Идентификация нелинейных систем с аддитивным внешним воздействием
Рассмотрена задача идентификации неавтономных нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Предложен алгоритм реконструкции системы при гармоническом внешнем возбуждении, оптимальный с точки зрения затрат машинного времени. Рассмотрены примеры решения задачи идентификации системы для о...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Datum: | 2018 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2018
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180549 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Идентификация нелинейных систем с аддитивным внешним воздействием / В.Г. Городецкий // Проблемы управления и информатики. — 2018. — № 2. — С. 5-15. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859550442039541760 |
|---|---|
| author | Городецкий, В.Г. |
| author_facet | Городецкий, В.Г. |
| citation_txt | Идентификация нелинейных систем с аддитивным внешним воздействием / В.Г. Городецкий // Проблемы управления и информатики. — 2018. — № 2. — С. 5-15. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Рассмотрена задача идентификации неавтономных нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Предложен алгоритм реконструкции системы при гармоническом внешнем возбуждении, оптимальный с точки зрения затрат машинного времени. Рассмотрены примеры решения задачи идентификации системы для обобщенной системы Дуффинга в режиме детерминированного хаоса.
Розглянуто задачу ідентифікації неавтономних нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь. Запропоновано алгоритм реконструкції системи при гармонійному зовнішньому збудженні, оптимальний з точки зору витрат машинного часу. Розглянуто приклади розв’язання задачі ідентифікації системи для узагальненої системи Дуффінга в режимі детермінованого хаосу.
The problem of identification of nonautonomous nonlinear systems of ordinary dif-ferential equations is considered in the article. An algorithm for reconstructing a sys-tem under harmonic external excitation is proposed. This algorithm is optimal from the point of view of computing time. An example of the solution of the system identi-fication problem for the generalized Duffing system in the regime of deterministic chaos is considered.
|
| first_indexed | 2025-11-26T05:22:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.Г. ГОРОДЕЦКИЙ, 2018
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2018, № 2 5
МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ
И АДАПТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ
УДК 517.595
В.Г. Городецкий
ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
С АДДИТИВНЫМ ВНЕШНИМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ
Введение
Идентификация систем различного типа — одна из основных проблем теории
моделирования. Такая задача предполагает определение вида и параметров модели
при наличии информации о входе и выходе системы [1]. Значительная часть исследо-
ваний, посвященных решению этой проблемы, касается линейных систем [2, 3]. Бо-
лее широкие возможности дает использование подхода, учитывающего нелиней-
ный характер систем, например, на основе моделей Винера–Гаммерштейна [4].
В последнее время все больше внимания уделяется исследованию нелинейных си-
стем с внешним возбуждением, в том числе хаотических. Такие системы часто
встречаются в медицине [5, 6], биологии [7], эпидемиологии [8], экологии [9], фи-
зике, технике [10, 11] и других областях.
При решении задачи идентификации таких систем не всегда применимы пе-
речисленные выше классические методы. Часто для анализа доступна только одна
наблюдаемая переменная процесса. Также наряду с неизвестными постоянными
коэффициентами модели могут быть неизвестны и параметры входного воздей-
ствия. Кроме этого, одной из особенностей таких систем является возможный ха-
отический характер наблюдаемого временного ряда, что обуславливает высокую
чувствительность модели к значениям ее параметров и начальным условиям.
Упомянутые выше обстоятельства существенно усложняют проблему, даже если
входное воздействие имеет периодический характер.
В последнее время для решения таких задач все чаще применяют методы не-
линейной динамики [12]. Решение задачи идентификации на основе таких подхо-
дов рассматривалось в [13], где реальная реконструируемая система заменялась
нейронной сетью, которая обеспечивала реализацию выхода системы — наблюда-
емую переменную. В [14] предложен метод реконструкции не самой модели, а ее
аттрактора, основанный на сдвиге единственной наблюдаемой переменной, бази-
рующемся на известной теореме Такенса [15].
