие условия асимптотической устойчивости. Теорема 3. Пусть функции ,)( 11 xF )( 22 xF удовлетворяют условиям (10) и система уравнений (3) имеет решение ),,( 0 2 0 10 yyM ,00 1 y .00 2 y Если суще- ствуют параметры ,01 h ,02 h ,01  ,02  ,01 r ,02 r ,01  ,02  при которых матрица ],,,[2  rhS положительно-определенная, то положение равновесия ),( 0 2 0 10 yyM системы (12) глобально асимптотически устойчиво, а для решений ),(1 tx )(2 tx системы (13) имеет место следующая верхняя экспоненци- альная оценка сходимости )(tx )0()( ~ xh ,}),,,({exp trh  где ,)}()({)( 2/12 2 2 1 txtxtx    ,/ ~~ minmax hhh  , ~ 2/)],,,[(),,,( max2min hrhSrh  },,{min 21min hhh         22221111max )( 2 1 ,)( 2 1 max ~ khkhh . Доказательство. Для функционала (14) будут иметь место следующие дву- сторонние неравенства .)]()([ ~ ))(),(()]()([ 2 2 2 1max21 2 2 2 1min txtxhtxtxVtxtxh  Вычислим полную производную функционала (14) в силу системы (13). )(2)](),([ 1121 txhtxtxV dt d   ))](())(()([ 222121111111 txFtxFtxa  ))](())(()()[(2 22222111212222 txFtxFtxatxh    ))](())(())[(( 222121111111111 txFtxFtxatxF  ))](())(()())[(( 222221112122222 txFtxFtxatxF Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2018, № 1 33  ))](())(([ 11 2 11 2 11 txFtxF ))].(())(([ 22 2 22 2 22  txFtxF Перепишем полученное выражение в виде  ))(())(()(2)(2)](),([ 2 2 221 2 11 2 222 2 11121 txFtxFtxhatxhatxtxV dt d  ))(())(( 22 2 2211 2 11 txFtxF  ))(()(2))(()(2))(()( 2221121111111111111 txFtxhtxFtxhtxFtxa  ))(()(2))(()(2))(()( 2222222111221222222 txFtxhtxFtxhtxFtxa  )(())((β))τ(())((ωβ 2221112111111111 txFtxFtxFtxF )).(())((β))(())((β 2222222211122212  txFtxFtxFtxF Используя векторно-матричную форму записи, получим:  )))(()),(()),(()),((),(),(()](),([ 22211122112121 txFtxFtxFtxFtxtxtxtxV dt d                            2222121222121 1212111212111 222212222 121111111 2222122222 1211111111 02/2/ 02/2/ 2/2/02/0 2/2/002/ 2/020 02/02 hh hh a a hhaha hhaha                     ))(( ))(( ))(( ))(( )( )( 222 111 22 11 2 1 txF txF txF txF tx tx . Преобразуем полученное выражение следующим образом:  )))(()),(()),(()),((),(),(()](),([ 22211122112121 txFtxFtxFtxFtxtxtxtxV dt d                                                   2 222121 222121 1 212111 212111 222212 22 2222 121111 11 1111 222212 2222 22 121111 1111 11 0 22 0 22 22 0 2 0 22 00 2 2 020 0 2 02 hh hh r ark r ark hh ark ha hh ark ha                       ))(( ))(( ))(( ))(( )( )( 222 111 22 11 2 1 txF txF txF txF tx tx ))].(()())[(())](()())[(( 22222221111111 txFtxktxFrtxFtxktxFr  Воспользовавшись обозначениями (15) и используя «условия сектора» (10), окон- чательно получим оценку 34 ISSN 0572-2691 ).(],,,[)()](),([ 2 T 21 tzrhStztxtxV dt d  Дальнейшие преобразования, выводы об асимптотической устойчивости и оценки сходимости получаются аналогично предыдущим теоремам. 3. Системы с запаздыванием общего вида Наконец, рассмотрим системы общего вида с запаздыванием ,)()()( 1 1 ijjj n j ijii Itytyaty     (16) где ,0ia .,1 ni  Как и в разд. 1, считаем, что нелинейные функции )),(( ty jj ,,1 nj  непрерывные и удовлетворяют условию Липшица, т.