Идентификация и интерпретация степенных распределений по спектральным данным дистанционного зондирования
Разработаны методы и алгоритмы обработки гиперспектральных данных. Для описания структурных особенностей спектров отражения проведен синтез непрерывно-групповой масштабно-инвариантной модели на основе степенного закона распределения. Приведены примеры решения задач поиска нефти и газа по спектрам от...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Datum: | 2018 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2018
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180629 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Идентификация и интерпретация степенных распределений по спектральным данным дистанционного зондирования / М.В. Артюшенко // Проблемы управления и информатики. — 2018. — № 6. — С. 65-80. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859728340645052416 |
|---|---|
| author | Артюшенко, М.В. |
| author_facet | Артюшенко, М.В. |
| citation_txt | Идентификация и интерпретация степенных распределений по спектральным данным дистанционного зондирования / М.В. Артюшенко // Проблемы управления и информатики. — 2018. — № 6. — С. 65-80. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Разработаны методы и алгоритмы обработки гиперспектральных данных. Для описания структурных особенностей спектров отражения проведен синтез непрерывно-групповой масштабно-инвариантной модели на основе степенного закона распределения. Приведены примеры решения задач поиска нефти и газа по спектрам отражения растительного покрова
Розроблено методи та алгоритми оброблення гіперспектральних даних. Для опису структурних особливостей спектрів відбиття проведено синтез неперервно-групової масштабно-інваріантної моделі на основі степеневого закону розподілу. Наведено приклади розв’язання задач пошуку нафти і газу за спектрами відбиття рослинного покриву.
Methods and algorithms for hyperspectral data processing are developed. The synthesis of continuous-group scale-free and power-law distributions models was carried out to describe the structural features of the reflection spectrum. Examples of solving problems of oil and gas exploration by the reflection spectrum of the vegetation cover.
|
| first_indexed | 2025-12-01T12:11:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
© М.В. АРТЮШЕНКО, 2018
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2018, № 6 65
УДК 528.88:519.2:530.1
М.В. Артюшенко
ИДЕНТИФИКАЦИЯ И ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
СТЕПЕННЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
ПО СПЕКТРАЛЬНЫМ ДАННЫМ
ДИСТАНЦИОННОГО ЗОНДИРОВАНИЯ
Введение
Одно из наиболее перспективных направлений дистанционных аэрокосмиче-
ских исследований Земли основано на применении гиперспектральной съемки
земной поверхности в сотнях смежных спектральных поддиапазонах электромаг-
нитных волн. Гиперспектральное зондирование характеризуется большим объе-
мом данных и позволяет анализировать пространственно-спектральную структуру
геофизического поля подстилающей поверхности: ),,( l= yxfU , где l — длина
волны, ),( yx — координаты точки поверхности, U — функция поля, выраженная
как спектральная энергетическая яркость. Эффективное использование данных
гиперспектрального дистанционного зондирования в интересах развития наук о Земле
и рационального поиска полезных ископаемых во многом зависит от совер-
шенствования методов обработки и интерпретации пространственно-
спектральной информации.
Для получения высокоточных спектральных характеристик объектов, наряду
с гиперспектральной аппаратурой аэрокосмического базирования, развивается оп-
тико-электронная аппаратура спектрального зондирования для низколетящих
беспилотных летательных аппаратов и наземной (полевой) дистанционной съем-
ки. Данные такого вида съемки также могут быть представлены в терминах спек-
тральных полей. Интерпретация полученной информации может применяться для
определения на небольших площадях, перспективных для разработки участков
залежей углеводородов, а также для верификации новых перспективных методов
обработки и интерпретации пространственно-спектральной информации с гипер-
спектральных сенсоров космических аппаратов.
На примерах обосновывается и излагается методика статистического анализа
спектральных структур геофизических полей, основанная на современных мето-
дах идентификации степенных распределений [1] и гипотезе самоорганизованной
критичности [2], согласно которой системы с большим количеством взаимодей-
ствующих элементов естественным образом эволюционируют к критическому со-
стоянию. Динамика систем, находящихся в состоянии самоорганизованной кри-
тичности, характеризуется степенными распределениями, которые формируют
фрактальные структуры [2–6]. Применение рассмотренных в статье методов
идентификации, а также построение моделей степенных распределений и стати-
стических фракталов для описания спектральных геофизических полей, наблюда-
емых дистанционными методами, остаются еще мало изученными. Принято счи-
тать, что статистические модели, которые оперируют только статистическими и
вероятностными закономерностями, не могут воспроизводить конкретный исход
и детали протекания геофизических процессов. Такие модели обычно рассматри-
ваются как язык описания процесса на статистическом уровне, что значительно
ограничивает их применение для детальных предсказаний и прогноза [2]. Однако
в случае, когда удается обнаружить и связать закономерности изменений стати-
стических параметров моделей с факторами, воздействующими на процессы в
среде геофизического поля, оказывается возможным получить важные количе-
ственные результаты. В этом случае можно определить тренд развития процесса [4]
или, как показано далее в статье, расположение залежей углеводородов по значе-
66 ISSN 0572-2691
ниям степенных параметров распределения спектральных яркостей, которые
являются кратными инвариантами масштабных (скейлинговых) преобразований.
Для детального анализа масштабно-инвариантных распределений предложена
непрерывно-групповая модель формирования степенных распределений как ин-
вариантов масштабных преобразований. В модели использованы основные поло-
жения теории групп Ли [7, 8].
Изложение методов предваряет краткое описание наиболее известных моде-
лей и примеров геофизических процессов, статистика которых отвечает степен-
ному закону распределения, а нелинейная динамика процессов объясняется с точ-
ки зрения модели самоорганизованной критичности. В заключение этот подход к
анализу и идентификации степенных распределений проиллюстрирован приме-
ром обработки реальных пространственно-спектральных данных гомогенного
растительного покрова, который произрастает на месторождении природного га-
за; устанавливаются масштабно-инвариантные свойства распределений спектров
отражений. Формирование индикаторного признака для определения простран-
ственной границы залежи природного газа проводится по значениям степенных
показателей распределений спектральных яркостей, которые являются кратными
инвариантами масштабных преобразований.
1. Степенные распределения в структурах
геофизических полей и геосистем
1.1. Особенности степенных распределений. Пространственное размеще-
ние физической величины на геометрическом носителе может быть представлено
в терминах стационарного скалярного поля
,),( VfU Í= PP (1)
где P — точка, V — область некоторого пространства, U — значения физической
величины в точках области V. Статистический анализ характеристик геофизиче-
ских процессов часто демонстрирует большую вариабельность значений величин,
размах изменений которых может охватывать несколько порядков. Аналогичные
свойства характерны и для размера элементов, из которых состоят геосистемы.
