Изометричность функциональных пространств с разным числом переменных и некоторые ее применения в теории приближения функций

Классический подход в теории приближений состоит в использовании имеющейся информации для получения приближенной функции, оперировать которой довольно легко. Определив класс приближенных функций, нужно выбрать из него одну конкретную с помощью некоторого критерия. Взяв за основу изометрические отобр...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2019
Main Author:	Бушев, Д.Н.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2019
Series:	Проблемы управления и информатики
Subjects:	Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180651
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Изометричность функциональных пространств с разным числом переменных и некоторые ее применения в теории приближения функций / Д.Н. Бушев // Проблемы управления и информатики. — 2019. — № 1. — С. 75-81. — Бібліогр.: 31 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-180651
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1806512025-02-09T22:05:14Z Изометричность функциональных пространств с разным числом переменных и некоторые ее применения в теории приближения функций Ізометричність функціональних просторів з різним числом змінних і деякі її застосування в теорії наближення функцій Isometry of the functional spaces with different number of variables and some its applications in the theory of approximation of functions Бушев, Д.Н. Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Классический подход в теории приближений состоит в использовании имеющейся информации для получения приближенной функции, оперировать которой довольно легко. Определив класс приближенных функций, нужно выбрать из него одну конкретную с помощью некоторого критерия. Взяв за основу изометрические отображения пространств действительных функций от 1+ m переменных на пространства 2π-периодических функций от одной переменной, исследованы аппроксимативные характеристики классов функций в данных пространствах. Полученные результаты открывают много возможностей для дальнейших исследований в асимптотической теории представлений. Описанные математические модели могут использоваться при решении задач вычислительной математики, связанных с исследованием сложных управляемых систем. Класичний підхід в теорії наближень полягає у використанні наявної інформації для отримання наближеної функції, оперувати якою досить легко. Визначивши клас наближуваних функцій, потрібно вибрати з нього одну конкретну за допомогою деякого критерію. Взявши за основу ізометричні відображення просторів дійсних функцій від 1+ m змінних на простори 2π-періодичних функцій від однієї змінної, досліджено апроксимативні характеристики класів функцій в даних просторах. Отримані результати відкривають багато можливостей для подальших досліджень в асимптотичній теорії зображень. Описані математичні моделі можуть використовуватись при розв’язанні задач обчислювальної математики, пов’язаних із дослідженням складних керованих систем. The classical approach in the approximation theory consists in using the available information to obtain the approximated function, which is fairly easy to operate. Having determined the class of functions to be approximated, it is necessary to choose from it one definite function by means of some criterion. In the paper, using isometric mappings of the spaces of real functions of 1+m variables to the spaces of univariate 2π-periodic functions from one variable, we study the approximate characteristics of classes of functions in these spaces. The results obtained open up many possibilities for further research in the asymptotic theory of representations. The described mathematical models can be used in solving problems of computational mathematics related to the study of complex controlled systems. 2019 Article Изометричность функциональных пространств с разным числом переменных и некоторые ее применения в теории приближения функций / Д.Н. Бушев // Проблемы управления и информатики. — 2019. — № 1. — С. 75-81. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180651 517.5 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем
spellingShingle	Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Бушев, Д.Н. Изометричность функциональных пространств с разным числом переменных и некоторые ее применения в теории приближения функций Проблемы управления и информатики
description	Классический подход в теории приближений состоит в использовании имеющейся информации для получения приближенной функции, оперировать которой довольно легко. Определив класс приближенных функций, нужно выбрать из него одну конкретную с помощью некоторого критерия. Взяв за основу изометрические отображения пространств действительных функций от 1+ m переменных на пространства 2π-периодических функций от одной переменной, исследованы аппроксимативные характеристики классов функций в данных пространствах. Полученные результаты открывают много возможностей для дальнейших исследований в асимптотической теории представлений. Описанные математические модели могут использоваться при решении задач вычислительной математики, связанных с исследованием сложных управляемых систем.
format	Article
author	Бушев, Д.Н.
author_facet	Бушев, Д.Н.
