Последовательные композиция и декомпозиция дескрипторных систем управления

Для анализа сложных линейных дескрипторных систем управления, описываемых соотношениями, не разрешенными относительно производной состояния, производится их разложение в ряд простых систем. В терминах инвариантных пар подпространств характеристического и возмущенного операторных пучков системы устан...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Проблемы управления и информатики
Дата:	2018
Автори:	Власенко, Л.А., Руткас, А.Г., Семенец, В.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2018
Теми:	Проблемы динамики управляемых систем
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180609
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Последовательные композиция и декомпозиция дескрипторных систем управления / Л.А. Власенко, А.Г. Руткас, В.В. Семенец // Проблемы управления и информатики. — 2018. — № 5. — С. 5-19. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-180609
record_format	dspace
spelling	Власенко, Л.А. Руткас, А.Г. Семенец, В.В. 2021-10-05T16:11:54Z 2021-10-05T16:11:54Z 2018 Последовательные композиция и декомпозиция дескрипторных систем управления / Л.А. Власенко, А.Г. Руткас, В.В. Семенец // Проблемы управления и информатики. — 2018. — № 5. — С. 5-19. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180609 517.9 Для анализа сложных линейных дескрипторных систем управления, описываемых соотношениями, не разрешенными относительно производной состояния, производится их разложение в ряд простых систем. В терминах инвариантных пар подпространств характеристического и возмущенного операторных пучков системы устанавливаются условия, позволяющие представить систему как последовательное соединение систем меньших размерностей. Результаты иллюстрируются на примерах дескрипторных систем, описывающих переходные режимы в радиотехнических фильтрах. Для аналізу складних лінійних дескрипторних систем керування, що описуються співвідношеннями, не розв’язаними відносно похідної стану, здійснюються їх розклади в низки простіших систем. У термінах інваріантних пар підпросторів характеристичного та збуреного операторних жмутків системи встановлюються умови, що дозволяють зобразити систему як послідовне з’єднання систем менших вимірностей. Результати ілюструються на прикладах дескрипторних систем, що описують перехідні режими у радіотехнічних фільтрах. To analyze complicated linear descriptor control systems, which are described by relations not solved with respect to the derivative of the state, their decompositions into chains of more simple systems is given. In terms of invariant pairs of subspaces of characteristic and perturbed operator pencils of the system, we establish the conditions to represent the system as a series connection of systems of smaller dimensions. The results are illustrated on examples of descriptor systems that describe transient modes in radiotechnical filters. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Проблемы динамики управляемых систем Последовательные композиция и декомпозиция дескрипторных систем управления Послідовні композиція та декомпозиція дескрипторних систем керування Sequential composition and decomposition of descriptor controlled systems Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Последовательные композиция и декомпозиция дескрипторных систем управления
spellingShingle	Последовательные композиция и декомпозиция дескрипторных систем управления Власенко, Л.А. Руткас, А.Г. Семенец, В.В. Проблемы динамики управляемых систем
title_short	Последовательные композиция и декомпозиция дескрипторных систем управления
title_full	Последовательные композиция и декомпозиция дескрипторных систем управления
title_fullStr	Последовательные композиция и декомпозиция дескрипторных систем управления
title_full_unstemmed	Последовательные композиция и декомпозиция дескрипторных систем управления
title_sort	последовательные композиция и декомпозиция дескрипторных систем управления
author	Власенко, Л.А. Руткас, А.Г. Семенец, В.В.
author_facet	Власенко, Л.А. Руткас, А.Г. Семенец, В.В.
topic	Проблемы динамики управляемых систем
topic_facet	Проблемы динамики управляемых систем
publishDate	2018
language	Russian
container_title	Проблемы управления и информатики
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format	Article
title_alt	Послідовні композиція та декомпозиція дескрипторних систем керування Sequential composition and decomposition of descriptor controlled systems
description	Для анализа сложных линейных дескрипторных систем управления, описываемых соотношениями, не разрешенными относительно производной состояния, производится их разложение в ряд простых систем. В терминах инвариантных пар подпространств характеристического и возмущенного операторных пучков системы устанавливаются условия, позволяющие представить систему как последовательное соединение систем меньших размерностей. Результаты иллюстрируются на примерах дескрипторных систем, описывающих переходные режимы в радиотехнических фильтрах. Для аналізу складних лінійних дескрипторних систем керування, що описуються співвідношеннями, не розв’язаними відносно похідної стану, здійснюються їх розклади в низки простіших систем. У термінах інваріантних пар підпросторів характеристичного та збуреного операторних жмутків системи встановлюються умови, що дозволяють зобразити систему як послідовне з’єднання систем менших вимірностей. Результати ілюструються на прикладах дескрипторних систем, що описують перехідні режими у радіотехнічних фільтрах. To analyze complicated linear descriptor control systems, which are described by relations not solved with respect to the derivative of the state, their decompositions into chains of more simple systems is given. In terms of invariant pairs of subspaces of characteristic and perturbed operator pencils of the system, we establish the conditions to represent the system as a series connection of systems of smaller dimensions. The results are illustrated on examples of descriptor systems that describe transient modes in radiotechnical filters.