Анализ процессов и систем с такими свойствами показывает, что во многих слу-
чаях невозможно корректно охарактеризовать распределения каких-либо измеря-
емых величин, выделив одну или несколько частот в распределении, или опреде-
лить среднее значение размеров элементов системы, часто моменты распределе-
ния различных порядков расходятся.
Плотность распределения вероятности случайной непрерывной величины X
со значениями x во многих важных случаях описывается степенной функцией
плотности )(xu . В этом случае вероятность попадания случайной величины X на
элементарный участок от x до dxx+ равна элементу вероятности dxxu )( . Для
дискретных значений величины X степенной закон определяется рядом распре-
деления nixxXPp iii ,1,0),( =>== ,
a-= xÑxu )( , ,0>x
a-
= ii xcp ; 0>a , ä
=
=
n
i
ip
1
1 , (2)
где cC, — постоянные величины, a — степенной показатель, ip — вероятно-
сти, вычисленные как относительная частота, с которой встречаются значения ix .
Когда при измерении некоторой величины вероятность получения того или иного
значения обратно пропорциональна некоторой степени a этого значения, говорят,
что данная величина характеризуется степенным законом распределения [1].
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2018, № 6 67
Степенной вид функции плотности (2) в билогарифмических координатах
выражается линейной зависимостью
xCu lnlnln a-= , (3)
что является характерным признаком, который используется для идентификации
распределений данного типа.
Отличительной особенностью степенного закона распределения, называемо-
го также законом Ципфа, распределением Парето или распределением с «тяже-
лым хвостом», является медленное убывание вероятностей больших значений x. В
случае нестепенной статистики область больших значений x характеризуется ма-
лой вероятностью, и их в расчетах не учитывают (хвост распределения отрезают).
Так, например, для распределения Гаусса, которым характеризуется большое ко-
личество случайных процессов, имеет место очень быстрое убывание плотности
по мере отклонения х от математического ожидания, что позволяет не учитывать
в расчетах вероятность крупных событий. Для степенных распределений крупные
события происходят недостаточно редко, в силу чего графики распределений
имеют тяжелые хвосты, что свидетельствует о возможности развития в системе
катастрофических явлений.
Значения степенных функций (2) при 0,0 > xx неограниченно возрастают.
Следовательно, статистика степенного распределения может изучаться только
начиная с некоторого минимального значения .0min>x Условие нормировки
плотности распределения задается уравнением
1)(
min
=ñ
¤
x
dxxu ,
из которого определяется значение нормирующего коэффициента C
¤
+a-a-
¤
a-
== ñ
minmin
1
1
1
xx
x
C
dxxC ,
1
min)1( -a-a= xC . (4)
Полностью нормированное выражение (2) имеет вид
a--a-a= xxxu ])1[()( 1
min , (5)
оно показывает, что нормировка изменяет только величину множителя C, не ме-
няя степенной вид распределения, а также значение степенного показателя a.
Моменты k-го порядка степенного распределения, с учетом особенностей
изучаемой статистики, определяются согласно выражению
[ ]¤+a-a-
¤¤
+a-
=== ññ min
minmin
1
1
)( x
kk
x
k
x
k x
k
C
dxxCdxxuxM (6)
начиная с некоторого минимального значения minx . При степенном показателе
1+¢a k моменты k-го порядка расходятся. Так, например, при 2¢a среднее
значение степенного распределения ,1 ¤=kM момент первого порядка расхо-
дится, но при 2>a среднее значение полностью определено.
Условие существования момента второго порядка 2=kM определяется значе-
ниями 3>a . Второй момент — средний квадрат величины
2x равен
¤
+-
¤
+-
==ñ
min
min
322
3
)(
x
a
x
x
a
C
dxxuxx ,
68 ISSN 0572-2691
при ¤¢ 2,3 xa , этот момент расходится. Это значит, что рассматриваемое
распределение не имеет определенного среднеквадратического значения (стан-
дартного отклонения). Если степенной показатель распределения a > 3, второй
момент имеет ограниченное и вполне определенное значение.
1.2. Методы идентификации степенных распределений. В работе [1] на
модельных примерах показано, что идентификация степенных распределений
различными методами, основанными на построении гистограмм, является плохой
практикой. В соответствии с соотношением (3) гистограмма степенного распреде-
ления в двойных логарифмических координатах должна выглядеть как прямая
линия. Однако для редко встречающихся больших значений измеряемой случай-
ной величины статистический шум приводит к преждевременному обрезанию
«хвоста» гистограммы. В случае степенных распределений для построения гисто-
грамм хорошего качества, которые рассматриваются как эмпирический аналог
плотности вероятности, необходимо располагать выборками больших объемов.
На практике идентификация степенных распределений выполняется ранговым
(«ранг-частота») методом, который позволяет снизить требование к необходимо-
сти располагать большим объемом статистических данных; ранговый метод поз-
воляет избежать возникновения статистического шума.
Ранговый метод обработки данных наблюдений предусматривает присвое-
ние номера (ранга) для каждого значения величины, упорядоченной по убыванию
значений в выборке. Каждому элементу последовательности, начиная с наиболь-
шего значения, присваивается номер. Элементы с одинаковыми значениями полу-
чают разные номера в убывающей последовательности. Каждое выборочное зна-
чение имеет ранг, равный наибольшему номеру элемента с данным значением.
Ранги значений являются накопленными (кумулятивными) частотами распреде-
ления, а максимальное значение накопленной частоты (полная частота) равно
числу элементов N в выборке. Частота, с которой встречаются значения случай-
ной величины, выраженная в относительных единицах измерений (к N), рассмат-
ривается как статистическая вероятность. В этом случае процесс построения ве-
роятностной кумулятивной функции )(xF описывается соотношением
)()()( i
xx
xXPxXPxF
i
==²= ä
²
, (7)
где X — случайная величина, x — текущее значение величины. Обозначение
под знаком суммы указывает на то, что суммирование распространяется на все
значения ix , которые больше текущего значения или равны ему. Вероятност-
ная кумулятивная функция степенного распределения достигает максимально-
го значения, равного единице при ,minxX = 1)( min =xF . Пример построения
вероятностной кумулятивной функции степенного распределения приведен в
подразд. 3.2.