е. yLyyy iii  )()( , ,,1 nj  а решением системы уравнений ,0)( 1    i n j jjijii Iyya ,,1 ni  является точка ),...,,,( 00 2 0 10 nyyyM ,00 iy .,1 ni  Заменим ,)()( 0 iii ytxty  .,1 ni  После подстановки в систему получаем .))(())(()( 1 00 i n j jjjjijiiii Iytxytxatx     Перепишем полученную систему в виде .)]())(([)()( 1 00    n j jjjjjjijiii yytxtxatx Произведя замену ),())(())(( 00 jjjjjjjjj yytxtxF  получаем «возмущенную» систему уравнений с запаздыванием .))(()()( 1    n j jjjijiii txFtxatx (17) Исследование устойчивости положения равновесия )...,,,( 00 2 0 10 nyyyM системы с запаздыванием (16) сводится к исследованию устойчивости нулевого положения равновесия системы с запаздыванием (17). При исследовании используем метод функционалов Ляпунова–Красовского вида           n i n i tx n i t t iiiiiiiiiiin i i dxFdssFtxhtxtxV 1 1 )( 0 1 22 1 ,))(()()()](,),([  ,0i ,0i .,1 ni  (18) Обозначим ,)))((...,)),(()),((...,)),((),(...,),(()( T 111111 nnnnnn txFtxFtxFtxFtxtxtz  Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2018, № 1 35              33233 232212 131211 )()( )(],,,[ n T n T n nn T n nnn n SSS SSS SSS rhS ,              nn n ha ha ha hS 2...00 ...... 0...20 0...02 ],,[ 22 11 11 ,                 2/)(...00 ...... 0...2/)(0 0...02/)( ],,[ 2222 2222 1111 12 rka rka rka rhSn , (19)                 nnnnnn nn nn n hhh hhh hhh hS ... ...... ... ... ][ 221 2222212 1121111 13 ,                 n n yS ...00 ...... 0...0 0...0 ][ 2 1 22 ,                 2/...2/2/ ...... 2/...2/2/ 2/...2/2/ ][ 21 22222212 121121111 23 nnnnnnn n nS ,                 n n yS ...00 ...... 0...0 0...0 ][ 2 1 33 . Имеют место следующие условия асимптотической устойчивости. Теорема 4. Пусть функции ),( ii xF ,,1 ni  удовлетворяют условиям Липши- ца с постоянными ,iL ,,1 ni  и система уравнений ,0)( 1    i n j jjijii Iyya ,,1 ni  имеет решение ),...,,,( 00 2 0 10 nyyyM ,00 jy .,1 nj  Если существуют параметры ,0ih ,0i ,0ir ,0i при которых матрица ],,,[  rhSn положительно- определенная, то положение равновесия )...,,,( 00 2 0 10 nyyyM системы (16) глобаль- но асимптотически устойчиво, а для решений ),(1 tx ),(2 tx …, )(txn системы (17) имеет место следующая верхняя экспоненциальная оценка сходимости )(tx )0()( ~ xh },),,,({exp trh  где   ,/ ~~ minmax hhh  },{min ,1 min i ni hh           iiii ni khh )( 2 1 max ~ ,1 max . Доказательство. Для функционала (18) справедливы двусторонние неравенства .)()](,),([)( 1 2 max1 1 2 min    n i in n i i txhtxtxVtxh  Полная производная функционала (18) в силу системы (17) имеет вид               n i n j jjjijiiiin txFtxatxhtxtxV dt d 1 1 1 ))(()()(2)](,),([                n i n j jjjijiiiii txFtxatxF 1 1 ))(()())(( .))](())(([ 1 22    n i iiiiii txFtxF 36 ISSN 0572-2691 Перепишем полученное выражение в виде )](,),([ 1 txtxV dt d n      n i n i iiiiiiii txFtxatxha 1 1 2 ))(()()(2              n i n j jjjijii txFtxh 1 1 ))(()(2              n i n j jjjijiiii txFtxF 1 1 ))(())((    n i iiii n i iii txFtxF 1 2 1 2 .))(())(( Воспользовавшись обозначениями (19), преобразуем правую часть полученного выражения в виде квадратичной формы с определенной добавкой .))](()())[(()(],,,[)()](,),([ 1 T 1    n i iiiiiinn txFtxktxFrtzrhStztxtxV dt d  Учитывая условие «сектора» (10), окончательно получаем оценку ).