Асимптотическая диссипативность случайных процессов с импульсным возмущением в схеме аппроксимации Леви
Рассмотрен случай, когда случайные возмущения системы определены импульсным процессом в неклассической схеме аппроксимации Леви. Изучается асимптотическая дисипативность допредельной нормированной стохастической эволюционной системы в эргодической марковской среде, которая существенно влияет на пове...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2018 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2018
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180553 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Асимптотическая диссипативность случайных процессов с импульсным возмущением в схеме аппроксимации Ле / А.В. Никитин// Проблемы управления и информатики. — 2018. — № 2. — С. 58-65. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-180553 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Никитин, А.В. 2021-10-03T16:20:52Z 2021-10-03T16:20:52Z 2018 Асимптотическая диссипативность случайных процессов с импульсным возмущением в схеме аппроксимации Ле / А.В. Никитин// Проблемы управления и информатики. — 2018. — № 2. — С. 58-65. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180553 19.21+62 Рассмотрен случай, когда случайные возмущения системы определены импульсным процессом в неклассической схеме аппроксимации Леви. Изучается асимптотическая дисипативность допредельной нормированной стохастической эволюционной системы в эргодической марковской среде, которая существенно влияет на поведение предельного процесса. Розглянуто випадок, коли випадкові збурення системи визначено імпульсним процесом у некласичній схемі апроксимації Леві. Вивчається асимптотична дисипативність дограничної нормованої стохастичної еволюційної системи в ергодичному марковському середовищі, яка суттєво впливає на поведінку граничного процесу. The case when the random perturbations of the system are determined by the impulse pro-cess in the Levy nonclassical approximation scheme. The asymptotic dissipativity of the prelimited normalized stochastic evolution system in the ergodic Markovian environment is studied, which significantly influences the behavior of the limite process. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Методы управления и оценивания в условиях неопределенности Асимптотическая диссипативность случайных процессов с импульсным возмущением в схеме аппроксимации Леви Асимптотична дисипативність випадкових процесів з імпульсним збуренням у схемі апроксимації Леві Asymptotic dissipativity of stochastic processes with impulse perturbation in the Levy approximation scheme Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Асимптотическая диссипативность случайных процессов с импульсным возмущением в схеме аппроксимации Леви |
| spellingShingle |
Асимптотическая диссипативность случайных процессов с импульсным возмущением в схеме аппроксимации Леви Никитин, А.В. Методы управления и оценивания в условиях неопределенности |
| title_short |
Асимптотическая диссипативность случайных процессов с импульсным возмущением в схеме аппроксимации Леви |
| title_full |
Асимптотическая диссипативность случайных процессов с импульсным возмущением в схеме аппроксимации Леви |
| title_fullStr |
Асимптотическая диссипативность случайных процессов с импульсным возмущением в схеме аппроксимации Леви |
| title_full_unstemmed |
Асимптотическая диссипативность случайных процессов с импульсным возмущением в схеме аппроксимации Леви |
| title_sort |
асимптотическая диссипативность случайных процессов с импульсным возмущением в схеме аппроксимации леви |
| author |
Никитин, А.В. |
| author_facet |
Никитин, А.В. |
| topic |
Методы управления и оценивания в условиях неопределенности |
| topic_facet |
Методы управления и оценивания в условиях неопределенности |
| publishDate |
2018 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы управления и информатики |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Асимптотична дисипативність випадкових процесів з імпульсним збуренням у схемі апроксимації Леві Asymptotic dissipativity of stochastic processes with impulse perturbation in the Levy approximation scheme |
| description |
Рассмотрен случай, когда случайные возмущения системы определены импульсным процессом в неклассической схеме аппроксимации Леви. Изучается асимптотическая дисипативность допредельной нормированной стохастической эволюционной системы в эргодической марковской среде, которая существенно влияет на поведение предельного процесса.
Розглянуто випадок, коли випадкові збурення системи визначено імпульсним процесом у некласичній схемі апроксимації Леві. Вивчається асимптотична дисипативність дограничної нормованої стохастичної еволюційної системи в ергодичному марковському середовищі, яка суттєво впливає на поведінку граничного процесу.
