Об определении коэффициента при производной в уравнении колебаний струны с разрывом
Рассмотрена задача определения коэффициента для правой производной в уравнении колебаний струны. Поставленная задача сведена к задаче оптимального управления. Доказана теорема существования оптимальной пары в новой задаче, дифференцируемость по Фреше построенного функционала и выведено необходимое у...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Дата: | 2019 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2019
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180653 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об определении коэффициента при производной в уравнении колебаний струны с разрывом / З.Р. Сафарова // Проблемы управления и информатики. — 2019. — № 1. — С. 93-99. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-180653 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Сафарова, З.Р. 2021-10-10T18:47:48Z 2021-10-10T18:47:48Z 2019 Об определении коэффициента при производной в уравнении колебаний струны с разрывом / З.Р. Сафарова // Проблемы управления и информатики. — 2019. — № 1. — С. 93-99. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180653 517. 9 Рассмотрена задача определения коэффициента для правой производной в уравнении колебаний струны. Поставленная задача сведена к задаче оптимального управления. Доказана теорема существования оптимальной пары в новой задаче, дифференцируемость по Фреше построенного функционала и выведено необходимое условие оптимальности в форме вариационного неравенства. Розглянуто задачу визначення коефіцієнта для правої похідної в рівнянні коливань струни. Поставлену задачу зведено до задачі оптимального керування. Доказано теорему існування оптимальної пари у новій задачі, диференційовність по Фреше побудованого функціонала та виведено необхідну умову оптимальності у формі варіаційної нерівності. It is studied the problem of finding the coefficient of first order derivative in the string vibration equation. Considering problem is reduced to the optimal control problem. In the new problem, the existence of an optimal pair and Frechet differentiability of he functional are proved, the necessary condition for optimality in the form of variational inequality is derived. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Управление системами с распределенными параметрами Об определении коэффициента при производной в уравнении колебаний струны с разрывом Визначення коефіцієнта для похідної в рівнянні коливань струни із розривом On finding the coefficients of derivative in the string vibration equation which has discontinuity Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Об определении коэффициента при производной в уравнении колебаний струны с разрывом |
| spellingShingle |
Об определении коэффициента при производной в уравнении колебаний струны с разрывом Сафарова, З.Р. Управление системами с распределенными параметрами |
| title_short |
Об определении коэффициента при производной в уравнении колебаний струны с разрывом |
| title_full |
Об определении коэффициента при производной в уравнении колебаний струны с разрывом |
| title_fullStr |
Об определении коэффициента при производной в уравнении колебаний струны с разрывом |
| title_full_unstemmed |
Об определении коэффициента при производной в уравнении колебаний струны с разрывом |
| title_sort |
об определении коэффициента при производной в уравнении колебаний струны с разрывом |
| author |
Сафарова, З.Р. |
| author_facet |
Сафарова, З.Р. |
| topic |
Управление системами с распределенными параметрами |
| topic_facet |
Управление системами с распределенными параметрами |
| publishDate |
2019 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы управления и информатики |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Визначення коефіцієнта для похідної в рівнянні коливань струни із розривом On finding the coefficients of derivative in the string vibration equation which has discontinuity |
| description |
Рассмотрена задача определения коэффициента для правой производной в уравнении колебаний струны. Поставленная задача сведена к задаче оптимального управления. Доказана теорема существования оптимальной пары в новой задаче, дифференцируемость по Фреше построенного функционала и выведено необходимое условие оптимальности в форме вариационного неравенства.
Розглянуто задачу визначення коефіцієнта для правої похідної в рівнянні коливань струни. Поставлену задачу зведено до задачі оптимального керування. Доказано теорему існування оптимальної пари у новій задачі, диференційовність по Фреше побудованого функціонала та виведено необхідну умову оптимальності у формі варіаційної нерівності.