issn	0572-2691
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180609
citation_txt	Последовательные композиция и декомпозиция дескрипторных систем управления / Л.А. Власенко, А.Г. Руткас, В.В. Семенец // Проблемы управления и информатики. — 2018. — № 5. — С. 5-19. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT vlasenkola posledovatelʹnyekompoziciâidekompoziciâdeskriptornyhsistemupravleniâ AT rutkasag posledovatelʹnyekompoziciâidekompoziciâdeskriptornyhsistemupravleniâ AT semenecvv posledovatelʹnyekompoziciâidekompoziciâdeskriptornyhsistemupravleniâ AT vlasenkola poslídovníkompozicíâtadekompozicíâdeskriptornihsistemkeruvannâ AT rutkasag poslídovníkompozicíâtadekompozicíâdeskriptornihsistemkeruvannâ AT semenecvv poslídovníkompozicíâtadekompozicíâdeskriptornihsistemkeruvannâ AT vlasenkola sequentialcompositionanddecompositionofdescriptorcontrolledsystems AT rutkasag sequentialcompositionanddecompositionofdescriptorcontrolledsystems AT semenecvv sequentialcompositionanddecompositionofdescriptorcontrolledsystems
first_indexed	2025-11-27T04:52:16Z
last_indexed	2025-11-27T04:52:16Z
_version_	1850800820883292160
fulltext	© Л.А. ВЛАСЕНКО, А.Г. РУТКАС, В.В. СЕМЕНЕЦ, 2018 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2018, № 5 5 ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ УДК 517.9 Л.А. Власенко, А.Г. Руткас, В.В. Семенец ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ КОМПОЗИЦИЯ И ДЕКОМПОЗИЦИЯ ДЕСКРИПТОРНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ Введение Линейные системы управления со входом (управлением) ),(tu состоянием ),(tx выходом )(tv и начальным состоянием 0x в классической монографии [1] опи- сываются соотношениями ,0),()()(),()( Tttdutcxtvtbutax dt dx  (1) .)0( 0xx  (2) В случае стационарной системы, когда матричные коэффициенты dcba ,,, не за- висят от времени, при переходе к амплитудам периодических колебаний или пре- образованиям Лапласа )(ˆ),(ˆ),(ˆ  vxu функций ),(),(),( tvtxtu удовлетворяющих (1) с нулевым начальным состоянием 00 x (2), получаем ).(ˆ])([)(ˆ),(ˆ)()(ˆ 11   ubaEcdvubaEx (3) При переходе к преобразованиям Лапласа функции дополняем нулем для .Tt  Здесь и в дальнейшем символ E обозначает единичную матрицу соответствую- щей размерности. Из выражений (3) видно, что система (1), (2) не имеет резонанса (особенности) на бесконечной частоте, амплитуда состояния )(ˆ x убывает до ну- ля при неограниченном возрастании комплексной частоты  . Последнее свойство может не выполняться в некоторых реальных системах, например в приведенных ниже примерах радиотехнических фильтров. Поэтому рассмотрим более общие уравнения для состояния x и выхода ,v не разрешенные относительно производ- ной состояния: ,0),()()( TttFutBxAx dt d  (4) ,0,)()( TtKuNxMx dt d tv  (5) где ,, mmBA R ,, mpNM R ,nmF R .npK R Множество вещественных nm -матриц обозначается .nm R Системы управления с уравнениями состояний 6 ISSN 0572-2691 вида (4) в теории управления называют дескрипторными [2, 3]. В теории диффе- ренциальных игр изучаются дескрипторные системы с двумя конфликтными управлениями [4]. Состояния дескрипторных систем управления также могут описываться дифференциальными уравнениями второго порядка, не разрешен- ными относительно старшей производной. Эти дескрипторные системы служат хорошими конечномерными аппроксимациями бесконечномерных систем управ- ления типа Соболева [5]. Соотношения (4), (5), (2) определяют систему ).,,,( 0 vxxu Уравнение (4) и систему  назовем регулярными, если их характеристический пучок матриц BA  является регулярным, т.е. 0)(det)(  BA (многочлен )( — не тождественный нуль), вырожденными, если 0det A (или матрица A необрати- ма), и явными, если .EA  Согласно введенной терминологии система (1), (2) яв- ляется явной с нулевой матрицей .0M В дальнейшем будем рассматривать только регулярные дескрипторные системы управления. При операторной трактовке системы  коэффициенты в (4), (5) будем понимать как линейные операторы ,:, YXBA  ,: YUF  ,:, VXNM  ,: VUK  действующие в вещественных конечномерных евклидовых про- странствах .,,, VUYX Тогда матричные коэффициенты интерпретируются как матрицы соответствующих операторов относительно определенных базисов [6]. Здесь ,dimdim mYX  ,dim nU  .dim pV  В частности, можно выбрать ,mYX R ,nU R .pV R Значения функций входов (управлений) )(tu при- надлежат пространству входов (управлений) ,U функций состояний )(tx — про- странству состояний ,X функций выходов )(tv — пространству выходов ,V функций ),(tFu ),(tAx )(tBx — пространству образов .Y Регулярность ха- рактеристического пучка операторов YXBA  :)( и, соответственно, де- скрипторной системы  эквивалентна тому, что