The case when the random perturbations of the system are determined by the impulse pro-cess in the Levy nonclassical approximation scheme. The asymptotic dissipativity of the prelimited normalized stochastic evolution system in the ergodic Markovian environment is studied, which significantly influences the behavior of the limite process.
|
| issn |
0572-2691 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180553 |
| citation_txt |
Асимптотическая диссипативность случайных процессов с импульсным возмущением в схеме аппроксимации Ле / А.В. Никитин// Проблемы управления и информатики. — 2018. — № 2. — С. 58-65. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT nikitinav asimptotičeskaâdissipativnostʹslučainyhprocessovsimpulʹsnymvozmuŝeniemvshemeapproksimaciilevi AT nikitinav asimptotičnadisipativnístʹvipadkovihprocesívzímpulʹsnimzburennâmushemíaproksimacííleví AT nikitinav asymptoticdissipativityofstochasticprocesseswithimpulseperturbationinthelevyapproximationscheme |
| first_indexed |
2025-11-27T00:50:20Z |
| last_indexed |
2025-11-27T00:50:20Z |
| _version_ |
1850789486160510976 |
| fulltext |
© А.В. НИКИТИН, 2018
58 ISSN 0572-2691
МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ И ОЦЕНИВАНИЯ
В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
УДК 519.21+62
А.В. Никитин
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ДИССИПАТИВНОСТЬ
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
С ИМПУЛЬСНЫМ ВОЗМУЩЕНИЕМ
В СХЕМЕ АППРОКСИМАЦИИ ЛЕВИ
Введение
Важным свойством динамических систем является диссипативность, рас-
смотренная, в частности, в работах Р.З. Хасьминского и В.А. Плисса. В мате-
матических терминах понятие диссипативности детерминированной системы
введено Н. Леймнсоном, Р. Рейссигом, Г. Сансонсом и Р. Конти. Японский
математик T. Йошизавa T. предложил критерии диссипативности систем, в
которых используется устойчивость по Ляпунову. В работах Р.З. Хасьминско-
го проанализирована диссипативность детерминированных и стохастических
систем, основанная на использовании свойств функции Ляпунова детермини-
рованной системы.
В то же время анализ асимптотических характеристик случайных эволюций
под влиянием равномерно эргодического марковского процесса проведен в рабо-
тах [1–3]. В частности, рассмотрена устойчивость, сходимость к точке равновесия
и асимптотическая нормальность таких процессов.
Таким образом, анализ диссипативности диффузионных процессов с марковски-
ми переключениями в схеме серий с малым параметром является актуальным [4–6].
Случайные процессы с марковскими переключениями позволяют рассмотреть бо-
лее широкий класс прикладных задач с точки зрения разработки методов модели-
рования и анализа таких систем.
В работе [7] изучен вопрос асимптотического поведения стохастической эво-
люционной системы в эргодической марковской среде. Показано, что предельный
процесс )(tu
определяется решением дифференциального уравнения
).,(~v)(]~))(([)( dvdttdwdtatuCtud
R
Таким образом, возникает важный вопрос о том, как поведение предель-
ного процесса зависит от допредельной нормированной стохастической эво-
люционной системы в эргодической марковской среде. В настоящей статье
изучен вопрос асимптотической диссипативности допредельной системы в схеме
аппроксимации Леви.
1. Постановка задачи
Стохастическая эволюционная система в эргодической марковской среде
определяется стохастическим дифференциальным уравнением [8]
),())/(),(()( 2 tddttxtuCtdu ,)( Rtu
(1)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2018, № 2 59
где )(tu — случайная эволюция, ;0t 0 — малый параметр серий;
)(),( 2 dRCuC — функция регрессии; )(tx — равномерно эргодический мар-
ковский процесс в стандартном фазовом пространстве ),,( XX который опреде-
лен генератором [1]
,)]()()[,()()(
X
xydyxPxqxQ
на банаховом пространстве )(XB ограниченных функций )(x с действительны-
ми значениями и супремум-нормой |)(|max|||| x
Xx
[2].