Следует также учитывать назначение искомой модели. Если она использует-
ся для получения сигнала управления или прогноза изменения переменной про-
цесса, то такая модель может быть проще, чем модель, которая отражает реаль-
ную физику процесса. Именно последняя проблема и рассматривается в данной
работе. Частный случай такой задачи — параметрическая идентификация при за-
данном общем виде модели.
Постановка задачи
Предположим, неизвестная система имеет общий вид:
),...,,()(,...,,, 1
1
013221 njj
m
j
nnn xxfctСxxxxxxx
(1)
6 ISSN 0572-2691
где 1x — единственная наблюдаемая переменная, jf — непрерывные функции
переменных ,...,,1 nxx jc — постоянные коэффициенты, ,...,,1 mj )(0 tС — ад-
дитивное внешнее воздействие, которое будем считать периодическим. Очевидно,
что к виду (1) может быть приведено дифференциальное уравнение высокого порядка:
).(...,,,, 01
1
2
2
1
tС
dt
xd
dt
xd
dt
dx
xfc
dt
xd
n
n
jj
m
j
n
n
Также, если неизвестная система в отличие от (1) имеет полиномы в правых частях
всех уравнений, то будем считать, что она может быть приведена к виду (1) с исполь-
зованием преобразований, предложенных в [12, 16]. Как известно [13], такая форма
представления модели позволяет заменить неизвестные переменные процесса произ-
водными по времени наблюдаемой переменной. С другой стороны, в этом случае
необходимость многократного численного дифференцирования реального временно-
го ряда приводит к дополнительным вычислительным погрешностям [17]. Особенно
этот эффект проявляется при численном дифференцировании зашумленных рядов.
Поэтому в дальнейшем будем считать, что в системе (1) .3n
Согласно задаче идентификации для системы (1) в качестве известных на не-
котором временном интервале ],[ eb tt примем наблюдаемую ),(1 tx ее производ-
ные nxx ...,,1 и вид функций .jf Необходимо определить постоянные коэффици-
енты jc и функцию ),(0 tС которую, в отличие от типовых задач идентификации,
будем также считать неизвестной.
Обоснование алгоритма
Для решения поставленной задачи можно применить алгоритм, предложен-
ный в [18]. Такой алгоритм предполагает перебор всех возможных значений пе-
риода T неизвестного гармонического воздействия. При этом для каждого T
необходимо выполнить три операции:
1) решить обратную задачу [19], т.е. определить модель по временному ряду
наблюдаемой переменной;
2) решить прямую задачу, т.е. решить полученные уравнения для получения
реконструированного временного ряда;
3) сравнить оригинальный временной ряд с полученным в п. 2 для выбора
наиболее точного вектора параметров.
Для решения сформулированной выше задачи предлагается более простой по
сравнению с [18] алгоритм, требующий меньших затрат машинного времени. Он
базируется на теоремах, доказанных в [20].
В случае 00 const)( ctС сформулированная выше задача для системы (1)
легко решается методами линейной алгебры, т.е. достаточно решить алгебраиче-
скую систему
)),(...,),((...))(...,),(()(
...
)),(...,),((...))(...,),(()(
11110
0010011100
mnmmmmnmmn
nmmnn
txtxfctxtxfcctx
txtxfctxtxfcctx
(2)
где mt — произвольные моменты времени, а неизвестными являются коэффици-
енты .,...,, 10 mccc
Если же ,const)(0 tC то задача таким способом неразрешима, так как каж-
дое из уравнений системы (2) будет содержать неизвестную величину ).(0 tC
В этом случае могут оказаться полезными теоремы 1 и 2 из [20]. Пусть
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2018, № 2 7
),()(0 tptC T (3)
где )(tpT — периодическая функция периода .T Выберем моменты времени
mtt ...,,0 для формирования системы (2) таким образом, что
,...,,3,2, 0030201 mtttttttt m (4)
где — произвольное число. Введем обозначение: ...),,(),,({),( 02010 tctctc
)},,(..., 0 tcm где ),( 0 tc — вектор искомых постоянных коэффициентов. Рас-
смотрим систему (2) для двух разных значений: 010 tt и .020 tt
Теорема 1. Если выполняется соотношение (3) и моменты времени mtt ,...,1 в
системе (2) выбираются согласно (4), то для того, чтобы ,T необходимо, что-
бы существовала хотя бы одна пара значений 01t и ,02t для которых выполняется
равенство
).,(),( 0201 tt cc (5)
Теорема 2. Если выполняется соотношение (3) и моменты времени mtt ...,,1 в
системе (2) выбираются согласно (4), то для того, чтобы ,T достаточно, чтобы
для любых двух начальных значений 01t и 02t выполнялось равенство (5).
