Расслоение O⁺(E³) как конфигурационное пространство при моделировании твердого тела
Известно, что положение твердого тела однозначно определено, если задана ортонормированная триада, которая жестко связана с телом. Логично также предположить, что начало этой подвижной системы координат расположено в центре масс тела, а единичные векторы имеют направления основных осей инерции тела,...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2018 |
| Main Authors: | , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2018
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180582 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Расслоение O⁺(E³) как конфигурационное пространство при моделировании твердого тела / С.И. Ляшко, С.С. Зуб, В.С. Ляшко, Н.И. Ляшко, А.Ю. Чернявский // Проблемы управления и информатики. — 2018. — № 3. — С. 28-36. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-180582 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Ляшко, С.И. Зуб, С.С. Ляшко, В.С. Ляшко, Н.И. Чернявский, А.Ю. 2021-10-04T10:21:46Z 2021-10-04T10:21:46Z 2018 Расслоение O⁺(E³) как конфигурационное пространство при моделировании твердого тела / С.И. Ляшко, С.С. Зуб, В.С. Ляшко, Н.И. Ляшко, А.Ю. Чернявский // Проблемы управления и информатики. — 2018. — № 3. — С. 28-36. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180582 519.6:531:537 Известно, что положение твердого тела однозначно определено, если задана ортонормированная триада, которая жестко связана с телом. Логично также предположить, что начало этой подвижной системы координат расположено в центре масс тела, а единичные векторы имеют направления основных осей инерции тела, поэтому расслоение O⁺ (E³) ортонормованных ориентированных триад над трехмерным евклидовым пространством E³ является естественным конфигурационным пространством твердого тела. При таком подходе пуассонова редукция фазового пространства твердого тела для симметричного волчка имеет четкий геометрический смысл. Відомо, що положення твердого тіла однозначно визначено, якщо задано ортонормовану тріаду, яка жорстко зв’язана з тілом. Логічно також припустити, що початок цієї рухомої системи координат розташовано в центрі мас тіла, а одиничні вектори мають напрямки основних осей інерції тіла, тому розшарування O⁺(E³) ортонормованих орієнтованих тріад над тривимірним евклідовим простором E³ є природним конфігураційним простором твердого тіла. При такому підході пуассонова редукція фазового простору твердого тіла до симетричної дзиги має чіткий геометричний зміст. It is known that position of a rigid body is uniquely specified if an orthonormal triad is «frozen» in the body. It is also logical to assume that the origin of this movable reference coordinate system is located in the center of mass of the body, and the unit vectors have directions of the main axes of inertia of the body, so O⁺(E³) bundle of orthonormal oriented triads over E³ 3-dimensional Euclidean space is a natural configuration space for a rigid body. Poisson reduction of the phase space of a rigid body to the symmetrical top acquires a clear geometric meaning in this approach. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Расслоение O⁺(E³) как конфигурационное пространство при моделировании твердого тела Розшарування O⁺(E³) як конфігураційний простір при моделюванні твердого тіла Layering O⁺(E³) as configuration spase while modeling body Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Расслоение O⁺(E³) как конфигурационное пространство при моделировании твердого тела |
| spellingShingle |
Расслоение O⁺(E³) как конфигурационное пространство при моделировании твердого тела Ляшко, С.И. Зуб, С.С. Ляшко, В.С. Ляшко, Н.И. Чернявский, А.Ю. Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| title_short |
Расслоение O⁺(E³) как конфигурационное пространство при моделировании твердого тела |
| title_full |
Расслоение O⁺(E³) как конфигурационное пространство при моделировании твердого тела |
| title_fullStr |
Расслоение O⁺(E³) как конфигурационное пространство при моделировании твердого тела |
| title_full_unstemmed |
Расслоение O⁺(E³) как конфигурационное пространство при моделировании твердого тела |
| title_sort |
расслоение o⁺(e³) как конфигурационное пространство при моделировании твердого тела |
| author |
Ляшко, С.И. Зуб, С.С. Ляшко, В.С. Ляшко, Н.И. Чернявский, А.Ю. |
| author_facet |
Ляшко, С.И. Зуб, С.С. Ляшко, В.С. Ляшко, Н.И. Чернявский, А.Ю. |
| topic |
Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| topic_facet |
Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| publishDate |
2018 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы управления и информатики |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Розшарування O⁺(E³) як конфігураційний простір при моделюванні твердого тіла Layering O⁺(E³) as configuration spase while modeling body |
| description |
Известно, что положение твердого тела однозначно определено, если задана ортонормированная триада, которая жестко связана с телом. Логично также предположить, что начало этой подвижной системы координат расположено в центре масс тела, а единичные векторы имеют направления основных осей инерции тела, поэтому расслоение O⁺ (E³) ортонормованных ориентированных триад над трехмерным евклидовым пространством E³ является естественным конфигурационным пространством твердого тела. При таком подходе пуассонова редукция фазового пространства твердого тела для симметричного волчка имеет четкий геометрический смысл.