Стохастическое ядро ),,( BxP ,Xx ,XB определяет равномерно эргоди-
ческую вложенную цепь Маркова )( nn xx со стационарным распределением
),(B .XB Стационарное распределение ),(B ,XB марковского процесса
,0),( ttx определено соотношением [2]
),()()( dxqxqdx .)()(.
X
xqdxq
Обозначим 0R потенциальный оператор генератора ,Q который определен
равенством [3]: ,)( 1
0
QR где )()()()( xydyx
X
1 — проектор на
подпространство }0:{ QQN нулей оператора .Q
2. Импульсный процесс возмущений
Импульсный процесс возмущений ,0),( tt в схеме аппроксимации Леви
определяется соотношением
,))/(,((t)
0
2
t
sxds
где совокупность процессов с независимыми приращениями ,,0),,( Xxtxt
определяется генераторами
,),,())()(()()( 2 Xxxdvvx
R
Γ (2)
и удовлетворяет условиям аппроксимации Леви.
L1: Аппрокcимация средних
)),()(()()v,( 2
2
1 xxaxaxdv a
R
,0,0)( xa
и
)),()((),( 22 xxbxdvv b
R
.0,0)( xb
L2: Условие на функцию распределения
)),()(()v,((v) 2 xxxdg gg
R
,0,0)( xg
для всех )((v) 2 RCg (пространство ограниченных функций, таких что /)(vg
).0||,0||/ 2 vv Здесь мера )(xg ограничена для всех )()( 2 RCvg и опреде-
ляется соотношением (функции из пространства )(2 RC разделяют меры [9, с. 395])
,),()()( 0
R
g xdvvgx ).()( 2 RCvg
60 ISSN 0572-2691
L3: Равномерная квадратическая интегрированность
.0),(vlimsup
||
0
2
cv
c
xdv
Пример. Простейшим примером случайной величины, которая удовлетворяет
условиям аппроксимации Леви, является следующая случайная величина :
,}{ 2 pbP
.1}{ 2
2
2
1 paaP
Тогда для моментов этой случайной величины имеем
),()( 2
2
2
1 obpaaE ).()( 222
1
22 opbaE
Как уже отмечалось, предельная эволюция системы (1) определяется решением
дифференциального уравнения
),,(~v)(]))(([)( dvdttdwdtatuCtud
R
(3)
где сдвиг auC
)( определяется равенствами
).()(,),()()( xadxaxuCdxuC
XX
Скачки процесса определены мерой, которая, в свою очередь, удовлетворяет
условиям
),,()()(Ã
~
),(
~
),(~E 000 xvdxvdvdtdvdt
X
).(),()()( uxuCux C
Тогда
.),())()()(()()()()( 0
1
R
xdvvvxax
Определение 1. Система (1) при выполнении начального условия )()( 00 utu
называется диссипативной, если случайные величины |),,,(| 000 tutu ограничены
по вероятности равномерно относительно 0tt и :0u 1}|)({| 0 RuP для
всякого .0R
Определение 2. Система (1) называется асимптотически диссипативной, если
)(tu слабо сходится к )(tu и предельная эволюция, которая определяется урав-
нением (3), будет диссипативной в смысле определения 1.
Теорема. Пусть существует функция Ляпунова )(C)( 3 dRuV системы
),(u
dt
du
(4)
где ,)()( auCu
которая удовлетворяет условиям
С1: ;0(u),M|)(L)(| 110
1 MVuVRxu
С2: ;0(u),M|)()()(| 22
1
0
1 MVuVxRx uu
С3: ;0(u),M|)()()(| 330
1 MVuVxRxu C
С4: ;0(u),M|)(L)(| 440 MVuVRx
C
С5: ;0(u),M|)()()(| 55
1
0 MVuVxRx uC
С6: .0(u),M|)()()(| 660 MVuVxRx CC
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2018, № 2 61
Пусть также выполняются неравенства
),()()( 1 uVcuVu (5)
),(||)(||sup 2 xcu
dRu
(6)
),(|),(| 30
2 xcxdvv
R
(7)
где 0,0 21 cc и .0)()( 33 xcdxc
X
Тогда система (1) будет асимптотически диссипативной.