Примечание. Очевидно, что величины ,01t 02t и должны выбираться таким
образом, что величина mt из (4) должна подчиняться соотношению .km tt
Исходя из приведенных теорем, был разработан алгоритм, включающий сле-
дующие операции:
1) решение обратной задачи аналогично алгоритму [18], описанному выше;
2) сравнение векторов постоянных коэффициентов модели для разных 0t и .
Как видно, среди перечисленных операций отсутствуют пп. 2 и 3 алгорит-
ма [18], которые требует значительных затрат машинного времени.
Для иллюстрации алгоритма, основанного на приведенных теоремах, исполь-
зовался частный случай системы (1):
,)(
,
3
29
2
2182
2
17
3
16
2
25214
2
13221102
21
xcxxcxxcxcxcxxcxcxcxctCx
xx
(6)
где ).(cos)( 00 tcatC
Алгоритм применялся для идентификации обобщенной системы Дуффин-
га [21]:
3
16221102
21
)(cos
,
xcxcxctcax
xx
(7)
с параметрами .1,1,0,1,10,1047,1,113,1,3,11 6210 cccca Си-
стема (7) решалась на временном интервале с100 с шагом с.10 3 Временные за-
висимости для переменных ,1x 2x и фазовый портрет системы представлены на
рис. 1, а–с соответственно.
8 ISSN 0572-2691
0 20 40 60 80 100
– 3
– 2
– 1
0
1
2
3
4
5
x
1
t
0 20 40 60 80 100
– 10
– 5
0
5
10
x
2
t
а б
– 10
– 5
0
5
10
x
2
– 3 – 2 – 1 0 1 2 3
4
5
x1
4 5
в
Рис. 1
Оценка периода внешнего воздействия и постоянных коэффициентов модели
В некоторых случаях по графику изменения наблюдаемой переменной
можно предварительно оценить величину периода внешнего воздействия и тем
самым упростить решение поставленной задачи. В данном случае такая оценка
затруднительна, так как зависимость ),(1 tx представленная на рис. 1, имеет хао-
тический характер. Для подтверждения этого факта на рис. 2 показан спектр
(без постоянной составляющей) сигнала ),(1 tx где A и k — относительная
амплитуда и номер гармоники соответственно. Этот спектр имеет непрерыв-
ный характер, который соответствует апериодическим колебаниям. Такая ча-
стотная характеристика является одним из признаков детерминированного ха-
оса [22]. В то же время, как известно, многочастотные или периодические ко-
лебания имеют дискретный спектр. Для сравнения на рис. 3 показан спектр
сигнала )(1 tx системы (7) при .47,1 Как видно из графика, в этом случае
спектр имеет ярко выраженную первую и кратные ей гармоники. Еще одна
особенность хаотических систем — их высокая чувствительность к начальным
условиям и параметрам. Это обстоятельство повышает требования к точности
определения значений коэффициентов модели.
Учитывая сказанное выше, для определения величины периода внешнего
воздействия T необходимо перебрать весь диапазон его возможных значений.
Согласно теореме 1 это необходимо сделать для двух произвольных значений .0t
Следует также предусмотреть возможность появления плохо обусловленной мат-
рицы при ее формировании аналогично решению алгебраической системы (2).