author_sort	Бушев, Д.Н.
title	Изометричность функциональных пространств с разным числом переменных и некоторые ее применения в теории приближения функций
title_short	Изометричность функциональных пространств с разным числом переменных и некоторые ее применения в теории приближения функций
title_full	Изометричность функциональных пространств с разным числом переменных и некоторые ее применения в теории приближения функций
title_fullStr	Изометричность функциональных пространств с разным числом переменных и некоторые ее применения в теории приближения функций
title_full_unstemmed	Изометричность функциональных пространств с разным числом переменных и некоторые ее применения в теории приближения функций
title_sort	изометричность функциональных пространств с разным числом переменных и некоторые ее применения в теории приближения функций
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2019
topic_facet	Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180651
citation_txt	Изометричность функциональных пространств с разным числом переменных и некоторые ее применения в теории приближения функций / Д.Н. Бушев // Проблемы управления и информатики. — 2019. — № 1. — С. 75-81. — Бібліогр.: 31 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT buševdn izometričnostʹfunkcionalʹnyhprostranstvsraznymčislomperemennyhinekotoryeeeprimeneniâvteoriipribliženiâfunkcii AT buševdn ízometričnístʹfunkcíonalʹnihprostorívzríznimčislomzmínnihídeâkííízastosuvannâvteoríínabližennâfunkcíi AT buševdn isometryofthefunctionalspaceswithdifferentnumberofvariablesandsomeitsapplicationsinthetheoryofapproximationoffunctions
first_indexed	2025-12-01T07:36:57Z
last_indexed	2025-12-01T07:36:57Z
_version_	1850290595426205696
fulltext	© Д.Н. БУШЕВ, 2019 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2019, № 1 75 УДК 517.5 Д.Н. Бушев ИЗОМЕТРИЧНОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ С РАЗНЫМ ЧИСЛОМ ПЕРЕМЕННЫХ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ В ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ Ключевые слова: критерий оптимальности, дельтаподобное ядро, изометрич- ность, пространства сверток, аппроксимативные характеристики. Введение C задачей аппроксимации довольно часто встречаются исследователи и ин- женеры в различных областях науки и техники. Она используется как при выпол- нении математических расчетов и математического моделирования, так и при проектировании коммуникационного оборудования, систем технического зрения, высококачественного звуковоспроизводящего оборудования, а также анализиру- ющих систем медицинского оборудования. Примером необходимости проведения процедур приближения могут служить расчеты, при которых используются специальные математические функции. На практике они часто заменяются приближенными аналитически- ми соотношениями, так как большинство из них аналитически сложные и не- удобные для дальнейших расчетов. Все это приводит к необходимости разра- ботки критерия оптимальности. В данной работе рассматриваются примеры равенств основных аппроксимативных характеристик в изометрических про- странствах, которые наглядно демонстрируют необходимость критерия опти- мальности. Примеры равенств основных аппроксимативных характеристик в изометрических пространствах Пусть  — изометрическое и линейное отображение линейного нормиро- ванного пространства X на линейное нормированное пространство .Y Тогда расстояние между произвольными элементами а и b пространства X равно рас- стоянию между их образами )(а и )(b в пространстве ,)( YX  т.е. ,)(–)())(),((–),( YYХX babababa  .)