Лемма 1. Генератор трехкомпонентного марковского процесса ),/(),( 2 txtu
,0),,( txt может быть представлен в виде
),,()(),,(Q),()(L 1 xwuxxwuxwx
),,,()(),,()( xwuxxwux u
C (8)
где )(xw
— генератор совокупности процессов с независимыми приращения-
ми (2), который действует по переменной ,w а )(xu
— эквивалентный преды-
дущему генератор совокупности процессов с независимыми приращениями (2),
который действует по переменной .u
Доказательство. Генератор марковского процесса на возмущенной тест-
функции определяется из соотношения [8]
),,([
1
lim),,()(L
0
ttt xwuExwux
].)/(,)(,)(|),,( 2 xtxwtutuxwu
Добавим и отнимем в условном математическом ожидании ).,,(
tt xwu
Получим
])/(,)(,)(|),,(),,(E[ 2 xtxwtutuxwuxwu ttt
)],,(),,(E[ ttttt xwuxwu
)].,,(),,(E[ xwuxwu tt
Разложение
tu имеет вид
).(),(
wxuCuut
Полученное выражение подставим в первое слагаемое условного математиче-
ского ожидания
)],,(),,(E[ ttttt xwuxwu
)],,(),),(),(([ tttt xwuxwowxuСuE
)],,,(),,([
tttt xwuxwwzE
где
).(),( οxuСuz
Добавим и отнимем ),,(
tt xwz в полученном выражении
)],,(),,([ ttttt xwuxwuE
)],,(),,([ tttt xwzxwwzE
.)],,(),,([
tttt xwuxwzE
62 ISSN 0572-2691
Так как генератор )(xu
имеет представление
)]),,,(),,([(
1
lim),,()(
0
xwuxwuuExwuxu
для предела первого слагаемого получим
).,,()()],,(),,([
1
lim
0
xwuxxwzxwwzE utttt
Разложим ),,(
tt xwz по формуле Тэйлора
),),(),(( tt xwοxuCu
).())(),()(,,(),,(
οοxuÑxwuxwu tttt
Подставив в выражение )],,(),,([
tttt xwuxwzE полученное
разложение, имеем
)],,(),,([
1
lim
0
tttt xwuxwzE
)],,(),),(),(([
1
lim
0
tttt xwuxwοxuСuE
))(),()(,,(),,([
1
lim
0
οxuCxwuxwuE tttt
)],,()( tt xwuο
)]())(),((),,([
1
lim
0
οοxuCxwuE tt
).,,(),( xwuxuC
Точно так же из соотношения для генератора )(xw
и очевидного равенства для
генератора марковского процесса ),()],(),([
1
lim 1
0
xwxwxwE t
Q по-
лучим
)],,(),,([
1
lim
0
xwuxwuE tt
)],,(),,(),,(),,([
1
lim
0
xwuxwuxwuxwuE tttt
)],,(),,([
1
lim
0
ttt xwuxwuE
)],,(),,([
1
lim
0
xwuxwuE t
).,,(),,()( 1 xwuxwuxw
Q
Отсюда вытекает, что )(x
L имеет вид (8).
Следствием леммы 2 из [10] будет утверждение.