Поэтому целесообразно использовать для численной обработки некоторый диапа-
зон значений 0t вместо отдельных точек 01t и .02t Также для большей достовер-
ности результата согласно теореме 2 следует проверить полученные первоначаль-
но значения параметров на других парах: 01t и .02t
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2018, № 2 9
0 20 40 60 80 100
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
A
(k
)
k
Рис. 3
В данном исследовании для решения обратной задачи исходными величина-
ми для расчета были приняты значения, указанные в табл. 1. В результате вычис-
лений получены величины, приведенные в табл. 2. Погрешность определения ко-
эффициентов рассчитывалась по формуле
,)(...)()( 2
9291
2
2221
2
1211 cccccc (8)
где начальному моменту времени 01t соответствуют коэффициенты ...,, 2111 cc
,..., 91c а моменту времени 02t — коэффициенты ....,,, 922212 ccc
Таблица 1
Единица измерения
Диапазон изменения,
T
Диапазон изменения,
01t
Диапазон изменения,
02t
Секунды 0,001 … 10 0,200 … 0,205 0,800 … 0,805
Номера точек
временного ряда
1 … 10000 200 … 205 800 … 805
Таблица 2
Коэффициенты
Значения коэффициен-
тов для 205,001 t
Значения коэффициен-
тов для 804,002 t
Погрешность,
Период,
T
0C 3,713072 3,717566
0,026408
0,599 с
1с 8,653097 8,669384
2с 1,987565 1,98610
3с 5,114387 5,096896
4с 0,146180 0,138807
5с – 0,811002 – 0,816470
6с – 2,660187 – 2,656515
7с – 0,802234 – 0,798412
8с – 0,217807 – 0,214709
9с 0,146271 0,146212
Согласно рекомендациям теоремы 2 необходимо проверить полученную вели-
чину периода Т при другой паре значений: 01t и .02t Вычисления производились
при различных наборах этих величин. Результаты приведены в табл. 3. Как видно из
таблицы, наиболее часто в результатах расчетов получены значения периода Т
из диапазона 5,623…5,649 с. Для уточнения реального значения Т был произ-
веден расчет при следующих условиях: Т = 5,620…5,660 с, 01t 0,400…0,600 с,
02t 0,700…0.900 с. Результаты этого расчета представлены в табл. 4.
0 20 40 60 80 100
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
A
(k
)
k
Рис. 2
10 ISSN 0572-2691
Таблица 3
№
Диапазон
изменения,
01t
Диапазон
изменения,
02t Погрешность, Период,
3T
1 0,200…0,205 0,700…0,705 0,673321 5,645
2 0,300…0,305 0,700…0,705 0,403285 0,404
3 0,400…0,405 0,700…0,705 0,145675 0,297
4 0,500…0,505 0,700…0,705 0,488132 5,643
5 0,600…0,605 0,700…0,705 0,251983 5,623
6 0,200…0,205 0,800…0,805 0,026408 0,599
7 0,300…0,305 0,800…0,805 0,480441 5,631
8 0,400…0,405 0,800…0,805 0,425702 5,649
9 0,500…0,505 0,800…0,805 0,307811 5,643
10 0,600…0,605 0,800…0,805 0,406454 5,644
Таблица 4
Коэффициенты
Значения коэффициен-
тов для 429,001 t
Значения коэффициен-
тов для 853,002 t
Погрешность,
Период,
T
0C 11,106555 6,732771
0,095568
5,643 с
1с 1,68043 1,635059
2с – 0,147045 – 0,198436
3с – 0,512241 – 0,556418
4с 0,230307 0,209618
5с – 0,005845 0,034121
6с – 0,899374 – 0,895939
7с – 0,04141 – 0,06191
8с – 0,016115 – 0,01749
9с – 0,007047 – 0,011816
Упрощение модели
Для упрощения полученной модели можно попытаться приравнять нулю ко-
эффициенты, значения которых согласно табл. 4 малы или существенно отлича-
ются для разных значений 01t и .02t Пусть .09875 cccc Тогда систе-
ма (6) примет вид
.)(
,
3
16214
2
13221102
21
xcxxcxcxcxctCx
xx
(9)
Результаты расчета для системы (9) приведены в табл. 5.