найдется хотя бы одно веще- ственное число ,0 при котором существует обратный оператор :)( 1 0  BA ,XY  определенный на всем пространстве .Y В данной работе исследуются вопросы композиции и декомпозиции дескрип- торных систем управления. Рассматривается последовательное соединение двух и более систем управления в одну, а также последовательное разложение сложной системы управления в цепочку более простых. В отличие от предшествующих ра- бот, например [7], данные исследования относятся к системам управления самого общего вида — дескрипторным системам управления. Приводятся условия, кото- рые позволяют представить систему как последовательное соединение систем меньших размерностей. В последнем разделе статьи полученные результаты ил- люстрируются на примерах дескрипторных систем, описывающих переходные процессы в радиотехнических фильтрах. Построенная композиция имеет нагляд- ную физическую интерпретацию в виде классического каскадного соединения че- тырехполюсников. Обозначим )],,0[( XTCk класс вектор-функций ,],0[:)( XTtx  которые k раз непрерывно дифференцируемы при всех ];,0[ Tt  .0 CC  Для канони- ческого базиса евклидового m-мерного пространства mR используем обозна- чение .}{ 1 m kke   При рассмотрении операторов в пространствах типа mR мат- рицы операторов запишем относительно этих базисов. Обозначим {...}Lin линейную оболочку векторов, KKer — ядро оператора ,K Xdim — размер- ность пространства .X Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2018, № 5 7 1. Решение уравнения состояний (4) Опишем состояния системы , т.е. решения уравнения (4), которыми имену- ются такие функции ),],,0[()( XTCtx  что )],,0[()( 1 YTCtAx  и удовлетворяет- ся уравнение (4). В частном случае явной системы (1), (2) с непрерывным управ- лением )(tu и начальным условием (2) существует единственное решение ),(tx которое допускает представление в виде формулы Коши или формулы вариации постоянных. При этом вектор 0x в (2) может быть любым вектором из простран- ства состояний .X Для вырожденного уравнения (4) может не существовать ре- шений )(tx с определенными начальными данными [8], и возникает задача опи- сания множества допустимых начальных данных. Обычно решение вырожденного уравнения (4) ищется с помощью метода К. Вей- ерштрасса приведения регулярного пучка матриц BA  к канонической форме [8]. Этот метод трудно формализуется и не приводит к общей формуле решения )(tx типа формулы Коши. В связи с этим изложим иной функционально-анали- тический метод построения явных формул для решения и описания начального многообразия уравнения (4). Метод основывается на использовании двух пар проекционных матриц 21, PP и ,, 21 QQ которые отвечают спектральным проек- торам типа Рисса в пространстве состояний X и пространстве образов Y си- стемы [9]: .,)( 2 1 ,,)( 2 1 12 1 \|\| 1 12 1 \|\| 1 QEQdBAA i Q PEPAdBA i P             (6) Здесь  — радиус окружности в комплексной плоскости с центром в нуле, охватывающей весь конечный спектр пучка матриц BA  так, что для всех конечных собственных чисел k выполнено условие .k Практическое интегрирование по комплексной переменной  ie (  20 ) осуществля- ется отдельно для каждого элемента матриц ABA 1)(  и 1)(  BAA с использо- ванием теоремы о вычетах. Матрицы kk QP , вещественны, если вещественны матрицы ., BA Определим матрицы [10] ,,, 1 1 2 1 2121 BQGSAQGHBQAQBPAPG   (7) с помощью которых удобно записывается явная формула для решения )(tx начальной задачи (4), (2). Матрица H является нильпотентной с индексом ниль- потентности . Число  совпадает с индексом ),(ind BAr  пучка матриц ,BA когда .0det A Если 0det A ),( 1A то .0r Для определения ин- декса пучка матриц также используют степенную оценку резольвенты 1)(  BA в окрестности бесконечно удаленной точки  ,dim0,)( 1 0 1 XmkCBA k   (8) 8 ISSN 0572-2691 которая следует из формулы обращения mm -матрицы. В (8) используется опе- раторная норма, которая является корректной после комплексификации про- странств YX , и перехода к комплексным расширениям операторов BA, [6]. Ин- декс ),(ind BAr  пучка матриц BA  есть минимальное из целых чисел ,k допускающих оценку (8). В теореме устанавливаются условия согласования начального состояния 0x дескрипторной системы и управления )(tu , которые обеспечивают однозначную разрешимость начальной задачи (4), (2). Также указывается явная формула, которая описывает соответствующее состояние системы — решение задачи Коши (4), (2). Теорема 1 [10]. Пусть BA  — регулярный пучок mm -матриц с индек- сом ,r компонента )(1 tFuQ правой части уравнения (4) непрерывна на ],,0[ T а для компоненты )(2 tFuQ выполнены условия гладкости ,1...,,1,0),],,0([)(2 1  kXTCtFuQGH kk (9) и условия согласования с начальным вектором )].0([)1( 2 1 1 0 02 FuQGH dt d xP k k k k k      (10) Тогда задача Коши (4), (2) имеет единственное решение, которое допускает пред- ставление )].