Кумулятивная функция определена как для дискретных, так и непрерывных
величин. Для непрерывной величины кумулятивная функция связана с функцией
плотности )(xu интегральным соотношением (8), которое учитывает тот факт,
что степенное распределение расходится при малых значениях x
)1(
1
)1(
1
)()( -a--a-
¤
a-
¤
=
-a
=== ññ xCx
C
dxxÑdxxuxF
xx
. (8)
Из соотношения (8) следует, что кумулятивная функция )(xF степенного распре-
деления (2) является также степенной функцией со значением показателя степени,
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2018, № 6 69
на единицу меньше показателя функции плотности a, и, следовательно, в билога-
рифмических координатах выражается линейной зависимостью
xCF ln)1(lnln 1 -a-= . (9)
Располагая множеством значений кумулятивной функции (7) в билогариф-
мических координатах (9), методом наименьших квадратов определяется числен-
ное значение степенных показателей 1-a и a. Если учитывать то, что условие
нормировки (4), (5) не влияет на вид распределения и значения степенных показа-
телей, с точностью до постоянного сомножителя имеют место соотношения
)1()( -a-¤xxF , a-¤xxu )( . (10)
Таким образом, ранговый метод вычисления кумулятивной функции распре-
деления позволяет идентифицировать степенное распределение и определить па-
раметр a как для нормированных значений )(xF , так и не заботясь о выполнении
условий нормировки.
1.3. Модели формирования степенных распределений и фрактальных
структур природными системами. При дистанционном зондировании поверх-
ности Земли в разных спектральных диапазонах на цифровых космических сним-
ках создаются образы естественных и искусственных (активная локация) геофи-
зических полей. Детальный анализ полей выявляет их фрактальную структуру [4, 5],
которая сформировалась в результате природных процессов энерго- и массопере-
носа. При совершенствовании методов интерпретации информации дистанцион-
ного зондирования возникают проблемы анализа негладких полей и прогнозиро-
вания развития процессов, характеристики которых подчиняются степенным за-
конам. Проблема анализа процессов, которые приводят к формированию полей с
фрактальными свойствами, существует не только при дистанционных методах ис-
следований. Свойство природных процессов формировать негладкие фрактальные
структуры, для которых характерны степенные распределения, — факт, который
находит подтверждение в многочисленных исследованиях. Так, например, фрак-
тальную структуру имело поле загрязнений радионуклидами в результате аварии
на Чернобыльской АЭС, а массоперенос загрязняющего вещества осуществлялся
воздушной сильно турбулентной атмосферой [6]. Общая проблема динамического
происхождения, и главное — повсеместного распространения природных фракта-
лов, остается во многом нерешенной. После работ Б. Мандельброта стало очевид-
но, что многие природные системы имеют фрактальные структуры, для которых
характерны степенные распределения. Однако в этих работах и последующих
многочисленных публикациях, выполненных другими авторами на эту тему
[9], не обсуждаются вопросы, откуда во множестве случаев берутся фракталы
и каков механизм массового возникновения таких систем.
Успехи в исследованиях модельных фрактальных структур странных аттрак-
торов, которые формируются специально подобранными искусственными дина-
мическими системами дифференциальных, разностных уравнений или нелиней-
ными отображениями [10, 11], не могут объяснить широкого распространения та-
ких структур в природе. Для образования странных аттракторов требуется очень
тонкая подстройка параметров динамической системы. Системы с хаотическим
поведением формируют странные аттракторы фрактальной структуры только в
критических точках параметрического пространства, в которых происходит пере-
ход от периодического поведения к хаосу. В таких критических точках статисти-
ческие характеристики систем имеют степенные масштабно-инвариантные рас-
пределения. Реальные системы, наблюдаемые в природе, не обладают необходи-
мым свойством грубости по отношению к изменениям параметров. Следовательно,
теория, объясняющая динамическое происхождение фракталов и степенных рас-
пределений в природных системах, должна определить общий механизм, благодаря
которому различные системы эволюционируют в критические точки.
70 ISSN 0572-2691
В настоящий момент одной из наиболее содержательных теорий образования
степенных распределений и природных фрактальных структур является теория
самоорганизованной критичности. В соответствии с концепцией, выдвинутой
П. Баком, существует широкий класс динамических систем, которые организуются
таким образом, что всегда приходят к сложному критическому состоянию без ка-
ких-либо вмешательств со стороны и вне зависимости от начальных условий [2].
Теория самоорганизованной критичности предлагает простые физические и ком-
пьютерные модели энерго- и массопереноса в открытых системах, однако, как
отмечает сам автор, выполнить их аналитическое описание чрезвычайно сложно.
В рамках этой теории оказалось возможным лишь на примерах физического и
компьютерного моделирования констатировать тот факт, что статистика динами-
ческого процесса подчиняется степенному закону распределения. Для примене-
ния этой теории в прикладных исследованиях одного только статистического
описания для выполнения прогнозных оценок и определения характеристик про-
цессов иногда недостаточно.
Физической моделью и парадигмой явления самоорганизованной критично-
сти, которое наблюдается во многих сложных открытых системах, принято счи-
тать песочную кучу [2] или, в общем случае, кучу, которая формируется из грану-
лированного материала, например зерен риса [12]. В экспериментах на ровную
поверхность медленно и равномерно сыплется песок. Если форма кучи имеет кру-
тизну склона, меньше критической (субкритическое состояние), то наблюдаются
малые размеры лавин. Крутизна склона будет расти, пока не достигнет критиче-
ского состояния. Если крутизна станет больше критического значения (суперкри-
тическое состояние), то размер лавин становится большой. В этом состоянии ма-
лое воздействие может привести к катастрофически большому сходу лавины, куча
уменьшается. Субкритическое и суперкритическое состояния кучи тяготеют к
критическому состоянию динамического равновесия. На модели системы с боль-
шим количеством взаимодействующих элементов демонстрируется динамика
естественной эволюции системы к критическому состоянию. Песочная куча имеет
неустойчивый локальный рельеф, который постоянно меняется из-за лавин. В це-
лом существует притягивающее критическое состояние системы. Многочислен-
ными экспериментами установлено, что статистические свойства такой системы в
критическом состоянии остаются неизменными — распределение размеров лавин
степенное. Степенная зависимость — это признак того, что состояние системы
является критическим. Критическое состояние обладает свойством грубости по
отношению к изменениям внешних условий. Притягивающее критическое состо-
яние и степенная статистика распределений (2) имеют место вне зависимости от
состава гранулированного материала и степени его влажности. Однако степенной по-
казатель распределения a чувствителен к изменениям условий эксперимента.
Профиль поверхности кучи из крупного гранулированного материала (риса) имеет
фрактальную структуру [12]. Фракталы можно рассматривать как моментальные
снимки динамических процессов, которые происходят в самоорганизующихся си-
стемах, находящихся в критическом состоянии.