Таблица 5
Коэффициенты
Значения коэффициен-
тов для 429,001 t
Значения коэффици-
ентов для 853,002 t
Погрешность,
Период,
T
0C 11,467768 7,425552
0,070702
5,648 с
1с 0,611095 0,611095
2с – 0,043543 0,020229
3с 0,330448 0,330448
4с – 0,029758 – 0,043014
6с – 1,080863 – 1,069351
При дальнейшем упрощении модели, как видно из табл. 5, можно попытаться
пренебречь коэффициентами 2с и .4с При 2с = 0 структура искомой системы
примет вид
.)(
,
3
16214
2
131102
21
xcxxcxcxctCx
xx
(10)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2018, № 2 11
Расчеты для системы (10) при разных значениях 01t и 02t позволили получить
значение Т = 5,653…5,654 с с погрешностью ,05,0 что при отсутствии альтер-
нативы можно считать приемлемым результатом. Если же принять дополнительно
,04 с численный эксперимент приводит к значительному увеличению погреш-
ности, что позволяет сделать вывод о неперспективности такой структуры.
Также был рассмотрен альтернативный вариант упрощения модели (9). Пер-
воначально в ней было принято ,04 с т.е. системой-кандидатом была модель
.)(
,
3
16
2
13221102
21
xcxcxcxctCx
xx
(11)
Применение алгоритма к этой системе привело к росту погрешности. Например,
при 01t = 0,160…0,180 с и 02t = 0,785…0,795 с получены значения коэффициен-
тов, представленные в табл. 6.
Как видно из таблицы, значения коэффициента 3с существенно отличаются для
разных .0t Это же расхождение наблюдается и для других диапазонов: 01t и .02t
Поэтому был рассмотрен вариант .03 с В результате получена структура, сов-
падающая с системой (7) и имеющая коэффициенты, значения которых пред-
ставлены в табл. 7. По этим значениям видно, что погрешность существенно
снизилась по сравнению со всеми предыдущими результатами. При других зна-
чениях 01t и 02t значение погрешности колебалось в пределах ...001132,0
,006056,0... а период c,654,5...633,5T что близко к заданному в системе (7), где
.645,5/2 T
Таблица 6
Коэффициенты
Значения коэффици-
ентов для 178,001 t
Значения коэффициен-
тов для 795,002 t
Погрешность,
Период, T
0C 13,912322 6,983845
0,162155
5,653 с
1с 0,857084 0,742887
2с – 0,053211 0,053455
3с 0,204035 0,319107
6с – 1,065965 – 1,062529
Таблица 7
Коэффициенты
Значения коэффици-
ентов для 01t = 0,063
Значения коэффици-
ентов для 02t = 0,889
Погрешность, Период, T
0C 15,193969 6,202832
0,002906
5,641 с
1с 1,011063 1,009151
2с – 0,095997 0,097485
6с – 1,001658 – 1,000053
Определение параметров внешнего воздействия
На предыдущем этапе были определены значения постоянных коэффициен-
тов mccc ...,,, 21 и приблизительно оценена величина .T В то же время остальные
параметры внешнего воздействия — ,, 0ca — остаются неизвестными. Для
определения этих величин использовалась вторая часть алгоритма. Согласно ей
решалась алгебраическая система (2) для значений ,0t которые изменялись в диа-
пазоне 0…80 с. При этом ...,, 21 tt выбирались согласно (4), где .T Фрагмент
12 ISSN 0572-2691
зависимости )( 00 tC представлен на рис. 4. Как видно из графика, в некоторых
точках имеют место отклонения значений от синусоиды. Это объясняется плохой
обусловленностью матрицы, сформированной для решения алгебраической си-
стемы (2) при некоторых 0t [20]. Данное обстоятельство послужило критерием
для уточнения значения .T Оказалось, что наименьшее отклонение величины
)( 00 tC от синусоиды наблюдалось при c645,51 T и c.646,52 T Уточнение
величины периода производилось при c,500,0...001 t c.000,1...501,002 t В ре-
зультате для 1T погрешность составила ,000947,01 а для 2T —
.002070,02 Поэтому в качестве точного значения периода была принята вели-
чина c.645,51 T
0 5 10 15 20
0
5
10
15
20
25
С
(t
1
)
t0
Рис. 4
Очевидно, что, зная )( 00 tC в любой момент времени, несложно опреде-
лить неизвестные параметры синусоиды. Кривая, представленная на рис. 4, по-
лучена для 645,5T с. При этом оказалось, что 85,00011,3a 83,0000,010 c
,113052,1 .104,1 После этого при известном T были уточнены значения
постоянных коэффициентов, приведенные в табл. 8. Как видно, эти значения
близки к заданным для системы (7), как и значения постоянных коэффициентов
621 ,, ccc из табл. 7.