( YХ аa  (1) Последнее равенство следует из линейности отображения. Пусть далее М и Т — произвольные множества пространства ,Х )(М и )(T — их изометрические образы в пространствах ),(X A — произвольный линейный оператор, который отображает пространство X в подпространство ,)( ХUХА  А — соответствующий ему линейный оператор, который отоб- ражает пространство )(Х в подпространство )(U таким образом, что для каж- дого элемента Хb )).(())(( bАbА  (2) 76 ISSN 0572-2691 Обозначим XX bAbbAb )(–))(,(  расстояние между элементом Хb и его образом ,)( UbА  которое называют приближением элемента b заданным линейным оператором ,A ,))((–)())((),(( YY bAbbAb    ),( TaX ХTu X Tu uaua –inf),(inf   — расстояние от элемента Ха ко множеству ,ХT  которое называют наилучшим приближением элемента a элементами множества T (см., например, [1]),   ))(),((inf))(),(( )()( uaTa Y Tu Y ,)(–)(inf )()( YTu ua   ))(,(sup))(,( aAaMAM X Ma X   — расстояние между множеством XM  и его образом ),(MA которое называют приближением множества M заданным линейным оператором ,A  )))((),(( MAMY ));((),((sup )()( aAaY Ma   ),(sup),( TaTM X Ma X   — расстояние между множествами M и ,T которое называют наилучшим приближением множе- ства M элементами множества ,T ));(),((sup))(),(( )()( TaTM Y Ma Y   ),( UXL — множество всех линейных операторов ,A которые отображают про- странство X в линейное подпространство ,U ))(),(( UXL  — множество всех линейных операторов ,А которые отображают пространство )(X , изометричное пространству ,X в подпространство ),(U изометричное пространству ,U ))(,(inf),( ),( MAMUM X UXLA X   — наилучшее линейное отображение мно- жества M линейными операторами множества ),,( UXL  YUM ))(),(( )));((),((inf ))(),(( MAMY UXLA   }{ nM — множество всех линейных под- пространств nF размерности не более n пространства ,X )}({ nM –— множе- ство всех линейных подпространств )( nF размерности не более n изометриче- ского образа пространства ,X ),(inf)( }{ nX MF Xn FMMd nn   — n-мерный по- перечник по Колмогорову множества M в пространстве ,X  Yn Md ))(( ));(),((inf )}({)( nY MF FM nn   Xn MF Xn FMM nn ),(inf)( }{   — линейный n попе- речник множества M в пространстве ,X .))(),((inf))(( )}({)( Yn MF Yn FMM nn   Из равенств (1), (2) и соответствующих определений следует равенство ап- проксимативных характеристик для изометрических элементов и изометрических классов элементов соответствующих изометрических пространств, а именно: )),(,()))((),(( bAbbAb XY  (3) ),,())(),(( TaTa XY  (4) )),(,()))((),(( MAMMAM XY  (5) ,),())(),(( XY UMUM  (6) ),,())(),(( TMTM XY  (7) ,)())(( XnYn MdMd  (8) .)())(( XnYn MM  (9) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2019, № 1 77 Если }{),,(,,,, 0 01100 nn MFUXLATuMaMaTu  и }{1 nn MF  — экстремальные элементы соответственно для величин ),,(),( 0uaTa XX  )),(,())(,( 00 aAaMAM XX  ),,(),( 11 uaTM XX  )),(,(),( 0 MAMUM XX  ),()( 0 nXXn FMMd  и ,),()( 1 XnXn FMM  то из равенств (1)–(9) следует, что их изометрические образы ),()( 0 Tu  ),()( 0 Ma  ),()( 1 Ma  ),()( 1 Tu  )()),(),(( 0 0 nFUXLA  и )( 1 nF — экстремальные элементы соответствен- но для величин, записанных в левых частях равенств (4)–(9). Поскольку аппроксимативные характеристики для функций и классов функ- ций наиболее полно исследованы в пространствах действительных функций от одной действительной переменной (см., например, библиографию работ [2–9]), будем рассматривать изометрические отображения пространств действительной функции от m1 переменных, которые построены в [10], на пространства дей- ствительных 2 -периодических функций от одной переменной. Пусть X ~ — одно из пространств LC ~ , ~ или pL ~ )1(  p действительных 2 -периодических функций одной переменной, соответственно непрерывных, существенно ограниченных и измеримых с нормами )(sup )2,0[ ~ xff x C   , )(vraisup )2,0[ ~ xff x    , .)