Відомо, що положення твердого тіла однозначно визначено, якщо задано ортонормовану тріаду, яка жорстко зв’язана з тілом. Логічно також припустити, що початок цієї рухомої системи координат розташовано в центрі мас тіла, а одиничні вектори мають напрямки основних осей інерції тіла, тому розшарування O⁺(E³) ортонормованих орієнтованих тріад над тривимірним евклідовим простором E³ є природним конфігураційним простором твердого тіла. При такому підході пуассонова редукція фазового простору твердого тіла до симетричної дзиги має чіткий геометричний зміст.
It is known that position of a rigid body is uniquely specified if an orthonormal triad is «frozen» in the body. It is also logical to assume that the origin of this movable reference coordinate system is located in the center of mass of the body, and the unit vectors have directions of the main axes of inertia of the body, so O⁺(E³) bundle of orthonormal oriented triads over E³ 3-dimensional Euclidean space is a natural configuration space for a rigid body. Poisson reduction of the phase space of a rigid body to the symmetrical top acquires a clear geometric meaning in this approach.
|
| issn |
0572-2691 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180582 |
| citation_txt |
Расслоение O⁺(E³) как конфигурационное пространство при моделировании твердого тела / С.И. Ляшко, С.С. Зуб, В.С. Ляшко, Н.И. Ляшко, А.Ю. Чернявский // Проблемы управления и информатики. — 2018. — № 3. — С. 28-36. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT lâškosi rassloenieoe3kakkonfiguracionnoeprostranstvoprimodelirovaniitverdogotela AT zubss rassloenieoe3kakkonfiguracionnoeprostranstvoprimodelirovaniitverdogotela AT lâškovs rassloenieoe3kakkonfiguracionnoeprostranstvoprimodelirovaniitverdogotela AT lâškoni rassloenieoe3kakkonfiguracionnoeprostranstvoprimodelirovaniitverdogotela AT černâvskiiaû rassloenieoe3kakkonfiguracionnoeprostranstvoprimodelirovaniitverdogotela AT lâškosi rozšaruvannâoe3âkkonfíguracíiniiprostírprimodelûvannítverdogotíla AT zubss rozšaruvannâoe3âkkonfíguracíiniiprostírprimodelûvannítverdogotíla AT lâškovs rozšaruvannâoe3âkkonfíguracíiniiprostírprimodelûvannítverdogotíla AT lâškoni rozšaruvannâoe3âkkonfíguracíiniiprostírprimodelûvannítverdogotíla AT černâvskiiaû rozšaruvannâoe3âkkonfíguracíiniiprostírprimodelûvannítverdogotíla AT lâškosi layeringoe3asconfigurationspasewhilemodelingbody AT zubss layeringoe3asconfigurationspasewhilemodelingbody AT lâškovs layeringoe3asconfigurationspasewhilemodelingbody AT lâškoni layeringoe3asconfigurationspasewhilemodelingbody AT černâvskiiaû layeringoe3asconfigurationspasewhilemodelingbody |
| first_indexed |
2025-11-24T21:02:44Z |
| last_indexed |
2025-11-24T21:02:44Z |
| _version_ |
1850496510320443392 |
| fulltext |
© С.И. ЛЯШКО, С.С. ЗУБ, В.С. ЛЯШКО, Н.И. ЛЯШКО, А.Ю. ЧЕРНЯВСКИЙ, 2018
28 ISSN 0572-2691
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И
ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
УДК 519.6:531:537
С.И. Ляшко, С.С. Зуб, В.С. Ляшко, Н.И. Ляшко, А.Ю. Чернявский
РАССЛОЕНИЕ )( 3EO КАК
КОНФИГУРАЦИОННОЕ ПРОСТРАНСТВО
ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Введение
Начиная с Эйлера, рассмотрение твердого тела связывается с некой подвижной
системой координат. Он же, фактически, ввел и теоретико-групповое описание
твердого тела, предложив в качестве конфигурационного пространства для твердого
тела группу вращений евклидового пространства. Такое понимание конфигу-
