Анализ и оптимизация моделей систем обслуживания-запасания с двумя типами заявок

Предложены модели систем обслуживания-запасания с двумя типами заявок, где заявки низкого приоритета принимаются только тогда, когда текущий уровень запасов выше определенного критического значения. Предполагается, что в системе может быть использована одна из следующих политик пополнения запасов: п...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Проблемы управления и информатики
Datum:	2018
Hauptverfasser:	Меликов, А.З., Пономаренко, Л.А., Алиев, И.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2018
Schlagworte:	Экономические и управленческие системы
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180632
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Анализ и оптимизация моделей систем обслуживания-запасания с двумя типами заявок / А.З. Мелико, Л.А. Пономаренко, И.А. Алиев // Проблемы управления и информатики. — 2018. — № 6. — С. 103-118. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-180632
record_format	dspace
spelling	Меликов, А.З. Пономаренко, Л.А. Алиев, И.А. 2021-10-06T18:11:18Z 2021-10-06T18:11:18Z 2018 Анализ и оптимизация моделей систем обслуживания-запасания с двумя типами заявок / А.З. Мелико, Л.А. Пономаренко, И.А. Алиев // Проблемы управления и информатики. — 2018. — № 6. — С. 103-118. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180632 519.872 Предложены модели систем обслуживания-запасания с двумя типами заявок, где заявки низкого приоритета принимаются только тогда, когда текущий уровень запасов выше определенного критического значения. Предполагается, что в системе может быть использована одна из следующих политик пополнения запасов: политика двух уровней, политика переменного объема заказов и политика, согласно которой заказ единичного размера выполняются после каждой выдачи запасов. Разработан точный и приближенный методы расчета характеристик системы. Приведены результаты численных экспериментов по расчету моделей и решена задача их оптимизации. Запропоновано моделі систем обслуговування-запасання з двома типами заявок, де заявки низького пріоритету приймаються лише тоді, коли поточний рівень запасів вище певного критичного значення. Передбачається, що в системі може бути використана одна із наступних політик поповнення запасів: політика двох рівнів, політика змінного об’єму замовлень і політика, згідно з якою замовлення одиничного розміру виконуються після кожної видачі запасів. Розроблено точний і наближений методи розрахунку характеристик системи. Наведено результати числових експериментів щодо розрахунку моделей і вирішено задачу їх оптимізації. Models of queuing-inventory systems with two kinds of customers are proposed. It is assumed that customers of low priorities should be accepted if current inventory level is higher than a given critical threshold value. In system it might be used one of the following policies: two level policy; policy of variable order size and policy in which inventory of unit size is ordered after completion of service of each customer. Exact and approximate methods to calculate the systems characteristics are proposed. Results of numerical experiments related to calculation and optimization of systems characteristics are demonstrated. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Экономические и управленческие системы Анализ и оптимизация моделей систем обслуживания-запасания с двумя типами заявок Аналіз і оптимізація моделей систем обслуговування-запасання з двома типами заявок Analysis and optimization of models of queueing-inventory systems with two kinds of customers Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Анализ и оптимизация моделей систем обслуживания-запасания с двумя типами заявок
spellingShingle	Анализ и оптимизация моделей систем обслуживания-запасания с двумя типами заявок Меликов, А.З. Пономаренко, Л.А. Алиев, И.А. Экономические и управленческие системы
title_short	Анализ и оптимизация моделей систем обслуживания-запасания с двумя типами заявок
title_full	Анализ и оптимизация моделей систем обслуживания-запасания с двумя типами заявок
title_fullStr	Анализ и оптимизация моделей систем обслуживания-запасания с двумя типами заявок
title_full_unstemmed	Анализ и оптимизация моделей систем обслуживания-запасания с двумя типами заявок
title_sort	анализ и оптимизация моделей систем обслуживания-запасания с двумя типами заявок
author	Меликов, А.З. Пономаренко, Л.А. Алиев, И.А.
author_facet	Меликов, А.З. Пономаренко, Л.А. Алиев, И.А.
topic	Экономические и управленческие системы
topic_facet	Экономические и управленческие системы
publishDate	2018
language	Russian
container_title	Проблемы управления и информатики
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format	Article
title_alt	Аналіз і оптимізація моделей систем обслуговування-запасання з двома типами заявок Analysis and optimization of models of queueing-inventory systems with two kinds of customers
description	Предложены модели систем обслуживания-запасания с двумя типами заявок, где заявки низкого приоритета принимаются только тогда, когда текущий уровень запасов выше определенного критического значения. Предполагается, что в системе может быть использована одна из следующих политик пополнения запасов: политика двух уровней, политика переменного объема заказов и политика, согласно которой заказ единичного размера выполняются после каждой выдачи запасов. Разработан точный и приближенный методы расчета характеристик системы. Приведены результаты численных экспериментов по расчету моделей и решена задача их оптимизации. Запропоновано моделі систем обслуговування-запасання з двома типами заявок, де заявки низького пріоритету приймаються лише тоді, коли поточний рівень запасів вище певного критичного значення. Передбачається, що в системі може бути використана одна із наступних політик поповнення запасів: політика двох рівнів, політика змінного об’єму замовлень і політика, згідно з якою замовлення одиничного розміру виконуються після кожної видачі запасів. Розроблено точний і наближений методи розрахунку характеристик системи. Наведено результати числових експериментів щодо розрахунку моделей і вирішено задачу їх оптимізації. Models of queuing-inventory systems with two kinds of customers are proposed. It is assumed that customers of low priorities should be accepted if current inventory level is higher than a given critical threshold value. In system it might be used one of the following policies: two level policy; policy of variable order size and policy in which inventory of unit size is ordered after completion of service of each customer. Exact and approximate methods to calculate the systems characteristics are proposed. Results of numerical experiments related to calculation and optimization of systems characteristics are demonstrated.
