Гамильтонова динамика симметричного волчка во внешних аксиально-симметричных полях. Магнитное удержание твердого тела
Предложен новый подход к исследованию динамической устойчивости магнитных тел во внешних аксиально-симметричных полях. Рассматривается гамильтониан, описывающий широкий класс математических моделей симметричного волчка, которая взаимодействует с внешними аксиально-симметричными полями и однородным п...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2018 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2018
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180595 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Гамильтонова динамика симметричного волчка во внешних аксиально-симметричных полях. Магнитное удержание твердого тела / С.С. Зуб // Проблемы управления и информатики. — 2018. — № 4. — С. 10-28 . — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-180595 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Зуб, С.С. 2021-10-05T09:07:45Z 2021-10-05T09:07:45Z 2018 Гамильтонова динамика симметричного волчка во внешних аксиально-симметричных полях. Магнитное удержание твердого тела / С.С. Зуб // Проблемы управления и информатики. — 2018. — № 4. — С. 10-28 . — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180595 531.396; 537.634; 519.6 Предложен новый подход к исследованию динамической устойчивости магнитных тел во внешних аксиально-симметричных полях. Рассматривается гамильтониан, описывающий широкий класс математических моделей симметричного волчка, которая взаимодействует с внешними аксиально-симметричными полями и однородным полем силы тяжести. Метод применен к ряду известных и новых математических моделей. Запропоновано новий підхід до дослідження динамічної стійкості магнітних тіл у зовнішніх аксіально-симетричних полях. Розглядається гамільтоніан, який описує широкий клас математичних моделей симетричної дзиґи, яка взаємодіє з зовнішніми аксіально-симетричними полями та однорідним полем сили тяжіння. Метод застосовано до ряду відомих і нових математичних моделей. A new approach of study the dynamical stability of the magnetic bodies in the external axially symmetric magnetic fields is proposed. The hamiltonian for a wide class of mathematical models of interaction a symmetrical top with external axially symmetric fields and homogeneous field of gravity force is considered. The method was applied to some known and new mathematical models. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Проблемы динамики управляемых систем Гамильтонова динамика симметричного волчка во внешних аксиально-симметричных полях. Магнитное удержание твердого тела Гамільтонова динаміка симетричної дзиґи у зовнішніх аксіально-симетричних полях. Магнітне утримання твердого тіла Hamiltonian dynamics of a symmetric top in external axially symmetric fields. Magnetic confinement of a rigid body Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Гамильтонова динамика симметричного волчка во внешних аксиально-симметричных полях. Магнитное удержание твердого тела |
| spellingShingle |
Гамильтонова динамика симметричного волчка во внешних аксиально-симметричных полях. Магнитное удержание твердого тела Зуб, С.С. Проблемы динамики управляемых систем |
| title_short |
Гамильтонова динамика симметричного волчка во внешних аксиально-симметричных полях. Магнитное удержание твердого тела |
| title_full |
Гамильтонова динамика симметричного волчка во внешних аксиально-симметричных полях. Магнитное удержание твердого тела |
| title_fullStr |
Гамильтонова динамика симметричного волчка во внешних аксиально-симметричных полях. Магнитное удержание твердого тела |
| title_full_unstemmed |
Гамильтонова динамика симметричного волчка во внешних аксиально-симметричных полях. Магнитное удержание твердого тела |
| title_sort |
гамильтонова динамика симметричного волчка во внешних аксиально-симметричных полях. магнитное удержание твердого тела |
| author |
Зуб, С.С. |
| author_facet |
Зуб, С.С. |
| topic |
Проблемы динамики управляемых систем |
| topic_facet |
Проблемы динамики управляемых систем |
| publishDate |
2018 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы управления и информатики |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Гамільтонова динаміка симетричної дзиґи у зовнішніх аксіально-симетричних полях. Магнітне утримання твердого тіла Hamiltonian dynamics of a symmetric top in external axially symmetric fields. Magnetic confinement of a rigid body |
| description |
Предложен новый подход к исследованию динамической устойчивости магнитных тел во внешних аксиально-симметричных полях. Рассматривается гамильтониан, описывающий широкий класс математических моделей симметричного волчка, которая взаимодействует с внешними аксиально-симметричными полями и однородным полем силы тяжести. Метод применен к ряду известных и новых математических моделей.
Запропоновано новий підхід до дослідження динамічної стійкості магнітних тіл у зовнішніх аксіально-симетричних полях. Розглядається гамільтоніан, який описує широкий клас математичних моделей симетричної дзиґи, яка взаємодіє з зовнішніми аксіально-симетричними полями та однорідним полем сили тяжіння. Метод застосовано до ряду відомих і нових математичних моделей.