Основная математическая модель теории самоорганизованной критичности
формулируется на языке клеточных автоматов [2]. Для случая двухмерной модели
рассматривается решетка размером LL³ . В ячейках решетки может накапливать-
ся и при определенных условиях высвобождаться некоторый дискретный ресурс,
например энергия, электрический заряд, масса вещества или, как принято в моде-
ли, песчинки. Ячейки, содержащие от одной до трех песчинок (единиц ресурса),
считаются устойчивыми, а четвертая песчинка делает ячейку неустойчивой. Все
неустойчивые ячейки опрокидываются, передавая накопленные четыре песчинки
в соседние ячейки, по одной песчинке в каждую. Передача песчинок может нару-
шать устойчивость большого числа других ячеек и вызывать цепную реакцию их
опрокидывания, которую называют лавиной. Песчинки, которые выходят за край
решетки, теряются. Когда лавина заканчивается, в случайно выбранную ячейку
добавляется очередная одна песчинка, которая может инициализировать новую
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2018, № 6 71
лавину. Размер лавины определяется количеством ячеек, в которых произошло
опрокидывание. Сначала система находится в состоянии, далеком от критическо-
го, в этом случае в большинстве ячеек меньше трех песчинок и размеры лавин не-
значительные. Однако со временем в системе накапливается ресурс, и состояние
системы становится критическим. В этом состоянии очередное добавление пес-
чинки способно привести к опрокидыванию большого кластера ячеек, после чего
система переходит в начальное состояние, далекое от критического. Процесс слу-
чайного добавления песчинок в систему снова обеспечивает ее эволюцию в кри-
тическое состояние. В результате длительного моделирования накапливается ста-
тистика этого динамического процесса. Независимо от начальной конфигурации
решетки и заполнения ячеек через некоторое время система самоорганизуется в
критическое состояние, в котором распределение по размеру лавин имеет степен-
ной вид (2).
Наиболее известным геофизическим процессом со степенным распределением
является распределение частоты, с которой происходят землетрясения, по энергии,
выделяемой при землетрясениях в виде амплитуды сейсмических волн; энергия
процесса измеряется по шкале магнитуд (статистический закон Гутенберга–Рихтера).
В одном из экспериментов [13] статистика землетрясений в зоне повышенной
сейсмической активности собиралась на протяжении десятилетия и включала
показания множества сейсмических станций района. Кроме подтверждения
степенного распределения, в этом эксперименте можно наблюдать фрактальную
пространственную структуру эпицентров землетрясения. Структура разломов
земной коры должна рассматриваться как единая система, находящаяся в со-
стоянии самоорганизованной критичности.
Еще одним характерным примером геопроцесса, в котором наблюдается яв-
ление самоорганизованной критичности, является процесс вулканической актив-
ности. Статистический анализ поля акустической эмиссии (подземного шума),
измеряемой на протяжении одного часа вблизи постоянно активного вулкана
Стромболи (Италия, Тирренское море), показал, что распределение всплесков ак-
тивности по мощности звука отвечает степенному закону. По мере удаления от
кратера вулкана всплеск акустической эмиссии ослабевает, однако распределение
сохраняет свойство масштабной инвариантности [2, 14]. В [2] сделан вывод о том,
что вулканическая активность — самоорганизованное критическое явление.
Степенные распределения масштабно-инвариантны. Аналогичными свой-
ствами обладают фрактальные структуры оптических спектров растительных
покровов [3], мультифрактальные геоморфологические структуры [5], наблю-
даемые с космических аппаратов, и многие процессы в геосистемах, что поз-
воляет выполнять их статистический анализ на основе мультифрактальных
мер и моментов распределений [4]. Концепция самоорганизованной критично-
сти определяет один из возможных универсальных механизмов функциониро-
вания сложных систем нелинейной динамики, статистика которых имеет сте-
пенное распределение. На примере анализа землетрясений очевидно, что во-
просы прогноза поведения сложных систем остаются за рамками этой теории.
Статистика позволяет лишь предвидеть возможность возникновения крупного
события, однако не определяет времени и места его возникновения. Актуаль-
ной проблемой применения идей самоорганизованной критичности является
демонстрация решений прикладных задач. Следует отметить, что гораздо ме-
нее изучены процессы самоорганизации степенных распределений, которые
наблюдаются в спектральных структурах природных объектов, а также изме-
нения при их взаимодействии с внешними факторами среды.
2. Непрерывно-групповая модель формирования
степенных распределений
2.1. Масштабно-инвариантные распределения и инварианты групп Ли.
На математическом уровне описания масштабно-инвариантные свойства степен-
ных распределений очевидны. Степенной закон для вероятностного распределе-
72 ISSN 0572-2691
ния величины x выражается однородной функцией одной переменной a-=cxxu )(
и сохраняет все хорошо известные свойства класса однородных функций произ-
вольного числа переменных. Если плотность распределения )(xu подчиняется
степенному закону, то изменение масштаба x в t раз не меняет вид функциональ-
ной зависимости и значения степенного показателя ,a значение функции увели-
чивается (уменьшается) в a-t раз
0,0,,)()( >a>==== a-a-a-a-a- ttcCxÑxtcxtcxtu . (11)
В силу этого свойства степенные распределения называют масштабно-
инвариантными. Масштабная инвариантность степенных распределений означает,
что для крупных событий, которые происходят сравнительно редко, не следует
искать каких-либо особых причин, малые и большие события подчиняются одно-
му закону. Это общее свойство присуще многим геофизическим, биологическим и
социальным процессам и системам.
Наиболее общим математическим подходом к описанию и анализу различ-
ных процессов на абстрактно-алгебраическом уровне является представление о
том, что на произвольное дифференцируемое множество M действует абстрактная
непрерывная группа G
MMG ³t: ,
GM ÍÍ=t= gxxxxg g ,~;~)(),( . (12)
В результате такого действия множество определенным образом структурируется,
в нем образуются определенные отношения между элементами. Выявить структурные
особенности множества и определить тип группы преобразований, под действием
которой возникают определенные структуры, можно по инвариантным отношениям,
которые прослеживаются на элементах множества. Названия элементов множества и то,
каким образом осуществляется это воздействие, является несущественным. Выявить
структуру множества можно как на статистическом, так и детерминистическом уровне
исследования. Математический аппарат для решения задач в такой постановке — осно-
вы теории групп Ли [7, 8]. Краткие сведения этой теории, необходимые для интерпре-
тации и обоснования идентификации степенных распределений, далее формулируются
в виде определений и примеров.
Определение 1. Элемент )(xgt непрерывной группы преобразований пере-
водит каждую точку x n-мерного пространства nE в другую точку x~ того же
пространства. Семейство преобразований
),,(~ txfx=
r
r
n
n EtttExxx Í=Í= )...,,,(,)...,,,( 2121 tx , )...,,,( 21 nfff=f , (13)
для которого выполняются групповые аксиомы, задает r-параметрическую группу
преобразований. При каждом фиксированном значении параметров t соотноше-
ние (13) задает преобразование xx ~ пространства nE .