рационного пространства для механики твердого тела с тех пор стало традицион-
ным. Уместно привести цитату из современной монографии по динамике твердого
тела [1]: «Конфигурационное пространство в динамике твердого тела, как правило,
является некоторой естественной группой Ли. Например, при вращении твердого
тела вокруг неподвижной точки — это группа ,(3)SO при свободном движении
твердого тела — ,(3)=(3) 3Rs
SOE являющаяся полупрямым произведением
алгебры вращений (3)SO и коммутативной алгебры трансляций 3R ».
Последний подход доминирует в современных исследованиях, предлагающих
далеко идущие обобщения динамики твердого тела на произвольные группы Ли [2, 3].
При теоретико-групповом описании угловая скорость тела становится элементом
алгебры Ли g группы Ли G, являющейся конфигурационным пространством меха-
нической системы; момент импульса твердого тела описывается как элемент ,g* т.е.
пространства, дуального к алгебре Ли.
Часто приходится сталкиваться с такими выражениями, как вектор угловой
скорости относительно пространства, вектор угловой скорости относительно тела
(аналогично для момента импульса). Это создает неверное впечатление о том, что
существуют различные векторные физические величины такие, как угловая
скорость относительно пространства или относительно тела, соответственно, для
моментов импульсов. С нашей точки зрения, теория расслоенных пространств
удачно объединяет геометрические и теоретико-групповые аспекты в дифферен-
циально-геометрическом описании динамики твердого тела, в частности, про-
ясняя смысл упомянутых выше терминов.
При теоретико-групповом описании механики твердого тела в качестве конфи-
гурационного пространства принято использовать группу ,(3)SE т.е. группу дви-
жений евклидового пространства, сохраняющих ориентацию. Следует заметить, что
математическое описание механики твердого тела все же должно иметь другой
исходный пункт.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2018, № 3 29
Здесь имеется полная аналогия с аффинным (или евклидовым) пространством.
В аффинном (евклидовом) пространстве нет выделенных точек — все точки
равноправны. Поэтому векторное пространство не является полностью эквива-
лентным способом описания аффинного, так как в векторном пространстве
имеется выделенный вектор .0
Чтобы описать аффинное пространство векторами
(радиус-векторами), необходимо задать начальную точку отсчета .O
Аналогично положение твердого тела не может быть задано движением, т.е.
элементом группы ,(3)SE пока не задано некоторое начальное (исходное) поло-
жение тела.
Более правильно считать, что положение твердого тела однозначно задано,
если задана ортонормированная триада (репер), жестко связанная с телом.
Логично также считать, что начало отсчета этого подвижного репера находится в
центре массы тела, а орты имеют направления главных осей инерции тела. Таким
образом, естественным конфигурационным пространством для твердого тела
является расслоение )( 3EO
ортонормированных ориентированных триад
над 3-мерным евклидовым пространством .3E
1. Расслоение ортонормированных ориентированных триад )( 3EO
Расслоение ортонормированных ориентированных реперов — это, вообще
говоря, тройка ,),),(( 33 EEO
.)( 33 EEO π
Элементами )( 3EO
являются ,}){,(= ixz e где ,= 321 eee тогда .=)( 3Exz
На )( 3EO
определено каноническое левое действие группы :(3)SO
.}),){(,(=}){,(ˆ=ˆ:(3)ˆ 31 ExQxxQzQSOQ ki
k
i
ee (1)
Примечание. По сути это правое действие, превращенное в левое обра-
щением элементов группы.