([)1()()( 2 1 1 0 1 1)( 0 01 tFuQGH dt d dFuQGexPetx k k k k k tS t St       (11) Положим ,00 E где 0 — квадратная нулевая матрица соответствующей размерности. Замечание 1. Если система не вырождена (существует обратная матрица ),1A тогда проекторы (6) и матрицы (7) принимают вид ,11 EQP  ,022 QP ,AG  ;1BAS  условие согласования (10) выполнено для любого начального вектора ,0 Xx  в правой части формулы (11) третье слагаемое равно нулю и ра- венство (11) есть формула Коши для решения уравнения ).()()(' 1 tFuAtSxtx  Если пучок BA не имеет конечных собственных чисел, т.е.  )(det BA 0const  (см. разд. 4), то ,01 P ,01 Q ,2 EP  ,2 EQ  ,BG  ,1ABH  0S и третье слагаемое в правой части формулы (11) дает единственное ре- шение )(tx уравнения (4) с единственным допустимым начальным вектором ,020 xPx  который определяется по формуле (10). Замечание 2. Пусть в условиях теоремы 1 управление непрерывно и в усло- виях (9) требования гладкости повышены на единицу: .1...,,1,0),],,0([)(),],,0([)( 1 2 1   kXTCtFuQGHUTCtu kk (12) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2018, № 5 9 Тогда состояние )(tx (11) является непрерывно дифференцируемым, а выход )(tv (5) — непрерывным. Вместо серии условий (12) иногда на практике удобнее проверять одно более сильное условие ).],,0([)(2 YTCtFuQ  Как и в [11], для амплитуд периодических колебаний )(ˆ),(ˆ),(ˆ  vxu с ком- плексной частотой  , т.е. преобразований Лапласа функций ),(),(),( tvtxtu вве- дем частотные матрицы-функции )( и )(w или отображения входа на состоя- ние и входа на выход: ).(ˆ)()(ˆ),(ˆ)()(ˆ  uwvux Для явной системы (1) вследствие (3) получаем .)()(,)()( 11 baEcdwbaE   Для дескрипторной системы  (4), (5) с нулевым начальным состоянием 00 x (2) имеем ),(ˆ]))(([)(ˆ),(ˆ)()(ˆ 11   uFBANMKvuFBAx если  не является собственным числом характеристического пучка системы, т.е. существует резольвента .)( 1 BA Следовательно, для дескрипторной сис- темы  определим частотные матрицы-функции )(),(  w как ).()())(()( ,)()( 1 1     NMKFBANMKw FBA (13) Здесь )(w — передаточная матрица-функция дескрипторной системы. При опе- раторной трактовке системы  вводим в рассмотрение частотные оператор- функции )(),(  w в комплексных оболочках исходных пространств и заменяем исходные операторы на их комплексные расширения. 2. Последовательная композиция дескрипторных систем Принцип последовательной композиции (последовательного соединения) двух систем управления ),,,,( 0 jjjjjj vxxu ,2,1j в одну систему управ- ления 210 ),,,(  vxxu состоит в том, что выход 1v первой системы отож- дествляется со входом 2u второй; вход u результирующей системы  совпадает с входом 1u системы ;1 выход v системы  — с выходом 2v системы 2 [1]. Пусть системы j описываются соотношениями .)0(,0,)()( ),()()( 0jjjjjjjjj jjjjjj xxTtuKxNxM dt d tv tuFtxBxA dt d   (14) Вещественные евклидовы пространства входов, состояний, образов и выходов си- стемы j обозначаются как ,jU ,jX jY и .jV Относительно пространств вхо- дов и выходов рассматриваемых систем предполагаем, что .,, 2121 VVUUUV  (15) 10 ISSN 0572-2691 Система  имеет пространства входов 1UU  и выходов .2VV  Относи- тельно пространства состояний X и пространства образов Y системы  предполагаем, что они являются прямыми суммами соответствующих про- странств систем :, 21  ., 2121 YYYXXX   (16) На рис. 1 изображен принцип последовательной композиции .21  u U v V x x0 x1 x2  u  u1 U1 U v1  u2 V1 U2 v2  u V2  V 1  2  x10 x20 Рис. 1 Полученную последовательную композицию  опишем в операторной фор- ме (4), (5), (2) в предположении, что ).()(),()( ),()()(,),()( 122 21201001 tvtutvtv txtxtxxxxtutu   (17) Если в соотношениях (14) учесть равенства (17), то получим ),()()( 111̀11 tuFtxBxA dt d  (18) ),()()()( 122211222112 tuKFtxBtxNFxAxMF dt d  (19) ).