A new approach of study the dynamical stability of the magnetic bodies in the external axially symmetric magnetic fields is proposed. The hamiltonian for a wide class of mathematical models of interaction a symmetrical top with external axially symmetric fields and homogeneous field of gravity force is considered. The method was applied to some known and new mathematical models.
|
| issn |
0572-2691 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180595 |
| citation_txt |
Гамильтонова динамика симметричного волчка во внешних аксиально-симметричных полях. Магнитное удержание твердого тела / С.С. Зуб // Проблемы управления и информатики. — 2018. — № 4. — С. 10-28 . — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT zubss gamilʹtonovadinamikasimmetričnogovolčkavovnešnihaksialʹnosimmetričnyhpolâhmagnitnoeuderžanietverdogotela AT zubss gamílʹtonovadinamíkasimetričnoídzigiuzovníšníhaksíalʹnosimetričnihpolâhmagnítneutrimannâtverdogotíla AT zubss hamiltoniandynamicsofasymmetrictopinexternalaxiallysymmetricfieldsmagneticconfinementofarigidbody |
| first_indexed |
2025-11-24T21:53:31Z |
| last_indexed |
2025-11-24T21:53:31Z |
| _version_ |
1850498894481326080 |
| fulltext |
© С.С. ЗУБ, 2018
10 ISSN 0572-2691
УДК 531.396; 537.634; 519.6
С.С. Зуб
ГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКА
СИММЕТРИЧНОГО ВОЛЧКА ВО ВНЕШНИХ
АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫХ ПОЛЯХ.
МАГНИТНОЕ УДЕРЖАНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Введение
В данной статье обобщаются все предыдущие подходы к исследованию
динамической устойчивости магнитных тел в аксиально-симметричном магнитном
поле с учетом силы тяжести. Предлагается гамильтониан, описывающий широкий
класс моделей с симметричным волчком, взаимодействующим с внешними
аксиально-симметричными полями. Рассматривается устойчивость относительных
равновесий. Найдены необходимые и достаточные условия динамического
равновесия. Исследование проводится с использованием инерциальной системы
отсчета. Устойчивость исследуется с помощью теоремы Ратью–Ортега [1].
Эквивалентность алгоритмов этой теоремы и классического метода энергии-
момента обоснована в работе [2].
1. Движение симметричного волчка во внешнем поле
Имеем скобки Пуассона
lijljilijljikiijji px =},{,=},{0,=},{,=},{
и гамильтониан
),(
2
1
2
1
=))),(),,((( 22
xV
I
p
M
pxh .
Так как кинетическая энергия (3)SO симметрична, условие аксиальной
симметрии гамильтониана системы сводится к требованию аксиальной
симметрии потенциальной энергии
0==},{
1
2
2
1
1
2
2
1
3
VV
x
V
x
x
V
xjV ,
которое также можно записать в виде
0.=)()(
VVx x
(1)
Как будет показано ниже, соотношение (1) тождественно выполняется на
орбите относительного равновесия.
2. Интегралы движения и присоединенный гамильтониан
Интегралы движения и форма присоединенного гамильтониана остаются
такими же, как и в задаче об орбитроне, а именно:
,= 22113 CCJhh
.=))),(),,(((
;=),(
;=),(
122133
2
2
1
pxpxpxJ
C
C
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2018, № 4 11
3. Необходимые условия относительного равновесия
Из выражения для присоединенного гамильтониана имеем
d
1
de
1
=d 233 e
I
pxp
M
h
d)2(d)( 21
ν
3 VxpeVx .
Получаем необходимые условия относительного равновесия
0;=2
;=
0;=
);(=
21
23
3
3
V
IeI
peV
xeMp
x
(2)
0;=
;
1
=
;=
32
232
2
eIV
C
I
xMVx
(3)
.2= 2
21 I (4)
Отсюда следует, что
.)(=,=
;=)(
;=
2
2
2
z
z
x
I
V
C
V
xMV
Здесь символ u
означает составляющую вектора ,u
ортогональную оси
симметрии системы .z
Замечание 1. Вектор
и множитель Лагранжа находятся из первых двух
строк (2) или, что то же самое, из первой строки (3). Это отличается от орбитрона,
где было постулировано, что
направлен вдоль оси .z
Замечание 2. Соотношения (3) не только определяют
и множители
Лагранжа 21,, , но и накладывают ограничения на функцию V
дополнительно к ее аксиальной симметрии.
4. Опорная точка и допустимые вариации
Выбираем следующую опорную точку:
.)(=
1;=,=
;=
;=
3
0
020
2
000
200
100
ePIC
erMp
erx
(5)
Как уже отмечалось, вектор 0
должен быть найден из необходимых
условий устойчивости. Допустимые вариации ),,,(= pxv в опорной точке
удовлетворяют следующим условиям:
12 ISSN 0572-2691
0.==
0;==
0;=2=
201033
002
01
prxpJ
C
C
v
iiiiv
iiv
К этим условиям добавляем условие трансверсальности, которое, в отличие
от задачи об орбитроне, берем в более простом виде, что упрощает дальнейшие
вычисления. Таким образом, полный набор условий может быть записан в
следующем виде:
0;=
;
1
=
;,
1
=
;,
1
=
2
3
0
1
0
0
2
0
0
0
3
0
0
3
x
r
x
r
p
p
I
zz
z
(6)
Замечание 3. То, что для касательного к орбите вектора не может
выполняться ,0=02x следует из второй строки (5), если 00 r и 0 , что
всегда предполагается.
5. Система координат на плоскости, удобная для анализа
связей на вариации
Анализ связей на вариации удобно выполнить в системе координат, приспо-
собленной для вектора 0
.