issn	0572-2691
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180632
citation_txt	Анализ и оптимизация моделей систем обслуживания-запасания с двумя типами заявок / А.З. Мелико, Л.А. Пономаренко, И.А. Алиев // Проблемы управления и информатики. — 2018. — № 6. — С. 103-118. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT melikovaz analizioptimizaciâmodeleisistemobsluživaniâzapasaniâsdvumâtipamizaâvok AT ponomarenkola analizioptimizaciâmodeleisistemobsluživaniâzapasaniâsdvumâtipamizaâvok AT alievia analizioptimizaciâmodeleisistemobsluživaniâzapasaniâsdvumâtipamizaâvok AT melikovaz analízíoptimízacíâmodeleisistemobslugovuvannâzapasannâzdvomatipamizaâvok AT ponomarenkola analízíoptimízacíâmodeleisistemobslugovuvannâzapasannâzdvomatipamizaâvok AT alievia analízíoptimízacíâmodeleisistemobslugovuvannâzapasannâzdvomatipamizaâvok AT melikovaz analysisandoptimizationofmodelsofqueueinginventorysystemswithtwokindsofcustomers AT ponomarenkola analysisandoptimizationofmodelsofqueueinginventorysystemswithtwokindsofcustomers AT alievia analysisandoptimizationofmodelsofqueueinginventorysystemswithtwokindsofcustomers
first_indexed	2025-11-25T22:47:41Z
last_indexed	2025-11-25T22:47:41Z
_version_	1850573979385856000
fulltext	© А.З. МЕЛИКОВ, Л.А. ПОНОМАРЕНКО, И.А. АЛИЕВ, 2018 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2018, № 6 103 ЭКОНОМИЧЕСКИЕ И УПРАВЛЕНЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ УДК 519.872 А.З. Меликов, Л.А. Пономаренко, И.А. Алиев АНАЛИЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ ОБСЛУЖИВАНИЯ-ЗАПАСАНИЯ С ДВУМЯ ТИПАМИ ЗАЯВОК Введение В реальной жизни существует много систем обслуживания, в которых для обработки заявок кроме свободного сервера требуется и определенное количество запасов (ресурсов). Такие системы называются системами обслуживания запаса- ния (Queuing Inventory Systems — QIS) [1]. В научной литературе подробно изучены модели QIS с идентичными (по всем показателям) заявками. Обзор работ, посвященных изучению моделей таких QIS, можно найти, например, в [2]. Следует отметить, что иногда допущение об идентич- ности заявок не соответствует реальным условиям работы QIS, так как зачастую заявки имеют различные размеры (под размером заявки понимается объем требуе- мого запаса). Другим примером QIS с неидентичными заявками являются системы, в которых некоторые заявки платят за один и тот же запас больше, чем другие. Краткий обзор публикаций, посвященных изучению моделей QIS с различ- ными типами заявок, дан в [3]. После появления указанной работы авторам стали известны публикации [4–7]. В них рассматривались «чистые» системы управле- ния запасами без учета очереди заявок, при этом предполагалось, что изучаемые системы наблюдаются периодически, т.е. рассматриваемое время делится на по- следовательные интервалы равной длины, и система наблюдается лишь в начале или в конце каждого интервала. Более того, в них полагается, что время выполне- ния заказов равно нулю (т.е. заказы выполняются мгновенно). Детальный обзор работ, в которых изучались модели подобных систем, дан в [8]. Современный уровень технических средств позволяет непрерывно наблюдать как за уровнем запасов системы, так и за процессами поступления и обслуживания заявок. В связи с этим в последние годы интенсивно изучаются модели QIS с непрерывным вре- менем наблюдения, т.е. в них решения относительно пополнения запасов систе- мы, а также управления процессами поступления и обслуживания заявок прини- маются в реальном времени. Одной из первых работ в этом направлении была [9], где изучалась модель с двумя типами заявок и детерминированным временем попол- нения запасов. В дальнейшем эта модель была обобщена в [10–13]. В QIS с разнотипными заявками актуальны задачи выбора надлежащих схем обслуживания разнотипных заявок в целях оптимизации работы системы относи- тельно выбранного критерия качества. Подобные задачи для моделей QIS с мгно- венным обслуживанием и двумя типами заявок при использовании различных по- 104 ISSN 0572-2691 литик пополнения запасов изучены в [14–17]. В [14–16] предполагается, что заяв- ки низкого приоритета получают отказ, если в моменты их поступления уровень запасов системы меньше, чем некоторое пороговое значение; заявки высокого приоритета принимаются, если уровень запасов системы больше нуля. В отличие от [14–16] в [17] предполагается, что заявки низкого приоритета не получают отказа, а уходят в орбиту, если в моменты их поступления уровень запасов систе- мы меньше, чем пороговое значение. Вместе с тем задачи выбора надлежащих схем обслуживания разнотипных за- явок мало изучены для моделей QIS с положительным временем обслуживания за- явок. Одной из первых работ в этом направление является [3], где предложена отлич- ная от [14–17] схема доступа заявок в систему: заявки высокого приоритета прини- маются при наличии хотя бы одного свободного места в буфере, а заявки низкого приоритета принимаются лишь тогда, когда общая длина очереди заявок меньше за- данного порогового значения. Разработаны методы расчета и оптимизации характе- ристик системы при использовании двух политик пополнения запасов: политики двух уровней (т.