Про дію диференціального виразу нескінченного порядку в класах цілих функцій багатьох комплексних змінних
We investigate the action of the partial differential expression L(∂/∂z) of infinite order generally with constant coefficients, whose symbol is an entire function L(λ) of several complex variables, onto an entire function f(z), z О Cn. We specify the conditions on growth orders by the set of variab...
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1806 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про дію диференціального виразу нескінченного порядку в класах цілих функцій багатьох комплексних змінних / П.І. Каленюк, З.М. Нитребич // Доп. НАН України. — 2007. — N 6. — С. 11–16. — Бібліогр.: 7 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860067714429616128 |
|---|---|
| author | Каленюк, П.І. Нитребич, З.М. |
| author_facet | Каленюк, П.І. Нитребич, З.М. |
| citation_txt | Про дію диференціального виразу нескінченного порядку в класах цілих функцій багатьох комплексних змінних / П.І. Каленюк, З.М. Нитребич // Доп. НАН України. — 2007. — N 6. — С. 11–16. — Бібліогр.: 7 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | We investigate the action of the partial differential expression L(∂/∂z) of infinite order generally with constant coefficients, whose symbol is an entire function L(λ) of several complex variables, onto an entire function f(z), z О Cn. We specify the conditions on growth orders by the set of variables of the entire functions L(λ) and f(z) providing the expression's action to be correct. We clarify also the growth order of the result of the expression's action as an entire function by the set of variables.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:08:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.95+517.55
© 2007
П. I. Каленюк, З. М. Нитребич
Про дiю диференцiального виразу нескiнченного
порядку в класах цiлих функцiй багатьох комплексних
змiнних
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Б. Й. Пташником)
We investigate the action of the partial differential expression L(∂/∂z) of infinite order generally
with constant coefficients, whose symbol is an entire function L(λ) of several complex variables,
onto an entire function f(z), z ∈ C
n. We specify the conditions on growth orders by the set of
variables of the entire functions L(λ) and f(z) providing the expression’s action to be correct.
We clarify also the growth order of the result of the expression’s action as an entire function
by the set of variables.
Нехай задана цiла функцiя F (z) =
∑
|s|>0
csz
s, де z = (z1, z2, . . . , zn) ∈ C
n, s = (s1, s2, . . . , sn) ∈
∈ Z
n
+, |s| = s1 + s2 + · · · + sn, zs = zs1
1 zs2
2 . . . zsn
n .
Порядок ρ за сукупнiстю змiнних цiлої функцiї F (z) та її тип при порядку ρ обчислюють
за формулами ρ = lim
r→∞
(ln ln M(r)/ ln r), σ = lim
r→∞
(ln M(r)/rρ), де M(r) = max
z∈Dr
|F (z)|, r —
деякий параметр, пов’язаний з областю Dr, а за область Dr у працях [1–4] використовують
полiцилiндр, гiперкулю, гiперсферу та iншi областi. У працi [1] доведено, що порядок ρ
цiлої функцiї за сукупнiстю змiнних не залежить вiд областi Dr, якою вичерпують C
n.
Для визначення порядку та типу цiлої функцiї за сукупнiстю змiнних (надалi для простоти
порядок та тип) вiзьмемо за область Dr основу полiцилiндра [2, 4] — Dr = {z ∈ C
n : |z1| =
= r, |z2| = r, . . . , |zn| = r}.