Замечание 4. Если этот вектор (как в случае орбитрона) равен нулю, то новая
система координат на плоскости совпадает с исходной декартовой.
Рассмотрим систему координат на плоскости, связанную с выделенным
вектором a
. Пусть на плоскости задана система координат },{ 21 ee
и вектор .a
Направим базисный вектор 1E
новой системы координат },{ 21 EE
по вектору .a
Для того чтобы новая систем координат была правильно ( 321 = eEE
)
ориентирована, должны выполняться следующие соотношения:
.
||||
=
;
||
=
||||
=
2
1
1
2
2
2
2
1
1
1
e
a
a
e
a
a
E
a
a
e
a
a
e
a
a
E
Введем матрицу
.,=,=,
||||
||||
=
12
21
ikkikkii EeeE
a
a
a
a
a
a
a
a
Тогда ò.å.,=,=,= kkiikiki xxeEXeX
X=x,=
ikik Xx ,
;
||||
=
;
||||
=
2
1
1
2
2
2
2
1
1
1
X
a
a
X
a
a
x
X
a
a
X
a
a
x
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2018, № 4 13
Соответственно,
xxX ikik
11 =X,)(= ,
||||
||||
==
12
21
1
a
a
a
a
a
a
a
a
T
.
В данном случае выделенный вектор на плоскости — 0
, поэтому
ABBABBAA EeeE
,=,=,
||
1
=
0102
0201
0
;
);(
||
1
=
;
||
=)(
||
1
=
201102
0
2
0
0
202101
0
1
eeE
eeE
6. Связи на вариации в новой системе координат
Для вариаций px , используем исходную систему координат, а для ва-
риаций , — базис ;},,{ 321 eEE
в новой системе координат обозначим их
буквами ,N . Тогда связи (6) будут иметь вид
.0=
;N
1||
=
;N
1||
=
;N
||
=
2
1
0
1
00
0
12
1
0
1
0
0
3
1
0
0
3
x
I
r
xMp
I
zz
zz
z
Введем переменную 1
.N
1
=
;N
1
=
1
0
11
1
0
11
I
I
z
z
Тогда
.0=
;
||
=
;
||
=
;N
||
=
2
1
00
0
12
1
0
0
3
1
0
0
3
x
r
xMp
z
z
z
14 ISSN 0572-2691
7. Исходная и приведенная квадратичные формы
Рассмотрим вторую вариацию присоединенного гамильтониана
( kji ,, .2.1.=,,3,.1.. CBA )
,2
11111
= 2
2
3
22
2
2
1
2
3
2
II
p
M
p
M
p
M
hv
ji
ji
xx
xx
V
pxpx
2
1221
2
31
2
1332 )(2222
BA
BA
i
i
Ai
Ai
V
x
x
V
x
x
V 2
3
3
22
22
.2 2
32
3
2
3
3
2
VV A
A
(7)
Используя связи, имеем
.
||
22=)(2
;NN
1
=
;N
1
NN
1
=,
;
1
N
1
N
1
2
11
=
1
;
||
2=
1
11
00
02
1
2
1221
2
2
2
12
0
2
2
1
0
22112
0
2
2
2
1
2
2
0
11
0
2
12
0
2
2
12
0
2
0
2
0
11
00
02
1
22
2
x
r
xMpxpx
I
I
I
II
Mr
x
r
xMp
M
z
z
zz
zzz
zz
(8)
Ниже применяются следующие обозначения:
,=
N
);,(d=
NN
);,(d=
N
33
2
2
2
2
2
VV
EEV
V
EeV
x
V
AE
A
BA
BA
Ai
A
i
причем в выражениях этого типа всегда считается, что векторы ie
касательны к
пространству переменных ,x
а AE
— к пространству переменных .
Подставляя (8)
в (7), находим приведенную квадратичную форму
2
12
0
2
0
2
0
11
00
02
1
22
1
2
3
2 ||
2
11
=
zz
v
Mr
x
r
xMp
M
p
M
h
2
2
2
1
2
2
0
11
0
2
12
0
1
N
1
N
1
2
11
I
I
I
zzz
2
2
2
12
0
1
2
1
0
22112
0
2 NN
1
2N
1
NN
1
2
zzz
I
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2018, № 4 15
2
32
3
2
31
31
2
2
12
1
2
11
00
02
1
2 2
||
22 x
x
V
xx
xx
V
x
x
V
x
r
xM
z
1
1
31
2
0
03
3
2
1
1
2
N
||
2N
N
2N
N
2 x
x
V
x
x
V
x
x
V
z
A
A
A
A
2
22
2
2
21
21
2
2
12
1
2
1
3
33
2
0
0 N
N
NN
NN
2N
N
N
||
2
VVV
x
x
V
z
.NNN
N
||
2N
N
||
2 2
12
3
2
2
0
2
0
213
2
2
0
02
13
1
2
0
0
VVV
zzz
8. Достаточные условия устойчивости
При использовании метода последовательного исключения изолированных
квадратов в порядке 121213 N,N,,,, pp , получаем
,0>0,>0,>
0;>
),(d
),(d
)(),(d
0;>),(d
2
22
2
2
02
2
22
0
2
202
0
2
0
2
0
2
00
2
22
2
BACCA
EEV
EV
I
MrI
I
V
EEV
z
2
2
2
2
21
2
2
1
2
2
0
2
0
2
0
2
02
N
N3
=
V
x
V
x
V
MrI
IMr
MA
2
2
2
2
02
2
22
0
2
202
0
2
0
2
0
2
00
2
2
2
2
2
02
2
2
1
2
01
2
202
0
2
0
00
N
),(d
)(),(d
N
),(
N
),(d)(
||
2
V
EV
I
MrI
I
V
V
EVd
x
V
eV
MrI
pI
z
z
;
2
2
2
23
2
21
2
31
2
N
NN
=
V
x
V
x
V
xx
V
B
2
2
2
02
2
23
2
03
2
N
),(d
N
),(
V
EV
x
V
eVd
2
2
2
2
02
2
22
0
2
202
0
2
0
2
0
2
00
2
2
2
2
02
2
2
1
2
01
2
202
0
2
0
00
N
),(d
)(),(d
N
),(d
N
),()(
||
2
V
EV
I
MrI
I
V
V
EV
x
V
eVd
MrI
pI
z
z
;
16 ISSN 0572-2691
2
2
2
2
23
2
2
3
2
N
N
=
V
x
V
x
V
C
2
2
2
2
02
2
22
0
2
202
0
2
0
2
0
2
00
2
2
2
2
2
02
2
23
2
03
2
N
),(
)(),(
N
),(
N
),(
V
EVd
I
MrI
I
Vd
V
EVd
x
V
eVd
z
.