е. ),( Ss -политики) и политики переменного объема запасов (Variable Or- der Size — VOS) [18, 19]. В [3] для обозначения VOS-политики предложена символи- ческая запись ),,( mSm  которая используется и в данной работе. В настоящей публикации изучается модель QIS с двумя типами заявок и по- ложительным временем обслуживания, в которой используется предложенная в [14–16] схема доступа. Подобная модель с конечной очередью была изучена в [20], где для расчета ее характеристик предложен точный метод, основанный на решении балансовых уравнений для двумерных цепей Маркова (ЦМ). Здесь изу- чаются модели QIS с общей конечной и бесконечной очередью разнотипных заявок и предложены методы анализа и оптимизации ее характеристик при ис- пользовании ),( Ss -, ),1( SS  - и ),( mSm  - политик пополнения запасов. Описание моделей и постановка задачи Рассматриваются модели QIS с двумя типами заявок при использовании раз- личных политик пополнения запасов. Во всех моделях предполагается, что систе- ма имеет склад ограниченного объема ,, SS и в эту систему поступают пуас- соновские потоки заявок двух типов. Интенсивность потока заявок первого типа (обычные) равна ,1 а интенсивность потока заявок второго типа (приоритетные) равна .2 Время обслуживания заявок обоих типов — экспоненциально распре- деленная случайная величина с общим средним . По завершении обслуживания заявки любого типа она с вероятностью 1 не получает запас, а с дополнительной вероятностью 12 1  получает. При этом если заявка любого типа получает запас, то уровень запасов системы уменьшается на единицу. Рассматривается три политики пополнения запасов: 1) ),( Ss — политика, согласно которой при снижении уровня запасов до величины ,2/, Sss  делается заказ на поставку запасов объема ;sS  2) ),1( SS  — политика, в которой заказ делается каждый раз после уменьшения уровня запасов, при этом объем заказа равен единице; 3) ),( mSm  — политика, согласно которой заказ на поставку за- пасов делается лишь тогда, когда уровень запасов опускается до величины ,s при этом его объем зависит от текущего уровня m и равен .mS  Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2018, № 6 105 Во всех политиках заказ выполняется с некоторой задержкой, при этом для простоты изложения считается, что она распределена показательно с постоянным параметром . В моделях с конечной очередью предполагается, что заявки разных типов ожидают в общей очереди с максимальной длиной ., NN Предполагается, что если в момент поступления заявки второго типа в очереди имеется свободное ме- сто, то она принимается в очередь; иначе она теряется. Заявка первого типа при- нимается в очередь лишь тогда, когда в момент ее поступления уровень запасов не меньше, чем ;s иными словами, если в момент поступления заявки первого типа уровень запасов меньше, чем ,s то она теряется независимо от наличия сво- бодных мест в очереди. Если в момент поступления заявки второго типа уровень запасов равен нулю, то она с вероятностью 1 присоединяется к очереди, а с ве- роятностью 12 1  уходит из системы необслуженной. В моделях с бесконечной очередью предполагается, что заявка высокого приоритета всегда принимается в очередь, а заявка низкого приоритета принима- ется лишь тогда, когда в момент ее поступления уровень запасов больше, чем .s Во всех моделях заявки являются нетерпеливыми, т.е. если во время их ожи- дания в очереди уровень запасов системы опускается до нулевого значения, то за- явка уходит из системы после случайного времени, которое имеет показательное распределение с параметром . Задача исследования всех моделей заключается в следующем: 1) найти сов- местное распределение уровня запасов системы и количества заявок в системе; 2) найти средний уровень запасов ),( avS среднюю интенсивность заказов )(RR и вероятности потери заявок каждого типа );,( 21 PBPB 3) решить задачу максими- зации прибыли системы за счет выбора надлежащих значений критического уровня запасов .s Метод решения задачи Сразу отметим, что во всех моделях работа QIS с конечной очередью опи- сывается двумерной ЦМ с состояниями вида ),,( nm где m — уровень запасов в складе, n — общее число заявок в системе. Пространство состояний (ПС) определяется как }....,,1,0{,...,1,0{ NSE  Сначала рассмотрим модель QIS при использовании ),( Ss -политики. Интенсив- ность перехода от состояния Enm ),( в состояние Enm  ),( обозначим ),,(( nmq )).,( nm  Эти величины составляют производящую матрицу (ПМ) данной ЦМ. Для их определения необходимо различать следующие случаи: 1) ;sm  2) .sm  В первом случае возможные выходы из состояния ),( nm связаны с наступ- лением следующих событий: (i) поступлением заявок; (ii) завершением обслужи- вания заявок; (iii) уходом заявок из очереди из-за нетерпеливости и (iv) пополне- нием запасов. Если наступает событие типа (i), где ,0m при этом заявка низкоприори- тетна, то система не меняет своего состояния, поскольку в таких состояниях заявки данного типа теряются; если заявка высокоприоритетна, то она принима- ется системой при наличии хотя бы одного свободного места в очереди с вероят- ностью 1. Тогда следующим состоянием системы будет )1,( nm и интенсив- ность такого перехода равна .2 106 ISSN 0572-2691 Если наступает событие типа (i), где ,0m при этом заявка низкоприоритетна, то, как и выше, система не меняет своего состояния; если заявка высокоприори- тетна, то она принимается системой при наличии хотя бы одного свободного ме- ста в очереди с вероятностью .1 Тогда следующим состоянием системы будет )1,0( n и интенсивность такого перехода равна .12 Если наступает событие типа (ii), при этом заявка получает запасы, то система переходит в состояние )1,( nm с интенсивностью ;1 иначе следующим состояни- ем системы будет ),1,1(  nm при этом