Нехай порядок цiлої функцiї F (z) дорiвнює ρ, а тип σ скiнченний. Тодi для довiльного
k > σ виконується нерiвнiсть M(r) < ekrρ
, r > R(k). За нерiвнiстю Кошi [5, c. 32] маємо
|cs| <
ekrρ
r|s|
, r > R(k). (1)
Оскiльки функцiя ekrρ
/r|s| має мiнiмум (eρk/|s|)|s|/ρ при r0 = (|s|/kρ)1/ρ, то iснує номер
N = N(k) такий, що ∀|s| > N : (|s|/kρ)1/ρ > R(k). Поклавши в (1) r = r0, одержимо
|cs| <
(
eρk
|s|
)|s|/ρ
, |s| > N. (2)
Зауважимо, що за коефiцiєнтами cs степеневого ряду порядок ρ за сукупнiстю змiнних
цiлої функцiї обчислюється за формулою [2]
ρ = lim
|s|→∞
ln |s|
ln
1
|s|
√
|cs|
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №6 11
Формулювання проблеми. На основi узагальненої схеми вiдокремлення змiнних ав-
торами розроблено диференцiально-символьний метод [6] розв’язування задач для дифе-
ренцiальних рiвнянь iз частинними похiдними з крайовими умовами за однiєю видiленою
змiнною. Вiдповiдно до цього методу розв’язки задач, зокрема задачi Кошi, зображаються
у виглядi дiй диференцiальних виразiв нескiнченного порядку на деякi цiлi функцiї пара-
метрiв. Наприклад, розв’язок задачi Кошi для рiвняння теплопровiдностi
(
∂
∂t
− a2
n
∑
k=1
∂2
∂x2
k
)
U(t, x) = 0, U(0, x) = ϕ(x)
за допомогою диференцiально-символьного методу зображається у виглядi
U(t, x) = ϕ
(
∂
∂ν
)
{ea2|ν|2t+ν·x}
∣
∣
∣
∣
ν=0
,
де ν = (ν1, ν2, . . . , νn), |ν|2 = ν2
1 +ν2
2 + · · ·+ν2
n, νx =
n
∑
k=1
νkxk. Як бачимо, у фiгурних дужках
є цiла стосовно ν1, ν2, . . . , νn функцiя. У цьому зв’язку актуальним є з’ясування порядкiв
заданих цiлих функцiй за сукупнiстю змiнних та встановлення умов на початковi функцiї,
щоб дiя диференцiальних виразiв на цiлi функцiї була коректною.
Нехай задано двi цiлi функцiї
L(λ) =
∑
|s|>0
asλ
s, f(z) =
∑
|s|>0
bsz
s, z ∈ C
n,
причому функцiя f(z) має порядок не вище за p, де 1 < p < ∞.
Припустимо, що цiла функцiя L(λ) є символом виразу L(∂/∂z) загалом нескiнченно-
го порядку, тобто вираз L(∂/∂z) одержується з L(λ) замiною λ на ∂/∂z. Розглянемо дiю
диференцiального виразу L(∂/∂z) на функцiю f(z), а саме функцiю
∑
|s|>0
as
∂|s|f(z)
∂zs1
1 ∂zs2
2 · · · ∂zsn
n
. (3)
Вивчаються такi питання: 1) яким повинен бути порядок цiлої функцiї L(λ), щоб функ-
цiя (3) була цiлою; 2) яким буде порядок цiлої функцiї (3).
Для функцiї однiєї комплексної змiнної (n = 1) вiдповiдi на цi питання вiдомi (див. тео-
рему в [7, c. 73]). У данiй роботi доведемо аналог цiєї теореми для функцiй багатьох змiнних.
Основнi результати.
Лема 1. Для довiльних r, s ∈ N
n виконується нерiвнiсть
(r + s)!
s!
6 2
(|s| + |r|)|s|+|r|+1/2
e|r||s||s|+1/2
,
де s! = s1!s2! · · · sn!, (s + r)! = (s1 + r1)!(s2 + r2)! · · · (sn + rn)!
Доведення.
(r + s)!
s!
=
n
∏
k=1
(
rk
∏
j=1
(sk + j)
)
6
n
∏
k=1
(
rk
∏
j=1
(|s| + j)
)
6
|r|
∏
j=1
(|s| + j) =
(|s| + |r|)!
(|s|)! .
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №6
Використовуючи формулу Стiрлiнга, отримуємо
(|s| + |r|)!