Замечание 5. Для вывода условий положительной определенности
квадратичной формы применялся метод последовательного исключения
изолированных квадратов, аналогичный процедуре Гильберта–Шмидта
ортогонализации базиса.
В данном случае используются следующие обозначения:
0=,,||= 0030100
eEz .
.
N
||2
N
=),(d
;||
N
=),(d
;||
N
=),(d
;
N
||
NN
=),(d
2
3
2
2
03
1
2
002
1
2
2
000
2
33
2
0
1
3
2
003
2
31
2
0
1
1
2
001
2
3
2
2
0
21
2
002
2
VVV
V
x
V
x
V
eV
x
V
x
V
eV
VV
EV
zz
z
z
z
;2
||
1
=
N
;)(
||
1
=
NN
;2
||
1
=
N
;
||||
=
N
;
||||
=
N
;
||||
=
N
;
||||
=
N
2
012
2
2
0201
21
2
2
022
1
2
2
0
2
2
2
2
02
2
01
21
2
02012
2
2
02012
1
2
2
021
2
2
022
2
2
0201
21
2
2
012
1
2
2
0
2
1
2
0
01
32
2
0
02
31
2
3
2
2
0
02
32
2
0
01
31
2
3
1
2
0
01
21
2
0
02
11
2
21
2
0
02
21
2
0
01
11
2
11
2
VVVV
VVVV
VVVV
VVV
VVV
x
V
x
V
x
V
x
V
x
V
x
V
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2018, № 4 17
9. Случай диполя в магнитном поле
Изучим вопрос о возможности левитации диполя в аксиально-симметричном
магнитном поле. Потенциальная энергия в этом случае имеет вид
,)(=,= MgzxBMgzBV i
i
(9)
где B
— аксиально-симметричное магнитное поле, а .0>
Из (9) следует, что BV
= . Поэтому
.=
;)(=
;
1
=
2
2
22
B
IBC
C
I
zz
z
(10)
Из (10) следует, что
имеет то же самое направление, что и B
(включая
знак). Это условие согласуется с уравнением xMVx
2= для потенциальной
энергии диполя (9).
Поэтому опорная точка в данном случае может быть выбрана в виде
;=
;=1,=,=
;=
;=
0230
22
130
200
100
IeI
Bee
erMp
erx
rrzrrz
т.е. вектор 0
лежит в плоскости ),(span 30 ex
. Упрощением в дипольном случае
будет 0=d2
νV .
Соотношения для аксиально-симметричного магнитного поля. Пред-
полагается, что источники магнитного поля локализованы, а движение
намагниченного тела происходит в области, свободной от источников.