It is studied the problem of finding the coefficient of first order derivative in the string vibration equation. Considering problem is reduced to the optimal control problem. In the new problem, the existence of an optimal pair and Frechet differentiability of he functional are proved, the necessary condition for optimality in the form of variational inequality is derived.
|
| issn |
0572-2691 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180653 |
| citation_txt |
Об определении коэффициента при производной в уравнении колебаний струны с разрывом / З.Р. Сафарова // Проблемы управления и информатики. — 2019. — № 1. — С. 93-99. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT safarovazr obopredeleniikoéfficientapriproizvodnoivuravneniikolebaniistrunysrazryvom AT safarovazr viznačennâkoefícíêntadlâpohídnoívrívnânníkolivanʹstruniízrozrivom AT safarovazr onfindingthecoefficientsofderivativeinthestringvibrationequationwhichhasdiscontinuity |
| first_indexed |
2025-11-25T14:49:36Z |
| last_indexed |
2025-11-25T14:49:36Z |
| _version_ |
1850515316069629952 |
| fulltext |
© З.Р. САФАРОВА, 2019
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2019, № 1 93
УПРАВЛЕНИЕ СИСТЕМАМИ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
УДК 517. 97
З.Р. Сафарова
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ КОЭФФИЦИЕНТА
ПРИ ПРОИЗВОДНОЙ В УРАВНЕНИИ
КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ С РАЗРЫВОМ
Kлючевые слова: коэффициент, уравнение колебаний, разрыв, оптимальное
управление, необходимое условие.
Введение
В последнее время обратным задачам об определении коэффициентов различных
уравнений с частными производными уделяется большое внимание [1–4]. Среди этих
задач особое место занимают задачи определения коэффициентов гиперболических
уравнений. Это, прежде всего, связано с тем, что такие задачи появляются в различных
областях науки — физике, геофизике, сейсмологии и т.д. [1, 2, 5, 6]. При исследовании
таких задач возникает ряд существенных трудностей, связанных с их сильной
нелинейностью и некорректностью. Кроме того, при рассмотрении распределенных
систем с особенностями исследование вышеотмеченных задач еще более затруд-
нено [7]. Для решения коэффициентных обратных задач для уравнений с частными
производными существуют различные методы [1, 2]. А для решения задач оптималь-
ного управления в системах с распределенными параметрами, уравнение состояния
которых представляет особенности типа разрыва, существует метод адаптирован-
ного штрафа [7]. В настоящей работе рассматривается задача определения коэф-
фициента при правой производной в уравнении колебаний струны, состояния
которой имеют особенность типа разрыва. Поставленная задача сводится к задаче
оптимального управления и исследуется методами теории оптимального управле-
ния. Доказывается теорема существования оптимальной пары в новой задаче,
дифференцируемость по Фреше построенного функционала и выводится сингу-
лярная система оптимальности, причем необходимое условие оптимальности полу-
чается в форме вариационного неравенства.
1. Постановка задачи
Рассмотрим задачу определения пары функций VQWxvtxz )())(),,(( 1
2 из
следующих соотношений:
),(0,)(0,),(),,(=3
2
2
2
2
TlQtxtxf
x
z
vz
x
z
t
z
(1)
],[0,),(=
,0)(
),(=,0)( 10 lxxz
t
xz
xzxz
(2)
94 ISSN 0572-2691
],[0,0,=),(0,=)(0, Tttlztz (3)
],[0,),(=),( lxxTxz (4)
.][0,ввсюду почти,)(:][0,= 1
2
l
dx
dv
xvlWvV (5)
),(6 QLz (6)
где ,0>l ,0>T 0>,, — заданные числа, ,)(2 QLf ,][0,
0
1
2
0 lWz 1z
,)(0,2 lL ][0,
0
1
2 lW — заданные функции. Задачу (1)–(6) сводим к следующей
задаче оптимального управления: найти минимум функционала
dxxTxzzvJ
l
2
0
0 )](),([
2
1
=),( (7)
при ограничениях (1)–(3), (5), (6).
Отметим, что задача (1)–(3) при заданных 10 ,,, zzfv не имеет глобального
решения по t [7]. Поэтому надо рассмотреть множество пар ,},{ zv удовлетво-
ряющих (1)–(3), (5), (6). Пара },{ zv называется управление–состояние [7]. Па-
ру },{ zv назовем допустимой, если удовлетворяются соотношения (1)–(3), (5), (6).