На рис. 5, а для сравнения приведены временные зависимости на интервале
50 с для переменной )(1 tx системы (7) (сплошная линия) и реконструированной
системы с коэффициентами ,,, 621 ccc полученными как средние значения из
табл. 8 (точечная линия). На рис. 5, б приведен фазовый портрет реконструиро-
ванной системы, который практически совпадает с исходным (рис. 1, в), что также
подтверждает точность произведенной реконструкции модели.
– 3
– 2
– 1
0
1
2
3
4
5
x 1
0 10 20 30 40 50
t
– 10
– 5
0
5
10
x
2
– 3 – 2 – 1 0 1 2 3
4
5
x1
4 5
а б
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2018, № 2 13
Рис. 5
Кроме этого, была проверена точность оценки величины периода T при из-
менении амплитуды внешнего воздействия .a Численный эксперимент проводил-
ся при величинах c,780,0...140,001 t c.400,1...800,002 t Результаты вычисле-
ний приведены в табл. 9. Относительное отклонение полученной величины пери-
ода от заданной определялось по формуле ,/ ss TTT где sT — заданное
значение периода, ñ,645,5sT T — значение периода, полученное при различ-
ных амплитудах .a
Таблица 8
Коэффициенты
Значения
коэффициентов
для 146,001 t
Значения
коэффициентов
для 22,902 t
Погрешность, Период, T
0C 14,115864 5,939262
0,000947
5,645 с
1с 1,031476 1,030693
2с – 0,108376 – 0,108569
6с – 0,998054 – 0,998550
Таблица 9
Амплитуда, 0с Период,
sT Относительное
отклонение периода,
2 5,670 0,004429
4 5,640 0,000886
6 5,654 0,001594
8 5,670 0,004429
10 5,649 0,000709
12 5,660 0,002657
14 5,638 0,00124
Заключение
Теоретическое обоснование алгоритма в виде приведенных теорем позволило
исключить возможный интуитивный подход. Благодаря отсутствию в процедуре
операций, требующих значительных затрат машинного времени, несмотря на
большой объем обрабатываемых массивов, алгоритм продемонстрировал хорошее
быстродействие.
Также проведенный численный эксперимент продемонстрировал работоспо-
собность и приемлемую точность алгоритма, несмотря на двукратное численное
дифференцирование при формировании алгебраической системы типа (2) для ре-
шения обратной задачи. Если же применение данного алгоритма приведет к не-
удовлетворительно большим расхождениям реконструированного ряда с наблю-
даемым, то можно дополнительно произвести реконструкцию по обычному алго-
ритму [18], в котором критерием точности вычислений будет не соотношение (8),
а отклонение полученного временного ряда от наблюдаемого. В этом случае по-
лученные предварительно с использованием данного алгоритма значения пара-
метров искомой системы будут использованы как исходные для алгоритма [18],
что значительно сократит расчетное время и повысит точность вычислений.