интенсивность такого перехода равна .2 Если наступает событие типа (iii), то осуществляется переход в состояние ),1,0( n при этом интенсивность такого перехода равна .n Если наступает событие типа (iv), то происходит переход в состояние ),,( nsSm  при этом интенсивность такого перехода равна . Следовательно, в случае sm положительные элементы ПМ данной дву- мерной ЦМ определяются следующим образом (рис.: 1 , и  относятся к ре- зультатам для политик ),(),,( mSmSs  и ),1( SS  соответственно). Sav s 1 0 3 2 5 4 6 8 2 4 6 Рис. 1                  ., если, ,1,0 если, ,1,1,0 если, ,1,,0 если, ,1,0 если, ,1,,0 если, )),(),,(( 2 1 12 2 nnsSmm nnmmn nnmmm nnmmm nnmm nnmmm nmnmq (1) Здесь и в дальнейшем приняты следующие обозначения: .2,1,  kkk Во втором случае возможные выходы из состояния ),( nm связаны лишь с наступлением событий типа (i) и (ii), поскольку в таких состояниях невозможен уход заявок из очереди из-за нетерпеливости, а также не осуществляется попол- нение запасов. При этом если наступает событие типа (i), то независимо от типа заявки она принимается системой при наличии хотя бы одного свободного места в очереди с вероятностью 1, иными словами, следующим состоянием системы бу- дет )1,( nm и интенсивность такого перехода равна , где .21  При наступлении события типа (ii) переходы между состояниями определяются анало- гично первому случаю. Таким образом, в случае sm  элементы ПМ данной двумерной ЦМ опреде- ляются следующим образом (см. рис. 1): Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2018, № 6 107          .1,1 если, ,1, если, ,1, если, )),(),,(( 2 1 nnmm nnmm nnmm nmnmq (2) Из соотношений (1) и (2) получаем, что состояния исследуемой конечномер- ной ЦМ сообщаются одно с другим, т.е. в ней существует стационарный режим. Стационарную вероятность состояния Enm ),( обозначим ).,( nmp Эти веро- ятности удовлетворяют системе уравнений равновесия (СУР), которая составляется на основе (1) и (2) и представляет собой систему линейных алгебраических уравнений размерности ).1)(1(  NS Явный вид этой СУР достаточно очевиден [20], поэтому она здесь не приводится. После нахождения стационарных вероятностей состояний можно вычислить усредненные характеристики исследуемой QIS. Действительно, анализ работы изучаемой системы показывает, что искомые характеристики определяются сле- дующим образом [20]: ;),( 1 0      S m N n av nmpmS (3) ;),1( 1 2    N n nspRR (4) ;),(),( 1 0 0 1       s m N n S sm nmpNmpPB (5) .),0(),( 1 10 2      N n S m n n npNmpPB (6) Отметим, что при использовании политик ),( Ss и ),1( SS  объем заказыва- емого запаса всегда является постоянным, т.е. при использовании политики ),( Ss объем заказа равен ,sS  а при использовании политики ),1( SS  эта величина равна единице. Вместе с тем, в отличие от них, при использовании ),( mSm  - политики объем поставляемого заказа — переменная величина, и поэтому для нее необходимо ввести дополнительную характеристику — средний объем заказа, .avV Он определяется так: .),( 0    N n S sSm av nmSpmV (7) При использовании ),1( SS  -политики элементы ПМ соответствующей ЦМ определяется аналогично соотношениям (1) и (2), при этом имеются следующие отличия: в обоих случаях sm и sm  в момент поступления заказа происходит переход из состояния ),( nm в состояние ),1( nm  с интенсивностью .)( mS При использовании ),( mSm  -политики элементы ПМ соответствующей ЦМ определяются аналогично соотношениям (1) и (2), при этом единственное отличие состоит в том, что в случаях sm (см. формулы (1)) в момент поступления зака- за происходит переход из состояния ),( nm в состояние ),( nS с интенсивно- стью . 108 ISSN 0572-2691 Отметим, что и при использовании последних двух политик пополнения за- пасов состояния соответствующих ЦМ сообщаются между собой, поэтому в них также существует стационарный режим. Аналогично [20] можно составить соот- ветствующие СУР размерности )1)(1)(1(  NSS для вероятностей состояний. При использовании ),( mSm  -политики характеристики системы также опреде- ляются из (3)–(6), а для ),1( SS  -политики средняя интенсивность заказов вы- числяется из следующей формулы: .)0,(1 0 2            S m mpRR (8) Следовательно, задача заключается в нахождении решений соответствующих СУР. Для моделей умеренной размерности эта задача легко реализуется с помо- щью известных пакетов программ. Вместе с тем для моделей большой размерно- сти эта задача нетривиальна. Ниже предложен унифицированный алгоритм решения задачи нахождения вероятностей состояний системы при использовании всех трех политик пополне- ния запасов. Этот алгоритм может корректно применяться для моделей QIS, в ко- торых интенсивность поступления заявок существенным образом превышает ин- тенсивности пополнения запасов. Сначала рассмотрим задачу для модели с ),( Ss -политикой пополнения запа- сов. Имеем следующее разбиение исходного ПС:  ,,, 0 mmEEEE mm S m m    (9) где    ....,,1,0,...,,1,0:, SmNnEnmEm  Микросостояния Enm ),( объединяются в одно укрупненное состояние ,m и на исходном ПС составляется функция укрупнения ,: EU где ,),( mnmU .}...,,1,0:{ Smm  На основе разбиения (9) составляется 1S расщепленных моделей с ПС ,...,,1,0, SmEm  где в каждой модели учитываются лишь переходы между со- стояниями, входящими в соответствующее ПС. При этом интенсивности указан- ных переходов определяются из соотношений (1) и (2). Вероятность состояния mEnm ),( внутри расщепленной модели с ПС mE обозначим ).