Лемма 2. Генератор (8) допускает асимптотическое разложение
),,(),,()( 1 xwuxwux QL
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2018, № 2 63
),,()(),,()(),,()(),,()( 11 xwxxwuxxwuuxwuxu
C
где
),('),()()( uxuCuu C
а остаточный член 0),,()( xwux при ).(C),,(,0 3 Rwu
Рассмотрим теперь усеченный генератор
).,,()(),,()(),,()(),,(),,()( 111
0 xwuxxuuxwuxxwuxwux u
CQL (9)
Лемма 3. Решение задачи сингулярного возмущения для оператора )(0 x
L на
возмущенной тест-функции
),,(),(),,( 1 xwuwuxwu (10)
определяется равенством
),,()(),(L),,()(L0 wuxwuxwux
где
)()()()()()(L)()( 1
0
1
0
11
0
1
0
1 xRxxRxxRxRxx wuuuuu C
)()()()()()(L)( 1
00
1
00 xRxxRxxRxRx wu CCCCC
(11)
).()()()()()(L)( 1
0
1
0
11
0
1
0
1 xRxxRxxRxRx wwwuww C
Доказательство. Подставив (10) в (9), получим
]),,(),()[(]),,(),([Q),,()(L 1
1
1
1
0 xwuwuxxwuwuxwux u
)],,(),()[()],,(),()[( 1
1
1 xwuwuxxwuwux wC
)],()(),()(),()(),,([),( 11
1
1 wuxwuxwuxxwuwu u CQQ
)].,,()(),,()(),,()([ 1
1
11
1 xwuxxwuxxwux wu C
Для существования предельного оператора ),(L wu
при 0 необходимо,
чтобы выполнялось условие ,0),( wuQ т.е. функция должна принадлежать
нуль-пространству оператора .Q
Тогда
),,()(),()(),()(),,(),(L 11
1 wuxwuxwuxxwuwu wu CQ
отсюда следует, что
).,()]()()(L[),,( 11
1 wuxxxxwu wu CQ
Из условия разрешимости для последнего уравнения получим
).,()]()()(L[0),,( 11
1 wuxxxxwu wu CQ
Таким образом, ),,()(),()(),()(),(L 11 wuxwuxwuxwu wu C
а
).,()]()()(L[),,( 11
01 wuxxxRxwu wu C
Отсюда получим разложение для последнего слагаемого
)],,()(),,()(),,()([ 1
1
11
1 xwuxxwuxxwuxu C
64 ISSN 0572-2691
)]()(C)(L[)(C)]()(C)(L[)([ 11
0
11
0
1 xxxRxxxxRx wuwuu
).,()]]()()(L[)( 11
0
1 wuxxxRx wuw C
Доказательство теоремы. Поскольку выполняются условия С1–С6 теоремы,
справедливой будет ограниченность остаточного члена (11)
||)()(|| uVx
)()()()()()()()()()(L)(| 1
0
1
0
11
0
1
0
1 uVxRxuVxRxuVxRxuVRx wuuuuu C
)()()()()()()()()()(L)( 1
00
1
00 uVxRxuVxRxuVxRxuVRx wu CCCCC
|)()()()()()()()()()(L)( 1
0
1
0
11
0
1
0
1 uVxRxuVxRxuVxRxuVRx wwwuww C
),()()()()()()()( 654321 uVMuVxMuVMuVMuVxMuVM
отсюда следует, что
),(||)()(|| uMVuVx (12)
где .
6
1
k
k
MM
Из утверждения леммы 2, выражения (12) и выполнения условий модельной
теоремы [1] имеем слабую сходимость
.0)),(),(())(),(( ttuttu
Пусть далее
du
uVd )()1(
— производная функции Ляпунова, вычисленная вдоль
траектории системы (3). Так как функция Ляпунова должна удовлетворять усло-
вию Липшица |,||)()(| 1212 uuKuVuV где K является постоянной величи-
ной, то следующее соотношение будет выполненным
|],|v)(
~
v|)(|||)([||
)()(
0
2
)1(
dtdtdwuK
du
udV
du
uVd
R
где
du
udV )(
— производная функции Ляпунова, вычисленная вдоль траектории
детерминированной системы (4), ).,()(v)(
~
00 xdvdxd
X
Согласно неравенствам (5)–(7) теоремы получим
|].||)(|[)(
)(
21
)1(
dtCtdwcKuVc
du
uVd
Таким образом, используя лемму 1.7 из [11], получим
.|||)(|)}(exp{}exp{)()( 3
0
1210 dtcKdsswdstcKctcuVuV
t
Отсюда из леммы 1.9 из [11] следует оценка
.,
)(inf
)(
}|)({|
R
R
uV
uV
RtuP
du
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2018, № 2 65
Значит, система (3) диссипативна, более того, из выполнения условий модельной
предельной теоремы [1] и диссипативности предельного процесса следует, что
система (1) является асимптотически диссипативной.