Определение 2. Каждой r-параметрической группе преобразований простран-
ства nE соответствует r дифференциальных (инфинитезимальных) операторов
___
1
,1,)( rk
x
L
i
n
i
ikk =
µ
µ
h=ä
=
x , (14)
функциональные коэффициенты которых
0
),(
)(
=
µ
µ
=h
t
tx
x
k
i
ik
t
f
(15)
определяются по уравнениям группы (13). Условие 0=t означает, что производ-
ная вычисляется в окрестности тождественного преобразования группы.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2018, № 6 73
Для однопараметрической группы в n-мерном преобразуемом пространстве
существует один инфинитезимальный оператор L со скалярным параметром t
ä
= µ
µ
h=
n
i i
i
x
L
1
)(x , (16)
0
),(
)(
=
µ
µ
=h
tt
tfi
i
x
x . (17)
Введем новые обозначения для функции плотности степенного распреде-
ления (2)
,bxCy= (18)
где byxu =a- ,)( . Различные значения RÍC , принадлежащие множеству
вещественных чисел, задают семейство степенных функций. Из свойства преоб-
разования масштабирования (11) следует, что увеличение (уменьшение) значения
x в t раз увеличивает (уменьшает) значение y в bt раз. Следовательно, преобразо-
вание масштабирования функции плотности распределения (18) определяется
конечными уравнениями однопараметрической группы S несимметричных растя-
жений в двухмерном координатном пространстве ),(2 yxE
ytyxtx b== ~,~ . (19)
Растяжение (19) при каждом фиксированном значении параметра t происхо-
дит с разными масштабными коэффициентами по координатным осям.
Пример 1. Определить инфинитезимальный оператор группы несимметрич-
ных растяжений S по уравнениям (19).
Единственный инфинитезимальный оператор однопараметрической группы
растяжений (19) на плоскости определяется по соотношениям (16), (17)
y
yb
x
xLS
µ
µ
+
µ
µ
= . (20)
Определение 3. Инвариантом однопараметрической группы преобразований
пространства nE называется функция )(xw , которая не меняет своего значения,
если на ее аргумент подействовать любым преобразованием группы
)),(f()( txx w=w .
Определение 4. Для того чтобы определить инварианты однопараметрической
группы в ,nE следует использовать оператор группы L, заданный в виде (16),
(17), и по его функциональным коэффициентам )(xih составить и решить диф-
ференциальное уравнение
ä
=
=
µ
wµ
h
n
i i
i
x1
0
)(
)(
x
x . (21)
Из теории линейных операторов первого порядка известно, что оператор L
имеет n–1 корень, а уравнение в частных производных (21) — n–1 функцио-
нально независимых решений
_______
1,1),(ω -= nii x , любое другое решение есть
произвольная функция от них. Нахождение корней оператора (21) в разверну-
том виде
0)...,,,(...)...,,,()...,,,( 21
2
212
1
211 =
µ
wµ
h++
µ
wµ
h+
µ
wµ
h
n
nnnn
x
xxx
x
xxx
x
xxx (22)
74 ISSN 0572-2691
приводит к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений
td
xdxdxd
n
n =
h
==
h
=
h
...
2
2
1
1 . (23)
Система (23) имеет n–1 функционально независимых интегралов, получае-
мых при исключении переменной t из системы решений
)()(...,),(),( 2211 ttxtxtx nn j=j=j= . (24)
Находимые таким способом инварианты будем называть простыми или од-
нократными [7].
Пример 2. Простой инвариант группы растяжений, заданной конечными
уравнениями (19), находится по инфинитезимальному оператору группы (20) как
решение дифференциального уравнения
by
yd
x
xd
= ,
Cxby lnlnln += , (25)
bxCy= . (26)
Полученные два функционально зависимых решения задают семейства инва-
риантных относительно несимметричной группы растяжений (19) функций, кото-
рые называются орбитами группы. Решение (26) с учетом произведенной замены
обозначений доказывает, что степенное распределение (2) — единственный тип
распределений, инвариантный относительно изменений масштаба случайной
величины x. Следовательно, простым инвариантом группы несимметричных
растяжений является функция bxy / , и любая функция от инварианта — также
инвариант. Для идентификации степенных распределений удобно использовать
линейную форму записи функции инварианта в билогарифмических координатах
xby lnln - , график этой функции показывает, насколько хорошо исследуемый
вид распределения приближается к степенному распределению.
Определение 5. Критерием инвариантности функции const)( =wx , при дей-
ствии на нее однопараметрической группы с инфинитезимальным оператором L,
является выполнение условия
0)(ω ¹xL , ä
=
¹
µ
µn
i i
i
x1
0
)(ω
)(η
x
x . (27)
Тождество (27) — необходимое и достаточное условие того, что функция )(xw —
инвариант группы преобразований, заданной оператором L.
Пример 3. Функция Cxby =- lnln инвариантна относительно группы с ин-
финитезимальным оператором LS вида (20):
0)ln(ln ¹-
ö
ö
÷
õ
µ
µ
+
µ
µ
æ
æ
ç
å
xby
y
yb
x
x . (28)
Как отмечается в работе [1], во многих статистических исследованиях раз-
личных феноменов наблюдается замечательная закономерность, которая состоит
в том, что гистограммы, построенные в билогарифмических координатах, хорошо
укладываются на прямые линии. Приведенный выше анализ закономерностей как
функционально зависимых инвариантов группы растяжений дает исчерпывающее
объяснение закономерностям степенных распределений.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2018, № 6 75
2.2. Расширенные группы и их инварианты. Для детального анализа
структуры спектральных характеристик геофизических полей недостаточно простых
(однократных) инвариантов. Необходимо ввести понятие кратных инвариантов,
вычисляемых по расширенным группам, которые позволяют использовать кратные
инварианты: двойные, тройные и т.д.; такие инварианты называют m-кратными [7].
Кратные инварианты определяются путем введения в рассмотрение двух, трех и
более систем переменных. Эти инварианты вычисляются по координатам двух,
трех и более точек.
Определение 6. Пусть в пространстве )...,,,( 21 n
n xxxE задана r-пара-
метрическая группа преобразований G с инфинитезимальными операторами
rLLL ...,,, 21 . Дважды расширенная группа преобразований 2G определяется
инфинитезимальными операторами вида
rrii LLLLLLLL ++++ ...,,,, 2211 ,
где iL — оператор, который получен из Li путем замены системы
)...,,,( 21 nxxx=x системой переменных )...,,,( 21 nxxx=x , независимых от пере-
менных x . В m раз расширенной группе число переменных равно mn. В дважды
расширенной группе 2G число переменных составляет 2n.