(],,,[)()](,),([ T 1 tzrhStztxtxV dt d nn  Дальнейшие преобразования, выводы об асимптотической устойчивости и оценки сходимости получаются аналогично предыдущим теоремам. Заключение В статье рассмотрены системы дифференциальных уравнений с выделенной отрицательной диагональной частью и нелинейностью специального вида. Такие системы встречаются при исследовании динамики нейронных сетей. Получены усло- вия асимптотической устойчивости положения равновесия. Рассмотрены также си- стемы с запаздыванием аргумента. Исследования устойчивости проведены с ис- пользованием функционалов Ляпунова–Красовского. Благодаря подходу LMI все условия имеют вид конструктивно проверяемых матричных неравенств. Д.Я. Хусаінов, Й. Діблік, Я. Баштінец, А.В. Шатирко ДОСЛІДЖЕННЯ ДИНАМІКИ ОДНІЄЇ СЛАБКОНЕЛІНІЙНОЇ СИСТЕМИ ІЗ ЗАПІЗНЮВАННЯМ Розглянуто математичну модель динаміки нейромережі, що описана системою диференціальних рівнянь із запізнюванням та виділеною асимптотично стійкою лінійною частиною. З використанням прямого методу Ляпунова отримано до- статні умови асимптотичної стійкості й побудовано експоненційні оцінки зату- хання розв’язків. Результати сформульовано у вигляді матричних алгебраїчних нерівностей. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2018, № 1 37 D.Ya. Khusainov, J. Diblik, Ja. Bashtinec, A.V. Shatyrko DYNAMICS INVESTIGATION OF ONE WEAKLY NONLINEAR SYSTEM WITH DELAY ARGUMENT A mathematical model of neural network dynamics represented by a system of dif- ferential equations with time-delay argument and an asymptotically stable linear part is considered. With using the direct Lyapunov method, sufficient conditions for as- ymptotic stability are obtained and exponential estimates of the decay of solutions are constructed. The results are formulated in the form of matrix algebraic inequalities (using LMI). 1. McCulloch W.S., Pitts W. А logical calculus of the ideas immanent in nervous activity // Bulletin of Mathematica1 Biophysics. — 1943. — N 5. — P. 115–133. 2. Haykin S. Neural networks: a comprehensive foundation. 2nd edition. — New Jersey : Prentice Hall, 1998. — 842 p. 3. Hopfield J.J. Neurons with graded response have collective computational properties like those of two state neurons // Proceedings of the National Academy of Sciences. — 1984. — N 81. — Р. 3088–3092. 4. Rall W. Cable theory for dendritic neurons. In Methods in Neuronal Modeling. — Cambridge : MIТ Press, 1989. — Р. 9–62. 5. Pineda F.J. Generalization of back propagation to rеccurent neural1 networks // Physical Review Letters. — 1987. — N 59. — Р. 2229–2232. 6. Scott А.С. Neurophysics. — New York : Wiley, 1977. — 352 p. 7. Gopalsamy K. Leakage delays in BAM // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2007. — N 325. — P. 1117–1132. 8. Cohen М.А., Grossberg S. Absolute stability of global pattern formation and parallel memory storage by competitive neural networks // IEEЕ Transactions оn Systems, Маn and Cybernetics. — 1983. — SMC-13. — Р. 815–826. 