( /1 2 0 ~ p p p dxxff            mMX ~ — линейные нормированные пространства функций ),( yxf ),,,( 1 myyxf  2 -периодических по переменной ,x которые при каждом фик- сированном 0y принадлежат соответственно пространствам X ~ с нормами ,),(sup),( ~ 0 ~ X y MX yxfyxf n   где неравенство 0y обозначает, что все коор- динаты вектора y неотрицательны и хотя бы одна из них положительна, ),()( yxKxK my  — дельтаподобное ядро (см., например, [11–16]) 2 -перио- дическое по переменной x с рядом Фурье: ),(~cos)( 2 11 )( 2 1 1 xKkxkek mmm y k y ikx k y                                 R,:)( 2 )sincos( 2 )( ~ 1 1 0 1 1 0 112 kk n k k n k kknn baxA a kxbkxa a xTFX — пространство всех тригонометрических полиномов степени не выше )1( n с действительными коэффициентами. В [10] доказано, что линейное нормированное пространство X ~ изометрично ли- нейному нормированному пространству сверток X ~ с неотрицательными дельтапо- добными ядрами [17–21] } ~ { my KX  с нормой пространства mMX ~ и  }{ 12 myn KF               )0())((:)()( 2 ))(( 121 1 1 0 1 yFxTxAk a xKT nnk n k yyn mm — изомет- рический образ пространства .12 nF Обозначим dttxftxfxfU nnn )()( 1 ))(( 1 ),,( 2 0        78 ISSN 0572-2691 линейный оператор с ядром ,cos 2 )( 1 1 )( )( 0 ktt n k n k n n       который отображает про- странство L ~ в подпространство ,12 nF mm ynyn KUKU  — соответствующий ему линейный оператор (2), ),)()(( 1 ))(,( xfKxfKU mm ynyn    который отображает пространства } ~ { my KX  (см. (14) из [10]) соответственно в подпростран- ства }.{ 12 myn KF  Если дельтаподобное ядро )(xK my неотрицательно [22–29], то в силу изометричности пространств } ~ { my KX  и X ~ и их подпространств }{ 12 myn KF  и 12 nF из (2)–(9) получим: ,),(),( ~~ XnMXyny fUfKfUKf m mm    m mmmm m MXyny Mf ynyMX KfUKfKMUKM ~~ ),(sup})){,(},({ ,),(sup})){,(,( ~~ Xn Mf nX fUfMUM   ,)(),()(}){,( ~12~~12~ XnnXMXynynyMX fEFfKfEKFKf m mmm m   ,)(),(})({}){},{( ~12~~12~ XnnXMXynynyMX MEFMKMEKFKM m mmm m   ,),(}){},({ ~12~12 XnMXyny FMKFKM m mm   .)(})({,)(})({ ~~~~ XnMXynXnMXyn MKMMdKMd m m m m  Пусть )())(( )()( xfxfD kk  — оператор дифференцирования, my k KD )( my k KD  )( — соответствующий ему линейный оператор (2), т.е. . ))(( ))(())(( )()( k y k y k y k x xKf xKfxKfD m mm    Известно (см., например, [1, c. 127]), что в пространстве 12 nF имеет место неравенство Зигмунда, т.е. .)1()( ~1~ )( 1 Xn k X k n TnxT   В силу изометричности пространств 12 nF и }{ 12 myn KF  имеем      m m m m MXy k n MX k ny k KT x xTK ~ )( 1 ~ 1 )( ))(( ,))(()1()( ~1~ )( 1 MXny k X k n xTKnxT m   т.е. неравенство Зигмунда имеет место в пространстве }.{ 12 myn KF  Обозначим                 1:)(cos 2 )( 1 1 1 0 11 nk n k kn kxxTM множество всех тригонометрических полиномов степени не выше ),1( n стар- ший коэффициент которого .11  n Тогда Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2019, № 1 79                 1:)(cos)( 2 ))((}{ 1 1 1 0 11 nkk n k yyny kxkxKTKM mmm — изометрический образ .1M Наименьшую норму в пространстве X ~ (см., например, [1, с. 110, 111]) среди всех полиномов множества 1M имеет полином ))1((cos 1 nxn , т.е. .cos))1((cosinf),0( ~~1~11~ 11 XXnXn MT X xxnTM n    (10) Из (4) и (10) следует, что наименьшую норму в пространстве mMX ~ среди эле- ментов множества }{ 1 my KM  имеет элемент ))1((cos)1( 1 ny xnnm , т.