Кроме того, имеется левое действие ,(3)SE которое не является канони-
ческим с точки зрения общей теории расслоений [4, c. 96].
Выберем фиксированную точку 3EO и фиксированную триаду, образую-
щие декартову систему отсчета ,}){(0,= 00 iz e тогда )( 3EOz может быть
получен сдвигом 0z на некоторый элемент :(3)SEg
]}).e[ˆ{,X(=})e{(0,== 00)ˆ,X(0)ˆ,X( iiRR
RLzLz (2)
Рассмотрим левое действие группы (3)SE на .)( 3EO
Для 0)ˆ,(
= zLz
RX
имеем
,==]})[ˆˆ{],[ˆ(= 0)ˆ,()ˆ,(0)ˆ,)(ˆ,(0)ˆ,(
zLLzLRQQzL
RQRQiQ XYXYY
eXY
где )ˆ,)(ˆ,( RQ XY — произведение элементов группы :(3)SE
.== 0)ˆ,)(ˆ,(0)ˆ,()ˆ,()ˆ,(
zLzLLzL
RQRQQ XYXYY
(3)
Итак, получена биекция (3)SE на ,)( 3EO
т.е. отображение, обратное
единственной карте расслоения .)( 3EO
В данном случае карта не является локальной, а покрывает все расслоение
).(3) )(:( 3 SEEO Кроме того, можно определить отображение ,x которое
30 ISSN 0572-2691
является сужением на слой )( 3EO над точкой ,x т.е. на реперы, имеющие
одно и то же начало в точке 3Ex (после введения в (2) фиксированной системы
отсчета точку 3Ex можно представлять радиус-вектором ).X Таким образом,
из (2) следует отображение, обратное :))( (3):( 31 EOSE
]}).[ˆ{,(==)ˆ,( 00)ˆ,(
1
iR
RzLR eXX
X
(4)
Как итог, все операции над реперами теперь могут быть представлены
операциями на группе .(3)SE
Рассмотрим, например, каноническое действие (1). Пусть ,)ˆ,(=)( Rz X
тогда (по определению, см. [4, (33), c. 97]) ,ˆ)(=)ˆ( 1 QzzQ xx где .(3)ˆ SOQ
Из (2) имеем
}),{,(=]})[ˆ{,(=}){,(= 00 jk
j
kk RRz eXeXeX
а из (1) —
=})){(,(=ˆ 1
ki
kQzQ eX
,}))ˆˆ{(,(=})){(,(= 0
1
0
1
ji
j
jk
j
i
k QRRQ eXeX
таким образом, ).ˆˆ,(=)ˆ()ˆ,(=)( 1 QRzQRz x XX
Следовательно, операция на группе ,(3)SE соответствующая каноническому
действию группы (3)SO на расслоении ,)( 3EO — это обратные правые сдвиги.
Представление (неканонического) левого действия операцией на группе
следует из формул (2), (3):
).ˆˆ],[ˆ(=)()ˆ,(=)(
)ˆ,(
RQQzLRz
Q
XYX
Y
Итак, операция на группе ,(3)SE соответствующая этому действию группы
(3)SE на расслоении ,)( 3EO
— это левые сдвиги.
Примечание. Расслоение реперов — это главное расслоение, ассоциирован-
ное с касательным и кокасательным расслоениями. Расслоение реперов проходит
как ключевой пример [4, пример 1, с. 102], а также примеры: 1, с. 94; 3, с. 96;
5, с. 99–271).
2. Угловая скорость «в теле» соответствует
левоинвариантному полю на (3)SO
Как было сказано во введении, часто одну и ту же физическую величину,
например угловую скорость или момент импульса тела, относят либо к пространству,
либо к телу, обозначая разными векторами, например ω и ,Ω π и .Π
Такая запись создает впечатление, что речь идет о геометрически разных
векторах. Но это не так. Речь идет об одной и той же физической и геомет-
рической величине, но в разных системах отсчета.