пусто. не пар допустимых множество что м,Предположи (8)
Отметим, что если выполняется условие (6), при заданной функции )(xv
из V краевая задача (1)–(3) имеет единственное обобщенное решение из )(1
2 QW
[8, с. 209–215], и это решение обладает свойствами ,])[0,;(0,
0
1
2 lWTLz
))(0,;(0, 2 lLTL
t
z
[9, с. 300]. Между задачами (1)–(6), (1)–(3) и (5)–(8)
существует тесная связь — если задача (1)–(3), (5)–(8) имеет такое решение
,},{ 00 zv что ,),(=),(min 0000
},{
zvJzvJ
zv
то дополнительное условие (4) вы-
полняется.
Теперь вместо задачи (1)–(3), (5)–(8) рассмотрим следующую задачу.
На множестве допустимых пар минимизировать функционал
,
6
1
),(=),(
6
)(6
0 QLdzzzvJzvJ (9)
где )(6 QLzd — заданная функция.
2. Существование оптимальной пары
Теорема 1. Пусть выполняются предполагаемые выше условия на данные
задачи (1)–(3), (5)–(9). Тогда в этой задаче существуют оптимальные пары, т.е.
),,(inf=),( zvJyuJ (10)
где пары },{ zv допустимы.
Доказательство. Пусть },{ kk zv — минимизирующая последовательность, т.е.
).,(inf=),(lim zvJvvJ kk
k
(11)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2019, № 1 95
Тогда из определения множества V и функционала (9) следует, что
,2,1,=,,),(,
)(6)(0,2][0,1
2
kczcTxzcv
QLklLklWk
где с — различные постоянные, не зависящие от оцениваемых величин и допус-
тимых пар. В силу теоремы вложения ][0,][0,1
2 lClW (см. [8, c. 84])
.при][0,в klCuvk (12)
Ясно, что правая часть уравнения
3
2
2
2
2
= k
k
k
kk zf
x
z
v
x
z
t
z
ограничена в .)(2 QL Поэтому в силу известных результатов [8, 9] следует, что
.2,1,=,
))(0,2;(0,
])[0,
0
1
2;(0,
kc
t
z
z
lLTL
k
lWTLk
(13)
В силу теоремы вложения ][0,][0,1
2 lClW из (13) вытекает, что
)(}{и,2,1,=,
)(
QLKzkcz kQLk
для любого конечного K( — относительно компактное множество). Тогда из
},{ kk zv можно выбрать такую подпоследовательность, обозначаемую ,},{ kk zv
что при k
].[0,в),(),(
,ввсюдупочтии)(всильно
)),(0,;(0,вслабо
)),(0,;(0,вслабо
2
0
1
2
lCTxyTxz
QQLyz
lLTL
t
y
t
z
lWTLyz
k
k
k
k
Тогда можно перейти к пределу: },{ yu — допустимая пара. А поскольку
),,(),(lim yuJzvJ kk
k
(14)
из (10) и (14) следует, что },{ yu — оптимальная пара.
Теорема доказана.
3. Сингулярная система оптимальности
Теорема 2. Пусть выполняются условия теоремы 1 и },{ yu — оптимальная
пара в задаче (1)–(3), (5)–(9). Тогда существует такая функция ,),( tx что
,))(0,;(0, 3
2
lHTL ))(0,;(0, 3
1
lHTL
t
и для тройки },,{ yu выпол-
няются следующие соотношения:
,),(,=3
2
2
2
2
Qtxf
x
y
uy
x
y
t
y
(15)
],[0,),(=
,0)(
),(=,0)( 10 lxxz
t
xy
xzxy
(16)
96 ISSN 0572-2691
],[0,0,=),(=)(0, Tttlyty
,),(,)(=)(3 52
2
2
2
2
Qtxzyu
x
y
xt
d
(17)
],[0,)],(),([=
),(
0,=),( lxxTxy
t
Tx
Tx
][0,0,=),(=)(0, Tttlt (18)
и
,0))()((),(),(
00
Vvdxxuxvdttxytx
Tl
(19)
где )(0,,)(0, 3
1
3
2
lHlH
— пространства Соболева дробного порядка [9].