е. .cos))1cos(()1( *inf}){,0( ~~1 ~1 }{ 1~ 11 XMXny MXnyKMTKyMX xxnn TKKM m m m m mynmy m m       Заключение В настоящее время наиболее эффективными средствами вычисления специ- альных математических функций являются системы компьютерной математики. Но ввиду аналитической сложности специальных функций их реализация в дан- ных пакетах имеет непростые алгоритмы вычисления, что приводит, как правило, к существенным затратам времени на вычисление и препятствует применению та- ких систем для моделирования систем и устройств. В связи с этим рассматривает- ся возможность применения различных приближений специальных функций в среде программных систем компьютерной математики. Полученные приближения должны иметь приемлемую для практики точность, а также обеспечивать быстрое вычисление специальных функций и реализовываться в системах компьютерной математики. Здесь помогут задачи интерполяции (например, в работах [30, 31] для нахождения функции Миттаг–Леффлера используется аппарат интерполяционных многочленов Лагранжа–Сильвестра и аппроксимации). Полученные авторами ап- проксимативные характеристики позволяют разработать эффективные численные алгоритмы для приближения специальных математических функций в системах компьютерной математики. Д.М. Бушев ІЗОМЕТРИЧНІСТЬ ФУНКЦІОНАЛЬНИХ ПРОСТОРІВ З РІЗНИМ ЧИСЛОМ ЗМІННИХ І ДЕЯКІ ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ В ТЕОРІЇ НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ Одні з найважливіших наукових проблем обчислювальної математики пов’язані з реалізацією математичних моделей в умовах обмеженої вихідної інформації, коли все, що можна обчислити, — це деякі точки, в яких відомі значення функції, причому в основному наближено внаслідок похибок різного походження. Теоретичне дослідження складних керованих систем, знаходжен- ня їх оптимальних математичних моделей вимагає досліджень в області побу- дови критеріїв керованості. Математичну модель складної системи бажано максимально спростити. Водночас не повинен зникнути опис тих особливостей поведінки, які належить досліджувати. Головним критерієм є відповідність математичної моделі опису- ваним реальним процесам. Це визначається порівнянням результатів теоретич- ного розрахунку з результатами експерименту на конкретному об’єкті. Модель заслуговує особливого визнання, якщо з її допомогою вдається теоретично ви- 80 ISSN 0572-2691 явити нові особливості поведінки і підтвердити їх експериментально. У зв’язку з цим вкрай важливе детальне дослідження особливості простору, в якому бу- дується модель, норм та побудова наближень для функцій. Класичний підхід в теорії наближень полягає у використанні наявної ін- формації для отримання наближеної функції, оперувати якою досить легко. Ви- значивши клас наближуваних функцій, потрібно вибрати з нього одну конкрет- ну за допомогою деякого критерію. Взявши за основу ізометричні відображен- ня просторів дійсних функцій від ,1 m змінних на простори 2 -періодичних функцій від однієї змінної, досліджено апроксимативні характеристики класів функцій в даних просторах. Отримані результати відкривають багато можливо- стей для подальших досліджень в асимптотичній теорії зображень. Описані ма- тематичні моделі можуть використовуватись при розв’язанні задач обчислюва- льної математики, пов’язаних із дослідженням складних керованих систем. Ключові слова: критерій оптимальності, дельтаподібне ядро, ізометричність, простори згорток, апроксимативні характеристики. D.N. Bushev ISOMETRY OF THE FUNCTIONAL SPACES WITH DIFFERENT NUMBER OF VARIABLES AND SOME ITS APPLICATIONS IN THE THEORY OF APPROXIMATION OF FUNCTIONS Among the most important scientific problems of computational mathematics are those, that are connected with the implementation of mathematical models in conditions of limited initial information, when we have or can compute only some points in which values of the function are known, and, in addition, these data are ap- proximate due to errors of different origin. Theoretical study of complex controlled systems, finding the optimal mathe- matical models of such systems requires research in the field of building controllabi- lity criteria. In general, creating a good mathematical model is an art. The point is that it is desirable to simplify the mathematical model of a complex system as much as