Принципиально важно определить теоретико-групповой смысл такой вели-
чины как угловая скорость. Покажем, что компоненты угловой скорости в
системе, связанной с телом, соответствуют матричным компонентам левоин-
вариантного векторного поля группы .(3)SE
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2018, № 3 31
Генераторы [3, c. 312] канонического действия группы (3)SO на расслоении
)( 3EO с точностью до знака совпадают с фундаментальными полями этого же
действия (см. [4, (36), c. 98]), и в соответствии с (1) могут быть записаны в виде
)).(()(
~
,)(exp=)(
~ 3
0=| EOTzzt
dt
d
z
zvt
g
В данном случае ,ˆ=(3)),(=(3)=g SOLieso
,=ˆ=~})ˆ(exp{=)ˆ(exp k
l
kliki
k
ki
ktzt eee
и так как
,=)(= ililk
l
kli eωeee
то .~=e,e=~,e=ω iiiill Таким образом, каноническое действие генериру-
ется угловой частотой относительно тела: .= lleω
Вследствие ))ˆ(expˆ,X(=))(exp()ˆ,X(=)( tAztAz получаем )(~ z
.)ˆˆ(0, A Итак, ,)ˆˆ(0,)(~ Az т.е. угловая скорость относительно тела
порождает левоинвариантное векторное поле на ,(3)SE соотвествующее элементу
(3) so или .(3)(3))ω(0, seso
3. Скобки Пуассона (СП) в инерциальной системе
В разд. 2 показано, что все вычисления, связанные с расслоением ,)( 3EO
могут быть проведены на группе ,(3)SE используя карту расслоения (4).
На группе ,(3)SE как и на всякой группе Ли, существует каноническая
пуассонова структура [5]. Из [5, (40)] могут быть выведены следующие СП для
компонент физических величин ),,ˆ,( mpx R в инерциальной системе отсчета
(см. также [1]):
.=},{,=},{
0,=},{0,=},{0,=},{
0,=},{0,=},{,=},{0,=},{
lijljilkijljki
jijkiji
jijkiijjiji
mmmRRm
mpRppp
mxRxpxxx
(5)
Здесь ix — координаты центра масс твердого тела, R̂ — матрица поворота от
фиксированной (инерциальной) системы отсчета к системе отсчета, связанной с
телом, ip — компоненты импульса тела, im — компоненты момента импульса в
фиксированной системе отсчета.
Как замечено в [6], эти соотношения инвариантны относительно правого
действия группы .(3)SO В контексте вышесказаного это означает, что канони-
ческое действие группы (3)SO на расслоении )( 3EO
(1) является одновременно
каноническим преобразованием пуассоновой структуры (5).
Следует, однако, заметить, что вращательная кинетическая энергия тела,
дающая обязательный вклад в любой физический гамильтониан твердого
тела, является не правоинвариантной, а левоинвариантной квадратичной фор-
мой [1, 3, 5].
Это означает, что в общем случае асимметричного твердого тела данная
группа преобразований не дает законов сохранения и не приводит к редукции, т.е.
к понижению числа степеней свободы динамической системы.
32 ISSN 0572-2691
Фактически инвариантность относительно преобразований данной группы
говорит о симметрии тела, а не о симметрии системы в целом.
Если же тело, действительно, симметрично относительно некоторой
подгруппы преобразований из данной группы, то редукция возможна, что и будет
показано ниже.
4. Пуассонова редукция для симметричного волчка
С точки зрения пуассоновой структуры (5) и ее группы инвариантности,
рассмотренных в предыдущем разделе, наиболее естественным и эффективным
способом редукции системы (5) к симметричному волчку будет использование
теоремы 10.5.1 [3, с. 355].
Эта теорема утверждает: если P — пуассоново многообразие, на котором
задано пуассоново (т.е. сохраняющее СП) действие группы Ли G, то на P/G
существует пуассонова структура и проекция P на P/G является пуассоновым
отображением.