Тогда в области движения выполняются уравнения магнитостатики без
источников. Для аксиально-симметричного магнитного поля это, в частности,
означает, что в цилиндрической системе координат имеются только две
компоненты поля ),,(,),( zrBzrB zr зависящие от переменных r и .z
В данном случае справедливы следующие уравнения магнитостатики:
.0=
1
0;=
1
0;=
,,,
,,
,,
rzrrzzzz
rrrzz
rzzr
B
r
BB
B
r
BB
BB
Для якобиана магнитного поля
.=
;=
;==
,3,3
,3,
2,,,
zz
C
rzC
CAr
rrAC
r
ACCA
BB
r
x
BB
r
xx
r
B
B
r
B
BB
18 ISSN 0572-2691
Для гессиана
.=
);(=
;
11
=
;
421
;=
,3,33
,33,
2,,,3,
3,
3,,
zzz
zrz
C
C
DC
rzrrzCDrzCD
DCAACDADCCDAr
zz
DCA
rzzCDA
BB
B
r
x
B
r
xx
B
r
BB
r
B
r
xxx
r
xxx
r
B
B
r
r
xxx
BB
Компоненты якобиана в опорной точке при T
0 0)0,,(= rx
.=
0;=
;=
;
1
=
0;==
;=
,3,3
3,2
,3,1
2,2
2,11,2
,1,1
zz
rz
r
rr
BB
B
BB
B
r
B
BB
BB
Компоненты гессиана в опорной точке
.=
0;=
;=
0;=
;=
0;=
;
11
=
21
===
0;==
;
11
=
21
=
0;==
;
11
=
21
=
,3,33
3,23
,3,13
3,12
,3,11
2,22
,,1,222,212,12
1,122,11
,,1,22
1,211,12
,,,,1,11
zzz
rzz
rrz
rrrrzz
rrrrzz
rrrzrzrzzzrz
BB
B
BB
B
BB
B
B
r
B
r
B
r
B
r
BBB
BB
B
r
B
r
B
r
B
r
B
BB
B
r
B
r
BB
r
B
r
BB
Уравнения равновесия для магнитного диполя. Из соотношения (9) имеем
.===
;===
3,3
3
,3,33,3
3,
3
,,,
MgBBMgB
x
V
V
BBB
x
V
V
D
D
i
i
CCD
D
Ci
i
CC
Учитывая третью строку из (10) свойства аксиально-симметричного
магнитного поля, получаем
r
x
B
C
rC
rr
=
;=
и уравнения равновесия принимают вид
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2018, № 4 19
.1=
;=
;=
22
2
,,
,,
zr
rr
r
zr
z
zr
r
zz
z
r
M
BB
g
M
BB
(11)
Достаточные условия устойчивости для магнитного диполя в аксиально-
симметричном магнитном поле. В опорной точке имеем
;)(s=),(d
;)(s=),(d
;=
N
;=
NN
;=
N
;)(s=
N
;)(s=
N
;)(s=
N
;)(s=
N
33
2
13
2
03
2
31
2
11
2
01
2
2
2
2
2
2
2
21
2
21
2
2
1
2
2
1
2
32
2
3
2
2
31
2
3
1
2
21
2
21
2
11
2
1
1
2
x
V
x
V
igneV
x
V
x
V
igneV
VV
VV
VV
V
ign
V
V
ign
V
x
V
ign
x
V
x
V
ign
x
V
rzr
rzr
r
r
r
r
);(=
);(=
0;=
;=
0;=
;=
,,33
2
13
2
,,31
2
11
2
23
2
,
13
2
21
2
,
11
2
rzzzzrrz
rzrzrrrz
zr
rr
BB
x
V
x
V
BB
x
V
x
V
x
V
B
x
V
x
V
B
x
V
;=
;=
;
21
=
,,2
3
2
,,
31
2
,,,2
1
2
rzz
r
zzz
z
rrz
r
rzz
z
rzz
r
zrz
r
rrz
z
BB
x
V
BB
xx
V
B
r
B
r
BB
x
V
20 ISSN 0572-2691
.=)(
;=)(
2
,,
,,
r
r
zzrrzz
z
r
zrrrzr
r
B
rMBB
r
B
MgBB
Тогда условия устойчивости относительного равновесия (см. разд. 8) примут вид
;0>0,>0,>
0;>=
2
22
BACCA
I
CB
zz
z
(12)
rzz
r
zrz
r
rrz
z
r
r B
r
B
r
BB
MrI
IMr
MA
213
= ,,,2
0
2
22
02
222
22
0
2
22
2
22
0
2
0
)(
)(2
I
MrI
I
r
B
Mg
MrI
pI
rz
r
r
z
r
z
r
r
; (13)
rrz
r
rzz
z BBB ,,=
r
r
rz
r
r
z
r
z
r
r
r
B
rM
I
MrI
I
r
B
Mg
MrI
pI
2
222
22
0
2
22
22
0
2
0
)(
)(2
; (14)
,
)(
=
222
202
0
2
22
2
2
,,
I
MrI
I
r
B
rM
BBC
rz
r
r
r
r
rzz
r
zzz
z
(15)
где значения величин ,, zr могут быть найдены из (11), а 02 ,,
— из (10).
10. Орбитрон
Наиболее простой пример — это орбитрон. Под полем орбитрона будем
понимать аксиально-симметричное относительно оси z и зеркально-симметричное
относительно экваториальной плоскости поле [3]. Покажем, что существуют
устойчивые относительные равновесия, пространственно расположенные в
экваториальной плоскости.
В этом случае отсутствует сила тяжести
.),(=)(=),(
xBxBxV i
i
Ввиду зеркальной симметрии опорная точка имеет вид
,===
1;=,=
;=
;=
3033320
30
200
100
eeeC
e
erMp
erx
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2018, № 4 21
а значит,
;)(=
;
1
=
0
02
IB
I
z
.=
;=
0;=
3
0
2
,
,
eBB
r
M
B
B
z
rz
zz
Рассмотрим достаточные условия, используя все предыдущие упрощения
из (12)–(15)
0;=
0;>= 2
0
B
IBz
;0>3= ,
2
rrzBMA (16)
.0>
)(
=
22
,
rM
BC zzz (17)
Из (17) следует, что 0>, zzzB , поэтому условиям (16), (17) можно
придать вид
.