В.Г. Городецький
ІДЕНТИФІКАЦІЯ НЕЛІНІЙНИХ СИСТЕМ
З АДИТИВНИМ ЗОВНІШНІМ ВПЛИВОМ
Розглянуто задачу ідентифікації неавтономних нелінійних систем звичайних
диференціальних рівнянь. Запропоновано алгоритм реконструкції системи при
гармонійному зовнішньому збудженні, оптимальний з точки зору витрат ма-
14 ISSN 0572-2691
шинного часу. Розглянуто приклади розв’язання задачі ідентифікації системи
для узагальненої системи Дуффінга в режимі детермінованого хаосу.
V.G. Gorodetskyi
IDENTIFICATION OF NONLINEAR SYSTEMS
WITH ADDITIVE EXTERNAL ACTION
The problem of identification of nonautonomous nonlinear systems of ordinary dif-
ferential equations is considered in the article. An algorithm for reconstructing a sys-
tem under harmonic external excitation is proposed. This algorithm is optimal from
the point of view of computing time. An example of the solution of the system identi-
fication problem for the generalized Duffing system in the regime of deterministic
chaos is considered.
1. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. — М. : Наука, 1991. — 432 с.
2. Кунцевич В.М. Управление в условиях неопределенности: гарантированные результаты в
задачах управления и идентификации. — Киев : Наук. думка, 2006. — 264 с.
3. Кременецкий И.А., Сальников Н.Н. Нестохастический подход к определению размерности и
параметров линейных авторегрессионных моделей по результатам измерения входных и
выходных переменных // Международный научно-технический журнал «Проблемы управ-
ления и информатики». — 2010. — № 1. — С. 63–75.
4. Wills A., Schön T., Ljung L., Ninness B. Identification of Hammerstein-Wiener models // Auto-
matica. — 2013. — 49, N 1. — P. 70–81.
5. Stankovski T. Tackling the inverse problem for nonautonomous systems: application to the life
sciences. — Springer International Publishing Switzerland, 2014. — 134 p.
6. Kloeden P.E., Potzsche C. Nonautonomous dynamical systems in the life sciences // Lecture
Notes in Mathematics. — 2013. — 2102. — 313 p.
7. Idels L.V., Khokhlov A. Nonautonomous food-limited fishery model with adaptive harvesting. —
arXiv:1006.5431v1 [math. DS] — 2010. — 11 p.
8. Martcheva M. A nonautonomous multi-strain SIS epidemic model // Journal of Biological Dy-
namics. — 2009. — 3, N 2–3. — P. 235–251.
9. Fumin Z., Shujing G., Yujiang L., Yan Zhang. Dynamics of a nonautonomous SIR model with
time-varying impulsive release and general nonlinear incidence rate in a polluted environment //
Applied Mathematics. — 2016. — 7. — P. 681–693.
10. Краснопольская Т.С., Швец А.Ю. Регулярная и хаотическая динамика систем с ограниченным
возбуждением. — Москва; Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2008. — 208 с.
11. Dynamical properties of a ferroelectric capacitors observed through nonlinear time series analysis /
R. Hegger, H. Kantz, F. Schmuser, M. Diestelhorst, R.-P. Kapsch, H. Beige // Chaos. — 1998. —
8, N 3. — P. 727–754.
12. Gouesbet G. Reconstruction of the vector fields of continuous dynamical systems from numerical
scalar time series // Phys. Rev. — 1991. — A 43. — P. 5321–5331.
13. Verdult, V., Verhaegen, M., Scherpen, J. Identification of nonlinear nonautonomous state space
systems from input-output measurements // Proceedings of the IEEE International Conference on
Industrial Technology. — 2000. — 1. — P. 410–414.
14. Sauer T. Detection of periodic driving in nonautonomous difference equations // Advanced Stud-
ies in Pure Mathematics. — 2009. — 53. — P. 301–309.
15. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence // Lecture Notes in Mathematics. — Berlin :
Springer. — 1981. — 898. — P. 336–381.
16. Gorodetskyi V., Osadchuk M. Analytic reconstruction of some dynamical systems // Physics Let-
ters A. — 2013. — N 377. — P. 703–713.