(nm Тогда согласно (1) и (2) получаем, что вероятности состояний внутри расщепленной модели с ПС 0E совпадают с соответствующими вероятно- стями состояний системы обслуживания NNMM /// с нагрузкой ,12  т.е. ....,,1,0, !! )( 0 0 Nn in n N i in              (10) Из (1) и (2) находим, что вероятности состояний внутри расщепленных моде- лей с ПС mE при sm ...,,1 и Ssm ...,,1 совпадают с вероятностями состоя- ний системы обслуживания NMM /1// с нагрузкой 121  и 12 μλψ  со- ответственно, т.е.: Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2018, № 6 109  в случаях :...,,1 sm                .1 если, 1 1 ,1 если, 1 )1( )( 1 11 1 11 N n N n m (11)  в случаях :...,,1 Ssm                .1 если, 1 1 ,1 если, 1 )1( )( 2 21 2 22 N n N n m (12) Для нахождения вероятностей укрупненных состояний ,),(  mm необходимо вычислить интенсивности переходов между этими состояниями ).,(  mmq С учетом (1), (2) и (10)–(12) находим, что эти величины опреде- ляются так:          ñëó÷àÿõ.îñòàëüíûõâ0 ,1,1 åñëè)),0(1( ,,0 åñëè, ),( 2 mmSm sSmmsm mmq m (13) Из (13) с учетом результатов [3] получаем, что вероятности укрупненных со- стояний ,),(  mm вычисляются следующим образом:          .1если),1( ,1если),1( ,0если),1( )( SmsSs sSmss sms m m m (14) Здесь и далее приняты следующие обозначения .2,1, 1 ;, 1 1 2 2 1 1 1                       k N k N kk k s sSmi im ms m Вероятность )1(  s находится из условия нормировки, т.е. .2)1( 1 10             S sSm m s m msSs С учетом (10)–(12) и (14) вероятности состояний исходной двумерной ЦМ определяются так: ).()(),(  mnnmp m (15) После выполнения определенных преобразований получим следующие фор- мулы для вычисления характеристик (3)–(8): ;)( 1    S m av mmS (16) 110 ISSN 0572-2691 );1(2  sRR (17) ;)()()( 1 0 1     s m S sm m mmNPB (18) .)()0()()( 1 1 0 0 2      N n S m m n n nmNPB (19) Предложенный подход можно применить и при использовании ),1( SS  - и ),( mSm  -политик пополнения запасов. При этом в обеих политиках вероят- ности состояний внутри расщепленных моделей также определяются с помощью формул (10)–(11), (15) а вероятности укрупненных состояний вычисляются сле- дующим образом. Для ),1( SS  -политики интенсивности переходов между укрупненными со- стояниями вычисляются так:            ñëó÷àÿõ.îñòàëüíûõ â0 ,1 åñëè,)( ,1, åñëè, ,1, åñëè, ),( 2 1 mmmS mmsm mmsm mmq (20) Тогда из (20) получаем, что вероятности укрупненных состояний при исполь- зовании ),1( SS  -политики находятся из следующих соотношений:                                            ,1 åñëè),0( ! ! ,0 åñëè),0( ! ! )( 21 2 1 Sms mS S sm mS S m ms m (21) где     . ! ! ! ! )0( 1 0 1 21 2 1                                              s m S sm msm mS S mS S Далее для этой политики приближенные значения характеристик 1, PBSav и 2PB вычисляются из формул (16), (18) и (19) соответственно. Приближенное зна- чение характеристики RR определяется так: .)()0(1 0 2            S m m mRR (22) При использовании ),( mSm  -политики интенсивности переходов между укрупненными состояниями вычисляются так:            ñëó÷àÿõ.îñòàëüíûõ â0 ,, åñëè, ,1, åñëè, ,1, åñëè, ),( 2 1 Smsm mmsm mmsm mmq (23) Следовательно, из (23) получаем, что вероятности укрупненных состояний при использовании ),( mSm  -политики находятся из следующих соотношений: Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2018, № 6 111                                                    ,1 если),0(11 ,1 если),0(1 )( 1 1 112 1 11 Sms sm m s i i m (24) где .11)(11)0( 1 1 1 1 112 1 11                                                       s m s i im sS Далее для указанных политик приближенные значения характеристик (3)–(6) вычисляются из формул (16)–(19) с учетом (22). Для ),( mSm  -политики средний объем заказов приближенно определяется так: ).()( 0    mmSV s m av (25) Теперь рассмотрим методы решения рассмотренных выше задач для моделей QIS с бесконечной очередью, т.е. предположим, что N . Поскольку разрабо- танный метод подробно описан для моделей QIS с конечной очередью, то ниже приводятся лишь окончательные виды формул для расчета вероятностей состоя- ний и характеристик системы. Так, при использовании всех политик пополнения запасов вероятности со- стояний внутри расщепленной модели с ПС 0E совпадают с соответствующими вероятностями состояний системы обслуживания // MM с нагрузкой ,12  т.е. ....,1,0, ! ω )(ρ0   ne n n n Вероятности состояний внутри расщепленных моделей с ПС mE для sm ...,,1 и Ssm ...,,1 существуют лишь при выполнении условия эргодич- ности 1ψ2  и совпадают с вероятностями состояний системы обслуживания /1// MM с нагрузкой 1 и 2ψ соответственно, т.е.:  в случаях :...,,1 sm  ;....,1,0),1()( 11  nn n m  в случаях :...,,1 Ssm  ....,1,0),1()( 22  nn n m При использовании ),( Ss - ),1( SS  - и ),( mSm  -политик пополнения запа- сов вероятности укрупненных состояний находятся из соотношений (14), (21) и (24) соответственно, где k заменяются величинами .2,1,2  kk Средний уровень запасов, средняя интенсивность заказов (кроме ),1( SS  - политики) и средний объем заказов (для ),( mSm  -политики) определяются из (16), (17) и (25) соответственно. Средняя интенсивность заказов для ),1( SS  -политики вычисляется следу- ющим образом: 112 ISSN 0572-2691 .)