)(
>
0;>
1
2=
1
3
0;>
,
2
,2
0
,,,,
,
zzz
rz
z
rzzzzrrzrz
zzz
B
B
IB
B
r
BBB
r
B
(18)
Эти условия эквивалентны выводам из [3].
Дипольтрон. В стандартном орбитроне [4] в качестве источников маг-
нитного поля использовались магнитные полюса. Результаты, приведенные
выше, показывают, что другие виды источников поля также обеспечивают
устойчивость.
Особый интерес представляют источники поля в виде магнитных диполей,
так как эта модель поля общепризнана. Кроме того, известно, что устойчивые
динамические конфигурации не реализуются в системе магнитных диполей,
которые взаимодействуют исключительно с магнитными силами (так называемая
«проблема
3
1
R
»), что добавляет интерес к такому выбору модельного поля.
Рассмотрим систему с двумя источниками магнитного поля в виде
магнитных диполей, расположенных на оси z в точках hz = с равными
магнитными моментами, ориентированными вдоль одной оси .z Очевидно, что
поле этой системы аксиально-симметрично относительно оси z и зеркально-
симметрично — относительно плоскости .0=z
Замечание 6. В данной системе есть внешние силы, которые удерживают
источники диполей в заданном положении.
22 ISSN 0572-2691
Поле магнитного диполя хорошо известно
,
,3
4
=
35
0
R
m
R
RRm
B
где m
— вектор магнитного момента и R
— радиус-вектор от диполя до точки
наблюдения поля.
Для диполей, расположенных на оси z в точках h в компонентах
декартовой системы, имеем
,)(=,
)()2(
=
1,2;=,
)(
3=
2
3
2
2
2
15/2
2
2
2
1
2
3
3
5/2
3
hxxxD
D
xxhx
qB
C
D
xhx
qB C
C
(19)
где ||
4
= 0 mq
— «магнитный заряд», эквивалент полюса магнитного диполя.
Используя (19) и взяв производную от zB по r при 0=z , найдем все
необходимые величины
,)1628(6=
3
;)824(36=
;)4(6===
;)(22=
9/2
0
422
0
4
02
2
9/2
0
422
0
4
0,
7/2
0
22
00,,,
5/2
0
2
0
2
Dhhrrq
r
B
r
B
r
DhhrrqB
DhrqrrBB
DrhqB
zz
zzz
zzrrz
z
где
22
00 = hrD .
Тогда из первых двух условий (18) получаем геометрические условия
дипольтрона
0>1628
0;<8243
2
0
4
0
2
0
4
0
h
r
h
r
h
r
h
r
или
.659<<5/612 0
h
r
(20)
При выполнении геометрических условий (20) третье условие в (18) всегда может
быть выполнено.
11. Левитация орбитрона
Изучим вопрос о возможности левитации диполя в аксиально-симметричном
магнитном поле. Как было показано выше, поле орбитрона может обеспечить
уравновешивание центробежной силы устойчивым образом. Но, как показывают
исследования, оно плохо приспособлено для уравновешивания силы тяжести.
Поэтому введем дополнительное поле, линейно зависящее от координат.
Пусть
)()(=)( xBxBxB OL
,
где LB
— линейно зависящее от координат магнитное поле, а OB
— зеркально-
симметричное относительно плоскости 0=z поле (разумеется, оба поля
аксиально-симметричны).
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2018, № 4 23
Предполагается, что поле LB
предназначено, в основном, для
уравновешивания силы тяжести, а поле OB
— центробежной силы.
Рассмотрим относительные равновесия при 0=z .
Важные свойства введенных полей таковы:
.0=d
;|0)=(&0)=(
;|0)=(&0)=(0=|
2
0=,,
0=,,0=
L
z
O
rzz
O
zz
z
O
rrr
O
rrz
O
r
B
BB
BBB
Имеем
;
2
1
=
;= 0
rBB
zBBB
L
r
L
z
(21)
.
2
1
=
0;==
;=
,
,,
,
BB
BB
BB
L
rr
L
rz
L
zr
L
zz
Таким образом,
.
2
1
=
;=
;=
,
,,
,
BB
BB
BB
rr
O
zrzr
zz
Необходимые условия относительного равновесия. Представим уравнения
равенства сил
,1=
;=
2
1
;=
22
2
zr
rz
rz
(22)
где .=,=,=
2
2,
g
r
B
Mg
B
BO
zr
Отсюда следует, что
;1
1
1
= 22
2
r (23)
.
2
11
= 22
r (24)
Из соотношения rr B
= и (21) имеем
)(sign=)(sign
2
=
rr
Mgr
. (25)
Таким образом, знак r должен быть противоположен знаку .
Следовательно, в выражении (24) первый член должен быть отрицательным,
и тогда знак должен быть отрицательным.
Кроме того, так как вектор v
полностью определяется из системы (22),
величина также определена соотношением (25). Поэтому соотношение
24 ISSN 0572-2691
0>= 22
I
CB
zz
z
следует рассматривать не как уравнение для , а, скорее, как ограничения для
èzB .
Из (23) и (24) имеем
22
2
2
2
2 1
1
2
1
)2(1
= .
Если ,1 то данная величина при знаке минус перед корнем становится
отрицательной.