Доказательство. Введем адаптированный функционал со штрафом к паре
},{ yu [7]:
2
)(2
3
2
2
2
2
2
1
),(=),(
QL
a
x
z
vz
x
z
t
z
zvJzvJ
2
)(0,2
2
)(2 2
1
2
1
lLQL
uvyz (20)
для функций ,, zv удовлетворяющих условиям
],[0,0,=),(=)(0,
],[0,),(=
0),(
),(=0),(
),(),(,
10
22
2
2
2
6
Tttlztz
lxxz
t
xz
xzxz
QL
x
z
t
z
QLzVv
(21)
где 0> — параметр штрафа.
Рассмотрим задачу нахождения минимума функционала (20) при услови-
ях (21). Как в теореме 1, можно показать, что существует решение },{ yu этой
задачи, т.е.
),,(inf=),( zvJyuJ aa
(22)
где },{ zv удовлетворяет (21).
Лемма. Пусть },{ yu — какое-нибудь решение задачи (22). Тогда при
,0 uu в ,][0, lC yy сильно в )(6 QL , где },{ yu — выбранная опти-
мальная пара в задаче (1)–(3), (5)–(9).
Доказательство. Ясно, что
).,(=),(),(inf=),( yuJyuJzvJyuJ aaa
(23)
Отсюда по определению множества V и функционала ),( zvJ a
получаем
,,
)(6][0,1
2
cycu
QLlW
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2019, № 1 97
а также
,),(,=3
2
2
2
2
Qtxf
x
y
uy
x
y
t
y
(24)
],[0,0,=),(=)(0,
],[0,),(=
0),(
),(=0),( 10
Tttlyty
lxxz
t
xy
xzxy
(25)
где ),( txf такая функция, что ,
)(2
cf
QL
.0>
Отсюда следует, что
.),(,,
])[0,
0
1
2))(0,2;(0,
])[0,
0
1
2;(0,
cTxyc
t
y
cy
lW
lLTL
lWTL
По теореме вложения ][0,][0,1
2 lClW
),,(ˆ),(в
)(
TxyTxycy
QL
0.при][0,в)(ˆ)( lCxuxu
Следовательно, можно извлечь из },{ yu такую подпоследовательность (снова
обозначим ее ),},{ yu что при 0 ,),(ˆ),( TxyTxy )(ˆ)( xuxu в
,][0, lC yy ˆ сильно в )(QL и почти всюду в ,Q где — любое конечное
число
,)(вслабо
ˆ
,
ˆ
2 QL
t
y
t
y
x
y
x
y
причем первая компонента пары }ˆ,ˆ{ yu принадлежит ,V вторая компонента па-
ры }ˆ,ˆ{ yu
— обобщенное решение из )(1
2 QW следующей задачи:
,),(),,(=
ˆ
ˆ)ˆ(
ˆˆ 3
2
2
2
2
Qtxtxf
x
y
uy
x
y
t
y
],[0,),(=
0),(ˆ
),(=0),(ˆ 10 lxxz
t
xy
xzxy
].[0,0,=),(ˆ=)(0,ˆ lttlyty
Тогда неравенство
2
)(0,2
2
)(2
ˆ
2
1
ˆ
2
1
),(),(
lLQL
a uuyyyuJyuJ
приводит к неравенству
.ˆ
2
1
ˆ
2
1
)ˆ,ˆ(),(lim
2
)(0,2
2
)(20
lLQL
a uuyyyuJyuJ
В силу (23) .),(),(lim
0
yuJyuJ a
Поэтому .),()ˆ,ˆ( yuJyuJ
Отсюда полу-
чается, что ,0=ˆ
2
1
ˆ
2
1 2
)(2
2
)(0,2 QLlL
yyuu так что .=ˆ,=ˆ yyuu
98 ISSN 0572-2691
Поскольку ),(),( yuJyuJ a и ,),(),(lim 0 yuJyuJ очевидно, что
,),(),( yuJyuJ отсюда по определению ),( zvJ получаем, что yy
сильно в )(6 QL при .0
Лемма доказана.
Доказательство. Продолжим доказательство теоремы 2. Запишем необхо-
димые условия того, что },{ yu — решение задачи (22).
0,=0),(),(0=|),( 2
0= xQCyuJ
d
d a
(26)
),(0,в0=),(=)(0,),(0,в0=
0),(
Ttltl
t
x
.,0|)),(( 0= VuVvyuvuJ
d
d a
(27)
Чтобы выразить эти условия проще, положим
.