Если группа 2G имеет инварианты, то система уравнений
___
,1,0 riLL ii =¹+ ,
имеет нетривиальные решения, среди которых будут двойные инварианты группы.
Определение 7. Критерием инвариантности функции const,),( =w xx при
действии на нее дважды расширенной группы 2G, является выполнение условия
___
,1,0),(),( riLL ii =¹w+w xxxx . (29)
Пример 4. Доказать, что степенной показатель b функции bxCy= является
кратным двойным инвариантом группы S несимметричных растяжений (19).
Выразим искомое значение b через неотрицательные координаты двух точек,
принадлежащих степенной функции (18): ),(),,( 2211 yxyx . При неизвестном зна-
чении постоянной C искомое b определяется из решения системы двух линейных
уравнений как коэффициент прямой (25), в билогарифмических координатах
,
lnln
lnln
12
12
xx
yy
b
-
-
= (30)
где 21 lnln xx ¸ . Используя определение 6, найдем оператор LS2 расширенной
группы несимметричных растяжений
2
2
2
2
1
1
1
12
y
yb
x
x
y
yb
x
xLS
µ
µ
+
µ
µ
+
µ
µ
+
µ
µ
= . (31)
Убедиться в том, что найденное выражение (30) является двойным инвариан-
том группы S, можно, воспользовавшись определением 7 и критерием инвари-
антности (29). Действие оператора расширенной группы LS2 на функцию
),,,( 2121 yyxxw приводит к тождественному нулю:
,
lnln
lnln
),,,(
12
12
2211
xx
yy
yxyx
-
-
=w
76 ISSN 0572-2691
=ö
ö
÷
õ
æ
æ
ç
å
-
-
îý
î
ü
û
µ
µ
+
µ
µ
+
µ
µ
+
µ
µ
îí
î
ì
ë
=w
12
2
22 lnln
1lnln
22
1
1
1
12
xx
yy
y
yb
x
x
y
yb
x
xLS
.0])ln(ln[])ln(ln[
])ln(ln)ln(ln[])ln(ln)ln(ln[
1
2
1
122
1
1
1
12
1
2
2
12122
1
1
2
12121
1 ¹-+--+
+---+--=
----
----
yxxbyyxxby
xxxyyxxxxyyx
3. Поиск залежей углеводородов по спектральным
характеристикам растений
3.1. Определение пространственно-спектральных полей методами ди-
станционного зондирования. В результате дистанционного зондирования зем-
ной поверхности с аэрокосмических носителей на цифровых снимках регистрируют-
ся образы естественных и искусственных (активная локация) геофизических полей
[4]. Гиперспектральная съемка позволяет синтезировать и анализировать кар-
тины трехмерного спектрального поля, в определении которого третьей коорди-
натой выступает длина электромагнитной волны l, ),,( l= yxfU . Результатом
съемки является трехмерный массив данных B (гиперкуб), который образован
данными, полученными в результате разложения электромагнитной энергии,
поступающей с земной поверхности и регистрируемой сенсором, на сотни со-
прикасающихся поддиапазонов длин волн
njmiLsBB ijs ,1;,1};,1,{
________
===Í ,
где s — номер спектрального поддиапазона, ),( ji — координаты точки (пиксела)
гиперспектрального снимка, ijsB — энергетическая яркость пиксела в спектраль-
ном поддиапазоне s. Следовательно, гиперспектральный снимок можно рассмат-
ривать как L равных по размерам изображений, каждое из которых характеризует
энергию излучения одного участка (области V) земной поверхности в спектраль-
ном поддиапазоне s. Каждый пиксел с координатами ),( jir гиперспектрального
снимка (гиперспектральный пиксел) характеризуется спектральной характери-
стикой: const,,;}{ 1 == = jirB
L
sss которая определяет значение спектрального по-
ля )(l=fU с элементарной поверхности, равной проекции пиксела изображения
на земную поверхность, и рассматривается как геометрическая точка поля, спек-
тральная характеристика которой может быть измерена аэрокосмическими гипер-
спектрометрами. Энергетическая яркость в спектральных характеристиках перво-
начально задается как коды выходных сигналов сенсоров и далее может быть пе-
ресчитана в спектральную плотность энергетической яркости или коэффициент
спектральной яркости: )()()( 0 lrlr=lk , который равен отношению яркости
данной поверхности в заданном направлении к яркости идеальной рассеивающей
поверхности при одинаковом освещении. В данном эксперименте измерение
спектральных яркостей (характеристик) в точках поля выполнено дистанционно
полевым спектрорадиометром и представлено в безразмерных единицах коэффи-
циентов спектральных яркостей.
3.2. Пример определения границы залежи углеводородов по масштаб-
ным инвариантам спектрального поля. Описание эксперимента. Многочис-
ленными исследованиями установлено, что пространственно-спектральные характе-
ристики растительного покрова имеют фрактальную структуру, параметры структуры
существенно изменяются в аномальных районах, связанных с месторождениями нефти
и газа [3]. Формирование биохимических аномалий растительного покрова над
залежью углеводородов связывают с вертикальной миграцией газоподобных
углеводородов в корнеобразующий слой грунта. Биохимические аномалии и из-
менения отражательной способности покровов хорошо определяются по изменени-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2018, № 6 77
ям спектральных характеристик (спектрограммам) растений. Эти изменения происхо-
дят в результате самоорганизации оптической системы листьев, способной дозиро-
вать необходимое для нормального развития растения количество поглощаемой и от-
ражаемой световой энергии в ультрафиолетовом и видимом диапазоне спектра сол-
нечного излучения.
Пример идентификации и анализа степенных распределений, наблюдаемых в
структуре спектра отражений растительного покрова, приводится на данных, по-
лученных с Глебовского месторождения газа (Крым) [15]. Дистанционное спек-
трометрирование выполнено полевым спектрорадиометром FieldSpec® 3 FR. В
момент спектрометрирования (27 мая 2010 г.) на месторождении произрастала
пшеница, которая находилась в стадии вегетации. Съемка велась с расстояния 5 м
по маршруту протяженностью около 2 км, маршрут пересекал залежь газа с из-
вестными координатами границы залежи. Зона видимости местности прибором
составляет 18 см по малой оси и 20 см по большой оси эллипса. На маршруте вы-
делено 16 контрольных точек (участков) спектрометрирования, в каждой из кото-
рых произведено четыре измерения растительности со спектральным разрешени-
ем 1 нм в диапазоне длин электромагнитных волн 350 · 2500 нм, время экспозиции
съемки — 0,136 с. Всего поступило в обработку 64 спектрограммы. Цель экспе-
римента состояла в определении и обосновании индикаторного признака, позво-
ляющего различать границу залежи углеводородов способом дистанционной
спектральной съемки.