()(1 1 2 1 12            S sm s m mmRR Вероятности потери разнотипных заявок в данной модели для всех политик пополнения запасов вычисляются так: );( 1 0 1     mPB s m . ! )0( 1 1 2          n n n n n ePB (26) Замечание 1. Здесь не удается получить явную формулу для вероятности поте- ри заявок второго типа. Вместе с тем бесконечный ряд в формуле (26) сходится, так как соответствующий мажорантный ряд     1 !n n n сходится. Поэтому при проведении численных экспериментов верхняя граница этой суммы может быть заменена произвольной достаточно большой величиной. Численные результаты Здесь приводится часть резуль- татов вычислительных эксперимен- тов, которые выполнены с примене- нием разработанных алгоритмов. Эти эксперименты сходны с эксперимен- тами, проводимыми в [3] для моделей QIS с другой схемой доступа разно- типных заявок. Поэтому здесь лишь вкратце описываются результаты экс- периментов. Как и в [3], точность разработан- ных приближенных алгоритмов вы- числения вероятностей состояний мо- делей QIS для всех политик пополне- ния запасов оценивается с помощью двух норм близости: подобия косину- са 1  и максимум абсолютных зна- чений разностей . 2  Для краткости изложения при- водятся результаты лишь для модели с конечной очередью и ),( Ss -полити- кой. В табл. 1 все значения норм подо- бия получены для разных значений NSS ,, но при фиксированных зна- чениях 2,ν;7,0;6,0σ 11  1τ  ). Из таблицы видно, что разрабо- Таблица 1 (S, S, N) (1, 2) µ Значения норм подобия 1 2 (10,2,5) (55,50) 15 0,97385 0,03177 (60,55) 20 0,97395 0,03373 (65,60) 25 0,97494 0,03258 (10,2,10) (55,50) 15 0,96662 0,04114 (60,55) 20 0,96287 0,04262 (65,60) 25 0,95979 0,04480 (10,2,15) (55,50) 15 0,96491 0,04582 (60,55) 20 0,95986 0,04785 (65,60) 25 0,95506 0,04811 (15,5,5) (55,50) 15 0,95895 0,02811 (60,55) 20 0,94481 0,03108 (65,60) 25 0,93238 0,03234 (15,5,10) (55,50) 15 0,95133 0,03434 (60,55) 20 0,93354 0,03611 (65,60) 25 0,91732 0,03818 (15,5,15) (55,50) 15 0,94986 0,03814 (60,55) 20 0,93163 0,03996 (65,60) 25 0,91492 0,04022 (20,7,5) (55,50) 15 0,96667 0,02188 (60,55) 20 0,95233 0,02429 (65,60) 25 0,93785 0,02535 (20,7,10) (55,50) 15 0,96069 0,02676 (60,55) 20 0,94339 0,02817 (65,60) 25 0,92589 0,02986 (20,7,15) (55,50) 15 0,95947 0,02968 (60,55) 20 0,94169 0,03123 (65,60) 25 0,92372 0,03153 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2018, № 6 113 танный приближенный алгоритм вычисления вероятностей состояний указан- ной модели имеет высокую точность (аналогичные результаты получены и для других политик пополнения запасов). Нами проведены исследования также по установлению точности вычисления характеристик системы (табл. 2). Очевидно, что и в этом случае наблюдается вы- сокая точность разработанных приближенных алгоритмов. Таблица 2 (S, S, N) (1, 2) µ SAV RR PB1 PB2 ТЗ ПЗ ТЗ ПЗ ТЗ ПЗ ТЗ ПЗ (10,2,5) (55,50) 15 5,06673 4,92769 0,73350 0,71244 0,85679 0,91591 0,83275 0,90101 (60,55) 20 4,94267 4,75574 0,96565 0,93988 0,82962 0,89908 0,79708 0,87960 (65,60) 25 4,82616 4,63699 1,19029 1,16573 0,80845 0,88520 0,76793 0,86186 (10,2,10) (55,50) 15 5,25035 4,92764 0,74391 0,71243 0,83494 0,91591 0,81845 0,89756 (60,55) 20 5,17450 4,75564 0,98689 0,93985 0,80157 0,89908 0,77908 0,87590 (65,60) 25 5,10166 4,63681 1,22648 1,16568 0,77464 0,88518 0,74622 0,85811 (10,2,15) (55,50) 15 5,32444 4,92764 0,74678 0,71243 0,81552 0,91591 0,80281 0,89370 (60,55) 20 5,26971 4,75564 0,99300 0,93985 0,77732 0,89908 0,76007 0,87178 (65,60) 25 5,21661 4,63681 1,23728 1,16568 0,74608 0,88518 0,72428 0,85395 (15,5,5) (55,50) 15 9,00647 8,06838 0,59879 0,58953 0,85686 0,92179 0,83526 0,89359 (60,55) 20 8,84327 7,61139 0,79708 0,77963 0,82901 0,90866 0,79791 0,86720 (65,60) 25 8,68163 7,26644 0,99389 0,96773 0,80706 0,89846 0,76601 0,84483 (15,5,10) (55,50) 15 9,23039 8,06832 0,59954 0,58951 0,83925 0,92179 0,82542 0,89238 (60,55) 20 9,14050 7,61120 0,79911 0,77956 0,80623 0,90865 0,78684 0,86561 (65,60) 25 9,05070 7,26605 0,99843 0,96760 0,77935 0,89845 0,75413 0,84299 (15,5,15) (55,50) 15 9,31462 8,06832 0,59970 0,58951 0,82372 0,92179 0,81317 0,89103 (60,55) 20 9,25277 7,61120 0,79946 0,77956 0,78682 0,90865 0,77229 0,86386 (65,60) 25 9,19090 7,26605 0,99912 0,96760 0,75645 0,89845 0,73777 0,84099 (20,7,5) (55,50) 15 12,50611 11,31339 0,46101 0,45803 0,85692 0,92164 0,84025 0,89580 (60,55) 20 12,34181 10,70099 0,61429 0,60761 0,82834 0,90878 0,80420 0,86902 (65,60) 25 12,17802 10,21320 0,76716 0,75585 0,80546 0,89906 0,77336 0,84594 (20,7,10) (55,50) 15 12,73045 11,31333 0,46129 0,45801 0,84338 0,92164 0,83273 0,89527 (60,55) 20 12,64050 10,70076 0,61494 0,60754 0,81081 0,90878 0,79587 0,86822 (65,60) 25 12,55049 10,21270 0,76853 0,75571 0,78411 0,89905 0,76465 0,84492 (20,7,15) (55,50) 15 12,81468 11,31333 0,46137 0,45801 0,83143 0,92164 0,82332 0,89468 (60,55) 20 12,75284 10,70076 0,61508 0,60754 0,79588 0,90878 0,78469 0,86735 (65,60) 25 12,69095 10,21270 0,76877 0,75571 0,76649 0,89905 0,75211 0,84383 Ниже приводятся графики, показывающие поведение характеристик системы относительно изменения параметра s при использовании различных политик по- полнения запасов. Результаты численных экспериментов для модели с конечной очередью показаны на рис. 1–3, где обозначения ,  и  на кривых относятся к результатам для политики ),(),,( mSmSs  и ),1( SS  соответственно. Исходные параметры модели выбраны следующим образом: 1.