1
=),( 3
2
2
2
2
x
y
uy
x
y
t
y
tx
Тогда из (26) следует, что
dxdtzydxdt
x
uy
xt
d
QQ
52
2
2
2
2
)(3
),(0,=),())(),(()( 2
0
QCdxTxxTxydxdtyy
l
Q
),(0,в0=),(=)(0,),(0,в0=
,0)(
0,=,0)( Ttltl
t
x
x
(28)
а (27) приводит к
.0))(()(
0
Vvdxuvuudxdtuvy
l
Q
(29)
Соотношение (28) означает, что ),( tx — слабое решение задачи
),()(=)(3 52
2
2
2
2
yyzyu
x
y
xt
d
(30)
.)(0,в0,=),(=)(0,
],[0,в)],(),([=
),(
=),(
Ttlt
lxTxy
t
Tx
Tx
(31)
Из результатов работы [7, с. 163–164; 167–168] следует, что справедлива оценка
.
))(0,3
1
;(0,
))(0,3
2
;(0,
c
t lHTL
lHTL
Учитывая эту оценку и доказанную лемму, перейдем к пределу в соотношени-
ях (24), (25), (29)–(31) и получим, что выполняются соотношения (15)–(19).
Теорема доказана.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2019, № 1 99
Заключение
В работе задача определения коэффициента при правой производной в урав-
нении колебаний струны, состояния которой имеют особенность типа разрыва,
сводится к задаче оптимального управления. В новой задаче доказывается тео-
рема существования оптимальной пары, дифференцируемость функционала по
Фреше и выводится необходимое условие оптимальности в форме вариационного
неравенства, которое может использоваться при разработке численных методов
решения рассматриваемой задачи.
З.Р. Сафарова
ВИЗНАЧЕННЯ КОЕФІЦІЄНТА
ДЛЯ ПОХІДНОЇ В РІВНЯННІ
КОЛИВАНЬ СТРУНИ ІЗ РОЗРИВОМ
Розглянуто задачу визначення коефіцієнта для правої похідної в рівнянні коли-
вань струни. Поставлену задачу зведено до задачі оптимального керування. До-
казано теорему існування оптимальної пари у новій задачі, диференційовність
по Фреше побудованого функціонала та виведено необхідну умову оптималь-
ності у формі варіаційної нерівності.
Kлючові слова: коефіцієнт, рівняння коливань, розрив, оптимальне керування,
необхідна умова.
Z.R. Safarova
ON FINDING THE COEFFICIENTS OF DERIVATIVE
IN THE STRING VIBRATION EQUAION WHICH HAS
DISCONTINUITY
It is studied the problem of finding the coefficient of first order derivative in the
string vibration equation. Considering problem is reduced to the optimal control
problem. In the new problem, the existence of an optimal pair and Frechet differenti-
ability of he functional are proved, the necessary condition for optimality in the form
of variational inequality is derived.
Keywords: coefficient, vibration equation, discontinuity, optimal control, necessary
condition
1. Кабанихин С.И., Искаков К.Т. Оптимизационные методы решения коэффициентных
обратных задач. Новосибирск. : НГУ, 2001. 315с.
2. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск : Сиб. научное изд-во,
2009. 457 с.
3. Обратные задачи для эволюционных уравнений. Сиб. электрон. матем. изв. Ю.Е. Ани-
конов, Н.Л. Абашеева, Н.Б. Аюпова, А.И. Кожанов, М.В. Нещадим, И.Р. Валитов. 2008. 5.
С. 549–580.
4. Кабанихин С.И., Шишленин М.А. Об использовании априорной информации в коэф-
фициентных обратных задачах для гиперболических уравнений. Тр. ИММ УрО РАН. 2012.
18, № 1. С. 147–164.
5. Романов В.Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа. Ново-
сибирск : Наука, 1972. 164 с.
6. Романов В.Г. Одномерная обратная задача для волнового уравнения. Докл. АН СССР. 1973.
211, № 5. С. 1083–1084.
7. Лионс Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами. М. : Наука, 1987.
368 с.
8. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М. : Наука, 1973. 405 с.
9. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М. : Мир
1971. 372 с.
Получено 26.06.2018
|