Идентификация кратных масштабных инвариантов распределений в структу-
ре спектральных данных. Анализ спектрограмм проводился по данным 236 спек-
тральных поддиапазонов электромагнитных волн 424 · 659 нм
659,424),( =l= jUk jj . (32)
На рис. 1, а приведен график спектральной характеристики растительного
покрова с первого участка маршрута, который содержит исходные данные для
идентификации степенного распределе-
ния. На рис. 1, б иллюстрируется ре-
зультат идентификации кумулятивного
степенного распределения относитель-
ной частоты (вероятности) по значени-
ям коэффициента спектральной ярко-
сти x. Точки обозначают относительное
число спектральных поддиапазонов
(каналов сенсора), значение коэффици-
ента спектральной яркости в которых
больше заданного значения x или равно
ему. Приведенный график соответствует
кумулятивной функции распределения
)(xF (см. подразд. 1.2), вычисленной
по соотношению (7) ранговым методом
и представленной в билогарифмических
координатах. Прямая линия (рис. 1, б)
указывает на возможную аппроксима-
цию распределения простым степен-
ным законом. В билогарифмических
координатах кумулятивная функция
степенного распределения задается
уравнением прямой линии (9) с коэффи-
циентом 651,1)1α( =- , вычисленным по
методу наименьших квадратов. Для
нахождения степенного показателя функции плотности a, воспользовавшись свой-
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
650 550
0,01
350 450
0,08
х
l
а
2
0
– 2
– 4
– 3 – 3,4 In(x) – 4,2 – 3,8
In(F)
б
Рис. 1
78 ISSN 0572-2691
ством степенного распределения (10), находим искомое 651,2=a . В соответствии с
основными положениями определения инвариантов расширенных групп преобра-
зований (подразд. 2.2) и результатом решения примера 4, степенной показатель a
функции плотности распределения a-=cxxu )( является инвариантом преобразова-
ний масштабирования (11), а именно: кратным двойным инвариантом группы несим-
метричных растяжений вида (19) спектрального поля. Далее, для краткости, эти инва-
рианты именуются как инварианты спектрального поля (x — коэффициент спек-
тральной яркости, l — длина волны (нм), F — кумулятивная функция).
В таблице (инварианты спектрального поля на 16 участках месторождения
газа:
ija ) сведены значения 64 инвариантов спектрального поля по маршруту иссле-
дования: 16,1;4,1, ==a jiij ; где j — номер участка, i — номер измерения на участке.
Таблица
i ai1 a i2 a i3 a i4 a i5 a i6 a i7 a i8
1 2,639 2,524 2,842 2,805 2,783 2,63 2,517 2,741
2 2,611 2,505 2,787 2,843 2,77 2,485 2,531 2,813
3 2,651 2,449 2,847 2,790 2,734 2,508 2,575 2,803
4 2,672 2,482 2,905 2,751 2,637 2,716 2,526 2,715
i ai9 ai10 ai11 ai12 ai13 ai14 ai15 ai16
1 3,619 4,105 3,764 3,300 4,140 4,004 3,770 4,147
2 3,663 3,978 3,774 3,371 4,317 4,198 3,883 4,247
3 3,624 3,741 3,775 3,473 4,228 4,101 3,769 4,174
4 3,793 3,849 3,803 3,686 4,213 4,02 4,13 4,198
Для определения границы залежи газа применяется метод пороговой бинар-
ной сегментации участков месторождения по значениям инвариантов спектраль-
ного поля (рис. 2, а, б): а) определение порога сегментации 12,31=a по бимодаль-
ному распределению индикаторного признака ija , б) сегментация участков 16,1=j
по порогу 1a , участки с номерами 16,9=j содержат залежь газа.
4
2
0
6
8
3,6 3 3,3 1a
10
2,7
16
14
12
18
2,4
f
ija
4,5 4,2
4 2 6 8
3,6
3
3,3
1a
10
2,7
16 14 12
2,4
4,2
3,9
ija
а б
Рис. 2
Если данный материал исследования территории месторождения готовится для
наглядного визуального восприятия как фрагмент карты, то сегментация участков
может быть выполнена графическими средствами (рис. 3). Для этого уровням яркости
картины на мониторе приписываются величины, пропорциональные значениям инди-
каторного признака ija . Различная степень контрастности изображения позволяет
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2018, № 6 79
проводить многомодальную сегментацию участков. Номера участков на изображении
(рис. 3) отложены по горизонтали, значения четырех измерений на участках приведе-
ны по вертикали изображения. Максимум контраста приводит к бинарной сегмента-
ции и определению границы, которая проходит по участку с номером 9.
4
2
3
15 13
2,6
3,5
3,2
10
2,9
16 14 12 2
1
1
4,1
3,8
4 3 11 8 9 5 6 7
Рис. 3
Таким образом, идентифицируя степенные распределения для каждого гипер-
спектрального пиксела, можно определить наиболее перспективные участки для
буровых работ. Следует также отметить, что автором проведены исследования, ко-
торые устанавливают, что в видимой области спектра отражений растительных по-
кровов и листьев деревьев хорошо идентифицируются степенные распределения.
Подобное заключение сделано в результате статистического анализа коэффициен-
тов спектральных отражений, полученных при спектрометрировании контактным
способом спектрорадиометром FieldSpec® 3 FR листьев березы, ясеня, липы.
Заключение
Эффективное применение рассмотренного метода статистического анализа
спектральных характеристик растительных покровов и спектральных геополей во
многом обусловлено появлением новых технологий гиперспектрального дистан-
ционного зондирования и широким распространением степенных распределений
в природе. Теория самоорганизованной критичности определяет один из возмож-
ных механизмов динамического возникновения степенных распределений. Одна-
ко известные многочисленные примеры не распространялись на анализ степенных
распределений в спектрах отражений и излучений световых потоков от объектов
природы. Степенные распределения в спектрах растительных покровов могут
свидетельствовать о том, что механизм поглощения и отражения световой энер-
гии листьями растений можно отнести к явлению самоорганизованной критично-
сти, а численные значения параметров таких распределений позволяют обосно-
вать и использовать методы фитоиндикации для характеристики окружающей
среды и выявления аномальных зон.