9. Wu A., Zeng Z. Algebraical criteria of stability for delayed memristive neural networks // J. Advances in Difference Equations. — 2015. — 111. — 12 p. — https://doi.org/10.1186/s13662-015-0449-z 10. Wanga X., Shea K., Zhong S., Cheng J. On extended dissipativity analysis for neural networks with time-varying delay and general activation functions // Ibid. — 2016. — 79. — 16 p. — https://doi.org/10.1186/s13662-016-0769-7 11. Liu J., Xu R. Passivity analysis and state estimation for a class of memristor-based neural net- works with multiple proportional delays // Ibid. — 2017. — 34. — 20 p. — https://doi.org/ 10.1186/s13662-016-1069-y 12. Архангельский В.И., Богаенко И.Н., Грабовский Г.Г., Рюмшин Н.А. Нейронные сети в си- стемах автоматизации. — Киев : Техника, 1999. — 364 с. 13. Berezansky L., Idels L., Troib L. Global dynamics of the class on nonlinear nonautonomous sys- tems with time-varying delays // Nonlinear Analysis. — 2011. — 74, N 18. — P. 7499–7512. 14. Brokan E., Sadyrbaev F. On a differential system arising in the network control theory // Ibid. — 2016. — 21, N 5. — P. 687–701. — http://dx.doi.org/10.15388/NA.2016.5.8 15. Liang J., Cao J., Ho D.W.C. Discrete-time bidirectional associative memory neural networcs with variable delays // Physics Letters. — 2005. — A 335. — P. 226–234. 16. Atslega S., Finaskins D., Sadyrbaev F. On a planar system arising in the network control theory // Mathematical Modelling and Analysis. — 2016. — 21, N 3. — P. 385–398. — http://dx.doi.org/ 10.3846/13926292.216.1172131 17. Сіренко А.С., Шакотько Т.І., Хусаінов Д.Я. Про один підхід до дослідження стійкості мо- делі нейронних мереж з запізненням другим методом Ляпунова // Вісник Київського націо- нального університету імені Тараса Шевченка. — 2014. — С. 232–237. 18. Хусаинов Д.Я., Диблик Й., Баштинец Я., Сиренко А.С. Устойчивость, неравномерная по за- паздыванию, одной слабонелинейной системы с последействием // Труды института при- кладной математики и механики. — 2015. — 29. — С. 129–146. 19. Aizerman M.A., Gantmaher F.R. Absolute stability of regulator systems. — San Francisco : Holden-Day, 1964. — 172 p. 20. Lur’e A.I. Some problems in the theory of automatic control. — London : H.M. Stationary Office, 1957. — 165 p. https://doi.org/10.1186/s13662-015-0449-z https://doi.org/10.1186/s13662-016-0769-7 https://advancesindifferenceequations.springeropen.com/articles/10.1186/s13662-016-1069-y https://advancesindifferenceequations.springeropen.com/articles/10.1186/s13662-016-1069-y http://dx.doi.org/10.15388/NA.2016.5.8 http://dx.doi.org/10.3846/13926292.216.1172131 http://dx.doi.org/10.3846/13926292.216.1172131 38 ISSN 0572-2691 21. Хусаинов Д.Я., Шатырко А.В. Метод функций Ляпунова в исследовании устойчивости дифференциально-функциональных систем. — Киев : Изд-во Киевского университета, 1997. — 236 с. 22. Хусаінов Д.Я., Шатирко А.В. Стійкість нелінійних систем регулювання з післядією. — К. : ДП «Інформаційне аналітичне агентство», 2012. — 73 с. 23. El’sgol’ts L.E., Norkin S.B. Introduction to the theory of the differential equations with deviating argument. — New York : Academic Press, 1973. — 356 p. Получено 08.09.2017

Исследование динамики одной слабонелинейной системы с запаздыванием

Репозитарії

Схожі ресурси