(|s|)! 6
√
2π(|s| + |r|)
√
2π|s|
(|s| + |r|)|s|+|r|e−|s|−|r|+1/(12(|s|+|r|))
|s||s|e−|s|
6 2
(|s| + |r|)|s|+|r|+1/2
e|r||s||s|+1/2
.
Лему доведено.
Лема 2. Для довiльних r, s ∈ N
n виконується нерiвнiсть
(
(|s| + |r|)|r|+|s|
|r||r||s||s|
)
6 e|r|+|s|.
Доведення. Запишемо лiву частину нерiвностi у виглядi
(
(|s| + |r|)|r|+|s|
|r||r||s||s|
)
=
(
1 +
|s|
|r|
)|r|(
1 +
|r|
|s|
)|s|
.
Оскiльки 1+|s|/|r| < e|s|/|r|, то маємо (1+|s|/|r|)|r| < e|s|. Аналогiчно, (1+|r|/|s|)|s| < e|r|.
Лему доведено.
Теорема 1. Нехай f(z) є цiлою функцiєю порядку нижче за p, де 1 < p < ∞, або
порядку p, причому скiнченного типу, a порядок цiлої функцiї L(λ) менший за q або дорiв-
нює q, але скiнченного типу, тодi функцiя (3) є цiлою функцiєю порядку нижче за p або
порядку p, але скiнченного типу, якщо виконується умова 1/p + 1/q > 1.
Доведення. У результатi дiї диференцiального виразу L(∂/∂z) на функцiю f(z) одер-
жимо ряд
∑
|s|>0
csz
s, де cs =
∑
|r|>0
arbr+s
(s+r)!
s! , r = (r1, r2, . . . , rn) ∈ Z
n
+, s = (s1, s2, . . . , sn) ∈
∈ Z
n
+, as та bs — коефiцiєнти степеневих рядiв функцiй L(λ), f(z) вiдповiдно.
Запишемо оцiнки для коефiцiєнтiв степеневих рядiв L(λ), f(z) у припущеннi, що L(λ),
f(z) — цiлi функцiї скiнченних порядкiв нижче за q та нижче за p або порядкiв q та p, але
скiнченних типiв, менших за σ2 > 0 та σ1 > 0 вiдповiдно:
(а) ∃k0 ∈ N ∀|r| > k0 |ar| <
(
σ2eq
|r|
)|r|/q
,
(б) ∃s0 ∈ N ∀|r + s| > s0 |br+s| <
(
σ1ep
|r| + |s|
)(|r|+|s|)/p
.
Позначимо N0 = max{k0, s0, n − 1} i оцiнимо |cs| для |s| > N0.
Запишемо нерiвнiсть
|cs| 6 S1 + S2, (4)
де S1 =
∑
|r|6N0
|ar||br+s| (s+r)!
s! , S2 =
∑
|r|>N0
|ar||br+s| (s+r)!
s! .
За допомогою леми 1 та нерiвностi (б) зробимо оцiнку суми S1 в нерiвностi (4):
S1 < 2
∑
|r|6N0
|ar|
(
σ1ep
|r| + |s|
)(|r|+|s|)/p
√
|s| + |r|
|s|
(|s| + |r|)|s|+|r|
e|r||s||s| =
= 2
(
σ1ep
|s|
)|s|/p
∑
|r|6N0
|ar|(σ1p)|r|/p
√
|s| + |r|
|s|
(|s| + |r|)(|s|+|r|)(1−1/p)
e|r|(1−1/p)|s||s|(1−1/p)
6
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №6 13
6 2
(
σ1ep
|s|
)|s|/p
∑
|r|6N0
|ar|(σ1p)|r|/p
√
|r|
N0
+ 1
|s||r|(1−1/p)
(
1 +
|r|
|s|
)(|s|+|r|)(1−1/p)
e|r|(1−1/p)
6
6 2
(
σ1ep
|s|
)|s|/p
∑
|r|6N0
|ar|(σ1p)|r|/p
√
|r|
N0
+ 1
|s|N0(1−1/p)e|r|(|r|/N0+1)(1−1/p)
e|r|(1−1/p)
.