Заключение
При определении генератора предельного процесса очевидно, что предельный
процесс является процессом Леви, что позволяет получить условия диссипативно-
сти предельной эволюции, а также асимптотическую диссипативность начального
процесса из сходимости его к предельному. Важное условие диссипативности —
ограниченность вторых моментов меры скачков допредельного процесса.
А.В. Нікітін
АСИМПТОТИЧНА ДИСИПАТИВНІСТЬ
ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ З ІМПУЛЬСНИМ
ЗБУРЕННЯМ У СХЕМІ АПРОКСИМАЦІЇ ЛЕВІ
Розглянуто випадок, коли випадкові збурення системи визначено імпульсним
процесом у некласичній схемі апроксимації Леві. Вивчається асимптотична ди-
сипативність дограничної нормованої стохастичної еволюційної системи в ер-
годичному марковському середовищі, яка суттєво впливає на поведінку грани-
чного процесу.
А.V. Nіkіtіn
ASYMPTOTIC DISSIPATIVITY OF STOCHASTIC
PROCESSES WITH IMPULSE PERTURBATION
IN THE LEVY APPROXIMATION SCHEME
The case when the random perturbations of the system are determined by the impulse pro-
cess in the Levy nonclassical approximation scheme. The asymptotic dissipativity of the
prelimited normalized stochastic evolution system in the ergodic Markovian environment
is studied, which significantly influences the behavior of the limite process.
1. Korolyuk V.S., Korolyuk V.V. Stochastic models of systems. — Dordrecht : Kluwer, 1999. — 185 с.
2. Koroliuk V.S., Limnios N. Stochastic systems in merging phase space. — Singapore World
Scientific, 2005. — 330 с.
3. Koroliuk V.S., Limnios N., Samoilenko I.V. Lévy and Poisson approximations of switched sto-
chastic systems by a semimartingale approach // Comptes Rendus Mathématique. — 2016. —
354. — С. 723–728.
4. Nikitin A.V., Khimka U.T. Asymptotics of normalized control with Markov switchings // Ukraini-
an Mathematical Journal. — 2017. — 68, N 8. — P. 1252–1262.
5. Nikitin A.V. Asymptotic properties of a stochastic diffusion transfer process with an equilibrium
point of a quality criterion // Cybernetics and Systems Analysis. — 2015. — 51, N 4. —
P. 650–656.
6. Семенюк С.А., Чабанюк Я.М. Cтохастичнi еволюцiйнi системи з iмпульсними збуреннями // Вiсник
Нацiонального унiверситету «Львiвська полiтехнiка». — 2009. — 660, № 660. — C. 56–60.
7. Samoilenko I.V., Chabanyuk Y.M., Nikitin A.V., Chimka U.T. Differential equations with small
stochastic additions under Poisson approximation conditions // Cybernetics and Systems Analy-
sis. — 2017. — 53, N 3. — C. 93–99.
8. Чабанюк Я.М. Апроксимацiя дифузiйним процесом в схемi усереднення // Доп. НАН Укра-
їни. — 2004. — № 12. — С. 35–40.
9. Jacod J. Shiryaev A.N. Limit theorems for stochastic processes. — Berlin : Springer-Verlag. —
2003. — 601 p.
10. Samoilenko I.V., Nikitin A.V. Differential equations with small stochastic terms under the Levy ap-
proximation conditions // Ukrainian Mathematical Journal. — 2018. — 69, N 9. — P. 1445–1454.
11. Хасьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных воз-
мущениях их параметров. — М. : Наука, 1969. — 368 с.
Получено 04.09.2017
Статья представлена к публикации членом редколлегии академиком НАН Украины А.А. Чикрием.
http://do.unicyb.kiev.ua/images/publications/samoylenko/cras_kls.pdf
http://do.unicyb.kiev.ua/images/publications/samoylenko/cras_kls.pdf
https://link.springer.com/article/10.1007/s10559-017-9941-7
https://link.springer.com/article/10.1007/s10559-017-9941-7
https://link.springer.com/article/10.1007/s11253-018-1443-x
https://link.springer.com/article/10.1007/s11253-018-1443-x
|