М.В. Артюшенко
ІДЕНТИФІКАЦІЯ ТА ІНТЕРПРЕТАЦІЯ СТЕПЕНЕВИХ
РОЗПОДІЛІВ ЗА СПЕКТРАЛЬНИМИ ДАНИМИ
ДИСТАНЦІЙНОГО ЗОНДУВАННЯ
Розроблено методи та алгоритми оброблення гіперспектральних даних. Для опи-
су структурних особливостей спектрів відбиття проведено синтез неперервно-
групової масштабно-інваріантної моделі на основі степеневого закону розподілу.
Наведено приклади розв’язання задач пошуку нафти і газу за спектрами відбиття
рослинного покриву.
80 ISSN 0572-2691
M.V. Artiushenko
IDENTIFYING AND INTERPRETATION OF POWER-
LAW DISTRIBUTIONS FROM SPECTRAL DATA OF
REMOTE SENSING
Methods and algorithms for hyperspectral data processing are developed. The syn-
thesis of continuous-group scale-free and power-law distributions models was carried
out to describe the structural features of the reflection spectrum. Examples of solving
problems of oil and gas exploration by the reflection spectrum of the vegetation cover.
1. Newman M.E.J. Power laws, Pareto distributions and Zipf’s law // J. Contemporary physics. —
2005. — 46. — P. 323–351.
2. Bak P. How nature works: the science of self-organized criticality. — New York: Copernicus,
1996. — 207 p.
3. Артюшенко М.В., Подгородецкая Л.В., Федоровский А.Д. Фрактальный анализ спектро-
грамм растительного покрова в задачах природопользования // Доп . НАН України. —
2010. — № 8. — С. 113–119.
4. Артюшенко М.В. Статистический анализ негладких геофизических полей по данным
дистанционного зондирования // Международный научно-технический журнал «Проблемы
управления и информатики». — 2018. — № 3. — С. 72–85.
5. Артюшенко М.В., Томченко О.В., Подгорняк Д.Л. Мультифрактальный анализ морфологи-
ческих изменений в структуре водных объектов по космическим снимкам // Доп. НАН
України. — 2017. — №2. — С. 41–49.
6. Барьяхтар В.Г., Гончар В.Ю., Яновский В.В. Природа сложной структуры пятна за-
грязнений радионуклидами в результате аварии на ЧАЭС // Украинский физический
журнал. — 1993. — 38, № 7. — С. 967–975.
7. Чеботарев Н.Г. Теория групп Ли. — М. : Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2011. — 400 с.
8. Постников М.М. Группы и алгебры Ли. — М. : Наука, 1982. — 447 с.
9. Федер Е. Фракталы. — М. : Мир, 1991. — 254 с.
10. Feigenbaum M.J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations // Journal of
Statistical Physics. — 1978. — 19. — P. 25–52.
11. Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. — М. :
Постмаркет. — 2000. — 352 с.
12. Avalanche dynamics in a pile of rice / V. Frette, K. Christensen, A. Maltche-Sorenssen, J. Feder,
T. Jossang, P. Meakin // Nature. — 1995. — 379. — P. 49–52.
13. Johnston A.C., Nava S. Recurrence raters and probability estimates for the New Madrid seismic
zone // J. of Geophysical Research. — 1985. — 90. — P. 6737–6753.
14. Diodati P., Marchesoni F., Piazza S. Acoustic emission from volcanic rocks: an example of self-
organized criticality // Physical Review Letters. — 1991. — 67, N 17. — P. 2239–2243.
15. Дослідження варіацій індексів червоного краю спектрів відбиття пшениці над газовим ро-
довищем / В.І. Лялько, З.М. Шпортюк, О.М. Сибірцева, С.С. Дугін, А.І. Воробйов //
Космічна наука і технологія. — 2010. — 16, № 6. — С. 5–10.
Получено 24.04.2018
http://arxiv.org/find/cond-mat/1/au:+Newman_M/0/1/0/all/0/1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-180629 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T12:11:36Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Артюшенко, М.В. 2021-10-06T18:02:43Z 2021-10-06T18:02:43Z 2018 Идентификация и интерпретация степенных распределений по спектральным данным дистанционного зондирования / М.В. Артюшенко // Проблемы управления и информатики. — 2018. — № 6. — С. 65-80. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180629 528.88:519.2:530.1 Разработаны методы и алгоритмы обработки гиперспектральных данных. Для описания структурных особенностей спектров отражения проведен синтез непрерывно-групповой масштабно-инвариантной модели на основе степенного закона распределения. Приведены примеры решения задач поиска нефти и газа по спектрам отражения растительного покрова Розроблено методи та алгоритми оброблення гіперспектральних даних. Для опису структурних особливостей спектрів відбиття проведено синтез неперервно-групової масштабно-інваріантної моделі на основі степеневого закону розподілу. Наведено приклади розв’язання задач пошуку нафти і газу за спектрами відбиття рослинного покриву. Methods and algorithms for hyperspectral data processing are developed. The synthesis of continuous-group scale-free and power-law distributions models was carried out to describe the structural features of the reflection spectrum. Examples of solving problems of oil and gas exploration by the reflection spectrum of the vegetation cover. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Методы обработки информации Идентификация и интерпретация степенных распределений по спектральным данным дистанционного зондирования Ідентифікація та інтерпретація степеневих розподілів за спектральними даними дистанційного зондування Identifying and interpretation of power-law distributions from spectral data of remote sensing Article published earlier |
| spellingShingle | Идентификация и интерпретация степенных распределений по спектральным данным дистанционного зондирования Артюшенко, М.В. Методы обработки информации |
| title | Идентификация и интерпретация степенных распределений по спектральным данным дистанционного зондирования |
| title_alt | Ідентифікація та інтерпретація степеневих розподілів за спектральними даними дистанційного зондування Identifying and interpretation of power-law distributions from spectral data of remote sensing |
| title_full | Идентификация и интерпретация степенных распределений по спектральным данным дистанционного зондирования |
| title_fullStr | Идентификация и интерпретация степенных распределений по спектральным данным дистанционного зондирования |
| title_full_unstemmed | Идентификация и интерпретация степенных распределений по спектральным данным дистанционного зондирования |
| title_short | Идентификация и интерпретация степенных распределений по спектральным данным дистанционного зондирования |
| title_sort | идентификация и интерпретация степенных распределений по спектральным данным дистанционного зондирования |
| topic | Методы обработки информации |
| topic_facet | Методы обработки информации |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180629 |
| work_keys_str_mv | AT artûšenkomv identifikaciâiinterpretaciâstepennyhraspredeleniipospektralʹnymdannymdistancionnogozondirovaniâ AT artûšenkomv ídentifíkacíâtaínterpretacíâstepenevihrozpodílívzaspektralʹnimidanimidistancíinogozonduvannâ AT artûšenkomv identifyingandinterpretationofpowerlawdistributionsfromspectraldataofremotesensing |