Редукция пуассоновой структуры (5) к симметричному волчку имеет
прозрачный геометрический смысл, поэтому следует вновь вернуться к рас-
слоению ортонормированных ориентированных триад )( 3EO
(разд. 2), в част-
ности, заменив матрицу поворота R̂ на триаду .}{ iE
Элементы (матрицы) (3)SO отождествляются с элементами )( 3EO
(три-
адами )}{ iE следующими соотношениями:
,,=
,=
jiji
iikk
R
R
eE
eE
где }{ ie — фиксированный базис инерциальной системы отсчета, а }{ iE —
репер, связанный с телом. Предполагается, что ось симметрии тела направлена по
вектору .3E Группа 1S симметрии тела определяется так:
}.=:(3)ˆ{= 33
1
iiBSOBS
Действие 1S на исходном фазовом пространстве является частным случа-
ем (1) и имеет вид
,ˆ)),,(}),)ˆ({,((=)),(}),{,(( 11
ˆ SBBl kikiB
mpExmpEx (6)
причем в силу (1) имеем
)),,(}),,)ˆ(,)ˆ({,((=)),(}),{,(( 32
1
1
1
ˆ mpEEExmpEx
BBl iB
)),,(}),,,{,((=)),(}),{,(( 321ˆ mpEEExmpEx BBl iB
.2..1.,
Тогда проекция исходного фазового пространства P )(3))(=( * SETP на
P/G )=( 1SG определяется так:
)).,(),=,((=)),(}),{,(( 3 mpEνxmpEx i (7)
В матричном виде эта проекция описывается формулами (8)–(10).
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2018, № 3 33
Проекция (3)SO на сферу (как множество единичных векторов)
.=ˆ: 3 iiS RR eν (8)
В качестве матрицы, проецирующейся в заданный вектор ,ν при 13
можно взять
.
1
1
1
11
1
=)(ˆ
321
2
3
2
2
3
12
1
3
21
3
2
1
R (9)
Если же ,1=3 то R̂ — это поворот вокруг оси x на угол :
.
100
010
001
=)(ˆ
R (10)
При переходе от матрицы R̂ к триаде }{ iE СП (5) приобретают вид
.Ee=}E,{
0,=}E,{
0,=}E,{
jiji
ji
ji
m
p
x
(11)
Проекция (7) является пуассоновым отображением по теореме 10.5.1
[3, с. 355]. И из (11) очевидно, что они инвариантны относительно действия (6).
Соответствующие СП на P/G имеют вид
νeν
ν
ν
ii
i
i
m
p
x
=},{
0,=},{
0,=},{
(12)
или
.=},{
0,=},{
0,=},{
liklki
ki
ki
m
p
x
Отличие от подхода А.В. Борисова и И.С. Мамаева состоит в том, что данная
пуассонова структура не постулируется, а выводится из исходной, базовой и
общепринятой для описания динамики твердого тела, при этом, например,
соотношение 1=2
ν выполняется в полученной пуассоновой структуре изначаль-
но, а не как функция Казимира.
Это пуассоново многообразие ),/P( G как легко видеть, имеет функцию
Казимира :, mν
0.=},{=},,{
0,=},{=},,{
kkii
kkii
mmm
m
mν
mν
34 ISSN 0572-2691
Но и эта динамическая переменная (ДП) может быть вычислена как интеграл
движения, наследуемый от исходной гамильтоновой системы на основании
следствия из теоремы 10.5.1 [3], где дано краткое доказательство того, что в
случае G-инвариантной функции Гамильтона H на P она определяет
соответствующий гамильтониан h )=( hH на P/G. Кроме того, гамильтоновы
поля HX на P и hX на P/G -связаны.