()()()()( 122211222112 tuKKtxNtxNKxMxMK dt d tv  (20) Введем в рассмотрение операторы ,:, YXBA  ,: YUF  VXNM :, и ,: VUK  которые представим в блочной форме согласно прямым разложениям пространств YX , (16) и равенствам (15) для пространств :, VU .],[,][ ,, 0 , 0 12212212 12 1 212 1 212 1 KKKNNKNMMKM KF F F BNF B B AMF A A                               (21) Теперь уравнения (18), (19) записываются в виде (4), а выход (20) — в виде (5). Систему управления  (4), (5), (2) с пространствами состояний X и обра- зов Y (16), с пространствами входов U и выходов V (15), с блочными оператор- ными коэффициентами (21), соответствующими прямым суммам (16), с начальным вектором ,0x входом )(tu и выходом )(tv в (17) будем называть последователь- ным соединением или последовательной композицией 21  систем 21, (14). Подпространства 22, YX образуют инвариантную пару подпространств от- носительно пучка операторов ,BA  так как справедливы включения ., 2222 YBXYAX  (22) При последовательной композиции дескрипторных систем управления 21  резольвента характеристического пучка системы  выражается че- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2018, № 5 11 рез резольвенты характеристических пучков систем j для всех несобственных чисел  этих пучков: . )())(()( 0)( )( 1 22 1 11112 1 22 1 111               BABANMFBA BA BA Отсюда получим оценки резольвенты и индекса ),(ind BAr  характеристическо- го пучка системы , используя индексы ),(ind jjj BAr  характеристических пуч- ков систем :j .),1()( 21 1 0 1 21 rrrCBA rr   Амплитуды периодических колебаний систем 21,,  связаны равенствами ).(ˆ)(ˆ)(ˆ),(ˆ)(ˆ),(ˆ)(ˆ),(ˆ)(ˆ 212121  xxxvvvuuu Поэтому, как для открытых систем в [11], частотные оператор-функции )(),(  w системы  допускают представления посредством частотных оператор-функ- ций )(),( 11  w и )(),( 22  w систем 1 и :2 ).()()(, )()( )( )( 12 12 1             www w (23) Здесь оператор-функция 21:)( XXU   записана в блочной форме согласно прямому разложению. При последовательной композиции 21  переда- точная оператор-функция )(w допускает мультипликативное представление через передаточные оператор-функции )(),( 21  ww (согласно терминологии в [12]). 3. Последовательная декомпозиция дескрипторных систем Рассмотрим задачу, обратную композиции. Система  (4), (5), (2) с простран- ством состояний X и образов Y допускает последовательную декомпозицию, если существуют подсистемы 21, (14) с пространствами состояний 21, XX и обра- зов 21, YY меньшей размерности, чем X и ,Y такие, что имеет место последова- тельная композиция .21  Теорема 2. Пусть в дескрипторной регулярной системе  (4), (5), (2) опера- тор VUK : имеет обратный .:1 UVK  Система  допускает декомпози- цию 21  на регулярные подсистемы j (14) с ,dimdim 11 VU  если и только если существуют прямые разложения вида (16) , такие, что 2dim X ,dim 2Y подпространства 22, YX являются инвариантной парой относитель- но характеристического пучка BA системы  в смысле (22), а подпро- странства 11, YX — инвариантной парой относительно возмущенного пучка )()( 11 NFKBMFKA   : .)(,)( 11 1 11 1 YXNFKBYXMFKA   (24) 12 ISSN 0572-2691 Доказательство. Заметим, что в силу существования обратного операто- ра ,1K определенного на всем ,V размерности пространств VU , совпадают: .dimdim VU  Докажем необходимость. Пусть система  (4), (5), (2) допускает декомпози- цию .21  Тогда существуют прямые разложения (16), согласно которым операторные коэффициенты ,:, YXBA  ,: YUF  ,:, VXNM  VUK : имеют блочную структуру (21), причем выполнены соотношения (22), т.е. под- пространства 22, YX являются инвариантной парой относительно характеристи- ческого пучка BA системы  . При этом в силу регулярности системы 2 имеем равенство размерностей .dimdim 22 YX  Так как оператор K обратим, из его представления в (21) следует, что }.0{Ker 1 K В силу 11 dimdim VU  обратимым является оператор ,1K отсюда .12 1 1 1   KKK В частности, получаем, что .dimdim 22 VU  Для того чтобы за- вершить доказательство необходимости, покажем, что справедливы включения (24). Согласно прямым разложениям (16) введем две пары взаимно дополнительных проекторов 21,  в пространстве X и 21,  — в пространстве :Y .,0,,0 ;2,1,:,: 21212121 YX jjjj EE jYYXX   (25) С помощью этих проекторов из блочной структуры (21) получаем . , 1 1 21 1 2 1 12112212 1 1 21 1 2 1 12112212     NFKNKFKNFB MFKMKFKMFA Следовательно, .0)(,0)( 1 1 21 1 2   NFKBMFKA (26) Поэтому соотношения (24) выполняются и возмущенный операторный пучок )()( 11 NFKBMFKA   имеет инвариантную пару подпространств ., 11 YX Необходимость доказана. Докажем достаточность. Пусть теперь условия теоремы 2 выполняются для системы  (5), (4), (2). В искомой декомпозиции 21  системы 21, с пространствами состояний 21, XX и образов ,, 21 YY удовлетворяющими прямым разложениям (16), строятся следующим образом. Выберем .,,, 211221 EKKKUUVVUV  Принимая во внимание проекторы (25), положим Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2018, № 5 13 .:,: ,:,: ,:,: ,:,: ,:,: 22221111 22221111 22 1 221111 2222211111 2222211111 VXNNVXNN VXMMVXMM YUFKFYUFF YXBBYXBB YXAAYXAA       Таким образом, операторы систем 21, определены. Покажем справедливость блочных представлений (21) операторов ,,, FBA KNM ,, исходной системы  посредством операторов построенных систем ., 21  Вследствие инвариантности (22) верхние угловые блоки операторов BA, равны ну- лю: ,021  A .021 B Если записать инвариантность (24) в виде (26), то для нижних угловых блоков операторов BA, получим   1 1 212 MKFA ,12MF .121 1 212 NFNFKB   Остальные представления блоков операторов в (21) очевидны. Начальные векторы, входы и выходы систем 21, удо- влетворяют (17). Состояние )(tx результирующей системы  по построению есть сумма в (17) состояний )(),( 21 txtx систем ., 21  Следовательно, 21  и декомпозиция системы  осуществлена. Теорема доказана. 