possi- ble. At the same time, with such simplification, the description of those features of the behavior to be investigated should not disappear. The main criterion here is the correspondence of the mathematical model to the described real processes. It is de- termined by a comparison of the results of the theoretical calculation with the results of the experiment at a particular object. The model deserves special recognition if it helps to reveal theoretically new behavioral features, which are confirmed experi- mentally. In this connection, it is extremely important to study in detail the features of the space in which the model is constructed, the norms in this space, and the construction of approximations for functions in this space. The classical approach in the approximation theory consists in using the avai- lable information to obtain the approximated function, which is fairly easy to operate. Having determined the class of functions to be approximated, it is necessary to choose from it one definite function by means of some criterion. In the paper, using isometric mappings of the spaces of real functions of m1 variables to the spaces of univariate 2 -periodic functions from one variable, we study the approximate cha- racteristics of classes of functions in these spaces. The results obtained open up many possibilities for further research in the asymptotic theory of representations. The de- scribed mathematical models can be used in solving problems of computational mathematics related to the study of complex controlled systems. Keywords: optimality criterion, delta-like kernel, isometry, spaces of convolutions, approximative characteristics. 1. Корнейчук Н.П., Бабенко В.Ф., Лигун A.A. Экстремальные свойства полиномов и сплай- нов. Киев : Наук. думка, 1992. 304 c. 2. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. Approximation of conjugate differentiable functions by their Abel–Poisson integrals. Ukr. Math. J. 2009. Vol. 61, N 1. P. 86–98. 3. Kharkevych Yu.I., Stepanyuk T.A. Approximation properties of Poisson integrals for the classes   HС , . Mathematical Notes. 2014. Vol. 96, N 5-6. P. 1008–1019. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2019, № 1 81 4. Hembars’ka S.B. Tangential limit values of biharmonic Poisson integral in a disk. Ukr. Math. J. 1997. Vol. 49, N 9. P. 1317–1323. 5. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. On the approximation of functions of the Hölder class by tri- harmonic Poisson integrals. Ukr. Math. J. 2001. Vol. 53, N 6. P. 1012–1018. 6. Kharkevych Yu.I., Kal’chuk I.V. Asymptotics of the values of approximations in the mean for classes of differentiable functions by using biharmonic Poisson integrals. Ukr. Math. J. 2007. Vol. 59, N 8. P. 1224–1237. 7. Hrabova U.Z. Uniform approximations of functions of Lipschitz class by threeharmonic Poisson integrals. Journal of Automation ant Information Sciences. 2017. Vol. 49, N 12. C. 57–70. 8. Zhyhallo T.V., Kharkevych Yu.I. Approximation of ),(  -differentiable functions by Poisson integrals in the uniform metric. Ukr. Math. J. 2009. Vol. 61, N 11. P. 1757–1779. 9. Zhyhallo T.V., Kharkevych Yu.I. Approximation of functions from the class  ,C by Poisson in- tegrals in the uniform metric. Ukr. Math. J. 2009. Vol. 61, N 12. P. 1893–1914. 10. Бушев Д.М. Ізометричність функціональних просторів з різним числом змінних. Ukr. Math. J. 1998. 50. С. 1027–1045. 11. Kal’chuk I.V. Approximation of ),(  -differentiable functions defined on the real axis by Weierstrass operators. Ukr. Math. J. 2007. Vol. 59, N 9. P. 1342–1363. 12. Kharkevych Yu.I., Zhyhallo T.V. Approximation of ),(  -differentiable functions defined on the real axis by Abel-Poisson operators. Ukr. Math. J. 2005. Vol. 57, N 8. — P. 1297–1315. 13. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. Approximation of functions from the classes  ,C by bi- harmonic Poisson . Ukr. Math. J. 2011. Vol. 63, N. 7. P. 1083–1107. 14. Hrabova U.Z., Kal’chuk I.V., Stepanyuk T.A. Approximation of functions from the Classes   HW r by Weierstrass integrals. Ukr. Math. J. 2017. Vol. 69, N 4. P. 598–608. 15. Hembars’ka S.B., Zhyhallo K.M. Approximative properties of biharmonic Poisson integrals on Hölder classes. Ukr. Math. J. 2017. Vol. 69, N 7. P. 1075–1084. 16. Zhyhallo Т.V., Kharkevych Yu.I. Approximating properties of biharmonic Poisson operators in the classes   1,L̂ . Ukr. Math. J. 2017. Vol. 69, N 5. P. 757–765. 17. Kal’chuk I.V., Kharkevych Yu.I. Approximating properties of biharmonic Poisson integrals in the classes   HW r . Ukr. Math. J. 2017. Vol. 68, N. 11. P. 1727–1740. 18. Грабова У.З., Кальчук І.В., Степанюк Т.А. Про наближення бігармонічними інтегралами Пуассона класів   HW r . Укр. мат. журн. 2018. 70, № 5. C. 625–634. 19. Kharkevych Yu. I., Zhyhallo Т.V. Approximation of function from class  ,Ĉ by Poisson bi- harmonic operators in the unifom metric. Ukr. Math. J. 2008. Vol. 60, N 5. P. 769–798. 20. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. Approximation of ),(  -differentiable functions of low smoothness by biharmonic Poisson . Ukr. Math. J. 2012. Vol. 63, N 12. P. 1820–1844. 21. Kharkevych Yu.I., Kal’chuk I.V. Approximation of ),(  -differentiable functions by Weier- strass integrals. Ukr. Math. J. 2007. Vol. 59, N 7. P. 1059–1087. 22. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. Approximation of conjugate differentiable functions by bi- harmonic Poisson integrals. Ukr. Math. J. 2009. Vol. 61, N 3. P. 399–413. 23. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. On the approximation of functions of the Hölder class by bi- harmonic Poisson integrals. Ukr. Math. J. 2000. Vol. 52, N 7. P. 1113–1117. 24. Kal’chuk I.V., Kharkevych Yu.I. Complete asymptotics of the approximation of function from the Sobolev classes by the Poisson integrals. Acta Comment. Univ. Tartu. Math. 2018. Vol. 22, N 1. P. 23–36. 25. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. Complete asymptotics of the deviation of a class of differentiable functions from the set of their harmonic Poisson integrals. Ukr. Math. J. 2002. Vol. 54, N 1. P. 51–63. 26. Kharkevych Yu.I., Zhyhallo T.V. Approximation of functions defined on the real axis by opera- tors generated by  -methods of summation of their Fourier integrals. Ukr. Math. J. 2004. Vol. 56, N 9. P. 1509–1525. 27. Жигалло Т.В. Приближение функций, удовлетворяющих условию Липшица на конечном отрезке вещественной оси, интегралами Пуассона–Чебышева. «Международный научно- технический журнал «Проблемы управления и информатики». 2018. № 3. С. 46–59. 28. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. Approximation of differentiable periodic functions by their bi- harmonic Poisson integrals. Ukr. Math. J. 2002. Vol. 54, N 9. P. 1462–1470. 29. Hrabova U.Z., Kal’chuk I.V., Stepaniuk T.A. Approximative properties of the Weierstrass inte- grals on the classes   HW r . J. Math. Sci. (N.Y.) 2018. Vol. 231, N 1. P. 41–47. 30. Чикрий А.А., Эйдельман С.Д. Обобщенные матричные функции Миттаг–Леффлера в игро- вых задачах для эволюционных уравнений дробного порядка. Кибернетика и системный анализ. 2000. № 3. С. 3–32. 31. Чикрий А.А., Эйдельман С.Д. Задачи управления для квазилинейных систем с дробными производными Римана–Лиувилля. Кибернетика и системный анализ. 2001. № 6. С. 66–99. Получено 05.09.2018

Изометричность функциональных пространств с разным числом переменных и некоторые ее применения в теории приближения функций

Institution

Similar Items