Далее, если имеется сохраняющаяся ДП J на P и она тоже G-инва-
риантна, то соответствующая ДП j на P/G тоже сохраняется. В данном случае
под это утверждение однозначно подпадает компонента собственного момента
тела ., mν
Приведем несколько существенных замечаний о редукции к симметричному
волчку. Для того чтобы провести редукцию системы в полной мере, необходимо
преобразовать стандартный гамильтониан для твердого тела, а именно вклад в
него кинетической энергии собственного вращения тела:
,
2
1
=MM
2
1
=)))m,p(),ˆ,x(((
3
2
3
1
2
2
1
2
11
spin
I
M
I
M
I
M
RT BI
].[ˆ= 1
mM
R
Пользуясь тем, что сохраняющаяся компонента собственного момента mν,
является функцией Казимира в приведенном пуассоновом многообразии,
модифицируем вклад этой компоненты момента во вращательную энергию таким
образом, чтобы она стала функцией полного квадрата момента. Отброшенное при
этом слагаемое является функцией Казимира и поэтому не влияет на уравнения
движения системы:
=
2
1
=
3
2
3
2
2
2
1
2
1
spin
I
M
I
M
I
M
T
,
2
1
2
1
)(
2
1
= 2
3
13
2
3
2
2
2
1
1
M
II
MMM
I
.,
2
1
2
1
2
1
=))),(),ˆ,((( 2
13
2
1
spin
mνmmpx
III
RT
Таким образом, гамильтониан системы является теперь функцией квадрата
вектора момента импульса тела. Это означает, что его вид не зависит от системы
отсчета. Значит, матрица перехода R̂ от инерциальной системы отсчета к системе
отсчета, связанной с телом (и наоборот), уже не входит в гамильтониан.
Гамильтониан теперь зависит только от ,ν т.е. только от третьего столбца
матрицы ,R̂ но не от двух первых (эта зависимость обусловлена, например,
потенциальной энергией волчка во внешнем поле, но не видом кинетической
энергии):
),,(
2
1
2
1
=))),(),,((( 2
1
2
νxmpmpνx V
IM
h (13)
где M — масса тела.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2018, № 3 35
Динамическая система окончательно приведена к переменным приведенного
фазового пространства. При этом в данном описании динамики, вообще говоря,
явным образом не представлена информация о скорости вращении волчка вокруг
оси симметрии. Однако при желании полное описание вращения волчка может
быть восстановлено из уравнений
],[ˆIˆ=ω
,ˆˆ=ˆ
11 mRR
RR
B
(14)
где BI — матрица тензора инерции в системе отсчета, связанной с телом,
диагональная и постоянная. ДП m считаются известной функцией времени,
найденной из уравнений движения на приведенном фазовом пространстве.
Следует особо отметить, что уравнения в приведенном фазовом прост-
ранстве не содержат ,I3 но соотношения (14) зависят от этого параметра и
полная траектория вращения тела (а не только эволюция оси симметрии
волчка) также зависит от него.
На основе формул (12), (13) и теоретико-групповых методов гамильтоновой
динамики была исследована динамика и устойчивость движения в некоторых
магнитных системах [7–9].
5. Уравнения движения симметричного волчка во внешнем поле
Применяя },{= hff к базовым ДП, получаем
.),(=
;
1
=
);,(=
;
1
=
ννxm
νmν
νxp
px
V
I
V
M
x
(15)
Интересным развитием предложенной математической модели может
стать задача импульсного управления источником аксиально-симметричного
внешнего поля для компенсации потерь энергии в связи с воздействием
внешних факторов (трение, излучение и др.). Основные подходы и идеи
формирования таких математических моделей для задач оптимизации и
управления изложены в [10–14].
Заключение
Естественным описанием положения твердого тела является расслоение
.)( 3EO
Именно благодаря такому описанию можно внятно объяснить, по-
чему угловой скорости относительно тела соответствует левоинвариантное
поле на .(3)SE Однако расслоение )( 3EO
может быть покрыто одной кар-
той, и тогда с помощью этой карты оно может быть отождествлено с группой
.(3)SE Все необходимые операции над расcлоением при этом переходят в
групповые операции на .(3)SE Именно поэтому, как правило, считают конфи-
гурационным пространством твердого тела группу .(3)SE Предложенный
подход позволяет получить уравнение движения симметричного волчка во
внешнем поле (15).