τ3,ν0,7,0,6,σ30,μ50,λ,60λ,10,15 1121  NS 114 ISSN 0572-2691 RR s 1 0 3 2 5 4 6 0,8 0,2 0,4 0,6 1,0 0,0 1,2 а RR s 1 0 3 2 5 4 6 11,8 11,2 11,4 11,6 11,0 б Рис. 2 PB1 s 1 0 3 2 5 4 6 0,70 0,55 0,60 0,65 0,50 0,80 0,75 а PB2 s 1 0 3 2 5 4 6 0,70 0,60 0,5 0,80 б Рис. 3 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2018, № 6 115 Из рис. 1 видно, что функция avS является возрастающей при всех трех полити- ках пополнения запасов, при этом при использовании политик ),( Ss и ),( mSm  средние уровни запасов близки один другому, и с точки зрения поддержания не- высокого уровня запасов предпочтительной является ),1( SS  -политика. На пер- вый взгляд при использовании ),1( SS  -политики средний уровень запасов не должен зависеть от параметра ,s поскольку при такой политике заказ делается после каждого отпуска запаса, т.е. не зависит от критического уровня запасов .s Однако и при такой политике на значения этой характеристики влияет принятая схема доступа разнотипных заявок, которая зависит от параметра .s Функция RR является возрастающей для политик ),( Ss и ),( mSm  (см. рис. 2, а), при этом значение этой функции при использовании ),( Ss -политики оказывается чуть больше, чем при использовании ),( mSm  -политики. Вместе с тем эта функция является невозрастающей для ),1( SS  -политики (см. рис. 2, б), при этом ее значения оказываются существенно большими, чем при использовании остальных двух политик. Этого следовало ожидать, так как при использовании ),1( SS  -политики заказы делаются каждый раз после отпуска запасов по заявкам. Интересным является тот результат, что вероятности потери разнотипных вызовов (функции 1PB и )2PB почти совпадают при использовании политик ),( Ss и ),,( mSm  при этом с точки зрения уменьшения вероятности предпочти- тельной является ),1( SS  -политика (см. рис. 3). Как и следовало ожидать, веро- ятности потери приоритетных заявок оказываются меньшими, чем вероятность потери обычных заявок. Теперь рассмотрим задачу максимизации прибыли системы с бесконечной очередью за счет выбора надлежащих значений параметра s при использовании различных политик пополнения запасов. Доходы системы (RV) определяются так: ,)())(1()( 2 1    k k k revkk sPSCsPBsRV (27) где )(sPSk оценивает вероятность того, что обслуженная заявка k-го типа поку- пает запас; k revC — доходы системы из-за продажи единицы запаса по заявкам k-го типа, k = 1, 2. Следует ожидать, что доходы от обслуживания приоритетных заявок намного больше, чем от обслуживания обычных, т.е. .12 revrev CC  Величины ,2,1),( ksPSk определяются следующим образом: ;)())0(1()( 121 2 1       S sm m msPS .)())0(1()( 1212 2 2       S m m msPS Замечание 2. Здесь и далее в обозначениях характеристик системы и функци- оналов в скобках указан оптимизируемый параметр .s Суммарные штрафы (TC) в системе определяются аналогично [3]: 116 ISSN 0572-2691   ),()()()()()( 22 2 11 1 sPBcsPBcsScsRRsVcKsTC llavhavr  (28) где K — фиксированная цена одного заказа; rc — цена единицы объема заказа; hc — цена хранения единицы объема запасов за единицу времени; k lc — штраф за потерю одной заявки k -го типа, .2,1k Считается, что штрафы за потери приоритетных заявок намного больше, чем обычных, т.е. .12 ll cc  Замечание 3. При использовании ),( Ss - и ),1( SS  -политики суммарные штрафы в системе определяются согласно (28), где avV заменяется на sS  и 1 соответственно. Задача оптимизации ставится следующим образом: требуется максимизиро- вать прибыль (PT) системы за счет выбора надлежащих значений критического уровня запасов, т.е. решить следующую задачу: ),(maxarg* sPTs s  (29) где ).()()( sTCsRVsPT  Задача (29) имеет решение, так как множество допустимых решений }20{ Ss  конечно и дискретно. В табл. 3 приводятся результаты решения задачи (29) для трех политик пополне- ния запасов, где PT обозначает максимальное значение функционала ).(sPT Таблица 3 S (1, 2) (s, S)- политика (S – 1, S)- политика (m, S – m)- политика s PT* s* PT* s* PT* 10 (10,5) 0 0,53 0 – 6,41 1 – 0,28 (15,5) 0 2,29 0 – 2,09 1 0,08 (20,10) 0 4,88 0 4,62 1 – 1,58 15 (10,5) 0 0,48 0 – 6,9 1 0,16 (15,5) 0 2,32 0 – 2,45 1 0,98 (20,10) 0 5,13 0 5,67 1 0,38 20 (10,5) 0 0,33 0 – 7,4 1 0,31 (15,5) 0 2,21 0 – 2,95 1 1,42 (20,10) 0 5,13 0 5,22 1 1,57 Фиксированные параметры системы выбирались так: 1.τ3,ν0,7,0,6,σ60,μ 11  Коэффициенты в функционалах (27) и (28) определяются следующим образом: .1;5,0;1,0;1,0;5,0;4;2 2121  llhrrevrev ccccKCC Из табл. 3 видно, что во многих случаях при использовании ),1( SS  -политики суммарные штрафы оказываются большими, чем доходы системы (система имеет «отрицательную» прибыль; это объясняется тем, что при использовании этой политики интенсивность заказов системы существенно больше, чем при использовании остальных двух политик (см. рис. 2). Интересен результат, что в Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2018, № 6 117 очень широком диапазоне изменения параметров системы оптимальное значение критического уровня запасов для всех политик пополнения запасов — постоянная величина. Следует также отметить, что при одинаковых исходных данных макси- мальные значения )(sPT существенно отличаются в различных политиках по- полнения запасов. Заключение В работе предложены модели системы обслуживания-запасания с двумя типами заявок, где часть заявок после завершения обслуживания не покупает запасы. Разнотипные заявки могут образовать общую очередь конечной или бесконечной длины, и время их обслуживания — положительная случайная величина. Заявки высокого приоритета принимаются при наличии хотя бы од- ного свободного места в очереди, в то время как заявки низкого приоритета принимаются лишь тогда, когда уровень запасов системы выше определенной критической величины. В системе принята одна из трех политик пополнения запасов: ),,( Ss ),1( SS  и ),( mSm  . В случаях отсутствия запасов заявки в очереди являются нетерпеливыми. Для всех политик время выполнения зака- зов системы для пополнения запасов имеет экспоненциальные распределения с конечным средним. Разработан унифицированный приближенный метод для вычисления характеристик изучаемых моделей и решены задачи оптимизации работы изучаемых систем. А.