4. Иллюстрация декомпозиции на примере радиотехнической системы Проиллюстрируем полученные результаты на примере системы, которая воз- никает при описании переходных режимов радиотехнического четырехполюсного фильтра, изображенного на рис. 2. u3 C g u1 u2 r2 r1 I I e e L1 I1 I1 I2 I2 L2 I3 Рис. 2 Токи и напряжения удовлетворяют уравнениям Кирхгофа: .,,,, 32331321 IIIuueeuuIIIII   (27) В фильтре на рис. 2 колебания составляющих двухполюсников описываются уравнениями .2,1,)(,)( 333  juCu dt d IIrIL dt d u jjjjj g (28) С фильтром связываем систему управления ),,,( 0 vxxu в виде (4), (5), (2). Опишем эту систему. Управление (вход) ,u выход ,v состояние x — векторы 14 ISSN 0572-2691 .,, 3 2 1                                  u I I x I e v I e u (29) Компоненты состояния x являются энергетическими характеристиками инерци- онных элементов цепи — индуктивностей 21, LL и емкости .C В качестве про- странств состояний ,X образов ,Y входов ,U выходов V выбираем ., 23 RR  VUYX (30) С помощью равенств (28) исключаем неэнергетические переменные 321 ,, Iuu из уравнений Кирхгофа (27): .)(,)(, 311113231   euIrIL dt d IuICu dt d II g (31) .)(,)( 3322112211 uCu dt d IIIrIrILIL dt d ee g  (32) Матричные коэффициенты системы  вводим в соотношения (4), (5): . 10 01 , 00 0 , 00 0 , 01 10 10 , 10 10 001 , 00 00 000 2121 11                                                                          K rr N C LL M F r B L CA g g (33) Этим матрицам соответствуют операторы ,:, YXBA  ,: YUF  ,:, VXNM  VUK : в пространствах VUYX ,,, (30). Учитывая обозначения (29), уравне- ния (31) записываются как векторное уравнение (4), а выходы (32) — как вектор- ный выход (5). Начальный вектор 0x (2) определяется заданными начальными значениями токов )0(),0( 21 II и напряжения ).0(3u Таким образом, описана си- стема управления  , соответствующая фильтру на рис. 2. Очевидно, что  — де- скрипторная вырожденная регулярная система. Осуществим декомпозицию системы  на подсистемы меньших размерно- стей с помощью теоремы 2. Проверим выполнение условий этой теоремы. Так как ,1)(det  BA система  является регулярной. Матрица K обратима. Структура матриц BA, (33) предполагает прямые разложения (16), которые в этом случае являются ортогональными: },,{Lin},{Lin , 3222111 2121 3 eeYXeYX YYXXYX    R (34) где            0 0 1 1e  ,            0 1 0 2e  ,            1 0 0 3e  — векторы канонического базиса пространства .3 R Двухмерное подпространство 22 YX  инвариантно относительно характеристиче- ского пучка матриц BA системы, т.е. выполняется соотношение (22) теоремы. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2018, № 5 15 Проекторы (25), соответствующие разложениям (34), записываем в виде диагональ- ных матриц },0,0,1{diag11  }.1,1,0{diag22  Осуществляя непосред- ственные вычисления, убеждаемся в справедливости равенств (26). Следовательно, возмущенный матричный пучок системы )()( 11 NFKBMFKA   имеет ин- вариантное подпространство ,11 YX  что означает справедливость включений (24). Таким образом, условия теоремы 2 для системы , описывающей переходные режимы фильтра на рис. 2, выполнены. Поэтому существуют подсистемы ,, 21  структура которых указана в доказательстве теоремы, такие, что имеет место деком- позиция .21  Опишем системы 21, (14). Система 1 имеет одномер- ные пространства состояний и образов 11 YX  (34), а система 2 — двухмерные пространства состояний и образов 22 YX  (34). Двухмерные пространства вхо- дов и выходов этих систем совпадают: .22211 R VUVUVU В канони- ческих базисах выпишем матричные коэффициенты, которым соответствуют опера- торы систем j (14) в пространствах ,jj YX  ,UU j  :VV j  . 0 , 0 0 , 01 10 , 10 1 , 00 0 , 10 01 , 0 , 0 ),10(,1,0 2 2 2 2222 21 1 1 1 1111                                                                             g 0g r N C L MFB C A KK r N L MFBA (35) Система управления ,2 в свою очередь, также допускает декомпозицию со- гласно теореме 2. Действительно, справедливы ортогональные разложения: }.