Отже,
S1 <
(
σ1ep
|s|
)|s|/p
|s|N0(1−1/p)D1, |s| > N0, (5)
де D1 = 2
√
2
∑
|r|6N0
|ar|(σ1p)|r|/p · e(|r|2/N0)(1−1/p).
Оцiнимо тепер другу суму S2 в нерiвностi (4), використовуючи нерiвностi (а), (б), а та-
кож лему 1:
S2 < 2
∑
|r|>N0
(
σ2eq
|r|
)|r|/q( σ1ep
|r| + |s|
)(|r|+|s|)/p (|s| + |r|)|s|+|r|
e|r||s||s|
√
|s| + |r|
|s| =
= 2
∑
|r|>N0
[(σ2q)
1/q(σ1p)1/p]|r|(σ1ep)|s|/pe|r|/qe|r|/p
|r||r|/q(|r| + |s|)(|r|+|s|)/p
(|s| + |r|)|s|+|r|
e|r||s||s|
√
|s| + |r|
|s| =
= 2
∑
|r|>N0
[(σ2q)
1/q(σ1p)1/p]|r|(σ1ep)|s|/pe|r|(1/p+1/q−1)(|s|+|r|)(|r|+|s|)(1−1/p)
|r||r|/q|s||s|
√
|s|+|r|
|s| =
= 2
(
σ1ep
|s|
)|s|/p
∑
|r|>N0
(
(σ2q)
1/q(σ1p)1/p
e1−1/p−1/q
)|r| |s||s|/p(|s| + |r|)(|r|+|s|)(1−1/p)
|r||r|/q|s||s|
√
|s| + |r|
|s| =
= 2
(
σ1ep
|s|
)|s|/p
∑
|r|>N0
(
(σ2q)
1/q(σ1p)1/p
(e/|r|)1−1/p−1/q
)|r| (|s| + |r|)(|r|+|s|)(1−1/p)
|r||r|(1−1/p)|s||s|(1−1/p)
√
|s| + |r|
|s| =
= 2
(
σ1ep
|s|
)|s|/p
∑
|r|>N0
(
(σ2q)
1/q(σ1p)1/p
(e/|r|)1−1/p−1/q
)|r|((|s| + |r|)(|r|+|s|)
|r||r||s||s|
)1−1/p
√
|s| + |r|
|s| .
Використавши тепер лему 2, одержимо
S2 < 2
(
σ1ep
|s|
)|s|/p
∑
|r|>N0
(
(σ2q)
1/q(σ1p)1/p
e1−1/p−1/q
)|r|
|r||r|(1−1/p−1/q)e(|r|+|s|)(1−1/p)
√
|s| + |r|
|s| 6
6 2e|s|(1−1/p)
(
σ1ep
|s|
)|s|/p
∑
|r|>N0
(
(σ2q)
1/q(σ1p)
1/p
e1−1/p−1/q
)|r|
|r||r|(1−1/p−1/q)e|r|(1−1/p)
√
N0+|r|
N0
.
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №6
Отже,
S2 < e|s|(1−1/p)
(
σ1ep
|s|
)|s|/p
D2, (6)
де
D2 = 2
∑
|r|>N0
(
(σ2q)
1/q(σ1p)1/p
e1−1/p−1/q
)|r|
|r||r|(1−1/p−1/q)e|r|(1−1/p)
√
N0 + |r|
N0
.