17. Unbehauen H., Rao G.P. Identification of continuous-time systems // Proceedings of IFAC sym-
posium SYSID’97. — 1997. — 3. — P. 1023–1049.
18. Bezruchko B., Smirnov D., Dikanev T., Sysoev I. Construction of dynamical model equations for
nonautonomous systems from time series (peculiarities and special techniques) // Chaos and its
reconstructions. — Nova Science Publishers. — 2003. — P. 215–243.
19. Tarantola A. Inverse problem theory and methods for model parameter estimation. — Philadelph-
ia : Society for Industrial and Applied Mathematics, 2005. — 344 p.
20. Городецкий В.Г. Реконструкция некоторых нелинейных неавтономных систем по скаляр-
ному временному ряду // Вестник Запорожского национального университета. Физико-
математические науки. — 2016. — № 2. — С. 34–42.
21. Ueda Y. Randomly transitional phenomena in the system governed by Duffing’s equation //
J. Stat. Phys. — 1979. — 20. — P. 181–196.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2018, № 2 15
22. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. — М. : Наука, 1990. — 272 с.
Получено 24.05.2017
После доработки 21.09.2017
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-180549 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-26T05:22:10Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Городецкий, В.Г. 2021-10-03T16:07:55Z 2021-10-03T16:07:55Z 2018 Идентификация нелинейных систем с аддитивным внешним воздействием / В.Г. Городецкий // Проблемы управления и информатики. — 2018. — № 2. — С. 5-15. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180549 517.595 Рассмотрена задача идентификации неавтономных нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Предложен алгоритм реконструкции системы при гармоническом внешнем возбуждении, оптимальный с точки зрения затрат машинного времени. Рассмотрены примеры решения задачи идентификации системы для обобщенной системы Дуффинга в режиме детерминированного хаоса. Розглянуто задачу ідентифікації неавтономних нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь. Запропоновано алгоритм реконструкції системи при гармонійному зовнішньому збудженні, оптимальний з точки зору витрат машинного часу. Розглянуто приклади розв’язання задачі ідентифікації системи для узагальненої системи Дуффінга в режимі детермінованого хаосу. The problem of identification of nonautonomous nonlinear systems of ordinary dif-ferential equations is considered in the article. An algorithm for reconstructing a sys-tem under harmonic external excitation is proposed. This algorithm is optimal from the point of view of computing time. An example of the solution of the system identi-fication problem for the generalized Duffing system in the regime of deterministic chaos is considered. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Методы идентификации и адаптивного управления Идентификация нелинейных систем с аддитивным внешним воздействием Ідентифікація нелінійних систем з адитивним зовнішнім впливом Identification of nonlinear systems with additive external action Article published earlier |
| spellingShingle | Идентификация нелинейных систем с аддитивным внешним воздействием Городецкий, В.Г. Методы идентификации и адаптивного управления |
| title | Идентификация нелинейных систем с аддитивным внешним воздействием |
| title_alt | Ідентифікація нелінійних систем з адитивним зовнішнім впливом Identification of nonlinear systems with additive external action |
| title_full | Идентификация нелинейных систем с аддитивным внешним воздействием |
| title_fullStr | Идентификация нелинейных систем с аддитивным внешним воздействием |
| title_full_unstemmed | Идентификация нелинейных систем с аддитивным внешним воздействием |
| title_short | Идентификация нелинейных систем с аддитивным внешним воздействием |
| title_sort | идентификация нелинейных систем с аддитивным внешним воздействием |
| topic | Методы идентификации и адаптивного управления |
| topic_facet | Методы идентификации и адаптивного управления |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180549 |
| work_keys_str_mv | AT gorodeckiivg identifikaciânelineinyhsistemsadditivnymvnešnimvozdeistviem AT gorodeckiivg ídentifíkacíânelíníinihsistemzaditivnimzovníšnímvplivom AT gorodeckiivg identificationofnonlinearsystemswithadditiveexternalaction |