Замечание 7. Очевидно, так как 0 , выбор знака плюс является
предпочтительным, когда ,0 и, наоборот, для 0 надо выбирать знак
минус.
В противном случае в наиболее интересной области 1 получается
отрицательное значение для
||
1
1
2
1
)2(1
=
22
2
2
2
2
.
Тогда
.
||
1
1
=
22
2
r
Очевидно, что при небольшом превышении величиной единицы величина r
будет малой.
0)>)((=1|=| Or (26)
0>)(=
2
=
O
MgrMgr
r
(27)
)(|=|2 O (28)
Достаточные условия устойчивости для левитации орбитрона.
Выражения для величин CBA ,, принимают вид
.
)(
4
)(
=
;
4
)(
2
1)(2
=
;
)(
2
1)(2
3
=
222
22
0
2
22
2
2
22
,
2
2
222
22
0
2
22
22
0
2
0
,
222
22
0
2
22
2
22
0
2
0
,2
0
2
22
02
I
MrI
I
Mgr
Mg
BC
Mgr
Mg
I
MrI
I
Mg
MrI
pI
BB
I
MrI
I
Mg
MrI
pI
B
MrI
IMr
MA
rz
r
r
zzz
z
rz
r
r
z
z
r
r
rrz
r
rz
r
r
z
z
r
r
rrz
z
r
r
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2018, № 4 25
Учитывая (26)–(28), можно записать достаточные условия в виде
.0>)(
;
2
=
0;>
0;>)(==
);(==
0;>)(
3
==
2
0
2
,
,,
O
Mgr
IB
bac
OB
Mg
r
C
Mg
r
c
OB
Mg
r
b
OBB
rMg
r
A
Mg
r
a
z
zzz
rrzrz
(29)
Следовательно, выполняются геометрические условия
,0>
2
=
3
0;>
,,,,
,
rzzzzrrzrz
zzz
B
r
BBB
r
B
которые обеспечивают соблюдение достаточных условий устойчивости (29) при
достаточно малых 0> . В пределе при 0 для магнитного поля имеем
случай орбитрона.
Таким образом, геометрические условия вместе с динамическим условием
MgrIBz
2
0
дают полный набор условий устойчивости системы.
Для достаточно больших 0 (параметр zB также является регулируемым)
можно добиться выполнения всех условий (29), т.е. орбитрон может
левитировать.
12. Численное моделирование левитации орбитрона
Уравнения движения симметричного волчка во внешнем поле приведены в [5].
Безразмерные переменные вводятся следующим образом [6]:
.
;
;
;
;
;
2
2
bBhB
h
g
Mh
iMhI
h
g
g
h
t
v
h
g
Mhp
hx
Замечание 8. Вернемся к обозначениям ,,,, tpx
, но будем считать их
безразмерными.
Линейное поле в безразмерном виде:
..
2
1
=
;;=
2
2
2
1
0
003
xxrrb
Bh
B
bzbb
L
r
LLL
26 ISSN 0572-2691
Поле орбитрона в безразмерном виде:
Bh
Q
q
ex
ex
qxbxbxb
z
zO
3
0
3
1= 4
=,
||
=)(),(=)(
,
где Q — «магнитный заряд».
Уравнения движения принимают вид
.
1
=
;
1
=
);
1
=(,,
1
=
;=
,3
b
dt
d
idt
d
b
dt
pd
eb
dt
pd
p
dt
xd
ijj
i
(30)
Для численного моделирования движения диполя следует еще задать
опорную точку, т.е. начальные условия. В безразмерном виде они выглядят так:
.)(=
1;=,=
;=
;=
02030
22
130
200
100
cei
ee
erp
erx
z
zrrz
(31)
Величины r и находятся из следующих соотношений:
.
1
=
;
||
1
1
=
;
||
1
1
2
1
)2(1
=
;=
2
0
2
22
2
22
2
2
2
2
1,3
r
b
r
O
Из последнего уравнения (31) следует, что
.)(= 0301
i
z
r
Величина 03 должна быть достаточно большой, так как
,
2
= 02
033
r
ib
Mgh
(32)
а величина 1|=| , где — малая положительная величина.
Вычислим якобиан магнитного поля
0;=
;
2
1
=
1;=
0;=
,3
,
3,3
3,
L
C
CD
L
DC
L
L
C
b
b
b
b
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2018, № 4 27
,= ,
1=
,
ji
O
ji bb .
||
))(3(
||
=
2
33
3,
z
jjii
ij
z
ji
ex
xx
ex
q
b
В частности, в опорной точке
.
)(1
6
=
2
5
2
0
0
r
qr
(33)
Безразмерные уравнения (30) можно получить из размерных, положив
1
=1,=1,= gM .
Замечание 9. Поле орбитрона можно получить из размерного при
0
4
=1,=
q
Qh .
Замечание 10 (к вычислению начальных условий).
1. Величина 0< , поэтому в соответствии с (33) должно быть 0<q .
2. Величина 1|=| , где 1 .
3. При выполнении п. 2 должно быть )(sign=)(sign z .
4. Из (32) имеет смысл принять )(sign=)(sign 03 .