{Lin},{Lin, 22222321212221222122 eYXeYXYYXXYX   Характеристический пучок операторов 2222 : YXBA  обладает одномерным инвариантным подпространством :22X ,22222 XXA  .22222 XXB  Возмущен- ный пучок операторов 22222222 :)()( YXNFBMFA  — одномерным ин- вариантным подпространством :21X ,)( 2121222 XXMFA   21222 )( XNFB .21X Следовательно, условия теоремы 2 выполнены для системы 2 и система допускает декомпозицию .22212  Матричные коэффициенты (в канони- ческих базисах), которым соответствуют операторы систем j2 в пространствах ,22 jj YX  ,2 UU j  ,2 VV j  имеют следующий вид: .,),10(,1,0 , 10 01 , 0 , 0 ),01(,1,0 2 22 2 22222222 22212121212121                                                00 g r N L MFBA KKN C MFBA (36) В результате исходная трехмерная система управления  (4), (5), (2) с мат- ричными коэффициентами (33) допускает декомпозицию в цепочку трех одно- мерных систем 22211  (37) с состояниями ,)()( 111 etItx   ,)()( 3321 etutx   .)()( 223 etItx   Как и система  , системы 22211 ,,  являются вырожденными. 16 ISSN 0572-2691 Нетрудно видеть, что полученные системы 22211 ,,  описывают три четы- рехполюсника, изображенные в соответствующем порядке на рис. 3. Эти четырех- полюсники содержат лишь по одному инерционному элементу 21 ,, LCL соответ- ственно. Их каскадное соединение, согласно терминологии из теории цепей [12, 13], дает исходный четырехполюсник, изображенный на рис. 2. При этом ,1   ee ,1   II ,121   ee ,121   II ,2122   ee ,2122   II ,22   ee .22   II u3 C g u1 u2 r2 r1  1I  1e L1 I1 I3  1I  21I  21I  22I L2 I2  22I  1e  21e  21e  22e  22e Рис. 3 Замечание 3. Если заранее неизвестна структура цепи на рис. 2, а известно лишь описание ее переходных режимов в виде системы управления (4), (5), то восстановить структуру можно, воспользовавшись описанной выше декомпози- цией (37). Действительно, каждая из систем 22211 ,,  с одномерным про- странством состояний легко восстанавливается в виде соответствующего четы- рехполюсника на рис. 3. При последовательной композиции 21  для частотных отображений справедливы свойства (23). Система  — композиция (37) из трех систем, по- этому свойства (23) принимают вид },{Lin}{Lin}{Lin: )()()( )()( )( )( 231 2 12122 121 1 eee ww w                 R (38) ,:)()()()( 22 12122 RR  wwww (39) где )(),(),(),(),(),(),(),( 2222212111  wwww — в соответствующем порядке частотные оператор-функции систем .,,, 22211  Учитывая опреде- ление частотных матриц-функций (13) и выражения (35), (36) для матричных ко- эффициентов систем ,,, 22211  получим . 10 )(1 )(),10()(, 1)( 1 )( ),01()(, 10 )(1 )(),10()( 22 222221 21 11 11                                rL w C w rL w g 0 Передаточная матрица-функция )(w системы  — произведение (39) переда- точных матриц-функций систем :,, 12122  , )()( )()()())((1 )( 221122            pC prLrLCrL w g -g (40) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2018, № 5 17 где )(p обозначается выражение ).)((1)( 11 rLCp  g Учитывая блочную структуру оператора )( (38), определим его матрицу в ка- нонических базисах с помощью частотных матриц-функций систем :,, 22211  . )(1 )()( 10 )( 11               rL pC g (41) Для характеристического пучка матриц BA системы , где BA, определены в (33), при всех комплексных решениях  существует резольвента . 10)( )(11)( 001 )( 11 1                rL CpBA g С помощью резольвенты вычисляются частотные матрицы-функции )( и )(w (13), и в результате опять получаем выражения (41) и (40). При заданных входных напряжении )(te и токе )(tI  при условии их со- гласования в начальный момент времени с заданными начальными значениями токов )0(),0( 21 II и напряжения ),0(3u применяя теорему 1, опишем состояния системы , т.е. энергетические переменные ),(),(),( 321 tutItI по формуле (11). Остальные токи и напряжения цепи на рис. 2 вычисляются непосредственно по формулам (28). Так как матричный пучок BA обратим при всех комплексных , то про- екционные матрицы 11, QP в (6) нулевые, соответственно, EQP  22 единич- ные. По формулам (7) находим . 00 0 000 ,0, 10 1 001 , 1 1 1 1 1                             L CLHS r rGBG g-gg Индекс нильпотентности матрицы H равен 3 ,0( 2 H ),03 H следо- вательно, .)]