З. Мєліков, Л.А. Пономаренко, І.А. Алієв АНАЛІЗ І ОПТИМІЗАЦІЯ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ ОБСЛУГОВУВАННЯ-ЗАПАСАННЯ З ДВОМА ТИПАМИ ЗАЯВОК Запропоновано моделі систем обслуговування-запасання з двома типами зая- вок, де заявки низького пріоритету приймаються лише тоді, коли поточний рі- вень запасів вище певного критичного значення. Передбачається, що в системі може бути використана одна із наступних політик поповнення запасів: політика двох рівнів, політика змінного об’єму замовлень і політика, згідно з якою замо- влення одиничного розміру виконуються після кожної видачі запасів. Розроб- лено точний і наближений методи розрахунку характеристик системи. Наведено результати числових експериментів щодо розрахунку моделей і вирішено задачу їх оптимізації. A.Z. Melikov, L.A. Ponomarenko, I.A. Aliyev ANALYSIS AND OPTIMIZATION OF MODELS OF QUEUEING-INVENTORY SYSTEMS WITH TWO KINDS OF CUSTOMERS Models of queuing-inventory systems with two kinds of customers are proposed. It is assumed that customers of low priorities should be accepted if current inventory level is higher than a given critical threshold value. In system it might be used one of the following policies: two level policy; policy of variable order size and policy in which inventory of unit size is ordered after completion of service of each customer. Exact and approximate methods to calculate the systems characteristics are proposed. Re- sults of numerical experiments related to calculation and optimization of systems characteristics are demonstrated. 118 ISSN 0572-2691 1. Schwarz M., Sauer C., Daduna H., Kulik R., Szekli R. M/M/1 queuing systems with inventory // Queuing Systems. — 2006. — 54, N 1. — P. 55–78. 2. Krishnamoorthy A., Lakshmy B., Manikandan R. A survey on inventory models with positive ser- vice time // OPSEARCH. — 2011. — 48. — P. 153–169. 3. Melikov A.Z., L.A.Ponomarenko, I.A.Aliyev. Markov models of systems with two types of cus- tomers and different replenishment policies // Cybernetics and Systems Analysis. — 2018. — 54, N 6. — P. 900–917. 4. Kaplan A. Stock rationing // Management Science. — 2007. — 15, N 5. – P. 260–267. 5. Vienott A.F. Optimal policy in a dynamic, single product, non-stationary inventory model with several demand classes // Operations Research. — 1965. — 13, N 5. — P. 761–778. 6. Evans R.V. Sales and restocking policies in a single item inventory system // Management Sci- ence. — 1968. — 14, N 7. — P. 463–472. 7. Topkis D.M. Optimal ordering and rationing policies in a non-stationary dynamic inventory model with n demand classes // Ibid. — 1968. — 15, N 3. — P. 160–176. 8. Kleijn M.J., Dekker R. An overview of inventory systems with several demand classes // Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. — 1999. — 480. — P. 253–265. 9. Nahmias S., Demmy W.S. Operating characteristics of an inventory system with rationing // Man- agement Science. — 1981. — 27, N 11. — P. 1236–1245. 10. Moon I., Kang S. Rationing policies for some inventory systems // Journal of the Operational Re- search Society. — 1998. — 49. — P. 509–518. 11. Arsalan H., Graves S.C., Roemer T.A. A single-product inventory model for multiple demand classes // Management Science. — 2007. — 53, N 9. — P. 1486–1550. 12. Sivakumar B., Arivarignan G. A modified lost sales inventory system with two types of custom- ers // Quality Technology and Quantitative Management. — 2008. — 5, N 4. — P. 339–349. 13. Deshpande V., Cohen M.A., Donohue K. A threshold inventory rationing policy for service- differentiated demand classes // Management Science. — 2003. — 49, N 6. — P. 683–703. 14. Isotupa K.P.S. An (S, Q) Markovian inventory system with lost sales and two demand classes // Mathematical and Computer Modelling. — 2006. — 43. — P. 687–694. 15. Isotupa K.P.S. An (S, Q) inventory system with two demand classes of customers // International Journal of Operational Research. — 2011. — 12, N 1. — P. 12–19. 16. Isotupa K.P.S. Cost analysis of an (S-1, S) inventory system with two demand classes and ration- ing // Annals of Operations Research. — 2015. — 233. — P. 411–421. 17. Karthick T., Sivakumar B., Arivarignan G. An inventory system with two types of customers and retrial demands // International Journal of Systems Science: Operations & Logistics. — 2015. — 2, N 2. — P. 90–112. 18. Melikov A.Z., Ponomarenko L.A., Bagirova S.A. Markov models of queuing-inventory sys- tems with variable order size // Cybernetics and Systems Analysis. — 2017. — 53, N 3. — P. 373–386. 19. Krishnamoorthy A., Manikandan R., Lakshmy B. Revisit to queuing-inventory system with posi- tive service time // Annals of Operations Research. — 2015. — 233, N 5. — P. 221–236. 20. Алиев И.А. Об одной модели обслуживания-запасания с двумя типами заявок // Вестник Бакинского университета. — 2017. — № 4. — C. 105–110. Получено 21.06.2018 Статья представлена к публикации членом редколлегии акад. НАН Украины Чикрием А.А.

Анализ и оптимизация моделей систем обслуживания-запасания с двумя типами заявок

Institution

Ähnliche Einträge