Перейдемо вiд n-кратного ряду до однократного, позначивши |r| = k. Оскiльки число
мультиiндексiв r ∈ Z
n
+, для яких |r| = k, де k ∈ N, дорiвнює Cn−1
n−1+k = (n−1+k)!/((n−1)!k!),
маємо
D2 = 2
∑
k>N0
[(σ2q)
1/q(σ1p)1/p]k
(
k
e
)k(1−1/p−1/q)
ek(1−1/p)Cn−1
n−1+k
√
k
N0
+ 1.
Оскiльки k > N0, то k > n − 1 i тому
Cn−1
n−1+k =
1
(n − 1)!
kn−1
n−1
∏
j=1
(
1 +
j
k
)
6
2n−1
(n − 1)!
kn−1.
Отже,
D2 6
2n
(n − 1)!
∑
k>N0
[(σ2q)
1/q(σ1p)1/p]k
(
k
e
)k(1−1/p−1/q)
ek(1−1/p)kn−1
√
k
N0
+ 1.
Розглянемо числовий ряд
∑
k>N0
[(σ2q)
1/q(σ1p)1/p]k
(
k
e
)k(1−1/p−1/q)
ek(1−1/p)kn−1
√
k
N0
+ 1. (7)
За ознакою Кошi числовий ряд (7) є збiжним, якщо 1/p + 1/q > 1.
Нерiвнiсть (4) з урахуванням (5) та (6) набуває вигляду
|cs| 6 S1 + S2 <
(
σ1ep
|s|
)|s|/p
(
D1|s|N0(1−1/p) + e|s|(1−1/p)D2
)
, |s| > N0. (8)
Нерiвнiсть (8) вiдповiдно до формули для ρ за коефiцiєнтами cs означає, що функцiя (3)
є цiлою функцiєю порядку нижче за p або порядку p, але скiнченного типу, причому не
вище за σ1. Теорему доведено.
Сформулюємо та доведемо аналогiчний результат, але з урахуванням лише порядкiв
цiлих функцiй без умови скiнченностi типiв.
Теорема 2. Нехай f(z) — цiла функцiя порядку не вище за p > 1, а L(λ) — цiла функцiя
порядку не вище за q, де 1/p + 1/q > 1. Тодi функцiя (3) є цiлою функцiєю порядку не вище
за p.
Доведення. Якщо f(z) та L(λ) — цiлi функцiї не вище вказаних порядкiв i скiнченних
типiв, то, очевидно, теорема 2 випливає з теореми 1. Якщо ж хоча б одна з цiлих функцiй
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №6 15
f(z) чи L(λ) має при порядках p та q нескiнченний тип, то за умови виконання нерiвностi
1/p + 1/q > 1 знайдуться ε1 > 0 та ε2 > 0 такi, що виконуватиметься нерiвнiсть 1/(p +
+ ε1) + 1/(q + ε2) > 1. Тодi iснують R > 0, k1 > 0 та k2 > 0 такi, що M1(r) < ek1rp+ε1
,
M2(r) < ek2rq+ε2
, r > R, де M1(r) = max
z∈Dr
|f(z)|, M2(r) = max
z∈Dr
|L(z)|. Тому коефiцiєнти ar
та br+s степеневих рядiв для функцiй f(z) та L(λ) мають аналогiчнi до (а) та (б) оцiнки.
Далi доведення проводиться подiбно до доведення теореми 1. Теорему доведено.
1. Гольдберг А.А. О формулах для определения порядка и типа целых функций многих переменных //
Докл. и сообщ. Ужгород. ун-та. Сер. физ.-мат. наук. – 1961. – № 4. – С. 101–103.
2. Еремин С.А. О целых функциях двух переменных // Укр. мат. журн. – 1957. – 9, № 1. – С. 30–43.
3. Маергойз Л.С. К вопросу о связях между различными определениями порядка и типа целых функций
многих комплексных переменных // Сиб. мат. журн. – 1966. – 7, № 6. – С. 1268–1292.
4. Темляков А.А. Целые функции комплексных переменных // Уч. зап. Моск. обл. пед. ин-та. – 1954. –
20. – С. 7–16.
5. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч. 2. Функции нескольких переменных. – Москва:
Наука, 1985. – 464 с.
6. Каленюк П. I., Нитребич З.М. Узагальнена схема вiдокремлення змiнних. Диференцiально-символь-
ний метод. – Львiв: Вид-во нац. ун-ту “Львiв. полiтехнiка”, 2002. – 292 с.
7. Леонтьев А.Ф. Обобщения рядов экспонент. – Москва: Наука, 1981. – 320 с.
Надiйшло до редакцiї 16.11.2006Нацiональний унiверситет
“Львiвська полiтехнiка”
УДК 512
© 2007
Ю.Г. Леонов
Об оценке снизу роста одной смешанной группы
автоморфизмов деревьев
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины Н.А. Перестюком)
The lower bound of the growth for one infinite group of automorphisms of a regular tree is given.
Рост конечно порожденных бесконечных групп является одной из важнейших характери-
стик, изучаемой в аналитической теории групп.
Напомним, что функция роста конечно порожденной группы G с системой порождаю-
щих S определяется соотношением
γ(n) = #{g ∈ G; lS(g) 6 n},
где lS(g) — длина элемента g относительно S.
Будем говорить, что функция f1(n) растет не быстрее, чем f2(n): f1(n) � f2(n), если най-
дется c > 0 такое, что f1(n) 6 f2(cn), для любых n ∈ N. Если f1(n) � f2(n) и f2(n) � f1(n),
то функции эквивалентны: f1(n) ∼ f2(n). Функции роста одной и той же конечно порож-
денной группы при различных конечных системах порождающих эквивалентны.
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №6
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1806 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:08:41Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Каленюк, П.І. Нитребич, З.М. 2008-09-02T17:38:17Z 2008-09-02T17:38:17Z 2007 Про дію диференціального виразу нескінченного порядку в класах цілих функцій багатьох комплексних змінних / П.І. Каленюк, З.М. Нитребич // Доп. НАН України. — 2007. — N 6. — С. 11–16. — Бібліогр.: 7 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1806 517.95+517.55 We investigate the action of the partial differential expression L(∂/∂z) of infinite order generally with constant coefficients, whose symbol is an entire function L(λ) of several complex variables, onto an entire function f(z), z О Cn. We specify the conditions on growth orders by the set of variables of the entire functions L(λ) and f(z) providing the expression's action to be correct. We clarify also the growth order of the result of the expression's action as an entire function by the set of variables. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Про дію диференціального виразу нескінченного порядку в класах цілих функцій багатьох комплексних змінних Article published earlier |
| spellingShingle | Про дію диференціального виразу нескінченного порядку в класах цілих функцій багатьох комплексних змінних Каленюк, П.І. Нитребич, З.М. Математика |
| title | Про дію диференціального виразу нескінченного порядку в класах цілих функцій багатьох комплексних змінних |
| title_full | Про дію диференціального виразу нескінченного порядку в класах цілих функцій багатьох комплексних змінних |
| title_fullStr | Про дію диференціального виразу нескінченного порядку в класах цілих функцій багатьох комплексних змінних |
| title_full_unstemmed | Про дію диференціального виразу нескінченного порядку в класах цілих функцій багатьох комплексних змінних |
| title_short | Про дію диференціального виразу нескінченного порядку в класах цілих функцій багатьох комплексних змінних |
| title_sort | про дію диференціального виразу нескінченного порядку в класах цілих функцій багатьох комплексних змінних |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1806 |
| work_keys_str_mv | AT kalenûkpí prodíûdiferencíalʹnogovirazuneskínčennogoporâdkuvklasahcílihfunkcíibagatʹohkompleksnihzmínnih AT nitrebičzm prodíûdiferencíalʹnogovirazuneskínčennogoporâdkuvklasahcílihfunkcíibagatʹohkompleksnihzmínnih |