([)1()( 2 0 1    k k k k k tFuGH dt d tx Находим компоненты состояния :)(tx . )()( )( )( )()1()()()( , )( )()()()(),()()( 2 2 111122 113311 dt tId CL dt tdI CrL dt tde CtIrtetItx dt tdI LtIrtetutxtItItx       ggg Из этих формул следует необходимое требование гладкости управления :)(tu вход- ное напряжение )(te должно быть непрерывно дифференцируемым, входной ток )(tI  — дважды непрерывно дифференцируемым. При заданном управлении )(tu состояние системы )(tx определяется однозначно, и ему соответствуют един- 18 ISSN 0572-2691 ственные допустимые начальные значения токов )0(),0( 21 II и напряжения )0(3u (см. формулу (10) ограничения на начальный вектор ,0x в которой ).22 EQP  Электрическая цепь на рис. 2 относится к классу четырехполюсных радиотехни- ческих фильтров с сосредоточенными параметрами, которые трактуются как схемы замещения волноводов. При этой трактовке результаты о композиции, декомпозиции и эволюции четырехполюсников могут быть использованы для оценки некоторых ха- рактеристик электромагнитного поля на отдельных участках сложных волноводных устройств. В частности, на практике такие оценки удобно учитывать при разработке средств защиты рабочего персонала от вредных электромагнитных излучений, созда- ваемых несколькими приборами внутри закрытого помещения. Информация о дета- лях и волноводной модели этой задачи изложена в работе [14]. Заключение Исследованы колебания, частотные характеристики и декомпозиция дескрип- торных систем с иллюстрацией в радиотехнике. Для линейных дескрипторных систем управления описаны допустимые началь- ные состояния и управления, эволюция состояния и выхода, исследована декомпози- ция на системы меньших размерностей. Рассмотрены приложения в радиотехнике. Л.А. Власенко, А.Г. Руткас, В.В. Семенець ПОСЛІДОВНІ КОМПОЗИЦІЯ ТА ДЕКОМПОЗИЦІЯ ДЕСКРИПТОРНИХ СИСТЕМ КЕРУВАННЯ Для аналізу складних лінійних дескрипторних систем керування, що описують- ся співвідношеннями, не розв’язаними відносно похідної стану, здійснюються їх розклади в низки простіших систем. У термінах інваріантних пар підпросто- рів характеристичного та збуреного операторних жмутків системи встановлю- ються умови, що дозволяють зобразити систему як послідовне з’єднання сис- тем менших вимірностей. Результати ілюструються на прикладах дескриптор- них систем, що описують перехідні режими у радіотехнічних фільтрах. L.A. Vlasenko, A.G. Rutkas, V.V. Semenets SEQUENTIAL COMPOSITION AND DECOMPOSITION OF DESCRIPTOR CONTROLLED SYSTEMS To analyze complicated linear descriptor control systems, which are described by re- lations not solved with respect to the derivative of the state, their decompositions into chains of more simple systems is given. In terms of invariant pairs of subspaces of characteristic and perturbed operator pencils of the system, we establish the condi- tions to represent the system as a series connection of systems of smaller dimensions. The results are illustrated on examples of descriptor systems that describe transient modes in radiotechnical filters. 1. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. — М. : Мир, 1971. — 400 с. 2. Bender D.J., Laub A. The linear-quadratic optimal regulator for descriptor systems // IEEE Trans- actions on Automatic Control. — 1987. — AC-32, N 8. — P. 672–688. 3. Duan G.R. Analysis and design of descriptor linear systems. — New York, Dordrecht, Heidel- berg, London : Springer, 2010. — 494 p. 4. Vlasenko L.A., Rutkas A.G., Chikrii A.A. On a differential game in an abstract parabolic system // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. — 2016. — 293 (Suppl. 1). — P. 254–269. 5. Vlasenko L.A., Rutkas A.G. Optimal control of undamped Sobolev-type retarded systems // Math- ematical Notes. — 2017. — 102, N 3. — P. 297–309. 6. Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ. — М. : Наука, 1969. — 476 с. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2018, № 5 19 7. Anderson J., Teixeira A., Sandberg H., Papachristodoulou A. Dynamical system decomposition using dissipation inequalities // Proc. of the 50th IEEE Conference on Decision and Control and Eu- ropean Control Conference. — 2011. — Orlando, FL, ISSSN 0743-1546. — P. 211–216. 8. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М. : Наука, 1966. — 576 с. 9. Руткас А.Г. Задача Коши для уравнения )()()( tftBxtxA  // Дифференц. уравнения. — 1975. — 11, N 11. — C. 1996–2010. 10. Власенко Л.А. Эволюционные модели с неявными и вырожденными дифференциальными уравнениями. — Днепропетровск : Системные технологии, 2006. — 273 с. 11. Livshits M.S. Operators, oscillations, waves (open systems). — American Mathematical Society : Providence, R.I., 1973. — 274 p. 12. Ефимов А.В., Потапов В.П. J-растягивающие матрицы-функции и их роль в аналитической теории электрических цепей // Успехи математических наук. — 1973. — 28, выпуск 1 (169). — С. 65–130. 13. Гиллемин Е.А. Синтез пассивных цепей. — М. : Связь, 1970. — 720 с. 14. Semenets V.V., Stytcenko T.E. Analysis of electromagnetic environment and modeling of spurious radiation sources // Telecommunications and Radio Engineering. — 2016. — 75, N 15. — P. 1385–1396. Получено 18.06.2018 Статья представлена к публикации членом редколлегии акад. НАН Украины Чикрием А.А.

Последовательные композиция и декомпозиция дескрипторных систем управления

Репозитарії

Схожі ресурси