При вычислении начальных условий для моделирования движения в
окрестности относительного равновесия, будем считать выполненными пп. 1–4,
т.е. эти предположения будут заложены в процедуру вычисления.
Заключение
Развита методика исследования устойчивости симметричных магнитных тел
во внешних аксиально-симметричных полях, основанная на методах энергии-
момента, энергии-Казимира и их обобщениях. В общем виде выведены
законченные аналитические формулы достаточных условий устойчивости. Это
сделано благодаря новому, более простому, условию трансверсальности и методу
исключения изолированных квадратов. Приведены конструктивные доказательства
устойчивости определенного класса магнитных систем.
В связи с этим актуальным представляется исследование проблем управ-
ления [7, 8], идентификации параметров [9], управляемости [10, 11] для рас-
смотренных выше систем с помощью импульсных воздействий.
Данная статья посвящается светлой памяти моего учителя и постоянного
соавтора Сергея Ивановича Зуба. Она завершает цикл наших работ [12] по
исследованию систем, обобщающих орбитрон.
С.С. Зуб
ГАМІЛЬТОНОВА ДИНАМІКА
СИМЕТРИЧНОЇ ДЗИҐИ У ЗОВНІШНІХ
АКСІАЛЬНО-СИМЕТРИЧНИХ ПОЛЯХ.
МАГНІТНЕ УТРИМАННЯ ТВЕРДОГО ТІЛА
Запропоновано новий підхід до дослідження динамічної стійкості магніт-
них тіл у зовнішніх аксіально-симетричних полях. Розглядається гамільто-
ніан, який описує широкий клас математичних моделей симетричної дзиґи,
яка взаємодіє з зовнішніми аксіально-симетричними полями та однорідним
полем сили тяжіння. Метод застосовано до ряду відомих і нових матема-
тичних моделей.
28 ISSN 0572-2691
S.S. Zub
HAMILTONIAN DYNAMICS
OF A SYMMETRIC TOP IN EXTERNAL
AXIALLY SYMMETRIC FIELDS.
MAGNETIC CONFINEMENT OF A RIGID BODY
A new approach of study the dynamical stability of the magnetic bodies in the exter-
nal axially symmetric magnetic fields is proposed. The hamiltonian for a wide class
of mathematical models of interaction a symmetrical top with external axially sym-
metric fields and homogeneous field of gravity force is considered. The method was
applied to some known and new mathematical models.
1. Ortega J.-P., Ratiu T.S. Nonlinear stability of singular relative periodic orbits in Hamiltonian
systems with symmetry // J. Geom. Phys. — 1999. — 32, N 2. — P. 160–188.
2. Mathematical Model of interaction of a symmetric top with an axially symmetric external field /
S.I. Zub, S.S. Zub, V.S. Lyashko, N.I. Lyashko, S.I. Lyashko // Cybernetics and systems analysis. —
2017 — 53, N 3. — P. 333–345.
3. Grigoryeva L., Ortega J.–P., Zub S. Stability of hamiltonian relative equilibria in symmetric
magnetically confined rigid bodies // The J. of Geom. Mech. — 2014. — 6. — P. 373–415.
4. Zub S. S. Stable orbital motion of magnetic dipole in the field of permanent magnets // Physica D:
Nonlinear Phenomena. — 2014. — 275. — P. 67–73.
5. Zub S.S. Magnetic levitation in orbitron system // Probl. At. Sci. Technol. — 2014. — 5(93). —
P. 31–34.
6. Zub S.S., Lyashko N.I., Lyashko S.I., Cherniavskyi A.Y. Levitating orbitron: Grid computing //
Adv. in Intel. Syst. and Comp. — 2018. — 754. — https://link.springer.com/chapter/
10.1007/978-3-319-91008-6_54#citeas
7. Lyashko S.I., Nomirovski D.A. Generalized solvability and optimization of parabolic systems in
domains with thin weakly permeable inclusions // Cybernetics and systems analysis. — 2003. —
39, N 5. — P. 737–745.
8. Lyashko S.I., Klyushin D.A., Onotskyi V.V., Lyashko N.I. Optimal control of drug delivery from
microneedle systems // Ibid. — 2018. — 54, N 3. — P. 1–9.
9. Lyashko S.I., Klyushin D.A., Nomirovsky D.A., Semenov V.V. Identification of age — structured
contamination sources in ground water, Optimal control of age — structured populations in
economy, demography, and the invironment. — London; New York : Routledge. — 2013. —
P. 277–292.
10. Lyashko S.I., Semenov V.V. Controllability in classes of singular influences for linear distributed
parameter systems // Cybernetics and systems analysis. — 2001. — № 1. — P. 18–42.
11. Lyashko S.I., Nomirovski D.A., Sergienko T.I. Trajectory and final controllability in
hyperbolic and pseudohyperbolic systems with generalized actions // Ibid. — 2001. — № 5.
— P. 157–166.
12. Zub S.S., Zub S.I. Hamiltonian dynamics of a symmetric top in external fields having axial
symmetry. Levitating orbitron // Cornell University. — 2015. — arXiv:1502.04674. —
https://arxiv.org/abs/1502.04674.
Получено 31.05.2018
Статья представлена к публикации членом редколлегии чл.-корр. НАНУ С.И. Ляшко.
|