36 ISSN 0572-2691
С.І. Ляшко, С.С. Зуб, В.С. Ляшко, Н.І. Ляшко, А.Ю. Чернявський
РОЗШАРУВАННЯ )( 3EO ЯК КОНФІГУРАЦІЙНИЙ
ПРОСТІР ПРИ МОДЕЛЮВАННІ ТВЕРДОГО ТІЛА
Відомо, що положення твердого тіла однозначно визначено, якщо задано
ортонормовану тріаду, яка жорстко зв’язана з тілом. Логічно також припустити,
що початок цієї рухомої системи координат розташовано в центрі мас тіла, а
одиничні вектори мають напрямки основних осей інерції тіла, тому розшару-
вання )( 3EO ортонормованих орієнтованих тріад над тривимірним евклідо-
вим простором 3E є природним конфігураційним простором твердого тіла.
При такому підході пуассонова редукція фазового простору твердого тіла до
симетричної дзиги має чіткий геометричний зміст.
S.I. Lyashko, S.S. Zub, V.S. Lyashko, N.I. Lyashko, A.Yu. Chernyavskiy
LAYERING O+(E3) AS CONFIGURATION SPASE
WHILE MODELING RIGID BODY
It is known that position of a rigid body is uniquely specified if an orthonormal triad
is «frozen» in the body. It is also logical to assume that the origin of this movable
reference coordinate system is located in the center of mass of the body, and the unit
vectors have directions of the main axes of inertia of the body, so )( 3EO bundle of
orthonormal oriented triads over 3E 3-dimensional Euclidean space is a natural
configuration space for a rigid body. Poisson reduction of the phase space of a rigid
body to the symmetrical top acquires a clear geometric meaning in this approach.
1. Борисов А.В., Мамаев. И.С. Аналитическая динамика. — Москва; Ижевск: НИЦ «Рег. и
хаот. дин.», 2001. — 384 с.
2. Арнольд B. И. Топологические методы в гидродинамике. — 3-е изд. — М. : Наука, 1989. — 472 с.
3. Marsden J.E., Ratiu. T.S. Introduction to mechanics and symmetry. A basic exposition of
classical mechanical systems. — 2nd ed. Texts in Applied Mathematics 17. — New York :
Springer-Verlag, 1999. — 553 p.
4. Зуланке Р., Вингтен П. Дифференциальная геометрия и расслоения. — М. : Мир, 1975. — 348 с.
5. Зуб С.С. Группа Ли как конфигурационное пространство для простой механической
системы // Журнал обчисл. та прикл. матем. — 2012. — 112, № 2. — С. 89–99.
6. Зуб С.С., Зуб С.I. Канонічна пуассонова структура на (3)*SET в кватерніонних змінних //
Вісник Київського нац. ун-ту. — 2013. — № 2. — С. 17–27.
7. Zub S.S. Mathematical model of magnetically interacting rigid bodies // Proccedings of Sci.
(ACAT08). — 2008. — P. 116–121.
8. Зуб С.С. Гамильтонов формализм для магнитного взаимодействия свободных тел // Журнал
обчисл. та прикл. матем. — 2010. — 102, № 3. — С. 49–62.
9. Зуб С.С. Орбитрон: устойчивость орбитального движения магнитного диполя // Там же. —
2013. — 111, № 1. — С. 113–128.
10. Lyashko S.I., Semenov V.V. Controllability of linear distributed systems in classes of generalized
actions // Cybernetics and Systems Analysis. — 2001. — 37, N 1. — P. 13–32.
11. Lyashko S.I., Nomirovskii D.A. Generalized solutions and optimal controls in systems describing the
dynamics of a viscous stratified fluid // Differential Equations. — 2003. — 39, N 1. — P. 90–98.
12. Lyashko S.I., Nomirovskii D.A. The generalized solvability and optimization of parabolic systems
in domains with thin low-permeable inclusions // Cybernetics and Systems Analysis. — 2003. —
39, N 5. — P. 737–745.
13. Abramchuk V.S., Lyashko S.I. Solution of equations with one variable // J. Math Sci. — 2002. —
109. — P. 1669–1679.
14. Klyushin D.A., Lyashko N.I., Onopchuk Yu.N. Mathematical modeling and optimization of intra-
tumor drug transport // Cybernetics and Systems Аnalysis. — 2007. — 43, N 6. — P. 886–892.
Получено 20.11.2017
|